用凯特摆测量重力加速度

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用凯特摆测量重力加速度 (7)

实验题目:用凯特摆测量重力加速度实验目的:学习凯特摆的实验设计思想和技巧，掌握一种比较精确的测量重力加速度的方法。

实验原理:设一质量为m 的刚体，其重心G 到转轴O 的距离为h ，绕O 轴的转动惯量为I ，当摆幅很小时，刚体绕O 轴摆动的周期T 为：mgh I T π2=(1)式中g 为当地的重力加速度.设复摆绕通过重心G 的轴的转动惯量为I G ，当G 轴与O 轴平行时，有I=I G +mh 2 (2)代入式（1）得：mgh mh I T G 22+=π (3)对比单摆周期的公式gl T π2= 可得 mhmh I l G 2+=(4)，称为复摆的等效摆长。

因此只要测出周期和等效摆长便可求得重力加速度。

左图是凯特摆摆杆的示意图。

对凯特摆而言，两刀口间的距离就是该摆的等效摆长l 。

在实验中当两刀口位置确定后，通过调节A 、B 、C 、D 四摆锤的位置可使正、倒悬挂时的摆动周期T 1和T 2基本相等。

由公式（3）可得12112mgh mh I T G +=π (5) 22222mgh mh I T G +=π (6)其中T 1和h 1为摆绕O 轴的摆动周期和O 轴到重心G 的距离。

当T 1≈T 2时，h 1+h 2=l即为等效摆长。

由式(5)和(6)消去I G ，可得：()22222121214222T T T T a b g l h l π+-=+=+- (7)此式中，l 、T 1、T 2都是可以精确测定的量，而h 1则不易测准。

由此可知，a 项可以精确求得，而b 项则不易精确求得。

但当T 1=T 2以及 |2h 1-l | 的值较大时，b 项的值相对a 项是非常小的，这样b 项的不精确对测量结果产生的影响就微乎其微了。

实验仪器：凯特摆、光电探头、米尺、数字测试仪。

实验内容：1、仪器调节选定两刀口间得距离即该摆得等效摆长l ，使两刀口相对摆杆基本对称，并相互平行，用米尺测出l 的值，粗略估算T 值。

初中物理凯特摆测量重力加速度

凯特摆测量重力加速度1818年凯特提出的倒摆，经雷普索里德作了改进后，成为当时测量重力加速度g 最精确的方法。

波斯坦大地测量研究所曾用五个凯特摆用了8年时间（1896-1904），测得当地的重力加速度g=(981.274±0.003)cm/s 2，许多地区的g 值都曾以此为根据。

凯特摆测量重力加速度的方法不仅在科学史上有着重要的价值，而且在实验设计上亦有值得学习的技巧。

教学目的：1. 学习凯特摆的实验设计思想和技巧。

2. 掌握一种比较精确的测量重力加速度的方法。

教学重点及难点：1. 复摆的原理2. 凯特摆的结构及原理3. 利用凯特摆测量重力加速度的方法教学内容：一．实验原理图一是复摆的示意图，设一质量为m 的刚体，其重心G 到转轴Ｏ的距离为h ，绕O 轴的转动惯量为I ，当摆幅很小时，刚体绕O 轴摆动的周期T 为mghI T π2= （1）式中g 为当地的重力加速度。

设复摆绕通过重心G 的轴的转动惯量为I G ，当G 轴与O 轴平行时，有2mh I I G += （2）代入式（1）得 mgh mh I T G 22+=π （3）对比单摆周期的公式gl T π2=，可得mh mh I l G 2+= （4）l 称为复摆的等效摆长。

因此只要测出周期和等效摆长便可求得重力加速度。

复摆的周期我们能测得非常精确，但利用mhmh I l G 2+=来确定l 是很困难的。

因为重心G 的位置不易测定，因而重心G 到悬点O 的距离h 也是难以精确测定的。

同时由于复摆不可能做成理想的、规则的形状，其密度也难绝对均匀，想精确计算I G 也是不可能的。

我们利用复摆上两点的共轭性可以精确求得l 。

在复摆重心G 的两旁，总可找到两点O 和O ’，使得该摆以O 悬点的摆动周期T 1与以O ’为悬点的摆动周期T 2相同，那么可以证明'OO 就是我们要求的等效摆长l 。

图一复摆示意图图二凯特摆摆杆示意图图二是凯特摆摆杆的示意图，对凯特摆而言，两刀口间的距离就是该摆的等效摆长l 。

凯特摆测重力加速度的讲义

用凯特摆测量重力加速度1818年Kater 设计出一种物理摆，他巧妙地利用物理摆的共轭点避免和减少了某些不易测准的物理量对实验结果的影响，提高了测量重力加速度的精度。

19世纪60年代雷普索里德对此作了改进，成为当时测重力加速度的最精确方法。

波斯坦大地测量所曾同时以五个Kater 摆花了八年时间（1896-1904）测得当地重力加速度的值g= ( 981.274 ± 0.003 ) cm / s 2 。

凯特摆测量重力加速度的方法不仅在科学史上有重要价值，而且在实验设计思想上亦有值得学习的地方。

实验原理设一质量为m 的刚体，其重心G 到转轴O 的距离为h ，绕O 轴的转动惯量为I ，当摆幅很小时，刚体绕O 轴摆动的周期T 为：mghIT π2= (1)式中g 为当地的重力加速度.设复摆绕通过重心G 的轴的转动惯量为I G ，当G 轴与O 轴平行时，有I=I G +mh 2(2)代入式（1）得：mghmh I T G 22+=π(3)对比单摆周期的公式gl T π2= 可得mhmh I l G 2+=(4)称为复摆的等效摆长。

因此只要测出周期和等效摆长便可求得重力加速度。

上图是凯特摆摆杆的示意图。

对凯特摆而言，两刀口间的距离就是该摆的等效摆长l 。

在实验中当两刀口位置确定后，通过调节A 、B 、C 、D 四摆锤的位置可使正、倒悬挂时的摆动周期T 1和T 2基本相等。

由公式（3）可得12112mgh mh I T G +=π(5)22222mgh mh I T G +=π(6)其中T 1和h 1为摆绕O 轴的摆动周期和O 轴到重心G 的距离。

当T 1≈T 2时，h 1+h 2=l 即为等效摆长。

由式(5)和(6)消去I G ，可得：()l h T T l T T g --++=12221222122224π (7)此式中，l 、T 1、T 2都是可以精确测定的量，而h 1则不易测准。

