多元函数的极值概念、必要条件、应用例

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多元函数的极值及其求法

不是上面之一, 则称为不定矩阵.
定理设A是一个n n对称矩阵,
A正定所有顺序主子式大于0
a11 a12 L a1k
a21 a22 L a2k
MM
M
所有特征值大于0 .
ak1 ak 2 L akk
(即特征方程 | E - A | 0的根大于0)
以 2 2 矩阵为例: A a11 a12 a21 a22
证: 由二元函数的泰勒公式, 并注意
则有
若 H f (P0 )正定, 则由引理知存在m 0使得
(h, k)H f (P0)(h, k)' m2.
故对充分小的U(P0), 只要(x, y) x0 h, y0 k U(P0), 就有
f (x, y)
f ( x0 ,
y0
)
(
m 2
o(1))
设函数z f ( x, y)在点 P0 ( x0 , y0 )的某邻域U(P0 )内有一阶及二阶连续偏导数，且 P0是 f 的驻点,
则当H f (P0 )是正定矩阵时, f 在 P0取得极小值;
当H f (P0 )是负定矩阵时, f 在 P0取得极大值; 当H f (P0 )是不定矩阵时, f 在 P0不取极值.
极大值和极小值
x
例1. 已知函数
A 则( )
的某个邻域内连续, 且
(D) 根据条件无法判断点(0, 0)是否为f (x,y) 的极值点. 提示: 由题设
(2003 考研)
定理1 (必要条件) 函数
存在
偏导数, 且在该点取得极值 ,
则有
证:
取得极值 ,
故
取得极值取得极值
据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.
(h2

多元函数的极值与条件极值

多元函数的极值与条件极值在数学分析中，极值是一个重要的概念。

对于多元函数而言，我们可以通过求取偏导数或利用拉格朗日乘数法来确定其极值点。

在这篇文章中，我们将探讨多元函数的极值以及条件极值。

一、多元函数的极值在开始讨论多元函数的极值之前，我们先来回顾一元函数的极值。

对于一个实数域上的函数f(x)，如果存在x=a，使得在a的某个去心邻域内，函数值小于（或大于）f(a)，则称f(a)是函数f的一个极大（或极小）值。

同样地，我们可以将这一概念推广到多元函数上。

考虑一个定义在n维欧几里得空间上的函数f(x₁,x₂,...,xₙ)，其中x₁,x₂,...,xₙ是实数。

我们称向量x=(x₁,x₂,...,xₙ)为函数f的一个驻点，如果在x的某个邻域内，函数值在x点取得极值。

对于多元函数，我们需通过求取偏导数来判断其极值点。

偏导数的定义如下：对于函数f(x₁,x₂,...,xₙ)，它在x=(a₁,a₂,...,aₙ)处的偏导数∂f/∂xᵢ (i=1,2,...,n)是当变量xᵢ在点(x₁,x₂,...,xₙ)处以及其他变量a₁,a₂,...,aₙ保持不变时的导数。

求解偏导数后，我们可以通过将偏导数相应的变量取0，得到一组等式，从而解得极值点。

二、多元函数条件极值在实际问题中，我们经常会遇到有约束条件的优化问题，这就引出了条件极值的概念。

对于一个满足一组约束条件的多元函数，我们要在满足条件的前提下，找到它的极值点。

拉格朗日乘数法是求解带有约束条件的多元函数极值的常用方法。

设函数f(x₁,x₂,...,xₙ)的约束条件为g(x₁,x₂,...,xₙ)=0。

首先构建拉格朗日函数L(x₁,x₂,...,xₙ,λ)=f(x₁,x₂,...,xₙ)+λg(x₁,x₂,...,xₙ)，其中λ为拉格朗日乘数。

然后，求解函数L的偏导数∂L/∂xᵢ(i=1,2,...,n)和∂L/∂λ，并将它们置为0。

解这组方程，即可得到满足条件的极值点。

多元函数的极值与条件极值

多元函数的极值与条件极值一、引言在数学中，多元函数是指依赖于多个变量的函数。

研究多元函数的极值和条件极值是优化理论和实际问题求解的基础。

本文将介绍多元函数的极值和条件极值的概念、求解方法以及应用案例。

二、多元函数的极值多元函数的极值指的是函数取得的最大值和最小值。

对于二元函数f(x, y)，当f(x, y)在一定范围内取得最大值或最小值时，称之为极值。

同样地，对于n元函数f(x1, x2, ..., xn)，当f(x1, x2, ..., xn)在一定范围内取得最大值或最小值时，也称之为极值。

确定多元函数的极值有以下几种常用方法：1. 梯度法：通过计算函数的梯度向量，找到函数的驻点，再通过二阶导数的判别方法来确定驻点处的极值。

2. 拉格朗日乘子法：求解约束条件下的最优解，通过引入拉格朗日乘子，将多元函数的极值问题转化为无约束极值问题。

3. 二次型判别法：对于二元二次函数，可以使用二次型的正负来判定极值。

4. 图像法：对于二元函数，可以通过画出等高线图或三维曲面图来观察极值点的位置。

三、多元函数的条件极值条件极值是指在一定约束条件下，函数取得的最大值和最小值。

常见的条件极值问题可以表示为：在约束条件g(x, y) = 0的条件下，求多元函数f(x, y)的最大值和最小值。

求解条件极值的常用方法是拉格朗日乘子法。

假设函数f(x, y)和约束条件g(x, y)具有连续的一阶和二阶偏导数，而且约束条件g(x, y)在解集上的梯度不为零，那么存在实数λ，使得∇f(x, y) = λ∇g(x, y)。

通过求解λ和对应的x、y可以得到函数f(x, y)的条件极值点。

四、应用案例多元函数的极值和条件极值在实际问题中具有广泛的应用。

以下是几个应用案例的简要介绍：1. 优化问题：如生产过程中的成本最小化、利润最大化等，可以通过求解函数的极值来得到最优解。

2. 建模问题：如平面上点到曲线的最短距离、材料的最优分配等问题，可以通过多元函数的条件极值来建立数学模型并求解。

多元函数极值条件的充分及必要条件

多元函数极值条件的充分及必要条件一、引言在数学中，多元函数的极值问题是一个重要的研究方向。

求解多元函数的极值可以帮助我们了解函数的性质和优化问题。

本文将介绍多元函数极值的充分条件和必要条件，并通过数学推导和具体案例进行说明。

二、充分条件对于一个多元函数，如果它在某一点处取得极值，那么该点的梯度向量为零。

这是多元函数极值的充分条件之一，也称为驻点条件。

假设函数为$f(x_1,x_2,...,x_n)$，我们定义其梯度向量为：$$\n ab la f=\l ef t(\f ra c{{\pa rt ia lf}}{{\p ar ti al x_1}},\f ra c {{\p ar ti al f}}{{\p a rt ia lx_2}},...,\fr ac{{\p ar ti alf}}{{\pa r t i al x_n}}\ri gh t)$$如果存在一个点$(x_1^*,x_2^*,...,x_n^*)$，使得$\na bl af(x_1^*,x_2^*,...,x_n^*)=\m at hb f{0}$，那么该点为函数$f$的驻点。

