may讲义排队论
排队论
(t )n et P( X (t ) n) n!
E ( X (t )) t
e t f T (t ) 0 1 E (T )
for t 0 for t 0
服务时间的概率 = t 1/ : 平均服务时间
在t时间内已经服务n个顾客 的概率 平均服务率=
队列
队列容量
有限/无限 先来先服务（FCFS）；后来先服务； 随机服务； 有优先权的服务；
排队规则
3.服务机构
服务机构
服务设施， 服务渠道与服务台 服务台数量:1台和多台 服务时间分布:
指数, 常数,
排队模型分类－Kendall记号
Kendall 记号: X/Y/Z/ A/B/C 顾客到达时间间隔分布/服务时间分布/服务台数 目/排队系统允许的最大顾客容量/顾客总体数量/ 排队规则 M/M/1///FCFS M/M/1 / M: 指数分布 (Markovian) D: 定长分布 (常数时间) Ek: k级Erlang 分布 GI:一般相互独立的时间间隔分布 G: 普通的概率分布 (任意概率分布)
0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 NUMBER IN SYSTEM 26 28 30 32 34 36 38 40
Probability
74.94% 0.2506 1.2294 1.9788 0.2734 0.4401 0.7494 0.1007
排队模型的记号
系统状态 = 排队系统顾客的数量。 N(t) = 在时间 t 排队系统中顾客的数量。 队列长度 = 等待服务的顾客的数量。 Pn(t) = 在时间t,排队系统中恰好有n个顾客的概率。 s = 服务台的数目。
第十二章排队论
排队是在日常生活中经常遇到的现象，如顾客到商店购买物品、病人到医 院看病常常要排队。
此时要求服务的数量超过服务机构（服务台、服务员等） 的容量，也就是说，到达的顾客不能立即得到服务，因而出现了排队现象。
这 种现象不仅在个人日常生活中出现，电话局的占线问题，车站、码头等交通枢 纽的车船堵塞和疏导，故障机器的停机待修，水库的存贮调节等都是有形或无 形的排队现象。
由于顾客到达和服务时间的随机性，可以说排队现象几乎是不 可避免的。
如果增添服务设备，就要增加投资或发生空闲浪费；如果服务设备太少， 排队现象就会严重，对顾客个人和对社会都会带来不利影响。
因此，管理人员 必须考虑如何在这两者之间取得平衡，经常检查目前处理是否得当，研究今后 改进对策，以期提高服务质量，降低成本。
排队论（Queueing Theory ）也称随机服务系统理论，就是为解决上述问题 而发展的一门学科，它研究的内容有下列三部分：（ 1）性态问题，即研究各种排队系统的概率规律性， 主要是研究队长分布、 等待时间分布和忙期分布等，包括了瞬态和稳态两种情形。
（ 2）最优化问题， 又分静态最优和动态最优， 前者指最优设计，后者指现 有排队系统的最优运营。
（ 3）排队系统的统计推断，即判断一个给定的排队系统符合于那种模型， 以便根据排队理论进行分析研究。
这里将介绍排队论的一些基本知识，绍排队系统的最优化问题。
排队论一、排队过程的一般表示图 12-1 就是排队过程的一般模型。
各个顾客由顾客源（总体）出发，到达 服务机构（服务台、服务员）前排队等候接受服务，服务完了后就离开。
排队结构指队列的数目和排列方式，排队规则和服务规则是说明顾客在排队系统中 按怎分析几个常见的排队模型，最后将介第一节 基本概念样的规则、次序接受服务的。
我们所说的排队系统就指图中虚线所包括的部分。
在现实中的排队现象是多种多样的，对上面所说的“顾客”和“服务员”，要作广泛地理解，它现可以是人，也可以是非生物；队列可以是具体地排列，也可以是无形的（例如向电话交换台要求通话的呼唤）；顾客可以走向服务机构，也可以相反（如送货上门）。
排队论知识点(一)
排队论知识点(一)排队论知识点详解什么是排队论排队论是应用概率论、随机过程和数学统计方法来研究队列系统的数学理论。
队列系统是指一些处理实体以确定的方式到达某个系统，被系统以某种方式处理，然后离开系统的系统模型。