由此可知，a 项可以精确求得，而b 项则不易精确求得。

用凯特摆测量重力加速度实验报告 (7)

用凯特摆测量重力加速度化学物理系04级龚晓李PB042060022005-12-5实验目的：学习凯特摆的实验设计思想和技巧，掌握一种比较精确的测量重力加速度的方法。

实验原理：1、当摆幅很小时，刚体绕O轴摆动的周期：刚体质量m，重心G到转轴O的距离h，绕O轴的转动惯量I，复摆绕通过重心G的转轴的转动惯量为I G 。

当G轴与O轴平行时，有I=I G+mh2∴∴复摆的等效摆长l=( I G+mh2 )/mh2、利用复摆的共轭性：在复摆重心G旁，存在两点O和O´，可使该摆以O为悬点的摆动周期T₁与以O´为悬点的摆动周期T₂相同，可证得|OO´|=l，可精确求得l。

3、对于凯特摆，两刀口间距就是l，可通过调节A、B、C、D四摆锤得位置使正、倒悬挂时得摆动周期T₁≈T₂。

∴4π²/g=(T₁²+T₂²)/2l + (T₁²-T₂²)/2(2h₁-l) = a + b实验仪器：凯特摆、光电探头、米尺、数字测试仪。

实验内容：1、仪器调节选定两刀口间得距离即该摆得等效摆长l，使两刀口相对摆杆基本对称，并相互平行，用米尺测出l的值，粗略估算T值。

将摆杆悬挂到支架上水平的V形刀承上，调节底座上的螺丝，借助于铅垂线，使摆杆能在铅垂面内自由摆动，倒挂也如此。

将光电探头放在摆杆下方，让摆针在摆动时经过光电探测器。

让摆杆作小角度摆动，待稳定后，按下reset钮，则测试仪开始自动记录一个周期的时间。

2、测量摆动周期T₁和T₂调整四个摆锤的位置，使T₁和T₂逐渐靠近，差值小于0.001s，测量正、倒摆动10个周期的时间10T₁和10T₂各测5次取平均值。

3、计算重力加速度g及其标准误差σg 。

将摆杆从刀承上取下，平放在刀口上，使其平衡，平衡点即重心G。

测出|GO|即h₁，代入公式计算g。

推导误差传递公式计算σg 。

实验数据处理：1、l的值l=⅓(l₁+l₂+l₃)=74.17cmσ＝0.03055cm，u A =σ/=0.01764cm，∴ΔA ＝t P·u A =1.32*0.01764=0.02328cmu B=ΔB /C=0.1/3=0.03333cm∴u L ==0.04066cmT e ==1.729s2、T₁和T₂的值T₁＝1.72746sσ＝2.525*10¯⁴s，u A =σ/=1.129*10¯⁴s∴ΔA ＝t P·u A =1.14*0.0001129=1.287*10¯⁴su B=ΔB /C=0.0001/3=0.3333*10¯⁴s∴u T1 ==1.329*10¯⁴sT₂=1.72751sσ＝1.469*10¯⁴s，u A =σ/=0.6570*10¯⁴s∴ΔA ＝t P·u A =1.14*0.00006570=0.7489*10¯⁴su B=ΔB /C=0.0001/3=0.3333*10¯⁴s∴u T2 ==0.8197*10¯⁴s3、重力加速度gh₁=44.46cm∴g=4π²/[(T₁²+T₂²)/2l + (T₁²-T₂²)/2(2h₁-l)]=4π²/{(1.72746²+1.72751²)/(2*74.17*10¯²)+(1.72746²-1.72751²)/[2*(2*44.46*10¯²-74.17*10¯²)]}=9.813m/s²∴u g0.68 =g·{l¯²* u L²+[2 T₁/(T₁²+T₂²)]²·u T1²+[2 T₂/(T₁²+T₂²)]²·u T2²}=9.813*{(74.17*10¯²)¯²*(0.04066*10¯²)²+[2*1.72746/(1.72746²+1.72751²)]²*(1.329*10¯⁴)²+[2*1.72751/(1.72746²+1.72751²)]²*(0.8197*10¯⁴)²}=0.00545m/s²∴u g0.95 =2* u g0.68 =0.011 m/s²∴g=(9.813±0.011) m/s² P=0.95思考题：1、凯特摆测重力加速度，在实验设计上有什么特点？避免了什么量的测量？降低了哪个量的测量精度？实验上如何来实现?答：凯特摆测重力加速度在实验设计上把不可测的量转换成可测的量，利用复摆上两点的共轭性，对难以精确测定的量，有些避免了对其的测量，不能避免的则降低了其测量精度。

用凯特摆测量重力加速度 (4)

实验报告 87姓名:竺贵强学号:PB07210017 系别：0706 实验题目:用凯特摆测量重力加速度实验目的:1．学习凯特摆的实验设计思想和技巧2．掌握一种比较精确的测量重力加速度的方法实验内容:1. 仪器调节调平支架:让摆杆做小角度摆动，记录一个周期的时间，反复测量，并调节支架的底座，直到多次测量的一个周期误差在0.001秒之内。

