湖南省怀化市2020-2021学年高二上学期学业水平测试模拟数学试题

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2020-2021学年湖南省怀化市高二上学期学业水平测试模拟数学试题Word版含解析

2020-2021学年湖南省怀化市上学期学业水平测试模拟高二数学试题一、单选题1．已知集合{}1,0,1,2A =-,{}2,1,2B =-，则A B ⋂=( ) .A ．{}1B ．{}2C ．{}1,2D ．{}2,0,1,2- 【答案】C【解析】试题分析：根据题意，由于集合{}1,0,1,2A =-,{}2,1,2B =-，那么可知两个集合的公共元素组成的集合为A B ⋂={}1,2，故选C.【考点】集合的交集点评：主要是考查了集合的交集的运算，属于基础题．2．在ABC 中，D 为BC 的中点，则AB AC +=（）A ．BCB ．CBC ．AD D ．2AD 【答案】D【解析】由向量的平行四边形法则可得AB AC +的值.【详解】解：将ABC ∆上的AD 延长，使得'DD AD =，可得四边形'ABCD 为平行四边形，可得'=2AB AC AD AD +=,故选：D.【点睛】本题主要考查向量加法的平行四边形法则，相对简单.3．下列函数中，在其定义域上为减函数的是（）A ．3y x =-B ．12y x =C ．2y xD ．2log y x =【答案】A【解析】由减函数的定义，对各个选项一一判断可得答案.【详解】A 选项，3y x =-在定义域R 上为减函数,故A 正确；B 选项, 12y x =在定义域R 上为增函数,故B 不正确； C 选项，2y x 在(,0)x ∈-∞是单调递减，在[0,)x ∈+∞是单调递增，故C 不正确；C 选项, 2log y x =在其定义域上单调递增，故D 不正确;故选：A .【点睛】本题主要考查减函数的判断，相对简单.4．函数f (x )＝3x －x 2的零点所在区间是A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(－2，－1)D ．(－1，0)【答案】D【解析】计算f(-1)＜0，f （0）＞0，根据零点存在性定理，可得结论．【详解】 ∵f （﹣1）＝13﹣1＝23-＜0，f （0）＝1﹣0＝1＞0 ∴根据零点存在性定理，可得函数f （x ）＝3x ﹣x 2的零点所在区间是（﹣1，0）故选：D ．【点睛】判断函数零点(方程的根)所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上．(2)定理法：利用零点存在性定理进行判断．(3)数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断．5．已知直线l 过点（0，7），且与直线y=﹣4x+2平行，则直线l 的方程为（）A ．y=﹣4x ﹣7B ．y=4x ﹣7C ．y=﹣4x+7D ．y=4x+7【答案】C【解析】试题分析：根据两直线平行斜率相等，设过P 与直线l 平行的直线方程是 y=﹣4x+m 把点P （0，7）代入可解得 m ，从而得到所求的直线方程，解：设过P 与直线l 平行的直线方程是y=﹣4x+m ，把点P （0，7）代入可解得 m=7，故所求的直线方程是y=﹣4x+7．故选C ．【考点】直线的点斜式方程．6．∆ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若,B=1200,则a=AB ．2 CD【答案】D【解析】试题分析：首先根据正弦定理得到sin 1sin sin sin 2b c c B C c b C B B C b =∴===<∴<,故可知角C 为300，再利用内角和定理可知角A=300,则可知三角形中,故选D.【考点】正弦定理点评：本题给出三角形的两个角和一条边的长，求另外的边长，着重考查了三角形内角和定理和利用正余弦定理解三角形的知识，属于基础题．7．在空间坐标系，若()1,2,3A ，()3,4,B m，AB =m 为（）A ．1B ．3C ．1或5D ．3或5【答案】C【解析】由空间中两点的距离公式，代入可得实数m 的值.【详解】解：由()1,2,3A ，()3,4,B m，AB =可得：AB ==解得：1m =或5m =，故选：C.【点睛】本题主要考查空间中两点的距离公式，相对简单.8．.右图是2009年中央电视台举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）.A ．84，4.84B ．84，1.6C ．85，1.6D ．85，4【答案】C【解析】【详解】2848486+84+871=85,(11114) 1.655x s ++==++++=，选C.9．函数sin()(0,)2y x πωϕωϕ=+><的图象的一部分如图所示，则ω、ϕ的值分别为（）A ．1，3πB ．1，3π-C ．2，3π-D ．2，3π【答案】D【解析】由f （0）=sin φ=3，|φ|＜2π可以求得φ，又ω?3π+φ=π，可求ω的值．解：∵f （x ）=sin （ωx+φ），∴f （0）=sin φ，又f （0）=32，∴sin φ3|φ|＜2π，∴φ=3π；又ω?3π+φ=π，即ω?3π+3π=π， ∴ω=2．故答案为D ．10．如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm ），在此几何体的表面积是（）A ．2(2042)cm +B ．221cmC ．2(242)cm +D ．224cm【答案】A 【解析】三视图复原的组合体是下部是棱长为2的正方体，上部是底面边长为2的正方形，高为1的四棱锥，组合体的表面积为(2152242220422cm ⨯⨯+⨯⨯=+ 故选A二、填空题11．已知函数2(0)(){1(0)x x x f x x x -≥=+<，则(2)f = . 【答案】2【解析】试题分析：根据题意，由于函数2(0)(){1(0)x x x f x x x -≥=+<，那么当x=2时，则可知变量大于零，打入第一段解析式中可知为2222-=，故可知(2)f =2，故答案为2.【考点】分段函数点评：主要是考查了分段函数的求值的运用，属于基础题．12．若正实数a 、b 满足2a b +=，则ab 的最大值为______________．【答案】1【解析】由基本不等式及正实数a 、b 满足2a b +=，可得ab 的最大值.【详解】解：由基本不等式，可得正实数a 、b 满足2a b +=，a b +≥，可得2()14a b ab +≤=，故ab 的最大值为1，故答案为：1.【点睛】本题主要考查基本不等式的简单应用，相对简单.13．已知数列{}n a 是等差数列，47a =，则{}n a 的前7项和7S =______________．【答案】49【解析】由等差数列的性质可得1774()772a a S a +⨯==⨯，可得{}n a 的前7项和7S 的值. 【详解】解：由数列{}n a 是等差数列，可得1774()77492a a S a +⨯==⨯=，故答案为：49【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和的性质应用，注意运算准确.14．我市某旅行社拟组团参加衡山文化一日游，预测每天游客人数在50至130人之间，游客人数x （人）与游客的消费总额y （元）之间近似地满足关系：224010000y x x =-+-．那么游客的人均消费额最高为______________元．【答案】40【解析】由题意列出人均消费额的函数，由基本不等式可得人均消费额最高值.【详解】解：由题意可得，人均消费额22401000010000()24024040y x x x x x x -+-==-++≤-=，故游客的人均消费额最高为40元，故答案为：40.【点睛】本题主要考查基本不等式及函数模型的构建，只要认真审题，解答不难.15．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，则()6f 的值为_______.【答案】0【解析】根据函数是R 上的奇函数求得()0f ，根据()()2f x f x +=-得到函数的周期，由此求得()6f 的值.【详解】由于函数是R 上的奇函数，故()00f =.由于()()2f x f x +=-，故函数是周期为4的周期函数.所以()()()()()624222200f f f f f =-+⨯=-=--+=-=.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的周期性，属于基础题.三、解答题16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，22a =，50S =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）当n 为何值时，n S 取得最大值．【答案】（1）62n a n =- （2）6【解析】（1）由22a =，50S =，列出关于1a d 、的方程组，可得数列{}n a 的通项公式；（2）求出n S 的表达式，由二次函数的性质，可得当n S 取得最大时，n 的值.【详解】解：（1）因为22a =，50S =，所以11254502a d d a +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩．解得14a =，2d =-．所以()()41262n a n n =+-⨯-=-．（2）()221(1)525415224n n n d S na n n n n n n -⎛⎫=+=--=-+=--+ ⎪⎝⎭．因为*n ∈N ，所以当2n =或3n =时，n S 取得最大值6．【点睛】本题主要考查等差数列通项公式的求法及等差前n 项和的最值问题，相对不难。

湖南省重点中学2020-2021学年高二年级5月份考试数学试题及答案

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湖南省怀化市第三中学2022-2023学年高二上学期1月期末考试数学试题(含答案解析)

率.
【详解】由题，设双曲线 C1 的方程为 x2
y2 k2
，又因为其过 (1,1)
，且可知 k 2
1，不妨设
k2 1，
代入
x2
y2 k2
，得
k
2
k
2
1
，所以双曲线
C1
的方程为
x2 k2 1
k2
k
y
2
2
1
1
，
所以 e1
c a
c2 a2
a2 b2 a2
k
2 1 k2
k2
1
k2 1
k2
k2 1 ，
下顶点为 B1 、 B2 ，关于该椭圆，有下列四个命题：
甲： A1F1
1 ；乙：离心率为
1 2
；丙：
A2 F1
4 ；丁：四边形 A1B1F2B2 的面积为 3
3.
如果只有一个假命题，则该命题是（）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
7．已知 a log0.5 0.4 ， b 0.40.6 ， c 0.60.5 ，则（）
湖南省怀化市第三中学 2022-2023 学年高二上学期 1 月期末考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合 A {x∣1 x 4}, B {2,3, 4,5}，则 A B =（）
A．{2}
中，M，N
分别是
AB，OC
的中点，且
OA
＝
a
，
OB
＝
b
，
OC
＝
c ，用 a ， b ， c 表示 NM ，则 NM 等于（）

湖南师大附中2020-2021学年高二上学期入学考试(第一次大练习)数学试题

湖南师大附中2020-2021学年高二上学期入学考试（第一次大练习）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}20,,32A m m m =-+，且2A ∈，则实数m 的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．32．下列命题正确的是A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行3．若集合{}24M x x =>，301x N xx ⎧⎫-=>⎨⎬+⎩⎭，则M N =A ．{}2x x <-B ．{}23x x <<C ．{2x x <-或}3x >D ．{}3x x >4．下列说法正确的是（）A ．在ABC 中，若AB >，则sin sin A B >B ．在ABC 中，若222b c a +>，则ABC 为锐角三角形C ．在ABC 中，若2sin a b A =，则B 等于30D ．在ABC 中，若22tan ,tan A a B b ==，则ABC 是等腰三角形5．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第4个个体的编号为（）A ．08B ．07C ．02D ．016．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数.如图，若从四个阴数和五个阳数中各随机选取1个数，则选取的两数之和能被5整除的概率（）A ．110B ．320 C ．15D ．3107．在等差数列{}n a 中，23452534,52a a a a a a +++=⋅=，且52a a >，则5a =（） A ．13B ．4C ．14D ．58．函数()1cos 1xxe f x x e +=⋅-的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．9．已知数列{}n a 满足：117a =，对于任意的()17,12n n n n a a a *+∈=-N ，则14131314a a -等于（） A ．37B ．37-C ．27D ．27-10．已知函数())(0)f x x ωϕω+>的图象关于直线2x π=对称且3()18f π=，f (x )在区间3[,]84ππ--上单调，则ω可取数值的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．411．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 是棱AB 的中点，F 是侧面AA 1D 1D 内一点，若EF ∥平面BB 1D 1D ，则EF 长度的范围为A ．B ．C ．D ．二、多选题12．（多选题）下列说法正确的是（）A ．直线20x y -+=与两坐标轴围成三角形的面积是2B ．过()()1122,,,x y x y 两点的直线方程为112121y y x xy y x x --=--C ．点(1,1)关于直线10x y -+=的对称点为(0,2)D ．经过点(3,4)P ，且在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线条数共有6条三、填空题13．已知2a =，向量a 在向量b a 与b 的夹角为_______.14．已知tan 34πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2sin 22cos θθ-的值为______15．函数2()||f x x x =-，若(23)(2)f m f -<，则实数m 的取值范围是_________．16．已知0a >，0b >，且1a b +=，则2211a b a b ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为______.四、解答题17．在ABC ∆中，内角 A ，B ， C 所对的边分别为a ， b ，c ，已知 4A π=，22b a -=122c .（1）求tan C 的值；（2）若ABC ∆的面积为3，求 b 的值.18．设等差数列{}n a 的公差为d ，点(),n n a b 在函数()2x f x =的图像上()n *∈N ．（1）证明：数列{}n b 为等比数列；（2）若n a n =，求数列{}2n n a b 的前n 项和n S ．19．某农科所对冬季昼夜温差（最高温度与最低温度的差）大小与某反季节大豆新品种一天内发芽数之间的关系进行了分析研究，他们分别记录了12月1日至12月6日每天昼夜最高、最低的温度（如图甲），以及实验室每天每100颗种子中的发芽数情况（如图乙），得到如下资料：最高温度最低温度甲乙（1）请画出发芽数y 与温差x 的散点图；（2）若建立发芽数y 与温差x 之间的线性回归模型，请用相关系数说明建立模型的合理性；（3）①求出发芽数y 与温差x 之间的回归方程ˆˆˆy a bx =+（系数精确到0.01）；②若12月7日的昼夜温差为8C ︒，通过建立的y 关于x 的回归方程，估计该实验室12月7日当天100颗种子的发芽数.参考数据：6175,i i x ==∑6611162,2051,i i i i i y x y ====∑∑ 4.2,≈6.5≈.参考公式：相关系数：ni ix y nx yr -⋅=∑||0.75r >时，具有较强的相关关系）. 回归方程ˆˆˆya bx =+中斜率和截距计算公式：1221ˆ,ni ii nii x y nx yb xnx ==-⋅=-∑∑ˆˆa y bx=-. 20．如图，在直角梯形12AO O C 中，12//AO CO ，112AO O O ⊥，124O O =，22CO =，14AO =，点B 是线段12O O 的中点，将1ABO △，2BCO △分别沿AB ，BC向上折起，使1O ，2O 重合于点O ，得到三棱锥O ABC -．试在三棱锥O ABC -中，（1）证明：平面AOB ⊥平面BOC ；（2）求直线OC 与平面ABC 所成角的正弦值． 21．已知函数121()log 1axf x x -=-的图象关于原点对称，其中a 为常数. （1）求a 的值；（2）当(1,)x ∈+∞时，12()log (1)f x x m +-<恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若关于x 的方程12()log ()f x x k =+在[2,3]上有解，求k 的取值范围.22．如图，点()00,P x y 是圆O ：229x y +=上一动点，过点P 作圆O 的切线l 与圆1O ：()()224x a y -+-()1000a =>交于A ，B 两点，已知当直线l 过圆心1O 时，14O P =（1）求a的值；（2）当线段AB最短时，求直线l的方程；（3）问：满足条件13APBP的点P有几个？请说明理由．参考答案1．D 【分析】对2m =或2322m m -+=分类讨论，结合互异性即可得到正确答案. 【详解】若2m =，则2320m m -+=，根据集合中元素的互异性，舍去；若2322,0m m m -+==或3，又0m ≠，故3m =．故选：D 2．C 【详解】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A 错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B 错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D 错；故选项C 正确.[点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质，需要熟练掌握课本基础知识的定义、定理及公式. 3．B 【分析】解一元二次不等式及分数不等式，对两个集合进行化简，从而可求出其交集. 【详解】解：解24x >得2x <-或2x >，即()(),22,M =-∞-⋃+∞，解301xx ->+得13x ，所以()1,3N =-，则()2,3M N =，故选:B. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解，考查了分数不等式的求解，考查了集合的交集，属于基础题. 4．A 【分析】利用正弦定理sin sin A B >可判断A ；利用余弦定理得A 为锐角，不能判断ABC 的形状，从而判断B ；利用正弦定理得求出角B 可判断C ；利用正弦定理得sin 2sin 2A B =，可以判断D ．【详解】在ABC 中，若A B >，则a b >，利用正弦定理，则sin sin A B >，故A 正确；利用余弦定理222cos 02b c a A bc +-=>，只能判断A 为锐角，不能判断ABC 是锐角三角形，故错误B ；利用正弦定理()sin 2sin sin sin 0A B A A =≠得1sin 2B =，故角B 除了等于30，还可以等于150，故C 错误；由22tan ,tan A a B b ==得22sin sin ,cos cos A Ba b A B==，两式相除得 22cos sin sin cos B A a B A b=，由正弦定理得22cos sin sin sin cos sin B A AB B A =，即sin 2sin 2A B =，因为0,A B π<<所以22A B =或22A B π=-，即A B =或2A B π+=，可以判断ABC 是等腰三角形或直角三角形，故D 错误．故选：A. 5．B 【分析】根据题意，依次可得65，72，08，02，63，14，07，02，…，结合编号规则即可知符合条件的第四个个体编号. 【详解】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，数字依次为：65，72，08，02，63，14，07，02，…，而符合条件的数字有08，02，14，07，02，…，故第4个个体编号为07. 故选：B 6．C 【分析】由题意可知，阴数为2，4，6，8，阳数为1，3，5，7，9. 各选一个数，求出所有的选法，求出其和能被5整除的选法种数，根据古典概型的概率计算公式，即得答案. 【详解】由题意可知，阴数为2，4，6，8，阳数为1，3，5，7，9.各选一个数，共有4520⨯=种选法.其和能被5整除的分别为：2，3；4，1；6，9；8，7，共4种选法， ∴选取的两数之和能被5整除的概率41205P ==. 故选：C. 【点睛】本题考查古典概型和计数原理，属于基础题. 7．A 【分析】根据等差数列性质得()234525234a a a a a a +++=+=，解方程组即可得解. 【详解】∵52a a >，∴等差数列{}n a 是递增数列．由数列{}n a 是等差数列，得()234525234a a a a a a +++=+=，即2517a a +=，由252517,52,a a a a +=⎧⎨=⎩∴254,13a a =⎧⎨=⎩或2513,4a a =⎧⎨=⎩（舍去）．故选：A 8．B 【分析】结合函数的定义域，利用函数的性质，特殊值法求解. 【详解】()f x 的定义域是{}|0x R x ∈≠，排除D ，因为()()()11cos cos 11--++-=⋅-=-⋅=---x xx xe ef x x x f x e e ，所以()f x 是奇函数，排除C ，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，11,0,cos 01x xx e e x e +><>-，则()0f x <，排除A ，故选：B 【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，还考查了理解辨析的能力，属于中档题. 9．A【分析】写出前四项，根据递推关系，只要前一项等于37，则后一项等于67；若前一项等于67，则后一项等于37，即可得解.【详解】12341363,,,7777a a a a ====，…，考虑函数()7673337661,1,1272777277y x x ⎛⎫⎛⎫=-=⨯⨯-=⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，只要前一项等于37，则后一项等于67；若前一项等于67，则后一项等于37，归纳可知，当n 为大于1的偶数时，37n a =；当n 为大于1的奇数时，67n a =；故1413131437a a -=．故选：A 10．B 【分析】又三角函数的对称性及三角函数的值可得16()2k m ω=-+或16()6,k m k m Z ω=-+-∈，再结合三角函数的周期性可得08ω<≤，然后求解即可. 【详解】解：由题设可知222k ππωϕπ+=+,32,,84m k m Z ππωϕπ+=+∈, 或3222k ππωϕπ+=+, 332,,84m k m Z ππωϕπ+=+∈, 则2()84k m ππωπ=-+或32()84k m ππωπ=-+，即16()2k m ω=-+或16()6,k m k m Z ω=-+-∈，又由已知有3()()482T πππω---≤=，即08ω<≤，则2ω=或6ω=，则ω的取值个数为2个，故选B. 【点睛】本题考查了三角函数的对称性及周期性的应用，重点考查了运算能力与分析能力，属中档题. 11．C 【分析】过F 作1//FG DD ，交AD 于点G ，交11A D 于H ，根据线面垂直关系和勾股定理可知222EF AE AF =+；由,//EF FG 平面11BDD B 可证得面面平行关系，利用面面平行性质可证得G 为AD 中点，从而得到AF 最小值为,F G 重合，最大值为,F H 重合，计算可得结果. 【详解】过F 作1//FG DD ，交AD 于点G ，交11A D 于H ，则FG ⊥底面ABCD2222222221EF EG FG AE AG FG AE AF AF ∴=+=++=+=+ //EF 平面11BDD B ，//FG 平面11BDD B ，EF FG F ⋂=∴平面//EFG 平面11BDD B ，又GE 平面EFG //GE ∴平面11BDD B又平面ABCD 平面11BDD B BD =，GE 平面ABCD //GE BD ∴ E 为AB 中点 G ∴为AD 中点，则H 为11A D 中点即F 在线段GH 上min 1AF AG ∴==，max AF AH ==min EF ∴max EF则线段EF 长度的取值范围为：本题正确选项：C 【点睛】本题考查立体几何中线段长度取值范围的求解，关键是能够确定动点的具体位置，从而找到临界状态；本题涉及到立体几何中线面平行的性质、面面平行的判定与性质等定理的应用. 12．AC 【分析】选项A 先求出直线20x y -+=与两坐标轴的交点坐标，再求面积；选项B 利用直线方程的条件限制判定；选项C 利用求一点关于直线对称的点的步骤求解；选项D 分截距为零和截距不为零讨论，对于截距不为零的利用截距式方程求解. 【详解】选项A ：因为直线20x y -+=与两坐标轴的交点为()2,0A -，()0,2B ，所以直线20x y -+=与两坐标轴围成三角形的面积是12222⨯-⨯=，故选项A 正确；选项B ：直线方程写成112121y y x xy y x x --=--的条件为1212,y y x x ≠≠，故选项B 错误；选项C ：设点(1,1)关于直线10x y -+=的对称点为(),m n ，由1110,221111m n n m ++⎧-+=⎪⎪⎨-⎪⋅=-⎪-⎩，解得0,2m n =⎧⎨=⎩，故选项C 正确；选项D ：当截距为零时，有一条43y x =；当截距不为零时，设直线方程为1x ya b +=，因为过定点(3,4)P ，所以341a b+=，即1243b a =+-，又a ，b 均为正整数，所以3a -必为12的正因数1，2，3，4，6，12，共6种情况，故综合起来应该有7条，故选项D 错误．故选：AC. 13．6π【分析】根据题意，求得3a b b ⋅=，再利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】由题意，向量2a =，向量a 在向量b可得3a b b⋅=，即3a b b ⋅=，所以a 与b 的夹角为33cos ,22b a b a b a bb⋅===，因为,[0,]a b π∈，所以,6a b π=.故答案为：6π. 14．45-【分析】利用两角和差正切公式可求得1tan 2θ=，利用二倍角公式将所求式子构造为关于正余弦的齐次式，则配凑分母22sin cos θθ+，分子分母同时除以2cos θ可构造出关于tan θ的式子，代入1tan 2θ=求得结果. 【详解】tantan 1tan 4tan 341tan 1tan tan 4πθπθθπθθ++⎛⎫+=== ⎪-⎝⎭-，解得：1tan 2θ=2222222sin cos 2cos sin 22tan 22sin cos 2cos sin cos tan 12cos θθθθθθθθθθθθ--=-==∴++-122421514⨯-==-+ 本题正确结果：45-【点睛】本题考查关于正余弦的齐次式的求解问题，涉及到两角和差正切公式的应用、同角三角函数关系的应用，属于常考题型.15．15,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】结合函数的奇偶性和单调性进行解题即可. 【详解】解:因为2()||f x x x =-为偶函数，且(0,)x ∈+∞时，2()f x x x =-在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，若(23)(2)f m f -<，则2232m -<-<，解得1522m <<. 故答案为:15,22⎛⎫ ⎪⎝⎭．16．252【分析】首先将所给的代数式进行恒等变形，然后结合均值不等式的结论即可求得2211a b a b ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值，注意等号成立的条件. 【详解】2211a b a b ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222114a b a b =++++()2222114a b a b ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭()2211214ab a b ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭. 0a >，0b >，1a b +=，2124a b ab +⎛⎫∴= ⎪⎝⎭≤.1112122ab ∴--=≥，且22116a b ≥，221117a b+≥. ∴原式12517422⨯+=≥（当且仅当12a b ==时，等号成立），2211a b a b ⎛⎫⎛⎫∴+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是252.【点睛】本题主要考查基本不等式求最值的方法，整体思想的灵活运用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 17．（1）2；（2）3b =. 【详解】（1）根据正弦定理可将条件中的边之间的关系转化为角之间满足的关系，再将式子作三角恒等变形即可求解；（2）根据条件首先求得sin B 的值，再结合正弦定理以及三角形面积的计算公式即可求解.试题解析：（1）由22212b a c -=及正弦定理得2211sin sin 22B C -=， ∴2cos 2sin B C -=，又由4A π=，即34B C π+=，得cos 2sin 22sin cos B C C C -==，解得tan 2C =；（2）由tan 2C =，(0,)C π∈得sin C =cos C =，又∵sin sin()sin()4B A C C π=+=+，∴sin B =，由正弦定理得c =，又∵4A π=，1sin 32bc A =，∴bc =3b =. 考点：1.三角恒等变形；2.正弦定理.18．（1）证明见解析；（2）1(31)449n n n S +-+=. 【分析】（1）由点(),n n a b 在函数()2x f x =的图像上，可得20n an b =>，然后利用等比数列的定义证明即可，（2）由n a n =，可求得2n n b =，则24nn n a b n =⋅，然后利用错位相减法可求出n S【详解】（1）由已知，得20n an b =>，当1n ≥时，1122n na a d n nbb +-+==，所以数列{}n b 是首项为12a ，公比为2d 的等比数列．（2）当n a n =时，可得11,1a d ==，所以1222n nn b -=⨯=，所以24nn n a b n =⋅，所以231142434(1)44n n n S n n -=⋅+⋅+⋅++-+，①得23414142434(1)44n n n S n n +=⋅+⋅+⋅++-+，②由①-②，得112341144(13)444444444433n n n n n n n n S S n n ++++----=+++++-⋅=-⋅=，即1(13)4433n n n S +---=，得1(31)449n n n S +-+=．19．（1）见解析；（2）y 与x 的线性相关程度较强；（3）①ˆ 1.478.63yx =+；②20颗. 【分析】（1）结合题设所给数据作出散点图即可；（2）结合题设所给数据，求出相关系数r 的值，再作出判断即可；（3）结合题设所给数据，由最小二乘估计公式求出发芽数y 与温差x 之间的回归方程，从而运算即可得解. 【详解】解：（1）散点图如图所示（2）66i ix y x yr -⋅∑7516220516664.2 6.5-⨯⨯≈⨯ 44.2=0.9520.75≈> 因为y 与x 的相关系数近似为0.9520.75>，说明y 与x 的线性相关程度较强，从而建立发芽数y 与温差x 之间的线性回归模型是合理的；（3）由最小二乘估计公式，得6162216ˆ6i ii ii x y x ybxx==-⋅=-∑∑27516220516664.2-⨯⨯≈ 2264.2=1.47≈， ˆˆay bx =-162751.4766=-⨯8.63≈，所以ˆ 1.478.63yx =+，当8x =时，ˆ 1.4788.6320y =⨯+≈（颗），所以，估计该实验室12月7日当天种子的发芽数为20颗. 【点睛】本题考查了散点图的作法，主要考查了回归方程的求法，重点考查了运算能力，属中档题. 20．（1）证明见解析；（2）23. 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，得出AO OC ⊥，而AO OB ⊥，根据线面垂直的判定定理证出AO ⊥平面BOC ，最后利用面面垂直的判定定理，即可证明平面AOB ⊥平面BOC ；（2）以O 为坐标原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系，根据空间坐标的运算可得出()2,0,0OC →=和平面ABC 的法向量，利用空间向量法求夹角的公式，即可求出直线OC 与平面ABC 所成角的正弦值．【详解】解：（1）由题知：在直角梯形12AO O C 中，()222121220AC AO CO O O =-+=，所以在三棱锥O ABC -中，222AC AO OC =+，所以AO OC ⊥，又因为AO OB ⊥，CO OB O =，所以AO ⊥平面BOC ，又因为AO ⊂平面AOB ，所以，平面AOB ⊥平面BOC .（2）由（1）知：AO OC ⊥，AO OB ⊥，又BO OC ⊥，以O 为坐标原点，以,,OC OB OA 的方向分别作为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图空间直角坐标系O xyz -，所以()0,0,4A ，()0,2,0B ，()2,0,0C ，()2,0,0OC →=，设(),,n x y z =为平面ABC 的法向量，()0,2,4AB →=-，()2,2,0BC →=-，由00n AB n BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得240220y z x y -=⎧⎨-=⎩，令2x =得：()2,2,1n =，设直线OC 与平面ABC 所成角为θ，所以2sin 3C OC O nnθ→→→→==⋅⋅，所以直线OC 与平面ABC 所成角的正弦值为23.【点睛】本题考查线面垂直和面面垂直的判定定理，考查利用空间向量法求直线与平面所成角的正弦值，考查推理证明能力和运算求解能力. 21．(1) 1a =- (2) 1m ≥- (3) []1,1- 【分析】（1）利用奇函数的定义可求a 的值.（2）先计算出12()log (1)f x x +-，再求出它在(1,)+∞上的最大值后可求m 的取值范围.（3）根据()()12log f x x k =+可得211k x x =-+-，令()211g x x x =-+-，求出该函数在[2,3]的值域后可求k 的取值范围. 【详解】（1）∵函数()f x 的图象关于原点对称，∴函数()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，即111222111log log log 111ax ax x x x ax +--=-=----，整理得到：222a x x =恒成立，解得1a =-或1a =（舍）. （2）()()()()111122221log 1log log 1log 11xf x x x x x ++-=+-=+-当1x >时，()12log 11x +<-，∴1m ≥-.（3）由（1）知，()()12log f x x k =+，即()()11221log log 1x f x x k x +==+-，即11x x k x +=+-即211k x x =-+-在[]2,3上有解， ()211g x x x =-+-在[]2,3上单调递减，()g x 的值域为[]1,1-， ∴[]1,1k ∈-. 【点睛】本题考查奇函数的定义，还考查了与对数函数有关的函数的最值或值域的求法，注意不等式的恒成立问题可以转化为函数的最值问题，方程有解问题可以转化为新函数的值域问题，本题属于中档题.22．（1）3a =；（2）34150x y ++=；（3）满足条件的点P 共有4个，理由见解析. 【分析】（1）依题意计算1=O P .（2）根据题意，当1O M 最长时，弦长AB 最短，可得当1O ，O ，P 三点共线时，取得最大值，然后可得直线1OO 的方程，最后联立圆O 方程，计算求解即可.（3）采用分类讨论， 1O ，O 在直线AB 同侧或异侧，假设AP t =，可得()222100d t +=，并得()222253t MP d ==--或()222253t MP d ==-+，计算即可判断【详解】（1）当直线l 过圆心点1O 时，14O P =，所以3a =或3a =-（舍）（2）过1O 作1O M AB ⊥，则M 为弦AB 的中点，设1d O M =，当1O M 最长时，弦长AB 最短．因为118d O P OO OP ≤≤+=，当且仅当1O ，O ，P 三点共线时，取得最大值，此时1OO AB ⊥，因为143OO k =，所以直线1OO 的方程为43y x =．由224,39,y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得912,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭或912,55⎛⎫⎪⎝⎭P （舍）所以直线l 的方程为34150x y ++=．（3）因为13APBP =，所以设AP t =，则3BP t =，所以4AB t =，所以()222100d t +=，①（ⅰ）如图，当1O ，O 在直线AB 同侧时，()222253t MP d ==--，② 由①②将6d =或2d =．本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

