函数单调性与奇偶性教案
函数的基本性质教案
函数的基本性质教案一、教学目标1. 让学生理解函数的概念，掌握函数的基本性质，包括单调性、奇偶性、周期性等。
2. 能够运用函数的基本性质解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
二、教学内容1. 函数的概念及定义2. 函数的单调性3. 函数的奇偶性4. 函数的周期性5. 函数的基本性质在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的基本性质，包括单调性、奇偶性、周期性。
2. 教学难点：函数性质的证明和应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，系统地讲解函数的基本性质。
2. 利用实例进行分析，帮助学生理解函数性质的应用。
3. 引导学生进行自主学习，培养学生的逻辑思维能力。
4. 利用小组讨论，提高学生的合作能力。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生认识函数，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解：讲解函数的概念，定义，并引入函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质。
3. 分析：分析函数性质的证明方法，并通过实例进行分析，让学生理解函数性质的应用。
4. 练习：布置练习题，让学生巩固所学内容。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调函数基本性质的重要性。
6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。
7. 课后辅导：针对学生学习中遇到的问题进行辅导，提高学生的学习能力。
六、教学评价1. 评价方式：采用课堂表现、课后作业和单元测试相结合的方式进行评价。
2. 评价内容：(1) 函数概念的理解和运用；(2) 函数单调性、奇偶性、周期性的理解和证明；(3) 函数性质在实际问题中的应用能力。
七、教学资源1. 教材：《数学分析》；2. 教学课件；3. 实例素材；4. 练习题库；5. 课后辅导资料。
八、教学进度安排1. 第1周：讲解函数的概念及定义；2. 第2周：讲解函数的单调性；3. 第3周：讲解函数的奇偶性；4. 第4周：讲解函数的周期性；5. 第5周：函数性质在实际问题中的应用。
《函数的单调性与奇偶性》教学设计
《函数的单调性与奇偶性》教学设计
一、教学内容
本节课的教学内容是函数的单调性与奇偶性。
二、教学目标
1.了解函数的单调性与奇偶性两个概念；
2.会判断函数的单调性与奇偶性；
3.熟练掌握解决实际问题时如何利用函数的单调性与奇偶性的知识；
三、学习重点
1.了解概念：单调性与奇偶性；
2.学会判断函数的单调性与奇偶性；
3.学会利用函数的单调性与奇偶性解决实际问题。
四、学习难点
1.学会判断函数是否单调，是否为奇偶函数；
2.学会利用函数的单调性与奇偶性解决实际问题。
五、教学方法
1.根据学生的学习习惯，采用以讲授课为主的教学方法，结合实例演示；
2.针对学生的实际能力，采用视频讲授、讨论和实例分析来讲解；
3.通过练习，让学生加深对函数的单调性与奇偶性的理解。
六、教学过程
一、导入
1.情境描述：以赛博士排比赛为例，展开课程教学：从一个单调函数的概念开始，讲解单调函数的定义和例子；再讲解奇偶函数的概念及其定义和例子。
2.引入问题：以赛博士排比赛为例，借助函数的单调性与奇偶性，能不能有效的解决实际问题？
二、讲授
1.讲解函数的单调性，包括定义、例子、注意事项等；。
函数的单调性和奇偶性的综合应用教案
函数的单调性和奇偶性的综合应用教案一、教学目标：1. 知识与技能：（1）理解函数的单调性和奇偶性的概念；（2）掌握判断函数单调性和奇偶性的方法；（3）学会运用函数的单调性和奇偶性解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过实例引导学生观察、分析函数的单调性和奇偶性；（2）利用图形直观地展示函数的单调性和奇偶性；（3）培养学生运用函数的单调性和奇偶性解决实际问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心；（2）培养学生合作、探究的精神；（3）培养学生运用数学知识解决实际问题的意识。
二、教学重点与难点：1. 教学重点：（1）函数的单调性和奇偶性的概念；（2）判断函数单调性和奇偶性的方法；（3）运用函数的单调性和奇偶性解决实际问题。
2. 教学难点：（1）函数的奇偶性在实际问题中的应用；（2）函数的单调性在实际问题中的应用。
三、教学准备：1. 教师准备：（1）熟练掌握函数的单调性和奇偶性的概念及判断方法；（2）准备相关实例和练习题；（3）准备多媒体教学设备。
2. 学生准备：（1）掌握函数的基本概念；（2）了解简单的函数图形；（3）具备一定的数学运算能力。
四、教学过程：1. 导入新课：（1）引导学生回顾函数的基本概念；（2）引导学生思考函数的单调性和奇偶性在实际问题中的应用。
2. 知识讲解：（1）讲解函数的单调性概念及判断方法；（2）讲解函数的奇偶性概念及判断方法；（3）结合实例分析函数的单调性和奇偶性在实际问题中的应用。
3. 图形展示：（1）利用图形直观地展示函数的单调性和奇偶性；（2）引导学生观察、分析图形，加深对函数单调性和奇偶性的理解。
4. 课堂练习：（1）布置针对性练习题，让学生巩固所学知识；（2）引导学生互相讨论、交流，共同解决问题。
5. 总结提升：（1）总结本节课所学内容，强调函数的单调性和奇偶性在实际问题中的应用；（2）鼓励学生在日常生活中发现和运用函数的单调性和奇偶性。
函数单调性与奇偶性综合教案
ax b 是定义在 1,1 上的奇函数，且 1 x2
1 2 （1）确定函数 f (x) 的解析式； （2）用定义证明 f (x) 在 f 。 2 5
1,1 上是增函数； （3）解不等式 f (t 1) f t 0
函数单调性与奇偶性综合
2
巩固练习： （1）设方程 x ax 4 0 在 1,4 上有解，求实数 a 的取值范围
周
年级
星 期
班 新授课
函数单调性与奇偶性综合
（1）学会用函数单调性与奇偶性的概念解决问题 （2）让学生自我归纳，先猜想后论证的数学思想，培养学生发现问题解决 问题的能力 用函数单调性与奇偶性的概念解决问题 用函数单调性与奇偶性的概念解决问题
2 x
D． y 2 x 2 x 1 ）
例 2：设函数 f ( x) 2a 1x b 是 R 上的减函数，则有（ A． a
1 2
B． 0 a
1 2
C． a 0
D． a
1 2
巩固练习： 设 a, b c, d 都是函数 f x 的单调递增区间，且 x1 a, b ， ，
x2 c, d ， x1 x 2 ，则 f ( x1 ) 与 f ( x2 ) 大小关系是（
A． f ( x1 ) < f ( x2 ) C． f ( x1 ) = f ( x2 ) B． f ( x1 ) > f ( x2 ) D．不能确定
1 x （2）f ( x) x 4 2x 2 3 x 4,4 1 x
例 5：已知函数 y f (x) 是偶函数，其图象与 x 轴有四个交点，则 方程 f ( x) 0 的所有实根之和是（ ）A．4 B．2 C．1 D．0
高一数学教案函数的奇偶性5篇
高一数学教案函数的奇偶性5篇使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，学会利用函数图像理解和研究函数的性质，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数奇偶性的方法.高一数学教案函数的奇偶性1一、内容与解析 (一)内容：基本初等函数习题课(一)。