然而，驻点并不一定是极值点。

还需要进一步考察该点的二阶偏导数信息。

三、必要条件1.H e s s i a n矩阵H e ss ia n矩阵是多元函数在某个点处的二阶偏导数构成的矩阵。

对于函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$，其He ssi a n矩阵定义为：$$H(f)=\be gi n{bma t ri x}\f ra c{{\pa rt ia l^2f}}{{\p ar ti al x_1^2}}&\f ra c{{\par t ia l^2 f}}{{\pa rt ia lx_1\p ar ti al x_2}}&\cd o ts&\fr ac{{\p art i al^2f}} {{\p ar ti al x_1\par t ia lx_n}}\\\f ra c{{\pa rt ia l^2f}}{{\p ar ti al x_2\pa rt ia lx_1}}&\f r ac{{\p a rt ia l^2f}}{{\pa r ti al x_2^2}}&\cd o ts&\fr ac{{\p art i al^2f}} {{\p ar ti al x_2\par t ia lx_n}}\\\v do ts&\vd ot s&\dd o ts&\vd ot s\\\f ra c{{\pa rt ia l^2f}}{{\p ar ti al x_n\pa rt ia lx_1}}&\f r ac{{\p a rt ia l^2f}}{{\pa r ti al x_n\p a rt ial x_2}}&\cd ot s&\fr a c{{\pa rt i al^2f}}{{\pa rti a lx_n^2}}\e nd{b ma tr ix}$$2.S y l v e s t e r定理S y lv es te r定理给出了判别He ss ia n矩阵正定、负定和不定的条件。

多元函数的极值与最值

转化
从条件( x, y) 0中解出 y ( x)
求一元函数
z f ( x, ( x)) 的无条件极值问题
- 14 -
方法2 拉格朗
日乘数法.
例如,
在条件( x, y) 0下, 求函数 z f ( x, y) 的极值.
如方法 1 所述 ,
设 ( x, y) 0 可确定隐函数
y (x),
(
D
:
0
x
12,
0
2
)
令 Ax 24sin 4x sin 2x sin cos 0 A 24x cos 2x2 cos x2(cos2 sin2 ) 0
sin 0 , x 0
12 2x x cos 0
24cos 2x cos x(cos2 sin2 ) 0
比较后可知 f (2,1) 4为最大值, f (4,2) 64为最小值.
z f (x, y) x2 y(4 x y)
- 10 -
4. 某厂要用铁板做一个体积为2
箱, 问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?
的有盖长方体水
解:
设水箱长,宽分别为x ,y m ,
则水箱所用材料的面积为
但在该点不取极值.
-3-
定理2 (充分条件) 若函数 z f ( x, y) 在点( x0 , y0 ) 的
的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且
f x ( x0 , y0 ) 0 , f y ( x0 , y0 ) 0 令 A f x x ( x0 , y0 ) , B f x y ( x0 , y0 ) , C f y y ( x0 , y0 )
解得:
60, x 8 (cm)
3
由题意知,最大值在定义域D 内达到,

多元函数极值与最值

多元函数极值与最值在微积分中，我们学习了一元函数的极值与最值问题。

而在现实生活中，很多问题涉及到多个变量的函数，即多元函数。

对于多元函数来说，我们也需要研究其极值与最值问题。

本文将介绍多元函数的极值与最值的求解方法，并通过几个例子进行说明。

1. 极值与最值的定义在进行多元函数的极值与最值问题的求解之前，首先需要了解各种极值与最值的定义。

（这里插入合适的图表和示意图）1.1 局部极值：若对于一个给定的多元函数，存在某个点使得在该点的某个邻域内，函数值在该点之上或之下都小于等于（或大于等于）该点的函数值，那么称该点是该函数的一个局部极值点。

1.2 全局极大值与极小值：若对于一个给定的多元函数，如果函数的取值在定义域上的每个点上都大于等于（或小于等于）其它点，那么称该函数在该定义域上有全局极大值或极小值。

1.3 最大值与最小值：若对于一个给定的多元函数，对于其定义域上的每个点，函数值都小于等于（或大于等于）某个常数，那么称该常数为该函数在定义域上的最小值或最大值。

2. 求解方法接下来，我们将介绍两种常用的方法来求解多元函数的极值与最值问题。

2.1 梯度法梯度法是一种常用的用于求解多元函数极值的方法。

它利用函数在某个点的梯度方向可以指示函数值增大或减小的趋势。

具体步骤如下：（这里插入梯度法求解极值的算法步骤）2.2 拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是另一种常用的求解多元函数极值与最值的方法。

它适用于含有约束条件的优化问题，即在满足一定条件下求取函数的极值或最值。

具体步骤如下：（这里插入拉格朗日乘子法求解极值的算法步骤）3. 实例分析为了更好地理解多元函数的极值与最值问题的求解方法，我们将通过几个实例来进行分析。

3.1 示例一：二元函数我们考虑一个二元函数示例，如下所示：（这里插入具体示例的函数表达式和图形展示）通过梯度法和拉格朗日乘子法，我们可以求解该函数的极值与最值，并得出结果。

3.2 示例二：三元函数我们再考虑一个三元函数示例，如下所示：（这里插入具体示例的函数表达式和图形展示）同样地，我们可以利用梯度法和拉格朗日乘子法来求解该函数的极值与最值。

