辅助角公式的推导和应用
三角函数中辅助角公式的应用1951-修订编选
三角函数中辅助角公式的应用1951-修订编选本文主要介绍三角函数的辅助角公式。
在三角函数的各个发展阶段，三角函数的应用范围不断扩大，对三角问题的研究和探索也取得了长足的进步。
但是，在运用时，仍然存在一些困难，比如某些特殊场合对解法是十分严格的，难以准确计算。
但对于使用辅助角公式解题往往会有一些较复杂的结论，这一点往往不能通过简单的证明。
本文给出了一些在特殊情况下可能会采用的辅助角公式，可以方便地用于求取。
下面一一介绍相关条件：(1).辅助角公式式：△ T为一个独立的函数 g (x, y) r+2 k+3-4 l n,其中: f (x, y)为连续函数; h为辅助参数；β t= k (k|θ>0);λ为绝对值系数。
1)△T1,T2 k+3-4 l n是三角函数 f (x, y)的辅助参数α和β的乘积，可以求出α;(3) t是三角函数 f (x, y)的辅助参数β的乘积。
a, b=1+3=2+3=2, c, d是角的乘积, d<α时 r=0, d> m时 r=1。
f (x, y)= r+2 k+3 l n 是一个独立函数, f (x, y)与 t有交点, f (x, y)与 t有乘点，求取函数 f (x, y)与 t关系式即可。
(2).△ T为一个独立函数, f (x, y)+ t=2+3,其中：u是连续函数。
a, b是乘积常数，α为辅助参数；c是绝对值系数。
1、a为三角函数 f (x, y)的系数，它的值大于0,叫做 f是角的乘积。
a< a, d> a,它的值大于0,叫做角的乘积。
a=0, a=0, a=1,可以求出 a和 e (x, y)的值，也可以求出 e和 a的值。
u为一个独立函数, u与 u有交点, u与 u之间有角的乘积, u> t即可求出 b和 c。
其中 e表示在该函数 f (x, y)中对应的角数点。
2、△ T为一个独立函数, f (x, y)和 t有交点时取 b^2+ c,其值与 a的取值范围一致即可。
三角恒等变换之辅助角公式
辅助角公式sin cos )a b θθθϕ+=+在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化sin cos a b θθ+为一个角的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学生记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式sin cos a b θθ+)θϕ+或sin cos a b θθ+cos()θϕ-,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.但事与愿违,半个学期不到,大部分学生都忘了,教师不得不重推一遍.到了高三一轮复习,再次忘记,教师还得重推!本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导,体现一种解决问题的过程与方法,减轻学生的记忆负担;同时说明“辅助角”的范围和常见的取角方法,帮助学生澄清一些认识;另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用,优化解题过程与方法;最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用,让学生把握辅助角与原生角的范围关系,以更好地掌握和使用公式. 一.教学中常见的的推导方法教学中常见的推导过程与方法如下 1.引例 例1α+cos α=2sin （α+6π）=2cos （α-3π）. 其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出结论: 可见α+cos α可以化为一个角的三角函数形式.一般地,asin θ+bcos θ 是否可以化为一个角的三角函数形式呢? 2.辅助角公式的推导 例2 化sin cos a b θθ+为一个角的一个三角函数的形式.解: asin θ+bcos θsin θcos θ),①=cos ϕ=sin ϕ,则asin θ+bcos θθcos ϕ+cos θsin ϕ)θ+ϕ),(其中tan ϕ=b a)②=sin ϕ=cos ϕ,则asin θ+bcos θθsin ϕ+cos θcos ϕθ-ϕ),(其中tan ϕ=a b) 其中ϕ的大小可以由sin ϕ、cos ϕ的符号确定ϕ的象限,再由tan ϕ的值求出.或由tan ϕ=ba和(a,b)所在的象限来确定. 推导之后,是配套的例题和大量的练习.但是这种推导方法有两个问题:一是为什么要令=cos ϕ=sin ϕ?让学生费解.二是这种 “规定”式的推导,学生难记易忘、易错! 二.让辅助角公式sin cos a b θθ+)θϕ+来得更自然能否让让辅助角公式来得更自然些?这是我多少年来一直思考的问题.2009年春.我又一次代2008级学生时,终于想出一种与三角函数的定义衔接又通俗易懂的教学推导方法.首先要说明，若a=0或b=0时，sin cos a b θθ+已经是一个角的一个三角函数的形式，无需化简.故有ab ≠0. 1.在平面直角坐标系中,以a 为横坐标,b 为纵坐标描一点P(a,b)如图1所示,则总有一个角ϕ,它的终边经过点P.设由三角函数的定义知 sin ϕ=b rcos ϕ=a r=.所以asin θ+bcos θϕ sin θϕcos θ)θϕ+.(其中tan ϕ=ba)2.若在平面直角坐标系中,以b为横坐标,以a为纵坐标可以描点P(b,a),如图2所示,则总有一个角ϕ的终边经过点P(b,a),设OP=r,则由三角函数的定义知sinϕ=ar,cosϕ=b rasinθ+bcosθsin cos cos ϕθϕθ+s()θϕ-. (其中tanϕ=ab)例3cosθθ+为一个角的一个三角函数的形式.解:在坐标系中描点P(,1),设角ϕ的终边过点P,则OPϕ=12,cosϕ=2.∴cosθθ+=2cosϕsinθ+2sinϕcosθ=2sin(θϕ+).tanϕ=3.26kπϕπ=+,cosθθ+=2sin(6πθ+).经过多次的运用,同学们可以在教师的指导下,总结出辅助角公式asinθ+bcosθ=(sinθ+cosθ)=)θϕ+,(其中tanϕ=ba).或者asinθ+bcosθ=(sinθ+cosθ)=)θϕ-,(其中tanϕ=ab)我想这样的推导,学生理解起来会容易得多,而且也更容易理解asinθ+bcosθsinθcosθ)的道理,以及为什么只有两种形式的结果.例4化sinαα-为一个角的一个三角函数的形式.解法一:点(1,-)在第四象限.OP=2.设角ϕ过P点.则sin2ϕ=-,1cos2ϕ=.满足条件的最小正角为53π,52,.3k k Zϕππ=+∈1sin2(sin cos)2(sin cos cos sin)22552sin()2sin(2)2sin().33kαααααϕαϕαϕαππαπ∴-=-=+=+=++=+解法二:点P(-,1)在第二象限,OP=2,设角ϕ过P点.则1sin2ϕ=,cos2ϕ=-.满足条件的最小正角为56π,52,.6k k Zϕππ=+∈1sin2(sin cos)2(sin sin cos cos)22552cos()2cos(2)2cos().66kαααααϕαϕαϕαππαπ∴-=-=+=-=--=-三.