湖南省怀化市2023-2024学年高一上学期期中数学试题含解析

怀化市中小学课程改革教育质量检测试卷2023年下期期中考试高一数学（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第I 卷（选择题）一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知{}1,3,5,7A =，{}2,4,6,7,8B =，则A B ⋃=（）A.{}18x x << B.[1,8]C.{}7 D.{}1,2,3,4,5,6,7,8【答案】D 【解析】【分析】由集合的并集运算求解A B ⋃即可.【详解】因为{}1,3,5,7A =，{}2,4,6,7,8B =，所以{}1,2,3,4,5,6,7,8A B ⋃=.故选：D2.若关于x 的方程20x x m --=在[1,1]-上有解，则实数m 的取值范围是A.[1,1]- B.1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C.(,1]-∞ D.1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】将原问题转化为两个函数有交点的问题，然后求解函数的值域即可确定实数m 的取值范围.【详解】题中的方程即2x x m -=，则原问题等价于函数y m =和函数2y x x =-在区间[]1,1-上有交点，二次函数2y x x =-开口向上，对称轴为12x =，故12x =时，min 14y =-，=1x -时，max 2y =，则函数2y x x =-在区间[]1,1-上的值域为1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，实数m 的取值范围是1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选D .【点睛】本题主要考查等价转化的数学思想，二次函数在给定区间求值域的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（）A.1y x =+ B.3y x = C.1y x= D.4y x =【答案】B 【解析】【分析】利用奇偶函数的定义以及一次函数的单调性可判断A ，根据幂函数的奇偶性和单调性可判断B 、C 、D ；进而可得正确选项.【详解】对于A ：函数()()1f x x f x -=-+≠-，所以1y x =+不是奇函数，不符合题意，故选项A 不正确；对于B ：函数3y x =是奇函数，在R 上单调递增，故选项B 正确；对于C ：函数1y x=是奇函数，在(),0∞-和()0,∞+上单调递增，在定义域内不是单调递增，不符合题意，故选项C 不正确；对于D ：函数4y x =是偶函数，不符合题意，故选项D 不正确；故选：B.4.黄金三角形被称为最美等腰三角形，因此它经常被应用于许多经典建筑中（例如图中所示的建筑）．黄金三角形有两种，一种是顶角为36︒，底角为72︒的等腰三角形，另一种是顶角为108︒，底角为36︒的等腰三角形，则“ABC 中有一个角是36︒”是“ABC 为黄金三角形”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由充分必要条件的概念判断．【详解】若ABC 中有一个角是36︒，则其他两个角不确定，故不能推出ABC 为黄金三角形，若ABC 为黄金三角形，由题意知ABC 中至少有一个角是36︒，故“ABC 中有一个角是36︒”是“ABC 为黄金三角形”必要不充分条件，故选：C5.已知()()25mf x m m x =+-为幂函数，则（）．A.()f x 在(),0∞-上单调递增B.()f x 在(),0∞-上单调递减C.()f x 在()0,∞+上单调递增D.()f x 在()0,∞+上单调递减【答案】B 【解析】【分析】首先根据幂函数的定义求出参数m 的值，即可得到函数解析式，再分析其性质.【详解】因为()()25mf x m m x =+-是幂函数，所以251m m +-=，解得2m =或3m =-，所以()2f x x =或()3f x x -=，对于()2f x x =，函数在()0,∞+上单调递增，在(),0∞-上单调递减；对于()3f x x -=，函数在()0,∞+上单调递减，且为奇函数，故在(),0∞-上单调递减；故只有B 选项“()f x 在(),0∞-上单调递减”符合这两个函数的性质．故选：B6.如图所示，4个长为a ，宽为b 的长方形，拼成一个正方形ABCD ，中间围成一个小正方形A 1B 1C 1D 1，则以下说法中错误的是（）A.(a+b)2≥4abB.当a=b时，A1，B1，C1，D1四点重合C.(a-b)2≤4abD.(a+b)2>(a-b)2【答案】C【解析】【分析】由图象分析正方形ABCD以及正方形A1B1C1D1的面积，根据面积之间的关系逐一判断即可.【详解】对于A，由题图可知正方形ABCD的面积不小于4个长方形的面积之和，即有(a+b)2≥4ab，故A正确；对于B，正方形A1B1C1D1的面积为(a-b)2，当a=b时，正方形A1B1C1D1的面积为0，A1，B1，C1，D1四点重合，故B正确；对于C，结合图象正方形A1B1C1D1的面积与4个长方形的面积之和大小关系不定，因此C选项错误.对于D，结合图形可知(a+b)2>(a-b)2，且当a=b时A1，B1，C1，D1四点重合，故D正确；故选：C7.血药浓度（Plasma Concentration）是指药物吸收后在血浆内的总浓度,药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间，已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确．．的个数是（）①首次服用该药物1单位约10分钟后,药物发挥治疗作用②每次服用该药物1单位,两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒③每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒A.0个 B.1个C.2个D.3个【答案】D 【解析】【分析】根据图象，结合题意，逐个判断即可．【详解】解：①根据图象可知，首次服用该药物1单位约10分钟后，血液浓度达到最低有效浓度，药物发挥治疗作用，故正确；②根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后血液浓度达到最大值，由图象可知两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒，故正确；③根据图象可知，每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用，故正确；④根据图象可知，首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，会发生药物中毒，故错误．故选：D ．【点睛】本题考查了函数图象的性质和对新定义函数的理解．难点是充分理解题意，根据图象解决实际问题．8.已知正数x ，y 满足2340xy y +-=，则35x y +的最小值为（）A.1B.4C.8D.16【答案】C 【解析】【分析】将2340xy y +-=，变形为43=+x y y，再代入35x y +，利用基本不等式求解.【详解】因为正数x ，y 满足2340xy y +-=，所以43=+x y y，所以4353448+=++=+≥=x y x y y y y ，当且仅当44=y y，即1y =时，取等号，所以35x y +的最小值为8故选：C【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知集合{1,1}A =-，集合{}10B x ax =-=，若A B B = ，则a 的取值可能是（）A.2B.1- C.1D.0【答案】BCD 【解析】【分析】根据A B B = 可知B A ⊆，然后对参数进行分类讨论求解.【详解】解：集合{1,1}A =-，集合{}10B x ax =-=，A B B= B A∴⊆当0a =时，B =∅，成立；当0a ≠时，1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，故11a =-或11a=，解得1a =-或1a =综上a 的取值可能是1-，0，1.故选：BCD10.已知关于x 的不等式20ax bx c ++≤的解集是{2x x ≤-或}6x ≥，则下列说法正确的是（）A.a<0B.不等式0bx c +>的解集是{}3x x <-C.不等式20cx bx a -+<的解集是1162x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D.0a b c ++>【答案】ACD 【解析】【分析】由一元二次不等式与解集的关系可判断A 选项；利用韦达定理可得出b 、c 与a 的等量关系，利用一次不等式的解法可判断B 选项；利用二次不等式的解法可判断C 选项；计算15a b c a ++=-可判断D 选项.【详解】对于A 选项，因为关于x 的不等式20ax bx c ++≤的解集是{2x x ≤-或}6x ≥，则a<0，A 对；对于B 选项，由题意可知，关于x 的方程20ax bx c ++=的两根分别为12x =-，26x =，由韦达定理可得62b a -=-，可得4b a =-，26ca-⨯=，则12c a =-，由0bx c +>可得4120ax a -->，解得3x >-，B 错；对于C 选项，由20cx bx a -+<可得21240ax ax a -++<，即212410x x --<，解得1162x -<<，因此，不等式20cx bx a -+<的解集是1162x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，C 对；对于D 选项，150a b c a ++=->，D 对.故选：ACD.11.关于函数()||f x x =的性质的描述，正确的是（）A.()f x 的定义域为[1,0)(0,1]-⋃B.()f x 的值域为()1,1-C.()f x 的图象关于y 轴对称D.()f x 在定义域上是增函数【答案】AC 【解析】【分析】首先求出函数的定义域，将函数解析式化简()f x =单调性法则判断函数的单调性，再求出函数的值域；【详解】解：因为()||f x x =，所以2400x x x ⎧-≥⎪⎨≠⎪⎩解得10x -≤<或01x <≤，即函数的定义域为[1,0)(0,1]-⋃，故A 正确；所以()||f x x ==[1,0)(0,1]x ∈-⋃，所以()()f x f x -==，即函数是偶函数，函数图象关于y 轴对称，故C 正确；因为21y x =-在[)1,0-上单调递增，(]0,1上单调递减，y =根据复合函数的单调性可得()f x 在[)1,0-上单调递增，(]0,1上单调递减，故D 错误；因为[)210,1x -∈，所以()[)0,1f x ∈，故B 错误；故选：AC12.已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，对于任意a ，b ∈R 都满足()()()=+f ab af b bf a ，则下述正确的是（）A.()00f = B.()10f =C.()f x 是偶函数 D.若()22f =，则1122⎛⎫-= ⎪⎝⎭f 【答案】ABD 【解析】【分析】利用赋值法,对a ，b 取特殊值代入已知表达式进行求解，逐项分析即可．【详解】对于A ，令0a b ==，则()()()000000f f f =+=，故A 正确;对于B ，令1a b ==，则()()()()1111121f f f f =+=，则()10f =，故B 正确;对于C ，令1a b ==-，则()()()()11121f f f f =----=--，所以()10f -=，又令1a =-，b x =，则()()()()()10f x f x xf f x f x -=-+-=-+=-，所以()f x 是奇函数，故C 错误;对于D ，令2a =，12b =-，则()()111112222102222f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-=--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以1122⎛⎫-= ⎪⎝⎭f ，故D 正确.故选：ABD ．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上的相应横线上.13.命题“Q x ∃∈，使得0x +>”的否定是_________【答案】Q x ∀∈，都有0x +≤【解析】【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题易求.【详解】根据存在量词命题的否定是全称量词命题知：命题“Q x ∃∈，使得0x +>”的否定是Q x ∀∈，都有0x +≤.故答案为：Q x ∀∈，都有0x +≤14.已知12f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()2f =______．【答案】52##2.5【解析】【分析】利用换元法求出函数()f x 的解析式，将2x =代入即可求解．【详解】令1t x =，即1x t =，0t ≠所以()12f t t=+，即()12f x x=+，0x ≠故()221522f =+=．故答案为：52．15.若函数()f x 定义域为[]1,5，则函数()21f x +的定义域为_______________【答案】[]0,2##{|02}x x ≤≤【解析】【分析】解不等式1215x ≤+≤即得解.【详解】解：由题得1215,02x x ≤+≤∴≤≤.故函数()21f x +的定义域为[]0,2.故答案为：[]0,216.奇函数()f x 满足：对任意()12,0,x x ∈+∞，12x x ≠，都有[]1212()()()0f x f x x x --<且()20f =，则不等式()()320f x f x x-->的解集为________【答案】(2,0)(0,2)- 【解析】【分析】由题知奇函数()f x 在(),0∞-、()0,∞+上递减，结合()2(2)0f f =--=且0()0x f x >⎧⎨>⎩或()0x f x <⎧⎨<⎩，即可求解集.【详解】对任意()12,0,x x ∈+∞，12x x ≠，都有[]1212()()()0f x f x x x --<，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递减，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在(),0∞-上单调递减，而()20f =，则()20f -=，不等式()()320f x f x x-->化为()()()3250f x f x f x xx+=>，即()0f x x>，所以()0xf x >，有0()0x f x >⎧⎨>⎩或0()0x f x <⎧⎨<⎩，则02x <<或20x -<<，所以不等式()()320f x f x x-->解集为(2,0)(0,2)- .故答案为：(2,0)(0,2)- 四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设全集为R ，{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<，求：（1）()R C A B ⋃；（2）()R C A B ⋂.【答案】（1）{|2x x ≤或10}x ≥；（2）{|23x x <<或710}x ≤<.【解析】【分析】(1)结合数轴，根据并集的定义求出A B ⋃，再根据补集的定义可得到()R C A B ⋃；（2）利用集合补集的定义求出R C A ，再根据交集的定义即可求出()R C A B ⋂.【详解】（1）由{}{}|37,|210A x x B x x =≤<=<<画出数轴：由图得{}|210A B x x ⋃=<<，(){|2R A B x x ∴⋃=≤ð或}10x ≥.（2）{}|37A x x =≤<得，{|3R A x x =<ð或}7x ≥，(){|23R A B x x ∴⋂=<<ð或}710x ≤<.【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算，以及子集的定义的应用，借助于数轴来求解更直观,熟练掌握交、并、补集的运算是解题的关键.在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点.18.已知函数()()22323x xx f x -=<-≤+.（1）用分段函数的形式表示函数()f x ；（2）画出函数()f x 的图象；（3）写出函数()f x 的值域.【答案】（1）()2,2012,033x x f x x x +-<≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩；（2）图象答案见解析；（3）(]0,2.【解析】【分析】（1）分20x -<≤和03x <≤两种情况去掉绝对值可求出函数的解析式；（2）根据（1）的解析式画出函数的图像；（3）根据函数图像可求出函数的值域【详解】（1）()2,2012,033x x f x x x +-<≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩.（2）函数()f x 的图象如下图所示.（3）由图得函数()f x 的值域为(]0,2.【点睛】此题考查分段函数，考查由函数解析式画函数图像，根据图像求出函数的值域，属于基础题19.已知函数f (x )=ax +b x，且f （1）=5，f （2）=4.（1）求实数a ，b 的值；（2）证明：函数f (x )在区间(-∞，-2]上单调递增.【答案】（1）14a b =⎧⎨=⎩；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据f （1）=5，f （2）=4，由5242a b b a +=⎧⎪⎨+=⎪⎩求解.（2）由（1）知，f (x )=x +4x，任取x 1，x 2∈(-∞，-2]，且x 1<x 2，然后作差判断f (x 1)-f (x 2)的符号即可.【详解】（1）因为f （1）=5，f （2）=4，所以5242a b b a +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得14a b =⎧⎨=⎩.（2）由（1）知，f (x )=x +4x ，任取x 1，x 2∈(-∞，-2]，且x 1<x 2，则f (x 1)-f (x 2)=x 1+14x -x 2-24x=(x 1-x 2)(1-124x x )=121212(-)(-4)x x x x x x .因为x 1<x 2≤-2，所以x 1-x 2<0，x 1x 2>4>0，所以121212(-)(-4)x x x x x x <0，即f (x 1)<f (x 2)，故函数f (x )在(-∞，-2]上单调递增.20.已知一次函数()f x 满足()2()36f x f x x +-=--.（1）求()f x 的解析式；（2）求函数()()g x xf x =在[]0,t 上的最小值（其中t 为常数）.【答案】20.()32f x x =-21.()2min 132,0311,33t t t g x t ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩【解析】【分析】（1）利用方程组法求解函数()f x 解析式即可；（2）求出函数()g x 的解析式，求出函数()g x 的对称轴，利用对称轴与区间的位置关系分类讨论求解即可.【小问1详解】()2()36f x f x x +-=-- ①，()2()36f x f x x ∴-+=-②，由⨯-②2-①得3()2(36)(36)f x x x =⨯----，()32f x x ∴=-.【小问2详解】由（1）可知2()(32)32g x x x x x =-=-，2211()323()33g x x x x ∴=-=--，其中[]0,x t ∈，若103t <≤，则函数211()3()33g x x =--在[]0,t 上单调递减，此时()g x 的最小值为2()32g t t t =-，若13t >，则函数211()3(33g x x =--在10,3（）上单调递减，在1(,)3t 上单调递增，此时()g x 的最小值为11()33g =-.综合上述，()2min 132,0311,33t t t g x t ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩.21.已知函数()()()2111R y a x a x a =+-++∈.（1）若关于x 的不等式0y ≥的解集为R ，求实数a 的取值范围；（2）若关于x 的不等式0y ≤的解集是P ，集合{}01Q x x =≤≤，若P Q =∅ ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）13a -≤≤；（2）3a <.【解析】【分析】（1）由0y ≥在x ∈R 恒成立，结合对应二次函数的性质列不等式组求参数范围；（2）问题化为()0y f x =>在[0,1]x ∈上恒成立，讨论1a +符号，结合二次函数性质求参数范围.【小问1详解】由题设()()21110y a x a x =+-++≥在x ∈R 恒成立，显然10a +=，即1a =-时10y =>，满足在x ∈R 上恒成立；由()()210101330Δ1410a a a a a a +>⎧+>⎧⎪⇒⇒-<≤⎨⎨-≤=+-+≤⎩⎪⎩；综上，13a -≤≤.【小问2详解】由题设()()2()1110y f x a x a x ==+-++>在[0,1]x ∈上恒成立，当10a +=，即1a =-时10y =>，满足在[0,1]x ∈上恒成立；当10a +≠时，函数对称轴为1[0,1]2x =∈，当10a +>，即1a >-时，只需2(1)4(1)0a a ∆=+-+<，即3a <，故13a -<<；当10a +<，即1a <-时，只需()()(1)11110f a a =+-++=>，也满足题设；综上，3a <.22.“春节”期间，某商场进行如下的优惠促销活动：优惠方案1：一次购买商品的价格，每满60元立减5元；优惠方案2：在优惠1之后，再每满400元立减40元．例如，一次购买商品的价格为130元，则实际支付额13013051305212060⎡⎤⎢-⨯=⨯⎥=⎣⎦-元，其中[]x 表示不大于x 的最大整数．又如，一次购买商品的价格为860元，则实际支付额860860540175060⎡⎤-⨯-⨯=⎢⎥⎣⎦元．（1）小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，他是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由；（2）已知某商品是小明常用必需品，其价格为30元/件，小明趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过500元，试求他应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？【答案】（1）一次支付好，理由见解析（2）购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件【解析】【分析】（1）计算两种支付方式的支付额，比较可得答案；（2）先确定在优惠条件下最多可以购买的件数，然后依据优惠方案2进行分类讨论，比较每种情况下的平均价格，可得答案.【小问1详解】分两次支付：支付额为2506502505650540230600407906060⎡⎤⎡⎤-⨯+-⨯-=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦元;一次支付：支付额为900900540274560⎡⎤-⨯-⨯=⎢⎥⎣⎦元,因为745790<，所以一次支付好；【小问2详解】设购买()*x x N ∈件，平均价格为y 元/件．由于预算不超过500元，但算上优惠，最多购买19件，当114x ≤≤时，不能享受每满400元再减40元的优惠当114x ≤≤时，130530530602x x y x x x ⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-⨯=-⨯ ⎪⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭，*n ∈N ，当2x n =时，53027.52y n n =-⨯=，*n ∈N ；当21x n =+时，()555303027.5212221y n n n =-⨯=-+>++，*n ∈N ．所以当114x ≤≤时，购买偶数件时，平均价格最低，为27.5元/件．当15x 19≤≤时，能享受每满400元再减40元的优惠1305403054030602x x y x x x x ⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-⨯-=-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭当2x n =时，540203027.522y n n n n =-⨯-=-，当8n =，16x =时，min 25y =;当21x n =+时，()540575303021212221y n n n n =-⨯-=--+++，y 随着n 的增大而增大，所以当7n =，15x =时，min 25y =．综上，购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件．。