大学数学多元函数的极值与最值

大学数学多元函数的极值与最值多元函数是数学领域中的重要概念之一，研究多元函数的极值与最值对于优化问题的解决具有重要作用。

在本文中，将介绍多元函数的极值与最值的概念、计算方法以及应用。

一、多元函数的极值与最值概念多元函数是指涉及多个自变量和依赖变量的函数。

对于多元函数而言，极值即为函数在某个特定点上取得的最大值或最小值。

最值则是指函数在整个定义域上取得的最大值和最小值。

二、求多元函数的极值与最值的方法1. 隐函数求导法当函数无法直接表示为显式解析式时，可以通过隐函数求导的方法来求解极值。

该方法主要依靠链式法则来计算导数，进而确定极值的位置。

2. 梯度法梯度法是一种常用的优化算法，可以用来求解多元函数的极值问题。

其基本思想是沿着函数值下降最快的方向进行搜索，直到找到极值点。

3. 条件极值对于多元函数在一定条件下的极值问题，可以利用拉格朗日乘数法求解。

该方法通过引入约束条件，将多元函数的极值问题转化为带约束条件的无条件极值问题。

三、多元函数极值与最值的应用1. 经济学中的应用多元函数的极值与最值在经济学中有着广泛的应用。

以生产成本函数为例，通过求取其极小值可以得到最低成本的生产方案，帮助企业提高效益。

2. 工程优化问题在工程领域中，多元函数的极值与最值的求解能够帮助工程师找到最优设计方案，减少资源的浪费，提高整体效益。

3. 金融学中的投资问题在金融学中，多元函数的极值与最值的计算可以被应用于投资组合方面。

通过求取最大收益或最小风险的投资组合，可以帮助投资者制定合理的投资策略。

四、总结通过本文对大学数学多元函数的极值与最值的介绍，我们了解了多元函数极值的概念以及求解方法。

多元函数的极值与最值在实际问题中有着广泛应用，对于优化问题的解决具有重大意义。

因此，学好多元函数的极值与最值的相关知识，对于我们深入理解数学的应用和发展具有重要意义。

多元函数极值判定及应用

多元函数极值判定及应用多元函数的极值判定是求解多元函数在给定约束条件下的最大值或最小值的问题。

在数学分析中，通常利用求导和二阶导数的方法来判定多元函数的极值。

下面将详细介绍多元函数极值判定以及其应用。

一、多元函数的极值判定方法：1. 首先，对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，我们需要找到其取得极值的条件。

由于计算多元函数的极值需要对每个自变量求偏导，所以要求多元函数在定义域内函数有定义并且可偏导。

2. 其次，求取多元函数的一阶偏导数并令其等于零，得到方程组。

设f 的极值点为(x1*, x2*, ..., xn*)，则方程组为：∂f/∂x1 = 0, ∂f/∂x2 = 0, ..., ∂f/∂xn = 0。

3. 解方程组，求得极值点(x1*, x2*, ..., xn*)。

4. 接下来，根据二阶求导的结果来判定极值类型：（1）若二阶偏导数的行列式大于零且二阶偏导数主对角线元素大于零，则多元函数在极值点(x1*, x2*, ..., xn*) 处取得极小值；（2）若二阶偏导数的行列式大于零且二阶偏导数主对角线元素小于零，则多元函数在极值点(x1*, x2*, ..., xn*) 处取得极大值；（3）若二阶偏导数的行列式小于零，则多元函数在该点处不存在极值。

二、多元函数极值的应用：多元函数的极值判定在经济学、物理学、工程学等各个领域都有重要的应用。

下面以几个具体例子来介绍多元函数极值的应用。

1. 最小二乘法：在统计学中，我们常用最小二乘法来拟合数据，即通过拟合直线或曲线来描述数据的趋势。

最小二乘法的基本思想是选择一个合适的函数模型，使得模型与实际数据之间的残差平方和最小。

这就可以看作是一个多元函数极值的问题，利用极值点来确定最佳拟合曲线。

2. 生产优化问题：在工程学中，我们常遇到生产优化的问题，即如何在有限的资源条件下获得最大的产出。

这个问题可以用多元函数的极值来解决。

我们设生产函数为f(x1, x2, ..., xn)，表示产出与各个生产因素之间的关系，然后根据生产约束条件求函数的最大值或最小值，得到生产过程中的最优方案。

多元函数的极值概念及其应用

多元函数的极值概念及其应用在微积分领域中，极值是函数理论中一个重要的概念。

当我们研究多元函数时，我们也需要理解多元函数的极值概念以及应用。

本文将介绍多元函数的极值概念，并探讨其在实际问题中的应用。

一个多元函数可以定义为一个以多个变量为自变量的函数，通常表示为f(x₁, x₂, ..., xn)。

多元函数的极值概念是指函数取得的最大值或最小值。

对于单变量函数，我们可以使用导数来判断其极值点；而对于多元函数，我们可以利用偏导数和二阶偏导数来判断其极值。

在多元函数的极值问题中，我们首先要找到函数的临界点。

临界点是函数的偏导数等于零或者不存在的点。

对于一个具有n个自变量的多元函数，我们需要计算出这n个自变量的偏导数，然后令其等于零来求解各个自变量的值。

只有在这些值处取得的函数值才有可能是极值。

接下来，我们需要对求解得到的临界点进行判断，以确定是否为极值点。

我们可以使用二阶偏导数来判断这些点的性质。

如果所有二阶偏导数都存在且满足一定条件，我们可以通过计算二阶偏导数的行列式（即海森矩阵）来判断这些点是极小值、极大值还是鞍点。

除了求解多元函数的极值点，我们还可以利用极值概念来解决一些实际问题。

例如，在经济学中，我们可以利用多元函数的极值概念来最大化或最小化一个经济指标。

假设我们有一个多元函数表示一个企业的成本，我们可以通过求解该函数的最小值来确定最佳生产策略。

类似地，我们也可以利用多元函数的极值概念来解决最优控制问题、最优化问题等多个领域的实际问题。

此外，在物理学和工程学中，多元函数的极值概念也具有广泛的应用。

例如，在物理学中，我们可以通过求解多元函数的最小值来确定物体在重力作用下的平衡位置；在工程学中，我们可以利用多元函数的极大值来确定最优设计方案。

总之，多元函数的极值概念在数学和其他学科中都具有广泛的应用。

通过理解多元函数的极值概念，我们可以更好地解决实际问题，并优化我们的决策和设计。

因此，对于任何研究多元函数的学生或研究人员来说，深入理解和应用多元函数的极值概念是非常重要的。

多元函数的极值与最值

极小值非极值
=0
不能确定的
5. 极值的充分条件
并设：A = fx′′x (P0 ), B = fx′′y (P0 ),C = f y′′y (P0 ),则：
B2 − AC A <0
<0 >0
>0
f (P0 )是极大值
极小值非极值
=0
不能确定的
例1 求 f ( x, y ) = x 2 + y 2的极值。
A B2 − AC
Pi是 f (Pi )是
P1 −12
72 驻点非极值
P2 −12 − 72 极大值点极大值
P3 12 − 72 极小值点极小值
P4 12 72 驻点非极值
6. 极值的充要条件举例
例3 设 z = f ( x, y ) = x 2 + xy + 2 y 2的极值。
令
令
解：z′x = 3x + y = 0且z′y = x + 4 y = 0
令
令
解：f x′ = 3x2 + 6x − 9 = 0且f y′ = −3 y 2 + 6 y = 0
⇒ P1(−3,0), P2 (−3,2), P3 (1,0), P4 (1,2)为驻点 A = f x′x′ = 6x + 6, B = f x′y′ = 0, C = f y′′y = −6 y + 6
7. 多元函数的极值（广义的定义）
f 在顶点A、B、C、D处有极大值
z
B
A
C
D
z=f(x,y)
0
y
x
7. 多元函数的极值（广义的定义）
D是尖点，f 在点D处有极大值

多元函数的极值及其应用

多元函数的极值及其应用
多元函数的极值是指函数在一定范围内取得的最大值或最小值。

在多元函数中，每个自变量都有自己的变化范围，在此范围内寻找极值就是多元函数的求极过程。

多元函数的求极过程在实际应用中有着广泛的应用，例如寻找最大收益、最小成本等问题。

多元函数的极值求解大致可以分为以下几个步骤：
1. 求出函数的偏导数；
2. 解出偏导数为0的自变量取值；
3. 对于每个自变量取值，求出函数的极值；
4. 比较所有极值，得出最大值或最小值。