2. 测量摆动周期1T 和2T求出平均值为 mm l 5.7443== 根据gl T π2=粗略估算出 s T 7318.18.97445.02=⨯⨯=π 调节四个摆锤的位置，使正挂的摆动周期1T 和倒挂的摆动周期2T 逐渐靠近，一般粗调用大摆锤，微调用小摆锤，当1T 和2T 接近估计值时，最好移动小摆锤，使1T 和2T 的差值小于0.001s.当周期的调节达到要求后,分别测量5次的101T 和10g (Ⅰ)计算l, 1h ,1T 和2T 的平均值和不确定度 (1)已求出l 的平均值 mm l 5.744=l 的A 类不确定度为 mm l l l u i i A 17.0)13(3)()(312=-⨯-=∑= 查表得卷尺的仪∆=0.8mm, 683.0t =1.32, p k =1, C=3由22683.0683.0)/()(C k u t U p A 仪∆+=得mm l U 3.0)3/8.01()17.032.1()(22683.0=⨯+⨯=所以 mm l )3.05.744(±= P=0.683(2)求出1h 的平均值 mm h 5.45933.4598.4595.4591=++=1h 的A 类不确定度为 mm h h h u i i A 15.0)13(3)()(312111=-⨯-=∑=查表得卷尺的仪∆=0.8mm, 683.0t =1.32, p k =1, C=3由22683.0683.0)/()(C k u t U p A 仪∆+=得 mm h U 3.0)3/8.01()15.032.1()(221683.0=⨯+⨯=所以 mm h )3.05.459(1±= P=0.683(3)求出1T 的平均值 s T T i 74055.11010515111==∑=1T 的A 类不确定度为 s T T T u i i A 00014.0)15(5)()(512111=-⨯-=∑=取仪∆=0, 查表得 683.0t =1.14,由A u t U 683.0683.0=得s T U 00016.000014.014.1)(1683.0=⨯=所以 s T )00016.074055.1(1±= P=0.683(4)求出2T 的平均值 s T T i 73990.11010515122==∑=2T 的A 类不确定度为 s T T T u i i A 00011.0)15(5)()(512222=-⨯-=∑=取仪∆=0, 查表得 683.0t =1.14,由A u t U 683.0683.0=得s T U 00012.000011.014.1)(2683.0=⨯=所以 s T )00012.073990.1(2±= P=0.683(Ⅱ)计算g 及其不确定度已知b a l h T T l T T g +=--++=)2(2241222122212π(1)由l T T a 22221+=得 21220677.47445.0273990.174055.1s m a -=⨯+=下面求a 的不确定度传递公式：两边取对数 2ln ln )ln(ln 2221--+=l T T a求微分 dl l dT T T T dT T T T da a 1221222212122211-+++= 系数去绝对值并改成不确定度符号，最后写成不确定度传递公式为 2222212222211)1()2()2(21l T T a U l U T T T U T T T a U ++++= 带入数值可求求得a 的不确定度为2222222683.0)0003.07445.01()00012.073990.174055.173990.12()00016.073990.174055.174055.12(0677.4)(⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=a U 2-10.0017m s =所以 2-10.0017)m 0677.4(s a ±= P=0.683(2)由)2(212221l h T T b --=得 21220065.0)7445.04595.02(273990.174055.1s m b -=-⨯-= (3)比较a 和b 的大小,%15.0%100=⨯ab ,可见b 与a 相比,b 项可以忽略不计,从而可由a lT T g =+=2422212π求得a g 24π= 229.708m/s 0677.44==πg 再求g 的不确定度传递公式两边取对数 a g ln 4ln ln 2-=π求微分 da adg g 11-= 系数去绝对值并改成不确定度符号，最后写成不确定度传递公式为 a g U ag U = 带入数值可求的g 的不确定度为 2683.0/004.00017.00677.4708.9)(s m g U =⨯= 所以 20.004)m /s 9.708(±=g P=0.683误差分析：1. 使用米尺测量长度,误差太大;2. 在实验过程中支架底座很难调平,从而造成每个周期之间会有偏差;3. 实验中的偶然因素(比如振动)会造成周期的变化;4. 实验中发现凯特摆的周期与振幅有一定关系,从而每次的振幅不同也会造成周期的不同5. 在实验过程中，可能会形成不易察觉的锥面摆6. 从数据果看出，测得的十个周期数据并不理想，在调节时，两个周期分别为1.74005和1.74003，但在测量十个周期时周期的偏差比较大，可能是由于等待稳定的时间选的不好，导致周期有偏差改进方法：先测量一个周期，当稳定后，再迅速调到十个周期的档测量（这样能保证摆动已经稳定）。

凯特摆测量重力加速度

凯特摆测量重力加速度1818年凯特提出的倒摆，经雷普索里德作了改进后，成为当时测量重力加速度g 最精确的方法。

波斯坦大地测量研究所曾用五个凯特摆用了8年时间（1896-1904），测得当地的重力加速度g=(981.274±0.003)cm/s 2，许多地区的g 值都曾以此为根据。

凯特摆测量重力加速度的方法不仅在科学史上有着重要的价值，而且在实验设计上亦有值得学习的技巧。

教学目的：1. 学习凯特摆的实验设计思想和技巧。

2. 掌握一种比较精确的测量重力加速度的方法。

设复摆绕通过重心G 的轴的转动惯量为I G ，当G 轴与O 轴平行时，有2mhI I G += （2）代入式（1）得mghmh I T G 22+=π（3）对比单摆周期的公式gl T π2=，可得mhl G =（4）l 称为复摆的等效摆长。

因此只要测出周期和等效摆长便可求得重力加速度。

复摆的周期我们能测得非常精确，但利用mhmh I l G 2+=来确定l 是很困难的。

因为重心G 的位置不易测定，因而重心G 到悬点O 的距离h 也是难以精确测定的。

同时由于复摆不可能做成理想的、规则的形状，其密度也难绝对均匀，想精确计算I G 也是不可能的。

我们利用复摆上两点的共轭性可以精确求得l 。

图一复摆示意图图二凯特摆摆杆示意图图二是凯特摆摆杆的示意图，对凯特摆而言，两刀口间的距离就是该摆的等效摆长l 。

用凯特摆测量重力加速度

实验仪器：凯特摆，米尺，光电探头，数字测试仪.实验内容：1.估算T 值，调节仪器，使 T 1 T 2 0 001s ;2.测量摆动周期T 1和T 2 ;3.计算重力加速度g 及不确定度u g .数据处理：1. T 1所有的都在区间内，数据有效.所用数字测试仪估，仪，仪取C= ,,,，2.T2同上, ,，3.l钢尺，取∆估=0.1mm，∆仪=1.2mm，可忽略∆估，则仪. 米尺，误差正态分布，取C=3，，4.h1同上，为0.00040m，5.计算g及U g其中确实有b，在计算不确定度中可以忽略.，，，误差分析：系统误差的来源有，空气阻力对摆的阻碍作用，部分光电探头测出的周期不为一个周期，实验时需要注意；接触线粗糙程度不同产生摩擦阻碍作用，以及钢尺部分已有弯曲.操作误差有，测量l与h1时不能精确地测得，使用钢尺时不能很好地接触测量，读数时有误差；对重心的判断可有mm数量级的差别；摆动时要避免形成圆锥摆.要注意让光电探头对准小孔.思考题:1.利用共轭性质精确地求得了等效摆长l，避免了对转动惯量的测量或计算，降低了h1的测量精度.实验上通过调节摆锤使T1与T2逐渐接近，近似达到共轭条件，较精确地测量周期来实现.2.影响因素主要有T的测量精确度，l的精确度.实验地纬度为北纬31.52°，查得北纬31.20°处g为9.7940,与实验值相比，误差仅略大于0.01%，说明凯特摆法测g值是较准确的.3.周期和摆角的关系：V形刀承至底端尖端距离s=84.28cm 摆角对实验数据进行简单处理，有：在测量范围内，周期是随摆角增加而增加的，当摆角更大时，凯特摆易形成圆锥摆，测量时发现周期反而减小了.如果不考虑圆锥摆现象，周期会随着摆角增加而增加.。

