第三节磁多极矩x 31磁矢势的多极展开
电动力学课件33磁多极矩
1 (x )2
f
(x)
2
1 1 (x ) 1 1 (x )2 1
rR
r x0 2
r x0
1 (x ) 1 1 (x )2 1
R
R2
R
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1 (x ) 1 1 (xx : ) 1
R
R2
R
其中 ( 1 1 1 , aa : bb (a b)2 )
J (x')x'
1
dV '
4
R
处理：
将恒定电流看成许多闭合电流管：
J(x')dV' Idl
电流源的坐标矢量均在流管上面：
利用A全(1微) 分闭合0回路m线积分R为零： 4 R3
dx' dl '
(
x'R)dl '
1 2
(x'dl '
)
R
物理意义：第2项代
表磁偶极炬产生的失
I
势
m
2
r x0
r x0
R
3. 小区域电流分布产生的矢势
A
J (x)dV
4 V r
A(x)
0 4
v
J (x')[
1
R
x'
1 R
1 2!
i, j
2 xi ' x j ' xix j
1 R
]dV'
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二、磁多极矩
第1项：
A(0)
(x)
0
J (x')dV '
（1）计算磁炬：
电荷密度
电动力学教学大纲
XX《电动力学》教学大纲课程编号： 3407课程名称:电动力学英文名称:学分／学时:４/64课程性质: 必修适用专业: 应用物理建议开设学期:５先修课程: 电磁学,数学物理方法,场论与复变函数开课单位：物理与光电工程学院一、课程的教学目标与任务(１）理解电磁运动的基本规律，理解电磁场基本性质；（2）获得分析和处理一些电磁基本规律问题的能力；(3)通过学习狭义相对论理论，掌握相对论的时空观及有关的基本理论；(４)为后续课程的学习和独力解决实际问题打下必要的基础。
二、课程具体内容及基本要求（一）引言（4学时）１。
基本要求了解《电动力学》的主要内容、熟悉研究对象等电磁场理论的史2.重点、难点掌握数学知识补充（矢量分析和算符运算）３。
作业及课外学习要求：课后及课本XX中的补充内容,掌握基本的矢量分析及算符运算法则（二)第一章电磁现象的普遍规律（８学时）１.基本要求第一节电荷和电场一、库仑定律(电荷连续分布带电体的电场）二、高斯定理，静电场的散度（矢量场的两个基本性质）三、静电场的旋度第二节电流和磁场一、电荷守恒定律（微分形式和积分形式)二、用毕—萨定律证明磁场旋度和散度公式第三节麦克斯韦方程组一、电磁感应定律二、位移电流三、麦克斯韦方程组四、洛伦兹力公式第四节介质的电磁性质一、极化和磁化的物理图象及描述二、极化强度的散度和磁化强度的旋度三、物质方程四、介质中的方程第五节电磁场的边值关系一、方程的积分形式二、法向分量的跃变三、切向分量的跃变第六节电磁场的能量和能流一、场和电荷系统的能量转化和守恒定律的一般形式二、电磁场能量密度和能流密度表示式三、电磁能量的传输2.重点、难点本章重点:方程及其物理根据，电磁场的边值关系，电磁场能量.难点:电磁场的矢量运算，电磁场及边值关系的物理图像。
３．作业及课外学习要求:课后题的部分内容，掌握电磁场的基本边值关系及方程.（三）第二章静电场（13学时）1.基本要求第一节静电场的标势及其微分方程一、静电场的标势二、静电势的微分方程和边值关系三、静电场的能量第二节唯一性定理一、静电问题的唯一性定理二、有导体存在时的唯一性定理第三节拉普拉斯方程分离变量法一、分离变量法二、边界条件的使用第四节电像法一、电像法的物理原理二、电像法的适用区域第五节格林函数法（选讲)一、点电荷密度二、格林函数三、格林公式和边值问题的解第六节电多极矩一、电势的多极展开二、电多极矩三、电荷体系在外电场中的能量２。