关于辅助角的范围问题由sin cos)a bθθθϕ+=+中,点P(a,b)的位置可知,终边过点P(a,b)的角可能有四种情况(第一象限、第二象限、第三象限、第四象限).设满足条件的最小正角为1ϕ,则12kϕϕπ=+.由诱导公式(一)知1 sin cos))a bθθθϕθϕ+=+=+．其中1(0,2)ϕπ∈，1tan baϕ=，1ϕ的具体位置由1sin ϕ与1cos ϕ决定，1ϕ的大小由1tan baϕ=决定．类似地，sin cos )a b θθθϕ+=-，ϕ的终边过点Ｐ（ｂ，ａ），设满足条件的最小正角为2ϕ，则22.k ϕϕπ=+由诱导公式有2sin cos cos())a b θθθϕθϕ+=-=-，其中2(0,2)ϕπ∈，2tan abϕ=，2ϕ的位置由2sin ϕ和2cos ϕ确定，2ϕ的大小由2tan abϕ=确定．注意：①一般地，12ϕϕ≠；②以后没有特别说明时，角1ϕ（或2ϕ）是所求的辅助角．四．关于辅助角公式的灵活应用引入辅助角公式的主要目的是化简三角函数式．在实际中结果是化为正弦还是化为余弦要具体问题具体分析，还有一个重要问题是，并不是每次都要化为1sin cos )a b θθθϕ+=+的形式或2sin cos )a b θθθϕ+=-的形式．可以利用两角和与差的正、余弦公式灵活处理．例５ 化下列三角函数式为一个角的一个三角函数的形式．cos αα-；（２）sin()cos()6363ππαα-+-． 解：（１）1cos sin cos )222(sin cos cos sin )2sin()666ααααπππααα-=-=-=-（２）sin()cos()63631[sin()cos()]32323[sin()cos cos()sin ]333332sin()33ππααππααππππααπα-+-=-+-=-+-=-在本例第（１）小题中，a =1b =-１），而取的是点Ｐ１）．也就是说，当a 、b 中至少有一个是负值时．我们可以取Ｐ（a ，b ），或者Ｐ（b ，a ）．这样确定的角1ϕ（或2ϕ）是锐角，就更加方便．例6 已知向量(cos(),1)3a x π=+r ,1(cos(),)32b x π=+-r ,(sin(),0)3c x π=+r ,求函数()h x =2a b b c ⋅-⋅+r r r r 的最大值及相应的x的值.解:21()cos()sin()cos()23233h x x x x πππ=+--+++=21cos(2)1233sin(2)2232x x ππ++-++ =1212cos(2)sin(2)22323x x ππ+-++=22cos(2)sin(2)]222323x x ππ+-++=11cos(2)2212x π++max()22h x ∴=+这时111122,.1224x k x k k Z ππππ+==-∈. 此处,若转化为两角和与差的正弦公式不仅麻繁,而且易错,请读者一试.五.与辅助角有关的应用题与辅助角有关的应用题在实际中也比较常见,而且涉及辅角的范围,在相应范围内求三角函数的最值往往是个难点.例7 如图3,记扇OAB 的中心角为45︒,半径为1,矩形PQMN 内接于这个扇形,求矩形的对角线l 的最小值.解:连结OM,设∠AOM=θ.则MQ=sin θ,OQ=cos θ,OP=PN=sin θ. PQ=OQ-OP=cos sin θθ-.222l MQ PQ =+=22sin(cos sin )θθθ+-=31(sin 2cos 2)22θθ-+=13sin(2)22θϕ-+,其中11tan 2ϕ=,1(0,)2πϕ∈,11arctan 2ϕ=. 04πθ<<Q ,111arctan 2arctan .222πθϕ∴<+<+2min 322l ∴=-,min 12l -=. 所以当11arctan 422πθ=-时, 矩形的对角线l的最小值为12-.θNBMAQPO图3。
正弦余弦的辅助角公式
正弦余弦的辅助角公式
首先，让我们了解正弦余弦的辅助角公式。
辅助角公式是一个用来解决正弦和余弦问题的数学工具。
它将三角形中的角度A和边长a,b及c转换为正弦和余弦值。
正弦余弦的辅助角公式具有很多应用，从平面几何到复数计算。
以下给出了正弦余弦的辅助角公式：
$$
sin A = frac {a}{c}
$$
$$
cos A = frac {b}{c}
$$
其中，A表示三角形的内角角度，a，b，c分别表示三角形的三条边长。
这两个公式可以简单的说明：三角形的内角的正弦等于角A 的对边a与斜边c的比值，三角形的内角的余弦等于角A的邻边b与斜边c的比值。
在三角函数理论中，正弦余弦的辅助角公式被广泛使用。
例如，在计算特定量的问题中，需要将三角形的角度和边长转换为相应的正弦或余弦的值，然后根据这些值来求解该问题。
此外，正弦余弦的辅助角公式还可以用于求解称为天顶角的特定角度，以及解决复平面的平面几何问题。
此外，正弦余弦的辅助角公式在金融领域也得到了广泛的应用。
例如，投资者可以利用该公式来计算投资收益率、期权定价和期权价
值，以及计算期权合同的相关成本等。
此外，正弦余弦的辅助角公式也用于计算债务融资的利率，计算期货的收益率和贴现率等。
正弦余弦的辅助角公式可以用于计算各类数学问题，特别是在三角函数理论和金融学中，其应用非常广泛。
它能够对三角形的角度和边长进行快速转换，求解出相应的正弦值和余弦值，从而使大量的复杂问题得以解决。
虽然正弦余弦的辅助角公式在数学中有着重要的作用，但其实际应用还有待更深入的研究。
例析辅助角公式的推导、理解及其应用-讲义-2021-2022学年高中数学沪教版(2020)必修第二册
【学生版】微专题：例析辅助角公式的推导、理解及其应用在现行的高中数学教材与高考试题中，大凡涉及“三角变换”、“研究三角函数性质”的试题，往往会化归为“将sin cos a b αα+)αϕ+的形式”问题，这就是与传统的“辅助角公式”相关；本文，欲结合教材与高考试题，就“辅助角公式”与教材的相关、公式的推导与理解以及公式的应用，举例加以说明。
一、“辅助角公式”与教材的相关在现行的高中数学教材中，“辅助角公式”通常是以：掌握与理解两角和、差的正弦、余弦公式并进行三角变换的“例题”形式出现；有些教材边上会注解：可以作为公式使用；现行上海高级中学教材 高一第二学期课本（试用本），第69页，则以“例题”形式出现： 例14 把下列各式化为sin()(0)A A αϕ+>的形式： （1）略；（2）略；（3）sin cos a b αα+（a 、b 都不为0）二、“辅助角公式”的推导与理解提及“辅助角公式”的推导，其本质是：以两角和、差的正弦、余弦公式为目标，结合了三角比的定义、有界性与同角三角比中的平方关系，整合了“已知三角比求角”。
现咱们不妨来体验一下： 方法1、 【分析】 【解析】 【说明】 方法2、 【分析】 【解析】 【说明】综上，“辅助角公式”就是将代数式“sin cos a b αα+”变换为“一个角的一个三角比”，即：（1）sin cos )a b αααϕ+=+；（2）sin cos )a b αααϕ+-；其中，辅助角ϕ的确定，结合以上推导，然后，整合“已知角ϕ的正弦、余弦三角比，求角ϕ”的问题，解之；当然，为了应试与借助以后的“反三角函数”，亦可等价解之；如：条件“cos ϕϕ==”等价为“由a 、b 的正负确定角ϕ终边上点(,)P a b 的象限，由tan ba ϕ=确定角ϕ的具体值”；同理，请同学们自己体验条件“cos ,sin ϕϕ==的等价。
