中职数学 第四章 三角函数
职高三角函数知识点笔记
职高三角函数知识点笔记角是几何学中一个重要的概念，而三角函数是与角度相关的函数。
对于职高学生来说，掌握三角函数的知识是必不可少的。
本文将以笔记的形式介绍职高三角函数的相关知识点。
一、正弦函数正弦函数是三角函数中最基本的一种函数。
我们可以通过一个直角三角形来理解正弦函数。
在一个直角三角形中，将一个锐角定义为角A，我们可以得到正弦函数的定义：sin(A) = 对边 / 斜边。
这个定义告诉我们，正弦函数的值是与角的大小有关的。
在三角函数中，正弦函数的值域是[-1,1]，因为对边的长度最大是斜边的长度。
此外，sin(90°) = 1，表示在一个直角三角形中，对边的长度等于斜边的长度。
二、余弦函数余弦函数是正弦函数的补函数。
余弦函数的定义是：cos(A) =邻边 / 斜边。
在直角三角形中，邻边指的是直角边与角度A不相邻的边。
同样，余弦函数的值域也是[-1,1]。
但与正弦函数不同的是，cos(0°) = 1，表示一个直角三角形中，邻边与斜边重合。
三、正切函数正切函数是三角函数中另一种重要的函数。
正切函数的定义是：tan(A) = 对边 / 邻边。
从定义来看，正切函数是正弦函数与余弦函数之间的比值。
与正弦函数和余弦函数不同的是，正切函数的值域是整个实数集。
这是因为在某些角度上，邻边的长度可能为0，导致正切函数的值趋于无穷大。
四、三角函数的图像三角函数的图像可以帮助我们更好地理解它们的性质和特点。
以正弦函数为例，我们可以将它的图像画在一个坐标轴上，横坐标表示角度，纵坐标表示函数值。
正弦函数的图像是一条连续的曲线，波动的频率是一个周期2π。
同时，我们可以发现正弦函数在角度为0°、180°、360°等位置取得最值。
余弦函数和正切函数的图像也可以通过类似的方式来绘制。
余弦函数的图像同样是一条连续的曲线，但它和正弦函数的图像在相位上有所不同。
而正切函数的图像则由一系列直线和渐近线组成。
高教版(2021)中职数学基础模块上册第4单元《任意角的三角函数》教学课件
4.3 任意角的三角函数
掌握：
1.任意角三角函数的定义与求取 2.利用单位圆求取三角函数
重点：1.任意角三角函数的定义与求取 2.利用单位圆求取三角函数
难点：三角函数的求取
复习引入 对于直角三角形 ABC:
斜边
的对边
的邻边
我们在之前所接触的三角比
只适用于锐角 。那么对于 < 0 或 > 90，情况又
探究一 任意角的三角函数
由上可知，对于一个确定的角 都有唯一确定的 sin和cos 与之对应，
即 sin和cos 是与 为自变量的函数，分别称为正弦函数和余弦函数，
定义域均为R
当
k，k Z
2
时，tan 无意义，此外，对于一个确定的角
都有唯一确定的 tan 与之对应， 所以 tan 是与 为自变量的函数
所以x>0
cos x 2 x
r
4
1 2 r 4 2 2
r4
2
x2 r 2 y 2 8
2
5 3
x 3
sin y 5 - 10
r 22 4
tan y 3 15
x 5
5
探究二 利用单位圆求取三角函数 单位圆：一个圆心为原点O，半径为 1 的圆
探究二 利用单位圆求取三角函数
1 2
，23)
课堂小结
作业：《练习册》2.4
感谢您的聆听
x = 1, y = 2 r OP (1)2 22 5
sin y 2 (或 2 5 )
r5
5
tan y 2 2
x 1
cos x 1 (或 5 )
r
5
5
探究与发现
设角 为第四象限角，其终边上一点是 px, 5 ，且cos 2 x 求角 的
中职数学任意角的三角函数的定义
第四象限的三角函数值
总结词
负的正弦，正的余弦，负的余切
详细描述
在第四象限中，正弦函数值为负，余弦函数值为正，余切函数值为负。这是因为当角度在270°到360°之 间时，正弦值随角度的增加而减小，但余弦值仍然随角度的增加而增加，同时余切值开始减小。
03
特殊角的三角函数值
0°和30°、45°、60°和90°的三角函数值
第三象限（负x轴，负y 轴）：负负负
第四象限（正x轴，负y 轴）：正负负
04
三角函数的应用
三角函数在几何学中的应用
三角函数在解三角形问题 中的应用
通过已知的三角函数值，可以求出三角形的 角度或边长，或者判断三角形是否成立。
三角函数在解析几何中的 应用
三角函数可以用于解决平面解析几何中的问 题，例如求圆的切线、计算曲线的长度等。
正弦：0 余弦：1
0°和30°、45°、60°和90°的三角函数值
正切：0
正弦：0.5
0°和30°、45°、60°和90°的三角函数值
√3/2
余弦
√3/3
正切
0°和30°、45°、60°和90°的三角函数值
正弦：√2/2 余弦：√2/2
正切：1
0°和30°、45°、60°和90°的三角函数值
三角函数的周期性
三角函数的周期性是指三角函数的值会按照一定的时间间隔 重复出现。
例如，正弦函数sinθ的周期为360°，即每增加360°，函数值会 重复出现；余弦函数cosθ的周期也为360°。
02
三角函数在各象限的符号
第一象限的三角函数值
总结词
正的正弦，正的余弦，正的余切
详细描述
在第一象限中，正弦函数值为正，余弦函数值为正，余切函数值为正。这是因 为当角度在0°到90°之间时，正弦值随角度的增加而增加，余弦值随角度的增加 而增加，余切值随角度的增加而增加。
中职数学-三角函数教案设计
三角函数一、任意角1. 角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角ABαO⑵“正角”与“负角”“0角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA 为始边的角α＝210°，β＝－150°，γ＝660°。
2100-15006600特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角。
记法：角α或α∠ 可以简记成α。
2. “象限角”角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限） 3. 终边相同的角所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合。
{}Z k k S ∈⋅+==,360|οαββ二、弧度制1. 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad ，读做弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．说明：（1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0（2）角α 的弧度数的绝对值公式：lrα= （l 为弧长， r 为半径） 2. 角度制与弧度制的换算：∵ 360︒＝2π rad ∴180︒＝π rad∴ 1︒＝rad rad 01745.0180≈π'185730.571801οοο=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad3. 两个公式1）弧长公式：α⋅=r l 由公式：⇒=r l α α⋅=r l 比公式180rn l π=简单 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 2）扇形面积公式 lR S 21=其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径4. 一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住： 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 弧度7π/65π/44π/33π/25π/37π/411π/62π5. 应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系正角 零角 负角正实数 零 负实数任意角的集合 实数集R三、任意角三角函数的定义1. 设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x ，y ） 则P 与原点的距离02222>+=+=y x yx rry)(x,α（1）把比值r y叫做α的正弦 记作： ry =αsin （2）把比值r x叫做α的余弦 记作： rx =αcos（3）把比值x y叫做α的正切 记作： xy =αtan上述三个比值都不会随P 点在α的终边上的位置的改变而改变.当角α的终边在纵轴上时，即Z)(2∈+=k k ππα时，终边上任意一点P 的横坐标x 都为0，所以tan α无意义；它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.以上三种函数，统称为三角函数。