(二)解析：对数函数的性质的掌握，要先根据其图像来分析与记忆，这样更形像更直观，这是学习图像与性质的基本方法，在此基础上，我们要对对数函数的两种情况的性质做一个比较，使之更好的'掌握.二、目标及其解析：(一)教学目标(1)掌握指数函数、对数函数的概念，会作指数函数、对数函数的图象，并能根据图象说出指数函数、对数函数的性质，了解五个幂函数的图象及性质及其奇偶性.(二)解析(1)基本初等函数的学习重要是学习其性质，要掌握好性质，从图像上来理解与掌握是一个很有效的办法.(2)每类基本初类函数的性质差别比较大，学习时要有一个有效的区分.三、问题诊断分析在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是不易区分各函数的图像与性质，不容易抓住其各自的特点。
四、教学支持条件分析在本节课一次递推的教学中，准备使用P5高一数学教案函数的奇偶性2【教学目标】【知识目标】：使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，学会利用函数图像理解和研究函数的性质，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法.【能力目标】通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力.【德育目标】通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程. 【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明. 函数的单调性是学生第一次接触用严格的逻辑语言证明函数的性质，并在今后解决初等函数的性质、求函数的值域、不等式及比较两个数的大小等方面有广泛的实际应用，【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性. 由于判断或证明函数的单调性，常常要综合运用一些知识(如不等式、因式分解、配方及数形结合的思想方法等)所以判断或证明函数的单调性是本节课的难点.【教材分析】函数的单调性是函数的重要性质之一，它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性的联系在一起，所以本节课在教材中的作用如下 (1)函数的单调性起着承前启后的作用。
函数的单调性和奇偶性的综合应用教案
函数的单调性和奇偶性的综合应用教案第一章：函数的单调性1.1 单调性的定义引导学生理解函数单调性的概念，了解函数单调递增和单调递减的定义。
通过示例来说明函数单调性的判断方法。
1.2 单调性的性质引导学生了解单调性的几个重要性质，如单调性的传递性、复合函数的单调性等。
通过示例来演示这些性质的应用。
第二章：函数的奇偶性2.1 奇偶性的定义引导学生理解函数奇偶性的概念，了解奇函数和偶函数的定义。
通过示例来说明函数奇偶性的判断方法。
2.2 奇偶性的性质引导学生了解奇偶性的几个重要性质，如奇偶性的对称性、奇偶性与单调性的关系等。
通过示例来演示这些性质的应用。
第三章：单调性和奇偶性的综合应用3.1 单调性和奇偶性的关系引导学生了解单调性和奇偶性之间的关系，如奇函数的单调性、偶函数的单调性等。
通过示例来说明单调性和奇偶性在解决问题时的综合应用。
3.2 单调性和奇偶性的应用实例给出一些实际问题，引导学生运用单调性和奇偶性的知识来解决这些问题。
通过示例来说明单调性和奇偶性在实际问题中的应用。
第四章：函数的单调性和奇偶性的判断4.1 单调性和奇偶性的判断方法引导学生了解判断函数单调性和奇偶性的方法，如导数法、图像法等。
通过示例来说明这些方法的运用。
4.2 单调性和奇偶性的判断实例给出一些具体的函数，引导学生运用判断方法来确定这些函数的单调性和奇偶性。
通过示例来说明单调性和奇偶性的判断过程。
第五章：函数的单调性和奇偶性的综合应用练习5.1 单调性和奇偶性的综合应用练习题提供一些练习题，引导学生运用单调性和奇偶性的知识来解决问题。
通过练习来巩固学生对单调性和奇偶性的理解和应用能力。
5.2 练习题解答和解析对练习题进行解答和解析，帮助学生理解和巩固解题思路和方法。
通过解答和解析来提高学生对单调性和奇偶性的应用能力。
第六章：函数的单调性和奇偶性在图像分析中的应用6.1 图像的单调区间引导学生如何通过函数图像来判断函数的单调区间。
函数单调性和奇偶性数学教案
函数单调性和奇偶性数学教案教学建议一、知识结构（1）函数单调性的概念。
包括增函数、减函数的定义，单调区间的概念函数的单调性的判定方法，函数单调性与函数图像的关系.（2）函数奇偶性的概念。
包括奇函数、偶函数的定义，函数奇偶性的判定方法，奇函数、偶函数的图像.二、重点难点分析(1)本节教学的重点是函数的单调性,奇偶性概念的形成与认识.教学的难点是领悟函数单调性,奇偶性的本质,掌握单调性的证明.(2)函数的单调性这一性质学生在初中所学函数中曾经了解过,但只是从图象上直观观察图象的上升与下降,而现在要求把它上升到理论的高度,用准确的数学语言去刻画它.这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的,因此要在概念的形成上重点下功夫.单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容,学生在代数论证推理方面的能力是比较弱的,许多学生甚至还搞不清什么是代数证明,也没有意识到它的重要性,所以单调性的证明自然就是教学中的难点.三、教法建议（1）函数单调性概念引入时,可以先从学生熟悉的一次函数,,二次函数.反比例函数图象出发,回忆图象的增减性,从这点感性认识出发,通过问题逐步向抽象的定义靠拢.如可以设计这样的问题:图象怎么就升上去了?可以从点的坐标的角度,也可以从自变量与函数值的关系的角度来解释,引导学生发现自变量与函数值的的变化规律,再把这种规律用数学语言表示出来.在这个过程中对一些关键的词语(某个区间,任意,都有)的理解与必要性的认识就可以融入其中,将概念的形成与认识结合起来.（2）函数单调性证明的步骤是严格规定的,要让学生按照步骤去做,就必须让他们明确每一步的必要性,每一步的目的,特别是在第三步变形时,让学生明确变换的目标,到什么程度就可以断号,在例题的选择上应有不同的变换目标为选题的标准,以便帮助学生总结规律.函数的奇偶性概念引入时,可设计一个课件,以的图象为例,让自变量互为相反数,观察对应的函数值的变化规律,先从具体数值开始,逐渐让在数轴上动起来,观察任意性,再让学生把看到的用数学表达式写出来.经历了这样的过程,再得到等式时,就比较容易体会它代表的是无数多个等式,是个恒等式.关于定义域关于原点对称的问题,也可借助课件将函数图象进行多次改动,帮助学生发现定义域的对称性,同时还可以借助图象(如)说明定义域关于原点对称只是函数具备奇偶性的必要条件而不是充分条件.函数的奇偶性教学设计方案教学目标1.使学生了解奇偶性的概念,回会利用定义判断简单函数的奇偶性.2.在奇偶性概念形成过程中,培养学生的观察,归纳能力,同时渗透数形结合和特殊到一般的思想方法.3.在学生感受数学美的同时,激发学习的兴趣,培养学生乐于求索的精神.教学重点,难点重点是奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断难点是对概念的认识教学用具投影仪,计算机教学方法引导发现法教学过程一.引入新课前面我们已经研究了函数的单调性,它是反映函数在某一个区间上函数值随自变量变化而变化的性质,今天我们继续研究函数的另一个性质.从什么角度呢?将从对称的角度来研究函数的性质.对称我们大家都很熟悉,在生活中有很多对称,在数学中也能发现很多对称的问题,大家回忆一下在我们所学的内容中,特别是函数中有没有对称问题呢?