第三章 静磁场
二、磁偶极子的场与标势
由磁偶极子的势 可计算出磁偶极子的场，
（其中， ， ）
由于
所以
如果定义 为磁偶极子的磁标势。
则 ，
总之，一个小范围内的电流分布在远处产生的磁场的最初级近似为磁偶极近似，
矢势的最初级近似 。
磁场的最初级近似 。
三、小区域电流在外场中的能量
1、电流分布 在外场中的相互作用能
当研究介质中的磁场时，必须考虑介质的磁化对场的影响。自由电流产生磁场，磁场作用于介质产生磁化电流，又激发磁场，场再作用于介质……也必须象静电学问题一样，求解反映场与介质相互作用的微分方程（在一定边界条件下求解）。
我们先引入静磁场的矢势，导出矢势满足的微分方程，然后再讨论磁标势及其微分方程，最后讨论磁多极展开。
球内磁场是
铁球内外的 和 。 线总是闭合的，而 线则不然。 线从右半球面的正磁荷发出，止于左半球的负磁荷。在铁球内部， 和 反向，说明磁铁内部的 和 是有很大的差异。
代表磁铁内的总宏观磁场，即在物理小体积内对微观磁场的平均值，而 仅为一辅助场量。
静电场
静磁场
无旋场
无源场
（由此，历史上人们错误地认为 与 相对应）
2、矢势的一级近似
恒定电流可以分成许多闭合电流管，我们就一个电流管计算上式。若线圈电流为 ，则有
由于 为线圈上各点的坐标，因此 （ 表示对带撇的变量微分）。利用全微分绕闭合回路的线积分等于零，得
因此
则
其中 ，是电流体系的磁偶极矩。电流分布是一个小线圈，则 ， 是线圈的面积矢量， ， 为线圈法线方向单位向量， 与电流方向满足右手螺旋关系。
若考虑外场变化的情况，设外场是由另一带有电流 的线圈 产生。
静磁场
W
1 2
(A
1 2
(
Ae
Ae ) (J J e
J e )dV
1 2
)dV
(A
Je
1 2
( A J )dV
Ae J )dV
最后一项称为相互作用能，记为
可以证明： Wi
( A J e )dV
2．矢势的形式解
A
J(
x)dV
4 V r
Ai
4
V
Ji (x)dV r
已知电流密度，可从方程直接积分求解，但一般电流分
布与磁场相互制约，因此一般情况需要求解矢量泊松方程。
3．B 的解
B
A
4
V
(
J
(x))dV r
4
V
1 r
W 1
B
HdV
1
(
A
H
)dV
1
A JdV
2
2
2
1
A JdV
2
2. 电流分布在外磁场中的相 互作用能
设 Je 为外磁场电流分 布，Ae为外磁场的矢
势；J 为处于外磁 场 Be中的电流分布，它激
发的场的矢势为 A 。总能量：
静磁场
H 0
H
m 0
m
0
M
023-3第3章 静磁场-3-磁多极矩
S1
S2
S1
S2
dS1 dS2
S1
S2
磁偶极矩与曲面选取无关
₪静 磁 场
3.小区域电流分布在外磁场中的能量
(１)载流小线圈与外磁场相互作用能
电流分布与外磁场的相互作用能:
W
J
AedV
载流线圈与外磁场的相互作用能: W I Ae dl I Be dS Ie
L
S
载流小线圈如果区域线度远小于外磁场发生显著变化的
(3)磁矢势作多极展开的适用条件和求解思路
电流分布的 适用条件：小电流分布对远场的贡献 被积函数泰
空间积分
勒级数展开
零级：磁单极子不存在
近似
磁矢势
一级：磁偶极子
二级：磁四极子可忽略
N级：磁2N极子可忽略
磁矢势逐 级展开
₪静 磁 场
1.矢势的多极展开
(4)磁矢势作多极展开的适用条件
给定电流分布在空间中激发的磁矢势为
对1/r展开得
A(
x)
0
4
J
(
x'
)
dV '
0
r
4
J(
x
'
)
x x '
dV
'
0
4
J(
x
'
)
1 R
x
1 R
1 2!
ij
2 xi ' x j ' xix j
1 R
...
dV
'
A(0)
( x )
A(1)
( x )
A(2)
( x )
...