(完整word版)中职数学-三角函数教案
三角函数一、任意角1. 角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角⑵“正角”与“负角”“0角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负2. “象限角”角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限） 3. 终边相同的角所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合。
{}Z k k S ∈⋅+==,360|οαββ二、弧度制1. 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad ，读做弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．说明：（1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0（2）角α 的弧度数的绝对值公式：lrα= （l 为弧长， r 为半径） 2. 角度制与弧度制的换算：∵ 360︒＝2π rad ∴180︒＝π rad∴ 1︒＝rad rad 01745.0180≈π'185730.571801οοο=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad3. 两个公式1）弧长公式：α⋅=r l 由公式：⇒=r l α α⋅=r l 比公式180rn l π=简单 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 2）扇形面积公式 lR S 21=其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径4. 一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住： 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0π/6π/4π/3π/22π/3 3π/4 5π/6π 角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°弧度7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 5π/3 7π/411π/62π5. 应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系正角 零角 负角正实数 零 负实数任意角的集合 实数集R三、任意角三角函数的定义1. 设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x ，y ）则P 与原点的距离02222>+=+=y x yx rry)(x,α（1）把比值r y叫做α的正弦 记作： ry =αsin （2）把比值r x叫做α的余弦 记作： rx =αcos（3）把比值x y叫做α的正切 记作： xy =αtan上述三个比值都不会随P 点在α的终边上的位置的改变而改变.当角α的终边在纵轴上时，即Z)(2∈+=k k ππα时，终边上任意一点P 的横坐标x 都为0，所以tan α无意义；它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.以上三种函数，统称为三角函数。
职高三角函数知识点
职高三角函数知识点三角函数是高中数学中一门重要的内容，也是职业技术学院(hospital)学习中不可或缺的知识点。
在日常工作中，我们可能会用到三角函数来计算角度、距离、高度等问题。
在本文中，将会从三角函数的定义、性质和应用等方面进行介绍和讨论。
三角函数的定义：三角函数包括正弦、余弦和正切三种有关角度的函数。
这些函数与三角比例有密切关系，是解决各种三角形问题的基础工具。
正弦函数表示一个角的对边与斜边的比值，用sin表示；余弦函数表示一个角的邻边与斜边的比值，用cos表示；正切函数表示一个角的对边与邻边的比值，用tan表示。
三角函数的性质：1. 三角函数的定义域是实数集合R，值域是[-1, 1]。
2. 正弦函数和余弦函数是周期为2π的周期函数，而正切函数是周期为π的周期函数。
3. 三角函数具有基本关系式sin^2θ + cos^2θ = 1，这是三角恒等式中的一个例子。
4. 三角函数具有对称性质，例如sin(-θ) = -sinθ，cos(-θ) = cosθ。
5. 三角函数的幅角是指以x轴正方向为起点，与终边之间的夹角。
在幅角增大的过程中，三角函数值的变化是周期性的。
三角函数的应用：1. 在建筑工程中，我们可以利用正弦函数和余弦函数来计算高楼的倾斜角度。
通过测量倾斜圆球上两点的高度差和水平距离，可以利用正切函数计算出倾斜角度，从而确保建筑的垂直度。
2. 在音乐领域，三角函数可以用来描述声波的周期、频率和振幅。
通过分析这些参数，我们可以理解音乐的音高、音色和音量等特征。
3. 在电子技术中，三角函数可以用来描述交流电的变化规律。
通过正弦函数的性质，我们可以计算电流的周期、频率和相位差等参数，从而实现电子设备的设计和维护工作。
4. 在测量学中，三角函数可以用来计算无法直接测量的距离和高度。
通过测量两个已知长度的边和一个角度，可以利用三角函数的关系求解未知边长，从而完成测量任务。
总结：三角函数是职业技术学院中不可或缺的数学知识点。
职高三角函数的知识点总结
职高三角函数的知识点总结三角函数是数学中一个重要的分支，广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。
在职业高中数学课程中，三角函数是一个重要的内容。
本文将对职高三角函数的知识点进行总结，包括正弦、余弦、正切函数的定义与性质，以及与角度的关系等。
1. 正弦函数（sine function）正弦函数是三角函数中最常用的函数之一。
它的定义如下：在单位圆上，对于任意角度θ，以该角度的终边与单位圆的交点P(x,y)为基准，y坐标值称为该角的正弦值，用sin(θ)表示。
正弦函数的图像是周期性的波形，一般情况下取值范围在-1到1之间。
2. 余弦函数（cosine function）余弦函数是三角函数中另一个常用的函数。
它的定义如下：在单位圆上，对于任意角度θ，以该角度的终边与单位圆的交点P(x,y)为基准，x坐标值称为该角的余弦值，用cos(θ)表示。
余弦函数的图像也是周期性的波形，一般情况下取值范围在-1到1之间。
3. 正切函数（tangent function）正切函数是三角函数中另一个重要的函数。
它的定义如下：在单位圆上，对于任意角度θ，以该角度的终边与单位圆的交点P(x,y)为基准，y坐标值除以x坐标值所得的比值称为该角的正切值，用tan(θ)表示。
正切函数的图像也是周期性的波形，但是与正弦和余弦函数不同，正切函数的图像在某些角度处会趋近于无穷大。
4. 三角函数的周期性正弦、余弦和正切函数都是周期性的函数。
