04 矩阵的对角化
矩阵对角化的方法
矩阵对角化的方法
嘿，咱今儿就来说说矩阵对角化这档子事儿哈！你说矩阵对角化，就好像给一个复杂的大拼图找到最简洁明了的解法。
咱先唠唠啥是矩阵对角化。
简单说呢，就是把一个矩阵变成一个特殊的形式，就像把一团乱麻理得顺顺溜溜的。
那怎么个弄法呢？这可得好好琢磨琢磨。
咱就拿个例子来说吧，就好比你有一堆七零八落的积木，你得想办法把它们摆成整齐的一排，这就是对角化的过程。
第一步呢，你得找到矩阵的特征值。
这特征值就好比是积木的关键节点，找到了它们，你就有方向啦！怎么找呢？这可得有点小技巧，算呀算呀，别嫌麻烦。
找到特征值之后呢，就得找对应的特征向量啦。
这特征向量就像是给每个关键节点配上合适的小零件，让整个结构更稳固。
然后呢，把这些特征向量按规矩摆好，嘿，就有点样子啦！就好像你把积木一块一块地摆到位。
你想想看，要是没这对角化的方法，面对那些密密麻麻的矩阵，咱不得晕头转向呀！但有了这方法，咱就有了头绪，有了方向。
比如说，在解决一些实际问题的时候，对角化就能派上大用场啦。
好比你要修一座桥，你得先搞清楚结构吧，这矩阵对角化就像是帮你
看清这座桥的关键部位，让你知道该从哪儿下手。
再比如说，在计算机图形学里，对角化能让图像的处理变得更简单
高效。
这不就像给图像来了个魔法变身嘛！
总之呢，矩阵对角化这方法可太重要啦！它就像一把钥匙，能打开
很多难题的大门。
咱可得好好掌握它，把它用得溜溜的！别小瞧了它，它的用处可大着呢！你说是不是？。
矩阵相似与对角化问题
矩阵相似与对角化问题引言矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、计算机科学等领域。
在研究矩阵的性质和应用时，矩阵相似与对角化问题是常见且重要的问题之一。
本文将对矩阵相似和对角化的概念、性质和关系加以讨论。
矩阵相似定义给定两个 n × n 矩阵 A 和 B，如果存在一个可逆矩阵 P，使得P⁻¹AP = B，则称A 和 B 相似。
记作A ∼ B。
性质矩阵相似具有以下性质：1.若A ∼ B，则B ∼ A。
2.若A ∼ B，B ∼ C，则A ∼ C。
（相似关系是传递的）3.若A ∼ B，那么 A 的特征多项式和 B 的特征多项式相同。
4.若 A 和 B 相似，则 A 和 B 具有相同的特征值和特征向量。
相似对角化对于相似矩阵 A 和 B，我们可以进行相似对角化，即将 A 变换为一个对角矩阵B。
具体步骤如下：1.设 A 是一个 n × n 矩阵，A 有 n 个线性无关的特征向量。
2.将这 n 个特征向量按列组成矩阵 P。
3.计算P⁻¹AP，得到对角矩阵 B。
对角化的好处是简化了矩阵的计算和处理，形式更加规整，便于求解特定的问题。
对角化问题定义给定矩阵 A，如果存在一个可逆矩阵 P，使得P⁻¹AP = D，其中 D 是一个对角矩阵，则称 A 可对角化。
充分条件一个矩阵 A 可对角化的充分条件是存在 n 个线性无关的特征向量。
如果 A 的 n 个特征向量线性无关，则 A 必定可对角化。
对角化步骤求解矩阵对角化的步骤如下：1.解特征方程 |A - λI| = 0，得到矩阵 A 的特征值λ1, λ2, …, λn。
2.对于每个特征值λi，解特征方程 (A - λiI)xi = 0，得到特征向量 xi。
3.如果通过步骤 2 得到的 n 个特征向量线性无关，则 A 可对角化。
将这些特征向量按列组成矩阵 P，并将对应的特征值按对角线排列得到对角矩阵D。
可对角化的性质可对角化的矩阵具有以下性质：1.可对角化的矩阵 A 的迹等于其特征值之和。
矩阵特征分解与对角化
矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于科学、工程和其他领域。
矩阵的特征分解和对角化是矩阵理论中的关键概念，它们在各个领域的应用非常广泛。
矩阵的特征分解是指将一个矩阵分解为特征值和特征向量的乘积的形式。
具体而言，对于一个n×n的矩阵A，特征分解可以写为A=PDP^(-1)，其中P是一个由特征向量组成的矩阵，D是一个对角矩阵，对角线上的元素是A的特征值。
特征分解的好处在于可以将一个复杂的矩阵转化为一个对角矩阵，从而简化了矩阵的计算和分析。
特征分解在物理学、工程学、计算机科学和金融学等领域中都有广泛的应用。
例如，在物理学中，特征分解可以用于描述量子力学中的粒子状态和能级。
在工程学中，特征分解可以用于矩阵的频域分析和系统动力学分析。
在计算机科学中，特征分解可以用于图像处理和模式识别。
在金融学中，特征分解可以用于资产组合的风险评估和收益预测。
特征分解的一个重要应用是矩阵对角化。
一个矩阵被称为可对角化的，如果它可以通过相似变换(diagonalizing transformation)转化为对角矩阵。
相似变换是指将一个矩阵A变换为B的过程，其中B= P^(-1)AP，P是一个可逆矩阵。
对角化的好处在于可以简化矩阵的计算和分析。
例如，对角化可以使得矩阵的幂运算变得简单，因为A^n=PD^nP^(-1)。
对角化的一个重要应用是谱分解。
谱分解是对角化的一个特殊情况，它可以将对称矩阵分解为特征向量的线性组合。
对称矩阵的谱分解可以写为A=QΛQ^T，其中Q是一个由特征向量组成的正交矩阵，Λ是一个对角矩阵，对角线上的元素是A的特征值。
谱分解在物理学、信号处理、图像处理和统计学等领域中有广泛的应用。
例如，在物理学中，谱分解可以用于描述对称量子力学系统的能级和波函数。
在信号处理中，谱分解可以用于频谱分析和滤波。
在图像处理中，谱分解可以用于图像压缩和特征提取。
在统计学中，谱分解可以用于主成分分析和数据降维。
总之，矩阵的特征分解和对角化是矩阵理论中的重要概念，它们在各个领域的科学和工程应用中都起到了关键的作用。
04-矩阵的对角化
第四讲矩阵的对角化对角矩阵的形式比较简单，处理起来较=时，将矩阵方便，比如求解矩阵方程Ax bA对角化后很容易得到方程的解。
以前我们学习过相似变换对角化。
那么，一个方阵是否总可以通过相似变换将其对角化呢？或者对角化需要什么样的条件呢？如果不能对角化，我们还可以做哪些处理使问题变得简单呢？一、特征征值与特征向量1.定义：对n阶方阵A，若存在数λ，=,则及非零向量（列向量）x，使得Ax xλ称λ为A的特征值，x为A的属于特征值λ的特征向量。
☆ 特征向量不唯一； ☆ 特征向量为非零向量；☆ ()0I A x λ-=有非零解，则det()0I A λ-=，称det()I A λ-为A 的特征多项式。
例1 122212221A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求其特征值和特征向量。
【解】122det()212221I A λλλλ----=------ 2(1)(5)λλ=+-，特征值为 121λλ==-，35λ=， 对于特征值1λ=-，由()0I A x --=， 1232222220222ξξξ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 1230ξξξ++= ， 312ξξξ=-- ，可取基础解系为 1101x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ ，2011x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，所以属于特征值1λ=-的全部特征向量为 1122k x k x + ，其中12,k k 为不全为零的数.对于特征值5λ=，由 (5)0I A x -=，1234222420224ξξξ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦， 123ξξξ== ，可取基础解系为 3111x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以属于特征值1λ=-的全部特征向量为 33k x ，其中3k 为非零的数.2. 矩阵的迹与行列式1tr nii i A a ==∑ ， 1det ni i A λ==∏ ，1tr ni i A λ==∑.3. 两个定理（1） 设A 、B 分别为m n ⨯和n m ⨯阶矩阵，则tr()tr()AB BA =（2）sylvster 定理：设A 、B 分别为m n ⨯和n m ⨯阶矩阵，则 det()det()m nm n I AB I BA λλλ--=-.即：AB 与BA 的特征值只差零特征值的个数，非零特征值相同。
矩阵对角化方法范文
矩阵对角化方法范文首先，我们先来了解一下矩阵的对角化概念。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个可逆矩阵P和一个对角阵D，使得A=PDP^(-1)，则称A可对角化，P为可逆矩阵，D为对角阵。
接下来，我们将讨论矩阵对角化的具体步骤和方法。
设A为n阶方阵，我们要对其进行对角化分解。
具体步骤如下：1.求A的特征值和特征向量：求解方程，A-λI，=0，其中λ为特征值，I为单位矩阵。
解该方程可得到A的特征值λ1,λ2,...,λn。
然后，将每个特征值代入(A-λI)X=0，其中X为特征向量，解该方程可得到A对应于每个特征值的特征向量X1,X2,...,Xn。
2.构造特征矩阵P：将特征向量组成的矩阵P=[X1,X2,...,Xn]。
3.求P的逆矩阵P^(-1)：由于P是由特征向量构成的，因此P一般是可逆的。
4.构造对角阵D：对角阵D为以特征值λ1,λ2,...,λn为对角线元素所构成的阵。
5.验证：计算A=PDP^(-1)，验证是否满足等式。
通过以上步骤，我们可以得到矩阵A的对角化结果。
为了更好地理解矩阵对角化方法，接下来我们通过一个实例进行阐述。
假设有一个3阶方阵A=[1,0,-1;1,2,0;4,1,3]。
首先，我们求解特征多项式，A-λI，=0，得到特征值的解为λ1=-1，λ2=2，λ3=4然后，我们将每个特征值代入(A-λI)X=0，求解特征向量。
以λ1=-1为例，代入(A+I)X=0，解该方程可得特征向量X1=[1,1,-1]。
以此类推，我们可以得到所有特征向量。
接下来，我们构造特征矩阵P，将特征向量组成的矩阵P=[X1,X2,X3]。
然后，求解P的逆矩阵P^(-1)。
最后，构造对角阵D，以特征值为对角线元素，得到D=[-1,0,0;0,2,0;0,0,4]。
最后一步，我们验证计算A=PDP^(-1)是否成立。
经过计算，我们得到矩阵A=PDP^(-1)。
通过上述实例，我们可以看出，矩阵对角化的方法主要分为求解特征值和特征向量、构造特征矩阵P、求解P的逆矩阵P^(-1)和构造对角阵D。
矩阵的对角化
第四章 矩阵的对角化对于一个矩阵，如何寻找一个适当的变换，在将其变为简单矩阵的同时，保留原矩阵的一些重要特征，这是矩阵论中一个非常重要的问题.在这一问题的研究中，矩阵的特征值和特征向量的概念起着非常重要的作用.拉普拉斯在19世纪初提出了矩阵的特征值的概念.1854年，若尔当研究了矩阵化为标准形的问题.1885年,埃尔米特证明了一些特殊矩阵的特征根的性质，后人称之为埃尔米特矩阵的特征根性质，凯莱1858年发表了一篇论文《矩阵论的研究报告》，文中研究了方阵的特征方程和特征值的一些基本结果，克莱布什等证明了对称矩阵的特征根性质.在这一问题的研究史上，值得重点介绍的是下面两位数学家：第一位是柯西，他首先给出了特征方程的术语，并证明了阶数超过3的矩阵有特征值及任意阶实对称矩阵都有实特征值；给出了相似矩阵的概念，并证明了相似矩阵有相同的特征值.第二位是弗罗贝尼乌斯，正是他引入了矩阵的相似变换、合同矩阵、正交矩阵等重要概念，并讨论了正交矩阵和合同矩阵的一些重要性质.矩阵的特征值、特征向量和仿真的对角化理论与方法是矩阵理论的重要组成部分，它不仅在数学的各个分支有重要作用，而且在其他学科如工程技术、数量经济分析等领域有着广泛的应用.本章主要讨论方阵的特征值与特征向量理论及方阵在相似意义下的对角化问题，并应用这些理论和方法解决一些实际问题.§4.1 矩阵的特征值和特征向量一、特征值和特征向量的概念在工程实践及经济管理等许多领域中，经常会遇到矩阵的特征值和特征向量的问题.例 4.1.1 经济发展与环境污染是当今世界亟待解决的两个突出问题.为了研究某地区经济发展与环境污染之间的关系，可建立如下数学模型：设，分别为某地区目前 x 0 y 0 的环境污染水平与经济发展水平，，分别为该地区若干年后的环境污染水平与经济 x 1 y 1 发展水平，且有如下关系{ x 1 = 3x 0 +y 0 ，y 1 = 2x 0 +2y 0 .令， ， α0=( x 0 y 0 )α1=( x1 y 1 )A =(3 12 2)，则上述关系的矩阵形式为：α1=Aα0 .若该地区目前的环境污染水平与经济发展水平，则若干年后的环境污染水α0=( x0 y 0)=(11)平与经济发展水平为，α1=Aα0=(3 12 2) ( x 0 y 0 )=(3 12 2) (11)= (44)=4 (11)=4α0即这里，4就是矩阵的一个特征值，是矩阵的对应于4的一个特征向量.Aα0=4α0 . A α0 A 定义 4.1.1 设为阶矩阵，若存在数 和维非零列向量，使得A n λ n α ；Aα=λα则称为矩阵的特征值，是矩阵一个特征值，称为的属于（或对应于）特征值 λ A α0 A α0 A λ的特征向量.由特征值、特征向量的定义可得（1）若为的属于的特征向量，则对于非实数，也是的属于的特征向量. α A λk k α A λ （2）若为的属于的特征向量，则当时，也是的属于α1，α2 A λα1+α2 ≠0 α1+α2 A 的特征向量.λ （3）若为的互异特征值，分别为的属于的特征向量，则λ1， λ2 A α1，α2 A λ1， λ2 .α1≠α2 证 若，则，即，故.由于 α1≠α2 Aα1≠Aα2 λ1α1=λ2α2=λ2α1 (λ1-λ2)α1=0，所以，矛盾.因此.λ1≠λ2α1≠0 α1≠α2 例 4. 1. 2 求阶方阵的一个特征值与所对应的特征向量. n A =(a b b ⋯ bb a b ⋯ b ⋮ ⋮ ⋮ ⋮b b b ⋯ a )解 取维向量，则n α=(1，1，1)TAα=(a b b ⋯ bb a b ⋯ b⋮ ⋮ ⋮ ⋮b b b ⋯ a)(11⋮1)=(a +(n -1)b a +(n -1) b ⋮ a +(n -1) b)，故 是的一个特=[a +(n -1) b ](11⋮1)= [a +(n -1) b ] αλ=a +(n -1) b A 征值，是 属于特征值的一个特征向量.α A λ=a +(n -1) b 将（4.1.1）写成下面形式.(λE ‒A ) α=0根据定义，特征向量就是齐次线性方程组α. （4.1.2）(λE ‒A ) α=0的非零解.由于（4.1.2）有非零解的充要条件是其系数行列式等于零，故知阶矩阵的 n A 特征值满足方程λ .|λE ‒A |=0为叙述方便，引入下面的概念.定义4. 1. 2 .，称A =(a ij )n ×n f (λ)=|λE ‒A |=|λ-a 11 a 12 ⋯ -a 1n -a 21 λ-a 22 ⋯ -a 2n⋮ ⋮ ⋮-a n1 -a n2 ⋯ λ- a nn|为矩阵 的特征多项式，称为的特殊矩阵，称为的特征方程.A λE ‒A A |λE ‒A |=0 A 二、特征值与特征向量的计算求阶矩阵的特征值和特征向量，可按如下步骤进行：n A （1）计算的特征多项式，求出特征方程的全部根，，，.A |λE ‒A | |λE ‒A |=0 λ1λ2⋯λn对每个特征值，求解齐次线性方程组.设它的一个基础λi (i =1，2，⋯，n )(λi E ‒A ) x =0解系为，，，，则的属于的全部特征向量为αi 1 αi 2 ⋯αini A λ i k 1αi 1+k 2αi 2+⋯+k n iαini其中为不全为零的任意常数.k 1，k 2，⋯，k ni 限于本教材适用范围，我们将不讨论的复特征值和特征向量.A 例 4.1.3 求矩阵A =(2 -2 0- 2 1 -20 -2 0)的特征值与特征向量.解 矩阵的特征多项式A f (λ)=|λE ‒A |=|λ-2 2 02 λ-1 20 2 λ|=λ(λ-1)(λ-8)-8(λ-1)=(λ+2)(λ-1)(λ-4)由，得的特征值为，，.|λE ‒A |=0 A λ1=-2λ2=1λ3=4对于，解齐次线性方程组，即解方程组λ1=-2(-2E ‒A )x =0,，(- 4 2 02 -3 20 2 -2)(x 1x 2x 3)=(000)得基础解系，所以对应于，的全部特征向量为（ξ1=(1，2，2)Tλ1=-2k 1ξ1）.k 1≠0对于，解齐次线性方程组 ，即解方程组λ2=- 2 (E ‒A )x =0(- 1 2 02 0 20 2 1)(x 1x 2x 3)=(00)得基础解系，所以对应于的全部特征向量为ξ2=(2，1，‒2)T λ2= 1 （）..k 2ξ2k 2≠0对于，解齐次线性方程组 ，即解方程组λ3= 4 (4E ‒A )x =0，(2 2 023 20 2 4)(x 1x 2x 3)=(0)得基础解系，所以对应于的全部特征向量为（ξ3=(2，-2，1)Tλ3= 4 k 3ξ3）..k 3≠0例4.1.4 求矩阵的特征值与特征向量 A =(3 2 42 0 24 2 3)解 矩阵的特征多项式为Af (λ)=|λE ‒A |=|λ-3 - 2 -- 2 λ - -4 -2 λ |λ+1 0 -(λ+1)- 2 λ -2 -4 -2 λ-3|=,(λ+1)2(λ‒8)由，得的特征值为，.|λE ‒A |=0A λ1= λ2=-1 λ3=8对于，解齐次线性方程组，即解方程组λ1= λ2=-1(-E ‒A )x =0，(- 4 - 2 -4- 2 - 1 -2- 4 - 2 -4)(x 1x 2x 3)=(000)得基础解系，，所以对应于的全ξ1=(-1，2，0)T ξ2=(2，1，‒2)Tλ1= λ2=-1部特征向量为不全为零）.k 1ξ1+k 2ξ2（k 1，k 2 对于，解齐次线性方程组，即解方程组λ3=8(8E ‒A )x =0，(5 -2 -4- 2 8 -2- 4 - 2 5 )(x 1x 2x 3)=(00)得基础解系，所以对应于的全部特征向量为（）.ξ3=(-1，2，0)Tλ3=8 k 3ξ3k 3≠0例4.1.5求矩阵的特征值与特征向量 A =(3 2 42 0 24 2 3)解 矩阵的特征多项式为A f (λ)=|λE ‒A |=|λ-3 1 -- 2 λ - -1 1 λ-2||λ-2 1 -1λ-2 λ -1 0 1 λ-2|=,(λ-2)2(λ‒1)由，得的特征值为，.|λE ‒A |=0A λ1= λ2=2 λ3=1对于，解齐次线性方程组，即解方程组λ1= λ2=2(2E ‒A )x =0，(- 1 1 -1- 2 2 -1- 1 1 0)(x 1x 2x 3)=(000)得基础解系，所以对应于的全部特征向量为ξ1=(1，1，0)Tλ1= λ2= 2 （）.k 1ξ1k 1≠0对于，解齐次线性方程组，即解方程组λ3=1(E ‒A )x =0，(- 2 1 -1- 2 1 -1- 1 1 -1)(x 1x 2x 3)=(000)得基础解系，所以对应于的全部特征向量为（.