数学分析课件 一致收敛性资料讲解
数学分析课件一致收敛函数列与函数项级数的性质
对于一致收敛的函数列或函数项级数 ，在每个点的某个邻域内，函数列或 级数的每一项都是有界的。这意味着 在每个点的附近，函数列或级数的变 化范围是有限的。
性质三：局部连续性
总结词
局部连续性是指一致收敛的函数列或函 数项级数在每个点的邻域内都是连续的 。
VS
详细描述
对于一致收敛的函数列或函数项级数，在 每个点的某个邻域内，函数列或级数的每 一项都是连续的。这意味着在每个点的附 近，函数列或级数的值是平滑变化的，没 有突然的跳跃或断点。
03
一致收敛函数列与函数项 级数的应用
应用一：微积分学中的一致收敛概念
要点一
总结词
要点二
详细描述
理解一致收敛在微积分学中的重要性
一致收敛是数学分析中的一个重要概念，它描述了函数列 或函数项级数在某个区间上的收敛性质。在微积分学中， 一致收敛的概念对于研究函数的极限行为、连续性、可微 性和积分等性质至关重要。通过理解一致收敛，可以更好 地理解函数列和级数的收敛性质，从而更好地应用微积分 学中的相关定理和性质。
应用二：实数完备性的证明
总结词
利用一致收敛证明实数完备性
详细描述
实数完备性是实数理论中的重要性质，它表 明实数具有某些理想的完备性。利用一致收 敛的性质，可以证明实数完备性的一些重要 定理，如确界定理、区间套定理和闭区间套 定理等。这些定理在实数理论中起着至关重 要的作用，为实数性质的研究提供了重要的 理论支持。
05
一致收敛函数列与函数项 级数的扩展知识
扩展知识一：一致收敛的判定定理
01
柯西准则
对于任意给定的正数$varepsilon$，存在正整数$N$，使得当
$n,m>N$时，对所有的$x$，有$|f_n(x)-f_m(x)|<varepsilon$。
03第三讲 余项准则,一致收敛的例
| fn( x) f ( x) | , x D.
由上确界的定义, 对所有 n N , 也有
sup | fn( x) f ( x) | .
xD
这就得到了(6)式.
数学分析 第十三章 函数列与函数项级数
高等教育出版社
§1一致收敛性
函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛性判别法
定理13.2（余项准则）
函数列{ fn }在区间 D上一致收敛于 f 的充分必要条
件是:
lim sup |
n xD
fn( x)
f ( x) |
0.
(6)
充分性 由假设, 对任给 >0, 存在正整数N, 使得
当n N 时,有 sup | fn( x) f ( x) | .
(7)
xD
因为对一切 x D, 总有
1 ]上有
f
(x)
lim
n
fn(
x)
0.
数学分析 第十三章 函数列与函数项级数
高等教育出版社
§1一致收敛性
函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛fn ( x) 2n 2n2 x,
1 x 1,
2n
n
0,
1 x 1, n
§1一致收敛性
函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛性判别法
第三讲
余项准则 一致收敛函数列的例
数学分析 第十三章 函数列与函数项级数
高等教育出版社
§1一致收敛性
函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛性判别法
一致收敛性
n xD n xD
数学分析选讲
多媒体教学课件
三、函数项级数的一致收敛性判别法 定理5(维尔斯特拉斯判别法)设函数项级数un(x)定义 在数集D上, Mn为收敛的正项级数,若对一切xD,有
n 1
由f(x)的连续性,
1 1 k lim f n( x) lim f( x ) f( x t) dt. 0 n n n k 0 n n 1
数学分析选讲
多媒体教学课件
n 1
| fn ( x)
1
0
1 1 k f ( x t )dt || f ( x ) f ( x t )dt | 0 n k 0 n
n n充分大时, x 2 n 2 单调递减收敛于0.故原级数为莱布
尼兹级数.且
n 1 1 | rn ( x ) || 2 , 2 x ( n 1) n 1
故原级数一致收敛.