正弦和余弦函数的最小正周期为2π，即在[0,2π]区间内，图像会重复出现。
正切函数的最小正周期为π，即在[0,π]区间内，图像会重复出现。
5. 三角函数与角度的关系在三角函数中，有一些特殊的角度与相应的三角函数值有着明确的对应关系。
例如，sin(0) = 0，cos(0) = 1，tan(0) = 0；sin(π/2) = 1，cos(π/2) = 0，tan(π/2) = ∞；sin(π) = 0，cos(π) = -1，tan(π) = 0；等等。
中职数学三角函数图像和性质教案
中职数学三角函数图像和性质教案教案标题：中职数学三角函数图像和性质教案一、教学目标：1. 理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义及其图像特点。
2. 掌握三角函数的周期性、对称性和奇偶性。
3. 能够利用图像及性质分析和解决与三角函数相关的实际问题。
二、教学重点：1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像特点。
2. 三角函数的周期性、对称性和奇偶性。
三、教学难点：1. 利用图像及性质分析和解决实际问题。
四、教学准备：1. 教材：中职数学教材。
2. 工具：教学投影仪、计算器、白板、彩色粉笔。
五、教学过程：1. 导入（5分钟）引导学生回顾正弦函数、余弦函数、正切函数的定义，并提问：a. 你们对正弦函数、余弦函数、正切函数的图像有什么印象？b. 你们认为三角函数有哪些性质？2. 理论讲解（15分钟）a. 介绍正弦函数、余弦函数、正切函数的图像特点，并通过投影仪展示相关图像。
b. 讲解三角函数的周期性、对称性和奇偶性，并通过示例说明。
3. 实例演练（20分钟）a. 给出一些简单的函数表达式，要求学生画出对应的函数图像。
b. 给出一些函数图像，要求学生根据图像特点写出对应的函数表达式。
4. 拓展应用（15分钟）a. 提供一些与三角函数相关的实际问题，让学生分析并利用图像及性质解决。
b. 鼓励学生提出自己的问题，并与同学们一起探讨解决方法。
5. 总结归纳（5分钟）总结正弦函数、余弦函数、正切函数的图像特点和性质，并强调其在实际问题中的应用。
六、作业布置：1. 完成教材上相关习题。
2. 提出一个与三角函数相关的实际问题，并尝试用图像及性质解决。
七、教学反思：本节课通过理论讲解、实例演练和拓展应用等环节，使学生了解了正弦函数、余弦函数、正切函数的图像特点和性质，并能够运用这些知识解决实际问题。
同时，通过提出问题和讨论，培养了学生的思维能力和合作精神。
但在教学过程中，需要注意引导学生积极参与，提高他们的学习兴趣和主动性。
中职数学4.3 任意角的三角函数课件
4.3.2 单位圆与三角函数
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
例5 已知cos＞0, 且tan ＜0, 试确定角 是第几象限角．
解 因为cos＞0, 所以角 可能是第一或第四象限角, 也
可能终边在 x 轴的正半轴上.
又因为tan＜0，所以角 可能是第二或第四象限角． 故满足cos＞0且tan＜0的角 是第四象限角．
4.3.2 单位圆与三角函数
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
0°角、180°角、270°角和360°角的正弦、余弦和正切值
4.3.2 单位圆与三角函数
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
例4 判断下列各三角函数值的符号.
解 (1) 因为−325°＝35°−360°，所以－325°角是第一象限角， 故sin(−325°)＞0； (2)
4.3.2 单位圆与三角函数
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
4.3.2 单位圆与三角函数
练习
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
1. 判断下列三角函数值的符号：
4.3.2 单位圆与三角函数
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
30°角的终边与单位圆的交点坐标可以表示为_______. 60°角的终边与单位圆的交点坐标可以表示为_______. 120°角的终边与单位圆的交点坐标可以表示为______.
4.3.2 单位圆与三角函数
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
例3 求90°角的正弦、余弦和正切. 解 90°角的终边与单位圆的角的交点坐标为(0,1) ， 所以 sin90°=1, cos90°=0, tan90°不存在.
中职数学三角函数教案.pdf
1. 角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角
三角函数
B
α
A O
⑵“正角”与“负角”“0 角”
我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负
角，如图，以 OA 为始边的角α＝210°，β＝－150°，γ＝660°。
2100
6600
-1500
特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫
2. 角度制与弧度制的换算：
1
∵ 360＝2 rad ∴180＝ rad
∴ 1＝ rad 0.01745 rad 180
1rad
=
180
57.30
=
5718'
3. 两个公式
1）弧长公式： l = r
由公式： = l l = r r
比公式 l = nr 简单 180
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积
3. 角α的终边落在一、三象限角平分线上，则角α的集合是
4. 角α是第二象限角，则 180°＋α是第
象限角；－α是第 象限角；
180°－α是第________象限角．
5. 一个扇形 OAB 的面积是 1 平方厘米，它的周长是 4 厘米，求∠AOB 和弦 AB 的长.
6. 确定下列各式的符号 （1）sin100°·cos240°
2）扇形面积公式 S = 1 lR 其中 l 是扇形弧长， R 是圆的半径 2
4. 一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住： 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
弧度
0
π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π
中职第四章三角函数教学反思
中职第四章三角函数教学反思在中职数学教学中，三角函数是一个重要的内容之一、通过学习三角函数，学生可以掌握角的概念，了解三角比值的性质，熟练运用基本三角函数的公式等。
然而，在教学过程中，我也发现了一些问题和反思。
首先，教学过程中，我发现学生对于角度的概念理解较为模糊。
三角函数的运算是建立在对角度的准确理解上的，而学生对于角度的概念往往存在着一些混淆。
在课堂上，我通过实际物体的旋转、时钟的转动等方式向学生展示角度的含义，但效果并不理想。
我反思，可能是因为我在教学中缺乏充分的示范和实践，导致学生对于角度概念的理解不够清晰。
为了解决这个问题，我决定在教学中增加更多的实际案例的讲解，让学生能够通过实际操作加深对角度概念的理解。
其次，学生在掌握三角函数的运算中存在一些基础知识的薄弱环节。
三角函数的运算是建立在对角度、弧长、线段等概念的理解上的，而在教学中，我发现学生对于这些基础知识的掌握还不够牢固。
例如，学生对于弧度的转换不熟悉，前后关系混淆。
为了改善这一问题，我决定在教学中加深对基础概念的讲解，增加实例演练的机会，让学生能够通过实际计算中加深对基本概念的理解，提高运算的准确性。
