中职数学 第四章 三角函数
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我们知道，角可以看成平面内一条射线绕着 端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. 如图4-1（a）所示，射线的端点是O，它从位置 OA旋转到另一位置OB形成的图形叫作角 .旋转 位置开始的射线OA叫作角的始边，终止位置的 射线OB叫作角的 终边 ，端点O叫作角的顶点.
第一节 角的概念推广和弧度制
第一节 角的概念推广和弧度制
在以前所学的知识中，我们只研究了0°~360°范围的 角，但在现实生活中我们还会遇到更大范围的角.例如，游 乐场的摩天轮，当它一圈又一圈地转动着的时候，其转动 的角度不是只限于0°~360°.为了描述这种现实状况，我们 把角的概念加以推广，即推广到任意角，包括正角、负角 和零角.如图4-2所示，正角α=210°，负角β=－150°
数学
（第2册）
第四 章
三角函数
目录 CONTENTS
第一节 角的概念推广和弧度制 任意角的三角函数 第二节
同角三角函数的基本关系
三角函数的诱导公式 第四节
目录 CONTENTS
第五节 已知三角函数值求角 三角函数的图像和性质 第六节
第七节 反三角函数
第一节 角的概念推广和弧度制
一、 角的概念推广
第二节 任意角的三角函数
第二节 任意角的三角函数
图 4-6
第二节 任意角的三角函数
可以看出，当角α的终边在y轴上时，即对于 每一个确定的α值，其正弦、余弦及正切（当x≠0 时）都分别对应一个确定的比值.
因此，正弦、余弦及正切都是以α为变量的 函数，分别叫作正弦函数、余弦函数及正切函数， 它们都是三角函数.表4-2所示为正弦函数、余弦 函数和正切函数的定义域.
图 4-9
第二节 任意角的三角函数
学习提示
在第一象限sinα,cosα,tanα全为正，在第二 sinα为正，在第三象限仅tanα为正，在第
四象限仅cosα为正，此规律可简记为“一全正，二 正弦，三正切，四余弦”.
第二节 任意角的三角函数
【例3】
第二节 任意角的三角函数
课堂练习
1.判断下列各角的三角函数的正负号： （1）－100°； （2）13π 5 . 2.若sinθ>0且cosθ<0，则θ是第几象限的角？
（2）余弦值cosα= x r ，对于第一、四象限 的角来说是正的（x>0）；对于第二、三象限的角来 说是负的（x<0）.
（3）正切值tanα= y x ，对于第一、三象限 的角来说是正的（x、y同号）；对于第二、四象限的 角来说是负的（x、y异号）.
第二节 任意角的三角函数
为了便于记忆，我们将三角函数的正负号标在各个 象限内，如图4-9所示.
图 4-2
第一节 角的概念推广和弧度制
坐标平面被直角坐标系分 为四个部分，如图4-3所示， 分别叫作第一象限、第二象限、 第三象限、第四象限.坐标轴 上的点不属于任何象限.此时， 角的终边在第几象限，就把这 个角叫作第几象限的角，或者 说这个角在第几象限.
图 4-3
第一节 角的概念推广和弧度制
【ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1】
第二节 任意角的三角函数
2. 界线角的正弦值、余弦值和正切值
由于零角的终边与x轴的正半轴重合，并且r为点P到 原点的距离，所以对于角终边上的任意点P(x,y)都有 r=x,y=0.因此根据三角函数的定义，有
第二节 任意角的三角函数
第二节 任意角的三角函数
【例4】
第二节 任意角的三角函数
课堂练习
第一节 角的概念推广和弧度制
（a)劣弧AB 的弧长为1 360 周长 （b）劣弧AB 的弧长为半径长 图 4-5
第一节 角的概念推广和弧度制
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度 数是一个负数，零角的弧度数是0.这种以弧度为单位来 度量角的单位制叫作 弧度制 .
由定义可知，当角α用弧度表示时，其绝对值等于 圆弧长l与半径r的比，即
（2）与角－80°的 {β︱β=－80°+k•360°,k∈ Z }.
当k=1时，－80°+1×360°=280°，并且280°在0° ~360°的范围内，所以在0°~360°范围内与－80°角的终边 相同的角为280°；-80°角是第四象限的角.