ξ2=(0，1，1)Tλ3= 1 k 2ξ2k 2≠0）三、特征值与特征向量的性质定理4.1.1 阶矩阵与有相同的特征值.n A A T证 由，知与有相同的特征多项式，故有相同的特|λE ‒A T|=|(λE ‒A )T|=|λE ‒A | A A T 征值.定理4.1.2 设 ，，，，为方阵的个特征值，则有A =(a ij )n ×n λ1λ2⋯λn A n （1）λ1λ2⋯λn =|A |（2）λ1+λ2+⋯+λn =a 11+a 22+⋯+a nn 证 （1）根据多项式因式分解与方程根的关系，有（4.1.3）|λE ‒A |=(λ-λ1)(λ-λ2)⋯(λ-λn )令，得，即λ=0|-A |=(-λ1)(-λ2)⋯(-λn )=(-1)nλ1λ2⋯λn |A |=λ1λ2⋯λn（2）比较（4.1.3）式两端的系数，右端为，而左端含λn -1-(λ1+λ2+⋯+λn )的项来自的主对角线元乘积项，其含的λn-1|λE ‒A |(λ-a 11)(λ-a 22)⋯(λ-a nn ) λn-1系数为，因此.-(a 11+a 22+⋯+a nn )λ1+λ2+⋯+λn =a 11+a 22+⋯+a nn 我们将阶矩阵的主对角线元之和称为矩阵的迹，记为，即n A A tr （A ）=tr （A ）a 11+a 22+⋯+a nn =∑=nk 1a kk推论4.1.1 阶矩阵可逆的充分条件是它的任一特征值不等于零.n A 定理4.1.3 若为的特征值，是对应的特征向量，则 λ A α （1）为的特征值（）；a λ a A a 为常数（2）为的特征值（）；λk A kk 为正整数（3）为的多项式，则为的特征值；若φ(x ) x φ( λ)φ(A )（4）若可逆，则为的特征值，为的特征值.A 1λA -11λ|A |A *证 由题意，对于，有.α≠0 Aα=λα（1）因为，故为的特征值.(a A )α=a (Aα)=(a λ)αa λ a A （2）由，得，假设Aα= λα A 2α=A ( Aα)=A ( λα)=λ( Aα)= λ2α，A k-1α=λk-1α于是，由数学归纳法知结论成立.A k α=A ( Ak-1α)=A ( λk -1α)=λk-1( Aα)= λk α（3）设，由（2）可得φ(x )=a 0x m +a 1x m-1+⋯+a m-1x+a mφ(A )α=(a 0A m +a 1A m -1+⋯+a m-1A+a m E ) α =a 0A m α+a 1A m-1α+⋯+a m -1Aα+a m α=a 0λm α+a 1λm-1α+⋯+a m-1λα+a m α=(a 0λm +a 1λm -1+⋯+a m-1λ+a m ) α=φ(λ)α(4) 由于可逆，故，从而，故 A λ≠0α= A -1(Aα)= A -1(λα)=λ A-1α，，即为的特征值，为的特征A-1α=1λαA*α=| A | A-1α=| A |λα 1λ A-11λ|A |A*值.下面给出方阵的特征向量的性质A 定理4.1.4 设，，，阶矩阵的个互异特征值，，，，分别是 λ1λ2⋯λm 为 n A m α1 α2 ⋯αm 的属于，，，的特征向量，则，，，线性无关. A λ1λ2⋯λm α1 α2 ⋯αm 证 设有常数，，，，使得k 1 k 2 ⋯k m k 1α1+k 2α2+⋯+k m αm =0（4.1.4）上式两边左乘，并注意到，有A Aαi =λi αi (i =1，2，⋯，m ).k 1λ1α1+k 2λ2α2+k m λm αm =0 按这种方法再依次用左乘（4.1.4），并应用定理4.1.3（2）的结论，A 2， A 3， A m ‒1得{k 1α1+k 2α2+k m αm =0 ，k 1λ1α1+k 2λ2α2+k m λm αm =0，k 1λ21α1+k 2λ22α2+k m λ2m αm =0， ⋯⋯⋯⋯k 1λm ‒11α1+k 2λm ‒12α2+k m λm ‒1m αm =0.上式的矩阵形式为，( k 1α1，k 2α2，⋯，k m αm )(1 λ1 ⋯ λm ‒111λ2 ⋯ λm ‒12⋮ ⋮ ⋮1 λm ⋯ λm ‒1m)=（0，0，⋯，0）上式左端第二个矩阵的行列式是范德蒙德行列式，因为，，，互不相同，λ1λ2⋯λm 所以该行列式的值不为零，从而该矩阵可逆.用该矩阵的逆右乘上述等式两边，得( k 1α1，k 2α2，⋯，k m αm )=（0，0，⋯，0）于是，由于特征向量非零，因此只有k i αi =0(i =1，2，⋯，m )αi (i =1，2，⋯，m )上式才能成立，故，，，为线性无关.k i =0(i =1，2，⋯，m )α1 α2 ⋯αm 定理4.1.5 设，，，阶矩阵的个互异特征值，，，，分别λ1λ2⋯λm 为 n A m α1 α2 ⋯αm是的属于的线性无关的特征向量，则向量组A λi (i =1，2，⋯，m )，，，， ，，，， ，，，线性无关.α11 α12 ⋯α1s 1α21 α22 ⋯α2s 2αm 1 αm 2 ⋯αms m 证明略.关于对应同一个特征值的特征向量间的关系，有定理4.1.6 设阶矩阵的重特征值，则对应于的线性无关特征向量个数 λ0是 n A k λ0不超过个.k 显然，依据定理4.1.6，当特征值为单根时，对应的线性无关特征向量个数只能是一个.根据上述定理，对于阶矩阵的每一个不同的特征值，求出齐次线性方程组n A λi 的基础解系，就得到的属于的线性无关的特征向量.然后，把它们合成一(λi E ‒A )=0 A λi 起所得的向量组仍然线性无关.阶矩阵的线性无关特征向量个数不大于.n A n 例4.1.6 设三阶矩阵的特征值为，，求A λ1= λ2=3 λ3=3（1）的特征值.A -1（2）的特征值.A *（3）的特征值及.B =12(A-1)2‒A *+2E |B |解 （1）由于，因此可逆，由定理4.1.3知，的特征值为，| A |= λ1λ2λ3=12≠0A A-112，.1213（2）由定理4.1.3知，的特征值为6,6,4.A *（3）因为，所以）.A *|A |A-1=12A -1B =12(A -1)2‒A*+2E 设，由定理4.1.3知，的特征值为，1,2,3.f (x )=12x 2-12x +2B =f (A-1)f(1λi )i =由此得的特征值为，.B -1，-1，-23|B |=-23例4.1.7 设为正交矩阵，若，则有特征值A |A |=-1A -1证 ，则f (λ)=|λE ‒A |.f (-1)=|-E ‒A |=|(-E ‒A )T|=|-E ‒A T|另一方面，由于及，则AA T=E |A |=1f (-1)=|-E ‒A |=|AA T -A |=|A || ‒A T-E |=-| -E ‒A T|=-f (-1)因此，即为的特征值.f (-1)=0-1 A §4.2 相似矩阵在矩阵的运算中，对角矩阵的运算最方便.我们自然要问，一个阶矩阵是否可化为n A 对角矩阵，且保持矩阵的一些重要性质不变.本节将讨论这个问题.A 一、相似矩阵定义4.2.1 设为阶矩阵，如果存在阶可逆矩阵，使得A ，B n n P ，P -1AP =B 则称矩阵相似，也称是的相似矩阵，记作.可逆矩阵称为相似变换矩阵.A 和B B A A~B P例4.2.1 设，，，不难A =(4 6 0- 3 -5 0- 3 -6 1)B =(1 0 00 1 00 0 -2)P =(- 2 0 -11 0 10 1 1)验证可逆，且.由于P P-1=(- 1 - 1 0- 1 - 2 11 2 0),P-1AP =(- 1 - 1 0- 1 - 2 11 2 0)(4 6 0- 3 -5 0- 3 -6 1)(- 2 0 -11 0 10 1 1)=(1 0 00 1 00 0 -2)=B 因此.A~B 两个相似矩阵是等价矩阵，相似是方阵之间的一种关系，这种关系具有如下性质：（1）反身性：；A~A （2）对称性：若，则；A~B B~A （3）传递性：若，，则；A~B B~C A~C 此外，相似矩阵之间有许多共同的性质定理4.2.1 若阶矩阵相似，则n A 与B （1）；|A |=|B |（2）；R (A )=R (B )（3）有相同的特征值；A ，B （4）.tr (A )=tr (B )证 由于，故存在阶可逆矩阵，使得，从而A~B n P P-1AP =B （1）；|B |=|P-1AP |=|P-1||A ||P |=|A |（2）；R (B )=R (P -1AP )=R (AP )=R (A )（3）由于，|λE ‒B |=|λE ‒P-1AP |=|P-1(λE ‒A )P |=|λE ‒A |即有相同的特征多项式，于是有相同的特征值.A ，B A ，B （4）由（3）即得.推论4.2.1 若阶矩阵对角矩阵n A 与 =Λ(λ1λ2⋱λn)相似，则，，，是的个特征值. λ1λ2⋯λn A n 例4.2.2 若，求.A =(- 2 0 02 x 23 1 1)~(- 1 0 00 2 00 0 y )=B x ，y 解 对角矩阵的特征值为，，，由于，因此的特征值也为，，，再B -12y A~B A -12y 根据相似矩阵有相同的迹，可得{|2E ‒A |=0，tr (A )=tr (B )，解此方程组得， .x =0y =-2两个相似的矩阵还具有下面的性质（1）若，则，（为正整数）；A~B k A~kB A m ~B mm （2）若， 为多项式，则；A~B f (x )f (A )~f (B )（3）若，且均可逆，则；A~B A ，B A-1~B -1证 只证，故存在阶矩阵，使得，从而 A m ~B m n P P-1AP =B B m =(P-1AP )m =(P-1AP )(P-1AP )⋯(P-1AP )=P-1A mP即.A m ~B m 二、矩阵的对角化定义 4.2.2 若阶矩阵与对角矩阵相似，则称可对角化.n A A 相似矩阵有许多共同性质.在我们熟悉的矩阵中，形式最简单的一类是对角矩阵，若矩阵相似于对角矩阵，就可以借助对角矩阵来研究，如何求相应的可逆矩阵？下面我A A P 们就来讨论这个问题.定理4.2.3 阶矩阵相似于对角矩阵（可对角化）的充要条件是有个线性无n A A A n 关的特征向量.证 必要性.设存在可逆矩阵，使得P = =.P -1AP Λ(λ1λ2⋱λn)设，由 =，得 =，或P =( α1，α2，⋯，αn )P-1AP ΛAP P Λ.A ( α1，α2，⋯，αn )=( α1，α2，⋯，αn )(λ1λ2⋱ λn)即A ( α1，α2，⋯，αn )=( λ1α1，λ2α2，⋯，λm αm )因此，，由于可逆，因此，从而Aαi =λi αi (i =1，2，⋯，n )P |P |≠0都是非零向量，故分别是的属于特征值αi (i =1，2，⋯，n )α1，α2，⋯，αn A 的特征向量，再由可逆知线性无关.λ1，λ2，⋯，λn P α1，α2，⋯，αn 充分性.设分别是的属于特征值的个线性无关的特征α1，α2，⋯，αn A λ1，λ2，⋯，λn n 向量，则有Aαi =λi αi (i =1，2，⋯，n )取,因为线性无关，所以可逆，于是有P =( α1，α2，⋯，αn )α1，α2，⋯，αn P =.，AP P(λ1λ2⋱λn)即个m==P -1AP (λ1λ2⋱λn)Λ因此矩阵相似于对角矩阵.A A 因为特征向量不是唯一的，所以矩阵不具有唯一性.P 推论4.2.2 若阶矩阵有个互异的特征值，则必可对角化.n A n A 推论4.2.3 阶矩阵的充分必有条件是的每个重特征值个线性无n A 可对角化A t i λi 都有ti 关的特征向量.即.R （λi E ‒A ）=n ‒t i由上述结论可知，例4.1.3和例4.1.4给出的矩阵可对角化，而例4.1.5给出的矩阵不能对角化.根据上述结论，可以归纳出将矩阵对角化的具体计算步骤：A （1）求出阶矩阵的全部互异特征值，，，，它们的重数依次为n A λ1λ2⋯λn ；t 1，t 2，⋯，t m (t 1+t 2+⋯+t m =n )（2）求的特征向量.对每个特征值求方程组的基础解系，即为的对A λi (λi E ‒A ) x =0应的线性无关的特征向量，设为；ξi 1，ξi 2，⋯，ξis i (i =1，2，⋯，m )（3）判定是否可对角化.若对每一个特征值都有，则可对A s i =t i (i =1，2，⋯，m )A 角化，否则不可对角化；（4）当可对角化时，令A ，P =(ξ11，ξ12，⋯，ξ1s i，ξ21，ξ22，⋯，ξ2s i，ξm 1，ξm 2，⋯，ξmsm)，，，，，，，，，Λ=diag （λ1λ1⋯λ1，λ2λ2⋯λ2，⋯，λm λm ⋯λm ）且可逆，且有P =P-1AP Λ例4.2.3 判断下列矩阵能否对角化，若能，求出可逆矩阵，使得为对角矩阵.P P -1AP (1)；（2）A =(1 2 22 1 ‒2‒2 ‒2 1)B =(1 2 22 1 22 2 1)（1）矩阵的特征多项式为解A f (λ)=|λE ‒A |=|λ-1 -2 -2- 2 λ- 1 22 2 λ-1||λ-1 λ-1 λ-1- 2 λ- 1 22 2 λ-1|= (λ+1)(λ-1)(λ-3)由，得的特征值为.由推论4.2.2知，矩阵可对|λE ‒A |=0A λ1=-1，λ2=1，λ3=3A 角化.下面求可逆矩阵.P 个1个2个s m r 1+r 2r 1+r 3对于，解齐次线性方程组，即解方程组λ1=-1(-E ‒A )x =0,，(- 2 - 2 -2- 2 - 2 22 2 -2)(x 1x 2x 3)=(000)得基础解系，即为即为的属于特征值的一ξ1=(-1，-1，0)Tξ1 ξ2A λ1=-1个特征向量.对于，解齐次线性方程组 ，即解方程组λ2= 1 (E ‒A )x =0(0 ‒2 ‒2‒2 0 22 2 0)(x 1x 2x 3)=(0)得基础解系，即为的属于特征值的一个特征向量.ξ2=(1，-1，0)Tξ2A λ2=1对于，解齐次线性方程组 ，即解方程组λ3= 3 (3E ‒A )x =0，(2 -2 -2- 2 2 22 2 2)(x 1x 2x 3)=(0)得基础解系，即为的属于特征值的一个特征向量.ξ3=(0，1，-1)Tξ3A λ3=3取,则有P =( ξ1，ξ2，ξ3)=(1 1 0- 1 - 1 10 1 -1)==P-1AP (- 1 0 00 1 00 0 3)Λ（2）矩阵的特征多项式为A f (λ)=|λE ‒A |=|λ-1 -2 -2- 2 λ- 1 22 2 λ-1|λ-1 λ-1 λ-1- 2λ- 1 22 2 λ-1|= (λ+1)2(λ-5)由，得的特征值为.|λE ‒B |=0B λ1=λ2=‒1，λ3=5当−1，即−1为的二重特征值时，λ1=λ2=B .(-E ‒B )=(‒2 ‒2 ‒2‒2 ‒2 ‒2‒2 ‒2 ‒2) 1 1 1)故，依据推论4.2.3知，矩阵可对角化，且−1对应的线R (-E ‒B )=1=3‒2B λ1=λ2=性无关的特征向量为，.ξ1=(-1，1，0)T ξ2=(-1，0，1)T对于，解齐次线性方程组 ，得的属于特征值的一个特λ3= 5 (5E ‒A )x =0B λ3=5征向量.取ξ3=(1，1，1)T取,P =( ξ1，ξ2，ξ3)=(- 1 - 1 11 0 1 0 1 1)则有==P-1BP (- 1 0 00 ‒1 00 0 5)Λ对于可对角化的矩阵，我们可应用来求方程的幂,例如，对上例的矩阵，A A m =P Λm P ‒1A 我们有(1 2 22 1 ‒2‒2 ‒2 1)m=( 1 1 0‒1 ‒1 10 1 ‒1)=((‒1)m 0 00 1 00 0 3m)=(0 ‒1 ‒11 1 11 1 0).=(1 1+(‒1)m +1 1+(‒1)m +13m ‒1 3m ‒1+(‒1)m (‒1)m ‒11‒3m 1‒3m 1)例4.2.4 设，求为何值时，A =(a 1 11 a ‒11 ‒1 a )A （1）可对角化，并求相似变换矩阵；A P （2）为可逆矩阵.A ‒E 解 （1）矩阵的特征多项式为A f (λ)=|λE ‒A ||λ-a -1 -1- 1 λ-a -1- 1 2 λ-a| |λ-a -1 -1 -1λ-a -1 λ-a 10 1 λ-a |=，(λ-a -1)2(λ-a +2)故的特征值为，.A λ1=λ2=a +1λ3=a ‒2对于，解齐次线性方程组 ，得的属于特征值λ1=λ2=a +1((a +1)E ‒A )x =0A 的特征向量为，.λ1=λ2=a +1ξ1=(1，1，0)T ξ2=(-，0，1)T 对于，解齐次线性方程组 ，得的属于特征值 λ3=a -2((a -2)E ‒A )x =0A 的特征向量为.依据推论4.2.3知，无论为何值，矩阵 λ3=a -2 ξ3=(-1，1，1)T a 均可对角化.令A ，P =( ξ1，ξ2，ξ3)=(1 1 -11 0 10 1 1)则有==.P-1AP (a +1 0 00 a +1 00 0 a ‒2)Λ的特征值分别为，故当时，为可逆矩阵.（2）A ‒E a ，a ，a ‒3a ≠0且a ≠3A ‒E §4.3 实对称矩阵的对角化c 1+c 2我们已经知道，不是每个矩阵都能对角化.但本节讨论的实对称矩阵一定可以对角化，而且还能正交相似于对角矩阵,本节将讨论实对称矩阵的对角化.一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质实对称矩阵的特征值和特征向量具有一些特殊的性质,这些性质可以保证实对称矩阵一定可以对角化.定理4.3.1 实对称矩阵的特征值都是实数.证 设为实对称矩阵的特征值，为对应的特征向量，即λα.Aα=λα， α≠0用表示的共轭复数，用表示的共轭复向量.则λλαα，Aα=Aα=Aα=λα=λα于是有，αT Aα=αT (Aα)=λαT α及，αT Aα=(αT A T )α=(Aα)T α=(λα)T α=λαT α以上两式相减得，(λ-λ)αT α=0以为所以.因而，即为实数.α≠0αTα≠0λ=λλ由于实对称矩阵的特征值为实数，那么为实矩阵，则齐次线性方程组的解A λE ‒A 可取为实向量，亦即实对称矩阵的特征向量为实向量.(λE ‒A )x =0A 定理4.3.2 实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交,证 设为实对称矩阵的两个不同的特征值，分别为它们对应的特征向量，则λ1，λ2A α1，α2，从而，因是对称矩阵，又有Aα1=λ1α1，Aα2=λ2α2，α1，α2≠0αT 1(Aα2)=λ2∙αT1α2A ，于是αT 1(Aα2)=αT 1(A T α2)=( Aα1)T α2=( Aα1)T α2=( λ1α1)T α2=λ1α1T ∙α2，(λ1-λ2)α1Tα2=0因，故，即正交.λ1≠λ2α1Tα2=0α1与α2定理4.3.3 设为阶实对称矩阵，为的重特征根，则，从而特A n λA k R (λE ‒A )=n ‒k 征值恰好对应个线性无关的特征向量.λk 证明略.二、实对称矩阵的对角化由定理4.3.2和定理4.3.3可得定理4.3.4 设为阶实对称矩阵，则存在正交矩阵，使得A n Q =Q-1AQ Q T AQ =Λ=(λ1λ2⋱λn)其中，，，为的全部特征值.