下面以一个简单的例子来说明求多元函数的极值的过程。

例题：求函数f(x,y)=x^2+2xy+y^2+6x-4y+7在平面区域D: 2≤x≤4, 1≤y≤3上的极值。

步骤1：求偏导数。

∂f/∂x = 2x+2y+6
步骤2：解出偏导数为0的自变量取值。

由∂f/∂y = 0得 2x+2y-4 = 0，即 x+y=2。

解得x=-1,y=-2和x=3,y=-6。

步骤3：求出函数的极值。

对于(x,y)=(-1,-2)，f(-1,-2)=(-1)^2+2*(-1)*(-2)+(-2)^2+6*(-1)-4*(-2)+7=10。

步骤4：比较所有极值，得出最大值或最小值。

多元函数求极值在实际应用中非常常见，例如经济学中的最大收益模型、工程学中的最小能量模型等。

通过求解多元函数的极值，可以得到最优解，进而优化实际问题的解决方案，提高效率和效益。

最新毕业论文《多元函数条件极值的解法与应用》

多元函数条件极值的解法与应用数学与计算机科学系信息与计算科学专业118632007049 罗永滨指导教师：陈丽华【摘要】多元函数条件极值是多元函数微分学的重要组成部分，本文研究的是代入法、拉格朗日乘数法、标准量代换法、不等式法、二次方程判别式符号法、梯度法、数形结合法等方法在解多元函数条件极值问题上的运用，以及探讨多元函数条件极值在证明不等式、物理学、生产销售等问题上的应用. 【关键词】极值；条件极值；拉格朗日乘数法；梯度法；应用1.引言多元函数条件极值是多元函数微分学的重要组成部分，它不仅在理论上有重要的应用，而且在其它学科及有关实际问题中有着广泛的应用，于是如何判定与求解多元函数条件极值就成为许多学者研究的问题，虽然以前也有不少学者研究过，但多数还只是理论上的研究，实际利用方面的研究较少.如文[1]讨论了方向导数法在求解多元函数条件极值上应用，文[2]讨论了柯西不等式在求解一些特殊的多元函数条件极值问题时的应用.本文首先对多元函数条件极值的解题方法进行了归纳与总结，通过具体实例对各种解法进行分析类比，从中可以看到不同的条件极值问题可以有不同的解题方法，其中最常用的是拉格朗日乘数法，但对有些问题若能用一些特殊解法可以更简单.面对不同的极值问题如何采用最佳的解决方法是快速解题的关键.文章最后讨论了如何通过条件极值解决不等式证明、物理学、生产销售等实际应用问题.2.简单介绍多元函数极值与条件极值的有关概念2.1函数的极值定义2.1.1设n (2)n ≥元函数[3]12(,,)n z f x x x =在点00012(,,,)n x x x 的某个邻域内有定义,如果对该邻域内任一异于00012(,,,)n x x x 的点12(,,)n x x x 都有0001212(,,)(,,,)n n f x x x f x x x <(或0001212(,,)(,,,)n n f x x x f x x x >)，则称函数在点00012(,,,)n x x x 有极大值(或极小值)00012(,,,)n f x x x .极大值、极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点.2.2函数的条件极值定义 2.2.1[3]函数12(,,,)n z f x x x =在m 个约束条件12(,,,)0i n x x x ϕ= (1,2,,;)i m m n =<下的极值称为条件极值.3. 多元函数普通极值存在的条件定理3.1（必要条件）若n (2)n ≥元函数12(,,,)n z f x x x =在点00012(,,,)n x x x 存在偏导数，且在该点取得极值，则有0012(,,,)0i x n f x x x = (1,2,,)i n =备注：使偏导数都为0的点称为驻点，但驻点不一定是极值点.定理3.2[3]（充分条件）设n (2)n >元函数12(,,,)n f x x x 在00012(,,,)n x x x 附近具有二阶连续偏导数，且00012(,,,)n x x x 为12(,,,)n z f x x x =的驻点.那么当二次型00012,1()(,,,)i j nx x n i j i j g fx x x ζζζ==∑正定时，00012(,,,)n f x x x 为极小值；当()g ζ负定时，00012(,,,)n f x x x 为极大值；当()g ζ不定时，00012(,,,)n f x x x 不是极值.记00012(,,,)i j ij x x n a f x x x =，并记11121321222312k k k kk a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，它称为f 的k 阶Hesse 矩阵.对于二次型()g ζ正负定的判断有如下定理：定理3.3[3]若det 0k A > (1,2,,)k n =，则二次型()g ζ是正定的，此时00012(,,,)n f x x x 为极小值；若(1)det 0k k A -> (1,2,,)k n =，则二次型()g ζ是负定的，此时00012(,,,)n f x x x 为极大值.特殊地，当2n =时，有如下推论：推论 3.1若二元函数00(,)(,)z f x y x y =在点的某领域内具有一阶和二阶连续偏导数，且0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ==令 000000(,),(,),(,)xx xy yy A f x y B f x y C f x y ===则 ①当20AC B ->时，0,0,A A <⎧⎨>⎩取极大值取极小值.②当20AC B -<时，没有极值.③当20AC B -=时，不能确定，需另行讨论.4．介绍多元函数条件极值的若干解法4.1代入消元法通过一个量用其它量代替的方法达到降元效果，将条件极值化为无条件极值问题来解决一些较为简单的条件极值问题，这种方法适用于约束函数较为简单的条件极值求解，有些条件极值很难化为无条件极值来解决.例4.1.1求函数(,,)f x y z xyz =在0x y z -+=条件下的极值. 解由0x y z -+= 解得，2z x y =-+将上式代入函数(,,)f x y z ，得 g(x,y)=xy(2-x+y)解方程组 22'2y 20220x yg xy y g x xy x ⎧=-+=⎪⎨'=+-=⎪⎩ 得驻点 1222P P =33（0，0），（，-） 2xx y ''=-g ，222xy g x y ''=-+，2yy g x ''=在点1P 处，0,2,0A B C ===22=0240AC B ∆-=-=-<，所以1P 不是极值点从而函数(,,)f x y z 在相应点(0,0,2)处无极值；在点2P 处，44,2,33A B C === 224424()03333AC B ∆=-=⨯⨯-=>，又403A =>，所以2P 为极小值点因而，函数(,,)f x y z 在相应点222(,,)333-处有极小值极小值为2228(,,)33327f -=-.4.2拉格朗日乘数法[3]拉格朗日乘数法是求多元函数条件极值的一种常用方法，特别是在约束条件比较多的情况下使用拉格朗日乘数法更方便适用.求目标函数12(,,)n f x x x 在条件函数12(,,)0,(1,2,,,)k n x x x k m m n ϕ==≤组限制下的极值，若12(,,)n f x x x 及12(,,)k n x x x ϕ有连续的偏导数，且Jacobi 矩阵111122221212n n m m m n x x x x x x J x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ∂∂∂⎛⎫ ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂ ⎪∂∂∂= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭的秩为m ，则可以用拉格朗日乘数法求极值.首先，构造拉格朗日函数12112121(,,,,,,)(,,)(,,)mn m n k k n k L x x x f x x x x x x λλλϕ==-∑然后，解方程组0,1,2,,0,,2,ikLi n x L k i m λ∂⎧==⎪∂⎪⎨∂⎪==⎪∂⎩从此方程组中解出驻点的坐标00012(,,)i n P x x x (1,2,,)i k =，所得驻点是函数极值的可疑点，需进一步判断得出函数的极值.