数学分析选讲
多媒体教学课件
例4 证明函数列
x f n ( x ) n ln(1 )( n 1, 2,) n
k 1 n k n
k | f ( x ) f ( x t ) | dt | n
数学分析选讲
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由于
k k 1 t [ , ] n n
所以
k k 1 | x ( x t ) || t | , n n n
故取n 充分大,使1/ n <,则
k | f ( x ) f ( x t ) | . n
n 1
在[a, b]上一致收敛.
数学分析选讲
函数项级数的一致收敛性及基本性质ppt课件
.
故 幂 级 数 anxn在 [a,b]上 适 合 定 理3条 件 ， 从 n1
而 可 以 逐 项 求 导 ． 由 [a ,b ]在 ( R ,R )内 的 任 意 性 ，
即 得 幂 级 数 a n x n 在 ( R ,R )内 可 逐 项 求 导 . n 1
区间上的一致收敛性．
cos nx
1.
n1
2n
,
x ;
2. x2enx , 0 x .
n1
.
练习题答案 一1、 .取自然 N数 x．
二、一致收敛．
.
由 比 值 审 敛 法 可 知 级 数 nn 1 q 收 敛 ， n 1
于是 nn 1 q 0 (n ),
.
故 数 列nn q1有 界 ， 必 有 M0， 使 得
nn q 11M (n1,2,) x1
又 0x 1R ， 级 数a nx 1 n收 敛 ， n 1
由 比 较 审 敛 法 即 得 级 数 nn x a n 1收 敛 ． n 1 由 定 理4， 级 数 nnaxn1在 (R,R)内 的 任 意 n1
致收敛.
进一步还可以证明，如果幂级数anxn在收敛 n1
区间的端点收敛，则一致收敛的区间可扩大到包 含端点．
.
定理5 如 果 幂 级 数 a n x n 的 收 敛 半 径 为 n1
R 0 ，则其和函数s(x) 在( R, R) 内可导，且
有逐项求导公式
s( x )
an xn
n1
na n x n1 ,
n1
逐项求导后所得到的幂级数与原级数有相同的收
敛半径．
.
证 先证级数 nanxn1在(R,R)内收敛． n1
第七节函数项级数的一致收敛性幂级数的一致收敛性
第七节 函数项级数的一致收敛性内容分布图示★ 引例(讲义例1) ★ 一致收敛的概念★ 例2 ★ 例3 ★ 魏尔斯特拉斯判别法 ★ 例4 ★ 例5 一致收敛级数的基本性质 ★ 定理2★ 定理3★ 定理4幂级数的一致收敛性★ 定理5★ 定理6 ★ 内容小结★ 课堂练习★ 习题11—7 ★ 返回讲解注意：一、 一致收敛的概念：函数项级数在收敛域I 上收敛于和)(x s ，指的是它在I 上的每一点都收敛，即对任意给定的0>ε及收敛域上的每一点x ，总相应地存在自然数),(x N ε，使 得当N n >时，恒有ε<-|)()(|x s x s n .一般来说，这里的N 不仅与ε有关，而且与x 也有关. 如果对某个函数项级数能够找到这样的一个只与ε有关而不依赖于x 的自然数N ，则当N n >时，不等式ε<-|)()(|x s x s n 对于区间I 上每一点都成立，这类函数项级数就是所谓的一致收敛的级数.定义1 设函数项级数∑∞=1)(n n x u 在区间I 上收敛于和函数)(x s , 如果对任意给定的0>ε，都存在着一个与x 无关的自然数N , 使得当N n >时, 对区间I 上的一切x 恒有ε<-=|)()(||)(|x s x s x r n n ，则称该函数项级数在区间I 上一致收敛于和)(x s ，此时也称函数序列)}({x s n 在区间I 上一致收敛于)(x s .二、定理1（魏尔斯特拉斯判别法）如果函数项级数∑∞=1)(n n x u 在区间I 上满足条件：（1）);,3,2,1(|)(| =≤n a x u n n （2）正项级数∑∞=1n n a 收敛.则该函数项级数在区间I 上一致收敛. 三、 一致收敛级数的基本性质定理2 如果级数∑∞=1)(n n x u 的各项)(x u n 在区间],[b a 上都连续，且级数在区间],[b a 上一致收敛于),(x s 则)(x s 在],[b a 上也连续.