三、“辅助角公式”的应用经历了以上对于“辅助角公式”的推导与理解，我们不难发现，在求含三角比的代数式的取值范围、最值；研究与探究实三角函数的定义域、值域、最值、周期性、单调性与图像的对称性时；“辅助角公式”往往会整合同角三角比关系式、三角比的和、差、倍角、半角公式等，先进行三角变换，为进一步研究做好准备；也可以这样说，学生在应试三角题时，出现“错误”或“失误”，就是“辅助角公式”没化好。
函数辅助角公式
函数辅助角公式好的，以下是为您生成的文章：函数中的辅助角公式，那可是解决很多数学难题的一把“神奇钥匙”！咱先来说说这辅助角公式到底是啥。
辅助角公式是 asinx + bcosx =√(a² + b²)sin(x + φ) ，其中φ 由tanφ = b/a 确定。
听起来有点复杂是不？别担心，咱们通过一些实际的例子就能搞明白。
就拿我之前教过的一个学生小明来说吧。
有一次课堂上，我给他们出了一道题：已知函数f(x) = 2sinx + 2√3cosx ，求其最大值。
小明一开始那是抓耳挠腮，完全没头绪。
我就引导他，咱们不是学了辅助角公式嘛，你试试看。
他试着把 a = 2 ，b = 2√3 代入辅助角公式，先算出√(2² + (2√3)²) = 4 ，然后再算tanφ = 2√3 / 2 = √3 ，得出φ = π/3 。
于是f(x) = 4sin(x + π/3) ，最大值就是 4 。
当他算出答案的那一刻，脸上那惊喜的表情，我到现在都还记得。
这辅助角公式在解决三角函数的化简、求值、求最值等问题时，那可真是大显身手。
比如说，对于形如 y = asinx + bcosx 的函数，通过辅助角公式就能将其化为一个单一的三角函数，从而方便我们研究它的性质。
再比如，在物理中，振动、波动的问题也经常会用到辅助角公式。
就像简谐运动的位移-时间方程，很多时候都需要用辅助角公式来进行化简和分析。
那怎么才能熟练掌握辅助角公式呢？多做题那是必不可少的。
但也不是盲目地做，得先理解透彻公式的原理和推导过程。
比如说，你得明白为啥要提出√(a² + b²) 这个系数，为啥φ 要用tanφ = b/a 来确定。
还有啊，平时得多观察式子的特点，一看到 asinx + bcosx 这种形式，就得马上想到辅助角公式。
就像条件反射一样，形成这种思维习惯。
总之，辅助角公式虽然看起来有点复杂，但只要用心去学，多练习，它就能成为我们解决数学和物理问题的得力助手。
三角函数的辅助角计算方法
三角函数的辅助角计算方法三角函数是数学中一个重要且广泛应用的概念。
它们的求值在解决各种几何和物理问题中起着关键作用。
然而，有时候我们遇到的角度不在常用角度范围内，这就需要用到辅助角计算方法。
辅助角计算方法可以帮助我们将任意角度转化为一个介于0到90度之间的角度，从而方便我们使用常见的三角函数公式进行计算。
以下是几种常用的辅助角计算方法。
一、补角法补角法是利用补角的性质，将大于90度的角转化为小于90度的角。
具体操作如下：1. 角A是大于90度的角，记为A=α+β，其中α是与角A的补角，α+β=90度。
2. 利用三角函数的定义：sin(A) = sin(α+β) = sinα * cosβ + cosα * sinβ。
通过补角法，我们可以将大于90度的角转换成小于90度的角，并以此计算出对应的三角函数值。
二、合成角法合成角法是将一个角度分解成两个较小角度的和，以便利用已知的较小角度的三角函数值求得未知角度的三角函数值。
具体操作如下：1. 角A是一个未知角，我们将其分解为两个已知的角α和β，即A = α - β。
2. 根据角度和差公式：sin(A) = sin(α - β) = sinα * cosβ - cosα * sinβ。
通过合成角法，我们可以利用已知的角度的三角函数值来计算未知角度的三角函数值，从而实现对三角函数的辅助计算。
三、角度相等法角度相等法是通过将两个角度相等的三角函数公式进行转换，使求解目标角度变得容易。
具体操作如下：1. 假设角A与角B相等，即A = B。
2. 利用三角函数的定义：sin(A) = sin(B)、cos(A) = cos(B)、tan(A) = tan(B)。
通过角度相等法，我们可以通过已知的角度来计算与之相等的目标角度的三角函数值。
以上是三角函数的几种常用辅助角计算方法。
它们能够帮助我们将任意角度转化为标准的0到90度范围内的角度，从而方便我们进行三角函数的求解。
三角恒等变换之辅助角公式
辅助角公式sin cos )a b θθθϕ+=+在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化sin cos a b θθ+为一个角的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学生记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式sin cos a b θθ+)θϕ+或sin cos a b θθ+cos()θϕ-,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.但事与愿违,半个学期不到,大部分学生都忘了,教师不得不重推一遍.到了高三一轮复习,再次忘记,教师还得重推!本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导,体现一种解决问题的过程与方法,减轻学生的记忆负担;同时说明“辅助角”的范围和常见的取角方法,帮助学生澄清一些认识;另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用,优化解题过程与方法;最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用,让学生把握辅助角与原生角的范围关系,以更好地掌握和使用公式. 一.教学中常见的的推导方法 教学中常见的推导过程与方法如下 1.引例 例1α+cos α=2sin （α+6π）=2cos （α-3π）. 其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出结论: 可见,α+cos α可以化为一个角的三角函数形式.一般地,asin θ+bcos θ 是否可以化为一个角的三角函数形式呢? 2.辅助角公式的推导例2 化sin cos a b θθ+为一个角的一个三角函数的形式.解: asin θ+bcos θsin θcos θ),①=cos ϕϕ,则asin θ+bcos θθcos ϕ+cos θsin ϕ)θ+ϕ),(其中tan ϕ=b a) ②=sin ϕ=cos ϕ,则asin θ+bcos θθsin ϕ+cos θcos ϕ(θ-ϕ),(其中tan ϕ=a b) 其中ϕ的大小可以由sin ϕ、cos ϕ的符号确定ϕ的象限,再由tan ϕ的值求出.或由tan ϕ=ba和(a,b)所在的象限来确定.推导之后,是配套的例题和大量的练习. 