定理4.2.1（充分条件）设点000012(,,,)n x x x x =及m 个常数12,,,m λλλ满足方程组 100mi i i k k k lL fx x x ϕλϕ=∂∂∂⎧=-=⎪∂∂∂⎨⎪=⎩∑ (1,2,,;1,2,,)k n l m ==，则当方阵 20,12(,,,)m k l n nLx x x λλλ⨯⎛⎫∂ ⎪∂∂⎝⎭为正定（负定）矩阵时，0x 为满足约束条件的条件极小（大）值点，因此0()f x 为满足约束条件的条件极小（大）值.例4.2.1求椭球2222221x y z a b c++=在第一卦限内的切平面与三坐标面所围成的四面体的最小体积.解此椭球在点000(,,)P x y z 处的切平面为000000222222()()()0x y z x x y y z z a b c-+-+-=化简,得0002221x y z x y z a b c ++= 此平面在三个坐标轴上的截距分别为：222000,,a b c x y z则此切平面与三坐标面所围成的四面体的体积 2220006a b c V x y z =由题意可知，体积存在最小值，要使V 最小，则需000x y z 最大；即求目标函数(,,)f x y z xyz =在条件2222221x y z a b c++=下的最大值，其中0,0,0x y z >>>，拉格朗日函数为222222(,,,)(1)x y z L x y z xyz a b cλλ=-++-由 22222222220;20;20;1L x yz x a L y xz yb L z xy zc x y z ab c λλλ∂⎧=-=⎪∂⎪∂⎪=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=⎪∂⎪⎪++=⎪⎩解得x y z ===min 2V V ==说明：以上介绍的两种方法为解多元函数条件极值的常用方法，但在实际解题过程中，我们还可以根据多元函数的一些特点选择其它一些特殊解法来快速解题，如标准量代换法、不等式法、二次方程判别式法、梯度法、数形结合法.4.3 标准量代换法求某些有多个变量的条件极值时,我们可以选取某个与这些变量有关的量作为标准量,称其余各量为比较量,然后将比较量用标准量与另外选取的辅助量表示出来,这样就将其变为研究标准量与辅助量间的关系了.如果给定条件是几个变量之和的形式,一般设这几个量的算术平均数为标准量. 例4.3.1[4]设x y z a ++=,求222u x y z =++的最小值.解取33x y z a++= 为标准量, 令 ,33a ax y αβ=-=-,则 3az αβ=++(,αβ为任意实数),从而有 222()()()333a a a u αβαβ=-+-+++2222223a αβαβ=+++ 22222()33a a αβαβ=++++≥ 等号当且仅当0αβ==, 即3ax y z ===时成立，所以u 的最小值为23a .4.4 不等式法[4]4.4.1利用均值不等式12na a a n+++≤，这里0,1,2k a k n ≥=，且等号成立的充分条件是12n a a a ===.例4.4.1.1 已知11112x y z ++=，(0,0,0)x y z >>>，求(,,)222f x y z x y z =++的极小值. 解0,0,0,x y z >>>(,,)222f x y z x y z ∴=++14()2x y z =++ 1114()()x y z xy z=++++ 4(3)x y y z x z y x z y z x=++++++ 4(3222)36≥+++=当且仅当6x y z ===时，等号成立. 4.4.2利用柯西不等式柯西不等式：对于任意实数12,,,n a a a 和12,,n b b b ，总有 21122()n n a b a b a b +++≤2222221212()()n n a a a b b b ++++++ ,i i a R b R ∈∈,当且仅当实数12,,,n a a a 与1,2,n b b b 对应成比例时，等号成立.运用柯西不等式，主要是把目标函数适当变形，进而“配、凑”成柯西不等式的左边或者右边的形式，最终求得极大值或极小值. 例4.4.2.1已知222(2)(1)(4)9x y z -+++-=，求(,,)22f x y z x y z =-+的最值. 解首先将 (,,)22f x y z x y z =-+ 变形为(,,)f x y z =2(2)2(1)(4)10x y z --++-+；再设 (,,)2(2)2(1)(4)g x y z x y z =--++-，于是，根据柯西不等式及已知条件，有[]22(2)2(1)(4)x y z --++-≤2222222(2)1(2)(1)(4)81x y z ⎡⎤⎡⎤+-+⨯-+++-=⎣⎦⎣⎦即： 92(2)2(1)(4)9x y z -≤--++-≤当且仅当 222214221(2)(1)(4)9x y z k x y z -+-⎧===⎪-⎨⎪-+++-=⎩时，等号成立；即当 1435k x y z =⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=⎩时，max (,,)9g x y z =；当 1013k x y z =-⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩时，min (,,)9g x y z =-，所以，max (,,)19f x y z =，min (,,)1f x y z =.4.5 二次方程判别式符号法例4.5.1[5]若2221x y z ++=,试求22f x y z =-+的极值.解因为 1(2)2y x z f =+-, 代入 2221x y z ++= 得2221(2)104x x z f z ++-+-=即 2225(42)(844)0x z f x z f zf +-++--= (1) 这个关于x 的二次方程要有实数解, 必须222(42)20(844)0z f z f zf ∆=--+--≥即 224950f zf z -+-≤ 解关于f 的二次不等式,得:2211z f z z ≤≤-≤≤显然,求函数f 的极值, 相当于求211f z z ≤-≤≤ (2)或211f z z ≥-≤≤ (3)的极值.由(2)得 229450z fz f -+-= (4) 这个关于z 的二次方程要有实数解,必须221636(5)0f f ∆=--≥,即 290f -≥解此关于f 的二次不等式,得 33f -≤≤. 所以 max 3f =,min 3f =-. 把 3f =代入(4),得23z = 再把3f =,23z =代入(1),得13x =, 最后把3f =,23z =,13x =代入1(2)2y x z f =+-,得23y =-.所以,当13x =,23y =-,23z =时,函数f 达到极大值3.同理可得,当13x =,23y =,23z =-时,函数f 达到极小值-3.也可以从(3)作类似讨论得出f 的极大值3和极小值-3.4.6 梯度法[6]用梯度法求目标函数12(,,)n f x x x 在条件函数时12(,,,)0i n x x x ϕ=(1,2,,,)i m m n =≤组限制下的极值，方程组1212112(,,,)(,,,)(,,,)0,(1,2,,)mn i i n i i n gradf x x x grad x x x x x x i m λϕϕ=⎧=⎪⎨⎪==⎩∑的解,就是所求极值问题的可能极值点. 其中gradf 表示目标函数12(,,)n f x x x 的梯度向量12(,,,)nf ffx x x ∂∂∂∂∂∂， i grad ϕ表示条件函数12(,,,)i n x x x ϕ的梯度向量12(,,,)i iinx x x ϕϕϕ∂∂∂∂∂∂ 例4.6.1 从斜边之长为l 的一切直角三角形中,求最大周长的直角三角形. 解:设两条直角边为,x y ,本题的实质是求(,)f x y x y l =++在条件222x y l +=下的极值问题.根据梯度法,列出方程组 222222()()grad x y l grad x y l x y lλ⎧++=+-⎪⎨+=⎪⎩ 进一步求解得 {}{}2221,12,2x y x y lλ⎧=⎪⎨+=⎪⎩容易解出2x y ==根据题意,22⎪⎝⎭是唯一的极大值点,也是最大值点. 所以，当两条直角边都为2时,直角三角形的周长最大. 4.7 数形结合法数形结合法是根据目标函数的几何意义，如直线的截距，点到直线的距离，圆的半径等几何性质决定目标的条件极值.例4.7.1 设2219x xy y ++=，求22x y +的最值.解法一数形结合法[7]解设,,x u v y u v =+=-则222319x xy y u v ++=+=，即2222119(19)()3+= 22222()x y u v +=+表示坐标原点到椭圆上的点的距离的平方的2倍显然最大值为长轴的长38，最小值为383解法二消元法解设 cos x r θ=，sin y r θ=，则 2221(1sin 2)192x xy y r θ++=+= 2221911sin 22x y r θ+==+故当sin 21θ=，即193x y ==时，22383x y +=达到最小值.