定理3 设)(x u n ),3,2,1( =n 在],[b a 上连续，且级数∑∞=1)(n n x u 在区间],[b a 上一致收敛于)(x s ，则⎰xx dx x s 0)(存在，且级数∑∞=1)(n n x u 在],[b a 上可以逐项积分，即])([])([)(11∑⎰⎰∑⎰∞=∞===n xx n x x n n xxdx x u dx x u dx x s (7.2)其中,0b x x a ≤<≤ 且上式右端的级数在],[b a 上也一致收敛.定理4 如果级数∑∞=1)(n n x u 在区间],[b a 上收敛于和)(x s , 它的各项)(x u n 都有连续导数)(x u n'，并且级数∑∞='1)(n nx u 在],[b a 上一致收敛，则级数∑∞=1)(n n x u 在],[b a 上也一致收敛，且可 逐项求导，即有∑∑∞=∞='='⎪⎪⎭⎫⎝⎛='11)()()(n nn n x u x u x s (7.3) 四、 幂级数的一致收敛性定理5 如果幂级数∑∞=1n n n x a 的收敛半径为,0>R 则此级数在),(R R -内的任一闭区间],[b a 上一致收敛.定理6 如果幂级数∑∞=1n n n x a 的收敛半径为,0>R 则其和函数)(x s 在),(R R -内可导，且有逐项求导公式,)(111∑∑∞=-∞=='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='n n n n n n x na x a x s逐项求导后所得到的幂级数与原级数有相同的收敛半径.例题选讲：一致收敛的概念例1（讲义例1）考察函数项级数+-++-+-+-)()()(1232n n x x x x x x x的和函数的连续性.本例表明，即使函数项级数的每一项都在[a , b ]上连续，并且级数在[a , b ]上收敛，但其和函数却不一定在[a , b ]上连续；同样也可举例说明，函数项级数的每一项的导数及积分所成的级数的和也不一定等于它们的和函数的导数及积分. 那么在什么条件下，我们才能够从级数每一项的连续性得出它的和函数的连续性，从级数的每一项的导数及积分所成的级数之和得出原级数的和函数的导数及积分呢? 要回答这个问题，就需要引入函数项级数的一致收敛性概念.例2（讲义例2）研究级数∑∞=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-111n n n n x n x 在区间]1,1[-上的一致收敛性.例3（讲义例3）研究级数∑∞=-0)1(n n x x 在区间[0,1]上的一致收敛性.例4（讲义例4）证明级数++++22222sin 22sin 1sin nx n x x 在),(+∞-∞上一致收敛.例5（讲义例5）判别级数∑∞=+1241n x n x在),(+∞-∞上一致收敛. 课堂练习1. 研究级数+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++111112111n x n x x x x 在区间),0[+∞上的一致收敛性.魏尔斯特拉斯（Weierstrass, Karl Wilhelm ，1815~1897)魏尔斯特拉斯德国数学家，1815年10月31日生于德国威斯特伐利亚地区的奥斯登费尔特；1897年2月19日卒于柏林。
数学分析课件 一致收敛性资料讲解共52页文档
数学分析课件 一致收敛性资料讲解
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
§13..2一致收敛性质ppt课件
9
0, N
0,n
N ,x I ,有 |
fn(x)
f ( x) |
, ba
故n N ,有
b
a
lim
n
fn( x)dx
b
b
b
| a fn( x)dx a f ( x)dx || a[ fn( x) f ( x)]dx |
b
|
a
fn(x)
f
( x) | dx
(b a) .
n1
cos n
3nx， n1
sin nx n4
,
n1
sin nx n2
在(,)上一致收敛.
f
'( x)
cos nx
3
n n1
f
"(
x)
n1
且 lim xa
fn ( x)
存在,
则有
lim
xa
lim
n
fn
(
x)
lim
n
lim
xa
fn( x);
若
f
n
(
x
)
在
(a
,
b)
上一致收敛,且
lim
xb
fn( x) 存在, 则有
lim
xb
lim
n
fn
(
x
)
lim
n
lim
xb
fn( x).