λ1λ2⋯λn A （1）求出阶实对称矩阵的全部互异特征值，，，，它们的重数依次为n A λ1λ2⋯λn ；t 1，t 2，⋯，t m (t 1+t 2+⋯+t m =n )（2）求实对称矩阵的特征向量.对每个特征值求方程组的基础解系，A λi (λi E ‒A ) x =0即为的对应的线性无关的特征向量，设为；(i =1，2，⋯，m )（3）用施密特正交化方法，将特征向量正交αi1，αi 2，⋯，αis i(i =1，2，⋯，m )单位化，得到一个标准正交向量组αi 1，αi 2，⋯，αiti ；βi 1，βi 2，⋯，βit i(i =1，2，⋯，m )（4）令Q =(β11，β12，⋯，β1t i，β21，β22，⋯，β2t i，βm 1，βm 2，⋯，βmtm)，，，，，，，，，Λ=diag （λ1λ1⋯λ1，λ2λ2⋯λ2，⋯，λm λm ⋯λm ）且为正交矩阵，且有Q =Q-1AQ Q T AQ =Λ例4.3.1 设实对称矩阵，A = (3 -3 -3- 3 1 -1- 3 - 1 1)求正交矩阵，使得=为对角矩阵.Q Q-1AQ Q T AQ =Λ解 矩阵的特征多项式为A f (λ)=|λE ‒A |=|λ-3 3 33 λ-1 13 1 λ-1|λ+3 λ+3 λ+33 λ-1 13 1 λ-1|=，(λ+3)(λ-2)(λ-6)=0因此，矩阵的特征值为.A λ1=-3，λ2=2，λ3=6对于，解齐次线性方程组，得基础解系；λ1=-3(-3E ‒A )x =0α1=(1，1，1)T对于，解齐次线性方程组 ，得基础解系； λ2= 2 (2E ‒A )x =0 α2=(0，1，-1)T对于，解齐次线性方程组 ， 得基础解系.λ3= 6 (6E ‒A )x =0 α3=(-2，1，1)T将单位化，可得α1，α2，α3β1=1||α1||α1=13(1，1，1)T ，β2=1||α2||α2=12(0，1，‒1)T ，β3=1||α3||α3=16(-2，1，1)T令个s 1个2个s m,Q =( β1，β2，β3)=(130 2613 1216131216)且为正交矩阵，且有Q =Q-1AQ Q TAQ =(- 3 0 00 2 00 0 6)例4.3.2 设实对称矩阵，A = (1 -2 2- 2 - 2 42 4 -2)求正交矩阵，使得=为对角矩阵.Q Q-1AQ Q T AQ =Λ解 矩阵的特征多项式为A f (λ)=|λE ‒A ||λ-1 2 -22 λ+2 -4- 2 - 4 λ+2| |λ-1 2 -22 λ+2 -4- 2 λ- 2 λ-2|=，(λ-2)2(λ+7)=0因此，矩阵的特征值为.A λ1=λ2=2，λ3=7对于，解齐次线性方程组，得基础解系，λ1=λ2=2(2E ‒A )x =0α1=(-2，1，0)T；先将向量正交化，令α2=(2，0，1)T α1，α2，η1=α1=(-210)，η2=α2=-(α2，η1)(η1，η1)=(201)+45(-210)=(25451)再单位化，得β1=1||η1||η1=15(-210)，β2=1||η2||η2=135(245)，对于，解齐次线性方程组 ， 得基础解系，λ3=‒7 (‒7E ‒A )x =0 α3=(1，2，‒2)T将其单位化，得.β3=1||α3||α3=13(12-2)令r 3+r 2,Q =( β1，β2，β3)=(‒25235 1315435 230 535 ‒23)且为正交矩阵，且有Q =.Q -1AQ Q TAQ = (2 0 00 2 00 0 ‒7)例4.3.3设三阶实对称矩阵的特征值为，且属于的特征矩阵A λ1=-1，λ2=λ3=1λ1为，求矩阵.α1=(0，1，1)TA 解 设的属于特征值的特征向量为，则与正交，即A λ2=λ3=1α=(x 1，x 2，x 3)Tαα1，α1T α=x 2+x 3=0解此齐次线性方程组，得基础解系，α2=(1，0，0)T ，α3=(0，1，‒1)T 易见，正交. 将单位化，可得α2，α3 α1，α2，α3β1=1||α1||α1=12(011)，β2=1||α2||α2=(100)，β3=1||α3||α3=12(01-1)令,则为正交矩阵，且有Q =( β1，β2，β3)=12(0 2 01 0 11 0 -1)Q =，Q-1AQ Q TAQ =B =(- 1 0 00 1 00 0 1)从而= A =Q-1BQ Q T BQ.=12(0 2 01 0 11 0 ‒1)(- 1 0 00 1 00 0 1)(0 1 12 0 00 1 ‒1)=(1 0 00 0 ‒10 ‒1 0)习题四（A ）一、填空题1.为阶矩阵，有非零解，则必有一个特征值__________.A n Ax =0A 2.若阶可逆方阵的每行元之和，则的一个特征值为__________.n A a 3A-1+E3.设为三阶可逆矩阵，其逆矩阵的特征值为，则行列式 __________.A 12，13，14|E ‒A |=4.设是非奇异矩阵的一个特征值，则矩阵有一个特征值为__________.λ=2(13A 2)-15.若为四阶实对称矩阵，，且2是的三重特征值，则的相似对角矩阵为A |A |=-8A A __________.6. 设为阶矩阵，有个互异特征值，，，，则有__________A n A n λ1λ2⋯λn R (λj E ‒A ) x =.(j =1，2，⋯，n )7. 设是三阶实对称矩阵，的特征值是，则有__________.A A λ1=λ2=1，λ3=-1A 2n =8.若四阶矩阵相似，矩阵的特征值为，则A 与B A 12，13，14，1513|(B -1)∗+E |=__________.9.已知矩阵只有一个线性无关的特征向量，则A =(4 a2 6)a =__________.10.设，矩阵，为自然数，则行列式α=(2，1，‒1)T A =ααTn |a E -A*|=__________.11.已知三阶实对称矩阵的一个特征值为，对应的特征向量，且A λ=2α=(1，2，‒1)T的主对角线上的元全为零，则A A =__________.二、单选题1.设三阶矩阵，则的特征值是（）A =(1 1 01 0 10 1 1)A （A ）1,0,1（B ）1,1,2（C ）-1,1,2（D ）1,-1,12.若可对角化的阶矩阵只有一个特征值为零，则=（）n A R (A )（A ）n（B ）n -1（C ）1（D ）03.设是矩阵对应于特征值的特征向量，当线性组合满足αi (i =1，2，⋯，n )A A ∑=ni 1k i αi （）时，也是矩阵对应于特征值的特征向量.∑=ni 1k i αi A A （A ）其中不全为零k i （B ）其中全不为零k i （C ）是非零向量（D ）是任一向量4.当满足下列（）条件时，矩阵相似.A 与B （A ）|A |=|B |（B ）R (A )=R (B )（C ）有相同的特征多项式.A 与B （D ）阶矩阵有相同的特征值且个特征值不相同.n A 与B n 5.已知二阶实对称矩阵的特征向量为，且，则必为的特征向量的是（）A (-31)|A |<0A （A ）c (-31)（B ）c (13)，c ≠0（C ）c 1(-31)+c 2(13)，c 1≠0，c 2≠0（D ）c 1(-31)+c 2(13)，c 1，c 2不同时为零6.设是阶非零矩阵，，下列命题不正确的是（）.A n A k=O （A ）的特征值只有零A （B ）必不能对角化A （C ）必可逆E +A +⋯+A k ‒1（D ）只有一个线性无关的特征向量A 7.设是矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则λ1，λ2A α1，α2线性无关的充要条件是（）α1，A (α1+α2)（A ）λ1=0（B ）λ2=0（C ）λ1≠0（D ）λ2≠08.若，且，则以下结论错误的是（）.A 2≠A A ≠E ，O （A ）|A ‒E |≠0（B ）(A +E )‒1=‒12(A ‒2E )（C ）为不可逆矩阵A （D ）必有特征值A λ≠09.设，有特征值（二重），且有三个线性无关的特A =(1 -1 12 4 x- 3 - 3 5)A λ1=6，λ2=2A 征向量，则.x =( )（A ）4（B ）2（C ）‒4（D ）‒210.设为阶矩阵，且相似，则（）A ，B n A 与B （A ）λE ‒A =λE ‒B（B ）均相似于同一个对角矩阵.A 与B （C ）有相同的特征值与特征向量A 与B （D ）对任意常数，相似.a aE ‒A 与aE ‒B 三、综合题1.求下列矩阵的特征值与特征向量：（1）； （2）；（3）；（4）.(- 3 2- 2 2)(0 0 10 1 01 0 0)(2 0 01 2 -11 0 1)(2 0 01 1 11 ‒1 3)2.判断下列矩阵是否相似：A 与B （1）；A =(3 1 00 3 10 0 3)，B =(3 0 00 3 00 0 3)（2）；A =(1 1 00 2 10 0 3)，B =(1 0 00 2 00 0 3)（3）；A =(1 1 00 2 10 0 3)，B =(1 0 00 2 00 0 3)（4）.A =(1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1)，B =(4 0 0 01 0 0 01 0 0 01 0 0 0)3.求下列矩阵的次幂:k （1）； （2）.A =(- 3 2- 2 2)A =(1 4 20 -3 40 4 3)4. 求正交矩阵，使得为对角矩阵.Q Q TAQ (1)；（2）.A =(0 -2 2- 2 - 3 42 4 - 3)A =(1 2 42 -2 24 2 1)5.设是阶方阵的一个特征值，且的伴随矩阵为，试证：λ0n A (λ0E ‒A )(λ0E ‒A )*的非零列向量是的属于的特征向量.(λ0E ‒A )*A λ06.考察栖息地在同一地区的兔子和狐狸的生态模型，对两种动物的数量的相互依存的关系可用以下模型描述：{x n = 1.1x n -1-0.15y n -1，y n =0.1x n -1-0.85y n -1，n =1，2，⋯，其中分别表示第年时兔子和狐狸的数量，而分别表示基年时兔子和狐x n ，y n x 0，y 0(n =0)狸的数量，记，αn =(x ny n )n =1，2，⋯，（1）写出该模型的矩阵形式；（2）如果,求.α0=(x0y 0)=(108)αn （3）求lim n→∞αn7.设相似，求：（1），的值；（2）求正交矩阵A =(1 0 00 a 10 1 0)，B =( 1 0 00 b 00 0 -1)a b ，使得.Q Q-1AQ =B8.设向量，，且记α=(a 1，a 2，⋯，a n )T ≠0β=(b 1，b 2，⋯，b n )T≠0αT β=0，，求的所有特征值及特征向量.A =αβTA 9.设为三维单位列向量，且，令，证明与相似.α，βαT β=0A =αT β+αβTA (1-1 0)10.设三阶实对称矩阵的特征值是1,2,3，矩阵的属于特征值1,2,3的特征向量分别是A A ，.(1)求的属于特征值3的特征向量；（2）α1=(-1，-1，1)T α2=(1，‒2，‒1)T A 求矩阵.A 11.设，若为的一个特征值，求；（2）求.A =(2 0 01 2 -11 0 k ) λ=1A k An(-142)12.若存在正交矩阵，使矩阵同时相似于对角矩阵，则必有.Q A ，B AB =BA 13.设为三阶实对称矩阵，且满足条件，的秩.求的全部特征值.A A 2+2A =O A R (A )=2A 14.设，求实对称矩阵，使.A =(8 -2 -2- 2 5 4- 2 - 4 5)B A =B 215.设矩阵，求.(1 4 20 -3 40 4 3)A 201316.已知三阶矩阵相似，是的两个特征值，，计算A 与B λ1=1，λ2=2A |B |=2,其中是的伴随矩阵.|(A +E )‒1 OO ( 2B )∗|( 2B )∗2B （B ）1.设矩阵相似，相似，试证：与相似.A 与B C 与D (A O O C )(B O O D )2.已知与对角矩阵相似，求.A =(0 0 1x 1 2x -31 0 0)x 3.设是阶实幂等矩阵（即），且.A n A =A 2R (A )=r ，0<r ≤n （1）设，试证.R (A ‒E )=s ，0<s ≤n r +s =n （2）试证：；A~( 1 ⋱ 10 ⋱0)（3）求|2E -A |4.设为阶矩阵，，证明A ，B n R (A )+R (B )<n （1）是的相同特征值；λ=0A 与B （2）与的基础解系线性相关.Ax =0Bx =05.设是阶矩阵，且任一非零维向量都是的特征向量，试证：A n n A （即为数量矩阵）A =(λλ⋱λ)A 6.已知三阶非零矩阵满足，，，证明：A ，B A =A 2B 2=B AB =BA =O （1）0和1必是的特征值；A 与B （2）若的特征向量，的个特征值两两互异，若的特征向量总是的特α是A 关于λ=1A n A B 征向量，证明.AB =BA 8.设均为阶非零矩阵，且满足，，证明：A ，B n A +A 2=O B +B 2=O （1）是的特征值.-1A ，B （2）若，分别是对应于的特征向量，则线AB =BA =O ξ1，ξ2A ，B λ=-1ξ1，ξ2性无关.答案：一、填空题1.02.3a+13.-64.345.. (2 22-1)6. n -17.E8.14 7639.-1210.a 2(a -6n )11.A =(0 2 22 0 -22 -2 0)二、单选题1-5 CBCDB 6-10 DDADD 三、综合题1.（1），，的属于的特征向量；的属于λ1=1λ2=-2A λ1=1c 1(12)，c 1≠0A的特征向量.λ2=-2c 2(21)，c 2≠0（2），；的属于的特征向量为λ1=λ2=1λ3=-1A λ1=λ2=1不全为零；的属于的特征向量为c 1(101)+c 2(010)，c 1，c 2A λ3=-1c 3(-101)，c 3≠0（3），；的属于的特征向量为不λ1=λ2=2λ3=1A λ1=λ2=2c 1(101)+c 2(010)，c 1，c 2全为零；的属于的特征向量为.A λ3=1c 3(011)，c 3≠0（4）（三重）；的属于的特征向量为不全为零；λ=2A λ=2c 1(110)+c 2(-101)，c 1，c 22.（1）不相似；（2）相似；（3）相似.3.(1)；A k=13((-1)k 2k +2- 1 (-1)k +12k +1+2(-1)k 2k +1- 2 (-1)k +12k +4)（2）当为偶数时，；当为奇数时，k A k =(1 0 -1+5k0 5k 00 0 5k )k .A k =(1 4×5k -1 -1+3×5k -10 - 3×5k -1 4×5k -10 4×5k -1 3×5k -1 )。
矩阵的对角化
P 1 AP
0
1
0
0 0 1
小结：将一个方阵对角化，可按如下步骤进行：
第一步 令|λE-A|=0,求出A的全部特征值
1, 2 , , r
第二步 解 (iE A)x 0(i 1, 2, , r) ，求出每个 特征值对应的齐次方程组的基础解系。
第三步 如果按上述方法可求出A有n个线性无关
对于 λ 2 =λ 3 = 1，解方程组 (E – A )χ = 0
对系数矩阵作初等变换
2
4
1 2
0
1
0
0
0 1
1 2
1 0 1
0 0 0
解方程组
x1
x2
x3 2x3
0 0
x1 x3
得通解
x2
2x3
x3 x3
x1 1 x2 k 2 x3 1
(k 为任意常数）
因为 λ 2 =λ 3 = 1 是二重根，而对应于λ 2 =λ 3 = 1无两 个线性无关的特征向量，故A不能与对角阵相似。
对于2 3 1 可求得线性无关的特征向量
2 (2,1, 0), 3 (0, 0,1)
这三个特 征向量线 性无关
1 2 0
1 2 0
P 1
2
3
1
1
1 0
0
1
P1
1
1
1 2
0
1
2 0 0
（3） 传递性 A相似于B，B相似于C，可推出 A相似于C。
将矩阵对角化的过程
将矩阵对角化的过程矩阵对角化是线性代数中一个重要的概念，其可以将一个矩阵变换为对角矩阵，使得矩阵的运算更加简便。
本文将介绍矩阵对角化的过程及其应用。
一、矩阵对角化的定义矩阵对角化是指将一个$n\times n$矩阵$A$与一个可逆矩阵$P$相似，即$P^{-1}AP=D$，其中$D$是一个对角矩阵。
对角矩阵是指只有对角线上有非零元素的矩阵，即$D=\begin{bmatrix}d_1&0&\cdots&0\\0&d_2&\cdots&0\\\v dots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&d_n\end{bmatrix }$，其中$d_1,d_2,\cdots,d_n$是对角线上的元素。
二、矩阵对角化的步骤对于一个给定的矩阵$A$，我们可以按照以下步骤对其进行对角化：1. 求出矩阵$A$的特征值和特征向量：设$\lambda$是矩阵$A$的一个特征值，$v$是对应的特征向量，满足$Av=\lambda v$，则特征值和特征向量可以通过解方程$(A-\lambda I)v=0$得到。
2. 构造矩阵$P$：将所有的特征向量按列组成一个矩阵$P$，即$P=[v_1,v_2,\cdots,v_n]$。
3. 求出矩阵$P^{-1}$：由于$P$是由特征向量组成的矩阵，因此其列向量线性无关，即$P$可逆，因此可以求出$P$的逆矩阵$P^{-1}$。
4. 求出对角矩阵$D$：由于$AP=PD$，因此$D=P^{-1}AP$，即$D$是$A$相似的对角矩阵。
至此，我们就完成了矩阵对角化的过程。
三、矩阵对角化的应用矩阵对角化在线性代数和其它学科中都有着广泛的应用。
以下是其中的几个例子：1. 求矩阵的幂：对于一个已经对角化的矩阵$A$，其幂可以通过对角矩阵的幂来计算，即$A^k=PD^kP^{-1}$。
矩阵对角化方法
矩阵对角化方法矩阵对角化方法摘要：本文给出了一种不同于传统方法的矩阵对角化方法，利用矩阵的初等变换，先求出矩阵的特征根与特征向量，接着再判断矩阵是否可对角化。
关键词：矩阵特征根特征向量对角化The Methods of the Diagonalization of the MatrixgAbstract: In this paper, the method of the diagonalization of the matrix is given, which is different from the traditional methods. According to using the elementary transformation of the matrix, first of all, The author obtains the characteristic roots and the characteristic vectors, then judge the diagonalization of the matrix.Key words: Matrix; Characteristic roots; Characteristic vectors; Diagonalization1、引言对角化后的矩阵在计算和应用等方面比一般矩阵更具优越性，而矩阵对角化方法有很多，如对于对称矩阵可以将其看成二次型所对应的矩阵，通过配方法将其化为标准形从而实现矩阵的对角化，再如通过求解特征根和特征向量方法，首先求解0||=-A E λ得特征根i λ，然后对每一个i λ，解方程组0)(=-X A E i λ得特征向量，即寻找一个可逆矩阵T ，使得Λ=-AT T 1,其中Λ为对角阵，于是可得1-Λ=T T A ，从而1-Λ=T T A n n , 在这个对角化过程中，Λ中的元素即为矩阵A 的特征根，T 中每个列向量即为矩阵A 的属于每个特征根的特征向量。