₪静 磁 场
1.矢势的多极展开
第3节磁多极矩
j ( R' )(R'R) 1 R dV ' dI ( R'dR' ) 3 3 V R 2 S L R 1 R' j ( R' )dV ' R 3 V 2 R 定义： 1 m R ' j ( R ' )dV ' 2 V (1) 0 m R A 4 R 3
W
V
j ( R ) Ae dV
若带电体系是一个小电流环 i ，则：
Wi j ( R) Ae (dS dl ) L S I i Ae dl I i S Be dS
L
将远场 Be在电流体系的小区域范围内做多
( R' R) R' R 其中： L 3 dl ' L 3 dR' R R R' R ( R' R) R' d R' d 3 L R L R3 R' R 0 R' d 3 L R R R' ( 3 dR' ) L R R 1 R R ( R' 3 )dR' ( R' 3 )dR' R' ( 3 dR' ) L R 2 L R R 1 R 3 (dR'R' ) 2 LR 1 R ( R'dR' ) 3 2 L R
二、磁多极矩
1 零极矩
V
j ( R' ) dV ' R
电流系中电流全部分布于体系内部，外部 电流为零，电流是闭合的。
电多极矩
§3.4电多极矩和磁多极矩由于静电场与静磁场的多极展开理论与算法有许多相似之处，采用了相同的数学工具，所以本节特将它们编排在一起，有利于对照和比较。
1. 电势的多极展开许多问题中，电荷只分布与一个小区域内，而需要求解电场的场点又距离电荷分布区域较远，例如原子核电荷分布在10-13cm范围，电子层在距原子核10-8cm范围，在这种情况下，对于计算电势的公式电荷元到场点的距离远大于区域的线度，因而可以将式中的的台劳级数展开，由此得出电势得高级近似值。
(1).电多极矩、电势的多极展开在区域内取一点作为坐标原点，以表示原点到场点的距离，（以下雷同，不再赘述），即，由于电荷分布在区域内，对于远区，的线度，所以的各分量可看作微小参量。
将在点附近展开（台劳级数）取，则有将它代入中可得远区的电势为：(2).展开式各项的物理意义考察上面的多极展开式，若令体系的总电量体系的总电偶极矩体系的总电四极矩张量即体系的电四极矩，则是电四极矩的并矢形式。
用、、取代电势中的相关部分，可得到其中体系总电量集中在原点所激发的电势；系统电偶极矩激发的电势；四极矩激发的电势。
如果一个体系的电荷分布以原点为对称，则它的电偶极矩为零。
因为由上面的，当点和点有相同的电荷密度时，则积分只为零。
所以，只有对原点不对称的电荷分布体系才有电偶极矩。
(b).代入远区条件后直接计算体系的电势则为，其中可见，两种方法计算的结果是一致的，偶极子的电势符合多极展开的。
(2).如图3-5，计算由，组成的电荷体系的偶极矩和四极矩解：设正电荷位于，负电荷位于的位置。
3．电荷体系在外电场中的能量设外电场电势为，处于外场中电荷分布为的体系，其势能可由下式计算。
在电荷分布小区域内取一点为坐标原点，把对原点的邻域展开图3-5将展开式代入中，可得这就是小区域电荷体系在外场中的能量展开式。
展开式各项的物理意义如下电荷集中于原点时在外场中的能量体系的电偶极矩在外场中的能量四极矩在外场中的能量由偶极项还可求出电偶极子在外场中所受的力和力矩如下：力矩式中的角是与的夹角，力矩式写成矢量式则为。
电动力学三三(磁多极矩)
A(1)可写为
(1) A
0 I ' ' 0 m R ( x d l ) R 3 3 4R 2 4R
9
I ' ' 电流线圈的磁矩 m x dl 2
因
' ' Idl JdV