第三，学生对于三角函数公式的记忆和理解存在一定的困难。
在教学中，我发现学生往往对于三角函数的公式难以准确记忆和理解。
例如，学生常常混淆正弦函数与余弦函数的图像性质，无法准确应用正弦函数的相关公式。
为了解决这个问题，我决定增加更多的例子和图像解析，帮助学生记忆和理解三角函数的公式。
同时，我还准备设计一些巩固练习，让学生能够通过反复练习巩固记忆，提高应用能力。
最后，学生对于三角函数的应用存在一定的困难。
三角函数的应用涉及到实际问题的建模和解决，而在教学中，我发现学生对于实际问题的抽象和转化存在一定的困难。
为了解决这个问题，我决定在教学中增加更多的实例分析，让学生能够通过实际问题的讨论和解决，提高应用能力。
同时，我还准备设计一些拓展性较强的题目，培养学生的思维能力和创新能力。
中职数学基础模块(上册)基础练习-第四章三角函数
第四章 三角函数第四章 第一课时 角的概念的推广【基础知识·一定要看】1．任意角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．正角：按____________方向旋转所形成的角．负角：按____________方向旋转所形成的角．零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角．2．象限角的判定方法(1)在坐标系中使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．(2)第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式；第二步，判断β的终边所在的象限；第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．3．象限角①α是第一象限角可表示为____________________________；(用集合表示)②α是第二象限角可表示为____________________________；③α是第三象限角可表示为____________________________；④α是第四象限角可表示为____________________________．4．非象限角如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．①终边在x轴非负半轴上的角的集合可记作_____________________ ；②终边在x轴非正半轴上的角的集合可记作_____________________；③终边在y轴非负半轴上的角的集合可记作_____________________；④终边在y轴非正半轴上的角的集合可记作_____________________；⑤终边在x轴上的角的集合可记作_____________________；⑥终边在y轴上的角的集合可记作_____________________；5．与角α终边相同的角所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°,k∈Z}.一、选择题1．下列命题正确的是（）．A．终边相同的角是相等的角 B．锐角是小于90°的角C．终边在第二象限的角是钝角 D．相等的角终边重合2．喜洋洋从家步行到学校，一般需要10分钟，则10分钟时间钟表的分针走过的角度是（ ）A．30° B．-30° C．60° D．-60°，那么 的终边在（）3．已知角563A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．与20角终边相同的角是（）A．300B．280C．320 D．3405．与75终边相同的角的集合是（），A． 75360,Z k k B． 75360,Z k k C． 180360,Z k k D． (75)360,Z k k 6．已知A {第一象限角}，B {锐角}，C {小于90 的角}，那么A 、B 、C 的关系是（ ） A．B A CB．C C B∪C．A CD．A B C二、填空题7．平面直角坐标系中，若角532α ，则 是第 象限的角. 8．已知2022 ，求与角 终边相同的最小正角为 . 9．在0~180 范围内，与930 终边相同的角是 .二、解答题10．写出与21 终边相同的角的集合S ，并把S 中适合不等式360720 的元素α写出来.11．在0360 范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角． （1）150 ； （2）650 .第四章 第二课时 弧度制【基础知识·一定要看】1．弧度制的定义长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1（单位可以省略不写）． 2．角度与弧度的换算弧度与角度互换公式：180rad1rad =0180≈57．30°=57°18′，1°=180 ≈0．01745（rad ） 3．重要公式弧长公式：___________________，扇形面积公式：___________________．一、选择题1．若角3rad ，则角 是（ ）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角2．下列命题中正确的是（ ）．A．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角； B．5弧度的角是第三象限角；C． 是第一象限角，则π2也是第一象限角； D．－1弧度角是锐角．3．已知单位圆上有一段长度等于2的弧，则这段弧所对应的圆心角为（ ） A．2B．2C．1D．14．用弧度制表示与150 角的终边相同的角的集合为（ ）A．52,6k k ZB．5180,6k k ZC．22,3k k ZD．52,6k k Z5．若扇形的弧长与面积都是6，则这个扇形的圆心角的弧度数是（ ） A．2B．3C．4D．56．圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则（ ） A．扇形的圆心角大小不变B．扇形的圆心角增大到原来的2倍 C．扇形的圆心角增大到原来的4倍D．不能确定7．某学校大门口有一座钟楼，每到夜晚灯光亮起都是一道靓丽的风景，有一天因停电导致钟表慢10分钟，则将钟表拨快到准确时间分针所转过的弧度数是（ ） A．3B．6C．6D．3二、填空题8．将–1485°化为2kπ+α（0≤α<2π，k ∈Z ）的形式是 . 9．与240 终边相同的所有角的集合用弧度制可以表示为 . 10．弧长为3 ，圆心角为135 的扇形，其面积为 . 11．用弧度制表示终边落在第二象限的角的集合为 .三、解答题12．已知一个扇形的面积为4，周长为10，求该扇形的半径和圆心角． 13．用弧度制写出终边在阴影部分的角的集合：（1） （2）第四章 第三课时 任意角的三角函数【基础知识·一定要看】1．三角函数定义设 是一个任意角，它的终边与半径是r 的圆交于点(,)P x y ，则r ，那么： （1）y r 做 的正弦，记做sin ，即sin y r ； （2）x r 叫做 的余弦，记做cos ，即cos x r ；（3）y x 叫做 的正切，记做tan ，即tan (0)yx x ．2．三角函数在各象限的符号在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：（全是天才）． 判断三角函数值在各象限符号的攻略：1 基础：准确确定三角函数值中各角所在象限；2 关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；3 注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误. 3．正弦、余弦、正切函数的定义域一、选择题1．已知角 的终边经过点(8,6)，则cos 的值为（ ）A．34 B．43C．45 D．352．若sin 0,cos 0 ，则 是（ ）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角3．