排队论研究的目标是为了通过合理的设计和优化队列系统（如银行服务台、电话交换机等）的结构和参数，提高系统的效率和性能。
排队论的主要概念1. 到达过程到达过程是指实体到达队列系统的时间间隔的随机过程。
根据到达的规律性和随机性不同，到达过程可以分为不可预测的泊松到达过程和可预测的非泊松到达过程。
2. 服务过程服务过程是指队列中的实体被处理的时间间隔的随机过程。
根据服务的规律性和随机性不同，服务过程可以分为不可预测的指数服务过程和可预测的非指数服务过程。
3. 队列长度队列长度是指队列中正在等待服务的实体的个数，也可以看作是在系统中等待服务的实体的数学期望。
4. 平均等待时间平均等待时间是指实体在队列系统中等待服务的平均时间。
5. 利用率利用率是指队列系统中服务设备的利用情况，通常用平均到达率与平均服务率的比值来表示。
排队论的基本模型1. M/M/1模型M/M/1模型是排队论中最简单的模型之一，代表了一个单一服务台和一个队列的排队系统。
M/M/1模型的到达过程和服务过程都是泊松过程，服务设备能力为1。
2. M/M/C模型M/M/C模型是M/M/1模型的扩展，代表了含有C个服务台和一个队列的排队系统。
到达过程和服务过程仍然是泊松过程，但是服务设备能力为C。
3. M/G/1模型M/G/1模型是M/M/1模型的变体，代表了一个单一服务台和一个队列的排队系统，但是服务过程是一般分布。
到达过程仍然是泊松过程。
4. G/G/1模型G/G/1模型代表了一个单一服务台和一个队列的排队系统，到达过程和服务过程都是一般分布。
排队论的应用1. 交通拥堵排队论可以用来研究交通拥堵的原因和解决方案，进一步优化交通网络资源的利用和流量的分配。
may排队论--将MM1类型的理论和习题自己多看看
P0
1
1 N1
1
2 3
1
2 3
6
0.356
e (1 PN ) (1 N P0 ) 4 1
2 3
5 0.356
3.808
L
(N 1)N1
2 3
(5 1)
2 3
6
2 0.577 1.423
1 1 N1
1
2 3
1
2 3
6
Lq
L e
1.423 3.808 6
顾客到达
进入队列
...
因队列满而离去
服务台
顾客接受服务后离去
...
系统的状态转移图
系统的状态概率平衡方程
对于状态0： … 对于状态k： … 对于状态N：
P0=P1 …
Pk-1+Pk+1=(+)Pk …
PN-1=PN
0<k<N
系统的状态概
率
Pk
Pk 1
k P0
k 1,2, , N
由
N
Pk 1
Sn t +t时刻
Pn(t t) Pn(t)(1t)(1 t) Pn1(t)t(1 t) Pn1(t)(1t)t o(t)
Pn
(t
t) t
Pn
(t)
Pn
(t
)(
)
Pn1(t
)
Pn1(t)
o(t) t
令t 0得：
dP0 (t)
dt dPn (t)
dt
P0 Pn
(t) P1(t) (t)( ) Pn1(t)
动态
即与特定顾 客特征选择
等待的 顾客数
协商
优先级
排队论的基本原理
排队论的基本原理排队论是一门研究排队系统的数学理论，它主要研究排队系统中顾客到达、排队、服务和离开等过程的规律性和性能指标。
排队论的基本原理包括到达过程、排队规则、服务机制和排队系统性能指标等内容，下面将逐一介绍。
首先，到达过程是指顾客到达排队系统的时间间隔和规律。
在排队论中，到达过程通常用到达率λ来描述，它表示单位时间内平均到达的顾客数。
到达过程的规律性对于排队系统的性能有着重要的影响，合理的到达过程模型可以帮助我们更好地设计和优化排队系统。
其次，排队规则是指顾客在排队系统中等待和被服务的规则。
常见的排队规则包括先来先服务（FCFS）、最短作业优先（SJF）、最短剩余服务时间优先（SRTF）等。
不同的排队规则对于系统的性能指标会产生不同的影响，因此在实际应用中需要根据具体情况选择合适的排队规则。
服务机制是指顾客在排队系统中接受服务的方式和规则。
服务机制通常包括单一服务台、多个服务台、顾客限制、服务时间限制等内容。
合理的服务机制可以有效地提高系统的服务效率和顾客满意度，因此在设计排队系统时需要充分考虑服务机制的选择和优化。