当sin 21θ=-，即19x y =-=±时，2238x y +=达到最大值. 解法三均值不等式法解（1）若0,0,x y >>注意到 222x y xy +≤当且仅当x y =时等号成立因此：222222019192x y x xy y x y +=++-≤++-，当且仅当x y =时等号成立即223()192x y +≥ 故 22383x y +≥，此时x y ==（2）若0,0x y ><，设y u =-，则问题变为2219x xu u -+=求22x u +的最值由于222x u xu +≤，所以2222222222x u x u x xu u x u ++-+≥-+= 因此22222()38x u x xu u +≤-+= 即最大值为38（3）若0,0x y <<，做变换,x u y v =-=-，则问题转化为（1）（4）若0,0x y <>，则问题转化为（2）解法四拉格朗日乘数法解设 2222(,,)(19)F x y x y x xy y λλ=++++-令 222(2)02(2)0190Fx x y x Fy y x y Fx xy y λλλ⎧∂=++=⎪∂⎪∂⎪=++=⎨∂⎪⎪∂=++-=⎪∂⎩ 则 22x y =若 x y =，则2319x =，x y ==此时 22383x y +=；若 x y =-，则219x =，x y =-=或x y =-=此时2238x y +=从该题可以看出，用拉格朗日乘数法和均值不等式法解题过程都比较繁琐，但通过数形结合法和消元法法都可以简捷地求得结果.所以在解条件极值问题时，我们可以先分析题目的特点再选择最合适的解题方法，从而提高解题效率. 5. 多元函数条件极值在理论和实际中的应用举例多元函数条件极值在不等式证明、物理、生产销售、证券投资分析、多元统计分析学里判别分析和主成分分析等问题上都有广泛的应用.由于本人其余学科知识和时间上的限制，不能很好地展开条件极值在证券投资分析和多元统计分析上的应用问题，具体内容可以参考文献[8]和文献[9]，下面只讨论条件极值在不等式证明、物理学、生产销售上的应用.5.1 不等式证明例5.1.1证明不等式：ln 0,(1,0)y e x x x xy x y +--≥≥≥.证令(,)ln y f x y e x x x xy =+--，则只需证明函数(,)f x y 在区域{(,)|1,0}D x y x y =≥≥上存在最小值0，对于1x ≥，令(,)0y y f x y e x =-=，得ln y x =，且当0ln y x ≤<时，(,)0y f x y <当ln y x >时，(,)0y f x y >.由一元函数取极值的第一充分判断法，ln y x =为最小值点，即在曲线ln y x =上(,)f x y 取得最小值，最小值ln (,ln )ln ln 0x f x x e x x x x x =+--=.故在D 上(,)0f x y ≥，即ln 0y e x x x xy +--≥.5.2 物理学中光的折射定律证明例5.2.1设定点A 和B 位于以平面分开的不同光介质中，从A 点射出的光线折射后到达B 点，已知光在两介质中的传播速度分别为1v ，2v ，求需时最短的传播方式.解设A 到平面的距离为a ，B 到平面的距离为b ，（如图）， CD d =，光线从A 点射到M 点所需时间为1cos a v α，光线从M 点射到B 点所需时间为2cos b v β 且CM MD d +=，即tan tan a b d αβ+=问题转化为函数12(,)cos cos a b f v v αβαβ=+在条件 tan tan b d αβ+=下的最小值. 作拉格朗日函数112(,,)(tan tan )cos cos a b L a b d v v αβλλαβαβ=+++- 令 112211222sin 0,cos cos sin 0,cos cos tan tan 0.a a L v b b L v L a b d αβλαλααβλββαβ⎧'=+=⎪⎪⎪'=+=⎨⎪⎪'=+-=⎪⎩由此解得112sin sin v v αβλ-==，即光线的入射角与折射角应满足： 12sin sin v v αβ=（光的折射定律）时光线传播时间最短. 5.3 生产销售在生产和销售商品的过程中，销售价格上涨将使厂家在单位商品上获得的利润增加，但同时也使消费者的购买欲望下降，造成销售量下降，导致厂家消减产量.但在规模生产中，单位商品的生产成本是随着产量的增加而降低的，因此销售量、成本与售价是相互影响的.厂家要选择合理的销售价格才能获得最大利润.5.3.1 用条件极值得出生产成本最小化方案例5.3.1.1[10]设生产某产品需要原料A 和B ，它们的单价分别为10元、15元，用x 单位原料A 和y 单位原料B 可生产22208x xy y -+-单位的该产品，现要以最低成本生产112单位的该产品，问需要多少原料A 和B ？【分析】由题意可知，成本函数(,)1015C x y x y =+.该问题是求成本函数在条件22208112x xy y -+-=下的条件极值问题，利用拉格朗日常数法计算.解令22(,)1015(208112),F x y x y x xy y λ=++-+-- 解方程组 2210220015162002081120f x y x f y x yx xy y λλλλ∂⎧=-+=⎪∂⎪∂⎪=-+=⎨∂⎪⎪-+--=⎪⎩2,2()4,y y x ⇒==-⇒=舍去这是实际应用问题，所以当原料A 和B 的用量分别为4单位，2单位时，成本最低.5.3.2利用条件极值得出利润最大化方案例5.3.2.1[10]为销售产品作两种方式广告宣传，当宣传费分别为,x y 时，销售量是200100510x y S x y =+++，若销售产品所得利润是销量的15减去广告费，现要使用广告费25万元，应如何分配使广告产生的利润最大，最大利润是多少？解依题意，利润函数为 1402025255510x y S x yπ=-=+-++ 且 25x y += 设 402025(25)510x y F x y x yλ=+-++-++ 令 222000(5)2000(10)25x y F x F y x y λλ⎧'=+=⎪+⎪⎪'=+=⎨+⎪⎪+=⎪⎩得 15100.5x y λ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩依题设，存在最大利润，又驻点唯一，因此两广告分别投入15万元和10万元利润最大.例5.3.2.2[3] 一家电视机厂在对某种型号电视机的销售价格决策时面对如下数据：（1）根据市场调查，当地对该种电视机的年需求量为100万台；（2）去年该厂共售出10万台，每台售价为4000元；（3）仅生产1台电视机的成本为4000元；但在批量生产后，生产1万台时成本降低为每台3000元. 问：在生产方式不变的情况下，每年的最优销售价格是多少？数学模型建立如下：设这种电视机的总销售量为x ，每台生产成本为c ，销售价格为v ，那么厂家的利润为 (,,)()u c v x v c x =-根据市场预测，销售量与销售价格之间有下面的关系：,0,0,av x Me M α-=>>这里M 为市场的最大需求量，α是价格系数（这个公式也反映出，售价越高，销售量越少）.同时，生产部门对每台电视机的成本有如下测算：00ln ,,,0,c c k x c k x =->这里0c 是只生产1台电视机时的成本，k 是规模系数（这也反映出，产量越大即销售量越大，成本越低）.于是，问题化为求利润函数 (,,)()u c v x v c x =-在约束条件 0ln avx Me c c k x-⎧=⎨=-⎩ 下的极值问题.作Lagrange 函数0(,,,,)()()(ln ),av L c v x v c x x Mec c k x λμλμ-=-----+就得到最优化条件 00,(1)0,(2)0,(3)0,(4)ln 0.(5)c av v x av L x L x M e k L v c x x Me c c k x μλαλμ--=--=⎧⎪=-=⎪⎪⎪=---=⎨⎪⎪-=⎪-+=⎪⎩ 由方程组中第二和第四式得到=1λα，即1=λα将第四式代入第五式得到 0(ln )c c k M v α=--再由第一式知 x μ=-.将所得的这三个式子代入方程组中第三式，得到 01((ln ))0,v c k M v k αα----+=由此解得最优价格为 0*1ln 1c k M k v k αα-+-=-。