但是这种推导方法有两个问题:一是为什么要令=cos ϕϕ?让学生费解.二是这种 “规定”式的推导,学生难记易忘、易错! 二.让辅助角公式sin cos a b θθ+)θϕ+来得更自然能否让让辅助角公式来得更自然些?这是我多少年来一直思考的问题.2009年春.我又一次代2008级学生时,终于想出一种与三角函数的定义衔接又通俗易懂的教学推导方法.首先要说明，若a=0或b=0时，sin cos a b θθ+已经是一个角的一个三角函数的形式，无需化简.故有ab ≠0. 1.在平面直角坐标系中,以a 为横坐标,b 为纵坐标描一点P(a,b)如图1所示,则总有一个角ϕ,它的终边经过点P .设OP=r,r=由三角函数的定义知sin ϕ=b rcos ϕ=a r=.所以asin θ+bcos θϕ sin θϕcos θ)θϕ+.(其中tan ϕ=ba)2.若在平面直角坐标系中,以b 为横坐标,以a 为纵坐标可以描点P(b,a),如图2所示,则总有一个角ϕ的终边经过点P(b,a),设OP=r,则由三角函数的定义知sin ϕ=ar,cos ϕ=br.asin θ+bcos θsin cos ϕθϕθ+s()θϕ-. (其中tan ϕ=ab)例3cosθθ+为一个角的一个三角函数的形式.解:在坐标系中描点P(,1),设角ϕ的终边过点P,则OPϕ=12,cosϕ=2.∴cosθθ+=2cosϕsinθ+2sinϕcosθ=2sin(θϕ+).tanϕ=3.26kπϕπ=+,cosθθ+=2sin(6πθ+).经过多次的运用,同学们可以在教师的指导下,总结出辅助角公式asinθ+bcosθ=(sinθ+cosθ)=)θϕ+,(其中tanϕ=ba).或者asinθ+bcosθ=(sinθ+cosθ)=)θϕ-,(其中tanϕ=ab)我想这样的推导,学生理解起来会容易得多,而且也更容易理解asinθ+bcosθsinθcosθ)的道理,以及为什么只有两种形式的结果.例4 化sinαα-为一个角的一个三角函数的形式.解法一:点(1,-)在第四象限.OP=2.设角ϕ过P点.则sin2ϕ=-,1cos2ϕ=.满足条件的最小正角为53π,52,.3k k Z ϕππ=+∈1sin 2(sin cos )2(sin cos cos sin )22552sin()2sin(2)2sin().33k αααααϕαϕαϕαππαπ∴-=-=+=+=++=+解法二:点P(-,1)在第二象限,OP=2,设角ϕ过P 点.则1sin 2ϕ=,cos 2ϕ=-.满足条件的最小正角为56π,52,.6k k Z ϕππ=+∈1sin 2(sin cos )2(sin sin cos cos )22552cos()2cos(2)2cos().66k αααααϕαϕαϕαππαπ∴-=-=+=-=--=-三.关于辅助角的范围问题由sin cos )a b θθθϕ+=+中,点P(a,b)的位置可知,终边过点P(a,b)的角可能有四种情况(第一象限、第二象限、第三象限、第四象限).设满足条件的最小正角为1ϕ,则12k ϕϕπ=+.由诱导公式(一)知1sin cos ))a b θθθϕθϕ+=+=+．其中1(0,2)ϕπ∈，1tan baϕ=，1ϕ的具体位置由1sin ϕ与1cos ϕ决定，1ϕ的大小由1tan baϕ=决定．类似地，sin cos )a b θθθϕ+=-，ϕ的终边过点Ｐ（ｂ，ａ），设满足条件的最小正角为2ϕ，则22.k ϕϕπ=+由诱导公式有2sin cos cos())a b θθθϕθϕ+=-=-，其中2(0,2)ϕπ∈，2tan abϕ=，2ϕ的位置由2sin ϕ和2cos ϕ确定，2ϕ的大小由2tan abϕ=确定． 注意：①一般地，12ϕϕ≠；②以后没有特别说明时，角1ϕ（或2ϕ）是所求的辅助角．四．关于辅助角公式的灵活应用引入辅助角公式的主要目的是化简三角函数式．在实际中结果是化为正弦还是化为余弦要具体问题具体分析，还有一个重要问题是，并不是每次都要化为1sin cos )a b θθθϕ+=+的形式或2sin cos )a b θθθϕ+=-的形式．可以利用两角和与差的正、余弦公式灵活处理．例５ 化下列三角函数式为一个角的一个三角函数的形式．cos αα-；（２）sin()cos()6363ππαα-+-． 解：（１）1cos sin cos )222(sin coscos sin )2sin()666ααααπππααα-=-=-=-（２）sin()cos()63631[sin()cos()]32323[sin()cos cos()sin ]333332sin()33ππααππααππππααπα-+-=-+-=-+-=-在本例第（１）小题中，a =1b =-１），而取的是点Ｐ１）．也就是说，当a 、b 中至少有一个是负值时．我们可以取Ｐ（a ，b ），或者Ｐ（b ，a ）．这样确定的角1ϕ（或2ϕ）是锐角，就更加方便．例6 已知向量(cos(),1)3ax π=+,1(cos(),)32b x π=+-,(sin(),0)3c x π=+,求函数()h x =2a b b c ⋅-⋅+的最大值及相应的x的值.解:21()cos ()sin()cos()23233h x x x x πππ=+--+++=21cos(2)1233sin(2)2232x x ππ++-++=1212cos(2)sin(2)22323x x ππ+-++=22[cos(2)sin(2)]222323x x ππ+-++=11cos(2)2212x π++max()22h x ∴=+这时111122,.1224x k x k k Z ππππ+==-∈.此处,若转化为两角和与差的正弦公式不仅麻繁,而且易错,请读者一试. 五.与辅助角有关的应用题与辅助角有关的应用题在实际中也比较常见,而且涉及辅角的范围,在相应范围内求三角函数的最值往往是个难点.例7 如图3,记扇OAB 的中心角为45︒,半径为1,矩形PQMN 内接于这个扇形,求矩形的对角线l 的最小值.解:连结OM,设∠AOM=θ.则MQ=sin θ,OQ=cos θ,OP=PN=sin θ.PQ=OQ-OP=cos sin θθ-.222l MQ PQ =+=22sin (cos sin )θθθ+-=31(sin 2cos 2)22θθ-+=13sin(2)22θϕ-+,其中11tan 2ϕ=,1(0,)2πϕ∈,11arctan 2ϕ=. 04πθ<<,111arctan2arctan .222πθϕ∴<+<+2min322l∴=-,min 12l -=. θNBMAQPO图3所以当11arctan 422πθ=-时, 矩形的对角线l的最小值为12-.。
辅助角公式及应用导学案
=_________________________________
________________________________
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（2）
（3）-
变式训练：求 的最小正周期，最大值，最小值。
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二、新课探究
引例：例1、求证：
一般地, 是否可以化为一个角的三角函数形式呢?
合作探究：例2、化 为一个角的一个三角函数的形式.