(学生可能会举出一些数值上的对称问题,等,也可能会举出一些图象的对称问题,此时教师可以引导学生把函数具体化,如和等.)结合图象提出这些对称是我们在初中研究的关于轴对称和关于原点对称问题,而我们还曾研究过关于轴对称的问题,你们举的例子中还没有这样的,能举出一个函数图象关于轴对称的吗?学生经过思考,能找出原因,由于函数是映射,一个只能对一个,而不能有两个不同的,故函数的图象不可能关于轴对称.最终提出我们今天将重点研究图象关于轴对称和关于原点对称的问题,从形的特征中找出它们在数值上的规律.二.讲解新课2.函数的奇偶性(板书)教师从刚才的图象中选出,用计算机打出,指出这是关于轴对称的图象,然后问学生初中是怎样判断图象关于轴对称呢?(由学生回答,是利用图象的翻折后重合来判定)此时教师明确提出研究方向:今天我们将从数值角度研究图象的这种特征体现在自变量与函数值之间有何规律?学生开始可能只会用语言去描述:自变量互为相反数,函数值相等.教师可引导学生先把它们具体化,再用数学符号表示.(借助课件演示令比较得出等式,再令,得到,详见课件的使用)进而再提出会不会在定义域内存在,使与不等呢?(可用课件帮助演示让动起来观察,发现结论,这样的是不存在的)从这个结论中就可以发现对定义域内任意一个,都有成立.最后让学生用完整的语言给出定义,不准确的地方教师予以提示或调整.(1)偶函数的定义:如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么就叫做偶函数.(板书) (给出定义后可让学生举几个例子,如等以检验一下对概念的初步认识) 提出新问题:函数图象关于原点对称,它的自变量与函数值之间的数值规律是什么呢?(同时打出或的图象让学生观察研究)学生可类比刚才的方法,很快得出结论,再让学生给出奇函数的定义.(2)奇函数的定义:如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么就叫做奇函数.(板书) (由于在定义形成时已经有了一定的认识,故可以先作判断,在判断中再加深认识) 例1.判断下列函数的奇偶性(板书)(1);(2);(3);;(5);(6).(要求学生口答,选出1-2个题说过程)解:(1)是奇函数.(2)是偶函数.(3),是偶函数.前三个题做完,教师做一次小结,判断奇偶性,只需验证与之间的关系,但对你们的回答我不满意,因为题目要求是判断奇偶性而你们只回答了一半,另一半没有作答,以第(1)为例,说明怎样解决它不是偶函数的问题呢?学生经过思考可以解决问题，指出只要举出一个反例说明与不等.如即可说明它不是偶函数.(从这个问题的解决中让学生再次认识到定义中任意性的重要)从(4)题开始,学生的答案会有不同,可以让学生先讨论,教师再做评述.即第(4)题中表面成立的=不能经受任意性的考验,当时,由于,故不存在,更谈不上与相等了,由于任意性被破坏,所以它不能是奇偶性.教师由此引导学生,通过刚才这个题目,你发现在判断中需要注意些什么?(若学生发现不了定义域的特征,教师可再从定义启发,在定义域中有1,就必有-1,有-2,就必有2,有,就必有,有就必有,从而发现定义域应关于原点对称,再提出定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的什么条件?可以用(6)辅助说明充分性不成立,用(5)说明必要性成立,得出结论.(3)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件.(板书)由学生小结判断奇偶性的步骤之后,教师再提出新的问题:在刚才的几个函数中有是奇函数不是偶函数,有是偶函数不是奇函数,也有既不是奇函数也不是偶函数,那么有没有这样的函数,它既是奇函数也是偶函数呢?若有,举例说明.经学生思考,可找到函数.然后继续提问:是不是具备这样性质的函数的解析式都只能写成这样呢?能证明吗?例2.已知函数既是奇函数也是偶函数,求证:.(板书)(试由学生来完成)证明:既是奇函数也是偶函数,=,且,=.,即.证后,教师请学生记住结论的同时,追问这样的函数应有多少个呢?学生开始可能认为只有一个,经教师提示可发现,只是解析式的特征,若改变函数的定义域,如,,,,它们显然是不同的函数,但它们都是既是奇函数也是偶函数.由上可知函数按其是否具有奇偶性可分为四类 (4)函数按其是否具有奇偶性可分为四类:(板书)例3.判断下列函数的奇偶性(板书)(1);(2);(3).由学生回答,不完整之处教师补充.解:(1)当时,为奇函数,当时,既不是奇函数也不是偶函数.(2)当时,既是奇函数也是偶函数,当时,是偶函数.(3)当时,于是,当时,,于是=,综上是奇函数.教师小结(1)(2)注意分类讨论的使用,(3)是分段函数,当检验,并不能说明具备奇偶性,因为奇偶性是对函数整个定义域内性质的刻画,因此必须均有成立,二者缺一不可.三.小结1.奇偶性的概念2.判断中注意的问题四.作业略五.板书设计2.函数的奇偶性例1.例3.(1)偶函数定义(2)奇函数定义(3)定义域关于原点对称是函数例2.小结具备奇偶性的必要条件(4)函数按奇偶性分类分四类探究活动(1)定义域为的任意函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和,你能试证明之吗?(2)判断函数在上的单调性,并加以证明.在此基础上试利用这个函数的单调性解决下面的问题:设为三角形的三条边,求证:.。
函数的单调性和奇偶性的综合应用教案
函数的单调性和奇偶性的综合应用教案一、教学目标1. 让学生理解函数的单调性和奇偶性的概念。
2. 让学生掌握判断函数单调性和奇偶性的方法。
3. 培养学生运用函数的单调性和奇偶性解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 函数的单调性：单调递增函数、单调递减函数。
2. 函数的奇偶性：奇函数、偶函数。
3. 函数的单调性和奇偶性的判断方法。
4. 函数的单调性和奇偶性在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的单调性和奇偶性的概念及判断方法。
2. 教学难点：运用函数的单调性和奇偶性解决实际问题。
四、教学方法1. 采用讲授法讲解函数的单调性和奇偶性概念及判断方法。
2. 利用案例分析法引导学生运用函数的单调性和奇偶性解决实际问题。
3. 开展小组讨论法，让学生互相交流心得，提高解题能力。
五、教学过程1. 引入新课：通过生活中的实例，如商品打折、气温变化等，引导学生思考函数的单调性和奇偶性。
2. 讲解概念：讲解函数的单调性和奇偶性的定义，并通过图象进行演示。
3. 判断方法：教授判断函数单调性和奇偶性的方法，并进行练习。
4. 应用实例：分析实际问题，如物体的运动、经济的增长等，运用函数的单调性和奇偶性进行解答。
5. 课堂小结：总结本节课所学内容，强调函数的单调性和奇偶性在实际问题中的应用。
6. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对函数单调性和奇偶性概念的理解程度。
2. 练习题解答：检查学生判断函数单调性和奇偶性的方法掌握情况。
3. 课后作业：分析学生完成作业的情况，了解学生对课堂所学知识的掌握程度。
七、教学反思1. 针对课堂教学过程，反思教学方法是否适合学生的学习需求。
2. 针对学生的反馈，调整教学策略，提高教学效果。
3. 探索更多实际问题，丰富教学案例，激发学生的学习兴趣。
八、拓展与延伸1. 探讨函数的单调性和奇偶性在高等数学中的应用。
2. 引导学生关注函数的单调性和奇偶性在其他领域的应用，如物理、化学等。
《函数的单调性与奇偶性》教学设计
（1）配方法：即将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值.