多元函数的极值及其求法

多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值
定理1（必要条件）设函数()y x f z ,=在点()00,y x 具有偏导数且在点()00,y x 处有极值，则有
()()0,,0,0000==y x f y x f y x
定理2（充分条件）设函数()y x f z ,=在点()00,y x 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导，又 ()()0,,0,0000==y x f y x f y x ，令
()()()C y x f B y x f A y x f yy xy xx ===000000,,,,,,
则()y x f ,在()00,y x 处是否取得极值的条件如下：
（1）02>-B AC 时具有极值，且当0<A 时有极大值，当0>A 时有极小值；
（2）02<-B AC 时没有极值（在()00,y x 处不取极值）；
（3）02=-B AC 时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。

二、条件极值拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法要找函数()y x f z ,=在条件()0,=y x ϕ下的可能极值点，可先作拉格朗日函数
()()()y x y x f y x L ,,,λϕ+=，
其中λ为参数。

()()()()()0,0,,0
,,==+=+y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ
解出y x ,及λ,这样得到的()y x ,就是函数()y x f z ,=在附加条件()0,=y x ϕ下的可能极值点。

大学多元函数的极值问题

大学多元函数的极值问题多元函数的极值问题是微积分中的重要内容之一。

在大学数学课程中，研究多元函数的极值问题，不仅可以帮助我们更深入地理解函数的性质，还可以应用于实际问题的解答和优化。

一、多元函数的定义和性质多元函数是指依赖于两个或更多个变量的函数。

例如，f(x, y)是一个关于变量x和y的函数。

多元函数的定义域是所有定义函数的变量取值所组成的集合。

我们可以用类似于一元函数的方法，来求解多元函数的导数、连续性等性质。

二、多元函数的极值条件多元函数的极值通常需要通过偏导数来确定。

对于二元函数f(x, y)，偏导数的定义为函数 f 对某一个变量的导数。

当偏导数等于零时，可能存在极值点。

然而，仅仅满足偏导数等于零的条件，不足以确定极值点，还需要进行二阶偏导数的判定。

三、多元函数的极值求解方法1. 使用偏导数法：通过求解偏导数方程组来找到多元函数的极值点。

先求得一阶偏导数，然后令其等于零，求解方程组即可得到极值点。

2. 使用拉格朗日乘子法：在某些特殊情况下，多元函数的极值问题需要满足一定的条件。

拉格朗日乘子法可以有效地解决这类问题，通过引入拉格朗日乘子，将带有条件的极值问题转化为无条件的极值问题。

3. 使用二阶偏导数判定：通过求解二阶偏导数，并进行判定，确定极值点的类型。

当二阶偏导数为正时，存在极小值点；当二阶偏导数为负时，存在极大值点；当二阶偏导数既正又负时，不存在极值点。

四、多元函数的极值应用实例多元函数的极值问题广泛应用于各个领域。

在经济学中，通过求解函数的极值，可以找到最大化或最小化利润的方案；在物理学中，通过求解函数的极值，可以确定物体的最稳定状态；在工程学中，通过求解函数的极值，可以找到最优的设计方案。