尝试练习：将以下各式化为只含有正弦的形式，即化为 的形式
（1） （2）
（3） （4） （5）
三、公式应用
（1）
辅助角公式及应用导学案
课题：
辅助角公式及应用
学习目标：
1、能推导出辅助角公式的一般形式2、会将asinx+bcosx（a、b均不为零）化为只含有一个正弦的三角函数形式3、运用辅助角公式灵活解决综合题目
重点：
辅助角公式的掌．
难点：
辅助角公式的熟练运用
学习方法：启发式，探究式、讨论法
一、复习引入
两角和与差的正弦公式
高三第一轮复习辅助角公式
asin α+bcos α的辅助角公式及应用【提纲挈领】 主干知识归纳 辅助角公式()sin cos a b αααϕ+=+，其中cos ϕ=、sin ϕ=.方法规律总结 1.推导公式()sin cos a b αααϕ+=+时，逆用和差角的正弦公式.公式是“死”的，推导方法是“活”的，逆用和差角的余弦公式也行.通常把这种变形叫做“化一”，即化为“一角一函数”.为解决三角函数的周期性、单调性、最值性、奇偶性等问题，常需对三角函数式进行“化一”，体现了转化与化归的思想方法和策略. 2.运用辅助角公式()sin cos a b αααϕ+=+解题，本质上是利用函数sin y x =的图象与性质.因此，还需要重视数形结合思想的运用，熟练掌握函数sin y x =的图象与性质、优先选择将sin cos a b αα+()αϕ+ 的形式；还需要重视特殊与一般思想的运用，先考察一个周期内的情形，再按周期推广.【指点迷津】【类型一】直接“化一”【例1】：s i n15c o s 15+=（）.AB【解析】：原式)⎫⎪⎭o o o o o o sin15cos45+cos15sin4522()o o o15+45=2．答案：B 【例2】：化简：3cos 2x x =( )．A3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭ B6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭ C．6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭ D．3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】：原式＝⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎭1πsinx -x -223. 答案：D 【例3】：化简：cos 4444x x ππ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________．【解析】：原式＝⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1ππππsin -x cos -x =-x+22424243⎛⎫⎪⎝⎭7π=-x 212.答案：⎛⎫⎪⎝⎭7π-x 212 【类型二】整理后“化一”【例1】：函数()cos sin f x x x =的单调递增区间为( )A ．(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦B ．()2,244k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．(),22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦D ．()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【解析】：因为()1f x =sin2x 2，由ππ-≤2x ≤22，得ππ-≤x ≤44.所以函数()f x 的单调递增区间为()⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ-+k π,+k πk ∈Z 44.答案：A【例2】：函数()cos 4cos 436f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期为( )A ．2πB ．πC ．2πD ．4π【解析】：因为()⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦πππππf x =cos +4x -+cos 4x -=-sin 4x -+cos 4x -26666-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ5π=4x -=4x -6412，所以函数()f x 的最小正周期为π2. 答案：C 【例3】：已知()sin sin cos 66f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为1，则实数a 的值为________．【解析】：因为()ππππf x =sincosx +cos sinx +sinxcos -cosxsin +cosx +a 6666⎛⎫⎪⎝⎭π2sin x++a 6，所以2+a =1a =-1,. 答案：-1【类型三】降次后“化一” 【例1】：函数()44sin cos f x x x =- 的一条对称轴为( ) A ．4x π=- B ．4x π= C ．8x π=- D ．2x π=【解析】：因为()()()2222f x =sin x+cos xsin x -cos x =-cos2x，由()2x =k πk ∈Z ，得()k π2x =k ∈Z ，所以函数()f x 的对称轴方程为()k π2x =k ∈Z . 答案：D【例2】：函数()222cos f x x x =+取最大值时，x 的取值集合为()．A ．|,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭ B ．|,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭ C ．|,4x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭ D ．|,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【解析】：因为()⎛⎫ ⎪⎝⎭πf x =2sin 2x++16，由=ππ2x +62，得=πx 6，所以x 的取值集合为{}πx |x =+k π,k ∈Z6.答案：A【例3】：已知()()2sin sin cos f x x x x m =++的最小值为m 的值为________.【解析】：因为()2f x =2sinxcosx +2sin x +m =sin2x -cos2x +1+m⎛⎫⎪⎝⎭π2x -+1+m 4，所以m=-1.答案：-1【同步训练】【一级目标】基础巩固组 一、选择题 1．计算cos 48cos18sin 48sin18+的结果是 ( )．A.1B.12C ．2D.2【解析】：()oo ooo o ocos48cos18+sin48sin18=cos 48-18=cos30=2．答案：D .2．计算sin164sin 224sin 254sin314+的结果是 ( ) ．A ．12-BC ．12D ．-【解析】：原式＝()1ooooo o o -sin16cos46+cos16sin46=sin 46-16=sin30=2.答案：C 3．化简：()()()()sinsin cos cos αββγαβγβ-----=( )．A ．()cosαγ- B. ()cos αγ-- C. ()cos αβ- D ．()cos αβ--【解析】：原式＝()()()()sin α-βsin β-γ-cos α-βcos β-γ()()()⎡⎤⎣⎦=-cos α-β+β-γ=-cos α-γ.答案：B 4．sin153cos15-=( )12C．2-D. 【解析】：()o oo o osin15=2sin 15-60=-2sin45=答案：D 5．若()sin cos αααβ-=-，则锐角β的值为 ( )．A ．6π B.4π C ．3π D ．12π【解析】：因为()⎛⎫ ⎪⎝⎭πsin α-cos αα-α-β4，所以锐角β的值为π4.答案：B 二、填空题 6．函数()cos f x x x =-的零点为________．【解析】：因为()⎛⎫ ⎪⎝⎭πf x -cosx =2sin x -6，由()πx -=k πk ∈Z 6，得()πx =+k πk ∈Z 6，所以函数()f x 的零点为()π+k πk ∈Z 6.答案：()π+k πk ∈Z 67．化简：1sin10-=________．【解析】：原式＝⎛⎫ ⎪⎝⎭1o o 4cos10-o o o 22cos104sin20===4o o o o o sin10cos102sin10cos10sin20.答案：4 8．函数()2cos cos f x x x x =-的对称中心为________.【解析】：因为()⎛⎫ ⎪⎝⎭π1+cos2x 1f x =-=sin 2x --2226，由()π2x -=k πk ∈Z 6，得()k π2πx =+k ∈Z 12，所以函数()f x 的对称中心为(),⎛⎫⎪⎝⎭k π2π1+-k ∈Z 122.