5
fn ( x)
f (x)
则 lim lim x x0 n
fn(x)
6
定理13.9的逆否命题：
若fn(x)的极限函数f(x)在I上不连续，则
I
fn ( x)
第一课数学分析复习3一致收敛
C[a
,
b],
⑵ fn'(x) 在[a,b]一致收敛于g(x),
⑶ x0 [a,b], fn( x0 )收敛
则 fn( x)在[a,b]上一致收敛于f ( x),
且对x [a,b], f '( x) g( x),
即
[ lim n
fn ( x)]'
[lim n
f
2 一致收敛
定义：
设 fn在点集I上逐点收敛于f ,
若 0, 与x无关N ( ),
s.t 当n N时,对一切x I,
都有 fn( x) f ( x) ,
称 fn在I上一致收敛于f .
2 一致收敛
定理1. 记 : n sup fn ( x) f ( x)
n1 n n1 n
0
证明：
取an
cos nx,bn
1 ,则 n
bn (x)单调减，一致趋于0.
n ak (x)
k 1
n
cos kx
k 1
1 sin x
1
sin
2
2
一致有界
cos nx 在[ ,2 ]上一致收敛.
n1 n
Abel判别法 an ( x)bn ( x) n1
由M任意性, S( x)C(,).
二、逐项积分 1.函数列：
定理3：设 fn R[a,b],且fn ( x) uni f ( x),
则f R[a,b] 且 lim ab fn( x)dx ab f ( x)dx n 极限与积分交换
推论 设 fn C[a,b],且fn uni f ( x),则
同济大学)高等数学课件D116一致收敛
已知
1
3
收敛, 因此原级数在[0, +∞) 上一致收敛 .
n1 n 2
编辑ppt
14
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二、一致收敛级数的基本性质
定理1. 若级数 un(x)满足:
n1
1 )各un项 (x)在[区 a,b]上 间;连续
2)un(x)在区 [a,b间 ]上一致S收 (x), 敛于
n1
令p a ,n 则 1 由 an 上 2 式 r n(得 a xn )p 22
故函数项级数 un ( x) 在区间 I 上一致收敛 . 证毕
n 1
编辑ppt
11
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推论. 若幂级数 a n x n 的收敛半径 R > 0 , 则此级
n0
数在 (－R, R ) 内任一闭区间 [ a , b ] 上一致收敛 .
编辑ppt
15
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因为级数 u n ( x ) 一致收敛于S (x) , 故 0,N
n 1
N(),使当 n > N 时, 有
rn(x)3, rn(x0)3
对这样选定的 n , Sn(x)在x0连,续 从而必存在 > 0 ,
当 xx0时 ,有
Sn(x)Sn(x0)
n1
S(x)un (x)
n1
证: 先证可逐项求导. 设un (x)(x),根据定理2,
n1
编辑ppt
22
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对 x[a,b],有
ax(x)dx axun (x)dx un(x)un(a)
n1
n1
un(x)un(a)S(x)S(a)
函数项级数的一致收敛性课件
一致收敛性的判定准则
柯西准则
如果存在常数$M$，使得对于任意的$x in I$和任意的$n in mathbb{N}$，都有 $|f_n(x)| leq M$，则该级数在区间$I$上一致收敛。
狄利克雷-阿贝尔准则
如果存在一个非零函数$g(x)$，使得对于任意的$x in I$和任意的$n in mathbb{N}$，都有$|f_n(x)| leq g(x)$，并且$sum_{n=0}^{infty} g(x)$在区间 $I$上收敛，则该级数在区间$I$上一致收敛。
微分方程求解
一致收敛的函数项级数可以用来 求解某些微分方程，例如求解某 些初值问题和边值问题。