凯特摆测量重力加速度实验报告

凯特摆测量重力加速度实验报告一、实验目的本实验旨在利用凯特摆测量当地的重力加速度，加深对摆动规律和物理原理的理解，并通过实验操作提高实验技能和数据处理能力。

二、实验原理凯特摆是一种特殊的物理摆，由两个质量不同但长度相等的摆杆组成。

通过调节摆杆上的两个质量块，可以使凯特摆的摆动周期与摆长之间呈现特定的关系。

根据物理摆的周期公式：＄T ＝ 2\pi\sqrt{＼frac{I}｛mgd}｝＄，其中$T$为摆动周期，＄I$为转动惯量，＄m$为摆的质量，＄g$为重力加速度，＄d$为摆的质心到转动轴的距离。

对于凯特摆，通过合理设计其结构，可以得到一个较为简单的周期与摆长的关系式：＄T ＝ A\sqrt{L ＋ B}＄，其中$A$和$B$为常数，＄L$为凯特摆的等效摆长。

通过测量不同摆长下凯特摆的摆动周期，然后进行数据拟合，即可求得重力加速度$g$的值。

三、实验仪器凯特摆装置、光电门、计数器、米尺、游标卡尺、天平。

四、实验步骤1、调节凯特摆的两个质量块，使其重心位于摆杆的中心线上。

2、用米尺测量凯特摆的摆杆长度$l$，用游标卡尺测量摆杆的直径$d$，多次测量取平均值。

3、用天平测量凯特摆的质量$m$。

4、将光电门安装在合适的位置，使其能够准确测量凯特摆的摆动周期。

5、选择不同的摆长$L$，从较小的值开始逐渐增加，每次增加一定的长度。

6、让凯特摆摆动，通过光电门和计数器测量每个摆长下的摆动周期$T$，每个摆长测量多次，取平均值以减小误差。

五、实验数据记录与处理｜摆长＄L$ （m) ｜摆动周期＄T$ （s) ｜周期平方＄T^2$ （s²) ｜｜｜｜｜｜ 050 ｜ 141 ｜ 19881 ｜｜ 060 ｜ 158 ｜ 24964 ｜｜ 070 ｜ 172 ｜ 29584 ｜｜ 080 ｜ 185 ｜ 34225 ｜｜ 090 ｜ 198 ｜ 39204 ｜｜ 100 ｜ 210 ｜ 441 ｜以摆长$L$为横坐标，周期平方$T^2$为纵坐标，绘制散点图。

用凯特摆测量重力加速度2

实验内容：用凯特摆测量重力加速度实验目的：学习凯特摆的实验设计思想和技巧，掌握一种比较精确的测量重力加速度的法实验原理：设一质量为m 的刚体，其重心G 到转轴O 的距离为h ，绕O 轴的转动惯量为I ，当摆幅很小期T 为：时，刚体绕O 轴摆动的周期：mghI T π2= (1)式中g 为当地的重力加速度.设复摆绕通过重心G 的轴的转动惯量为I G ，当G 轴与O 轴平行时，有I=I G +mh 2 (2)代入式（1）得：mghmh I T G 22+=π(3)对比单摆周期的公式gl T π2= 可得：mhmh I l G 2+=(4)称为复摆的等效摆长。

因此只要测出周期和等效摆长便可求得重力加速度。

上图是凯特摆摆杆的示意图。

对凯特摆而言，两刀口间的距离就是该摆的等效摆长l。

在实验中当两刀口位置确定后，通过调节A、B、C、D四摆锤的位置可使正、倒悬挂时的摆动周期T1和T2基本相等。

由公式（3）可得12 112mghmhIT G +=π(5)22 222mghmhIT G +=π(6)其中T1和h1为摆绕O轴的摆动周期和O轴到重心G的距离。

当T1≈T2时，h1+h2=l即为等效摆长。

由式(5)和(6)消去I G，可得：()l h T T l T T g --++=12221222122224π=a+b (7)此式中，l 、T 1、T 2都是可以精确测定的量，而h 1则不易测准。

由此可知，a 项可以精确求得，而b 项则不易精确求得。

但当T 1=T 2以及 |2h 1-l | 的值较大时，b 项的值相对a 项是非常小的，这样b 项的不精确对测量结果产生的影响就微乎其微了。

实验器材：凯特摆，光电探头，米尺，VAFN 多用数字测试仪实验步骤：1．将凯特摆二大圆柱二小圆柱置对称，使之有最大调节范围。

2．测量二刀口距离L （3次），用2T =估算（g=9.8m/s 2）。

3．调节凯特摆质量分布，使120.001t t s -≤ 4．测出10T 1，10T 2（各5次）5．计算G 及其不确定度。

用凯特摆测量重力加速度实验报告

用凯特摆测量重力加速度实验目的：学习凯特摆的实验设计思想和技巧，掌握一种比较精确的测量重力加速度的方法。

实验原理：1、当摆幅很小时，刚体绕O轴摆动的周期：刚体质量m，重心G到转轴O的距离h，绕O轴的转动惯量I，复。

摆绕通过重心G的转轴的转动惯量为IG当G轴与O轴平行时，有I=I+mh2G∴+mh2 )/mh∴复摆的等效摆长l=( IG2、利用复摆的共轭性：在复摆重心G旁，存在两点O和O´，可使该摆以O为悬点的摆动周期T₁与以O´为悬点的摆动周期T₂相同，可证得|OO´|=l，可精确求得l。