（2）换元法：通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值.
（3）数形结合法：利用函数图象或几何方法求出最值.
1.3《函数的单调性与奇偶性》教学设计
【教学目标】
1. 理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念；掌握增（减）函数的证明和判别；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
2.理解函数单调性的概念及证明方法、判别方法，理解函数的最大（小）值及其几何意义；
3. 理解奇函数、偶函数的概念及图象的特征，能熟练判别函数的奇偶性.
2．奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.
注意：
①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）.
答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于原点对称；
（2）若点（x，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x，－f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标也一定互为相反数.
新授课阶段
一、函数的单调性
增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数；
【导入新课】
1.通过对函数 、 、 及 的观察提出有关函数单调性的问题.
函数的奇偶性与单调性学案
函数的奇偶性与单调性的综合学案题型1：证明函数的奇偶性与单调性 例1：已知2()()1xf x x R x =∈+，讨论函数()f x 的性质，并作出图象.例2：函数()f x 的定义域是R ，对任意的实数x ，y 都有()()()f x f y f x y +=+，当0x >，()0f x >，判断函数的奇偶性与单调性。
题型2：函数的奇偶性与单调性的综合应用―――求值例3：若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，求满足2(3)(2)f x f x -=的所有x 的值。
例4：已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x+2)=－f (x )，则f (6)的值为（ ）.A. －1B. 0C. 1D. 2 题型3：函数的奇偶性与单调性的综合应用―――判断增减性求最值例5：若奇函数()f x 在[3, 7]上是增函数，且最小值是1，则它在[7,3]--上是（ ）.A. 增函数且最小值是－1B. 增函数且最大值是－1C. 减函数且最大值是－1D. 减函数且最小值是－1例6：若函数2()(1)23f x m x mx =-++是定义在R 上的偶函数，则()f x 在（－5，－2）（ ） A.是增函数 B.是减函数 C.不具有单调性 D.单调性由m 来决定题型4：函数的奇偶性与单调性的综合应用―――解不等式例7：若奇函数()f x 的定义域是[]5,5-上的增函数，当[]0,5x ∈时，满足()f x 的图象如图所示，则(1)不等式()0f x <的解集是___________________;（2）不等式()0x f x ⋅<的解集是___________________()f x 且在区间(,0)-∞上是减函数，实数a 满足不等式22(33)(32)f a a f a a +-<-，求实数a 的取值范围.例9：若函数()f x 是定义在（-1，1）上的偶函数，且在（-1，0）]上是减函数，解不等式2(2)(4)0f x f x ---<例10:函数()f x 是定义在(0,)∞上的增函数，且满足()()(),(2)1f a b f a f b f ⋅=+=，解不等式：()(2)3f x f x -->。
函数的单调性和奇偶性教案!(学生版)
函数的单调性和奇偶性一、目标认知学习目标：1.理解函数的单调性、奇偶性定义；2.会判断函数的单调区间、证明函数在给定区间上的单调性；3.会利用图象和定义判断函数的奇偶性；4.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用.重点、难点：1.对于函数单调性的理解；2.函数性质的应用.二、知识要点梳理1.函数的单调性(1)增函数、减函数的概念一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间如果对于M内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在区间M上是增函数；如果对于M内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在区间M上是减函数.如果函数f(x)在区间M上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间M上具有单调性，M称为函数f(x)的单调区间.要点诠释：[1]“任意”和“都”；[2]单调区间与定义域的关系----局部性质；[3]单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；[4]不能随意合并两个单调区间.(2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？基本方法：观察图形或依据定义.2.函数的奇偶性偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数.奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数.要点诠释：[1]奇偶性是整体性质；[2]x在定义域中，那么-x在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；[3]f(-x)=f(x)的等价形式为：，f(-x)=-f(x)的等价形式为：；[4]由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0；[5]若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0；[6]，.三、规律方法指导1.证明函数单调性的步骤：(1)取值.设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；(2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；(3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系；(4)得出结论.2.函数单调性的判断方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)对于复合函数，若在区间上是单调函数，则在区间或者上是单调函数；若与单调性相同（同时为增或同时为减），则为增函数；若与单调性相反，则为减函数.3.常见结论:(1)若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；(2)若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减) 函数；(3)若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数.