最后，排队系统性能指标是评价排队系统性能优劣的重要指标。
常见的性能指标包括顾客平均等待时间、系统平均等待时间、系统繁忙度、系统利用率等。
这些指标可以帮助我们全面地了解排队系统的运行情况，从而进行合理的优化和改进。
在实际应用中，排队论的基本原理可以帮助我们更好地理解和分析排队系统，从而提高系统的效率和服务质量。
通过合理地设置到达过程、排队规则和服务机制，以及监控和优化系统性能指标，可以有效地改善排队系统的运行效果，满足顾客的需求，提升服务水平。
综上所述，排队论的基本原理是研究排队系统中各个环节的规律性和性能指标，通过合理地设置和优化这些环节，可以有效地提高排队系统的运行效率和服务质量，满足顾客的需求，实现经济效益和社会效益的双赢。
希望本文对排队论的基本原理有所帮助，谢谢阅读！。
管理运筹学讲义 第12 章 排队理论
10
OR:SM
第三节 标准M/M/1模型
一、模型特征
输入过程
顾客源无限； 顾客到达方式是单个到达，且相互独立； 输入过程服从参数为 的泊松分布，到达过程平稳。 队列为单队； 队长无限，即系统容量无限； 系统按先到先服务的等待制规则进行服务 只有一个服务台； 服务方式为单个服务，服务时间相互独立； 服务时间服从相同参数 的负指数分布。
第12 章 排队理论
学习要点 Sub title
正确理解排队系统中排队规则和服务规则 顾客输入过程和服务过程的时间分布函数 排队问题的求解步骤及运行指标间的关系 标准M/M/1模型的状态方程及其运行指标 标准M/M/c模型与c个M/M/1模型的差别 典型排队系统的结构优化和运行优化问题
求运行指标:
• 顾客数 • 排队时间 • 忙期
8 OR:SM
第二节 排队问题求解
二、分布函数
• 泊松分布
条件：
输入流的平稳性 输入流无后效性 输入流的普通性 输入流的有限性
n! 期望E (t ) t 方差 2 t
v0 v0
Pn (t )
性质： ( t ) n
平均等待时间 Wq Ws [服务时间]
忙期概率
P 0 忙 1 P
Ws Wq 1
Ws
1
Ws
Ls Ws
Lq Wq
16
Ls Lq Lq
OR:SM
第三节 标准M/M/1模型
例题
为了评价某单人理发馆随机服务系统，记录了100个工作小时， 每小时来理发的顾客数的统计情况。又记录了100次理发所用的时 间，如表所示。
排队论的基本原理
排队论的基本原理：
排队论（Queuing Theory）是研究系统随机聚散现象和随机服务系统工作过程的数学理论和方法，其基本原理主要包括以下几个方面：
1.排队系统的组成：排队系统通常由输入过程、排队规则和服务机构三个部分组成。
输入过程是指顾客到达服务系统的随机方式，排队规则是指顾客到达后按照怎样的规则排队等待服务，服务机构则是指服务的提供方式。
2.概率论和随机过程：排队论中需要用到概率论和随机过程的数学知识，如概率分布、
期望、方差等。
这些知识用于描述顾客到达和服务时间的统计规律。
3.状态分析：排队论中的状态分析主要是指对排队系统的状态进行描述和分类，如空
闲状态、忙状态等。
通过对状态的分析，可以确定系统的各种性能指标，如等待时间、队长等。
4.最优化原理：排队论中的最优化原理是指通过调整系统参数，如服务时间、服务速
率等，使得系统的性能指标达到最优。
最优化原理的目的是在满足一定约束条件下，使系统的某种性能指标达到最优。
5.可靠性理论：可靠性理论是排队论中的一个重要组成部分，它研究的是系统可靠性
的概念、指标和计算方法。
可靠性理论可以帮助我们分析系统的可靠性、故障率和可用性等方面的问题，为系统的设计和优化提供依据。
排队论(QueuingTheory)
称为稳态(steady state)解，或称统计平衡状态 (Statistical Equilibrium State)的解。 pn 稳态的物理意义见右图，系
统的稳态一般很快都能达到， 但实际中达不到稳态的现象 也存在。值得注意的是求稳 态概率Pn并不一定求t→∞ 的极限,而只需求Pn’(t)=0 即可。
Hale Waihona Puke P (t , t t ) o(t )
n2 n
P0+P1+P≥2=1