(R 0)
所以
(1) B
0 R (m ) 3 4 R
13
在电流分布以外的空间中，磁场应可以 用标势描述，因此再把上式化为磁标势 的梯度形式。m为常矢量。
(f g) f ( g) (f )g g f (g )f (1) 0 R B (m ) 3 m为常矢量 4 R
������
前面讨论的都是通过求解微分方程，来
得到磁场的分布;
如果电流分布在一个有限的小区域内，
而感兴趣的是远离源区的磁场分布情况，
则将磁场作多极展开而获得。
1
本节研究空间局部范围内的电流分 布所激发的磁场在远处的展开式。与电 多极矩对应，引入磁多极概念，并讨论 这种电流分布在外磁场中的能量问题。
14
磁矩的磁势
(1) m
mR 4R 3
电偶极子的电势
(1) e
p R 4π 0 R 3
也正是根据这一点，我们把一个载流线圈比作 一对正负磁荷组成的磁偶极子。
15
一个小电流线圈可看作由一对正负磁荷组 成的磁偶极子,磁偶极矩m=IS由决定。 电流分布区域以外的空间用磁标势m 来描述磁场
x R
P
1 ' ' 得磁矩 m x J ( x' )dV 2
电多极矩Word
§3.4电多极矩和磁多极矩由于静电场与静磁场的多极展开理论与算法有许多相似之处，采用了相同的数学工具，所以本节特将它们编排在一起，有利于对照和比较。
1. 电势的多极展开许多问题中，电荷只分布与一个小区域内，而需要求解电场的场点又距离电荷分布区域较远，例如原子核电荷分布在10-13cm范围，电子层在距原子核10-8cm范围，在这种情况下，对于计算电势的公式电荷元到场点的距离远大于区域的线度，因而可以将式中的的台劳级数展开，由此得出电势得高级近似值。
(1).电多极矩、电势的多极展开在区域内取一点作为坐标原点，以表示原点到场点的距离，（以下雷同，不再赘述），即，由于电荷分布在区域内，对于远区，的线度，所以的各分量可看作微小参量。
将在点附近展开（台劳级数）取，则有将它代入中可得远区的电势为：(2).展开式各项的物理意义考察上面的多极展开式，若令体系的总电量体系的总电偶极矩体系的总电四极矩张量即体系的电四极矩，则是电四极矩的并矢形式。
用、、取代电势中的相关部分，可得到其中体系总电量集中在原点所激发的电势；系统电偶极矩激发的电势；四极矩激发的电势。
如果一个体系的电荷分布以原点为对称，则它的电偶极矩为零。
因为由上面的，当点和点有相同的电荷密度时，则积分只为零。
所以，只有对原点不对称的电荷分布体系才有电偶极矩。
(b).代入远区条件后直接计算体系的电势则为，其中可见，两种方法计算的结果是一致的，偶极子的电势符合多极展开的。
(2).如图3-5，计算由，组成的电荷体系的偶极矩和四极矩解：设正电荷位于，负电荷位于的位置。
图3-53．电荷体系在外电场中的能量设外电场电势为，处于外场中电荷分布为的体系，其势能可由下式计算。
在电荷分布小区域内取一点为坐标原点，把对原点的邻域展开将展开式代入中，可得这就是小区域电荷体系在外场中的能量展开式。
展开式各项的物理意义如下电荷集中于原点时在外场中的能量体系的电偶极矩在外场中的能量四极矩在外场中的能量由偶极项还可求出电偶极子在外场中所受的力和力矩如下：力矩式中的角是与的夹角，力矩式写成矢量式则为。
chap3-3磁多极矩
r (2 ) 矢势展开式中的 A 或者更高阶的项在实
际中的影响很小，可以忽略。
2. 载流线圈的磁矩
r 1 r r m = ∫ x × J dV 2
(
)
1) 由许多带电粒子组成的体系
r r r r ① 电流为 J = ∑ qn vnδ ( x − xn ).