(4)若奇函数在上是增函数，且有最大值，则在是增函数，且有最小值；若偶函数在是减函数，则在是增函数.经典例题透析类型一、函数的单调性的证明1.证明函数上的单调性.证明：总结升华：[1]证明函数单调性要求使用定义；[2]如何比较两个量的大小？(作差)[3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形)举一反三：【变式1】用定义证明函数上是减函数.总结升华：可以用同样的方法证明此函数在上是增函数；在今后的学习中经常会碰到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象.类型二、求函数的单调区间2. 判断下列函数的单调区间；(1)y=x2-3|x|+2；(2)举一反三：【变式1】求下列函数的单调区间：(1)y=|x+1|；(2)总结升华：[1]数形结合利用图象判断函数单调区间；[2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关.[3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数.类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小.4. 求下列函数值域：(1)；1)x∈[5，10]；2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；(2)y=x2-2x+3；1)x∈[-1，1]；2)x∈[-2，2].举一反三：【变式1】已知函数.(1)判断函数f(x)的单调区间；(2)当x∈[1，3]时，求函数f(x)的值域.思路点拨：这个函数直接观察恐怕不容易看出它的单调区间，但对解析式稍作处理，即可得到我们相对熟悉的形式.，第二问即是利用单调性求函数值域.5. 已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上是增函数，求：(1)实数a的取值范围；(2)f(2)的取值范围.类型四、判断函数的奇偶性6. 判断下列函数的奇偶性：(1)(2)(3)f(x)=x2-4|x|+3 (4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)(6)(7)思路点拨：根据函数的奇偶性的定义进行判断.举一反三：【变式1】判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)f(x)=|x+1|-|x-1|；(3)f(x)=x2+x+1；(4).思路点拨：利用函数奇偶性的定义进行判断.举一反三：【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.类型五、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)7.已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).8. f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f(x)=x2-x，求当x≥0时，f(x)的解析式，并画出函数图象.9. 设定义在[-3，3]上的偶函数f(x)在[0，3]上是单调递增，当f(a-1)＜f(a)时，求a 的取值范围.类型六、综合问题10.定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间的图象与f(x)的图象重合，设a＞b＞0，给出下列不等式，其中成立的是_________.①f(b)-f(-a)＞g(a)-g(-b)；②f(b)-f(-a)＜g(a)-g(-b)；③f(a)-f(-b)＞g(b)-g(-a)；④f(a)-f(-b)＜g(b)-g(-a).11. 求下列函数的值域：(1)(2)(3)思路点拨：(1)中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；(2)由单调性求值域，此题也可换元解决；(3)单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时t范围.解：12. 已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1.(1)若函数f(x)在区间[0，2]上是单调的，求实数a的取值范围；(2)当x∈[-1，1]时，求函数f(x)的最小值g(a)，并画出最小值函数y=g(a)的图象.13. 已知函数f(x)在定义域(0，+∞)上为增函数，f(2)=1，且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x-2)≤3.14. 判断函数上的单调性，并证明.证明：15. 设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1，x∈R，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.解：学习成果测评基础达标一、选择题1．下面说法正确的选项( )A．函数的单调区间就是函数的定义域B．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间C．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称D．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象2．在区间上为增函数的是( )A．B．C．D．3．已知函数为偶函数，则的值是( )A. B. C. D.4．若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是( )A．B．C．D．5．如果奇函数在区间上是增函数且最大值为，那么在区间上是( )A．增函数且最小值是B．增函数且最大值是C．减函数且最大值是D．减函数且最小值是6．设是定义在上的一个函数，则函数，在上一定是( )A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数.7．下列函数中，在区间上是增函数的是( )A．B．C．D．8．函数f(x)是定义在[-6，6]上的偶函数，且在[-6，0]上是减函数，则( )A. f(3)+f(4)＞0B. f(-3)-f(2)＜0C. f(-2)+f(-5)＜0D. f(4)-f(-1)＞0二、填空题1．设奇函数的定义域为，若当时，的图象如右图，则不等式的解是____________.2．函数的值域是____________.3．已知，则函数的值域是____________.4．若函数是偶函数，则的递减区间是____________.5．函数在R上为奇函数，且，则当，____________.三、解答题1．判断一次函数反比例函数，二次函数的单调性.2．已知函数的定义域为，且同时满足下列条件：(1)是奇函数；(2)在定义域上单调递减；(3)求的取值范围.3．利用函数的单调性求函数的值域；4．已知函数.①当时，求函数的最大值和最小值；②求实数的取值范围，使在区间上是单调函数.能力提升一、选择题1．下列判断正确的是( )A．函数是奇函数B．函数是偶函数C．函数是非奇非偶函数D．函数既是奇函数又是偶函数2．若函数在上是单调函数，则的取值范围是( )A．B．C．D．3．函数的值域为( )A．B．C．D．4．已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是( )A．B．C．D．5．下列四个命题：(1)函数在时是增函数，也是增函数，所以是增函数；(2)若函数与轴没有交点，则且；(3)的递增区间为；(4) 和表示相等函数.