若点(1,2)P 在角 的终边上，则sin （ ）A．2B．12C．54．若角 的终边经过点(2,3)P ，则tan 等于（ ） A．23B．32C．32D．235．已知角 在第二象限，则（ ）A．sin 0 ，cos 0 B．sin 0 ，cos 0 C．sin 0 ，cos 0D．sin 0 ，cos 06．已知角 的终边经过(1,3) ，则cos sin （ ）C．D．7．如果角 的终边经过点(3,2) ，则sin 2cos 3sin cos（ ）A．－49B．49C．111D．－1118．已知角 的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，若 1,A y 是角 终边上一点，且sin y （ ） A．3B．3C．1 D．19．已知角 的终边经过点 3,4P ，则sin cos 11tan的值为（ ）A．65B．1 C．2 D．310．已知角 的顶点与原点 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(),40P m m ，且cos 5m，则tan （ ） A．43B．43 C．34D．34二、填空题11．已知角 的终边上有一点(1,3) ，则sin . 12．若角 的终边过点 3,4 ，则cos sin .13．确定下列各式的符号：sin105cos 230 0（填“ ”、“ ”或“ ”）. 14．已知sin tan 0 ，则角 位于第 象限．三、解答题15．已知角 的终边经过点(,6)P x ，且5cos 13，求x 的值.16．已知角 的终边上一点P 的坐标为 4,3t t （其中0t ），求角 的正弦、余弦和正切值．17．已知角 的顶点与坐标原点O 重合，始边落在x 轴的正半轴上，终边经过点04,A y ，其中00y .（1）若cos 5，求0y 的值； （2）若04y ，求2sin 3cos cos 4sin的值.第四章 第四课时 同角三角函数的基本关系【基础知识·一定要看】1．同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系：_______________；（2）商数关系：_______________ 2．利用同角三角函数的基本关系常见题型： 1 知一求二 2 弦切转换3．sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. 4．特殊角的三角函数值1．若sin ， 为第四象限角，则cos 的值为（ ）A．2B．12C．2D．122．已知5cos 13，且 为第二象限角，则tan （ ） A．125B．512C．1213 D．13123．已知tan 2 ,则cos sin sin cos的值为（ ）A．13B．13 C．3 D．34．已知 是第二象限角，tan 2 ，则cos 等于（ ）A．5B．15 C．5D．255．已知 的值为（ ） A．sin B．sin C．sin D．cos6．已知角 的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，点(1,3)P 在角 的终边上，则sin cos 2sin 3cos（ ）A．34 B．34 C．49D．497．已知tan 2 ，则2sin 2sin cos 的值为（ ）A．85B．1 C．0D．858．若π(0,)2 ，212tan cos，则tan （ ）A．12B．1C．2 9．已知sin cos 3sin cos ，22，则sin cos （ ）A．B． 10．已知10,sin cos 25 ，则221cos sin的值为（ ）A．75 B．257C．725 D．2425二、填空题11．已知3sin 5 ，,2，则cos . 12．若4cos 5，则sin . 13．若 为第二象限角，且1sin 3，则tan ＝ .14．已知7sin cos 13，(0,) ，则sin cos = .15．若sin 2cos 0A A ，则2sin cos sin 3cos A AA A. 16．已知角 的始边为x 轴非负半轴，终边经过点P （1，2），则sin sin cos.17．已知1sin cos 3，则44sin cos .18．已知1sin cos (0π)5，则tan .二、解答题19．已知1sin 5，并且 是第二象限角，求cos ，tan 的值；20．已知 为第二象限角，且4sin 3cos 0 ． （1）求tan 与sin 的值； （2）sin 2cos 2sin cos的值．第四章 第五课时 诱导公式【基础知识·一定要看】 1．诱导公式 诱导公式一：sin(2)sin k ； cos(2)cos k ； tan(2)tan k ，其中k Z诱导公式二：sin()sin ； cos()cos ； tan()tan ，其中k Z诱导公式三：sin[((21)]sin k ； cos[(21)]cos k ； tan[(21)]tan k ，其中k Z 诱导公式四：sin cos 2 ； cos sin 2 ； sin cos 2 ； cos sin 2，其中k Z一句话：对象当锐角，符号象限找一、选择题1． cos 300 （ ）A．12B．12C．2D． 2．如果12sin 13 ，02，，那么 cos （ ） A．1213 B．513C．1213D．5133．若tan (π)3 ，则2cos sin cos （ ）A．25B．35C．35D．25三、填空题4．已知sin 2sin() 的值是 . 5．15cos 4. 6．计算22sin ()cos () . 7．化简下列各式（1） cos ；（2） sin ；（3） tan .8．已知角 的终边经过点(2,1)P ，则cos 2的值为 .9．若 1cos 2π3，则 sin 3 .三、解答题10．求下列角的三角函数值： （1）cos(1050 )（2）sin(314)11．已知角 的终边经过点 3,40P a a a ． （1）求sin 的值；（2）求 3sin cos 2的值．12．已知2 ，3sin 5. （1）求tan 的值；（2）求 sin 2cos 2sin cos的值．22．已知sin 3sin 232cos cos 2f. （1）化简 f .（2）已知tan 3 ，求 f 的值.第四章 第六课时 正弦函数的图像和性质【基础知识·一定要看】1．“五点法”作y ＝sin x 的图像在确定正弦函数y ＝sin x 在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是： ______________________________________________．2．正弦函数的性质1．用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像时，下列哪个点不是关键点（ ） A．1,62B．,12C．(π，0) D．(2π，0)2．函数sin ,[0,2]y x x 与12y 图像交点的个数为（ ） A．0B．1C．2D．33．正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象的一条对称轴是（ ） A．y 轴B．x 轴C．直线x＝2D．直线x＝π4．函数()2sin f x x 在区间3π0,4上的最大值为（ ）A．0 B． D．2 5．已知集合 sin ,M y y x x R ， 12N x x ，则M N （ ） A． 1,1 B． 1,2C． 1,1 D． 1,16．函数y ＝|sin x |的图象( )A．关于x 轴对称B．关于y 轴对称C．关于原点对称 D．关于坐标轴对称 7．在同一坐标系中函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象( )A．重合B．形状相同，位置不同 C．形状不同，位置相同 D．形状不同，位置不同8．