n
r r r r 1 r 1 r r r m = ∫ x × J ( x )dV = ∑ qn ∫ x × vnδ ( x − xn )dV 2 n 2
r x =0 e
r x =0
r r r r r r 0 = ∇ x '⋅Be ( x ) − ( x '⋅∇ )Be ( x )
{(
)
}
r x =0
或者
r r r ∇ x '⋅Be ( x )
(
)
r x =0
r r r = ( x '⋅∇ )Be ( x ) r
x =0
r r r r r F = ∫ J ( x ')× ( x '⋅∇ )Be (0 ) dV '
[
]
r x' O
+ LL
① 第一项 r r r r r ∫ J (x ')× Be (0) dV ' = I ∫ d l'×Be (0)
=0
② 第二项：
r x'
r r r r ∫ J (x ')× (x '⋅∇ )Be (0) dV '
r r = (m ⋅ ∇ )Be (0 )
（待证明）
[
]
O
r x'
r r r r = − I∇ × ∫ d l ' x '⋅Be ( x )
电动力学 郭硕鸿 第三版 第15次课(磁多极矩)
R R3
2
1 R
=0,
(R 0)
B(1) 0 (m ) R
4
R3
在电流分布以外的空间中，磁场应可以用标势描述，
因此再把上式化为磁标势的梯度形式。m为常矢量。
B(1)
0 4
(m )
R R3
R
R
R
R
(m ) m ( ) (m ) (m )
R3
R3
R3
R3
( f g) f ( g) ( f )g g ( f ) (g ) f
m I S
A(1) (x)表示把整个电流系的磁矩集中在原点时，
一个磁矩对场点所激发的矢势。作为一级近似结果。
2．磁偶极矩的场和磁标势 由A(1)可算出磁偶极矩的磁场
A1
0m R 4 R3
B(1)
A(1)
0 4
(m
R R3
)
0 4
(
R R3
)m
(m
)
R R3
因为 所以
( f g) (g ) f ( g) f ( f )g ( f )g
A(1)
0 I 4 R3
1 2
(x'
dl
')
R
0 4 R3
I 2
(x' dl ' ) R
0m R 4 R3
m I x' dl ' 电流线圈的磁矩
2
Idl ' JdV '
得磁矩
m 1 x' J (x ')dV ' 2
对于一个小线圈，设它所围的面元为△S ，有
dl
O x'
S 1 x' dl ' 2
静磁场
∇·B =0
(4)
B = µ0(H + M ) = f (H)
(5)
将(5)式带入(4)式可得：
∇ · H = −∇ · M
★将分子电流看作由一对假想磁荷组成的磁偶极子，与∇ · P = −ρp对 应，假想磁荷分布为：
ρm = −µ0∇ · M
铁磁介质的磁标势方程（续）
∇ · H = ρm µ0
H · dS = 0
L
S
★ 举例：无限长直导线：H的旋度仅在r = 0点不为零，但任一绕原点的闭 合曲线环量不为零；
★ 这也就是说：∇ × H是局域的，仅和当地J有关；但H并不是局域的；
★ 同理：∇ · E是局域的，仅和当地ρ有关；但E并不是局域的：∇ · E ? ⇒ E · dS = 0
★ 同理：∇ × A = B = 0 (r = 0)，但： A · dl = B · dS? = 0
L
S
★ 考虑如何选取适当的条件，解决该矛盾。
§ 2.2 关于环量积分的讨论
★ 对于任一点x ∈ L有H(x) = 0，则 H · dl = 0
L
★ 对于任一点x ∈ L有∇ × H(x) = 0，未必 H · dl = 0
L