2020-2021学年湖南师范大学附属中学高二上学期期末考试数学(文)试题Word版含答案

2020-2021学年湖南师范大学附属中学高二上学期期末考试数学（文）试题(内容：必修3，选修1－1，选修1－2，选修4－4)时量：120分钟满分：100 分(必考试卷Ⅰ)，50分(必考试卷Ⅱ)必考试卷Ⅰ(满分100分)一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数－i ＋1i＝A ．－2iB .12i C ．0 D ．2i2．下列选项叙述错误的是A ．命题“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”的逆否命题是“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”B ．若命题p ：x ∈R ，x 2＋x ＋1≠0，则綈p ：x 0∈R ，x 20＋x 0＋1＝0C ．若p ∨q 为真命题，则p ，q 均为真命题D ．“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件3．若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式：y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为A ．1百万件B ．2百万件C ．3百万件D ．4百万件4．“k >4”是“方程x 2k －4＋y 210－k＝1表示焦点在x 轴上的双曲线”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．若函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象可能为6．在△ABC 的边AB 上随机取一点P ，记△CAP 和△CBP 的面积分别为S 1和S 2，则S 1>2S 2的概率是 A.12 B.13 C.14 D.157．执行如图所示的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第3项是A ．870B ．30C ．6D ．38．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得的数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差9．已知双曲线x 2a 2－y 2b2的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为A ．5x 2－4y 25＝1 B.x 25－y24＝1C.y 25－x 24＝1 D ．5x 2－5y 24＝1 10．设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋2x ＋1，若f (x )在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是A ．(22，＋∞)B ．[22，＋∞)C ．(－∞，－22)D ．(－∞，－22] 答题卡题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分答案11．用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设________________． 12．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如下图)．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2 500，3 000](元)月收入段应抽出________人．13．对于定义域为R 的函数f (x )，若函数f (x )在()－∞，x 0和()x 0，＋∞上均有零点，则称x 0为函数f (x )的一个“给力点”．现给出下列四个函数：①f ()x ＝3||x －1＋12；②f ()x ＝2＋lg ||x －1；③f ()x ＝x 33－x －1；④f ()x ＝x 2＋ax －1(a ∈R )．则存在“给力点”的函数是________．(填序号)三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14．(本小题满分11分)已知曲线C 的极坐标方程是ρ－6cos θ＋2sin θ＋1ρ＝0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点P(3，3)，倾斜角α＝π3.(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； (2)设l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB|的值．为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名小学生进行了问卷调查得到如下列联表：(平均每天喝500 ml已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为.15(1)请将上面的列联表补充完整；(2)是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由；(3)现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中(其中有2名女生)，抽取2人参加竞技运动，则正好抽到一男一女的概率是多少？(参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d)（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t(t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px(p>0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交抛物线C 于点H.(1)求|OH||ON|；(2)除H 以外，直线MH 与抛物线C 是否有其他公共点？说明理由．必考试卷Ⅱ(满分50分)一、选择题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．17．已知函数f(x)＝x 2＋x sin x ＋cos x 的图象与直线y ＝b 有两个不同交点，则b 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(1，＋∞)二、填空题：本大题共2个小题，每小题5分，共10分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．18．如图，已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 2与圆x 2＋y 2＝b 2相切于点Q ，且点Q 为线段PF 2的中点，则椭圆C 的离心率为________．19．把正整数排列成如图甲所示三角形数阵，然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数，得到如图乙所示三角形数阵，设a i j 为图乙三角形数阵中第i 行第j 个数，若a mn ＝2 017，则实数对(m ，n)为____________．三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20．(本小题满分10分)设f(x)＝a(x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0，6)． (1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．21.(本小题满分12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，A 为短轴的一个端点且||OA ＝||OF ＝2(其中O 为坐标原点)．(1)求椭圆的方程；(2)若C 、D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M 满足MD ⊥CD ，连接CM ，交椭圆于点P ，试问x 轴上是否存在异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线DP 、MQ 的交点，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．22.(本小题满分13分)已知函数f ()x ＝12x 2，g ()x ＝a ln x .(1)设h ()x ＝f ()x ＋g ()x ，若对任意两个不等的正数x 1，x 2，都有h （x 1）－h （x 2）x 1－x 2>0恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若在[]1，e 上存在一点x 0，使得f ′()x 0＋1f ′()x 0<g ()x 0－g ′()x 0成立，求实数a 的取值范围．2020-2021学年湖南师范大学附属中学高二上学期期末考试数学（文）试题参考答案必考试卷Ⅰ一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.5.C 【解析】根据f ′(x)的符号，f(x)图象应该是先下降后上升，最后下降，排除A 、D ；从适合f ′(x)＝0的点可以排除B .10．C 【解析】f ′(x)＝x 2－ax ＋2，依题意，存在x ∈(－2，－1)，使不等式g ′(x)＝x 2－ax ＋2<0成立，即x ∈(－2，－1)时，a<⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x max ＝－22，当且仅当x ＝2x 即x ＝－2时等号成立．所以满足要求的a 的取值范围是(－∞，－22)．二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上． 11．三角形三个内角都大于60° 12．2513．②④ 【解析】对于①， f ()x ＝3||x －1＋12>0，不存在“给力点”；对于②，取x 0＝1，f ()x 在(－1，1)上有零点x ＝99100，在(1，＋∞)上有零点x ＝101100，所以f ()x 存在“给力点”为1；对于③，f ′(x)＝(x ＋1)(x －1)，易知f(x)只有一个零点．对于④，f(x)＝x 2＋ax －1(a ∈R )定义域为R ，因为判别式a 2＋4>0，则一定存在“给力点”．综上可得，②④正确．三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．14．【解析】(1)曲线C 化为：ρ2－6ρcos θ＋2ρsin θ＋1＝0，再化为直角坐标方程为 x 2＋y 2－6x ＋2y ＋1＝0，化为标准方程是(x －3)2＋(y ＋1)2＝9，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cosπ3y ＝3＋t sin π3.(t 为参数)(5分)(2)将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，整理得：t 2＋43t ＋7＝0，Δ＝(43)2－4×7＝20>0，则t 1＋t 2＝－43，t 1·t 2＝7，所以|AB|＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1·t 2＝48－28＝2 5.(11分)15．【解析】(1)设常喝碳酸饮料中肥胖的学生有x 人，由x ＋230＝415，即得x ＝6.(2分)补充列联表如下：(5分)(2)由已知数据可求得：K 2＝30（6×18－2×4）210×20×8×22≈8.523>7.879，因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关．(8分)(3)设常喝碳酸饮料的肥胖者中男生为A 、B 、C 、D ，女生为E 、F ，则任取两人有AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF ，共15种基本事件．设抽中一男一女为事件A ，事件A 含有AE ，AF ，BE ，BF ，CE ，CF, DE ，DF 这8个基本事件．故抽出一男一女的概率是p ＝815.(12分)16．【解析】(1)由已知得M(0，t)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t .(2分) 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，(3分) 所以ON 的方程为y ＝ptx ，(4分)代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t2p，(5分)因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .(6分)所以N 为OH 的中点，即|OH||ON|＝2.(8分)(2)直线MH 与抛物线C 除H 以外没有其他公共点．(9分) 直线MH 的方程为y －t ＝p2tx ，(10分)即x ＝2t p(y －t)．代入y 2＝2px 得：y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，(11分)即直线MH 与抛物线C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与抛物线C 没有其他公共点．(12分)必考试卷Ⅱ一、选择题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．17．D 【解析】f ′(x)＝x(2＋cos x)，令f ′(x)＝0，得x ＝0.∴当x>0时，f ′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上递增．当x<0时，f ′(x)<0，f(x)在(－∞，0)上递减．∴f(x)的最小值为f(0)＝1.∵函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，∴当b>1时，曲线y ＝f(x)与直线y ＝b 有且仅有两个不同交点．综上可知，b 的取值范围是(1，＋∞)．二、填空题：本大题共2个小题，每小题5分，共10分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．18.53【解析】连接PF 1，QO ，显然|OF 1|＝|OF 2|，由已知点Q 为线段PF 2的中点，则PF 1∥QO ，故|PF 1|＝2b ，又根据椭圆的定义得：|PF 2|＝2a －2b ，在直角三角形PF 2F 1中，(2c)2＝(2b)2＋(2a －2b)2b a ＝23e＝53. 19．(45，41) 【解析】分析乙图，可得(1)第k 行有k 个数，则前k 行共有k （k ＋1）2个数；(2)第k行最后一个数为k 2；(3)每一行的第一个数字都比上一行的最后一个数字大1；(4)从第二行开始，以下每一行的数，从左到右都是公差为2的等差数列．又442＝1 936，452＝2 025，则442<2 017<452，则2 017出现在第45行，第45行第1个数是442＋1＝1 937，这行中第2 017－1 9372＋1＝41个数为2 017，前44行共有44×452＝990个数，则2 017为第990＋41＝1 031个数，则实数对(m ，n)为(45，41)．三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20．【解析】(1)因为f(x)＝a(x －5)2＋6ln x ，所以f ′(x)＝2a(x －5)＋6x .令x ＝1，得f(1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，所以曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a)(x －1)，由点(0，6)在切线上，可得6－16a ＝8a －6，故a ＝12.(4分)(2)由(1)知，f(x)＝12(x －5)2＋6ln x(x>0)，f ′(x)＝x －5＋6x ＝（x －2）（x －3）x .令f ′(x)＝0，解得x ＝2或3.(6分)当0<x<2或x>3时，f ′(x)>0，故f(x)在(0，2)，(3，＋∞)上为增函数；当2<x<3时，f ′(x)<0，故f(x)在(2，3)上为减函数．(8分)由此可知f(x)在x ＝2处取得极大值f(2)＝92＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln 3.综上，f(x)的单调增区间为(0，2)，(3，＋∞)，单调减区间为(2，3)，f(x)的极大值为92＋6ln 2，极小值为2＋6ln 3.(10分)21．【解析】(1)由已知：b ＝c ＝2，∴a 2＝4，故所求椭圆方程为x 24＋y22＝1.(4分)(2)由(1)知，C(－2，0)，D(2，0)，由题意可设CM ：y ＝k(x ＋2)，P(x 1，y 1)，M(2，4k)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1y ＝k （x ＋2），整理得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0.(6分)方程显然有两个解，由韦达定理：x 1x 2＝8k 2－41＋2k 2，得x 1＝2－4k 21＋2k 2，y 1＝4k 1＋2k2.所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 21＋2k 2，4k 1＋2k 2，设Q(x 0，0)，(8分)若存在满足题设的Q 点，则MQ ⊥DP ，由MQ →·DP →＝0，整理，可得8k 2x 01＋2k 2＝0恒成立，所以x 0＝0.(12分)故存在定点Q(0，0)满足题设要求．22．【解析】(1)h ()x ＝f ()x ＋g ()x ＝12x 2＋a ln x ，因为对任意两个不等的正数x 1，x 2，都有h （x 1）－h （x 2）x 1－x 2>0，设x 1>x 2，则h(x 1)－h(x 2)>0，问题等价于函数h ()x ＝f ()x ＋g ()x ＝12x 2＋a ln x 在()0，＋∞上为增函数．(2分)所以h ′(x)＝x ＋a x ≥0在()0，＋∞上恒成立，即a ≥－x 2在()0，＋∞上恒成立．∵－x 2<0，所以a ≥0，即实数a 的取值范围是[0，＋∞)．(6分)(2)不等式f ′()x 0＋1f ′()x 0<g ()x 0－g ′()x 0等价于x 0＋1x 0<a ln x 0－a x 0，整理得x 0－a ln x 0＋1＋ax 0<0.设m ()x ＝x －a ln x ＋1＋ax ，由题意知，在[]1，e 上存在一点x 0，使得m ()x 0<0.(7分)由m ′()x ＝1－a x －1＋a x 2＝x 2－ax －（1＋a ）x 2＝（x －1－a ）（x ＋1）x 2. 因为x>0，所以x ＋1>0，即令m ′()x ＝0，得x ＝1＋a.①当1＋a ≤1，即a ≤0时，m ()x 在[]1，e 上单调递增，只需m ()1＝2＋a<0，解得a<－2.(9分)②当1<1＋a<e ，即0<a<e －1时，m ()x 在x ＝1＋a 处取最小值．令m ()1＋a ＝1＋a －a ln (1＋a)＋1<0，即a ＋1＋1<a ln (a ＋1)，可得a ＋1＋1a<ln (a ＋1)．考查式子t ＋1t －1<ln t ，因为1<t<e ，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立．(11分) ③ 当1＋a ≥e ，即a ≥e －1时，m ()x 在[]1，e 上单调递减，只需m ()e ＝e －a ＋1＋a e <0，解得a>e 2＋1e －1. 综上所述，实数a 的取值范围是()－∞，－2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2＋1e －1，＋∞.(13分)。

湖南省五市十校2020-2021学年高二上学数学试题含答案

8x 2y
8x 8 ，当且仅当
2y
，即
y
2x 时有最小值 8；
yx
yx
yx
m2 2m 8 ，即 m2 2m 8 0 .解得 2 m 4 .故选 D.
7.B 解析：所给数列为高阶等差数列,设该数列的第 8 项为 x，根据所给定义：用数列的后一项减去前
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学2020-2021学年高二数学上学期10月联考试题

学2020-2021学年高二数学上学期10月联考试题一、单选题1．设集合，集合，则（）A． B． C． D．2．数列，，，，，，的一个通项公式为（）A．B．C．D．3．椭圆的两个焦点是F1(－1, 0), F2(1, 0)，P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则该椭圆方程是（）A． B． C． D．4．已知命题且为假命题，则可以肯定（）A．为真命题B．为假命题C．都是假命题D．中至少有一个是假命题5．把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得曲线向右平移个单位长度，最后所得曲线的一条对称轴是（）A．B．C．D．6．若, 则“”是“方程表示双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．命题“”的否定为（）A．B．C．D．8．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有个点，相应的图案中总的点数记为，则等于（）A．B．C．D．9．已知的内角所对的边分别是，且，若边上的中线，则的外接圆面积为（）A．B．C．D．10．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数t的取值范围为（）A．B．C．D．11．（多选题）下列命题正确的是（）A． B．，使得C．是的充要条件 D．若，则12．（多选题）数列的前项和为，若，，则有（）A．B．为等比数列C．D．二、填空题13．如果方程的两根为和3且，那么不等式的解集为____________．14．已知的一个内角为，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_______________.15．正项等比数列满足，且2，，成等差数列，设，则取得最小值时的值为_________．16．已知椭圆的左焦点为，右焦点为．若椭圆上存在一点，线段与圆相切于点，且为线段中点，则该椭圆的离心率为_____．三、解答题17．焦点在轴上的椭圆的方程为，点在椭圆上.（1）求的值.（2）依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率.18．如图，在中，已知，是边上的一点，，，.（1）求的面积；（2）求边的长.19．已知数列是等比数列，且，其中成等差数列．（1）数列的通项公式；（2）记，则数列的前项和．20．已知函数，且的解集为.（1）求函数的解析式；（2）解关于x的不等式，；（3）设，若对于任意的都有，求M的最小值.21．设数列的前项和为，已知.（1）令，求数列的通项公式；（2）若数列满足：.①求数列的通项公式；②是否存在正整数，使得成立？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由.22.设O为坐标原点,椭圆的左焦点为F,离心率为.直线与C交于两点, 的中点为M,（1）求椭圆C的方程（2）设点,求证:直线l过定点,并求出定点的坐标.高二年级10月联考数学试题答案一、单选题1．设集合，集合，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式得集合，利用并集的概念即可.【详解】由题意可得，，所以，故选：A．2．数列，，，，，，的一个通项公式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】首先注意到数列的奇数项为负，偶数项为正，其次数列各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，从而易求出其通项公式．【详解】∵数列{an}各项值为，，，，，，∴各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，∴|an|＝2n﹣1又∵数列的奇数项为负，偶数项为正，∴an＝（﹣1）n（2n﹣1）．故选C．3．椭圆的两个焦点是F1(－1, 0), F2(1, 0)，P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则该椭圆方程是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】【详解】试题分析：由题意可得：|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4,而结合椭圆的定义可知，|PF1|+|PF2|=2a,∴2a=4，2c=2，由a2=b2+c2，∴b2=3∴椭圆的方程为，选B.4．已知命题且为假命题，则可以肯定（）A．为真命题B．为假命题C．都是假命题D．中至少有一个是假命题【答案】D【解析】本题考察的是复合命题．由条件可知，只有当都是真命题时“”才为真命题．所以应选D．5．把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得曲线向右平移个单位长度，最后所得曲线的一条对称轴是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】先求出图像变换最后得到的解析式，再求函数图像的对称轴方程.【详解】由题得图像变换最后得到的解析式为，令，令k=-1,所以.故选A6．若, 则“”是“方程表示双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】当时，可验证方程满足双曲线的要求，充分性得证；根据，可求得当方程表示双曲线时的取值范围，得到必要性不成立，从而得到结果.【详解】当时，，则方程表示双曲线，充分条件成立；若方程表示双曲线，则，解得：或必要条件不成立综上所述：“”是“方程表示双曲线”的充分而不必要条件故选7．命题“”的否定为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题，直接进行判断可得答案.【详解】解：根据全称命题的否定是特称命题，将全称量词换为存在量词，不等号换为＞，可得命题“”的否定为“”，故选：B.8．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有个点，相应的图案中总的点数记为，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】求出数列的通项公式，然后利用裂项求和法可求得所求代数式的值.【详解】，，，，则，所以，，其中且，因此，.故选：D.9．已知的内角所对的边分别是，且，若边上的中线，则的外接圆面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】由余弦定理求出，由平方后可求得即，再由已知求得，结合正弦定理可求得外接圆半径，从而得外接圆面积.【详解】∵，∴，．又是中点，∴，∴，即，解得，∴，，∴，，∴．故选：A．10．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数t的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】化角为边，由余弦定理求出角的取值范围，设，则，并确定的取值范围，再由关于的一元二次不等式恒成立，，求出间的不等量关系，利用的取值范围，即可求出结果.【详解】在中，由正弦定理及，得，由余弦定理，得，又因为，所以，记，则.因为，所以，从而，所以可化为，即，恒成立，所以依题有，化简得，即得恒成立，又由，得或.故选:A.11．（多选题）下列命题正确的是（）A．B．，使得C．是的充要条件D．若，则【答案】AD【解析】【分析】对四个选项逐一分析，由此得出正确选项.【详解】对于A选项，时，，故A选项正确.对于B选项，当时，不成立，故B选项错误.对于C选项，当“”时，“”成立；当“”时，如，此时，故“”不成立，也即“”是“”的充分不必要条件.故C选项错误.对于D选项，当时，，，由于，故，所以D选项正确.故填：AD.12．（多选题）数列的前项和为，若，，则有（）A．B．为等比数列C．D．【答案】ABD【解析】【分析】由数列中和的关系式，求得数列的通项公式，可判定D正确；再利用题设条件，求得的表达式，可判定A正确，最后结合等比数列的定义，可判定B正确.【详解】由题意，数列的前项和满足，当时，，两式相减，可得，可得，即，又由，当时，，所以，所以数列的通项公式为；当时，，又由时，，适合上式，所以数列的的前项和为；又由，所以数列为公比为3的等比数列，综上可得选项是正确的.故选：ABD.二、填空题13．如果方程的两根为和3且，那么不等式的解集为____________．【答案】或【解析】【分析】由韦达定理可得出，，代入不等式，消去得出，再解该不等式即可.【详解】由韦达定理得，，代入不等式，得，，消去得，解该不等式得，因此，不等式的解集为或，故答案为或.14．已知的一个内角为，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_______________.【答案】【解析】【分析】【详解】试题分析：设三角形的三边长为a-4,b=a,c=a+4,(a<b<c),根据题意可知三边长构成公差为4的等差数列，可知a+c=2b ,C=120,，则由余弦定理，c= a+ b-2abcosC，,三边长为6,10,14，,b= a+ c-2accosB,即（a+c）=a+c-2accosB, cosB=，sinB=可知S== .15．正项等比数列满足，且2，，成等差数列，设，则取得最小值时的值为_________．【答案】【解析】【分析】先由题意列关于的方程组，求得的通项公式，再表示出，即可求得答案.【详解】设等比数列的公比为.由，，成等差数列，可得，则，所以，解得(舍去)或.因为，所以.所以.所以.所以，当时，取得最小值，取得最小值.故答案为：.16．已知椭圆的左焦点为，右焦点为．若椭圆上存在一点，线段与圆相切于点，且为线段中点，则该椭圆的离心率为_____．【答案】.【解析】【分析】连接，．利用切线的性质可得．利用三角形中位线定理可得：，．再利用勾股定理与离心率计算公式即可得出．【详解】解：如图所示，连接线段与圆相切于点，．又为的中点，化为：解得．故答案为：．三、解答题17．焦点在轴上的椭圆的方程为，点在椭圆上.（1）求的值.（2）依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率.【答案】（1）2（2）长轴长4、短轴长、焦距、离心率【解析】【分析】（1）根据题意，代入点，即可求解.（2）由（1），写出椭圆方程，求解，根据椭圆长轴长、短轴长、焦距、离心率定义，即可求解.【详解】（1）由题意，点在椭圆上，代入，得，解得（2）由（1）知，椭圆方程为，则椭圆的长轴长；’短轴长；焦距；离心率.18．如图，在中，已知，是边上的一点，，，.（1）求的面积；（2）求边的长.【答案】（1）；（2）分析：（1）在中，根据余弦定理求得，然后根据三角形的面积公式可得所求．（2）在中由正弦定理可得的长．详解：（1）在中，由余弦定理得，∵为三角形的内角，，，．（2）在中，，由正弦定理得：∴．19．已知数列是等比数列，且，其中成等差数列．（1）数列的通项公式；（2）记，则数列的前项和．【答案】（1）；（2）【分析】(1)设数列是公比为的等比数列,运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式,解方程可得公比,进而得到所求通项公式;(2)求得,运用数列的分组求和法,结合等差数列和等比数列的求和公式,计算可得所求和.【详解】(1)设数列的公比为,因为,,成等差数列,所以,又因为,所以,即,所以或(舍去),所以;(2)由(1)知,,所以.20．已知函数，且的解集为.（1）求函数的解析式；（2）解关于x的不等式，；（3）设，若对于任意的都有，求M的最小值.【答案】（1）（2）答案不唯一，具体见解析（3）【解析】【分析】（1）根据韦达定理直接求解即可.（2）转化为，然后分别对，，，进行讨论即可.（3）因为对于任意的都有，转化为，进而得到，然后分别求出，即可.【详解】解：（1）因为的解集为，所以的根为，2，所以，，即，；所以；（2），化简有，整理，所以当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，（3）因为时，根据二次函数的图像性质，有，则有，所以，，因为对于任意的都有，即求，转化为，而，，所以，此时可得，所以M的最小值为.21．设数列的前项和为，已知.（1）令，求数列的通项公式；（2）若数列满足：.①求数列的通项公式；②是否存在正整数，使得成立？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）①；②存在，【解析】【分析】（1）由题，得，即可得到本题答案；（2）①由，得，所以，恒等变形得，，由此即可得到本题答案；②由错位相减求和公式，得的前n项和，然后通过求的解，即可得到本题答案.【详解】（1）因为，所以，即，又因为，所以，即，所以数列是以2为公比和首项的等比数列，所以；（2）①由（1）知，，当时，，又因为也满足上式，所以数列的通项公式为，因为，所以，所以，即，因为，所以数列是以1为首项和公差的等差数列，所以，故；②设，则，所以，两式相减得，所以，∵，∴，即：，即.令，则，即，所以，数列单调递减，，因此，存在唯一正整数，使得成立.22.设O为坐标原点,椭圆的左焦点为F,离心率为.直线与C交于两点, 的中点为M,（1）求椭圆C的方程（2）设点,求证:直线l过定点,并求出定点的坐标解：（1）设椭圆的右焦点为,则为的中位线,所以,所以因为,所以,所以,所以椭圆C的方程为:（2）设联立,消去y整理得:所以,,所以因为所以所以整理得: 解得: 或 (舍去)所以直线l过定点.学2020-2021学年高二数学上学期10月联考试题一、单选题1．设集合，集合，则（）A． B． C． D．2．数列，，，，，，的一个通项公式为（）A．B．C．D．3．椭圆的两个焦点是F1(－1, 0), F2(1, 0)，P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则该椭圆方程是（）A． B． C． D．4．已知命题且为假命题，则可以肯定（）A．为真命题B．为假命题C．都是假命题D．中至少有一个是假命题5．把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得曲线向右平移个单位长度，最后所得曲线的一条对称轴是（）A．B．C．D．6．若, 则“”是“方程表示双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．命题“”的否定为（）A．B．C．D．8．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有个点，相应的图案中总的点数记为，则等于（）A．B．C．D．9．已知的内角所对的边分别是，且，若边上的中线，则的外接圆面积为（）A．B．C．D．10．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数t的取值范围为（）A．B．C．D．11．（多选题）下列命题正确的是（）A． B．，使得C．是的充要条件 D．若，则12．（多选题）数列的前项和为，若，，则有（）A．B．为等比数列C．D．二、填空题13．如果方程的两根为和3且，那么不等式的解集为____________．14．已知的一个内角为，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_______________.15．正项等比数列满足，且2，，成等差数列，设，则取得最小值时的值为_________．16．已知椭圆的左焦点为，右焦点为．若椭圆上存在一点，线段与圆相切于点，且为线段中点，则该椭圆的离心率为_____．三、解答题17．焦点在轴上的椭圆的方程为，点在椭圆上.（1）求的值.（2）依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率.18．如图，在中，已知，是边上的一点，，，.（1）求的面积；（2）求边的长.19．已知数列是等比数列，且，其中成等差数列．（1）数列的通项公式；（2）记，则数列的前项和．20．已知函数，且的解集为.（1）求函数的解析式；（2）解关于x的不等式，；（3）设，若对于任意的都有，求M的最小值.21．设数列的前项和为，已知.（1）令，求数列的通项公式；（2）若数列满足：.①求数列的通项公式；②是否存在正整数，使得成立？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由.22.设O为坐标原点,椭圆的左焦点为F,离心率为.直线与C交于两点, 的中点为M,（1）求椭圆C的方程（2）设点,求证:直线l过定点,并求出定点的坐标.高二年级10月联考数学试题答案一、单选题1．设集合，集合，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式得集合，利用并集的概念即可.【详解】由题意可得，，所以，故选：A．2．数列，，，，，，的一个通项公式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】首先注意到数列的奇数项为负，偶数项为正，其次数列各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，从而易求出其通项公式．【详解】∵数列{an}各项值为，，，，，，∴各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，∴|an|＝2n﹣1又∵数列的奇数项为负，偶数项为正，∴an＝（﹣1）n（2n﹣1）．故选C．3．椭圆的两个焦点是F1(－1, 0), F2(1, 0)，P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则该椭圆方程是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】【详解】试题分析：由题意可得：|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4,而结合椭圆的定义可知，|PF1|+|PF2|=2a,∴2a=4，2c=2，由a2=b2+c2，∴b2=3∴椭圆的方程为，选B.4．已知命题且为假命题，则可以肯定（）A．为真命题B．为假命题C．都是假命题D．中至少有一个是假命题【答案】D【解析】本题考察的是复合命题．由条件可知，只有当都是真命题时“”才为真命题．所以应选D．5．把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得曲线向右平移个单位长度，最后所得曲线的一条对称轴是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】先求出图像变换最后得到的解析式，再求函数图像的对称轴方程.【详解】由题得图像变换最后得到的解析式为，令，令k=-1,所以.故选A6．若, 则“”是“方程表示双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】当时，可验证方程满足双曲线的要求，充分性得证；根据，可求得当方程表示双曲线时的取值范围，得到必要性不成立，从而得到结果.【详解】当时，，则方程表示双曲线，充分条件成立；若方程表示双曲线，则，解得：或必要条件不成立综上所述：“”是“方程表示双曲线”的充分而不必要条件故选7．命题“”的否定为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题，直接进行判断可得答案.【详解】解：根据全称命题的否定是特称命题，将全称量词换为存在量词，不等号换为＞，可得命题“”的否定为“”，故选：B.8．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有个点，相应的图案中总的点数记为，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】求出数列的通项公式，然后利用裂项求和法可求得所求代数式的值.【详解】，，，，则，所以，，其中且，因此，.故选：D.9．已知的内角所对的边分别是，且，若边上的中线，则的外接圆面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】由余弦定理求出，由平方后可求得即，再由已知求得，结合正弦定理可求得外接圆半径，从而得外接圆面积.【详解】∵，∴，．又是中点，∴，∴，即，解得，∴，，∴，，∴．故选：A．10．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数t的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】化角为边，由余弦定理求出角的取值范围，设，则，并确定的取值范围，再由关于的一元二次不等式恒成立，，求出间的不等量关系，利用的取值范围，即可求出结果.【详解】在中，由正弦定理及，得，由余弦定理，得，又因为，所以，记，则.因为，所以，从而，所以可化为，即，恒成立，所以依题有，化简得，即得恒成立，又由，得或.故选:A.11．（多选题）下列命题正确的是（）A．B．，使得C．是的充要条件D．若，则【答案】AD【解析】【分析】对四个选项逐一分析，由此得出正确选项.【详解】对于A选项，时，，故A选项正确.对于B选项，当时，不成立，故B选项错误.对于C选项，当“”时，“”成立；当“”时，如，此时，故“”不成立，也即“”是“”的充分不必要条件.故C选项错误.对于D选项，当时，，，由于，故，所以D选项正确.故填：AD.12．（多选题）数列的前项和为，若，，则有（）A．B．为等比数列C．D．【答案】ABD【解析】【分析】由数列中和的关系式，求得数列的通项公式，可判定D正确；再利用题设条件，求得的表达式，可判定A正确，最后结合等比数列的定义，可判定B正确.【详解】由题意，数列的前项和满足，当时，，两式相减，可得，可得，即，又由，当时，，所以，所以数列的通项公式为；当时，，又由时，，适合上式，所以数列的的前项和为；又由，所以数列为公比为3的等比数列，综上可得选项是正确的.故选：ABD.二、填空题13．如果方程的两根为和3且，那么不等式的解集为____________．【答案】或【解析】【分析】由韦达定理可得出，，代入不等式，消去得出，再解该不等式即可.【详解】由韦达定理得，，代入不等式，得，，消去得，解该不等式得，因此，不等式的解集为或，故答案为或.14．已知的一个内角为，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_______________.【答案】【解析】【分析】【详解】试题分析：设三角形的三边长为a-4,b=a,c=a+4,(a<b<c),根据题意可知三边长构成公差为4的等差数列，可知a+c=2b ,C=120,，则由余弦定理，c= a+ b-2abcosC，,三边长为6,10,14，,b= a+ c-2accosB,即（a+c）=a+c-2accosB, cosB=，sinB=可知S==.15．正项等比数列满足，且2，，成等差数列，设，则取得最小值时的值为_________．【答案】【解析】【分析】先由题意列关于的方程组，求得的通项公式，再表示出，即可求得答案.【详解】设等比数列的公比为.由，，成等差数列，可得，则，所以，解得(舍去)或.因为，所以.所以.所以.所以，当时，取得最小值，取得最小值.故答案为：.16．已知椭圆的左焦点为，右焦点为．若椭圆上存在一点，线段与圆相切于点，且为线段中点，则该椭圆的离心率为_____．【答案】.【解析】【分析】连接，．利用切线的性质可得．利用三角形中位线定理可得：，．再利用勾股定理与离心率计算公式即可得出．【详解】解：如图所示，连接线段与圆相切于点，．又为的中点，化为：解得．故答案为：．三、解答题17．焦点在轴上的椭圆的方程为，点在椭圆上.（1）求的值.（2）依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率.【答案】（1）2（2）长轴长4、短轴长、焦距、离心率【解析】【分析】（1）根据题意，代入点，即可求解.（2）由（1），写出椭圆方程，求解，根据椭圆长轴长、短轴长、焦距、离心率定义，即可求解.【详解】（1）由题意，点在椭圆上，代入，得，解得（2）由（1）知，椭圆方程为，则椭圆的长轴长；’短轴长；焦距；离心率.18．如图，在中，已知，是边上的一点，，，.（1）求的面积；（2）求边的长.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）在中，根据余弦定理求得，然后根据三角形的面积公式可得所求．（2）在中由正弦定理可得的长．详解：（1）在中，由余弦定理得，∵为三角形的内角，，，．（2）在中，，由正弦定理得：∴．19．已知数列是等比数列，且，其中成等差数列．（1）数列的通项公式；（2）记，则数列的前项和．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)设数列是公比为的等比数列,运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式,解方程可得公比,进而得到所求通项公式;(2)求得,运用数列的分组求和法,结合等差数列和等比数列的求和公式,计算可得所求和.【详解】(1)设数列的公比为,因为,,成等差数列,所以,又因为,所以,即,所以或(舍去),所以;(2)由(1)知,,所以.20．已知函数，且的解集为.（1）求函数的解析式；（2）解关于x的不等式，；（3）设，若对于任意的都有，求M的最小值.【答案】（1）（2）答案不唯一，具体见解析（3）【解析】【分析】（1）根据韦达定理直接求解即可.（2）转化为，然后分别对，，，进行讨论即可.（3）因为对于任意的都有，转化为，进而得到，然后分别求出，即可.【详解】解：（1）因为的解集为，所以的根为，2，所以，，即，；所以；（2），化简有，整理，所以当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，（3）因为时，根据二次函数的图像性质，有，则有，所以，，因为对于任意的都有，即求，转化为，而，，所以，此时可得，所以M的最小值为.21．设数列的前项和为，已知.（1）令，求数列的通项公式；（2）若数列满足：.①求数列的通项公式；②是否存在正整数，使得成立？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）①；②存在，【解析】【分析】（1）由题，得，即可得到本题答案；（2）①由，得，所以，恒等变形得，，由此即可得到本题答案；②由错位相减求和公式，得的前n项和，然后通过求的解，即可得到本题答案.【详解】（1）因为，所以，即，又因为，所以，即，所以数列是以2为公比和首项的等比数列，所以；（2）①由（1）知，，当时，，又因为也满足上式，所以数列的通项公式为，因为，所以，所以，即，因为，所以数列是以1为首项和公差的等差数列，所以，故；②设，则，所以，两式相减得，所以，∵，∴，即：，即.令，则，即，所以，数列单调递减，，因此，存在唯一正整数，使得成立.22.设O为坐标原点,椭圆的左焦点为F,离心率为.直线与C交于两点, 的中点为M,（1）求椭圆C的方程（2）设点,求证:直线l过定点,并求出定点的坐标解：（1）设椭圆的右焦点为,则为的中位线,所以,所以因为,所以,所以,所以椭圆C的方程为:（2）设联立,消去y整理得:所以,,所以因为所以所以整理得: 解得: 或 (舍去)所以直线l过定点.。