其中正确命题的个数是( )A．B．C．D．6．定义在R上的偶函数，满足，且在区间上为递增，则( )A．B．C．D．二、填空题1．函数的单调递减区间是____________________.2．已知定义在上的奇函数，当时，，那么时，______.3．若函数在上是奇函数，则的解析式为________.4．奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为8，最小值为-1，则__________.5．若函数在上是减函数，则的取值范围为__________.三、解答题1．判断下列函数的奇偶性(1)(2)2．已知函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立，证明：(1)函数是上的减函数；(2)函数是奇函数.3．设函数与的定义域是且，是偶函数，是奇函数，且，求和的解析式.4．设为实数，函数，.(1)讨论的奇偶性；(2)求的最小值.综合探究1．已知函数，，则的奇偶性依次为( )A．偶函数，奇函数B．奇函数，偶函数C．偶函数，偶函数D．奇函数，奇函数2．若是偶函数，其定义域为，且在上是减函数，则的大小关系是( )A．＞B．＜C．D．3．已知，那么＝_____.4．若在区间上是增函数，则的取值范围是________.5．已知函数的定义域是，且满足，，如果对于，都有，(1)求；(2)解不等式.6．当时，求函数的最小值.7．已知在区间内有一最大值，求的值.8．已知函数的最大值不大于，又当，求的值. .（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
函数单调性与奇偶性教案
函数单调性与奇偶性教案章节一：函数单调性概述1.1 引入：通过生活中的实例，如购物时打折优惠、登山时的斜坡等，让学生感受单调性的概念。
1.2 单调性的定义：一般地，如果函数f(x)在某个区间上的任意两个不同自变量x1和x2（x1 < x2），都有f(x1) ≤f(x2)（或f(x1) ≥f(x2)），就称函数f(x)在这个区间上是单调不降（或单调不增）的。
如果f(x1) > f(x2)，函数f(x)是单调递减的；如果f(x1) < f(x2)，函数f(x)是单调递增的。
1.3 单调性的性质：单调性是函数的一种重要性质，它与函数的极值、最值等概念密切相关。
章节二：常见函数的单调性2.1 线性函数的单调性：y = kx + b（k≠0），当k>0时，函数单调递增；当k<0时，函数单调递减。
2.2 反比例函数的单调性：y = k/x（k≠0），当k>0时，函数在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减；当k<0时，函数在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递增。
2.3 二次函数的单调性：y = ax^2 + bx + c（a≠0），当a>0时，函数在顶点左侧单调递减，在顶点右侧单调递增；当a<0时，函数在顶点左侧单调递增，在顶点右侧单调递减。
章节三：函数奇偶性的概念3.1 奇偶性的定义：如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x) = f(x)，称函数f(x)为偶函数；如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x) = -f(x)，称函数f(x)为奇函数。
3.2 奇偶性的性质：奇函数满足f(-x) = -f(x)，偶函数满足f(-x) = f(x)。
奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
章节四：常见函数的奇偶性4.1 线性函数的奇偶性：y = kx + b（k≠0），既不是奇函数也不是偶函数。
4.2 反比例函数的奇偶性：y = k/x（k≠0），为奇函数。
函数单调性与奇偶性教案
函数单调性与奇偶性教案一、教学目标1. 理解函数单调性的概念，能够判断简单函数的单调性。
2. 理解函数奇偶性的概念，能够判断简单函数的奇偶性。
3. 掌握函数单调性和奇偶性的判定方法，能够运用单调性和奇偶性解决实际问题。
二、教学内容1. 函数单调性的定义和判断方法。
2. 函数奇偶性的定义和判断方法。
3. 单调性和奇偶性在实际问题中的应用。
三、教学重点1. 函数单调性的判断方法。
2. 函数奇偶性的判断方法。
3. 单调性和奇偶性在实际问题中的应用。
四、教学难点1. 理解函数单调性的概念，能够判断复杂函数的单调性。
2. 理解函数奇偶性的概念，能够判断复杂函数的奇偶性。
五、教学方法1. 采用讲授法，讲解函数单调性和奇偶性的定义及判断方法。
2. 采用案例分析法，分析实际问题中的单调性和奇偶性。
3. 采用讨论法，引导学生探讨单调性和奇偶性的应用。
【教学内容】1. 函数单调性的定义和判断方法。
2. 函数奇偶性的定义和判断方法。
3. 单调性和奇偶性在实际问题中的应用。
【教学过程】1. 引入：通过生活中的实例，引导学生思考函数的单调性和奇偶性。
2. 讲解：详细讲解函数单调性和奇偶性的定义及判断方法。
3. 案例分析：分析实际问题中的单调性和奇偶性。
4. 练习：让学生独立判断一些简单函数的单调性和奇偶性。
5. 总结：归纳总结本节课的主要内容和知识点。
【课后作业】3. 运用单调性和奇偶性解决实际问题：某商品打折后的价格与原价之间的关系为p(x) = 0.8x，求打折后价格与原价之间的关系。
六、教学评估1. 通过课堂练习和课后作业，评估学生对函数单调性和奇偶性的理解和掌握程度。
2. 通过小组讨论和问题解答，评估学生运用单调性和奇偶性解决实际问题的能力。
七、教学反思1. 反思教学方法的有效性，根据学生的反馈和学习情况，调整教学策略。
2. 反思教学内容的难易程度，确保学生能够逐步理解和掌握函数单调性和奇偶性的概念及应用。
八、拓展与延伸1. 探讨函数单调性和奇偶性在更高维度函数中的应用。
函数的基本性质教案
函数的基本性质教案一、教学目标1. 了解函数的定义及其基本性质，理解函数的概念。
2. 掌握函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 函数的定义及表示方法2. 函数的单调性3. 函数的奇偶性4. 函数的周期性5. 实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的基本性质，包括单调性、奇偶性、周期性。
2. 教学难点：函数性质的证明和应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解函数的基本性质及其证明方法。
2. 利用例题，展示函数性质在实际问题中的应用。
3. 引导学生进行小组讨论，培养学生的合作能力。
4. 利用信息技术辅助教学，提高教学效果。
五、教学过程1. 引入新课：通过复习初中阶段的知识，如一次函数、二次函数的性质，引出高中阶段函数的基本性质。
2. 讲解函数的定义及表示方法，让学生理解函数的概念。
3. 讲解函数的单调性，引导学生掌握单调性的证明方法，并通过例题展示单调性在实际问题中的应用。
4. 讲解函数的奇偶性，引导学生掌握奇偶性的证明方法，并通过例题展示奇偶性在实际问题中的应用。
5. 讲解函数的周期性，引导学生掌握周期性的证明方法，并通过例题展示周期性在实际问题中的应用。
6. 课堂练习：布置有关函数基本性质的练习题，让学生巩固所学知识。
7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调函数基本性质的重要性。
8. 布置作业：布置有关函数基本性质的作业，让学生进一步巩固所学知识。