★ 事实上应该为：对于任一点x ∈ S有∇×H(x) = 0，则 H ·dl = ∇×
+
15 8
r3a3 sin3 θ (r2 + a2)7/2
eφ
在远场条件下(r a)取第一项：
A(r, θ)
=
µ0 4π
I πa2 ez r3
×r
=
µ0 4π
m×r r3
★上式(3)相当于磁偶极子产生的矢势；
3.3磁多极子
A2 dV
A1 dV
0 又 A1 4 0 j2 A2 dV r 4 j1 A2 dV j 2 A1 dV U i j1 A2 dV j 2 A1 dV
j1 dV r
3. 比较p和m的场 p r0 1 p :p 4 0 r03 1 3 p r0 r0 p Ep 3 5 4 0 r0 r0 0 m r0 m: AM 4 r03 0 3m r0 r0 m BM AM 3 5 4 r0 r0
2.两个电流体系的相互作用能
U i U总 U1 U 2 1 U 总 j1 j 2 A1 2 V 1 U 1 j1 A1 dV 2 V 1 U 2 j 2 A2 dV 2 V 1 U i j1 A2 j 2 2 V
§3.3磁多极子展开和静磁场的 能量
一.磁多极子展开 1. A的展开式 0 j x , y , z Ax, y, z dV V 4 r 2 y y 2 z z 2 r x x 1 1 1 1 1 r r r : r r0 r 0 r 0 2 0 1 2 A A A A
二.稳恒电流体系磁场能量 1.稳恒电流体系磁场总能 量 1 ub B H 2 1 U B HdV 2 B A B H A H
利用： A H A H A H B H A H A H A H A j f 1 1 U A H dV j f AdV 2 V 2 V 1 1 A H dS j f AdV 2 S 2 V 1 j f AdV 2 V 1 S A H dS 0 2
电动力学三三(磁多极矩)_2023年学习资料
线圈运动时，若保-持电流和不变，-则磁能的改变为-6y=2u80.+1.0y-由于磁通量改变，在线圈上产生 应电动势，它-对电流作功，就会改变和的值。为了保持和-不变，必须由电源提供能量，以抵抗感应电动势-所作的功 在线圈L和Le上的感应电动势分别为-dΦ -￡=-e=-dt-21
oW=2I0.+1,0-在时间6内感应电动势所作的功为-aH&+6eI&=-I还。-Ie西-电源为抵抗此感 电动势必须提供能量-δ W=IΦ 。+I6Φ =2δ W-在这样的条件下才能保持和。不变。-因此总磁场能-量的改变 于相互作用磁能的改变6W
=0ae发r+vR-第二项为-"=-Jirv是av-先就一个闭合线圈情形计算上式。若线圈电流-为I,有-f 如于是
A=-在被积式中，刊8为固定矢量，与积分变量无关。-X为线圈上各点的坐标，因此-dx dl-利用全微分绕闭 回路的线积分等于零-0=手（元·RE1=f在·Rdl'+fa'·R
A四=-是0-则有-f6r.Ri-于xRan-aiiF-c×axb=eb五-eab-A1可写为-ex床-" 于exax及-Lom x R-4R3-电流线圈的电偶极子的电势-D.R-4π enR3-也正是根据这一点，我们把一个载流线圈比 -一对正负磁荷组成的磁偶极子。
一个小电流线圈可看作由一对正负磁荷组-成的磁偶极子，磁偶极矩F么S由决定。-电流分布区域以外的空间用磁标势 m-来描述磁场-一个任意电流线圈可以看作-由它所围的一个曲面S上许-多小电流线圈组合而成，因此-m=1fd -它的总磁偶极矩为-16
现在体系包括有相互作用的三个方面：外电-源，电磁场，以及两个线圈上的电流。必须把-这三个方面包括在内，才能 用能量守恒定律。-设线圈移动时场对它作功6A。能量守恒要求：-电源提供的能量6W应等于总磁能的改变6W加对线圈所作的功6A:-ow,oW +a-23