由此知，在(t，t+Δ t)区间内没有顾客到达的概率为：
P 0 (t , t t ) 1 t o(t )
令t1=0,t2=t,则P(t1,t2)=Pn(0,t)=Pn(t)
过渡状态
稳定状态
t
14
图3 排队系统状态变化示意图
2019/2/7 管理运筹学课程组 ftp://211.71.69.239
排队论主要知识点
排队系统的组成与特征 排队系统的模型分类 顾客到达间隔时间和服务时间的经验分布与 理论分布 稳态概率Pn的计算 标准的M/M/1模型([M/M/1]:[∞/∞/FCFS]) 系统容量有限制的模型 [M/M/1]:[N/∞/FCFS] 顾客源有限模型[M/M/1][∞/M/ FCFS] 标准的[M/M/C]模型[M/M/C]:[∞/∞/FCFS]
10
(3) 逗留时间，指一个顾客在系统中的停留时 间，它的期望值记作Ws； (4) 等待时间，指一个顾客在系统中排队等待的 时间，它的期望值记作Wq； 等待时间 服务时间
逗留时间
=
+
2019/2/7
管理运筹学课程组 ftp://211.71.69.239
排队论(讲义)
随机过程的例子
为了更好的理解随机过程，我们从一个例子开始。例如， n 个同样的电阻，同时记录它们热噪声的电压波形。 电阻上的热噪声是由于电阻中的电子的热运动引起的，因此， 在t1时刻电阻上的热噪声电压是一个随机变量，并记为 x(t1)， 也就是说t1时刻任一电阻r(i)上的噪声电压x(i,t1)是无法预先确切 地知道的。 这里n支电阻的热噪声电压的集合是这个随机实验的样本空 间S。对于某一支电阻，其热噪声电压是一时间函数x(i，t)，是 随机过程的样本函数。 对所有电阻来说，其热噪声电压就是一族时间函数，记为 x(t)，这族时间函数就是“随机过程”，族中每一时间函数称为 随机过程的样本函数。
模型的建立3电话亭模型nknk其中顾客前有个顾客在排队如果简化c1c2为常数并计算第二个人的无需等待返回时间的期望值得用matlab能够作出的函数并从图中得出结果模型的求解4电话亭模型11221uctcpt94模型的求解4电话亭模型第三个人的无需等待返回时间的期望值同理可以算出并用图解法求出模型的求解4电话亭模型131212这种方法太繁琐似乎不好用
3
几何分布
P{X=k}=p(1-p)k-1, k=1,2, … 它描述在k次贝努里实验中首次出现成功的概率。
排队论课件 9
几何分布有一个重要的性质-----后无效性：在前n次实验未出现成 功的条件下，再经过m次实验（即在n+m次实验中）首次出现成功 的概率，等于恰好需要进行m次实验出现首次成功的无条件概率。 用式子表达：
排队论
Queueing Theory
主讲：周在莹
CONTENTS
PREPARATION:概率论与随机过程
UNIT 1 排队模型 UNIT 2 排队网络模型 UNIT 3 应用之：QUICK PASS系统 结束语
排队论讲义
Poisson过程与Poisson分布
定理1：设 N (为t)时间 0内, t到 达系统的顾客数
则 {N (t为), tPoi0s}son过程的充要条件是
P{N(t) n} (t)n et n 1,2,...
n!
EN(t) t , DN(t) t
数理统计方法 容易初步判断:期望=标准差
Poisson过程与负指数分布
足下面三个条件：
（1）只与区间长度与
– 独立性：在任意两个不相交的区起间点内无顾关客。到
达的情况相互独立（；2）单位时间内一个
– 平稳性：在 t', t't内有一顾个客顾到客达到的达概的率
概率为
t
为
(t);
。
– 普通性：在 t', t't内多于一个顾客到达
的率为 (t)。
则称{N (t),t 0}为Poisson过程。
概率分布具有以下性质： (1)假设N(t)=n，则从时刻到下一个顾客到达
时刻止的时间服从参数为的n 负指数分布；
(2)假设N(t)=n，则从时刻到下一个顾客离开
时刻止的时间服从参数为 的n 负指数分布；
(3)同一时刻是只有一个 顾客到达或离去。
则称 {N (t),t为一0个} 生灭过程。
N(t) 的分布 pn (t) P{N (t) n}, (n 0,1,2...)