满足1sin 2的角的集合为（ ） A．2,3k kZB．2,6k kZC．222,33k k kZ D．522,66k k kZ 二、填空题9．函数 2sin f x x 的最大值是 . 10．函数3sin 2y x 的最小值为 .11．函数4sin 3y x 在[,] 上的递增区间为 . 12．观察正弦函数的图像，可得不等1sin 2x的解集为 . 13．已知函数 sin 1f x a x bx ，若 12f ，则 1f .三、解答题19．设2sin 4x m ，x R ，求m 的取值范围.20．已知函数()sin 2f x x .（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）当x [0,2π]时，求函数()f x 的最大值及取得最大值时x 的值.22．写出函数3sin 1y x 的值域和单调区间.第四章 第七课时 余弦函数的图像和性质【基础知识·一定要看】1．“五点法”作y ＝cos x 图像在确定余弦函数y ＝cos x 在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是 ______________________________________________．2．余弦函数的性质1．已知点5(,)6m在余弦曲线上，则m ＝（ ） A．2B．－2C．12D．－122．已知m 是函数 cos f x x 图象一个对称中心的横坐标，则 f m （ ） A．1B．0C．12D．13．从函数 cos ,0,2y x x 的图象来看，当 0,2x 时，对于cos x 的x 有（ ） A．0个B．1个C．2个D．3个4．在区间0,2上，下列说法正确的是（ ）A．sin y x 是增函数，且cosy x 是减函数 B．sin y x 是减函数，且cos y x 是增函数 C．sin y x 是增函数，且cos y x 是增函数 D．sin y x 是减函数，且cos y x 是减函数 5．函数cos y x 的一个单调递增区间是（ ）A． ,22B．[0，π] C．[π，32 ] D．[32 ，2π]6．函数cos y x 在区间[ ，a ]上为增函数，则a 的取值范围是（ ）A．(,)2B．( ，0] C．(2，0]D．(,)二、填空题7．若cos 21x m ，且R m ，则m 的取值范围是 ． 8．函数cos y x 相邻对称中心之间距离为 ． 9．函数 2cos 2cos 1f x x x 的最小值是 ．10．函数5()cos ,,46ππf x x x的值域为 ．三、解答题11．已知函数cos y a x b 的最大值是0，最小值是4 ，求,a b 的值．12．求使函数1cos 12y x 取得最大值，最小值的自变量x 的取值范围，并分别写出最大值，最小值.。
中职数学三角函数教案
中职数学三角函数教案一、教学目标1、理解正弦、余弦、正切等函数的定义和性质。
2、掌握三角函数的恒等变换和图像绘制。
3、能够利用三角函数解决实际问题，如测量、工程、物理等问题。
4、培养学生的数学思维和解决问题的能力。
二、教学内容1、三角函数的定义和性质2、三角函数的恒等变换3、三角函数的图像绘制和应用实例三、教学难点与重点难点：理解三角函数的恒等变换和应用实例的解决。
重点：掌握三角函数的定义和性质，以及三角函数的图像绘制。
四、教具和多媒体资源1、黑板和粉笔。
2、投影仪和PPT。
3、教学软件：GeoGebra或Desmos图形计算器。
五、教学方法1、激活学生的前知：复习初中所学的锐角三角函数。
2、教学策略：讲解、示范、小组讨论、案例分析。
3、学生活动：小组讨论、绘制函数图像、解决实际问题。
六、教学过程1、导入：故事导入，以实际应用案例引入三角函数的概念。
2、讲授新课：通过讲解、示范和PPT展示，引导学生理解三角函数的定义和性质，掌握恒等变换的运用，并能够绘制三角函数的图像。
3、巩固练习：提供几个实际应用案例，让学生利用所学知识解决，加深对三角函数的理解和应用。
4、归纳小结：回顾本节课的重点和难点，总结三角函数的基本概念、性质和恒等变换的应用。
七、评价与反馈1、设计评价策略：测试、小组讨论、观察学生的表现。
2、为学生提供反馈，针对不同学生给出具体的建议和指导，以便学生更好地掌握所学内容。
八、作业布置1、完成教材上的练习题。
2、自己寻找一个实际应用案例，写出解决方案并绘制出相关的图像。
中职数学三角函数试卷一、选择题1、以下哪个是三角函数？（）A.正弦B.余弦C.正切D.以上都是2、三角函数的定义域是什么？（）A.实数集B.有理数集C.正实数集D.单位圆上的点3、下列哪个选项的三角函数值为正？（）A. sin(0)B. cos(π/2)C. tan(π/4)D.以上都是二、填空题4、写出下列角度的正弦、余弦和正切值（精确到小数点后两位）：角度1：30度；角度2：45度；角度3：60度；角度4：90度；角度5：180度。
中职数学基础模块上册第四章三角函数的图象与性质教学设计课件
(1)若sin α= 1 ,且α为锐角,则α= 30 . 2
(2)若tan α=-1,且α∈[0°,180°],则α= 135 .
(3)若cos α=1 ,且0°≤α≤360°,则α= 2
(D)
A.30°
B.60°
C.30°或150°
D.60°或300°
【例1】 选择题 (1)下列是正弦函数y=sin x,0≤x≤2π的图象的是 ( )
2 当x是第二象限内的角时, x 180 45 135. x 45或135.
(2)已知tan x= 3,且0≤x≤2π,求角x的值.
(2) tan x 3 0, x是第二或第四象限内的角.
由于 tan 3,
3
所以当x是第二象限内的角时, x 2 ,
33
当x是第四象限内的角时, x 2 5 .
【考试意图】 考查正弦函数y sinx的性质--值域有界性. 【答案】 B 【解题指南】 正弦函数值域介于 1与1之间,所以 2 2sinx 2, 所以由 2 m 1 2,可求得m的取值范围是 1 m 3.
(3)下列等式中,正确的是 ( ) A.sin 35°<sin 55° C.sin 135°<sin 155°
②正弦函数y=sin x(0≤x≤2π),当x= 时,y有最大值为1.
2 ③余弦函数y=cos x在[π,2π]上是增函数.
④余弦函数y=cos x的最小正周期为π.
A.①②
B.①③
C.②③
D.③④
4.6 已知三角函数值求指定范围内的角 已知一个未知角的某一个三角函数值求出指定范围内的角, 其方法是先求出满足条件的锐角,再用相应的诱导公式进行解决.
3
x0
π
2π
第4章 三角函数复习课件 高一上学期高教版(2021)中职数学基础模块上册
判断对错: （1）锐角是第一象限角． （2）第一象限角是锐角． （3）锐角是小于90°的角． （4）第四象限角是负角．
（√ ）
（× ） （√ ） （ ×）
课堂检测
课堂检测
课堂检测
完成下列表格中的角度与弧已知 sinα= 4，且α为第二象限角，求 cosα 和 tanα的值。
“十四五”规划新教材——中职专用
数学
基础模块(上册)
第4章 三角函数复习
学习目标
1.理解并掌握三角函数的概念以及定义域； 2.理解单位圆的概念，并能够掌握利用单位圆求三角函数的值; 3.牢记各三角函数在各个象限的正负性； 4.熟练掌握特殊角的三角函数值。
知识结构
自主学习
精讲精练
知识点一 角的概念推广 任意角的定义：
精讲精练
知识点二 终边相同的角
精讲精练
知识点二 终边相同的角
知识点三 弧度制
精讲精练
精讲精练
知识点四 任意角的三角函数
精讲精练
知识点五 三角函数值的符号
精讲精练
知识点六 正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域
精讲精练
知识点七 特殊角的三角函数值
精讲精练
知识点八 同角三角函数的基本关系
课堂检测
5
解：因为α为第二象限角，
所以 cosα＜0，
由 sinα=
4得
5
Cosα=− 1 − sin²α=-35，tanα=
=-4.