2020-2021学年湖南省怀化市鹤城区九年级(上)期末数学试卷

2020-2021学年湖南省怀化市鹤城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）1．（4分）将方程3x2＝﹣6x+8化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．3、6、8B．3、﹣6、﹣8C．3、﹣6、8D．3、6、﹣8 2．（4分）已知反比例函数y＝的图象过点P（2，﹣3），则该反比例函数的图象位于（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、四象限D．第三、四象限3．（4分）关于x的一元二次方程3x2﹣6x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜3B．m≤3C．m＞3D．m≥34．（4分）若A（3，y1），B（﹣2，y2），C（﹣1，y3）三点都在函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＞y2＞y3C．y1＜y3＜y2D．无法确定5．（4分）目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元，则下面列出的方程中正确的是（）A．438（1+x）2＝389B．389（1+x）2＝438C．389（1+2x）＝438D．438（1+2x）＝3896．（4分）为了解我市某学校“书香校园”的建设情况，检查组在该校随机抽取40名学生，调查了解他们一周阅读课外书籍的时间（每组的时间值包含最小值，不包含最大值），根据图中信息估计该校学生一周课外阅读时间不少于4小时的人数占全校人数的百分数约等于（）A．50%B．55%C．60%D．65%7．（4分）如图，若P为△ABC的边AB上一点（AB＞AC），则下列条件不一定能保证△ACP ∽△ABC的有（）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C．＝D．＝8．（4分）正方形网格中，△ABC如图放置，其中点A、B、C均在格点上，则（）A．tan B＝B．cos B＝C．sin B＝D．sin B＝9．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，垂足为F，则tan∠BDE的值是（）A．B．C．D．10．（4分）如图，△ABC中，D、E两点分别在BC、AD上，AE：ED＝2：1，则△BDE与△ABC的面积比为何？（）A．1：6B．1：9C．2：13D．2：15二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11．（4分）随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测试高度，计算平均数和方差的结果为＝13，，s甲2＝3.6，s乙2＝4.2，则小麦长势比较整齐的是．12．（4分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根，且，则k的值为．13．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，AC＝，则AB的长为．14．（4分）如图所示，AB⊥BD，CD⊥BD，BO＝4，BD＝12．15．（4分）如图，小明周末晚上陪父母在锦江绿道上散步，他由灯下A处前进4米到达B 处时，已知小明身高1.6米，他若继续往前走4米到达D处米．16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限内，∠AOB＝30°，AB＝BO（x ＜0）的图象经过点A，若S△ABO＝，则k的值为．三、解答题（本大题8个小题，共计86分）17．（10分）解一元二次方程：（1）4x2﹣121＝0；（2）（x﹣2）（x﹣4）＝5．18．（10分）计算：（1）cos30°﹣cos60°+sin245°；（2）（2020﹣π）0﹣（）﹣1+|﹣2|+3tan30°．19．（10分）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣3，2），B（n，﹣6）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积．20．（10分）钓鱼岛位于我国东海，是我国自古以来的固有领土，有“花鸟岛”之美称．如图，船在B点时测得钓鱼岛A在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点21．（10分）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，E为BC延长线上一点，且满足AB2＝DB•CE．（1）说明：△ADB∽△EAC；（2）若∠BAC＝40°，求∠DAE的度数．22．（10分）某校为了解九年级男同学的中考体育考试准备情况，随机抽取部分男同学进行了1000米跑步测试．按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如下不完整的统计图．（1）根据给出的信息，补全两幅统计图；（2）该校九年级有600名男生，请估计成绩未达到良好有多少名？23．（12分）已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB 边向点B以1cm/s的速度移动，则同时停止运动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，PQ的长度等于cm？（3）△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．24．（14分）如图1，在矩形ABCD中，点E是CD边上的动点（点E不与点C，D重合），过点A作AF⊥AE交CB延长线于点F，连接EF，且点G在线段AB的左侧，连接BG．（1）求证：△ADE∽△ABF；（2）若AB＝20，AD＝10，设DE＝x①求y与x的函数关系式；②当时，求x的值；（3）如图2，若AB＝BC，设四边形ABCD的面积为S1，当时，求DC：DE的值．2020-2021学年湖南省怀化市鹤城区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）1．（4分）将方程3x2＝﹣6x+8化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．3、6、8B．3、﹣6、﹣8C．3、﹣6、8D．3、6、﹣8【解答】解：将方程3x2＝﹣7x+8化为一元二次方程的一般形式为：3x2+6x﹣8＝7，其二次项系数、常数项分别为3、6．故选：D．2．（4分）已知反比例函数y＝的图象过点P（2，﹣3），则该反比例函数的图象位于（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、四象限D．第三、四象限【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点P（2，∴k＝2×（﹣3）＝﹣6＜5，∴该反比例函数经过第二、四象限．故选：C．3．（4分）关于x的一元二次方程3x2﹣6x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜3B．m≤3C．m＞3D．m≥3【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣6）2﹣3×3×m＞0，解得m＜6．故选：A．4．（4分）若A（3，y1），B（﹣2，y2），C（﹣1，y3）三点都在函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＞y2＞y3C．y1＜y3＜y2D．无法确定【解答】解：∵k＝﹣1＜0，∴反比例函数的两个分支在二、四象限，y随x的增大而增大，∵2＞0，∴y1＜4，∵﹣2＜﹣1＜8，∴0＜y2＜y6，∴y1＜y2＜y2，故选：A．5．（4分）目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元，则下面列出的方程中正确的是（）A．438（1+x）2＝389B．389（1+x）2＝438C．389（1+2x）＝438D．438（1+2x）＝389【解答】解：设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则去年下半年发放给每个经济困难学生389（1+x）元2元，由题意，得：389（6+x）2＝438．故选：B．6．（4分）为了解我市某学校“书香校园”的建设情况，检查组在该校随机抽取40名学生，调查了解他们一周阅读课外书籍的时间（每组的时间值包含最小值，不包含最大值），根据图中信息估计该校学生一周课外阅读时间不少于4小时的人数占全校人数的百分数约等于（）A．50%B．55%C．60%D．65%【解答】解：该校学生一周课外阅读时间不少于4小时的人数占全校人数的百分数是：×100%＝60%；故选：C．7．（4分）如图，若P为△ABC的边AB上一点（AB＞AC），则下列条件不一定能保证△ACP ∽△ABC的有（）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C．＝D．＝【解答】解：∵∠A＝∠A，∴当∠APC＝∠ACB或∠ACP＝∠B或AC：AB＝AP：AC或AC2＝AB•AP时，△ACP∽△ABC．故选：D．8．（4分）正方形网格中，△ABC如图放置，其中点A、B、C均在格点上，则（）A．tan B＝B．cos B＝C．sin B＝D．sin B＝【解答】解：由图可知，AC＝2；AB＝＝；根据三角函数的定义，A、tan B＝＝；B、cos B＝＝＝；C、sin B＝＝＝；D、sin B＝＝＝．故选：D．9．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，垂足为F，则tan∠BDE的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵点E是边BC的中点，∴BE＝BC＝，∴△BEF∽△DAF，∴＝，∴EF＝AF，∴EF＝AE，∵点E是边BC的中点，由矩形的对称性得：AE＝DE，∴EF＝DE，则DE＝3x，∴DF＝＝2x，∴tan∠BDE＝＝＝；故选：A．10．（4分）如图，△ABC中，D、E两点分别在BC、AD上，AE：ED＝2：1，则△BDE与△ABC的面积比为何？（）A．1：6B．1：9C．2：13D．2：15【解答】解：∵AE：ED＝2：1，∴AE：AD＝6：3，∵∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAD，∴△ABE∽△ACD，∴S△ABE：S△ACD＝4：7，∴S△ACD＝S△ABE，∵AE：ED＝5：1，∴S△ABE：S△BED＝2：4，∴S△ABE＝2S△BED，∴S△ACD＝S△ABE＝S△BED，∵S△ABC＝S△ABE+S△ACD+S△BED＝8S△BED+S△BED+S△BED＝S△BED，∴S△BDE：S△ABC＝2：15，故选：D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11．（4分）随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测试高度，计算平均数和方差的结果为＝13，，s甲2＝3.6，s乙2＝4.2，则小麦长势比较整齐的是甲．【解答】解：∵s甲2＝3.3，s乙2＝4.8，∴s甲2＜s乙2，∴小麦长势比较整齐的是甲，故答案为：甲．12．（4分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根，且，则k的值为﹣2．【解答】解：根据题意得：x1+x2＝﹣7，x1x2＝k﹣4，x12+x42﹣x1x2＝（x1+x2）7﹣3x1x7＝4﹣3（k﹣7）＝13，∴k＝﹣2，经检验，k＝﹣2符合题意，故答案为：﹣5．13．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，AC＝，则AB的长为3+．【解答】解：过C作CD⊥AB于D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵∠B＝45°，∴∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD，∵∠A＝30°，AC＝2，∴CD＝，∴BD＝CD＝，由勾股定理得：AD＝＝3，∴AB＝AD+BD＝3+．故答案为：3+．14．（4分）如图所示，AB⊥BD，CD⊥BD，BO＝4，BD＝1210．【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠D＝∠B＝90o，∵∠DOC＝∠BOA，∴△AOB∽△COD，∴，∵AB＝3，BO＝4，∴，∴CD＝5，在Rt△DOC中，OC＝＝＝10，故答案为：10．15．（4分）如图，小明周末晚上陪父母在锦江绿道上散步，他由灯下A处前进4米到达B 处时，已知小明身高1.6米，他若继续往前走4米到达D处2米．【解答】解：由FB∥AP可得，△CBF∽△CAP，∴，即，解得AP＝4，由GD∥AP可得，△EDG∽△EAP，∴，即，解得ED＝5，故答案为：2．16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限内，∠AOB＝30°，AB＝BO（x ＜0）的图象经过点A，若S△ABO＝，则k的值为﹣3．【解答】解：过点A作AD⊥x轴于点D，如图所示．∵∠AOB＝30°，AD⊥OD，∴＝cot∠AOB＝，∵∠AOB＝30°，AB＝BO，∴∠AOB＝∠BAO＝30°，∴∠ABD＝60°，∴＝cot∠ABD＝，∵OB＝OD﹣BD，∴＝，∴＝，∵S△ABO＝，∴S△ADO＝|k|＝，∵反比例函数图象在第二象限，∴k＝﹣8故答案为：﹣3．三、解答题（本大题8个小题，共计86分）17．（10分）解一元二次方程：（1）4x2﹣121＝0；（2）（x﹣2）（x﹣4）＝5．【解答】解：（1）4x2﹣121＝5，x2＝，所以x8＝﹣，x2＝；（2）整理得，x2﹣6x＝﹣8，x2﹣6x+3＝﹣3+9，即（x﹣7）2＝6，x﹣4＝±，所以x1＝5+，x2＝8﹣．18．（10分）计算：（1）cos30°﹣cos60°+sin245°；（2）（2020﹣π）0﹣（）﹣1+|﹣2|+3tan30°．【解答】解：（1）原式＝﹣×+×（）5＝﹣+＝；（2）原式＝3﹣3+2﹣+3×＝﹣2+2﹣+＝0．19．（10分）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣3，2），B（n，﹣6）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积．【解答】解：（1）把A（﹣3，2）代入，∴反比例函数解析式为；把B（n，﹣6）代入，解得n＝5，∴B点坐标为（1，﹣6），把A（﹣7，2），﹣6）代入y4＝kx+b，得，解方程组得，∴一次函数解析式为y＝﹣5x﹣4；（2）当x＝0时，y＝﹣7x﹣4＝﹣4，﹣4），∴△AOB的面积＝．20．（10分）钓鱼岛位于我国东海，是我国自古以来的固有领土，有“花鸟岛”之美称．如图，船在B点时测得钓鱼岛A在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：根据题意得：∠ABC＝90°﹣60°＝30°，∠ACD＝90°﹣30°＝60°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝30°，∴CA＝CB，∵CB＝50×2＝100（海里），∴CA＝100（海里），在Rt△ADC中，∠ACD＝60°，∴CD＝AC cos60°＝100×＝50（海里），答：船继续航行50海里与钓鱼岛A的距离最近．21．（10分）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，E为BC延长线上一点，且满足AB2＝DB•CE．（1）说明：△ADB∽△EAC；（2）若∠BAC＝40°，求∠DAE的度数．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB2＝DB•CE∴∴∴△ADB∽△EAC．（2）∵△ADB∽△EAC，∴∠BAD＝∠E，∵∠DAE＝∠BAD+∠BAC+∠CAE，∴∠DAE＝∠D+∠BAD+∠BAC，∵∠BAC＝40°，AB＝AC，∴∠ABC＝70°，∴∠D+∠BAD＝70°，∴∠DAE＝∠D+∠BAD+∠BAC＝70°+40°＝110°．22．（10分）某校为了解九年级男同学的中考体育考试准备情况，随机抽取部分男同学进行了1000米跑步测试．按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如下不完整的统计图．（1）根据给出的信息，补全两幅统计图；（2）该校九年级有600名男生，请估计成绩未达到良好有多少名？【解答】解：（1）抽取的学生数：16÷40%＝40（人）；抽取的学生中合格的人数：40﹣12﹣16﹣4＝8，合格所占百分比：5÷40×100%＝20%，优秀人数：12÷40×100%＝30%，如图所示：（2）成绩未达到良好的男生所占比例为：20%+10%＝30%，所以估计成绩未达到良好有600×30%＝180（名）．23．（12分）已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，则同时停止运动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，PQ的长度等于cm？（3）△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．【解答】解：（1）设经过x秒以后，△PBQ面积为4cm2（4＜x≤3.5）此时AP＝xcm，BP＝（8﹣x）cm，由，得，整理得：x5﹣5x+4＝4，解得：x＝1或x＝4（舍）；答：8秒后△PBQ的面积等于4cm2；（2）设经过t秒后，PQ的长度等于2＝BP2+BQ7，即40＝（5﹣t）2+（2t）2，解得：t＝﹣1（舍去）或4．则3秒后，PQ的长度为；（3）假设经过t秒后，△PBQ的面积等于5cm2，即，，整理得：t2﹣7t+7＝0，由于b2﹣4ac＝25﹣28＝﹣3＜8，则原方程没有实数根，所以△PQB的面积不能等于7cm2．24．（14分）如图1，在矩形ABCD中，点E是CD边上的动点（点E不与点C，D重合），过点A作AF⊥AE交CB延长线于点F，连接EF，且点G在线段AB的左侧，连接BG．（1）求证：△ADE∽△ABF；（2）若AB＝20，AD＝10，设DE＝x①求y与x的函数关系式；②当时，求x的值；（3）如图2，若AB＝BC，设四边形ABCD的面积为S1，当时，求DC：DE的值．【解答】（1）证明：∵AE⊥AF，∴∠EAF＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝∠ABF＝∠D＝90°，∴∠EAF＝∠BAD，∴∠F AB＝∠DAE，∵∠ABF＝∠D＝90°，∴△ADE∽△ABF；（2）①如图1，过点G作GH⊥BF于H，∵∠GHF＝∠C＝90°，∴GH∥EC，∵点G为EF的中点，∴FG＝GE，∴FH＝HC，∴EC＝2GH＝7y，∵DE+EC＝CD＝AB＝20，∴x+2y＝20，∴；②∵，∴设EC＝8k，BG＝5k，∵EC＝6GH，∴GH＝4k，由勾股定理得：BH＝3k，∴FH＝CH＝4k+10，∴FB＝6k+10，∵△ADE∽△ABF，∴，∵，x＝20﹣8k，∴，∴，∴；（3）如图2，连接BE，CD＝BC＝b．∵四边形ABCD是矩形，AB＝BC，∴四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，设DE＝a，CD＝BC＝b，∵∠F AB＝∠EAD，AD＝AB，∴△ADE≌△ABF，∴BF＝DE＝a，∴，∵S＝b2，S＝5S1，∴b2＝4b2﹣a2﹣ab，∴b3﹣ab﹣a2＝0，∴，解得：，∴．。