在实变函数中的应用
测度论
一致收敛的函数项级数在测度论中有重要应用，例如在证明某些测度的可积性和可测性 时需要用到一致收敛性。
积分方程
一致收敛的函数项级数可以用来求解某些积分方程，例如求解某些初值问题和边值问题 。
Part
03
一致收敛性的判定方法
柯西准则
柯西准则
如果对于任意的正数$varepsilon$，存在一个正整数$N$，使得当$n>N$时，对于所有的$x$，都有$left| sum_{k=n}^{m} a_k(x) right| < varepsilon$，则函数项级数$sum_{k=0}^{infty} a_k(x)$在$mathbf{R}$上一 致收敛。
总结了几种常用的判别函数项 级数一致收敛的方法，包括柯 西准则、狄利克雷定理、阿贝 尔定理等，并给出了相应的证 明和实例。
探讨了函数项级数一致收敛性 与函数项级数项的连续性的关 系，证明了函数项级数一致收 敛时，其项的极限函数是连续 的。
通过几个具体的例子，展示了 函数项级数一致收敛性在解决 实际问题中的应用，如近似计 算、积分计算等。
数学分析课件 一致收敛性资料讲解共52页
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
数学分析课件 一致收敛性资料讲解
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
Байду номын сангаас
函数序列的收敛与一致收敛
函数序列的收敛与一致收敛函数序列是指一组函数按照一定的规律排列组成的序列。
函数序列的收敛是指函数序列中的每一个函数都在特定点或特定区间上收敛于同一个函数。
而函数序列的一致收敛是指函数序列在特定区间上的收敛性不仅与特定点有关，还与整个区间的长度有关。
在数学分析中，函数序列的收敛与一致收敛是重要的概念。
收敛性是函数序列研究中的基本问题之一，而一致收敛则是收敛性的一种更强的要求。
一、函数序列的收敛对于函数序列{f_n(x)}而言，存在函数f(x)，当自变量x趋近于特定点a时，函数序列中的每一个函数f_n(x)都收敛于f(x)，则称函数序列{f_n(x)}收敛于函数f(x)，记作f_n(x)→f(x)，或lim f_n(x) = f(x) (n→∞)。
函数序列的收敛性可以通过函数的极限来判定。
如果函数序列中的每一个函数在特定点a处存在有限极限，且所有这些极限都相等，则函数序列收敛于这个极限值。
二、函数序列的一致收敛函数序列{f_n(x)}在区间I上一致收敛于函数f(x)，是指对于任意给定的ε>0，存在N，当n>N时，对于区间I上的任意x，都有|f_n(x)-f(x)|<ε成立。
与函数序列的收敛相比，函数序列的一致收敛更强，它要求不仅对于特定点，所有函数f_n(x)都要连续收敛于f(x)，而且在整个区间上的收敛性都要一致。
函数序列的一致收敛性可以通过序列的极限函数来判定。
如果函数序列的极限函数是一个连续函数，且序列中的每一个函数在整个区间上都逐点收敛于该极限函数，则函数序列在该区间上一致收敛于该极限函数。
三、收敛与一致收敛的关系函数序列的一致收敛是函数序列收敛性的一种更强要求，即一致收敛蕴含着收敛。
但是函数序列的收敛并不一定能推导出一致收敛。
一般来说，函数序列的收敛性可以通过函数的极限来判断，而一致收敛则需要更加严格的条件。
例如，如果函数序列在某个点x收敛，但在整个区间上并不一致收敛，那么序列可能只是逐点收敛于该点，而在其他点上并不收敛。
数学分析精 一致收敛函数列与函数项级数的性质PPT课件
U(x0,b), 有
|fn (x ) f(x )| 3和 |a n A | 3
同时成立. 特别当 nN1时, 有
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|fN 1 (x ) f(x )| 3 和 |a N 1 A | 3
又因为 x li m x0 fN1(x)aN1, 故存在 0 , 当
致收敛, 故存在正整数 N, 当 n>N 及任意正整数 p,
对一切 x (a ,x 0 )U (x 0 ,b )有
|fn (x)fn p(x)|.