3
/作业布置/
再见
中职数学三角函数公式
中职数学三角函数公式三角函数，听起来就像是数学中的“高深莫测”，但其实它就在我们生活的每个角落，真是个“无处不在”的家伙。
你知道吗？三角函数里的那些公式就像是我们的好朋友，尤其是在解题的时候，它们总是能帮我们“翻盘”。
咱们得聊聊最基本的三角函数——正弦、余弦和正切。
这个组合就像是数学界的“黄金三角”，简直是亲如兄弟。
想象一下，正弦就像那位热情开朗的朋友，总是“高高在上”，在单位圆上，他的值从0到1，就像是在追逐阳光。
余弦嘛，就是那个稳重的老兄，总是“低调”，从1到0，展现出他独特的魅力。
至于正切嘛，那就是个爱冒险的小伙子，总是敢于挑战，值从0到无穷大，真是让人又爱又恨。
生活中没少见这样的例子吧？总有那么几个朋友，性格各异，但都是不可或缺的。
说到三角函数，咱们得提提它的公式。
这可不是随便说说的哦。
比如，正弦的平方加余弦的平方等于1，这就像是一个无形的定律，永远靠谱。
你要是把这个公式记牢了，解起题来简直是事半功倍。
再加上各种角度的转换，比如30度、45度、60度，嘿，这就像在参加一场“数学派对”，每个角度都有它独特的“舞步”。
尤其是45度，这个角度简直是个“全能选手”，无论是正弦、余弦还是正切，都能轻松应对，绝对的“全能王”。
说到这里，想必大家都想问了，这些三角函数在生活中有什么用呢？其实不瞒你说，三角函数可是个“能手”，它在建筑、工程、物理等等领域中都扮演着重要角色。
比如，建房子的时候，咱们需要测量角度和高度，三角函数就能派上用场，真是个“打杂”能手。
物理学中的波动现象，也离不开三角函数的“陪伴”。
每当听到“波”的时候，脑海中不由自主地就浮现出正弦波的优美曲线，那可真是让人感叹大自然的神奇。
再聊聊三角函数的应用，咱们得说说它和旋转的关系。
你有没有想过，为什么旋转的物体总是和三角函数有千丝万缕的联系？这就是因为三角函数能精准地描述角度和长度的关系。
当你在开车转弯时，转向的角度和车速之间的关系，哎，三角函数就默默在背后支持着你。
北师大中职数学《三角函数》单元-教学设计
北师大中职数学《三角函数》单元教学设计一、教学目标1.知识与技能：-学生能够正确理解角的概念推广，包括正角、负角、零角以及象限角的概念。
-学生能够掌握三角函数（正弦、余弦、正切）的定义、基本性质及在单位圆上的表示。
-学生能够利用三角函数的性质进行恒等变换，并绘制三角函数的图像。
2.过程与方法：-培养学生通过实例、图形和数值等多种方式理解三角函数概念的能力。
-提高学生运用三角函数解决实际问题的能力，如测量、工程、物理等领域的应用。
3.情感态度与价值观：-激发学生对三角函数学习的兴趣和好奇心，培养他们主动探究和解决问题的能力。
-培养学生的逻辑思维能力和数学素养，提升他们运用数学工具解决实际问题的意识。
二、教学内容1.角的概念推广：介绍正角、负角、零角的概念，以及象限角的划分和表示方法。
2.三角函数的概念：定义正弦、余弦、正切函数，介绍其单位圆上的表示方法和基本性质。
3.三角函数的图像与性质：利用五点法绘制三角函数的图像，分析函数的周期性、奇偶性、单调性等性质。
4.三角函数的恒等变换：介绍基本的三角恒等式，如和差公式、倍角公式、半角公式等，并进行相关证明和应用。
三、教学方法与手段1.教学方法：-采用启发式教学法，通过提出问题引导学生思考，鼓励他们自主探索和发现。
-结合案例分析，让学生在实际问题中感受三角函数的应用价值。
-组织小组讨论，促进学生之间的合作与交流，培养他们的协作精神。
2.教学手段：-利用多媒体教学设备，展示三角函数的图像和性质，帮助学生形成直观认识。
-利用GeoGebra或Desmos等教学软件，引导学生进行函数的图像绘制和性质分析。
-提供丰富的练习题和实际应用案例，让学生在实践中巩固所学知识。
四、教学评价1.过程性评价：关注学生在课堂上的表现，包括参与度、思维活跃度、合作能力等方面，及时给予反馈和指导。
2.结果性评价：通过作业、测验和考试等形式，检查学生对三角函数知识的掌握程度和应用能力。
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（3）正切值tanα= y x ，对于第一、三象限 的角来说是正的（x、y同号）；对于第二、四象限的 角来说是负的（x、y异号）.
第二节 任意角的三角函数
为了便于记忆，我们将三角函数的正负号标在各个 象限内，如图4-9所示.
度，
第一节 角的概念推广和弧度制
二、 弧度制
初中我们研究过角的度量，即将圆周的 1 360 所对的圆心角叫作 1度角 ，记作1°，如图45（a）所示.这种用“度”做单位来度量角度的单 位制叫作角度制 .现在我们来学习另外一种度量角 的单位制——弧度制.
把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫作1弧度 的角 ，记作1弧度或1 rad，如图4-5（b）所示.
第二节 任意角的三角函数
【例4】
利用计算器求下列各三角函数值（精确到0.000 1）：
第二节 任意角的三角函数
课堂练习
第三节 同角三角函数的基本关系
一、 单位圆
在平面直角坐标系中，以原点为圆心，以 单位长度为半径的圆称为单位圆．如图4-10 所示，设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x， y)，根据三角函数的定义，可得
如图4-4所示，60°、420°、－300°角都是第一象限的 角，见图4-4（a）；150°角是第二象限的角，－150°角是 第三象限的角，见图4-4（b）；－30°、330°角都是第四 象限的角,见图4-4（c）.
终边在坐标轴上的角叫作 界线角 ，如0°、90°、 180°、270°、360 、－90°、－180°角都是界线角.
第三节 同角三角函数的基本关系
【例2】
第三节 同角三角函数的函数的诱导公式
一、 角α与α+2kπ(k∈ Z )的三角函数间的诱导公式
由第一节可知，在直角坐标系中，角α与α+2kπ(k∈ Z )的终边相同.根据三角函数的定义，它们的三角函数值 相等，即
90°，终边在y轴负半轴上的角为270°，因此，终边在y轴正
90°+k•360°=90°+2k•180° , 270°+k•360°=90°+(2k+1)•180° 其中k∈ Z ，可以将上面的两个式子进行合并，即终 边在y {β︱β=90°+n•180°,n∈ Z }. 当n取偶数时，角的终边在y轴的正半轴上；当n取奇 数时，角的终边在y轴的负半轴上.
第一节 角的概念推广和弧度制
课堂练习
第一节 角的概念推广和弧度制
第一节 角的概念推广和弧度制
第一节 角的概念推广和弧度制
第一节 角的概念推广和弧度制
第二节 任意角的三角函数
一、 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数
在初中我们已经学过了锐角 的正弦、余弦和正切函数，并且在 前边的内容中也已经推广了角的概 念，现在利用直角坐标系把这三种 三角函数推广到任意角的情况.
