多元函数的极值概念、必要条件、应用例

在 x=x0 点取得极大值，由一元函数极值必要条件知,
(x ,y 0 同理, f y 0 0)
(x (x, y)0 fx ,y) 0 , fy
称为函数 zf(x ,y)的驻点.
同时成立的点,
简单的例子
zx y
2
2
原 点 是 最 小 值
z 'x ? z 'y ?
z 1x y
得：x y
2a
13 从而 z 2a 2
由问题的实际意义知，这时表面积获得最小值：S
33 4a2
练习
Page 210 7 （1） 或下面的题
[冻果汁的定价]
一个小乡村里的唯一商店有两种牌子的冻果汁，当地牌子的进价每听 30美分，外地牌子的进价每听40美分。店主估计，如果当地牌子的每听卖
x ,y )在点( x0 , y0 ) 处取得极大值. 证明:不妨设 zf(
则, f ( x , y ) f ( x , y ) , 特别地,取y 0 0 有
y0
f ( x , y ) f ( x , y ) 0 0 0
f (x ,y 0 x 0 0)
使
考虑一元函数
f ( x, y0 )
3）函数的极值点也可能是偏导数不存在的点。 例
f( x, y) x
3 2
3
y2
(0,0) (0,0)不存在 fx 不存在 fy
但在 （0,0）点取得极小值 4）函数的极值点的存在范围：驻点、偏导数不存在的点
原 点 是 最 大 值
比较
应用
• 必要条件的应用
最大最小值问题
（最大值和最小值定理） 在有界闭区域Ｄ上的连续函数，一定能够取得最大值和最小 值．
3）函数的极值点也可能是偏导数不存在的点。 例
f( x, y) x
3 2
3
y2
(0,0) (0,0)不存在 fx 不存在 fy
但在 （0,0）点取得极小值
注意
1）偏导数存在的极值点一定是驻点 2）函数的驻点不一定是极值点
点( 0 ,0 )是驻点 ，但不是 极值点 。 ,y)xy 例 f(x
答
二元函数的极值
定义 设函数 zf( x ,y )在点 P(x0, y0)某邻域内有定义,
对于该邻域内任一点 ( x , y ) , 若恒有不等式
1 ). f ( x , y ) f ( x , y )则称该函数在点 P 处有极大值 f (x0, y0) 0 0
2 ). f ( x , y ) f ( x , y )则称该函数在点P 处有极小值 f (x0, y0) 0 0
若函数在某区域 D 上有最值，那么最值一定是在极值点或边 界上取得。
最大最小值问题
在实际应用中，若根据问题的性质可知函数在区域
D 内部取到最值，而函数在 D 内又只有唯一的驻点，则
可判定函数在该驻点即取得最值。
例
• 例：要做一个长方形体无盖容器，问选择怎样的尺寸， 才能使用料最省？
• 解：设长方体容器的
极大值与极小值统称为极值.
使函数取得极值的点(x0,y0)称为极值点.
z ( x y) 3 ( x y)
2 23 2 2
原 点 是 极 大 值
[ ( x y ) 3 ( x y ) ] z
2 23 2 2
原 点 是 极 小 值
抛物柱面
zx
2
柱面
z x
3
zx y
2 ). f ( x , y ) f ( x , y ) 则称 f ( x0 , y0 )为函数在 D内的最小值 0 0
最大值与最小值统称为最值. 使函数取得最值的点 (x0,y0) 称为最值点.
极 大 值 是 最 大 值
zx y
2
2
原 点 是 最 小 值
z (x y )
2 2
f ( x , y ) ( x 30 )( 70 5 x 4 y ) ( y 40 )( 80 6 x 7 y )
于是求每天的最大总收益，就是求二元函数 求二元函数 f (x, y) 的偏导数，得
f 10x 10y 20 0 x f 10x 14y 240 0 y
2
2
z 'x ? z 'y ?
注意
1）偏导数存在的极值点一定是驻点 2）函数的驻点不一定是极值点
点( 0 ,0 )是驻点 ，但不是 极值点 。 ,y)xy 例 f(x
注意
1）偏导数存在的极值点一定是驻点 2）函数的驻点不一定是极值点
点( 0 ,0 )是驻点 ，但不是 极值点 。 ,y)xy 例 f(x
多元函数的极值
概念、必要条件、应用例
2005.1.2
多元函数的极值 内容提纲
• • • • • • 求最值的有用性：例 极值、最值定义（图示） 极值的必要条件，必要条件的几何意义 必要条件应用：简单例子 极值的充分条件 充分条件的证明的主要想法：
– 泰勒公式
问题
• 要在三个村庄中 间的某地建一个 店。。。
x 美分，外地牌子的每听卖 y 美分，则每天可卖出 70 5 x 4 y 听当地牌子
( 8 0 6 x 7 y ) 的果汁， 听外地牌子的果汁。问:店主每天以什么价格卖两种牌子
的冻果汁可取得最大收益？
解
既然总收益为当地牌子的果汁收益与外地牌子的果汁收益之和，所 以每天总收益为二元函数
2
2
原点不是极值点
z
xy
原点不是极值点
z
sin ( x y )
原点不是极值点
最值
最大值、最小值
,y ) (x D 设函数 zf(x 在平面区域 D 内有定义, p 0,y 0)
对于该区域内任一点 ( x , y ) , 若恒有不等式
1 ). f ( x , y ) f ( x , y ) 则称 f ( x0 , y0 )为函数在 D内的最大值 0 0
f (x, y) 的最大值。
则有驻点
x 53 ,y 55 y 55美分时，小店可取得 .所以当 x 53美分，
最大收益.引例的求解
多元函数的极值 概念、必要条件、应用例
欧阳顺湘 北京师范大学珠海分校 2005.1.2
原 点 是 最 大 值
z 1x y
2
2
极值的必要条件
wk.baidu.com
回忆：单变量函数极值的必要条件
• Fermat 定理：区间内点的极值点是驻点
• 定义域的内点取极值的必要条件
定理 1(必要条件)
设函数 zf( 在点 ( x0 , y0 ) 处偏导 x ,y ) 数 ( x , y ) 0 , f ( x , y ) 0 存在,并取得极值, 则 f x 0 0 y 0 0
长、宽、高分别为 x, y, z, 由题设，V＝xyz=a，
z
x
y
记容器的表面积为 S, 则
S＝xy＋2xz+2yz,
2a 2a S x y 2 x z 2 y z xy y x
2a Sx y 2 0 x 2a Sy x 2 0 y
3
z
x
y
解方程组：
xyz a