答案：(),⎛⎫⎪⎝⎭k π2π1+-k ∈Z 122 三、解答题 9．求函数()sin 2cos 2sin 236f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期和递减区间.【解析】：因为()ππππf x =sincos2x +cossin2x +cos2xcos-sin2xsin+sin2x 3366⎛⎫⎪⎝⎭π==2sin 2x+3，所以函数()f x 的最小正周期为π.由()ππ3π+2k π≤2x +≤+2k πk ∈Z 223得，()π7π+k π≤x ≤+k πk ∈Z 1212，故函数()f x 的递减区间为()⎡⎤⎢⎥⎣⎦π7π+k π,+k πk ∈Z 1212.10.已知函数()2sin 2cos f x x x x =+．（1）求43f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域；（3）解不等式()0f x ≥．【解析】：（1）因为()⎛⎫ ⎪⎝⎭πf x =2sin 2x++16，所以⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭4π8ππ5π5πf =2sin ++1=2sin 2π++1=2sin +1=233666. （2）设⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππt =2x+,x ∈0,62，则⎡⎤⎢⎥⎣⎦π7πy =2sint+1,t ∈,66.当πt =2即πx =6时，y =3max ；当7πt =6即πx =2时，y =0min .于是，函数()f x 的值域为[0，3].（3）由()f x ≥0得，⎛⎫⎪⎝⎭12πsin 2x +6≥-，所以ππ7π-+2k π≤2x +≤+2k π,k ∈Z 666，解得ππ-+k π≤x ≤+k π,k ∈Z 62，故不等式的解集为{}ππx|-+k π≤x ≤+k π,k ∈Z 62.【二级目标】能力提升题组一、选择题 1．函数2cos 2sin 2y x x =-+的最大值为()．A ．1 B. 1- C ．4 D ．4-【解析】：因为2y =-sin x -2sinx+3，设t =sinx ，则[]2y =-t -2t+3,t ∈-1,1，所以当t =-1时，此函数有最大值4.答案：C 2．已知4coscos sinsin 665ππθθ+=，则2cos 23πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )．A ．725-B.45- C ．1825D ．35 【解析】：因为⎛⎫⎪⎝⎭π4cos θ-=65，所以 ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ππ2cos 2θ+=2cos θ+-133 ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ππ2=2cos +θ--126⎛⎫ ⎪⎝⎭π2=2sin θ--16⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦2π472=21-cos θ--1=21--1=-6525. 答案：A 二、填空题 3．已知13sin 5cos 9αβ+=，13cos 5sin 15αβ+=，则()sin αβ+= ________.【解析】：两式平方相加得，()169+130sin α+β+25=81+225，所以()56sin α+β=65.答案：5665三、解答题4.已知扇形的内接矩形面积()sin cos ,033f x x x x x π⎛⎫=-<< ⎪ ⎪⎝⎭，试求矩形面积的最大值.【解析】：()⋅11-cos2x 12f x =sinxcosx -x =sin2x -=sin2x 32322-66⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭111πcos2x -2x+-22666. 因为π0<x <3，所以ππ5π<2x +<666，故当=ππ2x +62即πx =6时，()⎡⎤⎣⎦1f x 1-=max 66.所以矩形面积的最大值为6.【高考链接】1.（2014年上海文14）方程sin 1x x =在区间[0,2]π上的所有解的和等于.【解析】：因为=1，所以⎛⎫ ⎪⎝⎭1πsin x+=23.又0≤x ≤2π，所以ππ7π333≤x+≤.故π5π36x +=或π13π36x+=，解得π2x =或11π6x =.故方程所有解的和等于π11π7π263+=. 答案：7π32.（2013年全国新课标I 卷理15文16）设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=______.【解析】：因为()⋅⋅⎭f x sinx cosx 55()x -φ，其中cos φ=5，sin φ=5，所以()()f θθ-φ故()sin θ-φ=1，从而πθ-φ=+2k π,k ∈Z 2，πθ=φ++2k π,k ∈Z 2.于是⎛⎫ ⎪⎝⎭πcos θ=cos φ++2k π2＝⎛⎫⎪⎝⎭πcos φ+2＝-sin φ=-5.答案：-53.（2011年全国新课标I 卷理16）在ABC V中，60,B AC ==则2A B B C +的最大值为 .【解析】：由正弦定理：AB BC AC ====2o sinCsinAsinBsin60，得AB =2sinC,BC =2sinA ，所以AB+2BC =2sinC+4sinA .又2πC =-A 3，所以()⎛⎫⎪⎝⎭2π-A A+3AB+2BC =2sin +4sinA ϕ，其中sin φ=,cos φ=1414.故当πA+φ=2时，AB+2BC取得最大值.答案：。
三角函数辅助角公式 推导过程是什么
三角函数辅助角公式推导过程是什么辅助角公式是一种高等三角函数公式，下面小编整理了三角函数辅助角公式公式及推导过程，供大家参考！1 三角函数辅助角公式是什幺辅助角公式是一种高等三角函数公式，使用代数式表达为asinx+bcosx=√(a²+b²)sin[x+\arctan(b/a)]（a>0）。
虽然该公式已经被写入中学课本，但其几何意义却鲜为人知。
设要证明的公式为asinA+bcosA=√(a +b )sin(A+M) (tanM=b/a)以下是证明过程：设asinA+bcosA=xsin(A+M)∴asinA+bcosA=x((a/x)sinA+(b/x)cosA)由题,（a/x) +(b/x) =1,sinM=a/x,cosM=b/x∴x=√(a +b )∴asinA+bcosA=√(a +b )sin(A+M) ,tanM=sinM/cosM=b/a1 三角函数辅助角公式推导过程三角函数辅助角公式推导：asinx+bcosx=√(a²+b²)[asinx/√(a²+b²)+bcosx/√(a²+b²)]令a/√(a²+b²)=cosφ，b/√(a²+b²)=sinφasinx+bcosx=√(a²+b²)(sinxcosφ+cosxsinφ)=√(a²+b²)sin(x+φ)其中，tanφ=sinφ/cosφ=b/a，φ的终边所在象限与点(a,b)所在象限相同. 简单例题：（1）化简5sina-12cosa5sina-12cosa=13(5/13sina-12/13cosa)。
提“斜边”解读辅助角公式
而激发其学 习兴趣与主动参与的愿望 。
四、 大 力提 倡 在 阅读 教 学 中 运 用 Ｃ ＡＩ
学生的阅读 能力。那么 ， 如何 才能上好初 读 ， 可 以帮助学生 很快形成 语感 ， 更 深刻 选好合适的阅读材料
、
１ ． 长短适中。 课 堂 教 学 必 须 要 考 虑教
学 时间。 文章太长 ， 当堂课不能完成 ， 课 堂 入到输 出关键在于基础知识 的扎 实积 累。 任务单调 ， 学生容易倦怠。一般初一 的学 对于 关键词 的重点 掌握及运 用是知 识输
一
巡
关键 词 ： 斜边
辅助角
模 型
对 于 高 中学 生来 说 ，形 如 ａ ｓ ｉ ｎ ￣土 ｂ ｃ ｏ ｓ ａ （ 口Ｅ Ｒ， ｂ ∈Ｒ） 的三角式 ， 类比 ｓ １ ｎ ・ ｃ ｏ ｓ ＃±ｃ ｏ ｓ ａ ｓ ｉ ｎ ｌ ｉ ＝ ｓ ｉ ｎ （ 土 口） 的结 构 ， 如何 转化成一个 角（ ± ） 的～个三角 函数 ， 其 变换过 程及 结果始 终 是个难 点．使 用提 “ 斜边”的构造说法来解读 辅助 角公 式的 来 龙去脉 ，能有效 帮助学 生建构 解法模
） ・
ｏ ≤ ｙ ≤ 争 ， 故 此 函 数 的 值 域 为 ［ ｏ ， 争 ］ ．
初 中英语教 学逐渐 由重知 识教育 转
如 何 上 好 英 语 阅 读 理 解 课
—江西省景德镇市二十六中 刘 燕
２ ． 换位思考 ， 别 出新意。看问题要多角
度， 多方位。不同时间 、 不 同地 点、 不 同环 如果仅仅是将它单纯地作为阅读文章来教 教学的形式就可向学生展示真实的语言环 境， 充分调动学 生的眼、 耳、 脑、 口对语言信 息的综合反应 ， 使学生有身临其境之感 ， 从
辅助角公式应用