【电动力学课件】3-2-3 磁标势-磁多极矩
∫ H ⋅ dl = ∫ J ⋅ dS ,
L S
其中L为S的边界。如果回路L连环着电流，即 有电流穿过L所围曲面S，则
∫ H ⋅ dl ≠ 0,
L
2
在这种情况下H和力学中的非保守力场相似，因而 不能引入标势。 如果想引入磁标势，所研究的磁场必须与保守场相 似，即在求解区域内
∫ H ⋅ dl = 0,
µ1
µ2
∆l
n
ϕ m1
h
H1
ϕm2
H2
n ⋅ ( H 2 + M 2 ) = n ⋅ ( H1 + M1 )
σm ∂ϕ m1 ∂ϕ m 2 − = n ⋅ ( M1 − M 2 ) = ∂n ∂n µ0
σ m = µ 0 n ⋅ ( M1 − M 2 ) 为（束缚）磁荷面密度
9
对于线性介质： B = µH
L
2. 引入磁标势的前提条件 对于求解区域内的任何闭合回路，都有
∫ H ⋅ dl = 0,
L
3
3. 实际问题的处理 (1) 空间中没有自由电流，全空间均可以引入磁标 势描述磁场。 (2) 空间中有自由电流， 则挖去电流及电流线所 围着的一个曲面 S ，在 剩下的空间中可以引入 磁标势。
4
例如电磁铁，我们想求出两磁极间隙处的磁场， 在这个区域内也可以引入磁标势。 至于永磁体，它的磁场都是由分子电流激发的， 没有任何自由电流，因此永磁体的磁场甚至在空 间（包括磁铁内部）都可以用磁标势来描述。 总结起来，在某区域内能够引入磁标势的条件是 该区域内的任何回路都不被电流所链环，就是说 该区域是没有自由电流分布的单连通区域。
13
(n + 1)b n n −1 = − P (cos θ ) na R ∑ ∑ n n 0 Pn (cos θ ) + M 0 P 1 (cos θ ) n+2 R0 n n
恒稳磁场的矢势和磁多极矩
恒稳磁场的矢势和磁多极距Part 1. 矢势及其微分方程我们考察恒定电流分布所激发的静磁场。
在给定的传导电流附近可能存在一些磁性物质，在电流的磁场作用下，物质磁化而出现磁化电流，它反过来又激发附加的磁场。
磁化电流和磁场是互相制约的。
因此解决这类问题的方法也象解静电学问题一样，即求微分方程边值问题的解。
下面我们先引入磁场的矢势，然后导出矢势所满足的微分方程。
1. 矢势恒定电流磁场的基本方程是（1.1）（1.2）式是J是自由电流密度.（1.1）和（1.2）式结合物质的电磁性质方程是解磁场问题的基础。
磁场的特点和电场不同。
静电场是有源无旋场,电场线从正电荷出发而止于负电荷,静电场线永不闭合。
静磁场则是有旋无源场，磁感应线总是闭合曲线。
由于特性上的显著差异，描述磁场和电场的方法就有所不同。
静电场由于其无旋性,可以引入标势来描述。
磁场由于其有旋性，一般不能引入一个标势来描述，但是由于磁场的无源性，我们可以引入，另一个矢量来描述它。
根据矢量分析的定理（附录Ⅰ.17式）,若则 B 可表为另一矢量的旋度（1.3）A称为磁场的矢势。
为了看出矢势A的意义，我们考察（1.3）的积分形式。
把B对任一个以回路L为边界的曲面S积分，得（1.4）式中左边是通过曲面S的磁通量。
由上式，通过一个曲面的磁通量只和这曲面的边界L有关，而和曲面的具体形状无关。
如图3-1，设S1和S2矢量个共同边界L的曲面，则这正是B的无源性的表示，因为B是无源的，在S1和S2所包围的区域内没有磁感应线发出，也没有磁感应线终止，B线连续地通过该区域，因而通过曲面S1的磁通量必须等于通过曲面S2的磁通量。