线性代数 矩阵的相似对角化(1)
矩阵的相似对角化◼矩阵的相似对角化◼矩阵相似对角化举例矩阵的相似对角化(1)主要内容◼可相似对角化的方阵◼矩阵的相似对角化定义1设A 是数域P 上的n 阶方阵，如果存在数域P 上的可逆阵Q ，使得n Q AQ λλλ−⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭121,则称A 是可相似对角化的方阵，简称A 为()i P i n λ∈=1,2,,,可对角化.⚫可相似对角化的方阵例11101A ⎛⎫= ⎪⎝⎭取复数域C 上的二阶矩阵则A 在复数域上不能对角化.证a b Q c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭设若不然，则存在可逆矩阵并非所有方阵都可以对角化.Q AQ λλ−⎛⎫= ⎪⎝⎭11200，λ1,λ2∈P .使AQ Q λλ⎛⎫= ⎪⎝⎭120012011001a b ab c d cd λλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即于是比较两边元素有1212a c a a dbc cd d λλλλ+=⎧⎪+=⎪⎨=⎪⎪=⎩由于Q 可逆，再由第一式有c = 0，c ,d 不能同时为0，不妨设c ≠ 0，这导致矛盾.因此，不可能存在可逆矩阵Q 使Q -1AQ 化即A 在复数域C 上不能对角化.则有λ1=1，成对角形，(1)单位矩阵只能同单位矩阵相似.例2(2)数量矩阵也只相似于数量矩阵.因为对单位矩阵E与任何可逆矩阵P,都有P−1EP = E, P−1kEP = kE.问题：给定n阶矩阵A，如何在与A相似的所有方阵中，找出最简单的矩阵是什么？(相似标准形问题)换言之，如何寻找一个可逆矩阵Q，使Q-1AQ=B成为对角阵呢?（这一片不出现）这就是下面要讨论的主要问题.我们知道：1.单位矩阵只能同单位矩阵相似.2.数量矩阵也只相似于数量矩阵.除这两类阵矩外，再简单的矩阵就是对角矩阵.那么任何矩阵A是否都相似于一个对角矩阵呢？如果A 可相似对角化，n Q AQ λλλ−⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭121,则存在可逆阵Q 使也就是说，满足什么条件的矩阵是可以对角化的呢?若此式成立, λi 应满足什么条件呢？n AQ Q λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭12.记α1,α2, …, αn 为Q 的列向量，121212(,,,)(,,,),n n n A λλααααααλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭则有从而有即()()121122,,,,,,n n n A A A αααλαλαλα=从而()i i i A i n αλα==1,2,,且α1, α2, …, αn 线性无关.⚫矩阵相似变换下化为对角形定理1证明(⇐)若A 有n 个线性无关的分别属于特征值n 阶矩阵A 与对角矩阵相似⇔A 有n 个线性无关的特征向量.λ1, λ2, …, λn 的特征向量α1, α2, …, αn , 以α1, α2, …, αn 为列向量作矩阵Q =(α1, α2, …, αn ),显然Q 满秩. 且12(,,,)nAQ A A A ααα=1122(,,,)n n λαλαλα=()1212n n λλαααλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭n Q λλλ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭12即n Q AQ λλλ−⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭121.(⇒)必要性由充分性逆推可得.注：证明中λ, λ2, …, λn的顺序与α1, α2, …, αn1对应.不管顺序如何，对角矩阵的主对角线元素总是A的n 个特征值.因此在不考虑顺序时，与矩阵A相似的对角阵唯一.定理1表明：一个n阶方阵A是否可以相似对角化，关键在于它是否有n个线性无关的特征向量.我们从例1可以看到，并非任何方阵都可相似对角化.问题是否任一n 阶矩阵都有n 个线性无关的特征向量呢?征值的特征向量是彼此线性无关的，有n 个线性无关的特征向量，如果A 的特征值都是单根，因为属于不同特这时A 从而A 可以对角化.推论：证若A 是复数域上的n 阶矩阵，且A 在复数域上的特征根都是单根，在复数域上可相似对角化.由于复数域上的n 次多项式必有n 个根，如果都是单根，则这n 个根互不相同.必有分别属于它们的特征向量于是，则A α1, α2, …, αn .α1, α2, …, αn 线性无关，由定理可知:A 可相似对角化. 从而该推论给出了方阵相似于对角形矩阵的一个充分条件，但不是必要条件.问题是否任一n阶矩阵都有n个线性无关的特征向量呢?如果A有重根，注意到属于A 的不同特征值的线性无关的特征向量组成的向量组是线性那么只有属于它的每个重根的线性无关的，无关的特征向量个数和该特征值的重数相等它才有n个线性无关的特征向量，这时时，A才可以对角化.补充定理在复数范围内，n阶矩阵相似于对角形矩阵的充分必要条件:每个特征值的线性无关特征向量的个数等于它的重根的次数.。
矩阵对角化的方法
矩阵对角化的方法
矩阵对角化是将一个方阵通过相似变换，转化为对角矩阵的过程。
常用的矩阵对角化方法有以下几种：
1. 特征值分解：对于一个可对角化的矩阵，可以通过求解其特征值和特征向量来进行对角化。
首先求解矩阵的特征值，然后求解每个特征值对应的特征向量，并将这些特征向量排列成一个矩阵，将原矩阵相似变换到对角矩阵。
2. 正交对角化：对于实对称矩阵，可以通过正交对角化的方法进行对角化。
首先通过特征值分解求解出特征值和对应的特征向量，然后将特征向量单位化得到正交矩阵，再进行相似变换得到对角矩阵。
3. Jordan标准形：对于不可对角化的矩阵，可以通过Jordan标准形对其进行对角化。
首先求解矩阵的特征值和对应的特征向量，然后通过Jordan标准形的分块结构将矩阵进行相似变换得到对角矩阵。
需要注意的是，并不是所有矩阵都可以对角化。
只有满足一定条件的矩阵才可以进行对角化。
矩阵对角化公式
矩阵对角化公式矩阵对角化是线性代数中一个重要的概念，它可以将一个矩阵转化为对角矩阵的形式。
对角化的过程在许多数学和工程领域中都有广泛的应用，例如解线性方程组、求特征值和特征向量、矩阵的幂运算等。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^-1 * A * P = D，其中D为对角矩阵，则称矩阵A可对角化。
这个等式可以进一步展开为 A = P * D * P^-1。
在这个等式中，D的对角线上的元素为矩阵A的特征值，而P的列向量为相应的特征向量。
矩阵对角化的一个重要性质是，可对角化的矩阵必然是可对角化的，并且它们的特征值是相同的。
换句话说，如果A和B是可对角化的，并且它们的特征值相同，则存在可逆矩阵P和Q，使得P^-1 * A * P = Q^-1 * B * Q。
要判断一个矩阵是否可对角化，可以通过计算矩阵的特征值和特征向量来进行。
首先，计算矩阵的特征多项式，并求解特征多项式的根，这些根即为特征值。
接下来，对于每个特征值，求解齐次线性方程组 (A - λI)x = 0，得到对应的特征向量。
如果矩阵A具有n 个线性无关的特征向量，即其特征向量的个数等于矩阵的秩，那么矩阵A是可对角化的。
值得注意的是，并非所有的矩阵都可以对角化。
一些不可对角化的矩阵称为不可对角阵，其中最常见的例子是具有重复特征值的矩阵。
对于不可对角化的矩阵，我们可以使用类似于对角化的方法来将其转化为更简化的形式，例如Jordan标准形或者Schur标准形。
总结起来，矩阵对角化是一种重要的线性代数操作，它可以将矩阵转化为对角矩阵的形式，便于研究矩阵的性质和求解相关问题。
对角化的过程需要计算矩阵的特征值和特征向量，而可对角化的条件是矩阵具有n个线性无关的特征向量。
对于不可对角化的矩阵，我们可以采用其他方法进行简化。
矩阵a可对角化的充要条件(一)
矩阵a可对角化的充要条件(一)矩阵a可对角化的充要条件引言在线性代数中，矩阵的对角化是一个重要的概念。
当一个矩阵能够通过相似变换，转化为一个对角矩阵时，我们称它是可对角化的。
矩阵的对角化在许多应用中都扮演着重要的角色。
本文将讨论矩阵a可对角化的充要条件。
充分条件一个矩阵a可对角化的充分条件是：a由n个线性无关的特征向量组成。
对于一个n阶矩阵a，如果它具有n个线性无关的特征向量，那么它就可以被对角化。
由于特征向量是相应特征值的根，每个特征向量都可以对应到一个不同的特征值。
因此，通过将这些特征向量组成矩阵P，将特征值组成对角矩阵D，可以将矩阵a用P和D进行对角化。
必要条件一个矩阵a可对角化的必要条件是：a有n个不同的特征值。
当一个矩阵a可以被对角化时，它必然有n个不同的特征值。
因为如果矩阵a的特征值重复，就会导致特征向量无法构成n个线性无关的向量，从而无法对角化。
因此，矩阵a有n个不同的特征值是它可对角化的必要条件。
矩阵可对角化的判定方法除了以上充分条件和必要条件外，我们还可以通过矩阵的代数重数和几何重数来判定矩阵是否可对角化。
•矩阵的代数重数是指特征多项式重根的个数。
如果矩阵的每个特征值的代数重数等于它的几何重数，则矩阵可对角化。
•矩阵的几何重数是指相应于一个特征值的特征向量的个数。
如果矩阵的每个特征值的几何重数等于它的代数重数，则矩阵可对角化。
通过计算矩阵的特征多项式的根和特征向量的个数，我们可以判定矩阵是否可对角化。
总结矩阵a可对角化的充分条件是由n个线性无关的特征向量组成，而必要条件是具有n个不同的特征值。
此外，我们还可以通过矩阵的代数重数和几何重数来判定矩阵是否可对角化。
对于创作者来说，了解矩阵的对角化条件是很重要的基础知识，它能够帮助我们更好地理解线性代数中的概念和定理，从而为我们的创作提供更多可能性。
希望本文能给大家带来一些帮助。
第五章 矩阵的对角化问题
矩阵 A 的相似标准形。 （2）可逆矩阵 P 由 A 的 n 个线性无关的特征向量 作列向量构成。
22
例1: 判断下列实矩阵能否化为对角阵？
1 2 2 2 2 4 (1) A 2 4 2
解:
2 1 2 5 3 3 (2) A 1 0 2 2 2 4 2
3
2 p2 3 p3
取 P p1
1
p2
1 p1 p2 p3 2 1 1 1 p3 0 1 2 1 0 1
2
0 3
21
定理1： n 阶矩阵 A 可对角化（与对角阵相似）
A 有 n 个线性无关的特征向量。
推论：若 n 阶方阵 A 有 n 个互不相同的特征值,
则 A 可对角化。（与对角阵相似） (逆命题不成立) 注：（1）若 A , 则 的主对角元素即为 A 的特征值，
如果不计
k 的排列顺序，则 唯一，称之为
1 2
(1) A E 2
2 4
的 n 个特征值为 , ,,
1 2
n
1＋2＋＋n a11 a22 ann
aii tr ( A)
i 1 n
称为矩阵A的迹。（主对角元素之和）
2)
i 1
n
i
12 n＝ A
9
例2 ：设 为矩阵 A 的特征值，求 A2 2 A E 的特征值； 若 A 可逆，求 A , E A
等号左边第二个矩阵的行列式为Vandermonde行列式， 当 i 各不相同时，该行列式的值不等于零，所以存在逆矩阵。
矩阵的对角化计算方法和例子
矩阵的对角化计算方法和例子矩阵对角化是矩阵理论中的基础概念，它是将一个矩阵A转换成一个对角矩阵D的过程，即找到一个可逆矩阵P，使得PAP⁻¹=D，其中D 为对角矩阵，其非零元素为原矩阵A的特征值，P的列向量为A的对应特征值的特征向量。
接下来我们将介绍两种常见的矩阵对角化计算方法，以及一个简单的例子。
一、矩阵对角化的计算方法1. 直接计算法通过计算特征值和特征向量，可以直接得到对角矩阵。
具体步骤如下：（1）求出矩阵A的特征值λ1、λ2、... 、λn；（2）对于每一个特征值λi，求出相应的特征向量xi；（3）将特征向量按列排成矩阵P=[x1,x2, ... ,xn]，则A可以被对角化为P⁻¹AP=D，其中D是由特征值组成的对角矩阵。
2. 相似矩阵法将矩阵A转化为一个相似矩阵B，使得B是对角矩阵，即B=[diag(λ1,λ2, ... ,λn)]。
具体步骤如下：（1）求出矩阵A的特征值λ1、λ2、... 、λn；（2）对于每一个特征值λi，求出相应的特征向量xi；（3）将特征向量按列排成矩阵P=[x1,x2, ... ,xn]，则A可以被对角化为B=P⁻¹AP。
二、矩阵对角化的例子考虑矩阵A=[1 22 1]首先求出A的特征值：|A-λI|=(1-λ)²-4=λ²-2λ-3=(λ-3)(λ+1)所以A的特征值为λ1=3和λ2=-1。
接下来求出A的特征向量：当λ1=3时，解方程组(A-λ1I)x=0得到x1=[1-1]，当λ2=-1时，解方程组(A-λ2I)x=0得到x2=[11]。
将特征向量按列排成矩阵P=[x1,x2]，则A可以被对角化为P⁻¹AP=D=[3 00 -1]。
因此，矩阵A可以被对角化，对角矩阵为D，可逆矩阵为P。
矩阵对角化的步骤
矩阵对角化的步骤矩阵对角化是线性代数中一项重要的技术，它可以将一个复杂的矩阵转化为一个更简单的对角矩阵。
在实际应用中，对角化可以帮助我们简化数学计算、解决方程组和求解特征值等问题。
下面将介绍矩阵对角化的步骤。
一、什么是矩阵对角化？在线性代数中，一个n×n的方阵A称为可对角化矩阵，当且仅当它可以表示成PDP−1的形式，其中P是可逆方阵，D是对角矩阵。
也就是说，通过一系列变换可以将原始矩阵转换为一个对角矩阵。
二、为什么要进行矩阵对角化？1. 简化计算通过对角化可以将原始矩阵转换为一个更加简单的形式，使得计算更加容易。
例如，在求解线性方程组时，如果系数矩阵可对角化，则可以直接求出其逆和行列式等参数。
2. 求解特征值通过对角化可以求出一个矩阵的特征值和特征向量。
这些参数在许多应用中都非常重要，例如图像处理、信号处理和物理建模等领域。
三、矩阵对角化的步骤1. 求出矩阵的特征值和特征向量对于一个n×n的矩阵A，首先需要求出它的n个特征值λ1,λ2,…,λn 和对应的特征向量v1,v2,…,vn。
这一步可以通过求解矩阵A−λI的零空间来实现，其中I是单位矩阵。
具体地，我们需要求解线性方程组(A−λI)x=0，并找到所有非零解x。
这些非零解构成了矩阵A的特征向量。
2. 构造特征向量矩阵P将所有求得的特征向量按列排成一个矩阵P=[v1v2⋯vn]，称为特征向量矩阵。
注意到如果某个特征值有多个线性无关的特征向量，那么它们都可以被加入到P中。
3. 求出对角化矩阵D将所有求得的特征值按对角线排列构成一个对角矩阵D=diag(λ1,λ2,…,λn)。
4. 求出逆变换矩阵P−1由于P是由线性无关的特征向量构成的矩阵，因此它是可逆的。
我们可以通过高斯-约旦消元法或矩阵求逆公式等方法求出P的逆矩阵P−1。
5. 检验对角化结果将对角化矩阵D和逆变换矩阵P−1代入PDP−1，即可得到原始矩阵A的对角化形式。
为了检验结果是否正确，可以计算PDP−1与原始矩阵A之间的误差。
第四章矩阵的对角化
第四章 矩阵的对角化矩阵的特征值、特征向量和方阵的对角化理论与方法是矩阵理论的重要组成部分, 它们不仅在数学的各个分支有着重要的应用, 而且在其他学科、工程技术以及数量经济分析等领域有着极其广泛的应用. 本章主要讨论方阵的特征值与特征向量理论及方阵的相似对角化问题, 并应用这些理论和方法解决一些实际问题.§4.1 矩阵的特征值与特征向量工程技术中的振动问题和稳定性问题, 往往可归结为求一个方阵的特征值和特征向量的问题. 特征值和特征向量的概念不仅在理论上很重要, 而且也可直接用来解决实际问题.一、特征值和特征向量的基本概念 先看一个例子设31,51⎛⎫= ⎪-⎝⎭A 取1,1α⎛⎫= ⎪⎝⎭可验证31144.5114αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭A这说明矩阵A 作用在向量α上变成了常数倍. 我们把具有这种性质的非零向量α称为矩阵A 的特征向量, 数4称为对应于α的特征值.对于一般的n 阶矩阵, 引入如下概念：定义1. 1 设A 是n 阶矩阵, 如果存在数λ和n 维非零向量,α使得,αλα=A则称数λ为矩阵A 的特征值, α是A 的属于（或对应于）特征值λ的特征向量.根据定义, n 阶矩阵A 的特征值, 就是使齐次线性方程组()λ0E A x -= 有非零解的λ的值, 即满足方程0-=E A λ的λ都是矩阵A 的特征值. 在复数域上n 次方程有n 个根（重根按重数计算）, 因此n 阶矩阵A 在复数域上有n 个特征值.方阵A 的对应于特征值λ的特征向量就是齐次线性方程组()λ0E A x -=的非零解.定义1. 2 设n 阶矩阵(),⨯=ij n n A a 则()f =λ-E A λ111212122212n nn n nna a a a a a a a a λλλ------=---称为矩阵A 的特征多项式, -E A λ称为A 的特征矩阵, 0-=E A λ称为A 的特征方程.根据上述定义, 求n 阶A 的特征值与特征向量的求法可按如下步骤进行： （1）由()0f E A λλ=-=求出矩阵A 的全部特征值12,,,,n λλλ其中0)(=λf 的t重根, 对应A 的t 个数值相同的特征值.（2）对于A 的每一个特征值,i λ求解齐次线性方程组(),λ-=0i E A x 设它的一个基础解系为12,,,n r ξξξ-（其中()i r R E A λ=-, 则A 的属于i λ的全部特征向量为1122,n r n r k k k ξξξ--+++其中12,,,n r k k k -是不全为零的任意实数.例1. 1 求1124-⎛⎫=⎪⎝⎭A 的特征值和特征向量.解 A 的特征多项式为-=E A λ11(2)(3),24λλλλ-=----故A 的特征值为122,3λλ==．