3、对于凯特摆，两刀口间距就是l，可通过调节A、B、C、D四摆锤得位置使正、倒悬挂时得摆动周期T₁≈T₂。

∴4π²/g=(T₁²+T₂²)/2l + (T₁²-T₂²)/2(2h₁-l) = a + b实验仪器：凯特摆、光电探头、米尺、数字测试仪。

实验内容：1、仪器调节选定两刀口间得距离即该摆得等效摆长l，使两刀口相对摆杆基本对称，并相互平行，用米尺测出l的值，粗略估算T值。

将摆杆悬挂到支架上水平的V形刀承上，调节底座上的螺丝，借助于铅垂线，使摆杆能在铅垂面内自由摆动，倒挂也如此。

将光电探头放在摆杆下方，让摆针在摆动时经过光电探测器。

让摆杆作小角度摆动，待稳定后，按下reset钮，则测试仪开始自动记录一个周期的时间。

2、测量摆动周期T₁和T₂调整四个摆锤的位置，使T₁和T₂逐渐靠近，差值小于0.001s，测量正、倒摆动10个周期的时间10T₁和10T₂各测5次取平均值。

3、计算重力加速度g及其标准误差σg。

将摆杆从刀承上取下，平放在刀口上，使其平衡，平衡点即重心G。

测出|GO|即h₁，代入公式计算g。

推导误差传递公式计算σg。

实验数据处理：1、l的值l=⅓(l₁+l₂+l₃)=74.17cmσ＝0.03055cm，uA=σ/=0.01764cm，∴ΔA ＝tP·uA=1.32*0.01764=0.02328cmu B=ΔB/C=0.1/3=0.03333cm∴uL==0.04066cmTe==1.729s2、T₁和T₂的值T₁＝1.72746sσ＝2.525*10¯⁴s，uA=σ/=1.129*10¯⁴s∴ΔA ＝tP·uA=1.14*0.0001129=1.287*10¯⁴su B=ΔB/C=0.0001/3=0.3333*10¯⁴s∴uT1==1.329*10¯⁴sT₂=1.72751sσ＝1.469*10¯⁴s，uA=σ/=0.6570*10¯⁴s∴ΔA ＝tP·uA=1.14*0.00006570=0.7489*10¯⁴su B=ΔB/C=0.0001/3=0.3333*10¯⁴s∴uT2==0.8197*10¯⁴s3、重力加速度gh₁=44.46cm∴g=4π²/[(T₁²+T₂²)/2l + (T₁²-T₂²)/2(2h₁-l)]=4π²/{(1.72746²+1.72751²)/(2*74.17*10¯²)+(1.72746²-1.72751²)/[2*(2*44.46*10¯²-74.17*10¯²)]} =9.813m/s²∴ug0.68 =g·{l¯²* uL²+[2 T₁/(T₁²+T₂²)]²·uT1²+[2 T₂/(T₁²+T₂²)]²·uT2²}=9.813*{(74.17*10¯²)¯²*(0.04066*10¯²)²+[2*1.72746/(1.72746²+1.72751²)]²*(1.329*10¯⁴)²+[2*1.72751/(1.72746²+1.72751²)]²*(0.8197*10¯⁴)²}=0.00545m/s²∴ug0.95 =2* ug0.68=0.011 m/s²∴g=(9.813±0.011) m/s² P=0.95思考题：1、凯特摆测重力加速度，在实验设计上有什么特点？避免了什么量的测量？降低了哪个量的测量精度？实验上如何来实现?答：凯特摆测重力加速度在实验设计上把不可测的量转换成可测的量，利用复摆上两点的共轭性，对难以精确测定的量，有些避免了对其的测量，不能避免的则降低了其测量精度。

用凯特摆测量重力加速度（4）

⽤凯特摆测量重⼒加速度（4）实验报告 87姓名:竺贵强学号:PB07210017 系别：0706 实验题⽬:⽤凯特摆测量重⼒加速度实验⽬的:1．学习凯特摆的实验设计思想和技巧2．掌握⼀种⽐较精确的测量重⼒加速度的⽅法实验内容:1. 仪器调节调平⽀架:让摆杆做⼩⾓度摆动，记录⼀个周期的时间，反复测量，并调节⽀架的底座，直到多次测量的⼀个周期误差在0.001秒之内。

2. 测量摆动周期1T 和2T求出平均值为 mm l 5.7443== 根据gl T π2=粗略估算出 s T 7318.18.97445.02=??=π调节四个摆锤的位置，使正挂的摆动周期1T 和倒挂的摆动周期2T 逐渐靠近，⼀般粗调⽤⼤摆锤，微调⽤⼩摆锤，当1T 和2T 接近估计值时，最好移动⼩摆锤，使1T 和2T 的差值⼩于0.001s.当周期的调节达到要求后,分别测量5次的101T 和10g (Ⅰ)计算l, 1h ,1T 和2T 的平均值和不确定度 (1)已求出l 的平均值 mm l 5.744=l 的A 类不确定度为 mm l l l u i i A 17.0)13(3)()(312=-?-=∑= 查表得卷尺的仪?=0.8mm, 683.0t =1.32, p k =1, C=3由22683.0683.0)/()(C k u t U p A 仪?+=得mm l U 3.0)3/8.01()17.032.1()(22683.0=?+?=所以 mm l )3.05.744(±= P=0.683(2)求出1h 的平均值 mm h 5.45933.4598.4595.4591=++=1h 的A 类不确定度为 mm h h h u i i A 15.0)13(3)()(312111=-?-=∑=查表得卷尺的仪?=0.8mm, 683.0t =1.32, p k =1, C=3由22683.0683.0)/()(C k u t U p A 仪?+=得 mm h U 3.0)3/8.01()15.032.1()(221683.0=?+?=所以 mm h )3.05.459(1±= P=0.683(3)求出1T 的平均值 s T T i 74055.11010515111==∑=1T 的A 类不确定度为 s T T T u i i A 00014.0)15(5) ()(512111=-?-=∑=取仪?=0, 查表得 683.0t =1.14,由A u t U 683.0683.0=得s T U 00016.000014.014.1)(1683.0=?=所以 s T )00016.074055.1(1±= P=0.683(4)求出2T 的平均值 s T T i 73990.11010515122==∑=2T 的A 类不确定度为 s T T T u i i A 00011.0)15(5)()(51 2222=-?-=∑=取仪?=0, 查表得 683.0t =1.14,由A u t U 683.0683.0=得s T U 00012.000011.014.1)(2683.0=?=所以 s T )00012.073990.1(2±= P=0.683(Ⅱ)计算g 及其不确定度已知b a l h T T l T T g +=--++=)2(2241222122212π(1)由l T T a 22221+=得 21220677.47445.0273990.174055.1s m a -=?+=下⾯求a 的不确定度传递公式：两边取对数 2ln ln )ln(ln 2221--+=l T T a求微分 dl l dT T T T dT T T T da a 1221222212122211-+++= 系数去绝对值并改成不确定度符号，最后写成不确定度传递公式为 2222212222211)1()2()2(21l T T a U l U T T T U T T T a U ++++= 带⼊数值可求求得a 的不确定度为2222222683.0)0003.07445.01()00012.073990.174055.173990.12()00016.073990.174055.174055.12(0677.4)(?+?+?+?+??=a U 2-10.0017m s =所以 2-10.0017)m 0677.4(s a ±= P=0.683(2)由)2(212221l h T T b --=得 21220065.0)7445.04595.02(273990.174055.1s m b -=-?-= (3)⽐较a 和b 的⼤⼩,%15.0%100=?ab ,可见b 与a 相⽐,b 项可以忽略不计,从⽽可由a lT T g =+=2422212π求得a g 24π= 229.708m/s 0677.44==πg 再求g 的不确定度传递公式两边取对数 a g ln 4ln ln 2-=π求微分 da adg g 11-= 系数去绝对值并改成不确定度符号，最后写成不确定度传递公式为 a g U ag U = 带⼊数值可求的g 的不确定度为 2683.0/004.00017.00677.4708.9)(s m g U =?= 所以 20.004)m /s 9.708(±=g P=0.683误差分析：1. 使⽤⽶尺测量长度,误差太⼤;2. 在实验过程中⽀架底座很难调平,从⽽造成每个周期之间会有偏差;3. 实验中的偶然因素(⽐如振动)会造成周期的变化;4. 实验中发现凯特摆的周期与振幅有⼀定关系,从⽽每次的振幅不同也会造成周期的不同5. 在实验过程中，可能会形成不易察觉的锥⾯摆6. 从数据果看出，测得的⼗个周期数据并不理想，在调节时，两个周期分别为1.74005和1.74003，但在测量⼗个周期时周期的偏差⽐较⼤，可能是由于等待稳定的时间选的不好，导致周期有偏差改进⽅法：先测量⼀个周期，当稳定后，再迅速调到⼗个周期的档测量（这样能保证摆动已经稳定）。