第一节 角的概念推广和弧度制
【例3】
写出终边在y轴上的角的集合. 解 在0°~360°范围内，终边在y轴正半轴上的角为
第一节 角的概念推广和弧度制
课堂练习
第一节 角的概念推广和弧度制
第一节 角的概念推广和弧度制
第一节 角的概念推广和弧度制
第一节 角的概念推广和弧度制
第二节 任意角的三角函数
一、 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数
在初中我们已经学过了锐角 的正弦、余弦和正切函数，并且在 前边的内容中也已经推广了角的概 念，现在利用直角坐标系把这三种 三角函数推广到任意角的情况.
规定： 按逆时针方向旋转所形成的角叫作正角，如图 4-1（a）所示；按顺时针方向旋转所形成的角叫作负角，如 图4-1（b）所示.当射线没有做任何旋转时，我们称它形成 一个零角 ，零角的始边与终边重合.
图 4-1
第一节 角的概念推广和弧度制
想一想
钟表上时针现在指向8点，问再过27小时，时 针指向几点？这段时间中时针走过的角度是多少？
420°=60°+k×360°(k=1), －300°=60°+k×360°(k=－1)， 它们是角的始边绕坐标原点旋转到60°角的终边位置后， 分别继续按逆时针或顺时针方向再旋转一周所形成的角，其 终边都相同，因此将其叫作 终边相同的角 .与60°角的终边 相同的角有无限多个，用集合表示为 {α︱α=60°+k·360°,k∈ Z }.
(4-2) 这里，角α的正负由其终边的旋转方向决定.
第一节 角的概念推广和弧度制
半径为r的圆的周长为2πr，故周角的弧度为 用角度制和弧度制来度量零角，单位虽然不同， 但量数相同，都是0；用角度制和弧度制度量任一非 零角，单位不同，量数也不用.例如，周角的弧度数 是2π，而它在角度制下的度数是360°
（1）470°;
（2）－80°.
解 （1）与角470°的
{β︱β=470°+k•360°,k∈ Z }.
当k=－1时，470°+(－1)×360°=110°，并且110°在
0°~360°的范围内，所以在0°~360°范围内与470°角的终
边相同的角为110°；470°角是第二象限的角.
第一节 角的概念推广和弧度制
第二节 任意角的三角函数
二、 三角函数的正负号 1. 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数在各象限的正负号
由于r>0，所以三角函数值的正负 由终边上点P的坐标来确定.因此由三角 函数的定义以及各象限内的点的坐标的 符号可知：
第二节 任意角的三角函数
（1）正弦值sinα= y r ，对于第一、二象限的 角来说是正的（y>0）；对于第三、四象限的角来说 是负的（y<0）.
计算4sin90°－2sin0°+6tan180°+cos270°.
第二节 任意角的三角函数
三、 利用计算器求任意角的三角函数值
利用科学计算器的sin 、 cos 、 tan 键，就可以方便地计算任意角的三 角函数值.主要步骤是：设置模式（角度 制或弧度制）→按 sin 键（或 cos 、 tan 键）→输入角的大小→按 = 键显 示结果.
如图4-4所示，60°、420°、－300°角都是第一象限的 角，见图4-4（a）；150°角是第二象限的角，－150°角是 第三象限的角，见图4-4（b）；－30°、330°角都是第四 象限的角,见图4-4（c）.
终边在坐标轴上的角叫作 界线角 ，如0°、90°、 180°、270°、360 、－90°、－180°角都是界线角.
第二节 任意角的三角函数
第二节 任意角的三角函数
【例1】
图 4-7
第二节 任意角的三角函数
【例2】
第二节 任意角的三角函数
图 4-8
第二节 任意角的三角函数
课堂练习
已知角α终边上的点P的坐标如下，分别求出它的正 弦值、余弦值和正切值：
（1）P(1, 3 )； （2）P(－6,8)； （3）P(－1,－2).