对特征值12λ=, 解方程(2)-=0E A x , 由(2)-E A 1111,2200⎛⎫⎛⎫=→ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭求得(2)-=0E A x 基础解系为11,1ξ-⎛⎫=⎪⎝⎭故111(0)k k ξ≠是对应于12λ=的全部特征值向量．对特征值23λ=, 解方程(3)-=0E A x , 由2121(3),2100⎛⎫⎛⎫=→ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭E -A求得(3)-=0E A x 基础解系21,21ξ⎛⎫- ⎪= ⎪⎝⎭所以222(0)k k ξ≠是对应于23λ=的全部特征向量．例1. 2 设211020413A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, 求A 的特征值和特征向量.解 A 的特征多项式为221102(2)(1)413E A λλλλλλ+---=-=-+--,所以A 的特征值为1232, 1.λλλ===-对特征值122λλ==, 解方程(2)-=0E A x , 即41100000,4110x --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭得其基础解系为12114,0,04ξξ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故对应于122λλ==的全部特征向量为112212(,k k k k ξξ+不同时为0).对特征值31λ=-, 解方程()--=0E A x , 即11100300,4140x --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭得其基础解系为310,1ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭故对应于31λ=-的全部特征向量为333(0)k k ξ≠.例1. 3 求n 阶数量矩阵a aa ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 的特征值和特征向量. 解 ()0,n aaa aλλλλλ---==-=-EA故A 的特征值为12.n a λλλ====把a λ=代入()λ-=0E A x 得1200,00,,00.n x x x ⋅=⋅=⋅=这个方程组的系数矩阵是零矩阵, 所以任意n 个线性无关的向量都是它的基础解系, 取单位向量组12100010,,,001εεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n 作为基础解系, 于是A 的全部特征向量为1122 n n k k k ++εεε(12,,,n k k k 不全为0) .注 特征方程0E A λ-=与特征方程0A λ-=E 有相同的特征根, A 的对应于特征值λ的特征向量是齐次线性方程组()λ0E A x -=的非零解, 也是()λ0A E x -=的非零解. 因此, 在实际计算特征值和特征向量时, 以上两种形式均可采用.二、特征值与特征向量的性质性质1. 1 设A 为n 阶矩阵, 则A 与A T有相同的特征值.证明 因为()T T E A E A E A λλλ-=-=-所以A 与A T有相同的特征多项式, 故它们的特征值相同.性质1. 2 设n 阶方阵()A ⨯=ij n n a 的n 个特征值为12,,,,n λλλ则（1）121122;n nn a a a λλλ+++=+++（2）12.n A λλλ=其中A 的主对角线的元素之和1122nn a a a +++称为矩阵A 的迹, 记为().A tr证明 由行列式的定义可知1112121222121122() =()()()n nn n nnnn a a a a a a f a a a a a a λλλλλλλλ------=-=------+E A其中一项是主对角线n 个元素的乘积, 而省略的各项至多含有2-n 个主对角线上的元素,因此特征多项式中含nλ与1n λ-的项只能在主对角线元素乘积项中出现, 显然nλ的系数为1,1n λ-的系数为1122().nn a a a -+++又因为, 在特征多项式中令0λ=可得其常数项为(0),f A =-故11122()()(1).n n n nn f a a a A λλλ-=-+++++-另一方面, 由于12,,,n λλλ是A 的n 个特征值, 所以1211212()()()() ()(1).n nn nn n f λλλλλλλλλλλλλλλλ-=-=-⋅--=-+++++-E A在上述两式中, 比较1n λ-的系数和常数项, 可得121122n nn a a a λλλ+++=+++和12.n A λλλ=推论 n 阶方阵A 可逆的充要条件是A 的n 个特征值都不为零. 例1. 4 设n 阶方阵A 满足等式2A A =, 证明A 的特征值为1或0. 证明 设λ为A 的特征值, 则存在非零向量α, 使,αλα=A 因此2(),ααλαλα=2A =A(A )=A由题设知22,A λαααλα===A即2()0.λλα-=因为0α≠. 所以20λλ-=, 即1λ=或0.例1. 5 设λ是方阵A 的特征值, α为对应于特征值λ的特征向量, 证明 （1）k λ是A k 的特征值（k 为任意常数）； （2）对正整数,m m λ是m A 的特征值（m 为正整数）； （3）若A 是可逆的, 则1λ-是1A -的特征值. 证明 由题意, 对向量0,α≠有,A αλα=（1） 因为()()(),kA k A k ααλα==所以k λ是A k 的特征值. （2）由112()(),m m m m m A A A A A A ααλαλαλα---=====知m λ是mA 的特征值.（3）当A 可逆时, 由推论可知, 0,λ≠用1A -左乘A αλα=两边, 得1,A αλα-=即11,A αλα--=所以1λ-是1A -的特征值.用例1. 5的方法, 读者可自证：若λ是方阵A 的特征值, ()g A 是矩阵多项式, 即1110()k k k k g A a A a A a A a E --=++++,则矩阵()g A 有特征值1110().k k k k g a a a a λλλλ--=++++例1.6 设三阶方阵A 的三个特征值分别为2, 3, 7, 求行列式5A E +.解 当i λ是A 的特征值, 可知, （51i λ+）为5A E +的特征值, 即5A E +有特征值521⨯+, 531⨯+, 571⨯+所以由性质1. 2知51116366336.A E +=⋅⋅=定理1.1 设12,,,m λλλ是矩阵A 的m 个不同的特征值, 12,,,m ααα是A 的分别属于12,,,m λλλ的特征向量, 则12,,,m ααα线性无关.证明 用数学归纳法对特征向量个数m 进行归纳证明.当1m =时, 由于10,α≠因此1α线性无关. 假设对1m -个互异的特征值定理成立, 即121,,,m ααα-线性无关.对向量组12,,,m ααα, 设有数12,,,m k k k 使11220.m m k k k ααα+++= （4. 1）两端左乘,A 并利用条件,i i i A αλα=得1112220m m m k k k λαλαλα+++= (4. 2)将m λ·（4. 1）－（4. 2）, 得11122211()()()0m m m m m m k k k λλαλλαλλα---+-++-=由归纳假设, 121,,,m ααα-线性无关, 因此()0, 1,2,, 1.i m i k i m λλ-==-又()0,m i λλ-≠从而0(1,2,,1),i k i m ==- 代入（4. 1）, 得0,m k = 从而12,,,mααα线性无关.推论 如果n 阶方阵A 有n 个不同的特征值, 则A 有n 个线性无关的特征向量. 类似地可以证明： 定理 1.2 设12,,,m λλλ是矩阵A 的m 个互不相同的特征值, 12,,,i i i is ααα是A 的属于特征值(1,2,,)i i m λ=的线性无关的特征向量, 则向量组12111212122212,,,,,,,,,,,,m s s m m ms ααααααααα线性无关定理1.3 设λ是n 阶方阵A 的一个t 重特征值, 则λ对应的线性无关的特征向量至多有t 个.习题4. 11．求矩阵211031213A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的特征值与特征向量.2. 已知方阵A 满足2+23,A A E =试确定A 的特征值的可能取值.3. 设A 是三阶矩阵, 它的特征值是-1, 0, 4, 又知2,A B E +=求B 的特征值.4. 设矩阵122212,221A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭（1）求A 的特征值. （2）求矩阵1A E -+的特征值.5. 设矩阵0011100A x y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有三个线性无关的特征向量, 求,x y 应满足的条件.§4.2 相似矩阵在矩阵的运算中, 对角矩阵的运算最方便. 自然要问, 对于一个n 阶矩阵,A 是否可化为对角矩阵, 且保持矩阵A 的一些重要性质不变, 本节将讨论这个问题.一、相似矩阵的概念与性质定义2. 1 设A 和B 都是n 阶方阵, 如果存在可逆矩阵,P 使1,P AP B -=则称B 是A 的相似矩阵, 或说矩阵A 与B 相似, 记为,A B ～可逆矩阵P 称为把A 变成B 的相似变换矩阵. 对A 进行的运算1P AP -称为对A 进行相似变换. 相似是方阵之间的一种关系, 这种关系具有下列三个性质： （1）自反性：;A A ～（2）对称性：若,A B ～则;B A ～ （3）传递性：若,A B ～,B C ～则.A C ～即它是一种等价关系. 彼此相似的矩阵具有一些共性, 也称为相似不变性．定理2. 1 若n 阶矩阵A 与B 相似, 则 （1）()();R A R B =（2）;A B =（3）A 和B 的特征多项式相同, 即,E A E B λλ-=-从而A 和B 的特征值相同；（4）k k A B ～(k 为正整数)； （5）11A B --～ (A 可逆时).证明 这里仅证（3）, 其余留给读者自行证明. 因为,A B ～ 故存在可逆矩阵,P 使1,P AP B -=于是11()E B E P AP P E A P λλλ---=-=-1.P E A P E A λλ-=-=-从而A 和B 的特征值相同.推论 若n 阶矩阵A 与对角矩阵12n λλλ⎛⎫⎪ ⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭相似, 则12,,n λλλ是A 的n 个特征值.从定理2. 1可以看出相似矩阵有许多共同的性质, 若一个矩阵与一个简单矩阵相似, 可以通过研究简单矩阵的性质来得到原来矩阵的一些性质, 最简单的矩阵就是对角阵. 下面来研究矩阵A 满足什么条件与对角阵相似.定义2. 2 对n 阶方阵,A 若存在可逆矩阵,P 使1,P AP -=Λ则称A 相似于对角矩阵, 也称矩阵A 可相似对角化.如果方阵A 能够对角化, 则可简化许多运算过程. 但并不是每个矩阵都能对角化, 即矩阵的可对角化是有条件限制的. 下面将从特征向量的角度来刻画矩阵可对角化的条件.二、矩阵可对角化的条件 定理2. 2 n 阶矩阵A 与对角矩阵相似（A 可对角化）的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量．证明 必要性设A 可对角化, 即存在可逆矩阵P 和n 阶对角阵Λ,使121.n P AP λλλ-⎛⎫⎪⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭设12(,,,),n P ααα=由1,P AP -=Λ得AP P =Λ, 即121212121122(,,,)(,,,)(,,,) =(,,,) n n n n n n AP A A A A ααααααλλαααλλαλαλα==⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭因此, (1,2,,)i i i A i n αλα==. 由于P 可逆, 所以0, 1,2,,.i i n α≠=故12,,,nααα分别是属于特征值12,,,n λλλ的特征向量, 且由P 可逆知12,,,n ααα线性无关.充分性 设12,,,n ααα为A 的分别属于特征值为12,,,n λλλ的n 个线性无关的特征向量, 则有(1,2,,)i i i A i n αλα==取12(,,,),n P ααα=因为12,,,n ααα线性无关, 所以P 可逆, 于是有12,n AP P λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 即121,n P AP λλλ-⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭Λ 因此A 可对角化.注 因特征向量不是唯一的, 所以矩阵P 不具有唯一性．推论 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值, 则A 必相似于对角矩阵．定理2. 3 n 阶矩阵A 相似于对角矩阵的充要条件是A 的每一个i t 重特征值i λ对应i t 个线性无关的特征向量, 即()i i R E A n t λ-=-这里121, ,,,mim i tn λλλ==∑是A 的所有互异的特征值.定理2.2不仅给出了一个矩阵可对角化的充要条件, 而且定理证明的本身给出了对角化的具体方法. 将这种方法总结如下：(1)求出矩阵A 全部互不相等的特征值12,,,,m λλλ它们的重数依次为1212,,()m m t t t t t t n +++=，.(2) 求A 的特征向量.对每个特征值λi , 求出齐次线性方程组()0i E A x λ-=的一个基础解系, 设为12,,, (1,2,,) ,i i i is i m ξξξ=(3)判断A 是否可对角化.若A 的i t 重特征值有i t 个线性无关的特征向量(1,2,,)i m =, 则A 可对角化, 否则A不可对角化.例2. 1 判断下列矩阵能否相似于对角阵, 若能, 则求出相似变换矩阵P ．（1）200110111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, （2）122212.221B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭解 （1）A 的特征多项式为2(2)(1),E A λλλ-=--故A 的特征值2,1321===λλλ．其中121==λλ为二重特征值, 又100(1)100,110E A -⎛⎫⎪⋅-=- ⎪ ⎪--⎝⎭(1)2,3(1)321,R E A R E A ⋅-=-⋅-=-=故1=λ只对应一个线性无关的特征向量, 故矩阵A 不能相似于对角阵．（2）B 的特征多项式为2(1)(5)0E B λλλ-=+-=故B 的特征值5,1321=-==λλλ．其中1-为B 的二重特征值, 又 当1-=λ时222111(1)222000,222000E B ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⋅-=---→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭所以3()312,R B E -+=-=故1-=λ对应2个线性无关的特征向量, 即B 可对角化, 且121-==λλ对应的线性无关特征向量为.)1,0,1(,)0,1,1(T T --由于53=λ为单特征值, 它有且仅有一个线性无关的特征向量, 由(5)0E B x -=,得线性无关的特征向量(1,1,1).T取111101,011P --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭于是111.5P BP --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭习题4. 21. 设方阵12422421A x --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭与50000004y ⎛⎫⎪Λ= ⎪ ⎪-⎝⎭相似, 求,.x y2. 设A B 、都是n 阶方阵, 且0A ≠, 证明AB 与BA 相似．3. 判断下列矩阵能否相似于对角阵, 若能, 则求出相似变换矩阵.P（1）220212020A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭； （2）421201.110B ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭4. 当k 为何值时, 方阵25141001k A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭可相似对角化？§4.3 向量的内积与正交矩阵本节主要讨论向量的内积、长度、正交矩阵等概念, 并介绍它们的性质. 若不特别说明, 本章讨论的向量都是实数域上的.一、向量的内积 定义3. 1 设n 维向量1122,,n n x y x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αβ 令 []1122,,αβ=++n n x y x y x y称[],αβ为向量α与β的内积.由于内积是两个向量间的一种运算, 其结果是一个实数. 内积可用矩阵记号可表示为[],.T =αβαβ容易证明内积满足下列运算性质（其中,,αβγ为n 维向量, k 为实数）：(1) [][],,;αββα= (2) [][],,;k k =αβαβ (3) [][][],,,;+=+αβγαγβγ(4) 当0=α时, [],0;=αα当0≠α时, [],0.>αα定义3. 2 令||||α==称||||α为n 维向量α的长度（或范数）．当||||1α=时, 称α为单位向量． 对nR 中的任一非零向量α, 向量||||αα是一个单位向量, 因为1.||||=αα用非零向量α的长度去除向量α, 得到一个单位向量, 这一过程通常称为把向量α单位化.向量的长度具有下述性质：(1) 非负性 ||||0,≥α且||||00;=⇔=αα (2) 齐次性 |||||||||;k k =αα(3) 三角不等式 ||||||||||||.+≤+αβαβ另外, 可以证明向量的内积满足柯西-施瓦兹（Chauchy-Schwarz ）不等式[][][]2,,,,≤αβααββ这里不予证明. 