1.4 充分、必要条件(精炼)(解析版)

1.4 充分、必要条件（精炼）【题组一命题及其判断】1．（2020·黑龙江道里。

哈尔滨三中高二期末（文））下列说法正确的是（） A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”为真命题 B ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的逆命题为假命题C ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2≠1”D ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1” 【答案】C【解析】若x 2＝1，则1x =±，故A 选项不正确；“若x 2＝1，则x ＝1”的逆命题为“若x ＝1，则x 2＝1”且该命题是真命题，故B 选项不正确；命题“若x 2＝1，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2≠1”，故C 选项正确；命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若21x ≠，则x ≠1”，故D 选项不正确，故选：C.2．（2019·黑龙江大庆实验中学高二期末）已知原命题：已知0ab >，若a b >，则11a b<，则其逆命题、否命题、逆否命题和原命题这四个命题中真命题的个数为( ) A ．0 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】由题原命题：已知0ab >，若a b >，则11a b<，为真命题，所以逆否命题也是真命题；逆命题为：已知0ab >，若11a b<，则a b >，为真命题，所以否命题也是真命题。

故选D.3．（2019·阿城区第二中学高二期中（文））命题“若3x <，则29x ≤”的逆否命题是（） A ．若29x >，则3x ≥ B ．若29x ≤，则3x < C ．若3x ≥，则29x > D ．若29x ≥，则3x >【答案】A【解析】由逆否命题的定义可得命题“若3x <，则29x ≤”的逆否命题是“若29x >，则3x ≥”故答案选A 4．对任意的实数,,a b c ，在下列命题中的真命题是（） A ．“ac bc >”是“a b >”的必要不充分条件B ．“ac bc =”是“a b =”的必要不充分条件C ．“ac bc >”是“a b >”的充分不必要条件D ．“ac bc =”是“a b =”的充分不必要条件【答案】B【解析】因为实数c 不确定，“ac bc >”与“a b >”既不充分也不必要，又“ac bc a b =⇐=” 得“ac bc =”是“a b =”的必要不充分条件，所以正确选项为B.【题组二充分、必要条件】1．下列哪一项是“1a >”的必要条件（ ) A ． 2a < B ． 2a >C ． 0a <D ．0a >【答案】D【解析】由题意，“选项”是“1a >”的必要条件，表示“1a >”推出“选项”，所以正确选项为D.2．（北师大版新教材2.1必要条件与充分条件）如果命题“p q ⇒”是真命题，那么①p 是q 的充分条件 ② p 是q 的必要条件 ③ q 是p 的充分条件 ④ q 是p 的必要条件，其中一定正确的是（ )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【答案】B【解析】根据必要条件和充分条件的含义，p q ⇒为真，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件，所以①④正确，所以正确选项为B.3．已知:p A φ=，:q A B φ⋂=，则p 是q 的（ ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由已知A A B φφ=⇒⋂=，反之不成立，得p 是q 的充分不必要条件，所以正确选项为A. 4．若p 是q 的充分不必要条件，则下列判断正确的是（） A ．p ⌝是q 的必要不充分条件 B ．q ⌝是p 的必要不充分条件 C ．p ⌝是q ⌝的必要不充分条件 D ．q ⌝是p ⌝的必要不充分条件【答案】C【解析】由p 是q 的充分不必要条件可知,p q q p ⇒⇒.由互为逆否命题的等价性，可知,q p p q ⌝⌝⌝⌝⇒⇒/.所以p ⌝是q ⌝的必要不充分条件.故选：C.5．（湖南省怀化市2020届高三下学期第二次模拟考试数学（文）试题）除夕夜，万家团圆之时，中国人民解放军陆、海、空三军医疗队驰援武汉.“在疫情面前，我们中国人民解放军誓死不退！不获胜利决不收兵！”这里“获取胜利”是“收兵”的（）. A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意可得，“获取胜利”是“收兵”的必要条件故选：B6．（2020届广东省广州普通高中毕业班综合测试（一）数学（理）试题）已知1223p x q x +><<：，：，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意:1212p x x +>⇔+>或121x x +<-⇔>或3x <-，由“1x >或3x <-”不能推出“23x <<”；由“23x <<”可推出“1x >或3x <-”；故p 是q 的必要不充分条件.故选：B.【题组三求参数】1.（上海市格致中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题）若“3x >”是“x a >“的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_____. 【答案】3a <【解析】因为“3x >”是“x a >”的充分不必要条件， ∴3a <．故答案为：3a <．2．已知“()(),20,x ∈-∞-⋃+∞”是“[],1x k k ∈+”的必要不充分条件，则k 的取值范围是___________. 【答案】3k <-或0k >【解析】由已知“()(),20,x ∈-∞-⋃+∞”是“[],1x k k ∈+”的必要不充分条件，则，[]()(),1,20,k k +-∞-⋃+∞，所以12k +<-或0k >，得3k <-或0k >，所以答案为3k <-或0k >.3．已知{|12}A x x =≤≤，{|}B x x a =<，如果B 的充分条件是A ，则实数a 的取值范围是_________.【答案】2a >【解析】“B 的充分条件是A ”，即A 是B 的充分条件，得A B ⇒，即A B ⊆，得2a >，所以答案为“2a >”. 4．已知集合A ＝{x |a +1≤x ≤2a +3}，B ＝{x |x 2﹣3x ﹣4≤0}．若x ∈A 是x ∈B 的充分条件，则实数a 的取值范围是_______ 【答案】1,2⎛⎤-∞ ⎥⎦⎝【解析】B ＝{x |x 2﹣3x ﹣4≤0}＝{x |﹣1≤x ≤4}， ∵若x ∈A 是x ∈B 的充分条件， ∴A ⊆B ，若A ＝∅，则2a +3＜a +1，即a ＜﹣2时，满足题意；若A ≠∅，则满足223411a a a ≥-⎧⎪+≤⎨⎪+≥-⎩，即2122a a a ≥-⎧⎪⎪≤⎨⎪≥-⎪⎩，此时﹣2≤a ≤12．综上a ≤12．故答案为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎦⎝5.．（河南省2019-2020学年高三核心模拟卷）已知:12p x -≤，()22:2100q x x a a -+-≥>，若p 是q⌝的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是__________．【答案】(0，2]【解析】∵12x -≤，∴13x -≤≤，即:13p x -≤≤； ∵222100x x a a -+-≥>（），∴1x a ≤-或1x a ≥+， ∴:11q a x a ⌝-<<+， ∵p 是q ⌝的必要不充分条件，∴01113a a a >⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，解得02a <≤， ∴所求实数a 的取值范围是(0，2]．故答案为：(0，2]6．（2019版导学教程一轮复习数学（人教版））已知命题p ：a ≤x ≤a ＋1，命题q ：x 2－4x <0，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．【答案】()0,3【解析】令M ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，N ＝{x |x 2－4x <0}＝{x |0<x <4}．∵p 是q 的充分不必要条件，∴M ⫋N ，∴014a a >⎧⎨+<⎩，解得0<a <3.故填()0,37．（山东省青岛市第二中学2019-2020学年高一上学期期末数学试）已知{}22|320,0A x x ax a a =-+>>,{}2|60B x x x =--≥,若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件,求实数a 的取值范围 .【答案】302a <<【解析】解出{}|23B x x x =≤-≥或，{}|20A x x a x a a =<>>或，因为x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，所以B 是A 的真子集.所以2323020a a a a >-⎧⎪<⇒<<⎨⎪>⎩故答案为：302a <<8．命题2:03x P x ->-；命题2:2210q x ax a b +++-> （1）若4b =时，22210x ax a b +++->在x R ∈上恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若p 是q 的充分必要条件，求出实数a ，b 的值【答案】（1）(1,3)-；（2）52a =-，12b =。

湖南省怀化市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题含答案

湖南省怀化市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题含答案注意事项:1。

答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上。

2。

考生作答时，选择题和综合题均须做在答题卡上,在本试卷上答题无效。

考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。

3。

考试结束后，将答题卡收回.4.本试题卷共4页，如有缺页,考生须声明，否则后果自负.怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷2020年上期期末考试高一数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析.在这个问题中,5000 名学生成绩的全体是A.总体B。

个体 C.从总体中抽取的一个样本D.样本的容量2.设α是第三象限角，且tan1α=，则cosα=A。

-12B. 22C. 22- D. 12-3。

同时掷3枚硬币，那么互为对立事件的是A.至少有1枚正面和最多有1枚正面B.最多1枚正面和恰有2枚正面C 。

至多1枚正面和至少有2枚正面 D.至少有2枚正面和恰有1枚正面4。

某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100 分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x+ y 的值为A.7 B 。

8 C.9 D 。

10 5.若4sin cos 3θθ-=则sin()cos()πθπθ--=A 。

16B 。

16- C 。

718-D. 7186.如图所示，用两种方案将块顶角为120°，腰长为2的等腰三角形钢板OAB 裁剪成扇形,设方案一、二的扇形的面积分别为S 1，S 2，周长分别为l 1，l 2，则A.S 1=S 2，l 1>l 2B.S 1=S 2， l 1<l 2 C 。

S 1〉S 2,l 1=l 2 D.S 1〈S 2， l 1=l 2 7。

联合校2020-2021学年高二数学上学期第一次月考试题

联合校2020-2021学年高二数学上学期第一次月考试题考试时间：120分钟试卷满分：150分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（每题5分，满分60分）1.已知向量，，则（）A. (－1,1,5)B. (－3,5,－3)C. (3,－5,3)D. (1,－1,－5)2.点到原点的距离为（）A. 1B. 3C. 5D. 93.已如向量，且与互相垂直，则k=A. B. C. D.4.若向量，且与的夹角余弦为，则等于（）A. B. C. 或 D. 25.如图，长方体ABCD - A1B1C1D1中，，，那么异面直线与所成角的余弦值是（）A. B. C. D.6.已知正四棱柱ABCD - A1B1C1D1，设直线AB1与平面所成的角为，直线CD1与直线A1C1所成的角为，则（）A. B. C. D.7.如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是对边OB、AC的中点，点G在线段MN上，，现用基向量表示向量，设，则的值分别是（）A. B.C. D.8.如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知，则CD的长为A. B. 7 C. D. 99.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BB1的中点，若，则点B到平面ACE的距离等于（）A. B. C. D. 310.如图，在三棱柱ABC - A1B1C1中，M为A1C1的中点，若，则下列向量与相等的是（）A. B.C. D.11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M､N分别为AC，A1B的中点，则下列说法错误的是（）A. MN∥平面ADD1A1B. MN⊥ABC. 直线MN与平面ABCD所成角为45°D. 异面直线MN与DD1所成角为60°12.将直角三角形ABC沿斜边上的高AD折成120°的二面角，已知直角边，，那么下面说法正确的是（）A. 平面ABC⊥平面ACDB. 四面体的体积是C. 二面角的正切值是D. BC与平面ACD所成角的正弦值是二、填空题（每题5分，满分20分）13.若平面的一个法向量为，直线l的一个方向向量为，则l与所成角的正弦值为________.14.若同方向的单位向量是________________15.在空间直角坐标系O-xyz中，设点M是点关于坐标平面xOy的对称点，点关于x轴对称点Q，则线段MQ 的长度等于__________．16.已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1所有棱长均为1，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，则AC1的长为．三解答题（共6个解答题，17题10分，其余每题12分）17.如图，已知三棱锥O-ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．(1)求异面直线BE与AC所成角的余弦值；(2)求直线BE和平面ABC的所成角的正弦值．18.如图.在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，且，，，，，.（1）求异面直线PC与AD所成角的余弦（2）求点A到平面PCD的距离.19.如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，，是的中点。

湖南省三湘名校教育联盟2020-2021学年高二上学期期中考试理科数学试题

【校级联考】湖南省三湘名校教育联盟2020-2021学年高二上学期期中考试理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}2230A x x x =--，且A B R ⋃=，则集合B 可以是( ) A ．{|3}x x ≥ B ．{|1}x x ≥- C ．{|3}x x <D ．{|13}x x -<<2．已知命题p ：0x ∀≥，sin x x ≥，则p ⌝为( ) A ．0x ∀<，sin x x < B ．0x ∀≥，sin x x < C ．00x ∃<，00sin x x <D ．00x ∃≥，00sin x x <3．已知a ⃗ ，b ⃗ 均为单位向量，|a ⃗ +b ⃗ |=√3，则(2a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ −b ⃗ )=( ) A ．−12B ．12C ．−32D ．324．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3627S S +=，则24(a a += ) A ．3B ．6C ．9D ．125．已知E 、F 分别为椭圆221259x y +=的左、右焦点，倾斜角为60的直线l 过点E ，且与椭圆交于A ，B 两点，则FAB 的周长为( ) A ．10B ．12C ．16D ．206．已知数列{a n }满足a 1=2，a n+1=2a na n +2，则a n =( ) A ．2nB ．n +1C ．1n +1D ．2n7．设a 、b R ∈，原命题“若21()2x a b >+，则22x a b >+”，则关于其逆命题、否命题、逆否命题的结论正确的是( ) A ．逆命题与否命题均为真命题 B ．逆命题为假命题，否命题为真命题 C ．逆命题为假命题，逆否命题为真命题 D ．否命题为假命题，逆否命题为真命题8．下列函数中，最小周期为π且为偶函数的是( )A ．f(x)=sin|2x|B ．f(x)=tan(x −π4) C ．f(x)=|cos2x|D ．f(x)=1−tan 2x 1+tan 2x9．要得到函数()cos2sin 26f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数()cos2g x x =的图象( )A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位D ．向右平移6π个单位10．当()0,x ∈+∞时，230ax x a -+≥恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．][33,,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭11．已知P 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>上异于点(),0A a -，(),0B a 的一点，EAP 与BP 的斜率之积为( ) A ．34-B ．34C ．14-D ．1412．在△ABC 中，若(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⊥CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则角A 的最大值为( ) A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π6二、填空题13．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S6S 3=4，则a 92a7a 8=______．14．已知向量()2,sin a α=，()1,cos b α=，且//a b ，则()5sin cos tan 24ππαπαα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭___．15．在ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=，过点A 作AB 的垂线交BC 于点D ，AC x AB y AD =+，则xy=______．16．如图，ABC 中，ACB ∠为钝角，10AC =，6BC =，过点B 向ACB ∠的角平分线引垂线交于点P，若AP =ABP 的面积为______．三、解答题17．△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(2b −a)cosC =c ⋅cosA ． (1)求角C ；(2)若c =7，△ABC 的面积为10√3，求△ABC 的周长．18．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知22n S n n =+，*n N ∈．()1求数列{}n a 的通项公式； ()2设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 19．已知x ，y 满足约束条件2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩．()1若z mx y =-+取得最小值的最优解有无数多个，求m 的值； ()2求22z x y =+的取值范围．20．已知数列{b n } 的前n 项和为S n ，S n +b n =2，等差数列{a n } 满足b 1a 2=3，b 1+a 5=7 （Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅱ）证明：a 1b 2+a 2b 3+⋯+a n b n+1<3. 21．设函数()cos 22sin sin .344f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1求()f x 的单调递减区间及其图象的对称轴方程；()2若()f x 在区间,12a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围． 22．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为A(−3,0)，且经过点(2,53). (1)求椭圆C 的方程；(2)过点A 作斜率为k(k ≠0)的直线l 交C 于另一点D ，交y 轴点E ，P 为线段AD的中点，O为坐标原点，是否存在点Q满足对于任意的k(k≠0)都有OP⊥EQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．B 【解析】【分析】解出集合A {x |x 1=<-或x 3}>，由A B R ⋃=得出B ．【详解】解：A {x |x 1=<-或x 3}>，且AB R ⋃=；∴符合条件的只有B ．故选B ．【点睛】本题考查描述法的定义，以及并集的定义及运算 2．D 【分析】根据全称命题的否定为特称命题可得答案．【详解】解：命题p ：x 0∀≥，x sinx ≥，则p ￢为0x 0∃≥，00x sinx <，故选D ．【点睛】本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，熟练掌握全(特)称命题的否定方法是解答的关键． 3．B 【解析】【分析】由已知结合向量数量积的性质可求a ⃗ ⋅b ⃗ ，代入即可求解．【详解】解：∵a ⃗ ，b ⃗ 均为单位向量，且|a ⃗ +b ⃗ |=√3， ∴3=a ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =12，则(2a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ −b ⃗ )=2a ⃗ 2−a ⃗ ⋅b ⃗ −b ⃗ 2=12，故选：B ．【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题． 4．B 【解析】分析：把已知与求值式全部用首项1a 和公差d 表示，详解：由题意361113361591827S S a d a d a d +=+++=+=，∴123a d +=， ∴2411113242(2)236a a a d a d a d a d +=+++=+=+=⨯=．故选B ．点睛：等差数列与等比数列中基本量法是最基本最重要的方法，必须掌握，解等差数列和等比数列的问题大多数情况下都可用基本法求解，即用首项和公差（比）表示出已知条件，如能求出首项和公差（比）就求出，否则得出它们的关系式，再把待求式也用首项和公差（比）表示后就可求得结论． 5．D 【分析】利用椭圆的定义即可得到结果．【详解】椭圆221259x y +=，可得5a =，三角形2AF B 的周长22AF BF AB =++，11AB AF BF =+，所以：周长1212AF AF BF BF =+++，由椭圆的第一定义，1212210AF AF BF BF a +=+==，所以，周长420a ==．故选D ．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，三角形的周长的求法，属于基本知识的考查． 6．D 【解析】【分析】利用数列的递推关系式，推出{1a n}是等差数列，然后求解数列的通项公式．【详解】数列{a n }满足a 1=2，a n+1=2a na n +2，可得：1an+1−1a n=12，所以数列{1a n}是等差数列，可得：1a n=12+12(n −1)=n2，可得a n =2n ，故选：D ．【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数列的通项公式的求法，考查计算能力． 7．A 【分析】判断出原命题是假命题，从而原命题的逆否命题是假命题；再判断现原命题的逆命题是真命题，从而原命题的否命题是真命题．【详解】解：原命题：“设a 、b R ∈，原命题“若21x (a b)2>+，则22x a b >+”，是假命题， ∴原命题的逆否命题是假命题；原命题的逆命题：“若22x a b >+，则21x (a b)2>+”，是真命题， ∴原命题的否命题是真命题．故选A ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8．D 【解析】【分析】利用三角函数的奇偶性、周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【详解】解：∵f(x)=sin|2x|为偶函数，但它的最小正周期为12⋅2π2=π2，故排除A ；由于f(x)=tan(x −π4)为非奇非偶函数，故排除B ； ∵f(x)=|cos2x|为偶函数，但它的最小正周期为12⋅2π2=π2，故排除C ； ∵f(x)=1−tan 2x 1+tan x=cos 2x−sin 2x cos x+sin x=cos2x 为偶函数，且它的最小正周期为2π2=π，故D 满足条件，故选：D ．【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性、周期性，属于基础题． 9．D 【分析】利用三角恒等变换、函数()y Asin ωx φ=+的图象变换规律，得出结论．【详解】解：函数()π11πf x cos2x sin 2x cos2x cos2x cos2x cos 2x 6223⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故将函数()g x cos2x =的图象向右平移π6个单位，可得()f x 的图象，故选D ．【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，函数()y Asin ωx φ=+的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题． 10．C 【解析】【分析】对()x 0,∞∀∈+，不等式2ax 3x a 0-+≥恒成立⇔通过a 0=以及a 0>、a ＜0，利用二次函数的性质即可得出．【详解】解：当a 0=时，不等式不恒成立，由二次函数的性质可知：a 0>，且294a 0=-≤，解得3a 2≥， a 0<时，2ax 3x a 0-+≥不恒成立，综上3a ,2∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭．故选C ．【点睛】本题考查了不等式恒成立问题的等价转化方法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 11．C 【分析】利用点P 与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积的不等式，建立等式，考查椭圆的方程，即可确定a ，b 的关系，从而通过椭圆的离心率，求解即可．【详解】设(),P x y ，点(),0A a -，(),0B a ，椭圆E ：22221x y a b +=，22222a x yb a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2c a ∴=，2234c a =，则22234a b a -=，所以2214b a =， ∴点P 与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为：2222214y y y b x a x a x a a ⋅==-=-+--，故选C ．【点睛】本题考查斜率的计算，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 12．A 【解析】【分析】根据(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⊥CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可得出(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，从而得出0=(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=3|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−4|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosA ，进而得出cosA ≥√32，从而可求出A 的最大值．【详解】∵(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⊥CB⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴0=(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=3|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， =3|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−4|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosA ≥2√3|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |−4|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosA ； ∴cosA ≥√32，且0<A <π；∴A 的最大值为π6．故选：A ．【点睛】本题考查向量数量积的运算及计算公式，向量垂直的充要条件，向量减法的几何意义，以及a 2+b 2≥2ab 的应用． 13．3 【解析】【分析】根据题意，由等比数列的求和公式，求出公比，再根据通项公式即可求出．【详解】解：设等比数列的公比为q ，由S 6S 3=4，可得1−q 61−q =1+q 3=4，解得q 3=3，∴a 92a 7a 8=a 7q 2⋅a 8q a 7a 8=q 3=3，故答案为：3．【点睛】本题考查了等比数列的定义和通项公式以及前n 项和公式的应用问题，属于基础题． 14．415【解析】【分析】由已知求得tan α，再由诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值．【详解】解：由()a 2,sin α=，()b 1,cos α=，且a //b ，得2cos αsin α0-=，即tan α2=．()()π5ππsin απcos αtan αsin αsin αtan α244⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-+-=-⋅-⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()22222212sin αtan α4sin α12153sin αcos α3tan α1-=⋅===-+-+-+．故答案为415-．【点睛】本题考查平面向量共线的坐标运算，训练了利用诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值，是基础题． 15．13- 【解析】【分析】由题意，可得出22BD AD DC ==，由向量三角形法则可得出3122AC AD AB =-，再结合AC x AB y AD =+，根据平面向量基本定理，得出x ，y 的值，即可得出答案．【详解】在ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=，过点A 作AB 的垂线交BC 于点D 如图30ABC ∴∠=，2BD AD ∴=，且60ADB ∠=，所以DC AD =22BD AD DC ∴==，()11312222AC AD DC AD BD AD AD AB AD AB ∴=+=+=+-=-，又AC x AB y AD =+，12x ∴=-，32y =13x y ∴=-．故答案为13- 【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量加法减法运算法则，属于向量基本题．16．【分析】设CP x =，ACP BCP α∠=∠=，利用直角三角形的边角关系和余弦定理求得x 和cos α的值，再计算sin ACB ∠以及ABCS 、ACPS和BCP S的值，从而求得ABP 的面积．【详解】如图所示，设CP x =，ACP BCP α∠=∠=，则cos 6x α=，由余弦定理得，2222cos AP AC x x AC α=+-⋅⋅，解得x =cos α=；sin sin22ACB α∴∠===16102ABCS∴=⨯⨯=11023ACPS=⨯⨯=1623BCPS=⨯⨯=20ABPABCACPBCPSSSS∴=--==即ABP 的面积为【点睛】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角形面积计算问题，是中档题． 17．（1）π3（2）20 【解析】【分析】(1)由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2sinBcosC =sinB ，由sinB >0，可求cosC =12，结合范围C ∈(0,π)，可求C 的值；(2)由(1)及三角形面积公式可求ab =40，由余弦定理可求a +b 的值，即可解得△ABC 的周长．【详解】(1)∵(2b −a)cosC =c ⋅cosA ，∴由正弦定理可得：(2sinB −sinA)cosC =sinCcosA ，可得：2sinBcosC =sinAcosC +sinCcosA =sin(A +C)=sinB ， ∵sinB >0， ∴解得：cosC =12， ∵C ∈(0,π)， ∴C =π3，(2)由(1)及已知可得：△ABC 的面积为10√3=12ab ×√32，解得ab =40，∵由余弦定理可得：c 2=a 2+b 2−ab ，可得：49=(a +b)2−3ab =(a +b)2−3×40，解得：a +b =13，∴△ABC 的周长a +b +c =13+7=20 【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 18．（1）=41n a n -（2）129nn +【解析】试题分析：（1）由n a 与n S 之间的关系求出通项公式；（2）求出111()44143n b n n =--+，再用裂项相消法求出前n 项和．试题解析：（1）由22n S n n =+，得当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，1n n n a S S -=- ()()222211n n n n ⎡⎤=+--+-⎣⎦41n =-.所以41n a n =-. （2）11n n n b a a +=()()14143n n =-+ 11144143n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，所以11111[437710n T ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11]4143n n ⎛⎫+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭1114343129n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 19．（1）m 1=-或m 2=；（2）8z 130≤≤. 【分析】利用约束条件画出可行域，()1利用目标函数的最优解求解即可；()2利用目标函数的几何意义，转化求解即可．【详解】作出约束条件的可行域如图：由图形可知：()A 3,1，()B 7,9，()C 1,3；()1z mx y =-+取得最小值的最优解有无数多个，若m 0>，则m 2=；若m 0<，则m 1=-，故m 1=-；所以m 1=-或m 2=．()222z x y =+的几何意义是可行域内的点与()0,0的距离的平方，由图可得：2min z 8==；2max z |OB |130==．8z 130∴≤≤．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数的最值的求法，目标函数的几何意义是解题的关键，考查数形结合以及计算能力． 20．（Ⅰ）a n =n +1,b n =(12)n−1；（Ⅱ）详见解析.【分析】（Ⅰ）根据b n =S n −S n−1，整理可得b n =12b n−1，从而可知{b n }为等比数列，将n =1代入S n +b n =2可求得b 1，根据等比数列通项公式求出b n ；将b 1a 2=3，b 1+a 5=7化为a 1和d 的形式，求解出基本量，根据等差数列通项公式求得a n ；（Ⅱ）利用错位相减法求解出a 1b 2+a 2b 3+⋅⋅⋅+a n b n−1=3−n+32n，由n+32n >0可证得结论.【详解】（Ⅰ）∵S n +b n =2 ∴当n =1时，b 1=S 1=2−b 1 ∴b 1=1 当n ≥2时，b n =S n −S n−1=2−b n −2+b n−1，整理得：b n =12b n−1 ∴数列{b n }是以1为首项，12为公比的等比数列 ∴b n =(12)n−1设等差数列{a n }的公差为d∵b 1a 2=3，b 1+a 5=7 ∴{a 1+d =3a 1+4d =6 ，解得：{a 1=2d =1∴a n =a 1+(n −1)d =2+(n −1)×1=n +1（Ⅱ）证明：设T n =a 1b 2+a 2b 3+⋅⋅⋅+a n b n−1=2×12+3×(12)2+⋅⋅⋅+(n +1)⋅(12)n∴12T n =2×(12)2+3×(12)3+⋅⋅⋅+(n +1)⋅(12)n+1两式相减可得：12T n =1+(12)2+(12)3+⋅⋅⋅+(12)n −(n +1)⋅(12)n+1=1−(n +1)⋅(1)n+1+14(1−12n−1)1−12=3−n +3n+1T n =3−n +32n即a 1b 2+a 2b 3+⋅⋅⋅+a n b n−1=3−n+32n∵n+32n>0 ∴a 1b 2+a 2b 3+⋅⋅⋅+a n b n−1<3【点睛】本题考查等差数列、等比数列通项公式的求解、错位相减法求解数列的前项和的问题，属于常规题型.21．（1）单调递减区间为π5πk π,k π36⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，对称轴方程为()k ππx k Z 23=+∈；（2）π3π,.34⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】()1利用恒等变换公式将()f x 化为πsin 2x 6⎛⎫- ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的单调递减区间和对称轴可得结果；()2利用正弦函数的图象可得实数a 的取值范围．【详解】()()()()11f x cos2x sinx cosx sinx cosx 2=++-+1πcos2x cos2x sin 2x 26⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令ππ3π2k π2x 2k π262+≤-≤+，则π5πk πx k π36+≤≤+，k Z ∈． ()f x ∴的单调递减区间为π5πk π,k π36⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．由()ππ2x k πk Z 62-=+∈得()k ππx k Z 23=+∈． ()f x ∴图象的对称轴方程为()k ππx k Z 23=+∈．()π2x ,a 12⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，πππ2x ,2a 636⎡⎤∴-∈--⎢⎥⎣⎦结合正弦函数图象可知：ππ4π2a 263≤-≤，解得π3πa 34≤≤，实数a 的取值范围是π3π,.34⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质 (1) max min =+y A B y A B =-，. (2)周期2π.T ω=(3)由 ()ππ2x k k +=+∈Z ωϕ求对称轴 (4)由()ππ2π2π22k x k k -+≤+≤+∈Z ωϕ求增区间;由()π3π2π2π22k x k k +≤+≤+∈Z ωϕ求减区间. 22．(1)x 29+y 25=1(2)见解析【解析】【分析】(1)由由题意可得{a =34a 2+259b 2=1 ，解得a 2=9，b 2=5，由此能求出椭圆方程；(2)直线的方程为y =k(x +3)，与椭圆联立，得(5+9k 2)x 2+54k 2x +81k 2−45=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式、直线方程、直线垂直、椭圆性质，结合已知条件能求出定点Q 的坐标．【详解】 (1)由题意可得{a =34a 2+259b 2=1 ，解得a 2=9，b 2=5，则椭圆C 的方程为x 29+y 25=1，(2)直线的方程为y =k(x +3)，得E(0,3k)，联立椭圆方程，消元化简得(5+9k 2)x 2+54k 2x +81k 2−45=0， ∴x A =−3， ∴x D =−27k 2+155+9k 2，∴y D =k(x D +3)=30k5+9k 2， ∴D(−27k 2+155+9k 2,30k5+9k 2)，又∵点P 为AD 的中点，∴P(−27k 25+9k2,15k 5+9k 2)，则k OP =−59k (k ≠0)，假设存在定点Q(m,n)(m ≠0)使得OP ⊥EQ ，则k OP ⋅k EQ =−1，即−59k ⋅n−3k m=−1恒成立，∴k(9m +15)−5n =0恒成立， ∴{5n =09m+15=0，即m =−53，n =0，因此定点Q 的坐标为(−53,0) 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查满足直线与直线垂直的定点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意韦达定理、中点坐标公式、直线方程、直线垂直、椭圆性质的合理运用，是中档题．。