第二节 任意角的三角函数
【例4】
利用计算器求下列各三角函数值（精确到0.000 1）：
第二节 任意角的三角函数
课堂练习
第三节 同角三角函数的基本关系
一、 单位圆
在平面直角坐标系中，以原点为圆心，以 单位长度为半径的圆称为单位圆．如图4-10 所示，设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x， y)，根据三角函数的定义，可得
第三节 同角三角函数的基本关系
课堂练习
1.已知角α=45°，求其终边与单位圆交点的坐标. 2.已知角α=60°，求其终边与单位圆交点的坐标.
第三节 同角三角函数的基本关系
二、 同角三角函数的基本关系
第三节 同角三角函数的基本关系
学习提示
利用基本关系式sin2α+cos2α=1求三角函数的值时， 需要进行开平方运算，所以必须要明确角α所在的象限.
第一节 角的概念推广和弧度制
图 4-4
第一节 角的概念推广和弧度制
课堂练习
指出下列角分别是第几象限的角：
（1）80°；
（2）210°；
（3）－200°； （4）－50°
第一节 角的概念推广和弧度制
想一想
锐角是第几象限的角？第一象限的角一定是 锐角吗？
第一节 角的概念推广和弧度制
从图4-4（a）可以看出420°、－300°角都与60°角的终 边相同，并且都可以表示成60°与k个周角的和，其中k为整 数，即
90°，终边在y轴负半轴上的角为270°，因此，终边在y轴正
90°+k•360°=90°+2k•180° , 270°+k•360°=90°+(2k+1)•180° 其中k∈ Z ，可以将上面的两个式子进行合并，即终 边在y {β︱β=90°+n•180°,n∈ Z }. 当n取偶数时，角的终边在y轴的正半轴上；当n取奇 数时，角的终边在y轴的负半轴上.
度，
第一节 角的概念推广和弧度制
二、 弧度制
初中我们研究过角的度量，即将圆周的 1 360 所对的圆心角叫作 1度角 ，记作1°，如图45（a）所示.这种用“度”做单位来度量角度的单 位制叫作角度制 .现在我们来学习另外一种度量角 的单位制——弧度制.
把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫作1弧度 的角 ，记作1弧度或1 rad，如图4-5（b）所示.
第一节 角的概念推广和弧度制
一般地，与角α终边相同的角有无限多个， 并且它们（包括角α在内）都可以写成 α=60°+k·360°(k∈ Z )的形式,所以它们所组 成的集合为
{β︱β=α+k·360°,k∈ Z }. (4-1)
第一节 角的概念推广和弧度制
【例2】
写出与下列各角终边相同的角的集合，把其中在 0°~360°范围内的角写出来，并判断下列各角是第几象限
第一节 角的概念推广和弧度制
第一节 角的概念推广和弧度制
【例4】
第一节 角的概念推广和弧度制
【例5】
将下列各角由弧度换算为角度：
第一节 角的概念推广和弧度制
表4-1中给出了一些特殊角的弧度 与角度之间的换算.
采用弧度制之后，每一个角都对应唯一的一个实数； 反之，每一个实数都对应唯一的一个角.这样，角与实数之 间就建立了一一对应的关系.
第三节 同角三角函数的基本关系
由此可见，角口的正弦 值和余弦值分别等于其终边与 单位圆的交点P的纵坐标y和横 坐标x．因此，角α的终边与单 位圆的交点P的坐标可以表示 为P(cosα，sinα)．
图 4-10
第三节 同角三角函数的基本关系
【例1】
已知角α=30°， 解 设角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，根据三 角函数的定义，可得
第一节 角的概念推广和弧度制
想一想
终边在x轴上的角的集合如何表示？
第一节 角的概念推广和弧度制
课堂练习
1.下列说法正确的是（ ）. A.第二象限的角一定是钝角 B.终边在y轴正半轴的角是直角 C.第四象限的角一定是负角 D.若β=α+k•360°（k∈Z），则α与β的终边相同 2.与120°角终边相同的角为（ ）. A.420° B.-240° C.-540° D.600° 3.钟表的时针每小时转过 度，分针每小时转过 秒针每小时转过 度.