2X当定义域为R 时，f X 7a ^"b 2j a ^"b 2.当定义域有限定时，要根据辅助角公式 的区间范围及三角函数的单调性（或三角函数线） 的几何意义得到的估计范围，再根据X来作出判断，求出函数的最值或值域1.求函数 f X sinx 2cos X , X 0,—21 . -^sinx 752 -^cosx J 5亦sin X（其中sin2壽,cos0,— X 2辅助角公式应用在三角函数的学习过程中，有一个和差角公式的变形式：辅助角公式要引起重视。
为便于研究，下文中辅助角公式一律化为正弦和角公式: f X asinx bcosx^/a ^__sin xg f acosxg , b4a __b 2sin xy/a n 2其中 cos . a,sin v a ^ # b （几何意义：p a,b 所在终边对应的中心角） v a ^sin O,co s 为第一象限角，可令,2而sin【解析】由辅助角公式可，又 2 2 +0,1 .石sin cos2.求函数f X 2sin X 3cos X,X2X精选文库43V 13 sin x —^ cosx -皿sin x713 虫3其中 sin 为第四象限角.又sinsin2，可令x6，3 0,23函数y sin x, x 2、2单调递增,2sin — 3cos — 16 637323cos —3【解析】解法一：辅助角公式：f x 343代入直线方程的t1精选文库2 ‘232 '243精选文库3.函数 y 3cosx 4sin x,x］的值域 6 3［4朋,5］【解析】y 4sinx 3cosx 5sin(x)，其中 sin 3,cos25—时,函数有最小值 y min 3cos — 4sin — 6 6 6且估算（6,7）而x [?,3],估算（X ）（亍寻）-时,函数有最大值ymax 5,即函数值域y ［呼,5］4.设X时，函数f X sinx 2cosx 取得最大值, 则 COS【解析】 解法一：辅助角公式:由辅助角公式可得:sinx 2cosx 75 sin其中 2 sin 〒，cosJ 5时,取得最大值.2ki ，kZ ，即 2k ,kcos cos —2 si n 解法二: 导数法：f cos 2sin0, sin2cos75 ，得 cos解法三: 解方程组：由条件可得 f Xmax，即sin.2sin2cos 2cos®消去sin12cos cos 21，解得cos所以,当x4 3^3 2又当x 时，函数f (x)取得最大值•，所以-2k ，即一2k2 2(k Z)所以coscos(22k)= sin455 ■6.若x时，函数 f x2sin x 3cosx 取得最大值，则tan解法四: 向量法：令a rr r 2,1 ,b cosx,sinx ，贝U f xago r rab cos 当cos 取得最大值时, x 取得最大值，此时a 与b 同向共线,易得 cos解法五: 数形结合法 令 u cosx, v sinx 侧 x t v 2u ，如 v 2u t ( t 为纵截距)有交点, 直线如右图h 位置与圆相切时 1右2v A cos ,sin •此时l i 斜率为2 ,易得cos ¥ .5.设当x时，函数f(x) 2sin x cosx 取得最大值，则cos區【解析】5因 f (x) 2sin X cosx 亦sin(x )，其中cos275 .---- ,sin 5 又当 所以 【解析】f xx 时，函数tantan(— 22sin x 3cosx 7T3sin(x )其中 f (x)取得最大值•，所以2k ) cotcos sincos，即2 .屁sin(k Z)，方法二：用特殊值【点评】利用辅助角公式结合三角函数的对称性，结合二倍角公式进行求解 即可.8 .已知函数f (x) si n(x )2cos( x)(0)的图象关于直线 对称，则sin 2 ()4334A . -BC.-D .5555A 【解析】f(x) sin( x ) 2cos( x )75sin[( x )]，其中sin 2后，cos 1亦.又函数的图象关于直线x1对称，所以k-(k Z ), 即卩 k-,22则 sin2si n(2 k 2 ) sin(2 ) sin 2 2si n cos1X 12走?5 7 .已知方程2sinx cosx c 在(0,)上有两个根 和，则sin(44【解析】方法5:方程转化为 J5(sin X2〒 cos 厂 J 5 V 5其中 (cos£)，sin (xcsint汞依题意方程在(0,)上有两个根所以 ，故只能有2k 2ksin( )sin( sin 22 12sin cos 2—^—^45 455 69.若f X2015sinx 2016cosx 的一个对称中心为 a,0，则a 的值所在区间可以是X 的一个对称中心，得720152（ 2016）2sin （xk 3,(k Z)方法二:直接应用零点定义：由a,0是f X 的一个对称中心，得faa 2015sina 2016cosa0,得tana第(価k — a k —,(k Z),故当 k 0时，a (：,§)A(0,7)B -(打 C-（3，i ）【解析】方法一：利用辅助角公式：由于f X 2015si nx2016COSXf XJ20152 ( 2016)2 (sinx . __________J201522015 (2016)22016cosx )V20152( 2016)2J20152( 2016)2sin(X)，其中 tan 2016翫且所以可得 73 tan20兰1估算 2015又a,0sin(a0,得ak ,(k Z),即 a k ,(k Z)故当ka（打。
辅助角公式及其推导过程
辅助角公式及其推导过程辅助角公式是解决三角函数运算中角度变化的一种方法，它是通过将一个角转换成一个补角或余角，从而简化计算的过程，减轻难度。
本文将介绍辅助角公式的概念、应用以及推导过程。
一、辅助角公式概念辅助角公式是数学中三角函数计算中常使用的一种转换公式。
在三角函数计算中，有时我们需要将一个角度转换成另一个角度，从而使得计算更加简单。
这时就可以用到辅助角公式，将原来的角度转换成一个补角或余角，从而达到计算的目的。
辅助角公式的应用：1、sin(a+b) = sinacosb + cosasinb2、cos(a+b) = cosacosb - sinasinb3、tan(a+b) = (tana + tanb)/(1 - tana tanb)4、sin(a-b) = sinacosb - cosasinb5、cos(a-b) = cosacosb + sinasinb6、tan(a-b) = (tana-tanb)/(1+tana tanb)以上公式都是辅助角公式，我们可以通过它们将一个角度转换成另一个角度来达到简化计算的目的。
二、辅助角公式的推导过程下面我们以sin(a+b)和cos(a+b)的推导过程为例，阐述辅助角公式的推导过程。
1、sin(a+b)的推导过程根据三角函数的定义，可以得到如下关系：sin(a+b) = sin[(a/2)+(b/2)]cos[(a/2)-(b/2)] + cos[(a/2)+(b/2)]sin[(a/2)-(b/2)]将上式中的一个角用其余角或补角代替，即可得到辅助角公式：(1) 如果把b用余角代替，即b=90-a，则sin(a+b) = sin[(a/2)+(90-a)/2)]cos[(a/2)-(90-a)/2)] + cos[(a/2)+(90-a)/2)]sin[(a/2)-(90-a)/2)]= sin(45)cos((a-45)/2) + cos(45)sin((a-45)/2)= (√2/2)cos((a-45)/2) + (√2/2)sin((a-45)/2)= √2/2(sin(a/2) + cos(a/2))即sin(a+b) = sinacosb + cosasinb(2) 如果我们把a用补角代替，即a=90-b，则sin(a+b) = sin[(90-b)/2 + b/2]cos[(90-b)/2 - b/2] + cos[(90-b)/2 + b/2]sin[(90-b)/2 - b/2] = cos(45)cos((45-b)/2) + sin(45)sin((45-b)/2)= √2/2(cos(b/2) - sin(b/2))即sin(a+b) = cosacosb - sinasinb2、cos(a+b)的推导过程根据三角函数的定义，可以得到如下关系：cos(a+b) = cos[(a/2)+(b/2)]cos[(a/2)-(b/2)] - sin[(a/2)+(b/2)]sin[(a/2)-(b/2)]将上式中的一个角用其余角或补角代替，即可得到辅助角公式：(1) 如果我们把b用余角代替，即b=90-a，则cos(a+b) = cos[(a/2)+(90-a)/2]cos[(a/2)-(90-a)/2] - sin[(a/2)+(90-a)/2]sin[(a/2)-(90-a)/2]= cos(45)cos((a-45)/2) - sin(45)sin((a-45)/2)= √2/2(cos(a/2)-sin(a/2))即cos(a+b) = cosacosb - sinasinb(2) 如果我们把a用补角代替，即a=90-b，则cos(a+b) = cos[(90-b)/2 + b/2]cos[(90-b)/2 - b/2] - sin[(90-b)/2 + b/2]sin[(90-b)/2 - b/2] = sin(45)cos((45-b)/2) - cos(45)sin((45-b)/2)= √2/2(sin(b/2)+cos(b/2))即cos(a+b) = sinacosb + cosasinb三、结论辅助角公式是数学中必备的工具之一，通过它们可以简化计算过程，便于我们在实际应用中更快捷地求出正弦、余弦、正切等三角函数的值。