湖南省怀化市2022-2023学年高二上学期期末数学试题含解析

（2）若，数列前项的和为，求．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）将条件两边同时取倒数，然后两边同时减1，可证明等比数列.
（2）利用错位相减法求和即可.
【小问1详解】
由，得，
即，即，
所以数列为等比数列，首项，公比
【小问2详解】
由（1）得，
①
②
①-②，得
21.如图，在直角梯形中，，，平面，，．
（1）求证：；
（2）在直线上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析.
（2）存在， .
【解析】
【分析】(1)证明平面即可；
(2)假设M存在，建立直角坐标系，用向量法求M的坐标即可.
【小问1详解】
如图，作，，连接交于，连接，，
A.“提丢斯数列”是等比数列
B.“提丢斯数列”的第99项为
C.“提丢斯数列”的前31项和为
D.“提丢斯数列”中，不超过20的有9项
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意得，由此利用等比数列的性质即可求出结果.
【详解】记“提丢斯数列”为数列，则当时，，当时，，符合该式，当时，不符合上式，故，故A错误；，故B正确；“提丢斯数列”的前31项和为，故C正确；令，即，得，又，故不超过20的有8项，故D错误.
【详解】（1）设等差数列的公差为，，解得，
因此，数列的通项公式；
（2）设各项均为正数的等比数列的公比为，
，则，，
，，，，即，解得或（舍去），
.

2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷(含解析)

2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由；（℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =，所以正整数n 为8．故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确；在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系，故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误；第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误；令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确；故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得；【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=，故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==，又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ，所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥．因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =，所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ，连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ．又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =；（2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得．【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤，又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =．这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解；（2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<．因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟，所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2，因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===，所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算；（2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=，乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==，所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。

2020-2021学年湖南师范大学附属中学高二上学期期末考试化学试题

湖南省师大附中2020-2021学年高二第一学期期末考试化学试卷时量：75分钟分值：100分可能用到的相对原子质量：Al~27 Cl~35.5一、选择题（共16小题，每小题3分，共48分。

每小题有且仅有一个选项符合题意）1.下列有关化学用语的表达方式中，正确的是（）A.Na+的电子排布图：B.氟离子的核外电子排布式：1s22s2p5C.氯化铵的电子式：D.H2O的电子式：2.关于电子在核外运动状态的描述，下列说法错误的是（）A.电子在原子核外是分层运动的B.在基态多电子原子中，p轨道电子的能量一定高于s轨道电子的能量C.原子核外不可能有两个电子的运动状态是相同的D.原子轨道伸展方向与能量大小无关3.假设N A为阿伏加德罗常数的值。

下列说法正确的是（）A.等物质的量的—OH比OH-所含有的电子总数少N A个B.28 g乙烯与环己烯的混合气体，可能含有3N A个氢原子C.CH4和P4均为正四面体结构，等物质的量的两种物质含有的化学键总数相同D.46 g乙醇含有8N A个σ键4.原子的价电子排布式为3d104s1的元素在周期表中位于（）A.第五周期ⅠB族B.第五周期ⅡB族C.第四周期ⅧB族D.第四周期ⅠB族5.硒（34Se）是人体必需的微量元素，它能有效提高人体免疫机能，抑制癌症和心脑血管等疾病的发病率。

下列有关说法错误的是（）A.硒元素位于元素周期表中第15列B.硒元素原子的价电子排布式为4s24p4C.硒的最高价氧化物对应的水化物的化学式为H2SeO4D.O和Se均为p区非金属元素6.下列说法不正确的是（）A.BF3与SO3互为等电子体l2F2无同分异构体，说明其中碳原子采用sp3方式杂化C.H2CO3与H3PO4的非羟基氧原子数均为1，二者的酸性（强度）非常相近D.Na2O2是由非极性共价键和离子键形成的离子化合物7.关于乙烯分子中的σ键和π键，下列说法不正确的是（）A.中心原子采用sp2杂化B.乙烯分子中有4个σ键和2个π键C.杂化轨道形成σ键，未杂化的2p轨道形成π键D.乙烯分子在发生化学反应时，π键更易断裂8.据报道，近来发现了一种新的星际分子氰基辛炔，其结构简式如下图所示.下列对该物质的判断不正确的是（）A.属于不饱和烃B.能使酸性KMnO4溶液褪色C.所有原子可能在同一条直线上D.可以发生加成反应9.有机化合物（）含有的官能团（不包括苯环）有（）A.7种B.6种C.5种D.4种10.除去下列物质中的杂质（括号中为杂质），采用的试剂和除杂方法错误的是（）选项含杂质的物质试剂除杂方法 A C 2H(SO 2) NaOH 溶液洗气 B NO 2 (HNO 3) NaOH 溶液分液 C C 2H 2 (H 2S) NaOH 溶液洗气 DC 6H 6(Br 2)Fe 粉蒸馏11.《斯德哥尔摩公约》禁用的12种持久性有机污染物之一是滴滴涕，其结构简式为。

2020-2021学年湖南省怀化市高一上期末考试数学试卷及答案解析

2020-2021学年湖南省怀化市高一上期末考试数学试卷一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合A＝{x|x2﹣4x+3＞0}，B＝{x|m＜x≤m+4}，若A∪B＝R，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．[﹣1，+∞）C．[﹣1，2）D．[﹣1，1）2．已知命题p：∀x∈R，ax2+ax+1＞0，命题q：函数y＝﹣（a+1）x是减函数，则命题p成立是q成立的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0）上为减函数，则以下关系正确的是（）A．f（π）＜f（1）＜f（﹣3）B．f（1）＜f（﹣3）＜f（π）C．f（1）＜f（π）＜f（﹣3）D．f（﹣3）＜f（1）＜f（π）4．已知，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b5．函数y＝f（x）为定义在R上的偶函数，且对任意x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2）都有，则下列关系正确的是（）A．f（﹣3）＞f（﹣2）＞f（1）B．f（﹣3）＜f（﹣2）＜f（1）C．f（﹣2）＜f（1）＜f（﹣3）D．f（﹣2）＞f（1）＞f（﹣3）6．已知函数f（x）＝sin（ωx）（ω＞0）在区间（]上单调递增，在区间[，）上单调递减，则ω＝（）A．6k﹣，k∈N B．6k+，k∈N C．D．37．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）＝1﹣2|x+2|，若关于x的方程f2（x）﹣|a+1|f（x）+a2＝0恰好有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则[1﹣f（x1）][1﹣f（x2）][1﹣f（x3）][1﹣f（x4）]的取值范围是（）A．B．C．D．8．网络上盛极一时的数学恒等式“1.0130≈1.4，1.01365≈37.8，1.01730≈1427.6”形象地向我们展示了通过努力每天进步1%，就会在一个月、一年以及两年后产生巨大差异．虽然这是一种理想化的算法，但它也让我们直观地感受到了“小小的改变和时间累积的力量”．小明是一位极其勤奋努力的同学，假设他每天进步2.01%，那么30天后小明的学习成果约为原来的（）倍A．1.69B．1.748C．1.96D．2.8二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．若a，b∈R*，则下列不等式中正确的是（）A．≥B．（）2＞C．+≥2D．（a+b）（）≥410．定义一种运算．设f（x）＝min{4+2x﹣x2，|x﹣t|}（t为常数），且x∈[﹣3，3]，则使函数f（x）最大值为4的t值可以是（）A．﹣2B．6C．4D．﹣411．已知函数f（x）＝2sin（x﹣）cos（x﹣），则（）A．f（x）的最小正周期为2πB．函数f（x）的图象关于（，0）对称C．x＝﹣是函数f（x）图象的一条对称轴D．将函数g（x）＝cos2x﹣sin2x的图象向右平移个单位后得到函数f（x）的图象12．已知符号函数sgn（x）＝，下列说法正确的是（）A．函数y＝sgn（x）是奇函数B．对任意的x≥0，sgn（x）＝1C．对任意的x∈R，x•sgn（x）＝|x|D．y＝2x•sgn（﹣x）的值域为（﹣∞，1）三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．二次函数f（x）＝x2﹣2x+2在区间[0，3]上的最大值为．14．若函数f（x）满足2f（x）﹣f（）＝2x﹣1（x≠0），则f（）＝．15．设函数f（x）＝2cos2x+2sin x cos x+m，当x∈[0，]时，f（x）的值域为[，]，则实数m的值是．16．已知a＝log26，b＝log515，c＝2﹣π，则a，b，c的大小关系为（用“＜”连接）．四．解答题（共6小题，第17题10分，18-22每小题12分，共70分）17．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，（a＞0）；命题q：实数x满足（x﹣3）（2﹣x）≥0．（1）若a＝1，p，q均为真命题，求x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝﹣x2+2x．（1）求函数f（x）在R上的解析式；（2）若f（x）在[﹣2，b）上有最大值，求实数b的取值范围．19．某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本f（x）（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为．（1）写出自变量x的取值范围；（2）为使每吨平均处理成本最低（如处理400吨垃圾时每吨垃圾平均处理成本为），该厂每月处理量垃圾应为多少吨？20．已知函数f（x）＝cos（﹣）sin（+）+cos2．（Ⅰ）若x，求f（x）的递增区间和值域；（Ⅱ）若f（x0）＝，求sin（x0）．21．已知函数f（x）＝．（1）若f（a）＝1，求a的值；（2）若关于x的方程f2（x）+mf（x）+2m+1＝0恰有5个实数根，求m的取值范围．22．已知函数f（x）＝2sin x cos x﹣2sin2x+1．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求f（x）的最小正周期；（Ⅲ）求f（x）在区间上的最小值．2020-2021学年湖南省怀化市高一上期末考试数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合A＝{x|x2﹣4x+3＞0}，B＝{x|m＜x≤m+4}，若A∪B＝R，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．[﹣1，+∞）C．[﹣1，2）D．[﹣1，1）解：∵A＝{x|x2﹣4x+3＞0}＝{x|x＞3或x＜1}，B＝{x|m＜x≤m+4}，若A∪B＝R，∴，解得：﹣1≤m＜1，故选：D．2．已知命题p：∀x∈R，ax2+ax+1＞0，命题q：函数y＝﹣（a+1）x是减函数，则命题p成立是q成立的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解：命题p：∀x∈R，ax2+ax+1＞0，若命题p为真命题，则a＝0或，解得0≤a＜4，命题q：函数y＝﹣（a+1）x是减函数，若命题q为真命题，则﹣（a+1）＜0，解得a ＞﹣1，由0≤a＜4能推出a＞﹣1，反之不成立，故命题p成立是q成立的充分不必要条件，故选：A．3．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0）上为减函数，则以下关系正确的是（）A．f（π）＜f（1）＜f（﹣3）B．f（1）＜f（﹣3）＜f（π）C．f（1）＜f（π）＜f（﹣3）D．f（﹣3）＜f（1）＜f（π）解：依题意，f（x）是定义在R上的偶函数，所以f（﹣3）＝f（3），f（x）在（﹣∞，0）为减函数，故f（x）在（0，+∞）为增函数，所以f（1）＜f（﹣3）＜f（π）．故选：B．4．已知，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a ＜b解：∵，，∴b＞a＞1，∵，∴0＜c＜1，∴c＜a＜b，故选：D．5．函数y＝f（x）为定义在R上的偶函数，且对任意x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2）都有，则下列关系正确的是（）A．f（﹣3）＞f（﹣2）＞f（1）B．f（﹣3）＜f（﹣2）＜f（1）C．f（﹣2）＜f（1）＜f（﹣3）D．f（﹣2）＞f（1）＞f（﹣3）解：因为函数y＝f（x）为定义在R上的偶函数，所以（﹣3）＝f（3），f（﹣2）＝f（2），又因为对任意x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2）都有，所以函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，所以f（3）＜f（2）＜f（1），即f（﹣3）＜f（﹣2）＜f（1）．故选：B．6．已知函数f（x）＝sin（ωx）（ω＞0）在区间（]上单调递增，在区间[，）上单调递减，则ω＝（）A．6k﹣，k∈N B．6k+，k∈N C．D．3解：函数f（x）＝sin（ωx）（ω＞0）在区间（]上单调递增，在区间[，）上单调递减，∴ω•＝2kπ+，且•≥+，•≥﹣，即ω＝6k+，k∈Z，且ω≤，∴ω＝．故选：C．7．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）＝1﹣2|x+2|，若关于x的方程f2（x）﹣|a+1|f（x）+a2＝0恰好有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则[1﹣f（x1）][1﹣f（x2）][1﹣f（x3）][1﹣f（x4）]的取值范围是（）A．B．C．D．解：令t＝f（x），则t2﹣|a+1|t+a2＝0，①若关于x的方程f2（x）﹣|a+1|f（x）+a2＝0有四个不同的根，则方程t2﹣|a+1|t+a2＝0有两个根，设为t1，t2，所以△＝|a+1|2﹣4a2＝﹣3a2+2a+1＞0，解得﹣＜a＜1，所以a+1＞0，且t1+t2＝a2≥0，所以方程①仅在t∈[0，+∞）上有解，当x＜﹣2时，f（x）＝1﹣2﹣（x+2）＝1﹣（）x+2，当﹣2＜x＜0时，f（x）＝1﹣2x+2，根据对称性，得其图象如下：所以当t＝0时，f（x）有3个解，当0＜t＜2时，f（x）＝t有2个解，当t≥3时，f（x）＝t有一个解，（1）若a＝0时，则t2﹣t＝0，解得t1＝0，t2＝1，则f（x）＝0有3个解，f（x）＝1有2个解，所以f（x）＝t共5个解，不合题意（舍去），（2）若a≠0时，则t1t2＝a2＞0，t1+t2＝|a+1|＞0，所以t＞0，要使f（x）＝t1和f（x）＝t2共4个解，则t1，t2∈（0，3），即方程t2﹣（a+1）t+a2＝0，两个根t1，t2∈（0，3），则有△＞0，0＜＜3，且32﹣（a+1）×3+a2＞0，解得﹣＜a＜1，且a≠0，不妨设f（x1）＝f（x2）＝t1，f（x1）f（x2）＝t2，则[1﹣f（x1）][1﹣f（x2）][1﹣f（x3）][1﹣f（x4）]＝（1﹣t1）2（1﹣t2）2＝[（1﹣t1）（1﹣t2）]2＝[1﹣（t1+t2）+t1t2]2，＝[1﹣（a+1）+a2]2＝（a2﹣a）2，a∈（﹣，1），令h（a）＝（a2﹣a）2，a∈（﹣，1），h′（a）＝4a3﹣6a2+2a＝2a（2a﹣1）（2a+1），所以当x∈（﹣，0）时，h′（a）＜0，h（a）单调递减，当x∈（0，）时，h′（a）＞0，h（a）单调递增，当x∈（，1）时，h′（a）＜0，h（a）单调递减，所以h（﹣）＝，h（0）＝0，h（）＝，h（1）＝0，所以h（a）∈（0，），故选：A．8．网络上盛极一时的数学恒等式“1.0130≈1.4，1.01365≈37.8，1.01730≈1427.6”形象地向我们展示了通过努力每天进步1%，就会在一个月、一年以及两年后产生巨大差异．虽然这是一种理想化的算法，但它也让我们直观地感受到了“小小的改变和时间累积的力量”．小明是一位极其勤奋努力的同学，假设他每天进步2.01%，那么30天后小明的学习成果约为原来的（）倍A．1.69B．1.748C．1.96D．2.8解：小明每天进步2.01%，即0.0201，则30天后为1.020130＝（1.012）30＝（1.0130）2≈（1.4）2＝1.96．∴30天后小明的学习成果约为原来的1.96倍．故选：C．二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．若a，b∈R*，则下列不等式中正确的是（）A．≥B．（）2＞C．+≥2D．（a+b）（）≥4解：由基本不等式可知，当且仅当a＝b时等号成立，选项A 成立；取a＝2，b＝4，则，此时，选项B错误；由基本不等式可知：，当且仅当a＝b时等号成立，选项C成立；，当且仅当a＝b时等号成立，选项D成立；故选：ACD．10．定义一种运算．设f（x）＝min{4+2x﹣x2，|x﹣t|}（t为常数），且x∈[﹣3，3]，则使函数f（x）最大值为4的t值可以是（）A．﹣2B．6C．4D．﹣4解：y＝4+2x﹣x2在x∈[﹣3，3]上的最大值为4，所以由4+2x﹣x2＝4，解得x＝2或x＝0，所以要使函数f（x）最大值为4，则根据定义可知，当t＜1时，即x＝2时，|2﹣t|＝4，此时解得t＝﹣2，当t＞1时，即x＝0时，|0﹣t|＝4，此时解得t＝4，故t＝﹣2或4，故选：AC．11．已知函数f（x）＝2sin（x﹣）cos（x﹣），则（）A．f（x）的最小正周期为2πB．函数f（x）的图象关于（，0）对称C．x＝﹣是函数f（x）图象的一条对称轴D．将函数g（x）＝cos2x﹣sin2x的图象向右平移个单位后得到函数f（x）的图象解：由函数f（x）＝2sin（x﹣）cos（x﹣）＝sin（2x﹣），可得周期T＝，故A错误；令x＝，可得f（）＝sin（2×﹣）＝0，∴函数f（x）的图象关于（，0）对称，故B正确；令2x﹣＝，k∈Z，可得x＝，当k＝﹣2时，可得x＝﹣，∴x＝﹣是函数f（x）图象的一条对称轴，故C正确；由函数g（x）＝cos2x﹣sin2x＝cos2x＝sin（2x+）的图象向右平移个单位，得到y＝sin[2（x）+]＝sin（2x﹣），即得到函数f（x）的图象，故D正确；故选：BCD．12．已知符号函数sgn（x）＝，下列说法正确的是（）A．函数y＝sgn（x）是奇函数B．对任意的x≥0，sgn（x）＝1C．对任意的x∈R，x•sgn（x）＝|x|D．y＝2x•sgn（﹣x）的值域为（﹣∞，1）解：sgn（x）＝的图象如图所示，图象关于原点对称，为奇函数，A正确；当x＝0时，x＝0，sgn（x）＝0，当x＞0时，x＞0，sgn（x）＝1，B错误；因为x•sgn（x）＝＝|x|，C正确；因为y＝2x sgn（﹣x）＝其值域为[0，1）∪（﹣∞，﹣1]，D不正确．故选：AC．三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．二次函数f（x）＝x2﹣2x+2在区间[0，3]上的最大值为5．解：函数的对称轴想x＝1，故f（x）在[0，1）递减，在（1，3]递增，故f（x）max＝f（3）＝5，故答案为：5．14．若函数f（x）满足2f（x）﹣f（）＝2x﹣1（x≠0），则f（）＝1．解：根据题意，函数f（x）满足2f（x）﹣f（）＝2x﹣1（x≠0），令x＝2可得：2f（2）﹣f（）＝3，①令x＝可得：2f（）﹣f（2）＝0，②联立①②可得：f（）＝1，故答案为：1．15．设函数f（x）＝2cos2x+2sin x cos x+m，当x∈[0，]时，f（x）的值域为[，]，则实数m的值是．解：函数f（x）＝2cos2x+2sin x cos x+m＝2×+sin2x+m＝2sin（2x+）+1+m，当x∈[0，]时，2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，2sin（2x+）∈[﹣1，2]，f（x）∈[m，3+m]．∵已知f（x）的值域为[，]，则实数m＝，故答案为：．16．已知a＝log26，b＝log515，c＝2﹣π，则a，b，c的大小关系为c＜b＜a（用“＜”连接）．解：∵log26＞log24＝2，1＝log55＜log515＜log525＝2，2﹣π＜20＝1，∴c＜b＜a．故答案为：c＜b＜a．四．解答题（共6小题，第17题10分，18-22每小题12分，共70分）17．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，（a＞0）；命题q：实数x满足（x﹣3）（2﹣x）≥0．（1）若a＝1，p，q均为真命题，求x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解：由题意得，当p为真命题时，a＜x＜3a；当q为真命题时，2≤x≤3，（1）若a＝1，p，q均为真命题，则，得2≤x＜3，故x的取值范围为[2，3）；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，则，解得1＜a＜2，故实数a的取值范围是（1，2）．18．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝﹣x2+2x．（1）求函数f（x）在R上的解析式；（2）若f（x）在[﹣2，b）上有最大值，求实数b的取值范围．解：（1）根据题意，f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）＝0，若x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）＝﹣（﹣x）2+2（﹣x）＝﹣x2﹣2x，又由f（x）为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝x2+2x，综合可得：f（x）＝，（2）根据题意，由（1）的结论，f（x）＝，其草图如图：若f（x）在[﹣2，b）上有最大值，即函数图象在区间[﹣2，b）上有最高点，必有﹣2＜b≤0或b＞1，故b的取值范围为：（﹣2，0]∪（1，+∞）．19．某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本f（x）（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为．（1）写出自变量x的取值范围；（2）为使每吨平均处理成本最低（如处理400吨垃圾时每吨垃圾平均处理成本为），该厂每月处理量垃圾应为多少吨？解：（1）由题意可得，300≤x≤600；（2）∵，∴每吨平均处理成本w＝，当且仅当，即x＝400吨时，上式等号成立．∴该厂每月处理垃圾应为400吨．20．已知函数f（x）＝cos（﹣）sin（+）+cos2．（Ⅰ）若x，求f（x）的递增区间和值域；（Ⅱ）若f（x0）＝，求sin（x0）．解：（Ⅰ）f（x）＝cos（﹣）sin（+）+cos2＝sin cos+cos2＝sin+×＝sin（+）+，令2kπ﹣≤+≤2kπ+，k∈Z，解得3kπ﹣≤x≤3kπ+，k∈Z，又x②，当k＝0时，由①可得x∈[﹣，]，与②取交集可得x∈[﹣，]，所以f（x）的递增区间为[﹣，]，若x，则+∈[0，π]，所以sin（+）∈[0，1]，可得f（x）＝sin（+）+∈[，1+]．即f（x）的值域为[，1+]．（Ⅱ）若f（x0）＝sin（+）+＝，可得sin（+）＝，cos（+）＝±，所以sin（x0）＝sin[（+）﹣]＝sin（+）cos﹣cos（+）sin＝（±×）＝．21．已知函数f（x）＝．（1）若f（a）＝1，求a的值；（2）若关于x的方程f2（x）+mf（x）+2m+1＝0恰有5个实数根，求m的取值范围．解：（1）若a＜0，则f（a）＝lg（﹣a）＝1，解得a＝﹣10；若a≥0，则f（a）＝|e a﹣2|＝1，解得a＝0或ln3．故a的值为0或﹣10或ln3．（2）由题可知，当x＜0时，f（x）单调递减，且f（x）∈R；当0≤x＜ln2时，f（x）单调递减，且f（x）∈（0，1]；当x≥ln2时，f（x）单调递增，且f（x）∈[0，+∞）．关于x的方程f2（x）+mf（x）+2m+1＝0恰有5个实数根，如图，等价于关于t的方程t2+mt+2m+1＝0有2个不相等的实数根t1，t2，不妨设t1＞t2，则，．令h（t）＝t2+mt+2m+1，若t1＞1，0＜t2＜1，则，即，不等式无解；若t1＞1，t2＝1，则，即，不等式无解；若t2＝0，0＜t1≤1，则，即，解得．故m的取值范围是．22．已知函数f（x）＝2sin x cos x﹣2sin2x+1．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求f（x）的最小正周期；（Ⅲ）求f（x）在区间上的最小值．解：（Ⅰ）f（x）＝2sin x cos x﹣2sin2x+1＝sin2x+cos2x＝；所以f（）＝sin（+）＝×＝1；（或直接求）（II）所以f（x）的最小正周期为；（III）由，得，所以；当2x+＝﹣，即x＝﹣时，f（x）取得最小值为．。