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从而
|a n a n p | x l i m x 0 |f n ( x ) f n p ( x ) | .
于是由柯西准则可知 { a n } 是收敛数列, 设lni m anA, 即 ln i m x li m x0fn(x)A , 下面证明 x li m x 0f(x ) x li m x 0 l n i m fn (x ) A . 注意到
定理指出: 在一致收敛的条件下, { fn( x)}中关于独
立变量 x 与 n 的极限可以交换次序, 即(1)式成立.
类 似 地 ,若 fn (x )在 ( a ,b )上一致收敛,
且 lim xa
fn ( x)
存在, 则有 x li m a l n i m f n ( x ) l n i m x li m a f n ( x ) ;
fn
图13 6
连续函数列, 且对任意
x[0,1], lni m fn(x)0. O
11
1
x
2n n
前页 后页 返回
又 sup|fn(x)0|n, 因此{fn(x)}在 [0,1]上一致 x [0,1]
一致收敛性.ppt
第1节一致收敛性
0, f ( x) 1,
x 1 x 1
n
证明 : 0, ( 1),当0 x 1时， f n ( x ) f ( x ) x
ln 取N ,当n N时， 有 f n ( x ) f ( x ) ln x n N ,当x 0有 f n (0) f (0) 0 ,
sin nx 例2 : 求f n 的收敛域以及极限函数 f ( x ). n 解 : x ( ,), sin nx 1 n n
1 0, N ,当n N时, 有 sin nx 1 0 n n sin nx 的收敛域为R， 极限函数为f ( x ) 0. n
2.用拉贝判别法判别下列 级数的敛散性 :
1 3( 2n 1) 1 (1) 2 4( 2n) 2n 1
解:
un1 ( 2n 1)!! 2n 1 ( 2n)!! n(1 ) n 1 un ( 2 n 2 )! ! 2 n 3 ( 2 n 1 )! !
当n N (, x )时， 总有 f n ( x ) f ( x ) .
注：使函数列 f n
收敛的全体收敛点的集合为收敛域
例1 : 设f n ( x ) x n , n 1,2,为定义在 ( , )
上的函数列, 则其收敛域为( 1,1], 且有极限函数 :
n(6n 5) 3 (n ) ( 2n 2)( 2n 3) 2
由拉贝判别法知 : 原级数收敛 .
3.设an 0, 证明数列1 a1 1 a2 1 an
与级数 an同敛散 . 证明 : 原命题等价于证明 ln(1 an )与 an同敛散 .
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列(1)在点 x0 发散. 当函数列(1)在数集 D E上每一 点都收敛时, 就称(1)在数集 D 上收敛. 这时 D 上每
一点 x 都有数列 { fn( x)}的一个极限值与之相对应 ,
根据这个对应法则所确定的 D 上的函数, 称为函数
列(1)的极限函数. 若将此极限函数记作f, 则有
lim
n
fn(x)
f (x) ,
xD
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或 fn(x) f (x) (n ) , x D.
函数列极限的 N 定义: 对每一固定的 x D , 任 给正数 , 总存在正数N(注意: 一般说来N值与 和
x 的值都有关, 所以有时也用N( , x)表示三者之间
0, | x | 1,
f
(
x)
1,
x 1.
证 任给 0 (不妨设 1), 当 0 | x | 1 时, 由于
| fn( x) f ( x) || xn |,
只要取 N ( , x) ln , 当 n N ( , x) 时,就有
ln | x |
| fn( x) f ( x) || x |n| x |N .
(1)
是一列定义在同一数集 E 上的函数,称为定义在E
上的函数列. (1) 也可记为
{ fn } 或 fn , n 1, 2,L .
以 x0 E 代入 (1), 可得数列
f1( x0 ), f2( x0 ), L , fn( x0 ), L .
(2)
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如果数列(2)收敛, 则称函数列(1)在点 x0 收敛, x0 称 为函数列(1)的收敛点. 如果数列(2)发散, 则称函数
对应的数列为 1, 1, 1, 1L , 显然是发散的. 所以 函数列 { xn } 在区间 (1, 1]外都是发散的. 故所讨论
的函数列的收敛域是 (1, 1].