9. 课后反思：根据学生的课堂表现和作业完成情况，对教学进行反思，为下一步教学做好准备。
10. 教学评价：通过课堂表现、作业完成情况和课后反馈，对学生的学习情况进行评价，为后续教学提供参考。
六、教学评价1. 学生能够准确地描述函数的基本性质，包括单调性、奇偶性和周期性。
2. 学生能够理解并应用函数的基本性质解决实际问题。
3. 学生能够通过实例展示对函数性质的理解，并能够进行简单的证明。
数学教案-函数单调性与奇偶性
数学教案－函数单调性与奇偶性教案名称：函数单调性与奇偶性教案目标：1. 理解函数的单调性及其在数学问题中的应用2. 理解函数的奇偶性及其在数学问题中的应用3. 能够通过求导或利用函数定义来确定函数的单调性和奇偶性4. 能够将单调性和奇偶性应用于实际数学问题的解决过程中教学重点：1. 函数的单调性：递增函数、递减函数、严格递增函数、严格递减函数2. 函数的奇偶性：奇函数、偶函数、周期函数教学准备：1. 面向学生的教学材料和练习题2. 计算器或电脑上的函数绘图软件3. 板书和彩色粉笔或幻灯片和投影仪教学过程：1. 引入：- 介绍函数的概念和函数的图像、图像的对称性- 提问学生：如何判断一个函数在某个区间上是递增还是递减的？如何判断一个函数是奇函数还是偶函数？2. 函数的单调性：- 介绍递增函数和递减函数的概念，并通过图像和实例来帮助学生理解- 引导学生发现关于递增函数和递减函数的性质，如导数的符号等- 给出一些函数的图像，让学生判断其在某个区间上是递增还是递减的，并解释原因- 给出一些函数，让学生求其导数并分析导数的符号来判断函数的单调性- 给学生一些练习题来检查他们对递增函数和递减函数的理解程度3. 函数的奇偶性：- 介绍奇函数和偶函数的概念，并通过图像和实例来帮助学生理解- 引导学生发现关于奇函数和偶函数的性质，如函数关于原点对称等- 给出一些函数的图像，让学生判断其是奇函数还是偶函数，并解释原因- 给出一些函数，让学生代入自变量的负值或正值来判断函数的奇偶性- 给学生一些练习题来检查他们对奇函数和偶函数的理解程度4. 应用实例：- 结合实际数学问题，例如最值问题、平均值问题等，让学生运用函数的单调性和奇偶性来解决问题- 给学生一些练习题或课堂小组活动，让他们运用所学知识解决具体问题5. 总结：- 总结函数的单调性和奇偶性的定义和性质- 让学生回顾并分享他们在学习过程中的困惑和收获教学延伸：1. 引入导数的概念，让学生了解函数单调性与导数的关系，进一步扩展对函数单调性的讨论和应用。
函数单调性与奇偶性教案
函数单调性与奇偶性教案章节一：函数的单调性教学目标：1. 理解函数单调性的概念；2. 学会判断函数的单调性；3. 学会利用函数的单调性解决实际问题。
教学内容：1. 函数单调性的定义；2. 函数单调性的判断方法；3. 函数单调性在实际问题中的应用。
教学活动：1. 引入函数单调性的概念，引导学生理解函数单调性的含义；2. 通过例题讲解，让学生学会判断函数的单调性；3. 布置练习题，让学生巩固函数单调性的判断方法；4. 结合实际问题，让学生学会利用函数的单调性解决问题。
章节二：函数的奇偶性教学目标：1. 理解函数奇偶性的概念；2. 学会判断函数的奇偶性；3. 学会利用函数的奇偶性解决实际问题。
教学内容：1. 函数奇偶性的定义；2. 函数奇偶性的判断方法；3. 函数奇偶性在实际问题中的应用。
教学活动：1. 引入函数奇偶性的概念，引导学生理解函数奇偶性的含义；2. 通过例题讲解，让学生学会判断函数的奇偶性；3. 布置练习题，让学生巩固函数奇偶性的判断方法；4. 结合实际问题，让学生学会利用函数的奇偶性解决问题。
章节三：函数单调性与奇偶性的关系教学目标：1. 理解函数单调性与奇偶性之间的关系；2. 学会利用函数单调性与奇偶性之间的关系解决实际问题。
教学内容：1. 函数单调性与奇偶性之间的关系；2. 利用函数单调性与奇偶性之间的关系解决实际问题。
教学活动：1. 引导学生理解函数单调性与奇偶性之间的关系；2. 通过例题讲解，让学生学会利用函数单调性与奇偶性之间的关系解决实际问题；3. 布置练习题，让学生巩固函数单调性与奇偶性之间的关系；4. 结合实际问题，让学生学会利用函数单调性与奇偶性之间的关系解决问题。
章节四：常见函数的单调性与奇偶性教学目标：1. 学会判断常见函数的单调性与奇偶性；2. 学会利用常见函数的单调性与奇偶性解决实际问题。
教学内容：1. 常见函数的单调性与奇偶性；2. 利用常见函数的单调性与奇偶性解决实际问题。
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函数单调性与奇偶性
教学目标
1.了解函数的单调性和奇偶性的概念,掌握有关证明和判断的基本方法.
(1)了解并区分增函数,减函数,单调性,单调区间,奇函数,偶函数等概念.
(2)能从数和形两个角度认识单调性和奇偶性.
(3)能借助图象判断一些函数的单调性,能利用定义证明某些函数的单调性;能用定义判断某些函数的奇偶性,并能利用奇偶性简化一些函数图象的绘制过程.
2.通过函数单调性的证明,提高学生在代数方面的推理论证能力;通过函数奇偶性概念的形成过程,培养学生的观察,归纳,抽象的能力,同时渗透数形结合,从特殊到一般的数学思想.
3.通过对函数单调性和奇偶性的理论研究,增学生对数学美的体验,培养乐于求索的精神,形成科学,严谨的研究态度.
教学建议
一、知识结构
（1）函数单调性的概念。
包括增函数、减函数的定义，单调区间的概念函数的单调性的判定方法，函数单调性与函数图像的关系.
（2）函数奇偶性的概念。
包括奇函数、偶函数的定义，函数奇偶性的判定方法，奇函数、偶函数的图像.
二、重点难点分析
(1)本节教学的重点是函数的单调性,奇偶性概念的
形成与认识.教学的难点是领悟函数单调性,奇偶性的本质,掌握单调性的证明.
(2)函数的单调性这一性质学生在初中所学函数中曾
经了解过,但只是从图象上直观观察图象的上升与下降,
而现在要求把它上升到理论的高度,用准确的数学语言去
刻画它.这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高
一的学生来说是比较困难的,因此要在概念的形成上重点
下功夫.单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的
代数论证内容,学生在代数论证推理方面的能力是比较弱的,许多学生甚至还搞不清什么是代数证明,也没有意识
到它的重要性,所以单调性的证明自然就是教学中的难点.
三、教法建议
（1）函数单调性概念引入时,可以先从学生熟悉的一
次函数,,二次函数.反比例函数图象出发,回忆图象的增
减性,从这点感性认识出发,通过问题逐步向抽象的定义
靠拢.如可以设计这样的问题:图象怎么就升上去了?可以
从点的坐标的角度,也可以从自变量与函数值的关系的角
度来解释,引导学生发现自变量与函数值的的变化规律,
再把这种规律用数学语言表示出来.在这个过程中对一些关键的词语(某个区间,任意,都有)的理解与必要性的认识就可以融入其中,将概念的形成与认识结合起来.
（2）函数单调性证明的步骤是严格规定的,要让学生按照步骤去做,就必须让他们明确每一步的必要性,每一步的目的,特别是在第三步变形时,让学生明确变换的目标,到什么程度就可以断号,在例题的选择上应有不同的变换目标为选题的标准,以便帮助学生总结规律.
函数的奇偶性概念引入时,可设计一个课件,以的图象为例,让自变量互为相反数,观察对应的函数值的变化规律,先从具体数值开始,逐渐让在数轴上动起来,观察任意性,再让学生把看到的用数学表达式写出来.经历了这样的过程,再得到等式时,就比较容易体会它代表的是无数多个等式,是个恒等式.关于定义域关于原点对称的问题,也可借助课件将函数图象进行多次改动,帮助学生发现定义域的对称性,同时还可以借助图象(如)说明定义域关于原点对称只是函数具备奇偶性的必要条件而不是充分条件.