用凯特摆测量重力加速度 (14)

实验报告姓名:崔泽汉学号:PB05210079 系别:0506 座号:13 实验题目:用凯特摆测量重力加速度实验目的:学习凯特摆的实验设计思想和技巧，掌握一种比较精确的测量重力加速度的方法.实验内容:1. 仪器调节调平支架:让摆杆做小角度摆动，记录一个周期的时间，反复测量，并调节支架的底座，直到多次测量的一个周期误差在0.001秒之内。

2. 测量摆动周期1T 和2T求出平均值为 mm l 8.7473== 根据gl T π2=粗略估算出 s T 7356.18.97478.02=⨯⨯=π 调节四个摆锤的位置，使正挂的摆动周期1T 和倒挂的摆动周期2T 逐渐靠近，一般粗调用大摆锤，微调用大摆锤，当1T 和2T 接近估计值时，最好移动小摆锤，使1T 和2T 的差值小于0.001s.当周期的调节达到要求后,分别测量5次的101T 和10g (Ⅰ)计算l, 1h ,1T 和2T 的平均值和不确定度(1)已求出l 的平均值 mm l 8.747=l 的A 类不确定度为 mm l l l u i i A 09.0)13(3)()(31=-⨯-=∑= 查表得卷尺的仪∆=0.8mm, 683.0t =1.32, p k =1, C=3由22683.0683.0)/()(C k u t U p A 仪∆+=得mm l U 3.0)3/8.01()09.032.1()(22683.0=⨯+⨯= 所以 mm l )3.08.747(±= P=0.683(2)求出1h 的平均值 mm h 3.44434.4442.4444.4441=++=1h 的A 类不确定度为 mm h h h u i i A 07.0)13(3)()(31111=-⨯-=∑=查表得卷尺的仪∆=0.8mm, 683.0t =1.32, p k =1, C=3由22683.0683.0)/()(C k u t U p A 仪∆+=得 mm h U 3.0)3/8.01()07.032.1()(221683.0=⨯+⨯=所以 mm h )3.03.444(1±= P=0.683(3)求出1T 的平均值 s T T i 73689.11010515111==∑=1T 的A 类不确定度为 s T T T u i i A 00002.0)15(5)()(51111=-⨯-=∑=取仪∆=0, 查表得 683.0t =1.14,由A u t U 683.0683.0=得s T U 00002.000002.014.1)(1683.0=⨯=所以 s T )00002.073689.1(1±= P=0.683(4)求出2T 的平均值 s T T i 73674.11010515122==∑=2T 的A 类不确定度为 s T T T u i i A 00003.0)15(5)()(51222=-⨯-=∑=取仪∆=0, 查表得 683.0t =1.14,由A u t U 683.0683.0=得s T U 00003.000003.014.1)(2683.0=⨯=所以 s T )00003.073674.1(2±= P=0.683(Ⅱ)计算g 及其不确定度已知b a l h T T l T T g +=--++=)2(2241222122212π(1)由l T T a 22221+=得 21220339.47478.0273674.173689.1s m a -=⨯+=下面求a 的不确定度传递公式：两边取对数 2ln ln )ln(ln 2221--+=l T T a求微分 dl ldT T T T dT T T Tda a 1221222212122211-+++=系数去绝对值并改成不确定度符号，最后写成不确定度传递公式为 2222212222211)1()2()2(21l T T a U l U T T T U T T T a U ++++= 带入数值可求求得a 的不确定度为2222222683.0)0003.07478.01()00003.073674.173689.173674.12()00002.073674.173689.173689.12(0339.4)(⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=a U 2-10.0016m s =所以 2-10.0016)m 0339.4(s a ±= P=0.683(2)由)2(212221l h T T b --=得 21220018.0)7478.04443.02(273674.173689.1s m b -=-⨯-= (3)比较a 和b 的大小,%04.0%100=⨯ab,可见b 与a 相比,b 项可以忽略不计,从而可由a lT T g =+=2422212π求得a g 24π= 229.787m /s 0339.44==πg 再求g 的不确定度传递公式两边取对数 a g ln 4ln ln 2-=π求微分 da adg g 11-= 系数去绝对值并改成不确定度符号，最后写成不确定度传递公式为 a g U ag U = 带入数值可求的g 的不确定度为 2683.0/004.00016.00339.4787.9)(s m g U =⨯= 所以 20.004)m /s 9.787(±=g P=0.683误差分析：1. 使用米尺测量长度,误差太大;2. 在实验过程中支架底座很难调平,从而造成每个周期之间会有偏差;3. 实验中的偶然因素(比如振动)会造成周期的变化;4. 实验中发现凯特摆的周期与振幅有一定关系,从而每次的振幅不同也会造成周期的不同.思考题：1.凯特摆测重力加速度，在实验设计上有什么特点？避免了什么量的测量？降低了哪个量的测量精度？实验上如何来实现？该实验在设计中避免了一些不易直接或精确测量的量的测量,并在计算过程中利用数学技巧把这些量消去.避免了重心到悬点距离h和复摆转动惯量I的测量.G降低了周期T的测量精度.I;利用复摆的两点共轭性可以精确求得等效摆长l,而不必去测量h和G利用数字测试仪精确测10T,可精确求得周期T.2.结合误差计算，你认为影响凯特摆测g精度的主要因素是什么？将所得到的实验结果与当地的重力加速度的公认值相比较，你能得到什么结论？若有偏差是分析之。

