张量分析——初学者必看课件
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x1 x1cosx2sin x2 x1sinx2cos
筒写为 Aijxj bi
j ——哑指标
i——自由指标，在每一项中只出现一次，一个公式
中必须相同
5
§ A-1 指标符号 三、Kronecker-符号和置换符号(Ricci符号) Kronecker-符号定义
ji
ij
1 0
当i j 当i j
当i, j 1,2,3时，有
11 22 33 1 12 21 23 32 31 13 0
e1 e2 e3
erstir jset eijt et eijk ek 16
§A-2 矢量的基本运算 二、矢量叉积
A 张量分析
abaiei bjej aibjei ej aibjeijkek eijkaibjek c ck eijkaibj
17
§A-2 矢量的基本运算 三、矢量的混合积
A 张量分析
Ricci符号定义
偶次置换
1 若i, j,k1,2,3,2,3,1,3,1,2 eijk 1 若i, j,k3,2,1,2,1,3,1,3,2
0 若有两个或三个等 指标相
e123 e231 e3121 e213 e132 e321 1 e111 e112 e113 0
奇次置换
9
§ A-1 指标符号 三、Kronecker-符号和置换符号(Ricci符号) Ricci符号定义
i1 i2 i3 i1 j1 k1 eijk j1 j 2 j 3 i 2 j 2 k 2
k1 k2 k3 i3 j3 k3
31 32 33 0 0 1 e321 21 22 23 0 1 0 1
11 12 13 1 0 0
10
eijkejikeikjekji eijkejkiekij
Kronecker-和Ricci符号的关系
eke ik j s t is j t jsit
13
§A-2 矢量的基本运算
A 张量分析
在三维空间中, 任意矢 量都可以表示为三个基 矢量的线性组合
e1, e2 , e3
a a 1 e 1 a 2 e 2 a 3 e 3 a ie i
ai为矢量a在基矢量ei下的分解系数, 也称矢量
§ A-1 指标符号 一、求和约定和哑指标
A 张量分析
Sa 1x 1a 2x2 a nxn
n
n
S aixi ajxj
i1
j1
约定
Saixi ajxj
用拉丁字母表示3维，希腊字母表2维
求和指标 与所用的 字母无关
指标重复 只能一次
指标范围 3
一、求和约定和哑指标
§ A-1 指标符号
33
Aij xi y j
6
§ A-1 指标符号 三 、 Kronecker- 符 号 和 置 换 符 号 (Ricci符号) Kronecker-符号定义
11 12 13 1 0 0 ij 21 22 230 1 01
31 32 33 0 0 1
ijaj i1a1i2a2i3a3ai
imAmjAij
7
直角坐标系的 基矢量
i 11 22 33 3 ik kj ij ij ij i j 3 ij jk kl il a ik kj a ij a ij ij a i a 11 a 22 a 33 a i ij a j e i e j ij
8
§ A-1 指标符号 三、Kronecker-符号和置换符号(Ricci符号)
的分量
一、矢量点积
ei ej ij
14
§A-2 矢量的基本运算 一、矢量点积
A 张量分析
abaiei bjej aibjij
aibi ajbj
二、矢量叉积
ei ej eijkek
15
§A-2 矢量的基本运算
二、矢量叉积
证明
ei ik ek e j jk ek
A 张量分析
i1 i2 i3 ei ej j1 j2 j3
i1 j1
双重求和
Aijxiyj A11x1y1A12x1y2A13x1y3
A21x2y1A22x2y2A23x2y3 A31x3y1A32x3y2A33x3y3
Aijkxi yj zk
代表27项 的和式
4
二、自由指标
§ A-1 指标符号
A11x1 A12x2 A13x3 b1 A21x1 A22x2 A23x3 b2 A31x1 A32x2 A33x3 b3
abc eijk aibjek crer
eijk aibjcrkr
eijk aibjck
ei ej ek eijrer ek
e e ijr rk
Ricci符号
ijk
18
§A-2 矢量的基本运算 四、矢量的并乘(并矢)
Βιβλιοθήκη Baidu
A 张量分析
aaiei,bbjej 并乘 abaieibjej aibjeiej
i1 i2 i3 p1 q1 r1 e e ijk pqr j1 j2 j3 p2 q2 r2
k1 k2 k3 p3 q3 r3
i1p 1 i2p 2 i3p 3 i1p 1 ip
11
ip iq ir eijk epqr jp jq jr
aba1b1e1e1a1b2e1e2a1b3e1e3 a2b1e2e1a2b2e2e2a2b3e2e3 a3b1e3e1a3b2e3e2a3b3e3e3
19
§A-3 坐标变换与张量的定义
xxcosysin yxsinycos
A 张量分析
xxcosysin yxsinycos
20
§A-3 坐标变换与张量的定义 A 张量分析
kp kq kr
pk
eijkekqr iq jq
ir jr
iqjr irjq
12
a11 a12 a13 A a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31
a31 a32 a33 a13a21a32 a13a22a31a12a21a33 a11a23a32 eijka1ia2 ja3k eijkai1aj2ak3
附A 张量分析
§ A-1 指标符号
例如, 三维空间任意一点P在笛卡儿坐 标系
x1, x2, x3
用指标符 号表示为
xi, i1,2,3
1
数
a1,a2,a3,,an
x1,x2,x3,,xn
变量