必修4辅助角公式
02 辅助角公式的推导过程
利用三角函数的和差化积公式推导
总结词
通过三角函数的和差化积公式，我们可以将复杂的三角函数式转化为单一的三角函数形式，从而简化计算。
详细描述
利用三角函数的和差化积公式，我们可以将两个或多个三角函数的和差形式转化为单一的三角函数形式。例如， 利用正弦和差化积公式，我们可以将表达式$sin(x+alpha)-sin(x)$转化为 $2cos(x+frac{alpha}{2})sin(frac{alpha}{2})$，从而简化计算。
算精度来减小。
近似误差
由于辅助角公式是利用近似值进 行计算的，因此存在近似误差。 这种误差的大小取决于公式的近
似程度和角度的范围。
范围限制误差
由于辅助角公式适用于特定范围 内的角度，因此当角度超出这个 范围时，公式可能不准确，导致
误差。
辅助角公式的适用范围与局限性
适用范围
辅助角公式适用于解决一些特定类型 的三角函数问题，如求三角函数的值、 化简三角函数表达式等。
利用三角函数的倍角公式推导
总结词
通过三角函数的倍角公式，我们可以将一个角的三角函数转化为两个角相等的三 角函数形式，从而简化计算。
详细描述
利用三角函数的倍角公式，我们可以将一个角的三角函数转化为两个角相等的三角 函数形式。例如，利用正弦的倍角公式，我们可以将表达式$sin(2x)$转化为 $2sin(x)cos(x)$，从而简化计算。
03 辅助角公式的应用实例
三角函数图像的变换
辅助角公式在三角函数图像变换中的应用，可以将正弦、余 弦、正切函数等三角函数图像进行平移、伸缩、翻转等变换 ，从而得到新的三角函数图像。
例如，利用辅助角公式可以将正弦函数图像向右平移，得到 余弦函数图像；也可以将正弦函数图像进行伸缩变换，得到 周期不同的三角函数图像。
3.1.3三角函数的辅助角公式
3.1.3三角函数的辅助角公式 班级 姓名【使用说明】课前完成学案，牢记基础知识，掌握基本题型；课上小组合作探究，达疑解惑。
【学习目标】理解两角和、差余弦、正弦和正切公式，推导辅助角公式，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，应用解决某些三角问题。
【重点难点】1、重点：辅助角公式的推导过程及运用。
2、难点：辅助角公式的灵活运用。
【学习过程】（1）基本公式：（2）练习：化简= =思考：正弦前面的系数是怎么得到的？ 思考：怎样求类型？一、自主探究，引发思考，层层深入，得出结论： ()()()()ϕϕϕ+=+=+=+x x x x x x b x a sin sin cos cos sin )cos sin (cos sin其中由确定，即辅助角的终边经过点,结论：辅助角公式：其中辅助角由 来确定二、互相交流、小组活动、公式应用闯关：(1) (2)(3) (4)(5) (6)【经典范例】（自己做做看）例1：求函数的周期，最大值和最小值。
例2：求函数的值域。
例3：已知A、B、C为△ABC的三內角，向量，，且，（1）求角A；（2）若，求tanC的值。
【小试身手、当堂巩固】(1)=__________________ (2)=_______________________(3)=_________________ (4) =__________________【学生小结、感悟反思】在自学过程中有何收获或困惑，请记录下来：【教师小结、感悟反思】掌握两角和与差的余弦、正弦和正切公式的应用及类型的变换，要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用。
【分层作业、巩固提升】教材第137页，第13题（1）（2）（3）（4）。
高中 必修一 辅助角公式
高中必修一辅助角公式高中数学中的辅助角公式是指在三角函数中，通过辅助角的引入来推导出一系列重要的三角函数关系式。
辅助角公式在解决三角函数的复杂计算中起到了重要的作用，使得计算更加简单、快速。
本文将详细介绍高中数学必修一中的辅助角公式。
辅助角公式的引入是为了解决角度和弧度之间的转换以及角度之间的运算。
在三角函数中，我们经常会遇到需要将角度转换为弧度，或者需要将角度相加或相减的情况。
辅助角公式正是为了解决这些问题而产生的。
先来看看辅助角公式中的一个重要概念——余角。
余角是指两个角的和为90°的两个角。
对于任意一个角A，它的余角记为A'。
根据余角的定义，我们可以得到以下几个重要的辅助角公式：1. 余角公式：对于任意一个角A，其余角A'满足sinA=sinA'，cosA=cosA'，tanA=tanA'。
这个公式非常重要，可以帮助我们在计算中快速得到角度的正弦、余弦和正切值。
2. 补角公式：对于任意一个角A，其补角A''满足sinA=sinA''，cosA=-cosA''，tanA=-tanA''。
补角公式与余角公式类似，但是补角与角的正弦、余弦和正切值之间的关系有些差异，需要注意。
3. 已知角的三角函数值求角度：有时候我们会遇到已知某个角的正弦、余弦或正切值，需要求解这个角度的情况。
在这种情况下，我们可以通过辅助角公式来进行计算。
以已知正弦值求角度为例，假设已知sinA=x，我们可以构造一个辅助角A'，使得sinA'=x，然后利用已知的三角函数关系来求解角A的值。
辅助角公式在解决三角函数计算中起到了重要的作用，它简化了计算过程，提高了计算的效率。
通过合理运用辅助角公式，我们可以更加轻松地解决各种三角函数计算问题。
除了辅助角公式，高中数学必修一还包括了其他重要的三角函数公式，比如和差化积公式、倍角公式等。
高中数学之辅助角公式使用技巧
一、给辅角公式加一些限定条件sin cos y A wx B wx =+辅角公式：当A>0时：()sin cos A wx B wx wx ϕ+=+，其中tan ,,22B A ππϕϕ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭ 注：在这里，辅角公式必须要求A>0，而且化简的最后只能为sin 形式 那么当A<0时，则要提取负号或提取A ，然后再用上面的辅角公式 原理：我们知道tan BA ϕ=时，cos ϕ=则此时要求A 大于0，必有cos 0ϕ>。
那么辅助角ϕ才是一个锐角或者负锐角，比较方便。
所以我们人为规定在使用辅助公式时，要求A 大于0。
如此，以后大家在用辅角公式时，就不会那么茫然了。
二、例题例1 （全国高考）当22x ππ-≤≤时，函数()sin f x x x =最大和最小值分别是（D ）A 1，-1B 1，-1/2C 2,-2D 2,-1解析：())f x x ϕ=+，其中tan ,22ππϕϕ⎛⎫=∈-⎪⎝⎭ 故3πϕ=()2sin()3f x x π⇒=+ 当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，5,366x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦那么则有min max 1,2,62f x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭选D 例2 （天津高考）已知函数()sin cos (0,)f x a x b x a x R =-≠∈的图像关于直线4x π=对称，则函数34y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是（D ） A 偶函数且它的图像关于点(),0π对称B 偶函数，且它的图像关于点3,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 C 奇函数且他的图像关于点3,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 D 奇函数且他的图像关于点(),0π对称解析：因为a 的正负不知道，想用辅角公式，必须提取a ，如下()sin cos 4)b f x a x x x a ⎡⎤=-=+⎢⎥⎣⎦ 其中tan ,22ba ππϕϕ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭对称轴为2x k πϕπ+=+又因为对称轴为4x π=，所以4k πϕπ=+ 又,0tan 1224k πππϕϕϕ⎛⎫∈-⇒=⇒=⇒= ⎪⎝⎭()sin 4b a f x x π⎛⎫⇒=-⇒=+ ⎪⎝⎭()3sin sin 4f x x x ππ⎛⎫⇒-=-= ⎪⎝⎭则选D一、给辅角公式加一些限定条件sin cos y A wx B wx =+辅角公式：当A>0时：()sin cos A wx B wx wx ϕ+=+，其中tan ,,22B A ππϕϕ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭ 注：在这里，辅角公式必须要求A>0，而且化简的最后只能为sin 形式 那么当A<0时，则要提取负号或提取A ，然后再用上面的辅角公式 原理：我们知道tan BA ϕ=时，cos ϕ=则此时要求A 大于0，必有cos 0ϕ>。