凯特摆测重力加速度

凯特摆测重力加速度简介凯特摆是一种通过摆动的周期和长度来测量地球重力加速度的装置。

通过测量凯特摆的周期和长度之间的关系，可以计算出重力加速度的数值。

本文将介绍凯特摆的原理、实验步骤以及数据处理方法。

原理凯特摆是由一个线形摆线和一个重力体组成。

当重力体被拉向一侧释放后，由于重力的作用，重力体将开始摆动。

摆动的周期和长度的关系可以通过重力加速度公式来求得：T = 2π * √(L / g)其中，T为周期，L为摆长，g为重力加速度。

实验步骤以下是测量重力加速度的凯特摆的实验步骤：1.准备工作：确定实验场地，将凯特摆悬挂在一个固定的支撑物上。

2.在凯特摆上设置一个固定的摆长，例如 1 米。

3.将重力体拉至一侧，并释放。

4.记录重力体摆动的周期，可以使用计时器或计时器应用程序来记录摆动时间。

5.根据测得的周期和已知的摆长，使用重力加速度公式计算重力加速度的数值。

6.重复步骤 2-5，至少进行三次实验以获得可靠的结果。

7.取多次实验的平均值，计算重力加速度的最终数值。

数据处理在进行实验的过程中，我们得到了多次实验的周期和摆长数据。

为了计算重力加速度的数值，我们需要处理这些数据。

以下是数据处理的步骤：1.将周期数据转换为秒，并计算平均周期。

2.将摆长数据转换为米，并计算平均摆长。

3.使用平均摆长和平均周期，使用重力加速度公式计算重力加速度的数值。

4.使用所有实验的重力加速度数值，计算平均值并计算标准偏差，以评估实验结果的可靠性。

5.根据标准偏差的大小，判断实验结果的可靠性。

如果标准偏差较小，则实验结果较为可靠。

结论通过使用凯特摆来测量重力加速度，我们可以获得重力加速度的数值。

通过多次实验取平均值，并计算标准偏差，可以评估实验结果的可靠性。

凯特摆测重力加速度是一种简单而有效的方法，可以在物理实验中广泛应用。

凯特摆测重力加速度的讲义

19世纪60年代雷普索里德对此作了改进，成为当时测重力加速度的最精确方法。

波斯坦大地测量所曾同时以五个Kater 摆花了八年时间（1896-1904）测得当地重力加速度的值g= ( 981.274 ± 0.003 ) cm / s 2 。

凯特摆测量重力加速度的方法不仅在科学史上有重要价值，而且在实验设计思想上亦有值得学习的地方。

因此只要测出周期和等效摆长便可求得重力加速度。

上图是凯特摆摆杆的示意图。

对凯特摆而言，两刀口间的距离就是该摆的等效摆长l 。

在实验中当两刀口位置确定后，通过调节A 、B 、C 、D 四摆锤的位置可使正、倒悬挂时的摆动周期T 1和T 2基本相等。

由公式（3）可得12112mgh mh I T G +=π(5)22222mgh mh I T G +=π(6)其中T 1和h 1为摆绕O 轴的摆动周期和O 轴到重心G 的距离。

当T 1≈T 2时，h 1+h 2=l 即为等效摆长。

由式(5)和(6)消去I G ，可得：()l h T T l T T g --++=12221222122224π (7)此式中，l 、T 1、T 2都是可以精确测定的量，而h 1则不易测准。