由此成立[],1|||| ||||≤αβαβ （当,≠≠00αβ时）,于是, 可定义向量的夹角．定义3. 3 当||||0,||||0≠≠αβ时, 称[],arccos|||| ||||=αβθαβ为n 维向量α与β的夹角．定义3. 4 当向量α与β满足[],αβ=0时, 则称向量α与β正交． 显然, 若,=0α则α与任何向量都正交． 定义3. 5 若12,,,r ααα是一个非零向量组, 且12,,,r ααα中的向量两两正交, 则称该向量组为正交向量组．例如, nR 中单位向量组()()()121,0,,0,0,1,,0,,0,0,,1===TTTn e e e 是正交向量组.定理3. 1 若n 维向量12,,,r ααα是一组两两正交的非零向量, 则该向量组线性无关．证明 设有12,,,r k k k 使得11220,r r k k k ++=ααα用(1,2,,)i i r =α与上式两端作内积, 得1122(,)(0,),r r i i k k k ++=ααααα即1122(,)(,)(,)(,)0.i i i i i r r i k k k k ++++=αααααααα由于i α与1211,,,,i i r -+ααααα均正交, 即,0,1,2,,1,1,,,i j j i i r ⎡⎤==-+⎣⎦αα所以有[],0i i i k =αα, 再有0,i ≠α得0, 1,2,,.i k i r ==所以, 12,,,r ααα线性无关．例3. 1 已知3维向量空间3R 中两个向量()()121,1,1,1,2,1TT==-αα正交, 试求一个非零向量3α, 使123,,ααα两两正交．解 记 12111,121T T A ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αα则3α应满足齐次方程=0Ax , 即1231110,1210x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭由111101,121010A ⎛⎫⎛⎫=→ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭得132,0,x x x =-⎧⎨=⎩ 从而有基础解系()1,0,1T-．则取()31,0,1Tα=-即为所求．定义3. 6 设n 维向量12,,,r e e e 是向量空间()n V V R ⊂的一个基, 如果12,,,r e e e两两正交, 且都是单位向量, 则称12,,,r e e e 是V 的一个规范正交基（或标准正交基）．例如 n 维向量()()()121,0,,0,0,1,,0,,0,0,,1===TTTn e e e 是n R 的一个规范正交基．再如1234,,,⎫⎫⎛⎛====⎪⎪ ⎭⎭⎝⎝T T T Te e e ε就是4R 的一个规范正交基．若12,,,r e e e 是V 的一个规范正交基, 那么V 中任一向量α都能由12,,,r e e e 线性表示, 设表示式为1122,αλλλ=+++r r e e e为求出其系数(1,,)i i r λ=, 可用i e 与上式两端作内积, 有[],.=i i e λα这就是向量在规范正交基中的坐标的计算公式．利用这个公式能方便的求出向量的坐标, 因此, 我们在给向量空间取基时常常取规范正交基．设12,,,r ααα是向量空间V 的一个基, 要求V 的一个规范正交基. 也就是要找一组两两正交的单位向量12,,,,r e e e 使12,,,r e e e 与12,,,r ααα等价. 该过程称为把12,,,r ααα规范正交化．我们可以用以下的办法把12,,,r ααα规范正交化, 具体的步骤为：(1) 正交化：取[][][][][][][][]112122111121121112211;,;,,,,,,,,----==-=----r r r r r r r r r βααββαββββαβαβαβαβββββββββ容易验证12,,,βββr 两两正交, 且12,,,βββr 与12,,,r ααα等价．(2) 单位化：取112212111,,,,===r r re e e ββββββ则12,,,r e e e 就是向量空间V 的一个规范正交基．上述从线性无关向量组12,,,r ααα导出正交向量组12,,,βββr 的过程称为施密特正交化过程．它不仅满足12,,,βββr 与12,,,r ααα等价, 还满足：对任何(1)≤≤k k r ,向量组12,,,βββk 与12,,,k ααα等价．例 3. 2 设1231142,3,1,110ααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化．解 正交化：取[][][][][][]112122111313233121122;1,51;,311,,20.,,1=-⎛⎫⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪=--= ⎪ ⎪⎝⎭βααββαβββαβαββαββββββ再单位化, 取3121231231112,1,0,111-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪======⎪⎪⎪⎪⎪⎪-⎭⎭⎭e e e ββββββ 则123,,e e e 即为所求．二、正交矩阵定义3. 7如果n 阶实矩阵A 满足T AA E =（即1T A A -=）,那么, 称A 为正交矩阵, 简称正交阵. 显然, n 阶单位矩阵E 是正交矩阵.由正交矩阵的定义, 显然有下面的的性质：(1) 如果A 为正交矩阵, 则1TA A -=；(2) 如果A 为正交矩阵, 则1()TA A -也是正交矩阵；(3) 如果,A B 为同阶正交矩阵, 则它们的乘积AB 也是正交矩阵． (4) 正交矩阵的行列式等于1或－1．定理3. 2 n 阶矩阵A 是正交矩阵的充分必要条件是它的列（行）向量组是单位正交向量组．证明 设A 是实矩阵, 它的列向量组为12,,,n ααα, 则A 与T A 可表示为1212(,,,),,T T T n T n A A ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭αααααα于是[][][][][][][][][]111212122212,,,,,,,,,,n n T n n n n A A ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭αααααααααααααααααα因此, T A A E =的充分必要条件是1,;,0,.i j i j i j =⎧⎡⎤=⎨⎣⎦≠⎩αα当当即A 的列向量组是单位正交向量组．又A 正交时, T A 也正交, 因此A 是正交矩阵的充分必要条件是A 的行向量组是单位正交向量组．例3. 3 判断下列矩阵是否为正交阵 (1) 1001⎛⎫⎪-⎝⎭； (2) 1001⎛⎫ ⎪⎝⎭； (3) 184999814999447999⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭；(4) 0⎛ ⎝； (5) 1112310121112⎛⎫- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭；(6) 0⎛ ⎝． 解 (1)、(2)、 (3)、 (4)都是正交矩阵．因为它们的列向量组都是单位正交向量组． (5)、（6）都不是正交矩阵．因为它们的第一列都不是单位向量． 定义3. 6 若P 为正交矩阵, 则线性变换=y Px 称为正交变换.设=y Px 为正交变换, 则有||||||||.y x =====这说明正交变换后向量的长度保持不变, 这是正交变换的优良特性.习题4. 31. 已知()()1,2,1,1,2,3,1,1,TT=-=-αβ求[][],,32,23,--αβαβαβ||||α||||,βα与β的夹角．2. 设()()1,1,2,1,0,1,TT=-=-αβ求与,αβ等价的标准正交向量组.3. 设()()()123123,3,3,3,3,,3,,3,(,,),TTTk k k A m ====αααααα求,,m k 使A 为正交阵.§4. 4实对称矩阵的对角化从上一节我们看到, 一般的矩阵并不一定可对角化. 本节专门讨论一种特殊的方阵——实对称矩阵，这种矩阵一定可对角化, 并且还能正交相似于对角矩阵. 定理4.1 实对称矩阵的特征值为实数.证明 设λ是实对称矩阵A 的特征值, α为对应的特征向量. 即,0,A αλαα=≠以λ表示λ的共轭复数, α表示α的共轭复向量,则()().A A A αααλαλα====于是有(),T T TA A ααααλαα==及()()(),TTTTT TA A A ====ααααααλααλαα以上两式相减, 得 ()0,Tλλαα-=因为0,≠α所以0.Tαα≠，故λλ=即λ为实数.对实对称矩阵A , 因其特征值λi 为实数, 故方程组()0i A E x -=λ是实系数方程组,由0i A E -=λ知它必有实的基础解系, 所以A 的特征向量可以取实向量.定理 4.2 设12,λλ是实对称矩阵A 的两个特征值, 12,αα 依次是它们对应的特征向量. 若12,≠λλ则1α与2α 正交.证明 111,=A αλα222,=A αλα 12,≠λλ 故12212().T TA ααλαα=因A 对称, 故1212112112()()(),T T T T A A ααααλααλαα===于是()12120.T λλαα-=因12≠λλ，故120,=Tαα即1α与2α正交.定理 4.3设A 为n 阶对称矩阵,λ是A 的特征方程的t 重根, 则矩阵-A E λ的秩()-=-λR A E n t ，从而特征值λ恰有t 个线性无关的特征向量. 证明 略定理4.4 设A 为n 阶对称矩阵, 则必有正交矩阵P , 使1P A P Λ-=, 其中Λ是以A 的n 个特征值为对角元素的对角矩阵.证明 设A 的互不相等的特征值为12λλλm ，，，，它们的重数依次为12,,m t t t ，， 于是12m t t t n +++=. 根据定理4. 1及定理4. 3知, 对应特征值i λ恰有i t 个线性无关的实特征向量, 把它们正交单位化, 即得(1,2,,)i t i m =个两两正交的单位特征向量, 由12m t t t n +++=知这样的特征向量恰有n 个. 又实对称矩阵不等的特征值对应的特征向量正交, 故这n 个特征向量构成规范正交向量组. 以它们为列构成正交矩阵,P 并有1.P A P Λ-=其中对角矩阵Λ的对角元素含i t 个(1,2,,),i i s =λ恰是A 的n 个特征值.根据定理4. 3及定理4. 4, 我们有下述把对称阵A 对角化的步骤：（1）求出A 的全部互不相等的特征值12m λλλ，，，，它们的重数依次为1212,,().m m t t t t t t n +++=，（2）对每个i t 重特征值i λ, 求方程()0-=i A E x λ的基础解系, 得i t 个线性无关的特征向量. 再把它们正交化、单位化, 得i t 个两两正交的单位特征向量. 因12,m r r r n +++=故总共可得n 个两两正交的单位特征向量.（3）把这n 个两两正交的单位特征向量为列构成正交阵,P 便有1.TP AP P AP -==Λ 注 Λ中对角元的排列次序应与P 中列向量的排列次序相对应.例4. 1 设500021012A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求一正交矩阵P 使得1.P AP -=Λ解 A 的特征多项式为500021(1)(3)(5),012A E λλλλλλλ--=-=----故A 的特征值为12313 5.===，，λλλ 对11=λ, 由12340000110,0110x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得基础解系为12301,1x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单位化得10.p ⎛⎫⎪ = ⎪ ⎪⎝⎭ 对23=λ, 由12320000110,0110x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得基础解系为12301,1x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单位化得20.p ⎛⎫⎪= 对35=λ, 由12300000310,0130x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得基础解系为12310,0x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单位化得30.0p ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭将123,,p p p 构成正交矩阵123001(,,)0,0⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭P p p p 则 .5311⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-AP P AP P T例4. 2设111111111⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A , 求一正交矩阵P 使1-=ΛP AP .解 A 的特征多项式为2111111(3),111A E λλλλλλ--=-=--故A 的特征值为1230, 3.===λλλ对120==λλ, 解齐次线性方程组(0)0,-=A E x 求得基础解系为:12111,0,01ξξ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭经过施密特正交化, 再单位化得12,.0⎛⎛--==- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭p p 对33=λ, 解齐次线性方程组3)0,-=A E x （求得基础解系为31,1ξ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭单位化得3.=p 取123(,,),0P p p p ⎛== ⎝则.3001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-AP P AP P T例4. 3 设2112-⎛⎫=⎪-⎝⎭A , 求nA解 因A 对称, 故A 可对角化, 即有可逆矩阵P 及对角阵Λ, 使1.Λ-=P AP 于是1,Λ-=A P P 从而1.Λ-=n n A P P由 22143(1)(3),12λλλλλλλ---==-+=----A E得A 的特征值为121, 3.==λλ于是1010,0303ΛΛ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n 对应11,=λ 由()0,-=A E x 解得基础解系为111ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭；对应23,=λ 由(3)0,-=A E x 解得基础解系为211ξ⎛⎫=⎪-⎝⎭.并有1211(,)11ξξ⎛⎫==⎪-⎝⎭P , 再求出1111.112-⎛⎫= ⎪-⎝⎭P 于是1111011131311110311221313-⎛⎫+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪⎪---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n nnn n n A P P Λ. 习题4. 41. 试求一个正交矩阵P , 将下列对称矩阵化为对角矩阵.(1) 400031013⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭; (2) 222254245-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭. 2. 设A 为三阶实对称矩阵, 特征值是1,1,0.-而11=λ和21=-λ的特征向量分别是21,1,113⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭a a a a 求矩阵A . 3. 设三阶对称矩阵A 的特征值为6,3,3,特征值6 对应的特征向量为1(1,1,1),=Tp 求A .4. 设142034,043⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A 求100.A§4.5 应用举例例5. 1 社会调查表明, 某地劳动力从业转移情况是：在从农人员中每年有3/4改为从事非农工作, 在非农从业人员中每年有1/20改为从农工作. 到2010年底该地从农工作和从事非农工作人员各占全部劳动力的1/5和4/5, 试预测到2015年底该地劳动力从业情况以及经过多年之后该地劳动力从业情况的发展趋势．解 到2011年底该地从农工作和从事非农工作人员占全部劳动力的百分比分别为1114;45205⨯+⨯31194.45205⨯+⨯ 如果引入2 阶矩阵(),ij A a =其中121/20a =表示每年非农从业人员中有1/20改为从农工作. 213/4a =表示每年从农人员中有3/4改为从事非农工作. 于是有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=20/194/320/14/1A再引入 2 维列向量, 其分量依次为到某年底从农工作和从事非农工作人员各占全部劳动力的百分比．如向量1/54/5X ⎛⎫=⎪⎝⎭表示到2010年底该地从农工作和从事非农工作人员各占全部劳动力的1/5和4/5．那么, 2011年底该地从农工作和从事非农工作人员各占全部劳动力的百分比就可由下述运算得出1/41/201/53/419/204/5AX ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1114452053119445205⎛⎫⨯+⨯⎪= ⎪ ⎪⨯+⨯ ⎪⎝⎭9/10091/100⎛⎫= ⎪⎝⎭于是, 到2015年底该地从农工作和从事非农工作人员各占全部劳动力的百分比应为5,A Xk 年后该地劳动力的从业情况可由计算k A X 而得.矩阵A 的特征多项式)1)(15(20194320141||--=--=-λλλλλE A得A 的特征值121/5, 1.λλ==所以A 能与对角矩阵相似.