第三节 同角三角函数的基本关系
【例2】
第三节 同角三角函数的基本关系
课堂练习
第四节 三角函数的诱导公式
一、 角α与α+2kπ(k∈ Z )的三角函数间的诱导公式
由第一节可知，在直角坐标系中，角α与α+2kπ(k∈ Z )的终边相同.根据三角函数的定义，它们的三角函数值 相等，即
第一节 角的概念推广和弧度制
第一节 角的概念推广和弧度制
在以前所学的知识中，我们只研究了0°~360°范围的 角，但在现实生活中我们还会遇到更大范围的角.例如，游 乐场的摩天轮，当它一圈又一圈地转动着的时候，其转动 的角度不是只限于0°~360°.为了描述这种现实状况，我们 把角的概念加以推广，即推广到任意角，包括正角、负角 和零角.如图4-2所示，正角α=210°，负角β=－150°
数学
（第2册）
第四 章
三角函数
目录 CONTENTS
第一节 角的概念推广和弧度制 任意角的三角函数 第二节
同角三角函数的基本关系
三角函数的诱导公式 第四节
目录 CONTENTS
第五节 已知三角函数值求角 三角函数的图像和性质 第六节
第七节 反三角函数
第一节 角的概念推广和弧度制
一、 角的概念推广
第二节 任意角的三角函数
第二节 任意角的三角函数
图 4-6
第二节 任意角的三角函数
可以看出，当角α的终边在y轴上时，即对于 每一个确定的α值，其正弦、余弦及正切（当x≠0 时）都分别对应一个确定的比值.
因此，正弦、余弦及正切都是以α为变量的 函数，分别叫作正弦函数、余弦函数及正切函数， 它们都是三角函数.表4-2所示为正弦函数、余弦 函数和正切函数的定义域.
图 4-9
第二节 任意角的三角函数
学习提示
在第一象限sinα,cosα,tanα全为正，在第二 sinα为正，在第三象限仅tanα为正，在第
四象限仅cosα为正，此规律可简记为“一全正，二 正弦，三正切，四余弦”.
第二节 任意角的三角函数
【例3】
第二节 任意角的三角函数
课堂练习
1.判断下列各角的三角函数的正负号： （1）－100°； （2）13π 5 . 2.若sinθ>0且cosθ<0，则θ是第几象限的角？
（2）余弦值cosα= x r ，对于第一、四象限 的角来说是正的（x>0）；对于第二、三象限的角来 说是负的（x<0）.
（3）正切值tanα= y x ，对于第一、三象限 的角来说是正的（x、y同号）；对于第二、四象限的 角来说是负的（x、y异号）.
第二节 任意角的三角函数
为了便于记忆，我们将三角函数的正负号标在各个 象限内，如图4-9所示.
图 4-2
第一节 角的概念推广和弧度制
坐标平面被直角坐标系分 为四个部分，如图4-3所示， 分别叫作第一象限、第二象限、 第三象限、第四象限.坐标轴 上的点不属于任何象限.此时， 角的终边在第几象限，就把这 个角叫作第几象限的角，或者 说这个角在第几象限.
图 4-3
第一节 角的概念推广和弧度制
【ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1】
第二节 任意角的三角函数
2. 界线角的正弦值、余弦值和正切值
由于零角的终边与x轴的正半轴重合，并且r为点P到 原点的距离，所以对于角终边上的任意点P(x,y)都有 r=x,y=0.因此根据三角函数的定义，有
第二节 任意角的三角函数
第二节 任意角的三角函数
【例4】
第二节 任意角的三角函数
课堂练习
第一节 角的概念推广和弧度制
（a)劣弧AB 的弧长为1 360 周长 （b）劣弧AB 的弧长为半径长 图 4-5
第一节 角的概念推广和弧度制
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度 数是一个负数，零角的弧度数是0.这种以弧度为单位来 度量角的单位制叫作 弧度制 .
由定义可知，当角α用弧度表示时，其绝对值等于 圆弧长l与半径r的比，即
（2）与角－80°的 {β︱β=－80°+k•360°,k∈ Z }.
当k=1时，－80°+1×360°=280°，并且280°在0° ~360°的范围内，所以在0°~360°范围内与－80°角的终边 相同的角为280°；-80°角是第四象限的角.