函数的奇偶性教学设计方案
教学目标
1.使学生了解奇偶性的概念,回会利用定义判断简单函数的奇偶性.
2.在奇偶性概念形成过程中,培养学生的观察,归纳能力,同时渗透数形结合和特殊到一般的思想方法.
3.在学生感受数学美的同时,激发学习的兴趣,培养学生乐于求索的精神.
教学重点,难点
重点是奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断
难点是对概念的认识
教学用具
投影仪,计算机
教学方法
引导发现法
教学过程
一.引入新课
前面我们已经研究了函数的单调性,它是反映函数在某一个区间上函数值随自变量变化而变化的性质,今天我们继续研究函数的另一个性质.从什么角度呢?将从对称的角度来研究函数的性质.
对称我们大家都很熟悉,在生活中有很多对称,在数学中也能发现很多对称的问题,大家回忆一下在我们所学的内容中,特别是函数中有没有对称问题呢?
(学生可能会举出一些数值上的对称问题,等,也可能会举出一些图象的对称问题,此时教师可以引导学生把函
数具体化,如和等.)
结合图象提出这些对称是我们在初中研究的关于轴对称和关于原点对称问题,而我们还曾研究过关于轴对称的问题,你们举的例子中还没有这样的,能举出一个函数图象关于轴对称的吗?
学生经过思考,能找出原因,由于函数是映射,一个只能对一个,而不能有两个不同的,故函数的图象不可能关于轴对称.最终提出我们今天将重点研究图象关于轴对称和关于原点对称的问题,从形的特征中找出它们在数值上的规律.
二.讲解新课
2.函数的奇偶性(板书)
教师从刚才的图象中选出,用计算机打出,指出这是关于轴对称的图象,然后问学生初中是怎样判断图象关于轴对称呢?(由学生回答,是利用图象的翻折后重合来判定)此时教师明确提出研究方向:今天我们将从数值角度研究图象的这种特征体现在自变量与函数值之间有何规律?
学生开始可能只会用语言去描述:自变量互为相反数,函数值相等.教师可引导学生先把它们具体化,再用数学符号表示.(借助课件演示令比较得出等式,再令,得到,详见课件的使用)进而再提出会不会在定义域内存在,使与不等呢?(可用课件帮助演示让动起来观察,发现结论,这
样的是不存在的)
从这个结论中就可以发现对定义域内任意一个,都有成立.最后让学生用完整的语言给出定义,不准确的地方教师予以提示或调整.
(1)偶函数的定义:如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么就叫做偶函数.(板书)
(给出定义后可让学生举几个例子,如等以检验一下对概念的初步认识)
提出新问题:函数图象关于原点对称,它的自变量与函数值之间的数值规律是什么呢?(同时打出或的图象让学生观察研究)
学生可类比刚才的方法,很快得出结论,再让学生给出奇函数的定义.
(2)奇函数的定义:如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么就叫做奇函数.(板书)
(由于在定义形成时已经有了一定的认识,故可以先作判断,在判断中再加深认识)
例1.判断下列函数的奇偶性(板书)
(1);(2);
(3);
;
(5);(6).
(要求学生口答,选出1-2个题说过程)
解:(1)是奇函数.(2)是偶函数.
(3),是偶函数.
前三个题做完,教师做一次小结,判断奇偶性,只需验证与之间的关系,但对你们的回答我不满意,因为题目要求是判断奇偶性而你们只回答了一半,另一半没有作答,以第(1)为例,说明怎样解决它不是偶函数的问题呢?
学生经过思考可以解决问题，指出只要举出一个反例说明与不等.如即可说明它不是偶函数.(从这个问题的解决中让学生再次认识到定义中任意性的重要) 从(4)题开始,学生的答案会有不同,可以让学生先讨论,教师再做评述.即第(4)题中表面成立的=不能经受任意性的考验,当时,由于,故不存在,更谈不上与相等了,由于任意性被破坏,所以它不能是奇偶性.
教师由此引导学生,通过刚才这个题目,你发现在判断中需要注意些什么?(若学生发现不了定义域的特征,教师可再从定义启发,在定义域中有1,就必有-1,有-2,就必有2,有,就必有,有就必有,从而发现定义域应关于原点对称,再提出定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的什么条件?
可以用(6)辅助说明充分性不成立,用(5)说明必要性成立,得出结论.
(3)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件.(板书)
由学生小结判断奇偶性的步骤之后,教师再提出新的问题:在刚才的几个函数中有是奇函数不是偶函数,有是偶函数不是奇函数,也有既不是奇函数也不是偶函数,那么有没有这样的函数,它既是奇函数也是偶函数呢?若有,举例说明.
经学生思考,可找到函数.然后继续提问:是不是具备这样性质的函数的解析式都只能写成这样呢?能证明吗?
例2.已知函数既是奇函数也是偶函数,求证:.(板书)(试由学生来完成)
证明:既是奇函数也是偶函数,
=,且,
=.
,即.
证后,教师请学生记住结论的同时,追问这样的函数应有多少个呢?学生开始可能认为只有一个,经教师提示可发现,只是解析式的特征,若改变函数的定义域,如,,,,它们显然是不同的函数,但它们都是既是奇函数也是偶函数.由上可知函数按其是否具有奇偶性可分为四类
(4)函数按其是否具有奇偶性可分为四类:(板书)
例3.判断下列函数的奇偶性(板书)
(1);(2);(3).
由学生回答,不完整之处教师补充.
解:(1)当时,为奇函数,当时,既不是奇函数也不是偶函数.
(2)当时,既是奇函数也是偶函数,当时,是偶函数.
(3)当时,于是,
当时,,于是=,
综上是奇函数.
教师小结(1)(2)注意分类讨论的使用,(3)是分段函数,当检验,并不能说明具备奇偶性,因为奇偶性是对函数整个定义域内性质的刻画,因此必须均有成立,二者缺一不可.
三.小结
1.奇偶性的概念
2.判断中注意的问题
四.作业略
五.板书设计
2.函数的奇偶性例1.例
3.
(1)偶函数定义
(2)奇函数定义
(3)定义域关于原点对称是函数例2.小结
具备奇偶性的必要条件
(4)函数按奇偶性分类分四类
探究活动
(1)定义域为的任意函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和,你能试证明之吗?
(2)判断函数在上的单调性,并加以证明.
在此基础上试利用这个函数的单调性解决下面的问题: 设为三角形的三条边,求证:.。