带电粒子在磁场运动中的轨迹赏析

带电粒子在匀强磁场中的轨迹问题赏析

带电粒子在磁场中受到垂直于运动速度方向的洛仑兹力作用而做匀速圆周运动，由于所受力及初始条件不同，带电粒子在匀强磁场中形成不同的图形。这些图形反映了有关带电粒子在匀强磁场中运动时的不同特性，研究这些图形，可以直观的得到解题思路和方法，给人以美的享受，美的启迪。现以例题形式解析在匀强磁场中几种常见的图形。

一．一面“扇子”

例1 如图所示，在半径为R 的圆范围内有匀强磁场，一个

电子从Ｍ点沿半径方向以ｖ射入，从Ｎ点射出，速度方向偏

转了６０0则电子从Ｍ到Ｎ运动的时间是（ ）

Ａ v R 2π B v 3R 2π C v 3R π D v

3R 3π 解析 选Ｄ 过Ｍ，Ｎ两点分别做Ｏ’Ｍ⊥ＯＭ，Ｏ’Ｎ⊥ＯＮ．则粒子运动轨道形成一“扇面“图形，如图所示，圆心角∠ＭＯ’Ｎ＝

６０＝3

π 又由r=Bq mv =030tan R =3R 和T=Bq m π2，得T=v R π3 2，所以电子从M 到N 运动时间t=T πθ2 =π

π2 3×v

R π3 2=v R 33 π 估选D 。

二． 一颗“心脏”

例2如图所示,以ab 为分界面的两个匀强磁场,方向

均垂直于纸面向里,其磁感应强度B 1=2B 2,现有一质量为m,带电量为+q 的粒子,从

O 点沿图示方向以速度v 进入B 1中,经过时间t= 粒子重新回到O 点(重力不计)

解析 粒子重新回到O 点时其运动轨道如图所示,形

成一”心脏”图形.由图可知，粒子在B 1中运动时间

t 1=T 1=q B m 12π 粒子在B 2中的运动时间为t 2=2

1T 2=q B m 2π 所以粒子运动的总时间t= t 1+ t 2=

q B m 12π+q B m 2π=q B m 22π或q B m 14π 三． 一条“螺旋线”

例3如图所示,水平放置的厚度均匀的铝箔,置于匀强磁场

中,磁场方向垂直于纸面向里,一带电粒子进入磁场后在

磁场中做匀速圆周运动,粒子每次穿过铝箔时损失的能量

都相同,如图中两圆弧半径R=20cm, R=19cm,则该粒子总共能穿过铝箔的次数是多少?

解析 由R=Bq mv 及E K =2

1mv 2 得:：E K =m R B q 2222 所以每次动能损失：∆E K = E K1- E K2=m R B q 22122—m R B q 22

222 所以粒子总共能穿过

铝箔的次数：K 1E ∆E =222121R R R -=2

221.02.02.0-3.10≈ 故n=10次 粒子在每次穿过铝箔后其轨迹形成如图所示的一条“螺旋线”图形

四.一座“拱桥”

例4如图所示,在x 轴上方有垂直于xy 平面的匀强

磁场, 磁感应强度为B,在x 轴下方有沿y 轴负方向的匀强电场,场强为E ，一质量为m ，电量为—q 的粒子从坐标原点O 沿着y 轴正方向射出，射出之后，第三次到达x 轴时，它与O 点的距离为L ，求此时粒子射出时的速度和运动的总路程（重力不记）

解析 画出粒子运动轨迹如图所示，形成“拱桥“图形。由题知粒子轨道半径R=4L ，所以由牛顿定律知粒子运动速率为 v=m BqR =m BqL 4 对粒子进入电场后沿y 轴负方向做减速运动的最大路程y 由动能定理知：22

1mv =qEy ，得y=mE L qB 3222 所以粒子运动的总路程为s=+mE L qB 16222

1πL 五．一串“葡萄”

例5 如图（甲）所示，两块水平放置的平行金属板，板长L=1.4m,板距d=30cm 。两板间有B=1.25T,垂直于纸面向里的匀强磁场。在两板上加如图（乙）所示的脉冲电压。在t=0时，质量m=2×10-15kg ，电量为q=1×10-10C 的正离子，以速度为4×103m/s 从两板中间水平射入。试求：粒子在板间做什么运动？画出其轨迹。

解析 在第一个10-4s 内，电场,磁场同时存在，离子受

电场力，洛仑兹力分别为F 电=qE= 5=d qU ×10-7N,方向由左手定则知向上，粒子做匀速直线运动。位移s=vt=0.4m. 第二个10-4s 内，只有磁场，离子做匀速圆周运动，r=Bq mv 0=6.4×10-2m <4

d ,不会碰板，时间T=q B m 12π=1×10-4s ，即正巧在无电场时离子转满一周。易知以后重复上述运动，故轨迹如图所示，形成

“葡萄串”图形

六．一个“字母S ”

例6 如图所示，一个初速为0的带正电的粒子经过M ，

N 两平行板间电场加速后，从N 板上的孔射出，当带电

粒子到达P 点时，长方形abcd 区域中出现大小不变，方

向垂直于纸面且交替变化的匀强磁场，磁感应强度

B=0.4T,每经过t=4

π×10-3s ，磁场方向变化一次，粒子到达P 点时出现的磁场方向指向纸外，在Q 处有一静止的中性粒子，PQ 距离s=3.0m ，带电粒子的比荷是1.0×104C/kg,不计重力。求：（1）加速电压为200V 时带电粒子能否与中性粒子碰撞？（2）画出它的轨迹

解析 （1）粒子在M ，N 板间加速时由动能定理得到达P 点时的速度：qU =22

1mv 即：v=m

qU 2=4100.12002⨯⨯⨯m/s=2×103m/s 方向水平向右。此时P 点出现垂直于纸面向外的磁场，所以粒子由于受到洛伦兹力做圆周运动的周期为：T=Bq m π2=2

π×10-3s=2t 即粒子运动半周磁场方向改变，此时粒子速度方向变为水平向右，

故粒子又在PQ 右边做匀速圆周运动，以后重复下去，粒子做匀速圆周运动的轨道半径r=Bq mv =0.5m 所以粒子做半圆周运动个数为n=r s 2=m

m 5.020.3 =3 所以带电粒子能与中性粒子相遇。

（2）依（1）知带电粒子的轨迹如图所示，形成“葡萄串”图形

七．一朵“梅花”

例7. 如图两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，

其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a ，b ，c 和d ，

外筒的外半径为r 0，在圆筒之外的足够大区域中有平

行于轴线的匀强磁场，磁感应强度B ，在两极间加上

电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场。一质量为m ，带电量为+q 的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝a 的S 点出发，初速为0。如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S ，则两电极之间的电压U 应是多少？（不计重力，整个装置在真空中）

解析 带电粒子从S 点出发，在两筒之间的电场力作用

下加速，沿径向穿出a 而进入磁场区

在洛伦兹力作用下做圆周运动，粒子再回到S 点的条件

是能依次沿径向穿过狭缝d ，c ，b 。在各狭缝中粒子在

电场力作用下先减速，在反向加速，然后从新进入磁场

区，如图所示 设粒子进入磁场区时的速度为v ，根据能量守恒有：qU =22

1mv 设粒子在洛伦兹力作用下做圆周运动的半径为R ，由洛伦兹力公式和牛顿定律得：