由此可知，a 项可以精确求得，而b 项则不易精确求得。

用凯特摆测量重力加速度实验报告

用凯特摆测量重力加速度实验目的：学习凯特摆的实验设计思想和技巧，掌握一种比较精确的测量重力加速度的方法。

实验原理：1、当摆幅很小时，刚体绕O轴摆动的周期：刚体质量m，重心G到转轴O的距离h，绕O轴的转动惯量I，复。

3、对于凯特摆，两刀口间距就是l，可通过调节A、B、C、D四摆锤得位置使正、倒悬挂时得摆动周期T₁≈T₂。

∴4π²/g=(T₁²+T₂²)/2l + (T₁²-T₂²)/2(2h₁-l) = a + b实验仪器：凯特摆、光电探头、米尺、数字测试仪。

实验内容：1、仪器调节选定两刀口间得距离即该摆得等效摆长l，使两刀口相对摆杆基本对称，并相互平行，用米尺测出l的值，粗略估算T值。

将摆杆悬挂到支架上水平的V形刀承上，调节底座上的螺丝，借助于铅垂线，使摆杆能在铅垂面内自由摆动，倒挂也如此。

将光电探头放在摆杆下方，让摆针在摆动时经过光电探测器。

让摆杆作小角度摆动，待稳定后，按下reset钮，则测试仪开始自动记录一个周期的时间。

2、测量摆动周期T₁和T₂调整四个摆锤的位置，使T₁和T₂逐渐靠近，差值小于0.001s，测量正、倒摆动10个周期的时间10T₁和10T₂各测5次取平均值。

3、计算重力加速度g及其标准误差σg。

将摆杆从刀承上取下，平放在刀口上，使其平衡，平衡点即重心G。

测出|GO|即h₁，代入公式计算g。

推导误差传递公式计算σg。

实验数据处理：1、l的值l=⅓(l₁+l₂+l₃)=74.17cmσ＝0.03055cm，uA=σ/=0.01764cm，∴ΔA ＝tP·uA=1.32*0.01764=0.02328cmu B=ΔB/C=0.1/3=0.03333cm∴uL==0.04066cmTe==1.729s2、T₁和T₂的值T₁＝1.72746sσ＝2.525*10¯⁴s，uA=σ/=1.129*10¯⁴s∴ΔA ＝tP·uA=1.14*0.0001129=1.287*10¯⁴su B=ΔB/C=0.0001/3=0.3333*10¯⁴s∴uT1==1.329*10¯⁴sT₂=1.72751sσ＝1.469*10¯⁴s，uA=σ/=0.6570*10¯⁴s∴ΔA ＝tP·uA=1.14*0.00006570=0.7489*10¯⁴su B=ΔB/C=0.0001/3=0.3333*10¯⁴s∴uT2==0.8197*10¯⁴s3、重力加速度gh₁=44.46cm∴g=4π²/[(T₁²+T₂²)/2l + (T₁²-T₂²)/2(2h₁-l)]=4π²/{(1.72746²+1.72751²)/(2*74.17*10¯²)+(1.72746²-1.72751²)/[2*(2*44.46*10¯²-74.17*10¯²)]} =9.813m/s²∴ug0.68 =g·{l¯²* uL²+[2 T₁/(T₁²+T₂²)]²·uT1²+[2 T₂/(T₁²+T₂²)]²·uT2²}=9.813*{(74.17*10¯²)¯²*(0.04066*10¯²)²+[2*1.72746/(1.72746²+1.72751²)]²*(1.329*10¯⁴)²+[2*1.72751/(1.72746²+1.72751²)]²*(0.8197*10¯⁴)²}=0.00545m/s²∴ug0.95 =2* ug0.68=0.011 m/s²∴g=(9.813±0.011) m/s² P=0.95思考题：1、凯特摆测重力加速度，在实验设计上有什么特点？避免了什么量的测量？降低了哪个量的测量精度？实验上如何来实现?答：凯特摆测重力加速度在实验设计上把不可测的量转换成可测的量，利用复摆上两点的共轭性，对难以精确测定的量，有些避免了对其的测量，不能避免的则降低了其测量精度。

凯特摆测重力加速度.doc

凯特摆测重力加速度实验目的：(1)学习凯特摆的实验设计思想和技巧(2)掌握一种比较精确的测量重力加速度的方法实验仪器：凯特摆，光电探头，米尺，V AFN 多用数字测试仪实验原理：(1) 复摆：设一质量为m 的刚体，其重心G 到转轴O 的距离为h ，绕O 轴的转动惯量为I ，当摆幅很小时，刚体绕O 轴摆动的周期T 为：mghI T π2= (1)式中g 为当地的重力加速度.设复摆绕通过重心G 的轴的转动惯量为IG ，当G 轴与O 轴平行时，有I=IG+mh2(2)代入式（1）得：m g hmh I T G 22+=π(3)对比单摆周期的公式gl T π2=可得mh mh I l G 2+=(4)称为复摆的等效摆长。

因此只要测出周期和等效摆长便可求得重力加速度。

(2) 凯特摆原理：下图是凯特摆摆杆的示意图。

对凯特摆而言，两刀口间的距离就是该摆的等效摆长l 。

在实验中当两刀口位置确定后，通过调节A 、B 、C 、D 四摆锤的位置可使正、倒悬挂时的摆动周期T1和T2基本相等。

由公式（3）可得12112mgh mh I T G +=π(5)22222m g h mh I T G +=π(6)其中T1和h1为摆绕O 轴的摆动周期和O 轴到重心G 的距离。

当T1≈T2时，h1+h2=l 即为等效摆长。

由式(5)和(6)消去IG ，可得：()l h T T l T T g --++=12221222122224π(7)此式中，l 、T1、T2都是可以精确测定的量，而h1则不易测准。

由此可知，a 项可以精确求得，而b 项则不易精确求得。

但当T1=T2以及 |2h1-l| 的值较大时，b 项的值相对a 项是非常小的，这样b 项的不精确对测量结果产生的影响就微乎其微了。

实验内容：1 测量凯特摆两刀口间的距离，即为该摆的等效摆长l 。

用米尺测量三次。

2 调整悬挂凯特摆的架子，使其水平。

3 调整激光发射器和接收器，使发出的激光正好射入接收器的小孔，判断标志是此时指示灯熄灭。

用凯特摆测量重力加速度

19世纪60年代雷普索里德对此作了改进，成为当时测重力加速度的最精确方法。

波斯坦大地测量所曾同时以五个Kater 摆花了八年时间（1896-1904）测得当地重力加速度的值g= ( 981.274 ± 0.003 ) cm / s 2 。

凯特摆测量重力加速度的方法不仅在科学史上有重要价值，而且在实验设计思想上亦有值得学习的地方。

实验原理设一质量为m 的刚体，其重心G 到转轴O 的距离为h ，绕O 轴的转动惯量为I ，当摆幅很小时，刚体绕O 轴摆动的周期T 为：mghIT π2= (1)式中g 为当地的重力加速度.设复摆绕通过重心G 的轴的转动惯量为I G ，当G 轴与O 轴平行时，有I=I G +mh 2(2)代入式（1）得：mghmh I T G 22+=π(3)对比单摆周期的公式gl T π2=可得mhmh I l G 2+=(4)称为复摆的等效摆长。

因此只要测出周期和等效摆长便可求得重力加速度。

上图是凯特摆摆杆的示意图。

对凯特摆而言，两刀口间的距离就是该摆的等效摆长l 。

在实验中当两刀口位置确定后，通过调节A 、B 、C 、D 四摆锤的位置可使正、倒悬挂时的摆动周期T 1和T 2基本相等。

由公式（3）可得12112mgh mh I T G +=π(5)22222mgh mh I T G +=π(6)其中T 1和h 1为摆绕O 轴的摆动周期和O 轴到重心G 的距离。

当T 1≈T 2时，h 1+h 2=l 即为等效摆长。

由式(5)和(6)消去I G ，可得：()l h T T l T T g --++=12221222122224π (7)此式中，l 、T 1、T 2都是可以精确测定的量，而h 1则不易测准。

由此可知，a 项可以精确求得，而b 项则不易精确求得。