连续型随机变量ex , x 0
密度函• 数概率a密(x度) 函数
( 0)
• 概率分布函数 0, x 0
• 数学E期( X望)和方1/差 , D( X ) 1/ 2
• 常见连续型随机变量的概率分布
均匀分布
指数分布？
正态分布？
k阶爱尔朗分布？
运筹学 排队论
运筹学排队论引言排队论是运筹学中的一个重要分支，它研究的是如何优化排队系统的设计和管理。
排队论广泛应用于各个领域，如交通流量控制、银行业务流程优化、生产线调度等，对于提高效率和降低成本具有重要意义。
本文将介绍排队论的基本概念、排队模型以及应用案例，帮助读者了解运筹学中排队论的基本原理和应用方法。
什么是排队论排队论是一门研究排队现象的数学理论，它通过定义排队系统的各个要素，如顾客到达率、服务率、队列容量等，建立数学模型分析和优化排队系统的性能指标。
排队论主要研究以下几个方面：•排队系统的模型：包括单服务器排队系统、多服务器排队系统、顾客数量有限的排队系统等。
•排队系统的性能指标：包括平均等待时间、系统繁忙率、系统容量利用率等。
•排队系统的优化方法：包括服务策略优化、系统容量规划等。
排队论的基本概念到达过程排队论中的到达过程是指顾客到达排队系统的时间间隔的随机过程。
常用的到达过程有泊松过程、指数分布等。
到达过程的特征决定了顾客到达的规律。
服务过程排队论中的服务过程是指服务器对顾客进行服务的时间间隔的随机过程。
常用的服务过程有指数分布、正态分布等。
服务过程的特征决定了服务的速度和效率。
排队模型排队模型是排队论中的数学模型，用于描述排队系统的性能和行为。
常用的排队模型有M/M/1模型、M/M/s模型等。
这些模型分别表示单服务器排队系统和多服务器排队系统。
性能指标排队系统的性能指标用于评估系统的性能，常见的性能指标有平均等待时间、系统繁忙率、系统容量利用率等。
这些指标可以帮助决策者优化排队系统的设计和管理。
排队模型与分析M/M/1模型M/M/1模型是排队理论中最简单的排队系统模型，它是一个单服务器、顾客到达过程和服务过程均为指数分布的排队系统。
M/M/1模型的性能指标可以通过排队论的公式计算得出。
M/M/s模型M/M/s模型是排队理论中的多服务器排队模型，它是一个多个服务器、顾客到达过程和服务过程均为指数分布的排队系统。
排队论讲义-3[1]
![排队论讲义-3[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/f71332094b73f242336c5f8a.png)
Fluid Flow Method
流体流方法 (Fluid Flow Method) 是一种排队近似 分析法。它忽略到达过程及排队队长的离散性质，将 到达及队长变化看成连续变化，属于前面介绍的系统 逼近法。由于它计算简单、物理意义明确，在将之引 入通信领域之后很快得到广泛运用。例如，在分组语 音通信中的应用。语音通信 (多On-Off复合输入)中的 拥塞控制；用于视频业务 (生死链模型)的排队分析； 用它分析了On-Off数据业务输入的漏桶监管策略；用 它分析了突发业务 (多On-Off复合的生死链模型 )输入 的漏桶监管策略。等等
随着研究的深入逐渐引入了各种推广的Poisson过程和其它 较为复杂的随机模型，如，马尔科夫调制poisson过程 (MMPP：markov modulated poisson process)、马尔科夫调 制确定过程(MMDP：Markov Modulated Deterministic Process)、马尔可夫调制贝努利过程(MMBP:Markov Modulated bernoulli Process) 、批到达马尔柯夫过程、fluidflow模型、TES（Transform-Expand-Sample）模型、 packet-train 模型等等。这些模型的共同特点是所描述的业务 序列具有短时相关性（short range dependence），即业务序 列的自相关函数随序列间隔增大呈指数衰减趋势。当时间尺 度增加时，统计上单位时间内得到的数据包数将趋于白噪声 ，所以这些模型所表示的业务流在不同的时间尺度下具有不 同的特性。由于一般它们假设业务的到达模式具有马尔柯夫 特性，使得相应的队列系统及网络性能评价易于数学解析。