求特征值11/5λ=对应的特征向量为：11⎛⎫⎪-⎝⎭求特征值21λ=对应的特征向量为：115⎛⎫⎪⎝⎭取矩阵11,115P ⎛⎫=⎪-⎝⎭则P 为可逆矩阵, 且使得11/50.01P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭因为11511,1116P --⎛⎫=⎪⎝⎭所以 555111/50(1/5)0,0101A X P P X P P X --⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1)5/1(151115⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11115161⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5/45/1 66111151116155⎛⎫+ ⎪= ⎪⎪- ⎪⎝⎭类似的, 第k 年底该地劳动力的从业情况为111511/5(1/5)01115114/51601kk A X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=++11511155111161545151515511155115151161k k k k k k 按此规律发展, 多年之后该地从农工作和从事非农工作人员占全部劳动力的百分比趋于16/10011594/10016⎛⎫⎛⎫≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即多年之后该地从农工作和从事非农工作人员各占全部劳动力的6/100 和 94/100.例5. 2 在1202年, 裴波那契在一本书中提出一个问题：如果一对兔子出生一个月后开始繁殖, 每个月生出一对后代, 现在有一对新生兔子, 假设兔子只繁殖, 没有死亡, 那么问每月月初会有多少兔子？解 假设这对兔子出生时记为零月份, 这时只有一对兔子, 一个月后即1月初, 这对兔子还未开始繁殖, 所以依然是一对兔子, 2月初, 它们生了一对兔子, 因此, 此时有两对；3月初, 它们又生了一对兔子, 而在1月初生下的那对兔子还未繁殖, 故此时共有3对, ……, 依次下去, 有1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …,这一数列称为裴波那契数列.设第n 月初有n x 对兔子, 则有12.n n n x x x --=+这是一个递推公式, 显然01 1.x x == 将上式用矩阵表示, 有11101.11n n n n n n n x x x x x x x -++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭记101,,11n n n x X A x +⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭那么0011,1x X x ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且21201.1n n n n n X AX A X A X A --⎛⎫===⋯== ⎪⎝⎭易知A的特征值为121122-==λλ 属于1λ的特征向量为()111,T =ξλ属于2λ的特征向量为()221.T=ξλ令()121211,P ⎛⎫== ⎪⎝⎭ξξλλ那么1120.0P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭λλ而21112211211111,111P --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭λλλλλλλλ于是1111212212211111212222212121211111111 =,n n n n n n n n n n n n X A P P -++++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪---⎝⎭⎭λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ所以111112).n n n n n x ++++⎛⎫⎪=-=-⎪⎝⎭⎝⎭⎭λλ 这就是裴波那契数列的卢卡斯通项公式.习题四1. 求与()()()1231111,1111,2113TTTααα=-=--=正交的单位向量．2. 试用施密特正交化方法把下列向量组正交化：(1) 1231021,1,0123ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (2) 123111011,,101110ααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3. 判断下列矩阵是不是正交矩阵, 并说明理由.(1)10;332263⎛ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎝⎭(2)11123111.2211132⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭4. 设,A B 为同阶正交矩阵, 则它们的乘积AB 也是正交矩阵.5. 求下列矩阵的特征值与特征向量（1）211031;213-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ （2）001010;100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（3）11111111;11111111⎛⎫ ⎪--⎪ ⎪-- ⎪--⎝⎭ （4）10000100;00010000a a a a ⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭6. 设,A B 为n 阶方阵, A 可逆, 证明AB 与BA 有相同的特征值．7. 设A 是三阶矩阵, 它的特征值是-1, 2, 1, 求*32A A E ++.8. 设1λ和2λ是矩阵A 的两个不同的特征值, 对应的特征向量分别为1p 和2p , 证明12p p +不是A 的特征向量.9. 设21253,102A b -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭已知A A ,1-=的伴随矩阵*A 特征值0λ所对应的特征向量T )1,1,1(--=α, 求0λ和b 的值.10. 已知111p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭是矩阵21153143A a -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的一个特征向量. (1) 求参数,a b 及特征向量p 所对应的特征值; (2) 问A 能不能相似对角化？并说明理由.11. 设110220,421A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭求kA12. 设n 阶方阵A 的秩为,r A A =2． （1）求A 的特征值;（2）证明E A -的秩为();n R A -（3）证明A 可相似于对角矩阵, 并写出对角矩阵.13. 设A 为3阶矩阵, 12,αα为矩阵A 的分别属于特征值 1和1 的特征向量, 3α满足323A ααα=+, 证明 123,,ααα线性无关.。
线性代数中的矩阵的对角化与合同标准型的计算与应用
矩阵对角化的条件
矩阵可对角化的充分必要条件是：对于给定的n阶矩阵A，存在可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP$ 为对角矩阵。
矩阵可对角化的充分条件是：矩阵A的每个特征值对应的特征向量线性无关。
矩阵可对角化的必要条件是：矩阵A的秩等于其最大线性无关组向量的个数。
矩阵可对角化的计算方法包括：相似变换法、特征值法等。
线性代数中的矩阵对角 化与合同标准型的计算 与应用
XX,a click to unlimited possibilities
汇报人：XX
目录
01 添 加 目 录 项 标 题 03 合 同 标 准 型 的 应 用 05 合 同 标 准 型 的 计 算
方法
02 矩 阵 对 角 化 的 基 本 概念
04 矩 阵 对 角 化 的 计 算 方法
合同标准型在矩阵分析中的作用
简化矩阵形式，便于分析计算 揭示矩阵的内在结构 应用于控制系统分析 在数值分析和科学计算中发挥重要作用
合同标准型在解决线性方程组中的应用
线性方程组的解法 合同标准型的定义和性质 合同标准型在解线性方程组中的应用 合同标准型在解决线性方程组中的优势和局限性
Part Four
矩阵对角化的步骤
判断矩阵是否可对角化 计算特征值和特征向量 判断特征值是否互异 将特征向量正交化 将特征向量单位化 将特征向量与特征值对应相乘，得到对角矩阵
特殊矩阵的对角化方法Fra bibliotek定义：将一个矩 阵化为对角矩阵 的过程
计算方法：利用 特征值和特征向 量的性质，通过 相似变换将矩阵 化为对角矩阵
特征值与特征向量
特征值：矩阵中对应于特征向量的标量 特征向量：与特征值对应的非零向量 特征多项式：决定特征值和特征向量的多项式方程 相似矩阵：与特征矩阵相似的矩阵
矩阵的对角化
第四章矩阵的对角化对于一个矩阵，如何寻找一个适当的变换，在将其变为简单矩阵的同时，保留原矩阵的一些重要特征，这是矩阵论中一个非常重要的问题.在这一问题的研究中，矩阵的特征值和特征向量的概念起着非常重要的作用.拉普拉斯在19世纪初提出了矩阵的特征值的概念.1854年，若尔当研究了矩阵化为标准形的问题.1885年,埃尔米特证明了一些特殊矩阵的特征根的性质，后人称之为埃尔米特矩阵的特征根性质，凯莱1858年发表了一篇论文《矩阵论的研究报告》，文中研究了方阵的特征方程和特征值的一些基本结果，克莱布什等证明了对称矩阵的特征根性质.在这一问题的研究史上，值得重点介绍的是下面两位数学家：第一位是柯西，他首先给出了特征方程的术语，并证明了阶数超过3的矩阵有特征值及任意阶实对称矩阵都有实特征值；给出了相似矩阵的概念，并证明了相似矩阵有相同的特征值.第二位是弗罗贝尼乌斯，正是他引入了矩阵的相似变换、合同矩阵、正交矩阵等重要概念，并讨论了正交矩阵和合同矩阵的一些重要性质.矩阵的特征值、特征向量和仿真的对角化理论与方法是矩阵理论的重要组成部分，它不仅在数学的各个分支有重要作用，而且在其他学科如工程技术、数量经济分析等领域有着广泛的应用.本章主要讨论方阵的特征值与特征向量理论及方阵在相似意义下的对角化问题，并应用这些理论和方法解决一些实际问题.§4.1 矩阵的特征值和特征向量一、特征值和特征向量的概念在工程实践及经济管理等许多领域中，经常会遇到矩阵的特征值和特征向量的问题.例 4.1.1 经济发展与环境污染是当今世界亟待解决的两个突出问题.为了研究某地区经济发展与环境污染之间的关系，可建立如下数学模型：设，分别为某地区目前的环境污染水平与经济发展水平，，分别为该地区若干年后的环境污染水平与经济发展水平，且有如下关系，令，，，则上述关系的矩阵形式为：若该地区目前的环境污染水平与经济发展水平，则若干年后的环境污染水平与经济发展水平为，即这里，4就是矩阵的一个特征值，是矩阵的对应于4的一个特征向量.定义 4.1.1 设为阶矩阵，若存在数和维非零列向量，使得；则称为矩阵的特征值，是矩阵一个特征值，称为的属于（或对应于）特征值的特征向量.由特征值、特征向量的定义可得（1）若为的属于的特征向量，则对于非实数，也是的属于的特征向量. （2）若，为的属于的特征向量，则当时，也是的属于的特征向量.（3）若，为的互异特征值，，分别为的属于，的特征向量，则.证若，则，即，故.由于，所以，矛盾.因此.例 4. 1. 2 求阶方阵的一个特征值与所对应的特征向量.解取维向量，，，则，故是的一个特征值，是属于特征值的一个特征向量.将（4.1.1）写成下面形式.根据定义，特征向量就是齐次线性方程组. （4.1.2）的非零解.由于（4.1.2）有非零解的充要条件是其系数行列式等于零，故知阶矩阵的特征值满足方程.为叙述方便，引入下面的概念.定义4. 1. 2 .，称为矩阵的特征多项式，称为的特殊矩阵，称为的特征方程.二、特征值与特征向量的计算求阶矩阵的特征值和特征向量，可按如下步骤进行：（1）计算的特征多项式，求出特征方程的全部根，，，. 对每个特征值，，，，求解齐次线性方程组.设它的一个基础解系为，，，，则的属于的全部特征向量为其中，，，为不全为零的任意常数.限于本教材适用范围，我们将不讨论的复特征值和特征向量.例 4.1.3 求矩阵的特征值与特征向量解矩阵的特征多项式=由，得的特征值为，，.对于，解齐次线性方程组，即解方程组，得基础解系，，，所以对应于，的全部特征向量为（）.对于，解齐次线性方程组，即解方程组得基础解系，，，所以对应于的全部特征向量为（）..对于，解齐次线性方程组，即解方程组，得基础解系，，，所以对应于的全部特征向量为（）..例4.1.4 求矩阵的特征值与特征向量解矩阵的特征多项式为=,由，得的特征值为，.对于，解齐次线性方程组，即解方程组，得基础解系，，，，，，所以对应于的全部特征向量为（，不全为零）.对于，解齐次线性方程组，即解方程组，得基础解系，，，所以对应于的全部特征向量为（）.例4.1.5 求矩阵的特征值与特征向量解矩阵的特征多项式为=,由，得的特征值为，.对于，解齐次线性方程组，即解方程组，得基础解系，，，所以对应于的全部特征向量为（）. 对于，解齐次线性方程组，即解方程组，得基础解系，，，所以对应于的全部特征向量为（）. 三、特征值与特征向量的性质定理4.1.1 阶矩阵与有相同的特征值.证由，知与有相同的特征多项式，故有相同的特征值.定理4.1.2 设，，，，为方阵的个特征值，则有（1）（2）证（1）根据多项式因式分解与方程根的关系，有（4.1.3）令，得，即（2）比较（4.1.3）式两端的系数，右端为，而左端含的项来自的主对角线元乘积项，其含的系数为，因此.我们将阶矩阵的主对角线元之和称为矩阵的迹，记为（），即（ ）= ∑=n k 1推论4.1.1 阶矩阵 可逆的充分条件是它的任一特征值不等于零.定理4.1.3 若 为 的特征值， 是对应的特征向量，则（1） 为 的特征值（ 为常数）；（2） 为 的特征值（ 为正整数）；（3） 若 为 的多项式，则 为 的特征值；（4） 若 可逆，则 为 的特征值， 为 的特征值.证 由题意，对于 ，有 .（1） 因为 ，故 为 的特征值.（2） 由 ，得 ，假设 ， 于是 ，由数学归纳法知结论成立.（3） 设 ，由（2）可得(4) 由于 可逆，故 ，从而 ，故， ，即 为 的特征值， 为 的特征值.下面给出方阵 的特征向量的性质定理4.1.4 设 ， ， ， 为 阶矩阵 的 个互异特征值， ， ， ， 分别是 的属于 ， ， ， 的特征向量，则 ， ， ， 线性无关.证 设有常数 ， ， ， ，使得（4.1.4） 上式两边左乘 ，并注意到 ， ， ， ，有.按这种方法再依次用 ， ， 左乘（4.1.4），并应用定理4.1.3（2）的结论，得，，，上式的矩阵形式为，，，（，，，），上式左端第二个矩阵的行列式是范德蒙德行列式，因为，，，互不相同，所以该行列式的值不为零，从而该矩阵可逆.用该矩阵的逆右乘上述等式两边，得，，，（，，，）于是，，，，由于特征向量，，，非零，因此只有，，，上式才能成立，故，，，为线性无关.定理4.1.5设，，，为阶矩阵的个互异特征值，，，，分别是的属于，，，的线性无关的特征向量，则向量组，，，，，，，，，，，线性无关.证明略.关于对应同一个特征值的特征向量间的关系，有定理4.1.6 设是阶矩阵的重特征值，则对应于的线性无关特征向量个数不超过个.显然，依据定理4.1.6，当特征值为单根时，对应的线性无关特征向量个数只能是一个.根据上述定理，对于阶矩阵的每一个不同的特征值，求出齐次线性方程组的基础解系，就得到的属于的线性无关的特征向量.然后，把它们合成一起所得的向量组仍然线性无关.阶矩阵的线性无关特征向量个数不大于.例4.1.6设三阶矩阵的特征值为，，求（1）的特征值.（2）的特征值.（3）的特征值及.解（1）由于，因此可逆，由定理4.1.3知，的特征值为，，.（2）由定理4.1.3知，的特征值为6,6,4.（3）因为，所以）.设，由定理4.1.3知，的特征值为，1,2,3.由此得的特征值为，，，.例4.1.7 设为正交矩阵，若，则有特征值证，则.另一方面，由于及，则因此，即为的特征值.§4.2 相似矩阵在矩阵的运算中，对角矩阵的运算最方便.我们自然要问，一个阶矩阵是否可化为对角矩阵，且保持矩阵的一些重要性质不变.本节将讨论这个问题.一、相似矩阵定义4.2.1 设，为阶矩阵，如果存在阶可逆矩阵，使得，则称矩阵和相似，也称是的相似矩阵，记作.可逆矩阵称为相似变换矩阵. 例 4.2.1 设，，，不难验证可逆，且.由于,因此.两个相似矩阵是等价矩阵，相似是方阵之间的一种关系，这种关系具有如下性质：（1）反身性：；（2）对称性：若，则；（3）传递性：若，，则；此外，相似矩阵之间有许多共同的性质定理4.2.1 若阶矩阵与相似，则（1）；（2）；（3），有相同的特征值；（4）.证由于，故存在阶可逆矩阵，使得，从而（1）；（2）；（3）由于，即，有相同的特征多项式，于是，有相同的特征值.（4）由（3）即得.推论4.2.1 若阶矩阵与对角矩阵=相似，则，，，是的个特征值.例4.2.2 若，求，.解对角矩阵的特征值为，，，由于，因此的特征值也为，，，再根据相似矩阵有相同的迹，可得，，解此方程组得，.两个相似的矩阵还具有下面的性质（1）若，则，（为正整数）；（2）若，为多项式，则；（3）若，且，均可逆，则；证只证，故存在阶矩阵，使得，从而个即.二、矩阵的对角化定义 4.2.2 若阶矩阵与对角矩阵相似，则称可对角化.相似矩阵有许多共同性质.在我们熟悉的矩阵中，形式最简单的一类是对角矩阵，若矩阵相似于对角矩阵，就可以借助对角矩阵来研究，如何求相应的可逆矩阵？下面我们就来讨论这个问题.定理4.2.3 阶矩阵相似于对角矩阵（可对角化）的充要条件是有个线性无关的特征向量.证必要性.设存在可逆矩阵，使得==.设，，，，由=，得=，或，，，，，，.即，，，，，，因此，，，，，由于可逆，因此，从而，，，都是非零向量，故，，，分别是的属于特征值，，，的特征向量，再由可逆知，，，线性无关.充分性.设，，，分别是的属于特征值，，，的个线性无关的特征向量，则有，，，取，，，,因为，，，线性无关，所以可逆，于是有=.，即==因此矩阵相似于对角矩阵.因为特征向量不是唯一的，所以矩阵不具有唯一性.推论4.2.2若阶矩阵有个互异的特征值，则必可对角化.推论4.2.3阶矩阵可对角化的充分必有条件是的每个重特征值都有个线性无关的特征向量.即.由上述结论可知，例4.1.3和例4.1.4给出的矩阵可对角化，而例4.1.5给出的矩阵不能对角化.根据上述结论，可以归纳出将矩阵对角化的具体计算步骤：（1）求出阶矩阵的全部互异特征值，，，，它们的重数依次为，，，；（2）求的特征向量.