规定： 按逆时针方向旋转所形成的角叫作正角，如图 4-1（a）所示；按顺时针方向旋转所形成的角叫作负角，如 图4-1（b）所示.当射线没有做任何旋转时，我们称它形成 一个零角 ，零角的始边与终边重合.
图 4-1
第一节 角的概念推广和弧度制
想一想
钟表上时针现在指向8点，问再过27小时，时 针指向几点？这段时间中时针走过的角度是多少？
第一节 角的概念推广和弧度制
图 4-4
第一节 角的概念推广和弧度制
课堂练习
指出下列角分别是第几象限的角：
（1）80°；
（2）210°；
（3）－200°； （4）－50°
第一节 角的概念推广和弧度制
想一想
锐角是第几象限的角？第一象限的角一定是 锐角吗？
第一节 角的概念推广和弧度制
从图4-4（a）可以看出420°、－300°角都与60°角的终 边相同，并且都可以表示成60°与k个周角的和，其中k为整 数，即
第二节 任意角的三角函数
2. 界线角的正弦值、余弦值和正切值
由于零角的终边与x轴的正半轴重合，并且r为点P到 原点的距离，所以对于角终边上的任意点P(x,y)都有 r=x,y=0.因此根据三角函数的定义，有
第二节 任意角的三角函数
第二节 任意角的三角函数
【例4】
第二节 任意角的三角函数
课堂练习
420°=60°+k×360°(k=1), －300°=60°+k×360°(k=－1)， 它们是角的始边绕坐标原点旋转到60°角的终边位置后， 分别继续按逆时针或顺时针方向再旋转一周所形成的角，其 终边都相同，因此将其叫作 终边相同的角 .与60°角的终边 相同的角有无限多个，用集合表示为 {α︱α=60°+k·360°,k∈ Z }.
(4-2) 这里，角α的正负由其终边的旋转方向决定.
第一节 角的概念推广和弧度制
半径为r的圆的周长为2πr，故周角的弧度为 用角度制和弧度制来度量零角，单位虽然不同， 但量数相同，都是0；用角度制和弧度制度量任一非 零角，单位不同，量数也不用.例如，周角的弧度数 是2π，而它在角度制下的度数是360°
第三节 同角三角函数的基本关系
课堂练习
1.已知角α=45°，求其终边与单位圆交点的坐标. 2.已知角α=60°，求其终边与单位圆交点的坐标.
第三节 同角三角函数的基本关系
二、 同角三角函数的基本关系
第三节 同角三角函数的基本关系
学习提示
利用基本关系式sin2α+cos2α=1求三角函数的值时， 需要进行开平方运算，所以必须要明确角α所在的象限.
第一节 角的概念推广和弧度制
在以前所学的知识中，我们只研究了0°~360°范围的 角，但在现实生活中我们还会遇到更大范围的角.例如，游 乐场的摩天轮，当它一圈又一圈地转动着的时候，其转动 的角度不是只限于0°~360°.为了描述这种现实状况，我们 把角的概念加以推广，即推广到任意角，包括正角、负角 和零角.如图4-2所示，正角α=210°，负角β=－150°
第三节 同角三角函数的基本关系
由此可见，角口的正弦 值和余弦值分别等于其终边与 单位圆的交点P的纵坐标y和横 坐标x．因此，角α的终边与单 位圆的交点P的坐标可以表示 为P(cosα，sinα)．
图 4-10
第三节 同角三角函数的基本关系
【例1】
已知角α=30°， 解 设角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，根据三 角函数的定义，可得
第一节 角的概念推广和弧度制
一般地，与角α终边相同的角有无限多个， 并且它们（包括角α在内）都可以写成 α=60°+k·360°(k∈ Z )的形式,所以它们所组 成的集合为
{β︱β=α+k·360°,k∈ Z }. (4-1)
第一节 角的概念推广和弧度制
【例2】
写出与下列各角终边相同的角的集合，把其中在 0°~360°范围内的角写出来，并判断下列各角是第几象限
我们知道，角可以看成平面内一条射线绕着 端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. 如图4-1（a）所示，射线的端点是O，它从位置 OA旋转到另一位置OB形成的图形叫作角 .旋转 位置开始的射线OA叫作角的始边，终止位置的 射线OB叫作角的 终边 ，端点O叫作角的顶点.
第一节 角的概念推广和弧度制
第一节 角的概念推广和弧度制
（a)劣弧AB 的弧长为1 360 周长 （b）劣弧AB 的弧长为半径长 图 4-5
第一节 角的概念推广和弧度制
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度 数是一个负数，零角的弧度数是0.这种以弧度为单位来 度量角的单位制叫作 弧度制 .
由定义可知，当角α用弧度表示时，其绝对值等于 圆弧长l与半径r的比，即
图 4-2
第一节 角的概念推广和弧度制
坐标平面被直角坐标系分 为四个部分，如图4-3所示， 分别叫作第一象限、第二象限、 第三象限、第四象限.坐标轴 上的点不属于任何象限.此时， 角的终边在第几象限，就把这 个角叫作第几象限的角，或者 说这个角在第几象限.
图 4-3
第一节 角的概念推广和弧度制
【例1】
计算4sin90°－2sin0°+6tan180°+cos270°.
第二节 任意角的三角函数
三、 利用计算器求任意角的三角函数值
利用科学计算器的sin 、 cos 、 tan 键，就可以方便地计算任意角的三 角函数值.主要步骤是：设置模式（角度 制或弧度制）→按 sin 键（或 cos 、 tan 键）→输入角的大小→按 = 键显 示结果.
图 4-9
第二节 任意角的三角函数
学习提示
在第一象限sinα,cosα,tanα全为正，在第二 sinα为正，在第三象限仅tanα为正，在第
四象限仅cosα为正，此规律可简记为“一全正，二 正弦，三正切，四余弦”.
第二节 任意角的三角函数
【例3】
第二节 任意角的三角函数
课堂练习
1.判断下列各角的三角函数的正负号： （1）－100°； （2）13π 5 . 2.若sinθ>0且cosθ<0，则θ是第几象限的角？
第二节 任意角的三角函数
二、 三角函数的正负号 1. 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数在各象限的正负号
由于r>0，所以三角函数值的正负 由终边上点P的坐标来确定.因此由三角 函数的定义以及各象限内的点的坐标的 符号可知：
第二节 任意角的三角函数
（1）正弦值sinα= y r ，对于第一、二象限的 角来说是正的（y>0）；对于第三、四象限的角来说 是负的（y<0）.
第一节 角的概念推广和弧度制
第一节 角的概念推广和弧度制
【例4】
第一节 角的概念推广和弧度制
【例5】
将下列各角由弧度换算为角度：