金牌模拟试卷(二)(解析版)-2020-2021学年高二数学下学期第一次月考金牌模拟试卷

2020-2021高二下学期第一次月考金牌模拟试卷（二）注意事项：1.本试卷共6页，包含单项选择题（第1题～第8题，共40分）、多项选择题（第9题～第12题，共20分）、填空题（第13题～第16题，共20分）和解答题（第17题～第22题，共70分）四部分.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡、试卷和草稿纸的指定位置上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨水的签字笔将答案写在答题卡上.写在本试卷或草稿纸上均无效.4.考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）1．已知i 是虚数单位，复数12z i =-的虚部为（）A ．2-B ．2C ．2i -D ．1【答案】A【分析】根据复数的概念可得出结论.【详解】复数12z i =-的虚部为2-.故选：A.2．一个物体的运动方程为21s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A ．7米/秒B ．6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒【答案】C【分析】根据导数的物理意义可求得结果.【详解】根据导数的物理意义可知物体在3秒末的瞬时速度是21s t t =-+在3t =时的导数值，因为12s t '=-+，所以物体在3秒末的瞬时速度是1235-+⨯=米/秒.故选：C3．()()444i i i -+=（）A ．815i -B ．15iC ．815i +D ．15i - 【答案】A【分析】由41i =，结合复数代数形式的乘法运算，即可化简复数.【详解】()()()()444144815i i i i i i -+=-+=-.故选：A ．4．函数y ＝(x 2－1)n 的复合过程正确的是（）A ．y ＝u n ，u ＝x 2－1B ．y ＝(u －1)n ，u ＝x 2C ．y ＝t n ，t ＝(x 2－1)nD ．y ＝(t －1)n ，t ＝x 2－1【答案】A【分析】直接根据函数的结构，找到内层函数和外层函数即可得解.【详解】函数y ＝(x 2－1)n ，可由y ＝u n ，u ＝x 2－1，利用复合函数求导.故选：A.5．已知i 是虚数单位，在复平面内，复数2i -+和13i -对应的点之间的距离是（）A B C ．5 D ．25【答案】C【分析】根据复数的几何意义，分别得到两复数对应点的坐标，再由两点间距离公式，即可得出结果.【详解】由于复数2i -+和13i -对应的点分别为()2,1-，()1,3-，5=.故选：C.6．将一个边长为a 的正方形铁片的四角截去四个边长相等的小正方形，做成一个无盖方盒．若该方盒的体积为2，则a 的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．【答案】C【分析】设出小正方形的边长，表示出方盒的体积，然后求导，判断出单调性，然后求解最大值即可.【详解】设截去的小正方形边长为x ，则方盒高为x ，底边长为2a x -，所以()22,0,2a V a x x x ⎛⎫=-⋅∈ ⎪⎝⎭，则()224(2)(2)(6)V a x x a x x a x a '=-+-=--，令0V '=，得2a x =（舍）或6a x =，当06a x <<时，0V '>，单调递增；当62a a x <<时，0V '<，单调递减；由题意，则23max2263627a a a a V V a ⎛⎫⎛⎫==-⋅=≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a ≥，故a 的最小值为3. 故选：C.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．7．在复平面xOy 内，复数z 对应的向量()1,1OZ =-，z 是复数z 的共轭复数，i 为虚数单位，则复数2z z +的虚部是（）A ．1B ．-1C ．i -D ．-3【答案】B【分析】先求出z ，再求出2z z +，从而可求2z z +的虚部.【详解】因为复数z 对应的向量()1,1OZ =-，故1z i =-，故1z i =+，故()22111z z i i i +=-++=-，其虚部为1-，故选：B.8．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，函数()f x 的导函数为()'f x ，且当[0,)x ∈+∞时，()sin ()cos ()f x x f x x ef x ''<-，e 为自然对数的底数，则函数()f x 在R 上的零点个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】为了利用条件()sin ()cos ()f x x f x x ef x ''<-，构造函数()(cos )()g x x e f x =-即可. 【详解】由()sin ()cos e ()f x x f x x f x ''<-，得(cos e)()()sin 0x f x f x x '-->.令()(cos )()g x x e f x =-，因为cos 0x e -≠，所以()0f x =等价于()0g x =.当[0,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在[0,)+∞上单调递增，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()(cos )()g x x e f x =-也是定义在R 上的奇函数，从()g x 在R 上单调递增，又(0)0g =，所以()g x 在R 上只有1个零点，从而可得()f x 在R 上只有1个零点.故选：B.二、多项选择题：（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）9．设123,,z z z 为复数，10z ≠．下列命题中正确的是（）A ．若23z z =，则23z z =±B ．若1213z z z z =，则23z z =C ．若23z z =，则1213z z z z =D ．若2121z z z =，则12z z = 【答案】BC【分析】取特殊值法可判断AD 错误，根据复数的运算及复数模的性质可判断BC.【详解】由复数模的概念可知，23z z =不能得到23z z =±，例如23,11i i z z =+=-，A 错误；由1213z z z z =可得123()0z z z -=，因为10z ≠，所以230z z -=，即23z z =，B 正确；因为2121||||z z z z =，1313||||z z z z =，而23z z =，所以232||||||z z z ==，所以1213z z z z =，C 正确；取121,1z i z i =+=-，显然满足2121z z z =，但12z z ≠，D 错误. 故选：BC10．已知函数()f x 及其导数()'f x ，若存在0x ，使得()()00f x f x '=，则称0x 是()f x 的一个“巧值点”．下列函数中，有“巧值点”的是（）A ．2()f x x =B ．()x f x e -=C ．()ln f x x =D ．1()f x x= 【答案】ACD【分析】利用“巧值点”的定义，逐个求解方程()()00f x f x '=判断即可【详解】在A 中，若2()f x x =，则()2f x x '=，则22x x =，这个方程显然有解，故A 符合要求；在B 中，若()xf x e -=，则111()ln x x x f x e e e e -'⎡⎤⎛⎫⎛⎫===-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦'，即x x e e --=-，此方程无解，故B 不符合要求；在C 中，若()ln f x x =，则1()f x x '=，由1ln x x=，令ln y x =，1y x =（0x >），作出两函数的图像如图所示，由两函数图像有一个交点可知该方程存在实数解，故C 符合要求；在D 中，若1()f x x =，则21()f x x '=-，由211x x=-，可得1x =-，故D 符合要求．故选：ACD ．11．已知i 为虚数单位，下面四个命题中是真命题的是（）A ．342i i +>+B ．24(2)()a a i a R -++∈为纯虚数的充要条件为2a =C ．()2(1)12z i i =++的共轭复数对应的点为第三象限内的点 D ．12i z i +=+的虚部为15i 【答案】BC【分析】根据复数的相关概念可判断A ，B 是否正确，将()2(1)12z i i =++展开化简可判断C 选项是否正确；利用复数的除法法则化简12i z i+=+，判断D 选项是否正确.【详解】对于A ，因为虚数不能比较大小，故A 错误；对于B ，若()242a a i ++-为纯虚数，则24020a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得2a =，故B 正确；对于C ，()()()211221242z i i i i i =++=+=-+，所以42z i =--对应的点为()4,2--位于第三象限内，故C 正确；对于D ，()()()()12132225i i i iz i i i +-++===++-，虚部为15，故D 错误．故选：BC ．12．已知函数()2tan f x x x =+，其导函数为()'f x ，设()()cos g x f x x '=，则（） A ．()f x 的图象关于原点对称 B ．()f x 在R 上单调递增C ．2π是()g x 的一个周期D ．()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的最小值为【答案】AC【分析】对A ：求出()f x 的定义域，再利用奇偶性的定义判断即可；对B ：利用()f x 的导数可判断；对C ：计算(2)g x π+，看是否等于()g x 即可；对D ：设cos t x =，根据对勾函数的单调性可得最值.【详解】()2tan f x x x =+的定义域是,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣，其定义域关于坐标原点对称，且()2tan()2tan (2tan )()f x x x x x x x f x -=-+-=--=-+=-，所以()f x 是奇函数，所以()f x 的图象关于原点对称，故A 项正确；由()2tan f x x x =+，得22()1cos f x x '=+，则2()()cos cos cos g x f x x x x'==+． 22()10cos f x x '=+>恒成立，所以()f x 在,()22k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭上单调递增，并不是在R 上单调递增，故B 项错误；由2()cos cos g x x x =+，得函数()g x 的定义域是,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣22(2)cos(2)cos ()cos(2)cos g x x x g x x x πππ+=++=+=+，故C 项正确；设cos t x =，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，(0,1)t ∈，此时()2()h t g x t t==+，(0,1)t ∈，根据对勾函数的单调性，()h t 在(0,1)上单调递减， ()()13g x h ∴>=，故D 项错误.故选：AC ．三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．复数1z ，2z 满足121z z ==，12z z -=，则12z z +=______.【答案】1【分析】根据复数的运算法则，进行计算即可．【详解】解：12||||1z z ==，12||-=z z ， ∴221122||2||3z z z z -+=，122231z z ∴=-=-；12||1z z ∴+=．故答案为：1．14．曲线2y lnx x =-在1x =处的切线的倾斜角为α，则sin 2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭___________. 【答案】10【分析】对函数求导代入，即可得出tan 3(0)2παα=<<，进而可得结果.【详解】1212,|3x y y x x ='+'==则tan 3(0),sin cos 22ππαααα=<<∴+===（）15．若复数z 1＝1＋3i ，z 2＝－2＋ai ，且z 1＋z 2＝b ＋8i ，z 2－z 1＝－3＋ci ，则实数a ＝________，b ＝________，c ＝________．【答案】5 -1 2【分析】根据复数的加法法则和减法法则分别求出z 1＋z 2，z 2－z 1，再根据复数相等的定义得到方程组，解出即可.【详解】z 1＋z 2＝(1－2)＋(3＋a )i ＝－1＋(3＋a )i ＝b ＋8i ，z 2－z 1＝(－2－1)＋(a －3)i ＝－3＋(a －3)i ＝－3＋ci ，所以1383b a a c =-⎧⎪+=⎨⎪-=⎩，解得152b a c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩.故答案为： 5；-1；2.16．已知()32f x x x =+，()2,01ln ,02x e x g x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，若函数()()y f g x m =+(m 为实数)有两个不同的零点1x ，2x ，且12x x <，则21x x -的最小值为___________. 【答案】11ln 22+【分析】由题可知()()0f g x m +=有两个不等实根，设()g x t =，则()f t m =-，根据()f x 在R 上单调递增，结合()g x 的图像可知，()g x t =在(]0,1t ∈上有两个不同的实根，即1221ln 2x e x t =+=，构造函数12211()ln 2t h t x x e t -=-=-，利用导数研究函数的最小值，即可求解. 【详解】()32f x x x =+，求导()2320f x x '=+>，()f x ∴在R 上单调递增.函数()()y f g x m =+有两个不同零点，等价于方程()()0f g x m +=有两个不等实根.设()g x t =，则()f t m =-，又()f x 在R 上单调递增，作出函数()g x 的图像，则问题转化为()g x t =在(]0,1t ∈上有两个不同的实根1x ，2x ，12x x < 则1221ln 2x e x t =+=，则11ln 2x t =，122t x e -=，12211ln 2t x x e t --=-. 设121()ln 2t h t e t -=-，(]0,1t ∈，则()1212t h t e t -'=-，()122102t h t e t -''=+> ()h t '∴在(]0,1t ∈上单调递增，且102h ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，由零点存在性定理知，()0h t '=在(]0,1t ∈上有唯一零点，故()h t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()min 111ln 222h t h ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭. 故答案为：11ln 22+【点睛】思路点睛：本题考查利用导数研究函数的零点及最值，利用导数研究方程的根(函数的零点)的策略，研究方程的根或曲线的交点个数问题，可构造函数，转化为研究函数的零点个数问题，可利用导数研究函数的极值、最值、单调性、变化趋势等，从而画出函数的大致图象，然后根据图象判断函数的零点个数．四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．已知复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i (m ∈R )．（1）若复数z 是实数，求实数m 的值；（2）若复数z 是虚数，求实数m 的取值范围；（3）若复数z 是纯虚数，求实数m 的值；（4）若复数z 是0，求实数m 的值．【答案】（1）m ＝5或－3；（2）{m |m ≠5且m ≠－3}；（3）m ＝－2；（4）m ＝－3.【分析】（1）利用虚部等于零列方程求解即可；（2）利用虚部不等于零列不等式求解即可；（3）利用实部等于零且虚部不等于零求解即可；（4）利用实部等于零且虚部等于零求解即可【详解】（1）当m 2－2m －15＝0时，复数z 为实数，所以m ＝5或－3.（2）当m 2－2m －15≠0时，复数z 为虚数．所以m ≠5且m ≠－3.所以实数m 的取值范围为{m |m ≠5且m ≠－3}．（3）当222150,560m m m m ⎧--≠⎨++=⎩时，复数z 是纯虚数，所以m ＝－2. （4）当222150,560m m m m ⎧--=⎨++=⎩时，复数z 是0，所以m ＝－3.18．求下列函数的导数.（1）sin y x x =+；（2）2ln 1x y x =+. 【答案】（1）cos 1x +；（2）()22221211x x nx x x +-+.【分析】根据导数的运算法则进行求导即可．【详解】（1）函数的导数：(sin )cos 1y x x x '''=+=+；（2）函数的导数：()()()2222222111212111x nx x x x nx x y x x x +-⋅+-'==++. 【点睛】本题主要考查导数的计算，结合导数的公式以及运算法则是解决本题的关键，比较基础．19．已知复数112z i =-，234z i =+，i 为虚数单位.（1）若复数12z az +，在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围；（2）若12z z z =，求z 的共轭复数【答案】（1）11(,)32-；（2）1255i -+ 【分析】（1）化简复数12(13)(42)z az a a i +=++-，再由复数12z az +在复平面上对应的点在第四象限，列出不等式组，即可求解；（2）由复数的除法运算法则，化简得1255z i =--，再根据共轭复数的概念，即可求解. 【详解】（1）由题意，复数1212,34z i z i =-=+，则1212(34)(13)(42)z az i a i a a i +=-++=++-因为复数12z az +在复平面上对应的点在第四象限，所以130420a a +>⎧⎨-<⎩，解得1132a -<<，即实数a 的取值范围11(,)32-. （2）由()()()()12123412510123434342555i i z i i z i z i i i -----=====--++-，所以1255z i =-+. 【点睛】与复数的几何意义相关问题的一般步骤：（1）先根据复数的运算法则，将复数化为标准的代数形式；（2）把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据复数(,)a bi a b R +∈与复平面上的点(,)a b 一一对应，列出相应的关系求解.20．已知函数3()f x x ax =-在[4,)+∞上为增函数，求a 的取值范围. 【答案】(,48]-∞【分析】由()f x 在区间[4,)+∞上为增函数，可得()0f x '在[4,)+∞上恒成立，即23a x 在[4,)+∞上恒成立，从而可得答案．【详解】因为()23f x x a ='-，且()f x 在区间[4,)+∞上为增函数，所以()0f x '在[4,)+∞上恒成立，即230x a -在[4,)+∞上恒成立，所以23a x 在[4,)+∞上恒成立，因为2234834x ≥⨯=所以48a ，即a 的取值范围为(,48]-∞．21．新冠肺炎疫情发生后，政府为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额x (万元)在[]4,8x ∈的小微企业做统一方案，方案要求同时具备下列两个条件：∈补助款()f x (万元)随企业原纳税额x (万元)的增加而增加；∈补助款不低于原纳税额的50%.经测算政府决定采用函数模型()44x m f x x=-+(其中m 为参数)作为补助款发放方案. （1）判断使用参数12m =是否满足条件，并说明理由；（2）求同时满足条件∈∈的参数m 的取值范围.【答案】（1）满足，理由见解析；（2）[]4,12-.【分析】（1）当12m =，求得()'0f x >，得到()f x 在[]4,8x ∈为增函数，又由121442x x x -+≥，结合二次函数的性质，即可得到答案；（2）求得224'()4x m f x x+=，分类讨论求得函数的单调性，得到4m ≥-，再由不等式44x m x +≤在[]4,8上恒成立，求得12m ≤，即可求解.【详解】（1）当12m =时，所以12()44x f x x =-+，可得2112'()04f x x=+>，所以函数()f x 在[]4,8x ∈为增函数，满足条件①；又由不等式121442x x x -+≥，可化为216480x x -+≤，设()21648g x x x =-+，可得对称轴为8x =且在()4,8x ∈为递减函数且()40g =，所以121()442x f x x x =-+≥恒成立，综上可得，当使用参数12m =时满足条件；（2）由函数()44x m f x x =-+，可得22214'()44m x m f x x x+=+=，所以当0m ≥时，()'0f x ≥满足条件①，当0m <时，由()'0f x =，可得x =当)x ⎡∈+∞⎣时，()'0f x ≥，()f x 单调递增，所以4≤，解得40m -≤<，综上可得，4m ≥-，由条件①可知，()2x f x ≥，即不等式44x m x +≤在[]4,8上恒成立，等价于22114(8)1644m x x x ≤-+=--+. 当4x =时，21(8)164y x =--+取最小值12，所以12m ≤，综上，参数m 的取值范围是[]4,12-.【点睛】本题主要考查函数的实际应用，以及导数在函数的中的应用，其中解答中正确理解题意，结合导数求得函数的单调性是解答的关键，着重考查推理与运算能力.22．已知数列()*11n n a n n ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N . （1）证明：n a e <(*n ∈N ，e 是自然对数的底数)；（2）若不等式()*11,0n a e n a n +⎛⎫+≤∈> ⎪⎝⎭N 成立，求实数a 的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）最大值为11ln 2-. 【分析】（1）将所要证明的不等式转化为证明()()()ln 101f x x x x =+-<≤在区间(]0,1上小于零，利用导数研究()f x 在区间(]0,1上的单调性和最值，由此证得结论成立.（2）将不等式()*11,0n a e n a n +⎛⎫+≤∈> ⎪⎝⎭N 成立，转化为()()()ln 1011x g x x x ax =+-<≤+在区间(]0,1上()0g x ≤恒成立，利用导数研究()g x 的单调性，结合对a 进行分类讨论，求得a 的取值范围，由此求得a 的最大值.【详解】（1）要证()*11ne n n ⎛⎫+<∈ ⎪⎝⎭N 成立，两边取对数：只需证明11ln 1n n⎛⎫+< ⎪⎝⎭成立，令1x n=，01x <≤，构造函数()()()ln 101f x x x x =+-<≤，即只需证明函数()f x 在区间(]0,1上小于零，由于()1x f x x =-+'，在区间(]0,1上，()0f x '<，函数()f x 单调递减，且()00f =，所以在区间(]0,1上函数()0f x < 所以不等式()*11ne n n ⎛⎫+<∈ ⎪⎝⎭N 成立；（2）对于不等式()11n a e n n +*⎛⎫+≤∈ ⎪⎝⎭N ，两边取对数：只需不等式11ln 1n n a⎛⎫+≤ ⎪+⎝⎭成立，令1x n=，01x <≤，构造函数()()()ln 1011x g x x x ax =+-<≤+，不等式()11n a e n n +*⎛⎫+≤∈ ⎪⎝⎭N 成立，等价于在区间(]0,1上()0g x ≤恒成立其中，()222(21)(1)(1)a x a x g x x ax +-=++' 由分子22(21)0a x a x +-=，得其两个实数根为10x =，2212a x a -=；当12a ≥时，20x ≤，在区间(]0,1上，()0g x '>，函数()g x 单调递増，由于()()00g x g >=，不等式不成立112a <<时，()20,1x ∈，在区间()20,x 上()0g x '<，在区间()2,1x 上()0g x '>；函数()g x 在区间()20,x 上单调递减，在区间()2,1x 上单调递增；且()00g =，只需()11ln 201g a =-≤+，得11ln 2a ≤-111ln 2a -<≤-时不等式成立当01a <≤时，21x ≥，在区间(]0,1上，()0g x '<，函数()g x 单调递减，且()()00g x g <=，不等式恒成立综上，不等式(),011n a a e n n +*⎛⎫+≤∈ ⎪⎝⎭>N 成立，实数a 的最大值为11ln 2-. 【点睛】可将不等式恒成立问题，转化为函数最值来求解，要注意导数的工具性作用.。