现代通信研究中常用的排队分析方法
• • • • • 不等式定界逼近方法 扩大状态空间法 半马氏分析法(Semi-Markov) 流体流方法（fluid-flow） 大偏差理论（Large Deviation)
排队论(讲稿)PPT课件
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概况3
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第12章 排队论
第1节 基本概念 第2节 到达间隔的分布和服务时间的分布 第3节 单服务台负指数分布排队系统的分析 第4节 多服务台负指数分布排队系统的分析 第5节 一般服务时间M/G/1模型 第6节 经济分析——系统的最优化 第7节 分析排队系统的随机模拟法
(1) 队长：系统中的顾客数，期望值记作Ls； 排队长：系统中排队等待服务的顾客数，期望值记作Lq；
系统 中 在队列中正 等在 待服务 顾客 数 服务的顾 的 客顾 数客数
(2) 逗留时间：顾客在系统中的停留时间，期望值记作Ws； 等待时间：顾客在系统中排队等待的时间，期望值记作Wq， ［逗留时间］＝［等待时间］＋［服务时间］
在实际应用中，大多数系统会很快趋于稳态，而无需等到t→∞以 后。
❖ 求稳态概率Pn时，不需要求t→∞时Pn(t)的极限， 而只需令导数dPn(t)/dt=0即可。
19
清华大学出版社
第12章 排队论
第1节 基本概念 第2节 到达间隔的分布和服务时间的分布 第3节 单服务台负指数分布排队系统的分析 第4节 多服务台负指数分布排队系统的分析 第5节 一般服务时间M/G/1模型 第6节 经济分析——系统的最优化 第7节 分析排队系统的随机模拟法
服务机构
修理技工 发放修配零件的管理员 医生(或包括手术台) 交换台 打字员 仓库管理员 跑道 货码头(泊位) 水闸管理员 我方高射炮
6
清华大学出版社
1.2 排队系统的组成和特征
❖ 排队系统由三个基本部分组成：
①输入过程 ②排队规则 ③服务机构
运筹学课件排队论
一般分布(所有顾客的服务时间都是独 立同分布的)等等。
1.基 本 概 念
（三）排队系统的描述符号与分类
为了区别各种排队系统，根据输 入过程、排队规则和服务机制的变化对 排队模型进行描述或分类，可给出很多 排队模型。为了方便对众多模型的描述， 肯道尔（D．G．Kendall）提出了一种 目前在排队论中被广泛采用的 “Kendall记号”，完整的表达方式通 常用到6个符号并取如下固定格式：
前言
顾客为了得到某种服务而到达系统、若不 能立即获得服务而又允许排队等待，则加 入等待队伍，待获得服务后离开系统，见 图1至图5。
图1 单服务台排队系统
前言
图2 单队列——S个服务台并联的排队系统 图3 S个队列——S个服务台的并联排队系统
前言
图4 单队——多个服务台的串联排队系统 图5 多队——多服务台混联、网络系统
一般来说，排队论所研究的排队系统中， 顾客到来的时刻和服务台提供服务的时间长 短都是随机的，因此这样的服务系统被称为 随机服务系统。
1.基 本 概 念
一 排队系统的描述
（一）系统特征和基本排队过程 实际的排队系统虽然千差万别，但是它们 有以下的共同特征：
(1)有请求服务的人或物——顾客； (2)有为顾客服务的人或物，即服务员或服务台；
队长和排队长一般都是随机变量。 我们希望能确定它们的分布，或至少能 确定它们的平均值(即平均队长和平均 排队长)及有关的矩(如方差等)。队长 的分布是顾客和服务员都关心的，特别 是对系统设计人员来说，如果能知道队长
的分布，就能确定队长超过某个数的概率， 从而确定合理的等待空间。
1.基 本 概 念
2．等待时间和逗留时间 从顾客到达时刻起到他开始接受服务止这段
排队论讲解