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例2
定义在 (,
) 上的函数列
fn( Hale Waihona Puke )sin nx , n
n 1,2,L .
由于对任何实数 x, 都有
事实上,
若取
0
1, 2
对任何正整数
N
2,
取正整
1
数
n0
N
及
x0
1
1 N
N
(0,
1),
就有
x0n0 0
1 1 1. N2
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函数列 fn 一致收敛于 f 的几何意义:如图所示,
0, N 0, 对于序 y
号大于 N 的所有曲线
例2
中的函数列
sin nx
n
是一致收敛的,
因为对任意
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给定的正数 , 不论 x 取(-,+)上什么值, 都有
N
1 ,
当n
N 时,
恒有
sin nx
,
所以函数列
n
sin nx
n
在(-,+)上一致收敛于
f
(x)
0.
函数列 fn 在 D 上不一致收敛于 f 的正面陈述是:
sin nx 1 , nn
故对任给的 0, 只要 n N 1 , 就有
sin nx 0 .
n
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所以函数列 sin nx n的收敛域为 (, ), 极限
函数为 f ( x) 0. 注 对于函数列, 仅停留在讨论在哪些点上收敛是远 远不够的，重要的是要研究极限函数与函数列所具 有的解析性质的关系. 例如, 能否由函数列每项的 连续性、可导性来判断出极限函数的连续性和可导 性; 或极限函数的导数或积分, 是否分别是函数列 每项导数或积分的极限. 对这些更深刻问题的讨论, 必须对它在 D上的收敛性提出更高的要求才行.
存在某正数 0, 对任何正数 N, 都有某一点 x0 D 和
某一正整数 n0 N( 注意: x0 与 n0 的取值与 N 有关 ),
使得
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fn0 ( x0 ) f ( x0 ) 0 .
由例1 中知道, xn 在 (0, 1) 上不可能一致收敛于 0.
下面来证明这个结论.
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当 x 0 和 x 1时, 则对任何正整数 n, 都有
| fn(0) f (0) | 0 ，
| fn(1) f (1) | 0 .
这就证明了 { fn } 在( 1, 1] 上收敛, 且极限就是(3)
式所表示的函数.
又 当| x | 1时, 有 | x |n (n ), 当 x 1时,
的依赖关系), 使当 n N 时, 总有
| fn( x) f ( x) | .
使函数列 { fn }收敛的全体收敛点集合, 称为函数列
{ fn }的收敛域.
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例1 设 fn( x) xn, n 1,2,L 为定义在(-, ) 上的 函数列, 证明它的收敛域是 (1, 1], 且有极限函数
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为: 与 相对应的 N 仅与 有关, 而与 x 在 D 上的 取值无关, 因而把这个对所有 x 都适用的 N 写作
N ( ).
显然, 若函数列 fn 在 D 上一致收敛, 则必在 D 上
每一点都收敛. 反之, 在 D 上每一点都收敛的函数列,
它在 D 上不一定一致收敛.
§1 一致收敛性
对于一般项是函数的无穷级数，其收敛性 要比数项级数复杂得多，特别是有关一致收 敛的内容就更为丰富，它在理论和应用上有 着重要的地位.
一、函数列及其一致收敛性 二、函数项级数及其一致收敛性 三、函数项级数的一致收敛判别法
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一、函数列及其一致收敛性
设
f1, f2, L , fn , L
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定义1 设函数列{ fn } 与函数 f 定义在同一数集 D 上，若对任给的正数 , 总存在某一正整数 N , 使当 n N 时，对一切 x D, 都有
| fn( x) f ( x) | ， 则称函数列 { fn} 在 D 上一致收敛于 f ,记作
fn( x) f ( x)(n ) , x D. 由定义看到, 一致收敛就是对 D 上任何一点, 函数列 趋于极限函数的速度是 “一致” 的. 这种一致性体现