第一节 角的概念推广和弧度制
【例3】
写出终边在y轴上的角的集合. 解 在0°~360°范围内，终边在y轴正半轴上的角为
第一节 角的概念推广和弧度制
课堂练习
第一节 角的概念推广和弧度制
第一节 角的概念推广和弧度制
第一节 角的概念推广和弧度制
第一节 角的概念推广和弧度制
第二节 任意角的三角函数
一、 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数
在初中我们已经学过了锐角 的正弦、余弦和正切函数，并且在 前边的内容中也已经推广了角的概 念，现在利用直角坐标系把这三种 三角函数推广到任意角的情况.
规定： 按逆时针方向旋转所形成的角叫作正角，如图 4-1（a）所示；按顺时针方向旋转所形成的角叫作负角，如 图4-1（b）所示.当射线没有做任何旋转时，我们称它形成 一个零角 ，零角的始边与终边重合.
图 4-1
第一节 角的概念推广和弧度制
想一想
钟表上时针现在指向8点，问再过27小时，时 针指向几点？这段时间中时针走过的角度是多少？
420°=60°+k×360°(k=1), －300°=60°+k×360°(k=－1)， 它们是角的始边绕坐标原点旋转到60°角的终边位置后， 分别继续按逆时针或顺时针方向再旋转一周所形成的角，其 终边都相同，因此将其叫作 终边相同的角 .与60°角的终边 相同的角有无限多个，用集合表示为 {α︱α=60°+k·360°,k∈ Z }.
(4-2) 这里，角α的正负由其终边的旋转方向决定.
第一节 角的概念推广和弧度制
半径为r的圆的周长为2πr，故周角的弧度为 用角度制和弧度制来度量零角，单位虽然不同， 但量数相同，都是0；用角度制和弧度制度量任一非 零角，单位不同，量数也不用.例如，周角的弧度数 是2π，而它在角度制下的度数是360°
（1）470°;
（2）－80°.
解 （1）与角470°的
{β︱β=470°+k•360°,k∈ Z }.
当k=－1时，470°+(－1)×360°=110°，并且110°在
0°~360°的范围内，所以在0°~360°范围内与470°角的终
边相同的角为110°；470°角是第二象限的角.
第一节 角的概念推广和弧度制
第二节 任意角的三角函数
二、 三角函数的正负号 1. 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数在各象限的正负号
由于r>0，所以三角函数值的正负 由终边上点P的坐标来确定.因此由三角 函数的定义以及各象限内的点的坐标的 符号可知：
第二节 任意角的三角函数
（1）正弦值sinα= y r ，对于第一、二象限的 角来说是正的（y>0）；对于第三、四象限的角来说 是负的（y<0）.
计算4sin90°－2sin0°+6tan180°+cos270°.
第二节 任意角的三角函数
三、 利用计算器求任意角的三角函数值
利用科学计算器的sin 、 cos 、 tan 键，就可以方便地计算任意角的三 角函数值.主要步骤是：设置模式（角度 制或弧度制）→按 sin 键（或 cos 、 tan 键）→输入角的大小→按 = 键显 示结果.
如图4-4所示，60°、420°、－300°角都是第一象限的 角，见图4-4（a）；150°角是第二象限的角，－150°角是 第三象限的角，见图4-4（b）；－30°、330°角都是第四 象限的角,见图4-4（c）.
终边在坐标轴上的角叫作 界线角 ，如0°、90°、 180°、270°、360 、－90°、－180°角都是界线角.
第二节 任意角的三角函数
第二节 任意角的三角函数
【例1】
图 4-7
第二节 任意角的三角函数
【例2】
第二节 任意角的三角函数
图 4-8
第二节 任意角的三角函数
课堂练习
已知角α终边上的点P的坐标如下，分别求出它的正 弦值、余弦值和正切值：
（1）P(1, 3 )； （2）P(－6,8)； （3）P(－1,－2).
第二节 任意角的三角函数
【例4】
利用计算器求下列各三角函数值（精确到0.000 1）：
第二节 任意角的三角函数
课堂练习
第三节 同角三角函数的基本关系
一、 单位圆
在平面直角坐标系中，以原点为圆心，以 单位长度为半径的圆称为单位圆．如图4-10 所示，设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x， y)，根据三角函数的定义，可得
第三节 同角三角函数的基本关系
课堂练习
1.已知角α=45°，求其终边与单位圆交点的坐标. 2.已知角α=60°，求其终边与单位圆交点的坐标.