ai,i1,2,,n xi,i1,2,,n
指标符号
i—指标——取值范围为小于或等于n的所有正整数 n—维数
2
筒写为 Aijxj bi
j ——哑指标
i——自由指标，在每一项中只出现一次，一个公式
中必须相同
5
§ A-1 指标符号 三、Kronecker-符号和置换符号(Ricci符号) Kronecker-符号定义
ji
ij
1 0
当i j 当i j
当i, j 1,2,3时，有
11 22 33 1 12 21 23 32 31 13 0
e1 e2 e3
erstir jset eijt et eijk ek 16
§A-2 矢量的基本运算 二、矢量叉积
A 张量分析
abaiei bjej aibjei ej aibjeijkek eijkaibjek c ck eijkaibj
17
§A-2 矢量的基本运算 三、矢量的混合积
A 张量分析
Ricci符号定义
偶次置换
1 若i, j,k1,2,3,2,3,1,3,1,2 eijk 1 若i, j,k3,2,1,2,1,3,1,3,2
0 若有两个或三个等 指标相
e123 e231 e3121 e213 e132 e321 1 e111 e112 e113 0
奇次置换
9
§ A-1 指标符号 三、Kronecker-符号和置换符号(Ricci符号) Ricci符号定义
i1 i2 i3 i1 j1 k1 eijk j1 j 2 j 3 i 2 j 2 k 2
k1 k2 k3 i3 j3 k3
31 32 33 0 0 1 e321 21 22 23 0 1 0 1
11 12 13 1 0 0
10
eijkejikeikjekji eijkejkiekij
Kronecker-和Ricci符号的关系
eke ik j s t is j t jsit
13
§A-2 矢量的基本运算
A 张量分析
在三维空间中, 任意矢 量都可以表示为三个基 矢量的线性组合
e1, e2 , e3
a a 1 e 1 a 2 e 2 a 3 e 3 a ie i
ai为矢量a在基矢量ei下的分解系数, 也称矢量
§ A-1 指标符号 一、求和约定和哑指标
A 张量分析
Sa 1x 1a 2x2 a nxn
n
n
S aixi ajxj
i1
j1
约定
Saixi ajxj
用拉丁字母表示3维，希腊字母表2维
求和指标 与所用的 字母无关
指标重复 只能一次
指标范围 3
一、求和约定和哑指标
§ A-1 指标符号
33
Aij xi y j
6
§ A-1 指标符号 三 、 Kronecker- 符 号 和 置 换 符 号 (Ricci符号) Kronecker-符号定义
11 12 13 1 0 0 ij 21 22 230 1 01
31 32 33 0 0 1
ijaj i1a1i2a2i3a3ai
imAmjAij
7
直角坐标系的 基矢量
i 11 22 33 3 ik kj ij ij ij i j 3 ij jk kl il a ik kj a ij a ij ij a i a 11 a 22 a 33 a i ij a j e i e j ij
8
§ A-1 指标符号 三、Kronecker-符号和置换符号(Ricci符号)
的分量
一、矢量点积
ei ej ij
14
§A-2 矢量的基本运算 一、矢量点积
A 张量分析
abaiei bjej aibjij
aibi ajbj
二、矢量叉积
ei ej eijkek
15
§A-2 矢量的基本运算
二、矢量叉积
证明
ei ik ek e j jk ek
A 张量分析
i1 i2 i3 ei ej j1 j2 j3
i1 j1
双重求和
Aijxiyj A11x1y1A12x1y2A13x1y3
A21x2y1A22x2y2A23x2y3 A31x3y1A32x3y2A33x3y3
Aijkxi yj zk
代表27项 的和式
4
二、自由指标
§ A-1 指标符号
A11x1 A12x2 A13x3 b1 A21x1 A22x2 A23x3 b2 A31x1 A32x2 A33x3 b3
abc eijk aibjek crer
eijk aibjcrkr
eijk aibjck
ei ej ek eijrer ek
e e ijr rk
Ricci符号
ijk
18
§A-2 矢量的基本运算 四、矢量的并乘(并矢)
Βιβλιοθήκη Baidu
A 张量分析
aaiei,bbjej 并乘 abaieibjej aibjeiej
i1 i2 i3 p1 q1 r1 e e ijk pqr j1 j2 j3 p2 q2 r2
k1 k2 k3 p3 q3 r3
i1p 1 i2p 2 i3p 3 i1p 1 ip
11
ip iq ir eijk epqr jp jq jr
aba1b1e1e1a1b2e1e2a1b3e1e3 a2b1e2e1a2b2e2e2a2b3e2e3 a3b1e3e1a3b2e3e2a3b3e3e3
19
§A-3 坐标变换与张量的定义
xxcosysin yxsinycos
A 张量分析
xxcosysin yxsinycos
20
§A-3 坐标变换与张量的定义 A 张量分析
kp kq kr
pk
eijkekqr iq jq
ir jr
iqjr irjq
12
a11 a12 a13 A a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31
a31 a32 a33 a13a21a32 a13a22a31a12a21a33 a11a23a32 eijka1ia2 ja3k eijkai1aj2ak3
附A 张量分析
§ A-1 指标符号
例如, 三维空间任意一点P在笛卡儿坐 标系
x1, x2, x3
用指标符 号表示为
xi, i1,2,3
1
数
a1,a2,a3,,an
x1,x2,x3,,xn
变量
ai,i1,2,,n xi,i1,2,,n
指标符号
i—指标——取值范围为小于或等于n的所有正整数 n—维数
2