2024学年湖南省怀化市重点中学高三5月模拟(一模)考试数学试题

2024学年湖南省怀化市重点中学高三5月模拟（一模）考试数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，设n n b c a =，12n n T c c c =+++()*n ∈N ，则当2020n T <时，n 的最大值是（）A ．8B ．9C ．10D ．112．运行如图所示的程序框图，若输出的i 的值为99，则判断框中可以填（）A ．1S ≥B ．2S >C ．lg99S >D ．lg98S ≥3．从抛物线24y x =上一点P (P 点在x 轴上方)引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且||5PM =，设抛物线的焦点为F ，则直线MF 的斜率为（）A ．2-B ．2C ．43-D ．434．已知幂函数()f x x α=的图象过点(3,5)，且1a e α⎛⎫= ⎪⎝⎭，3b α=，1log 4c α=，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．c a b <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．c b a <<5．已知m 为实数，直线1l ：10mx y +-=，2l ：()3220m x my -+-=，则“1m =”是“12//l l ”的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．如图，在ABC ∆中， 13AN AC =，P 是BN 上的一点，若23mAC AP AB =-，则实数m 的值为（）A ．13B ．19C ．1D ．27．已知等差数列{}n a 中，若5732a a =，则此数列中一定为0的是（） A ．1aB ．3aC ．8aD ．10a8．将3个黑球3个白球和1个红球排成一排，各小球除了颜色以外其他属性均相同，则相同颜色的小球不相邻的排法共有（） A ．14种B ．15种C ．16种D ．18种9．如图所示，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（）A 21- B 21+ C 61- D ．31210．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有 A ．72种B ．36种C ．24种D ．18种11．阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统.学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅读半个小时中国四大名著：《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有（） A ．120种B ．240种C ．480种D ．600种12．设x ∈R ，则“327x <”是“||3x <”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖南省怀化市2022-2023学年高二上学期开学考试数学试题

高二数学考试注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一册占20%，必修第二册占60%，选择性必修第一册第一章占20%。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}A x x a =<，{}03B =，，若B A ，则a 的取值范围是（）A.{}3a a ≥B.{}3a a >C.{}0a a >D.{}0a a ≥2.已知复数z 满足13i z z+=+，则z =（）A.5B.4C.3D.23.已知单位向量a ，b 满足()()124a b a b +⋅-=-，则a b ⋅=（） A.14B.34C.23D.124.冈珀茨模型()bt y k a =⋅是由冈珀茨（Gompertz ）提出的，可作为动物种群数量变化的模型，也可用于描述种群的消亡规律.已知某珍稀物种t 年后的种群数量y 近似满足冈珀茨模型 1.4e 0.1250e ty k -=⋅（00k >，当0t =时表示2022年初的种群数量），经过n 年后()n ∈N ，当该物种的种群数量不足2022年初种群数量的20%时，即将有濒临灭绝的危险，则n 的最小值为（参考数据：ln5 1.5625≈）（） A.10B.11C.12D.135.在四棱锥P ABCD -中，()1,2,2PA =-，()1,2,3AB =-，()0,1,2AC =-，则该四棱锥的高为（）A.6.已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，定义域均为[]1,1-，二者在[]0,1上的图象如图所示，则关于x 的不等式()()0f x g x <的解集为（）A. 111,0,22⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B.11,00,22⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C.11,0,122⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. 111,,122⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭7.在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知22223c b a +=,则sin A 的最大值为（）A.3D798.已知甲箱有2个红球和2个白球，乙箱有3个红球和3个白球，现任选1个箱子并从中任取1个球，记下球的颜色后将球放入另1个箱子内，再任选1个箱子并任取1个球，若两次取出的球的颜色相同为“成功”，则（）A 两次都从甲箱取球时“成功”的概率最大B 两次都从乙箱取球时“成功”的概率最大C 先从甲箱取球再从乙箱取球时“成功”的概率最大D 先从乙箱取球再从甲箱取球时“成功"”的概率最大二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.已知空间中三点()2,1,1A -，()1,0,2B ，()0,3,1C -，则（）A.11AB =B.AB AC ⊥C.cos 19ABC ∠=D.A ，B ，C 三点共线10.小军进人高一后的12次数学考试成绩如下：110，95，90，102，120，100，110，115，98，125，106，130，则（） A 这12次数学考试成绩的极差为40 B.这12次数学考试成绩的众数为110C 这12次数学考试成绩的50%分位数比40%分位数多5D.在这12次数学考试成绩中，12011.已知1a >，2b >，且21ab a b =+-，则（） A.a b +有最小值5B.a b +有最小值6C.ab有最大值3+ D.ab有最小值3+12.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，中，E 为11A D 的中点，F 为底面ABCD 上一动点，且EF 与底面ABCD 所成的角为60°，则（） A.动点F的轨迹周长为9B.动点F的轨迹周长为3C.直线EF 与直线BC所成角的余弦值的取值范围为0,4⎡⎢⎣⎦D.直线EF 与直线BC所成角的余弦值的取值范围为0,3⎡⎢⎣⎦三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知空间向量()1,1,2a =，()3,1,1b =-，()2,2,c m =-，若a ，b ，c 共面，则m =______.14.现有一组数据1，2，3，4，5，若将这组数据随机删去两个数，则剩下数据的平均数大于3的概率为______. 15.在四面体ABCD中，AB =2BC =，CD AD ==AB BC ⊥，则几何体ABCD 的外接球的体积为______.16.如图，在四边形ABCD 中，AB AD ⊥，CD CB ⊥，60ABC ∠=°，2AB =，AD =E 为线段CD的中点，F 为线段AB 上一动点，且EFDA CB λμ=+，则λ的最大值与最小值的比值为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10分）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知1a =，2sin cos sin B A b A =. （1）求A ；（2）若2sin 3sin sin A B C =，求ABC △的周长. 18.（12分）某校举办传统文化知识竞赛，从该校参赛学生中随机抽取100名学生，根据他们的竞赛成绩（满分：100分），按[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中a 的值；（2）试估计本次竞赛成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（3）该校准备对本次竞赛中分数位于前20%的学生颁发荣誉证书，试问获得荣誉证书的学生分数不低于多少？ 19.（12分）如图，已知圆锥的顶点为P ，底面圆O 的直径AB 长为4，点C 是圆上一点，45BOC ∠=°，点D 是劣弧AC 上的一点，平面PCD平面1PAB =，且l AB ∥.（1）证明：平面POC ⊥平面POD . （2）当三棱锥P OCD -的体积为43时，求点B 到平面PCD 的距离. 20.（12分）为有效控制我国儿童和青少年近视发病率，提高儿童和青少年的视力健康水平，教育部发文鼓励和倡导学生积极参加乒兵球、羽毛球等有益于眼肌锻炼的体育活动.某学校提倡学生利用暑期的早上和晚上参加体育锻炼活动，已知甲、乙两位同学都选择羽毛球作为暑期的体育锻炼活动，这两位同学过去30天的安排如下表：假设甲、乙每天的选择相互独立，用频率代替概率.（1）在过去的30天内任取一天，求甲同学在这一天中参加了羽毛球活动的概率；（2）只考虑早上和晚上参加体育缎炼活动的情况，且早上和晚上都参加体育锻炼活动视为参加了2次锻炼，求甲、乙两位同学在一天中参加锻炼的次数之和为2的概率. 21.（12分）如图，在几何体ABCDEF 中，平面CDEF ⊥平面ABCD ，60EAD ∠=°.四边形CDEF 为矩形.在四边形ABCD中，AD BC ∥，AD AB ⊥，2AB BC AD ==.（1）点G 在线段BE 上，且BG BE μ=，是否存在实数μ，使得AG DF ∥？若存在，求出μ的值；若不存在，请说明理由.（2）点P 在线段DF 上，求直线BP 与平面ABE 所成角的正弦值的取值范围. 22.（12分）已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称. （1）若()f x 的最小正周期为2π，求()f x 的解析式.（2）若4x π=-是()f x 的零点，是否存在实数ω，使得()f x 在75,189ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调？若存在，求出ω的取值集合；若不存在，请说明理由.高二数学考试参考答案1.B 因为BA ，所以3a >.2.A 设复数i z a b =+，a ，b ∈R .因为13i z z +=+,所以i 13i a b ++=，即3,1b a =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得3,4,b a =⎧⎨=⎩43i z =+，5z =.3.B 因为()()221224a b a b a b a b +⋅-=-+⋅=-,所以34a b ⋅=. 4.D 由 1.4e 0.125 1.4e 00e20%e ny k k -=⋅<⋅⋅，得0.1251e 5n -<，则8ln512.5n >≈.5.D 设平面ABCD 的法向量为(),,n x y z =，则,,n AB n AC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩即230,20.x y z y x +-=⎧⎨-+=⎩.令2y =，可得1x =-，1z =，则()1,2,1n =-.76cos,18n PA n PA n PA⋅==.设AP 与平面ABCD 所成的角为α：则sin α=故P 到平面ABCD 的距离为sin PA α=，即四棱锥P ABCD -的高为6. 6.A 当102x <<时，()0f x >，()0g x <，()()0f x g x <；当112x <<时，()0f x <，()0g x <，()()0f x g x >.所以当x>0时，其解集为10,2⎛⎫⎪⎝⎭.因为()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，所以()()f x g x 是奇函数，由奇偶性可知，当0x <时，其解集为11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以不等式()()0f x g x <的解集是111,0,22⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.7.C()222222332cos c b a b c bc A +==+-，整理得26cos b cA c b=+≥，则sin A =≤=b =时，等号成立 8.D 两次都从甲箱取球时“成功”的概率12112433p =⨯⨯=；两次都从乙箱取球时“成功”的概率23222655p =⨯⨯=；先从甲箱取球再从乙箱取球时“成功”的概率32442477p =⨯⨯=；先从乙箱取球再从甲箱取球时“成功”的概率43332655p =⨯⨯=.9.AB ()1,1,3AB =--，()2,2,0AC =-，()1,3,3CB =-，11AB =A 正确. 因为0AB AC ⋅=，所以AB AC ⊥，B 正确，D 错误.cos11AB CB ABC AB CB⋅∠===⋅,C 错误.10.ABD 将这组数据按从小到大排列得90，95，98，100，102，106，110，110，115，120，125，130. 12次数学考试成绩的极差为1309040-=，A 正确.12次考试数学成绩的众数为110，B 正确. 因为1240% 4.8⨯=，1250%6⨯=，所以40%分位数为102，50%分位数为1061101082+=，所以50%分位数比40%分位数多1081026-=，C 错误；在这12次数学考试成绩中，120分及以上的有3次，分别为120，125，130，其平均数为1201251301253++=，方差()()()222215012512012512513012533s ⎡⎤=-+-+-=⎣⎦标准差为，D 正确. 11.AD 由21ab a b =+-可得()()121a b --=，令10m a =->，20n b =->，则35a b m n +=++≥3+=，当且仅当1m n ==时，等号成立.由12ab a b +=+≥解得1≥，故3ab ≥+，当且仅当2a b =时，等号成立.12.AC 如图1，取AD 的中点H ，连接EH ，HF ，HG ，则EH ⊥底面ABCD ，所以EFH ∠为EF 与底面ABCD 所成的角，则60EFH ∠=°，12EH AA ==从而HF =，所以F 的轨迹为以H圆在正方形ABCD 区域内的部分，如图2.在图2中，HG HM ==所以cos AH AHG HG ∠==，则6AHG π∠=，根据对称性可知6DHM π∠=，所以2263MHG πππ∠=-⨯=，故动点F的轨迹周长为239π=. 因为11BC A D ∥，所以1A EF ∠（或其补角）为直线EF 与直线BC 所成角的平面角.在AHF △中，22272cos 33AF AH HF AH HF AHF AHF =+-⋅∠=-∠,2221119cos 33A F AA AF AHF =+=-∠，2221111cos cos 22A E EF A F AHFA EF A E EF +-∠∠==⋅，因为 5,66AHF ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，所以cos AHF ⎡∠∈⎢⎣⎦，1cos cos 2AHF A EF ⎡∠∠=∈⎢⎣⎦，故直线EF 与直线BC所成角的余弦值的取值范围为0,4⎡⎢⎣⎦.13.3 因为a ，b ，c 共面，所以c xa yb =+，即()()()()2,2, m 1,1,2+3,1,1= 3 , , 2 x y x y x y x y -=--++，则32,2,2,x y x y x y m -=-⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解得1x =，1y =，3m =. 14.25 依题意得这组数据各数之和为15，设删去的两数之和为x .若剩下数据的平均数大于3，则15352x ->-，解得6x <，则删去的两个数可以为1，2或1，3或1，4或2，3，故所求概率为42105=.15.323π 因为AB BC ⊥，AB =2BC =，所以4AC =.因为AD DC ==，所以ABC △和ADC △均为直角三角形，且有公共斜边AC ，所以AC 的中点到A ，B ，C ，D 四个点距离相等，都为2.故几何体ABCD 的外接球的体积为343233r ππ=. 16.3- 如图，补全图形，则在直角ABG △中，tan AG AB B =⋅∠=则GD =12CD GD ==，由EF DA CB λμ=+，得3cos12034EF DC DA DC CB DC λμλλ=-⋅=⋅+⋅=°. 根据EF 在DC 上的投影向量，可得max 3()8EF DC EB DC EC DC CB DC ⋅=⋅=⋅+⋅=，此时12λ=-； ()min98EF DC EA DC ED DC DA DC ⋅=⋅=⋅+⋅=-，此时32λ=.故λ的最大值与最小值的比值为3-.17.解：（1）因为2sin cos sin B A b A =，所以2cos b A ab =，则2cos A a =.…2分因为1a =，所以1cos 2A =，3A π=.…4分（2）因为2sin 3sin sin A B C =，所以23a bc =，即13bc =.…6分因为2222cos a b c bc A =+-，即221bc bc =+-，…8分所以()213bc bc =+-，解得b c +=故ABC △1.…10分18.解：（1）根据题意可得()0.0080.0200.0240.036101a ++++⨯=,…2分解得0.012a =.…3分（2）本次竞赛成绩的平均分550.08650.24750.36850.2950.1275.4x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.……7分（3）由频率分布直方图，可得最后一组的频率为0.012100.12⨯=，…8分后两组的频率之和为()0.0200.012100.32+⨯=.…9分设获得荣誉证书的学生分数不低于x ，则[)80,90x ∈.…10分()0.020900.120.2x ⨯-+=，解得86x =.故获得荣誉证书的学生分数不低于86.…12分19.（1）证明：因为l AB ∥，l ⊂平面PCD ，AB ⊂平面PCD ，所以AB ∥平面PCD .…1分因为AB ⊂平面ABCD ，且平面ABCD 平面PCD CD =，所以AB CD ∥.…2分因为45BOC ∠=°，所以45BOC OCD ODC ∠=∠=∠=°，所以90DOC ∠=°，即OC OD ⊥.…3分因为PO ⊥平面ABCD ，OC ⊂平面ABCD ，所以OC PO ⊥.因为PO OD O =，所以OC ⊥平面POD .…5分（2）解：因为1433P OCD OCD V S PO -=⋅=△，所以2PO =.…7分因为BCD △与COD △同底同高，所以12222BCD COD S S ==⨯⨯=△△，所以三棱锥P BCD -的体积为142233⨯⨯=.…8分因为PCPD CD ====，…9分所以PCD △的面积为12⨯=…10分记B 到平面PCD 的距离为d ，因为P BCDB PCD V V --=，所以1433d ⨯=，得d =B 到平面PCD .…12分20.解：（1）甲同学在这一天中参加了羽毛球活动的概率为101055306++=…4分（2）由表格数据知，甲一天中参加锻炼的次数为0的概率为16；参加锻炼的次数为1的概率为23；参加锻炼的次数为2的概率为16.…6分乙一天中参加锻炼的次数为0的概率为16；参加锻炼的次数为1的概率为12；参加锻炼的次数为2的概率为13.…8分所求概率111121563663212P =⨯+⨯+⨯=.…12分 21.解：（1）因为四边形CDEF 为矩形，所以CD DE ⊥. 因为平面CDEF ⊥平面ABCD ，平面CDEF 平面ABCD CD =，所以DE ⊥平面ABCD .…1分不妨设22AB BC AD ===，则tan DEAD EAD =∠=…2分以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D，()1,0,0A ，()1,2,0B，(E，(1,F -.…3分(1,BE =--，()0,2,0AB =，(1,DF =-，(),22AG AB BG AB BE μμμ=+=+=--.…4分因为AG DF ∥，所以1222μμ-==--，解得12μ=. 故存在实数μ，使得AG DF ∥，且μ的值为12.…6分（2）设平面ABE 的法向量(),,m x y z =，则0,0,AB m BE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,20.y x y =⎧⎪⎨--+=⎪⎩不妨取1z =，则()3,0,1m =.…8分设(()1,,2DP DF λλλλ==-=-，[]0,1λ∈，则(),2P λλ-，()1,2BP λλ=---.…9分直线BP 与平面ABE 所成的角为θ，则sin cos ,BP m θ===…10分令()2865f λλλ=-+，当38λ=时，()min 318fλ=；当1λ=时，()max7f λ=.所以sin ,1431θ=⎢⎣⎦. 故直线BP 与平面ABE 所成角的正弦值的取值范围为,1431⎢⎣⎦.…12分 22.解：（1）因为()f x 的最小正周期为π，所以22ππω=. 因为0ω>，所以1ω=.…2分因为()f x 的图象关于直线4x π=对称，所以42k ππϕπ+=+，k ∈Z ，即4k πϕπ=+，k ∈Z .因为2πϕ≤，所以4πϕ=.故()sin 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.…4分（2）因为4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()f x 图象的对称轴，所以14k πωϕπ-+=①，242k ππωϕπ+=+②，1k ，2k ∈Z . -②①得()2122k k ππωπ=-+，所以()2121k k ω=-+.…6分因为1k ，2k ∈Z ，所以()21n n ω=+∈N ，即ω为正奇数.…7分因为()f x 在75,89ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，所以5791862T πππ-=≤，即23T ππω=≥，解得6ω≤.…8分当5ω=时，54k πϕπ-+=，k ∈Z . 因为2πϕ≤，所以4πϕ=，此时()sin 54f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 令791095,43636t x πππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，()sin g t t =. ()g t 在795,362ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在5109,236ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故()f x 在75,189ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，不符合题意.…9分当3ω=时，34k πϕπ-+=，k ∈Z . 因为2πϕ≤，所以4πϕ=-，此时()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 令11173,41212t x πππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，()sin g t t =. ()g t 在1117,1212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故()f x 在75,189ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，符合题意.…10分当1ω=时，4k πϕπ-+=，k ∈Z . 因为2πϕ≤，所以4πϕ=，此时()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 令2329,43636t x πππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，()sin g t t =. ()g t 在2329,3636ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故()f x 在75,189ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，符合题意.…11分综上，存在实数ω，使得()f x 在75,189ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，且ω的取值集合为{}1,3.…12分。

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【详解】
试题分析：由余弦定理得 ,则，即，解得或（舍）.
考点：余弦定理.
7．C
【分析】
由空间中两点的距离公式，代入可得实数的值.
【详解】
解：由，，，
可得：，
解得：或，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查空间中两点的距离公式，相对简单.
8．C
【分析】
根据所给的茎叶图，看出七个数据，根据分数处理方法，去掉一个最高分93和一个最低分79后，把剩下的五个数字求出平均数和方差．
6．的内角的对边分别为，若， ,则等于（）
A． B．2C． D．
7．在空间坐标系，若，，，则实数为（）
A．1B．3C．1或5D．3或5
8．如图是某学校举行的运动会上七位评委为某体操项目打出的分数的茎叶图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为( )
A．84,4.84B．84,1.6C．85,1.6D．85,4
C选项, 在其定义域上单调递增，故D不正确;
故选：A.
【点睛】
本题主要考查减函数的判断，相对简单.
4．D
【解析】
【分析】
计算f(-1)＜0，f（0）＞0，根据零点存在性定理，可得结论．
【详解】
∵f（﹣1）＝ ﹣1＝＜0，f（0）＝1﹣0＝1＞0
∴根据零点存在性定理，可得函数f（x）＝3x﹣x2的零点所在区间是（﹣1，0）
【详解】
解：将上的延长，使得，
可得四边形为平行四边形，
可得 ,
故选：D.
【点睛】
本题主要考查向量加法的平行四边形法则，相对简单.
3．A
【分析】
由减函数的定义，对各个选项一一判断可得答案.
【详解】
A选项，在定义域上为减函数,故A正确；
B选项, 在定义域上为增函数,故B不正确；
C选项，在是单调递减，在是单调递增，故C不正确；
解：∵f（x）=sin（ωx+φ），
∴f（0）=sinφ，又f（0）= ，
∴sinφ= ，又|φ|＜，
∴φ= ；
又ω? +φ=π，即ω? + =π，
∴ω=2．
故答案为D．
10．A
【解析】
三视图复原的组合体是下部是棱长为的正方体，上部是底面边长为的正方形，高为的四棱锥，组合体的表面积为
故选
11．2
13．已知数列是等差数列，，则的前7项和 ______________．
14．我市某旅行社拟组团参加衡山文化一日游，预测每天游客人数在50至130人之间，游客人数（人）与游客的消费总额（元）之间近似地满足关系：．那么游客的人均消费额最高为______________元．
15．已知定义在上的奇函数满足，则的值为_______.
5．C
【解析】
试题分析：根据两直线平行斜率相等，设过P与直线l平行的直线方程是y=﹣4x+m把点P（0，7）代入可解得m，从而得到所求的直线方程，
解：设过P与直线l平行的直线方程是y=﹣4x+m，
把点P（0，7）代入可解得m=7，
故所求的直线方程是y=﹣4x+7．
故选C．
考点：直线的点斜式方程．
6．D
【详解】
由茎叶图知，去掉一个最高分93和一个最低分79后，
所剩数据84，84，86，84，87的平均数为；
方差为．
故答案为
【点睛】
茎叶图、平均数和方差属于统计部分的基础知识，也是高考的新增内容，考生应引起足够的重视，确保稳拿这部分的分数．
9．D
【解析】
由f（0）=sinφ= ，|φ|＜可以求得φ，又ω? +φ=π，可求ω的值．
18．已知函数
（1）求的值；
（2）求的最大值及取得最大值时对应的的值．
19．如图,在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，底面 ,且PA=AB．
（1）求证：BD 平面PAC；
（2）求异面直线BC与PD所成的角.
20．已知圆C：．
(1)求圆的圆心C的坐标和半径长；
(2)直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于两点，求证：为定值；
湖南省怀化市2020-2021学年高二上学期学业水平测试模拟数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 , ，则 ( ) .
A． B．
C． D．
2．在中，为的中点，则（）
A． B． C． D．
9．函数的图象的一部分如图所示，则、的值分别为（）
A．1， B．1，
C．2， D．2，
10．如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：），在此几何体的表面积是（）
ห้องสมุดไป่ตู้A． B． C． D．
二、填空题
11．已知函数，则 .
12．若正实数、满足，则的最大值为______________．
三、解答题
16．已知等差数列的前项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）当为何值时，取得最大值．
17．某班共有学生45人，其中女生18人，现用分层抽样的方法，从男、女学生中各抽取若干学生进行演讲比赛，有关数据见下表（单位：人）
性别
学生人数
抽取人数
女生
18
男生
3
（1）求和；
（2）若从抽取的学生中再选2人做专题演讲，求这2人都是男生的概率．
【解析】
试题分析：根据题意，由于函数，那么当x=2时，则可知变量大于零，打入第一段解析式中可知为，故可知 2，故答案为2.
(3)斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使的面积最大．
参考答案
1．C
【解析】
试题分析：根据题意，由于集合 , ，那么可知两个集合的公共元素组成的集合为，故选C.
考点：集合的交集
点评：主要是考查了集合的交集的运算，属于基础题．
2．D
【解析】
【分析】
由向量的平行四边形法则可得的值.
故选：D．
【点睛】
判断函数零点(方程的根)所在区间的方法
(1)解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上．
(2)定理法：利用零点存在性定理进行判断．
(3)数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断．
3．下列函数中，在其定义域上为减函数的是（）
A． B． C． D．
4．函数f(x)＝3x－x2的零点所在区间是
A．(0，1)B．(1，2)C．(－2，－1)D．(－1，0)
5．已知直线l过点（0，7），且与直线y=﹣4x+2平行，则直线l的方程为（）
A．y=﹣4x﹣7B．y=4x﹣7C．y=﹣4x+7D．y=4x+7