第三节 同角三角函数的基本关系
二、 同角三角函数的基本关系
第三节 同角三角函数的基本关系
学习提示
利用基本关系式sin2α+cos2α=1求三角函数的值时， 需要进行开平方运算，所以必须要明确角α所在的象限.
第一节 角的概念推广和弧度制
图 4-4
第一节 角的概念推广和弧度制
课堂练习
指出下列角分别是第几象限的角：
（1）80°；
（2）210°；
（3）－200°； （4）－50°
第一节 角的概念推广和弧度制
想一想
锐角是第几象限的角？第一象限的角一定是 锐角吗？
第一节 角的概念推广和弧度制
从图4-4（a）可以看出420°、－300°角都与60°角的终 边相同，并且都可以表示成60°与k个周角的和，其中k为整 数，即
90°，终边在y轴负半轴上的角为270°，因此，终边在y轴正
90°+k•360°=90°+2k•180° , 270°+k•360°=90°+(2k+1)•180° 其中k∈ Z ，可以将上面的两个式子进行合并，即终 边在y {β︱β=90°+n•180°,n∈ Z }. 当n取偶数时，角的终边在y轴的正半轴上；当n取奇 数时，角的终边在y轴的负半轴上.
度，
第一节 角的概念推广和弧度制
二、 弧度制
初中我们研究过角的度量，即将圆周的 1 360 所对的圆心角叫作 1度角 ，记作1°，如图45（a）所示.这种用“度”做单位来度量角度的单 位制叫作角度制 .现在我们来学习另外一种度量角 的单位制——弧度制.
把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫作1弧度 的角 ，记作1弧度或1 rad，如图4-5（b）所示.
第一节 角的概念推广和弧度制
一般地，与角α终边相同的角有无限多个， 并且它们（包括角α在内）都可以写成 α=60°+k·360°(k∈ Z )的形式,所以它们所组 成的集合为
{β︱β=α+k·360°,k∈ Z }. (4-1)
第一节 角的概念推广和弧度制
【例2】
写出与下列各角终边相同的角的集合，把其中在 0°~360°范围内的角写出来，并判断下列各角是第几象限
第一节 角的概念推广和弧度制
第一节 角的概念推广和弧度制
【例4】
第一节 角的概念推广和弧度制
【例5】
将下列各角由弧度换算为角度：
第一节 角的概念推广和弧度制
表4-1中给出了一些特殊角的弧度 与角度之间的换算.
采用弧度制之后，每一个角都对应唯一的一个实数； 反之，每一个实数都对应唯一的一个角.这样，角与实数之 间就建立了一一对应的关系.
第三节 同角三角函数的基本关系
由此可见，角口的正弦 值和余弦值分别等于其终边与 单位圆的交点P的纵坐标y和横 坐标x．因此，角α的终边与单 位圆的交点P的坐标可以表示 为P(cosα，sinα)．
图 4-10
第三节 同角三角函数的基本关系
【例1】
已知角α=30°， 解 设角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，根据三 角函数的定义，可得
第一节 角的概念推广和弧度制
想一想
终边在x轴上的角的集合如何表示？
第一节 角的概念推广和弧度制
课堂练习
1.下列说法正确的是（ ）. A.第二象限的角一定是钝角 B.终边在y轴正半轴的角是直角 C.第四象限的角一定是负角 D.若β=α+k•360°（k∈Z），则α与β的终边相同 2.与120°角终边相同的角为（ ）. A.420° B.-240° C.-540° D.600° 3.钟表的时针每小时转过 度，分针每小时转过 秒针每小时转过 度.
第三节 同角三角函数的基本关系
【例2】
第三节 同角三角函数的基本关系
课堂练习
第四节 三角函数的诱导公式
一、 角α与α+2kπ(k∈ Z )的三角函数间的诱导公式
由第一节可知，在直角坐标系中，角α与α+2kπ(k∈ Z )的终边相同.根据三角函数的定义，它们的三角函数值 相等，即