排队论是一种研究排队系统的数学理论，它主要用于研究系统在不同的服务策略下的性能指标，如平均等待时间、平均服务时间、系统吞吐量等。
排队系统是指由顾客和服务台组成的系统，顾客按照先来先服务的原则依次到达服务台，并在服务台得到服务。
排队论的基本模型包括M/M/s、M/M/c、M/G/s、M/G/c等模型，其中M表示顾客到达的随机变量是泊松分布，G表示服务时间的随机变量是几何分布，c表示服务台的容量限制，s表示系统的服务速度。
M/M/s模型是指服务台的服务速度s是固定的，即服务台的服务速度不受顾客到达的影响，这种模型主要用于研究系统的平均等待时间和平均服务时间。
M/M/c模型是指服务台的容量限制c是固定的，即服务台的服务速度受到顾客到达的影响，这种模型主要用于研究系统的排队长度和服务率。
排队论的应用非常广泛，包括电话系统、银行系统、航空系统、医疗系统等。
在实际应用中，排队论可以帮助企业优化服务流程，提高服务质量，减少顾客等待时间，提高顾客满意度，从而提高企业的竞争力和经济效益。
排队论的应用还在不断地拓展和深化，例如近年来出现的排队论模型包括多服务台排队模型、排队网络模型、排队论与动态优化模型等。
这些模型可以更好地模拟实际系统中的复杂排队情况，提高系统的服务质量和效率。
排队论方法讲解
排队论方法讲解
排队论是一种运用概率统计方法来分析和解决队列问题的学科。
队列问题是指在等待某个服务或进入某个系统时，人们形成的一种有序排列状态。
排队论主要关注等待时间、排队长度、服务效率等问题。
以下是排队论的一些常见方法：
1. 假设法：假设不同的排队系统具有不同的概率分布，分析不同系统中的各种运行参数，如平均等待时间、服务时间等。
2. 累积等待时间法：计算各客户平均等待时间的总和，再除以系统中客户的总数，用以评价该排队系统是否合理。
3. 平衡方程法：通过统计每个元素在系统中的进入量、离开量、排队量等，建立系统的平衡方程式来求解系统的各项参数。
4. 级数求和法：将排队论中的一些重要参数（如平均等待时间、利用率等）表示成一个级数之和的形式，从而求出这些参数的近似值。
5. Monte Carlo模拟方法：采用随机数模拟的方法，模拟排队系统的服务过程，从而得出系统的性能指标。
以上是排队论的一些常见方法，具体应用时需要考虑具体情况和问题，选择合适的方法进行分析。
排队论
后到先服务LCFS，
有优先权服务PS， 随机服务RF。
（c）混合制排队
队长有限 等待时间有限 逗留时间(等待时间与服务时间之和)有限
排队系统的三大要素描述 三、服务机制 主要包括服务设施的数量、连接形式、服务方式及服务时间 分布等. 服务设施的数量：一个或多个，分别称为单服务台与多服 务台排队系统； 连接形式：串联、并联、混联和网络等； 服务方式：单个或成批服务； 服务时间的分布：其中服务时间分布是最重要因素， 记服务台服务时间为V, 其分布函数为B(t), 密度函数为b(t), 常见的分布有： (1) 定长分布（D）
特别的,当t 1, 有E ( N (1)) , 可看成单位时间内到达顾客的平均数.
Poisson过程有如下性质：
(1) 在[t, t+△t] 时间内没有顾客到达的概率为
P0 (t ) e t (1 t ) o(t ) 1 t
(1) 在[t, t+△t] 时间内恰好有一个顾客到达的概率为 P (t ) 1 P0 (t ) (t ) t 1
无限状态生灭过程 定义：设｛N(t)，t ≥0 ｝是一个随机过程（其中N(t)表示时刻 t 系统中的顾客数）。若N(t)的概率分布具有如下性质： 1. 假设N(t) = n ，则从时刻 t 起到下一个顾客到达时刻止的 时间服从参数为 n 的负指数分布，n = 0，1，2，…。 2. 假设N(t) = n ，则从时刻 t 起到下一个顾客离去时刻止的 时间服从参数为 n 的负指数分布，n = 1，2，…。 3. 同一时刻只有一个顾客到达或离去。 则称｛N(t)，t ≥0 ｝是一个生灭过程。
Erlang输入(Ek) 顾客相继到达时间间隔{Xn}相互独立，具有相同的Erlang分布密度 函数