总结：多元函数的极值问题是数学中的重要课题，通过求解偏导数、拉格朗日乘子法和二阶偏导数，我们可以找到多元函数的极值点，并应用于各个领域的实际问题中。

在学习过程中，我们需要进行大量的计算和推导，以提高对多元函数的理解和运用能力。

多元函数极值的应用

多元函数极值的应用在数学中，多元函数是指具有多个自变量和一个因变量的函数。

与一元函数不同，多元函数的极值问题更加复杂而且应用广泛。

本文将探讨多元函数极值的应用，并通过实例来说明其解决实际问题的能力。

一、多元函数极值的概念多元函数的极值是指函数在一定范围内取得的最大值或最小值。

这些极值点通常是函数的拐点或转折点，对函数的形状和性质有重要影响。

找到多元函数的极值点，有助于我们了解函数的最优解以及优化问题的解决。

二、多元函数极值的求解方法1. 极值的判断要判断一个函数的极值，可以通过它的偏导数来分析。

如果一个多元函数的偏导数为零，那么函数在该点可能取得极值。

为了确定极值的性质，可以进一步通过求解二阶偏导数来判断是极大值还是极小值。

2. 拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是一种寻找多元函数约束条件下极值的方法。

该方法通过引入拉格朗日乘子来将约束条件与目标函数结合，从而获得关于自变量和拉格朗日乘子的方程组。

通过求解这个方程组，我们可以找到函数在约束条件下的极值点。

三、多元函数极值的应用实例1. 线性规划线性规划是一类优化问题，涉及线性约束条件下的最优解。

通过建立多元函数模型，并利用多元函数极值的求解方法，我们可以求出线性规划问题的最优解。

例如，在资源有限的情况下，如何分配资源以最大化利益就是一个线性规划问题。

2. 最小二乘法最小二乘法是一种用于估计参数的统计方法。

它通过最小化观测值与函数预测值之间的差异，来拟合一个多元函数模型。

通过求解多元函数的极值问题，我们可以得到最小二乘法的解。

最小二乘法在数据拟合、回归分析等领域有广泛的应用。

3. 策略优化在经济学和管理学中，我们经常遇到需要优化决策策略的问题。

通过建立多元函数模型，将决策变量作为自变量，目标函数作为因变量，将约束条件和目标函数结合，利用多元函数极值的求解方法，我们可以找到最优的决策策略。

四、多元函数极值的局限性虽然多元函数极值的应用有很多优势，但是它也有一些局限性。

大学数学多元函数的极值与最优化

大学数学多元函数的极值与最优化在大学数学中，多元函数的极值与最优化是一个重要的概念和应用领域。

本文将探讨多元函数的极值及最优化问题，并介绍相关的概念、定理和求解方法。

1. 多元函数的极值概念多元函数是指具有多个变量的函数，其自变量可以是两个或更多个。

对于一个多元函数，极值是指函数取得的最大值或最小值。

极值在数学和实际应用中都具有重要意义。

2. 多元函数的极值存在条件在一些简单的函数中，我们可以通过观察来判断极值是否存在。

然而，对于复杂的多元函数，我们需要利用数学方法来判断。

2.1 判别条件对于一个二元函数 f(x, y)，其极值存在的必要条件是梯度向量 (∇f(x, y)) 的模等于零，并且二阶偏导数满足某些条件。

具体的判别条件可以通过海森矩阵进行判断。

2.2 驻点和临界点在判断多元函数的极值时，我们还需要关注驻点和临界点。

驻点是指梯度向量为零的点，而临界点指的是函数在该点的导数存在的点。

3. 多元函数的最优化问题多元函数的最优化问题是一类常见的数学问题，包括最大值、最小值和最优解等。

求解这类问题的方法可以有很多种。

3.1 条件极值问题条件极值问题是指在特定条件下求解函数最值的问题。

例如，求解一个函数在一定约束条件下的最大值或最小值。

常用的方法有拉格朗日乘数法和求解方程组法。

3.2 无约束极值问题无约束极值问题是指在没有任何限制条件的情况下，求解函数的最值问题。

常用的方法包括导数法、海森矩阵法和牛顿法等。

3.3 数学建模中的最优化问题最优化问题在实际应用中扮演着重要角色，尤其是在数学建模中。

数学建模问题通常需要通过构建数学模型来描述实际问题，并利用最优化方法来解决。

常见的数学建模最优化问题包括最短路径问题、最大流问题和线性规划等。

4. 多元函数的极值与最优化问题的应用多元函数的极值与最优化问题在科学、工程、经济学和管理学等领域有广泛的应用。

4.1 在自然科学中的应用多元函数的极值与最优化在物理学、化学和生物学等自然科学中有着广泛的应用。

7-7多元函数的极值及其求法

小值；
极大值、极小值统称为极值.
使函数取得极值的点称为极值点.
可类似定义 n 元函数
u=f
(x1，
x2，…
，xn)
的极值
1
z
例1 函数 z x2 y2 在 (0, 0) 处有极小值．
旋转抛物面
xo
y
例２函数 z x2 y2
在 (0,0) 处有极大值．锥面
例３函数 z xy
z x

3 x2 =0
唯一驻点为(0，0)。

z

3 y2 =0
该点的函数值为z(0，0)=0
y
在D的边界上求z=x3+y3的极值. 条件：x2 y2 =1
用拉格朗日乘数求解，
引入辅助函数 L( x, y) x3 y3 ( x2 y2 1)
19
例3 求z= x3+y3在D：x2+y2≤1上的最大值和最小值。
3
3
3
而依题意知体积最大的内接长方体存在,
故内接长方体最大体积为
83
Vmax
abc. 9
18
例3 求z= x3+y3在D：x2+y2≤1上的最大值和最小值。
解：函数z= x3+y3在有界闭区域 x2+y2≤1上一定可取得最大值和最小值
区域 {( x, y) : x2 y2 1}内部：求驻点
得：x1 0, y 6 x |x0 6, f (0,6) 0 x2 4 y 6 x |x4 2, f (4,2) 64,
比较后可知 f (2,1) 4为最大值, f (4,2) 64为最小值.
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多元函数在电学中应用实例

多元函数在电学中应用实例
摘要：
一、多元函数的概念和基本性质
二、多元函数在电学中的应用
三、多元函数的极值及其应用
四、多元函数微分法及其应用
五、多元函数的应用实例
正文：
一、多元函数的概念和基本性质
多元函数是指含有多个自变量的函数，例如f(x, y)。

多元函数的基本性质包括极限、连续性、可微性、偏导数等。

在电学中，多元函数可以用来描述电场、电势等物理量，从而分析电路的性能。

二、多元函数在电学中的应用
在电学中，多元函数常用来描述电场、电势等物理量。

例如，电势可以表示为关于空间坐标的函数，而电场强度可以表示为关于空间坐标和时间的函数。

通过分析多元函数的性质，可以得到电场和电势的分布规律，从而优化电路设计。

三、多元函数的极值及其应用
多元函数的极值是指在某个区域内，函数取得最大值或最小值的点。

在电学中，极值可以用来分析电势分布的极值点，例如电势最高的点、电势最低的点等。

这些极值点对于分析电路的性能具有重要意义。

四、多元函数微分法及其应用
多元函数的微分法包括全微分、偏导数等。

在电学中，偏导数可以用来表示电场强度、电势梯度等物理量。

通过计算偏导数，可以得到电场和电势的变化率，从而分析电路的性能。

五、多元函数的应用实例
在电学中，多元函数可以用来描述复杂电路的性能。

例如，在分析一个电阻、电容和电感组成的电路时，可以用多元函数来表示电压、电流等物理量。

通过求解多元函数的微分方程，可以得到电路中各物理量的变化规律，从而优化电路设计。