对每个特征值求方程组的基础解系，即为的对应的线性无关的特征向量，设为，，，，，，；（3）判定是否可对角化.若对每一个特征值都有，，，，则可对角化，否则不可对角化；（4）当可对角化时，令，，，，，，，，，，，，）个个个且可逆，且有=例4.2.3判断下列矩阵能否对角化，若能，求出可逆矩阵，使得为对角矩阵.(1)；（2）解（1）矩阵的特征多项式为=由，得的特征值为，，.由推论4.2.2知，矩阵可对角化.下面求可逆矩阵.对于，解齐次线性方程组，即解方程组，得基础解系，，，即为即为的属于特征值的一个特征向量.对于，解齐次线性方程组，即解方程组得基础解系，，，即为的属于特征值的一个特征向量.对于，解齐次线性方程组，即解方程组，得基础解系，，，即为的属于特征值的一个特征向量.取，，,则有==（2）矩阵的特征多项式为=由，得的特征值为，.当，即为的二重特征值时，.故，依据推论4.2.3知，矩阵可对角化，且对应的线性无关的特征向量为，，，，，.对于，解齐次线性方程组，得的属于特征值的一个特征向量，，.取取，，,则有==对于可对角化的矩阵，我们可应用来求方程的幂,例如，对上例的矩阵，我们有.例4.2.4 设，求为何值时，（1）可对角化，并求相似变换矩阵；（2）为可逆矩阵.解（1）矩阵的特征多项式为=，故的特征值为，.对于，解齐次线性方程组，得的属于特征值的特征向量为，，，，，.对于，解齐次线性方程组，得的属于特征值的特征向量为，，.依据推论4.2.3知，无论为何值，矩阵均可对角化.令，，，则有==.（）的特征值分别为，，，故当且时，为可逆矩阵.§4.3 实对称矩阵的对角化我们已经知道，不是每个矩阵都能对角化.但本节讨论的实对称矩阵一定可以对角化，而且还能正交相似于对角矩阵,本节将讨论实对称矩阵的对角化.一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质实对称矩阵的特征值和特征向量具有一些特殊的性质,这些性质可以保证实对称矩阵一定可以对角化.定理4.3.1 实对称矩阵的特征值都是实数.证设为实对称矩阵的特征值，为对应的特征向量，即，.用表示的共轭复数，用表示的共轭复向量.则，于是有，及，以上两式相减得，以为所以.因而，即为实数.由于实对称矩阵的特征值为实数，那么为实矩阵，则齐次线性方程组的解可取为实向量，亦即实对称矩阵的特征向量为实向量.定理4.3.2实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交,证设，为实对称矩阵的两个不同的特征值，，分别为它们对应的特征向量，则，，，，从而，因是对称矩阵，又有，于是，因，故，即与正交.定理4.3.3 设为阶实对称矩阵，为的重特征根，则，从而特征值恰好对应个线性无关的特征向量.证明略.二、实对称矩阵的对角化由定理4.3.2和定理4.3.3可得定理4.3.4 设为阶实对称矩阵，则存在正交矩阵，使得=其中，，，为的全部特征值.（1）求出阶实对称矩阵的全部互异特征值，，，，它们的重数依次为，，，；（2）求实对称矩阵的特征向量.对每个特征值求方程组的基础解系，即为的对应的线性无关的特征向量，设为，，，；（3）用施密特正交化方法，将特征向量，，，，，，正交，，，单位化，得到一个标准正交向量组，，，，，，；（4）令，，，，，，，，，，，（，，，，，，，，，，，，）个个个且为正交矩阵，且有=例4.3.1 设实对称矩阵，求正交矩阵，使得=为对角矩阵.解矩阵的特征多项式为=，因此，矩阵的特征值为，，.对于，解齐次线性方程组，得基础解系，，；对于，解齐次线性方程组，得基础解系，，；对于，解齐次线性方程组，得基础解系，，.将，，单位化，可得，，，，，，，，令，，,且为正交矩阵，且有=例4.3.2 设实对称矩阵，求正交矩阵，使得=为对角矩阵.解矩阵的特征多项式为=，因此，矩阵的特征值为，.对于，解齐次线性方程组，得基础解系，，，，，；先将向量，正交化，令，，，，再单位化，得，，对于，解齐次线性方程组，得基础解系，，，将其单位化，得.令，，,且为正交矩阵，且有=.例 4.3.3 设三阶实对称矩阵的特征值为，，且属于的特征矩阵为，，，求矩阵.解设的属于特征值的特征向量为，，，则与正交，即，解此齐次线性方程组，得基础解系，，，，，，易见，，正交.将，，单位化，可得，，令，，,则为正交矩阵，且有=，从而=.习题四 （A ）一、填空题1. 为 阶矩阵， 有非零解，则 必有一个特征值__________.2.若 阶可逆方阵 的每行元之和 ，则 的一个特征值为__________.3.设 为三阶可逆矩阵，其逆矩阵的特征值为，，，则行列式 __________.4.设 是非奇异矩阵的一个特征值，则矩阵有一个特征值为__________.5.若 为四阶实对称矩阵， ，且2是 的三重特征值，则 的相似对角矩阵为__________.6. 设 为 阶矩阵， 有 个互异特征值 ， ， ， ，则有 __________ ， ， ， .7. 设 是三阶实对称矩阵， 的特征值是 ， ，则有 __________. 8.若四阶矩阵 与 相似，矩阵 的特征值为，，，，则9.已知矩阵只有一个线性无关的特征向量，则10.设 ， ，，矩阵 ， 为自然数，则行列式 11.已知三阶实对称矩阵 的一个特征值为 ，对应的特征向量 ， ，，且 的主对角线上的元全为零，则 二、单选题1.设三阶矩阵，则 的特征值是（）（A ）1,0,1 （B ）1,1,2 （C ）-1,1,2 （D ）1,-1,12.若可对角化的 阶矩阵 只有一个特征值为零，则 =（） （A ） （B ） （C ）1 （D ）03.设 ， ， ， 是矩阵 对应于特征值 的特征向量，当线性组合∑=ni 1满足（）时，∑=ni 1也是矩阵 对应于特征值 的特征向量.（A）其中不全为零（B）其中全不为零（C）是非零向量（D）是任一向量4.当满足下列（）条件时，矩阵与相似.（A）（B）（C）与有相同的特征多项式.（D）阶矩阵与有相同的特征值且个特征值不相同.5.已知二阶实对称矩阵的特征向量为，且，则必为的特征向量的是（）（A）（B），（C），，（D），，不同时为零6.设是阶非零矩阵，，下列命题不正确的是（）.（A）的特征值只有零（B）必不能对角化（C）必可逆（D）只有一个线性无关的特征向量7.设，是矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，，则，线性无关的充要条件是（）（A）（B）（C）（D）8.若，且，，则以下结论错误的是（）.（A）（B）（C）为不可逆矩阵（D）必有特征值9.设，有特征值，（二重），且有三个线性无关的特征向量，则.（A）4（B）（C）（D）10.设，为阶矩阵，且与相似，则（）（A）（B）与均相似于同一个对角矩阵.（C）与有相同的特征值与特征向量（D）对任意常数，与相似.三、综合题1.求下列矩阵的特征值与特征向量：（1）；（2）；（3）；（4）.2.判断下列矩阵与是否相似：（1），；（2），；（3），；（4），.3.求下列矩阵的次幂:（1）；（2）.4.求正交矩阵，使得为对角矩阵.(1)；（2）.5.设是阶方阵的一个特征值，且的伴随矩阵为，试证：的非零列向量是的属于的特征向量.6.考察栖息地在同一地区的兔子和狐狸的生态模型，对两种动物的数量的相互依存的关系可用以下模型描述：，，，，，其中，分别表示第年时兔子和狐狸的数量，而，分别表示基年时兔子和狐狸的数量，记，，，，（1）写出该模型的矩阵形式；（2）如果,求.（3）求7.设，相似，求：（1），的值；（2）求正交矩阵，使得.8.设向量，，，，，，，，且，记，求的所有特征值及特征向量.9.设，为三维单位列向量，且，令，证明与相似.10.设三阶实对称矩阵的特征值是1,2,3，矩阵的属于特征值1,2,3的特征向量分别是，，，，，.(1)求的属于特征值3的特征向量；（2）求矩阵.11.设，若为的一个特征值，求；（2）求.12.若存在正交矩阵，使矩阵，同时相似于对角矩阵，则必有.13.设为三阶实对称矩阵，且满足条件，的秩.求的全部特征值.14.设，求实对称矩阵，使.15.设矩阵，求.16.已知三阶矩阵与相似，，是的两个特征值，，计算,其中是的伴随矩阵.（B）1.设矩阵与相似，与相似，试证：与相似.2.已知与对角矩阵相似，求.3.设是阶实幂等矩阵（即），且，.（1）设，，试证.（2）试证：；（3）求4.设，为阶矩阵，，证明（1）是与的相同特征值；（2）与的基础解系线性相关.5.设是阶矩阵，且任一非零维向量都是的特征向量，试证：（即为数量矩阵）6.已知三阶非零矩阵，满足，，，证明：（1）0和1必是与的特征值；（2）若是关于的特征向量，的个特征值两两互异，若的特征向量总是的特征向量，证明.8.设，均为阶非零矩阵，且满足，，证明：（1）是，的特征值.（2）若，，分别是，对应于的特征向量，则，线性无关.答案：一、填空题1.02.3.-64.5..6.7.8.14 7639.10.11.二、单选题1-5 CBCDB6-10 DDADD三、综合题1.（1），，的属于的特征向量，；的属于的特征向量，.（2），；的属于的特征向量为，，不全为零；的属于的特征向量为，（3），；的属于的特征向量为，，不全为零；的属于的特征向量为，.（4）（三重）；的属于的特征向量为，，不全为零；2.（1）不相似；（2）相似；（3）相似.3.(1)；（2）当为偶数时，；当为奇数时，.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第四讲 矩阵的对角化对角矩阵的形式比较简单，处理起来较方便，比如求解矩阵方程Ax b =时，将矩阵A 对角化后很容易得到方程的解。
以前我们学习过相似变换对角化。
那么，一个方阵是否总可以通过相似变换将其对角化呢？或者对角化需要什么样的条件呢？如果不能对角化，我们还可以做哪些处理使问题变得简单呢？一、特征征值与特征向量1. 定义：对n 阶方阵A ，若存在数λ，及非零向量（列向量）x ，使得Ax x λ=,则称λ为A 的特征值，x 为A 的属于特征值λ的特征向量。
☆ 特征向量不唯一； ☆ 特征向量为非零向量；☆ ()0I A x λ-=有非零解，则det()0I A λ-=，称det()I A λ-为A 的特征多项式。
例1 122212221A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求其特征值和特征向量。
【解】122det()212221I A λλλλ----=------ 2(1)(5)λλ=+-，特征值为 121λλ==-，35λ=， 对于特征值1λ=-，由()0I A x --=， 1232222220222ξξξ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 1230ξξξ++= ， 312ξξξ=-- ，可取基础解系为 1101x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，2011x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦， 所以属于特征值1λ=-的全部特征向量为1122k x k x + ，其中12,k k 为不全为零的数.对于特征值5λ=，由 (5)0I A x -=，1234222420224ξξξ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦， 123ξξξ== ，可取基础解系为 3111x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 所以属于特征值1λ=-的全部特征向量为33k x ，其中3k 为非零的数.2. 矩阵的迹与行列式1tr n ii i A a ==∑ ， 1det n i i A λ==∏ ， 1tr ni i A λ==∑.3. 两个定理（1） 设A 、B 分别为m n ⨯和n m ⨯阶矩阵，则tr()tr()AB BA =（2）sylvster 定理：设A 、B 分别为m n ⨯和n m ⨯阶矩阵，则det()det()m nm n I AB I BA λλλ--=-.即：AB 与BA 的特征值只差零特征值的个数，非零特征值相同。
二、矩阵对角化的充要条件定理：n 阶方阵A 可通过相似变换对角化的充要条件是它具有n 个线性无关的特征向量。
【证】充分性：设A 有n 个线性无关的特征向量12,,,n x x x L ，则,(1,2,,)i i i A x x i n λ==L 1212(,,,)(,,,)n n A x x x Ax Ax Ax =L L1122(,,,)n n x x x λλλ=L 12120(,,,)0n n x x x λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L O ， 因为12,,,n x x x L 线性无关， 故12(,,,)n P x x x =L 为可逆矩阵.令1200n λλΛλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦O，则有 1,A P P PA P ΛΛ-==.必要性：已知存在可逆方阵P ，使12100n P AP λλΛλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦O， 将P 写成列向量12(,,,)n P P P P =L ，(1,2,,)i P i n =L 为n 维列向量.121122(,,,)(,,,)n n n AP AP AP P P P λλλ=L L ，于是 ,1,2,,i i i AP P i n λ==L .可见，i λ为A 的特征值，i P 为A 的特征向量， 所以A 具有n 个线性无关的特征向量。
推论：若n 阶方阵A 有n 个互异的特征值，则A 必可对角化。
（充分条件）三、内积空间1. Euclid 空间设V 是实数域R 上的线性空间（简称实线性空间），对于V 中任两个向量,x y 均按某一规则，存在一个实数与之对应，记为(),x y ，若它满足（1）交换律： ()(),,x y y x = ； （2）分配律：()()(),,,x y z x y x z +=+ ；（3）齐次性： ()(),,,k x y k x y k R =∀∈；（4）非负性： (),0x x ≥，当且仅当0x =时，(),0x x = .则称(),x y 为x 与y 的内积；定义了内积的实线性空间称为Euclid 空间。
向量x的模或长度：||x =☆注：对于一个给定的线性空间，可以定义多种内积，较典型的如三维向量空间的数量积就满足以上四条性质，构成内积。
以n 维向量空间nR 为例：12(,,,)T n x ξξξ=L ，12(,,,)Tn y ηηη=L ，可定义内积()1,ni i i i x y w ξη==∑（其中0i w >），它满足内积的四条性质：（1）()()11,,nni i i i i i i i x y w w y x ξηηξ=====∑∑；（2）()1,()ni i i i i x y z w ξης=+=+∑()()11,,n ni i i i i i i i w w x y x z ξηξς===+=+∑∑，其中12(,,,)Tn z ζζζ=L ；（3）()()11,(),n ni i i i i i i i kx y w k k w k x y ξηξη=====∑∑ （4）()21,0ni i i x x w ξ==≥∑ 当且仅当0i x =时，(),0x x =，该内积可写为：(),Tx y x Wy =，其中1200n w w W w ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦O； 更一般的，对实对称正定矩阵A （0,0Hnx Ax x R >∀≠∈），(),Tx y xAy =也满足内积的定义。
2. 酉空间：设V 是复数域C 上的线性空间（简称复线性空间），对于V 中任两个向量,x y 均按某一规则存在一个复数与之对应，记为(),x y ，若它满足（1）交换律： ()(),,x y y x = ； （2）分配律： ()()(),,,x y z x y x z +=+ ； （3）齐次性： ()(),,kx y k x y =， or ()(),,x ky k x y = ，()k C ∀∈ ；（4）非负性： (),0x x ≥，当且仅当0x =时，(),0x x = .则称(),x y 为x 与y 的内积；定义了内积的复线性空间称为酉空间。
向量x的模或长度：||x =☆注：以n 维向量空间nC 为例，A 为厄米特（Hermite ）（HA A =）正定（0,0H n x Ax x C >∀≠∈）矩阵，则 ()11,n nT j ij i i j x y x Ay a ξη====∑∑为n C 的内积。
较常见的比如12[]n A diag w w w =L ，0i w >最简单：实 (),Tx y x y=复 (),Tx y x y =3. 正交性：若(),0x y =，则称x 与y 正交。
4. Euclid 空间中，x 与y 的夹角：(,)cos ||||x y x y α=，α称为x 与y 的夹角。
5. Gram-Schmidt 正交化手续设12,,,n x x x L 为一组线性无关的向量或向量，可以进行如下正交归一化操作（正交规范化或正交单位化）：分成以下两个步骤来实现： 第一、先正交化：11y =x ' 212211(,)(,)x y y x y y ''=-''......................1211122-1-1(,)(,)(,)(,)(,)(,)i i i i i i i x y x y x y y x y y y y y y ''''=----''''''L......................1211122-1-1(,)(,)(,)(,)(,)(,)i i i n n nn x y x y x y y x y y y y y y ''''=----''''''L第二、再单位化：'''12n 12n '''12n,,,||||||y x xy y y y x x ===L . 例1：把向量组12(1,1,0,0),(1,0,1,0),x x ==34(1,0,0,1),(1,1,1,1)x x =-=--正交单位化. 【解】先正交化：11(1,1,0,0)y x '==， 212211(,)11(,,1,0)(,)22x y y x y y ''=-=-''，3132331122(,)(,)111(,,,1)(,)(,)333x y x y y x y y y y '''=--=-''''，43414244112233(,)(,)(,)(1,1,1,1)(,)(,)(,)x y x y x y y x y y y y y y ''''=---=--''''''.再单位化：'11'111,,0,0)||y y y ==，'22'2112,,,0)||y y y ==-，'33'31113(,,,||y y y ==-， '44'41111(,,,)||2222y y y==--.。