这磁通量由矢势A对S1或S2的边界L的环量表示。
因此，矢势A的物理意义是它沿任一闭合回路的环量代表通过以该回路为界的任意曲面的磁通量。
只有A的环量才有物理意义，而每点上的A（x）至没有直接的物理意义。
由矢势A可以确定磁场B，但是由磁场B并不能唯一确定矢势A。
3.2磁多极矩
作业
P106
现代物理导论I
现代物理导论I
现代物理导论I
二、磁多极矩
1、“磁单极”矢 势 ：
(0)
A (x)
4R
0
J ( x ' )dV '
由于电流的连续性，电流看成许多闭合流管。
(0) 0 0 0 A ( x) J ( x ' )dV ' Idl I dl 0 4R 4R 4R
T H c T H c 0Байду номын сангаас T c
2
现代物理导论I
二．迈斯纳效应 超导体内部（不包括导体的表面层）的磁感应
强度 B 0 与超导体所经历的历史无关。若物体原
来处于超导态，当加上外磁场时，只要磁场强度
不超过 H c ，则 B就不能进入超导体。
磁偶极势在形式上和电偶极势相似，一个小电流线 圈可以看作是一对正负磁荷组成的磁偶极子。
3.4 阿哈罗诺夫－玻姆效应
现代物理导论I
1959年阿哈罗夫-玻姆提出在量子力学可适用
的微观态中 A和 有可观测的物理效应，这
一效应被称为A-B效应。
A-B 效应表明，在量子物理中磁场的物理 效 应不能完全用 B 来描述，矢势可以对电子 发 生相互作用。但是由于 A的任意性，用它描
物理意义：第2项代表 磁偶极矩产生的失势 m为电流线圈的磁矩
S 为小线圈的面积
现代物理导论I
三.磁偶极矩的场和磁标势
1 1
0 R m 3 B A 4 R 0 R R 3 m m 3 4 R R 0 2 1 R m m 3 4 R R 0 R m 3 4 R mR 1 1 1 m B 0 m 4R 3
第三章 静磁场-3
2、磁偶子项
A(1)(x) 0 J (x)x 1 dV
4
R
(3.4)
一个闭合电流管就相当于一个线圈，设线圈中有电流I， J(x′)dV′=Idl′
A(1) (x) 0I
4
(x 1 ) dl 0I
R
4
x
R R3
dl
(3.5)
一、矢势的多级展开
场点P一旦选定， R 就是一个恒矢量，与积分变量无关。
Be(0)]
m
Be(0)
i
I
i
dS [x
S
Be(0)]
W (1) m Be (0)
(3.16)
与电偶极子在外电场中的能量公式比较
三、小区域内电流分布在外磁场中的能量
We(1) p Ee
负号说明，电场力矩的作用使pe转到外电场的方向上。
在 We(1) pe Ee 中的负号说明，电场力对电偶极 子做功，相互作用能要减少。
W
1 2
(Ie
I e)
(3.18)
其中Φ是线圈L上的电流I 产生的磁场对Le的磁通量；
Φe是线圈Le上的电流Ie产生的磁场对L的磁通量。
我们把Φ和Φe叫做互感磁通.
E
d e dt
,Ee
d dt
三、小区域内电流分布在外磁场中的能量
E与Ee的出现，将导致L 和Le 中的电流发生改变， 要想保持I 和Ie 不变，必须由电源提供能量，以抵抗 感应电动势所作的功。
在δt 时间内感应电动势所作的功为
EI
t
EeIe
t
I
d e dt
t
Ie
d
dt
t
I
e
Ie
三、小区域内电流分布在外磁场中的能量
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§ 3.3
磁偶极矩矢势的计算
r0 3 改写为m r0
★第二项可由f g ·
×
r0 3 形式： r0
f g · r0 = f (g · r0 ) = (g × f ) × r0 + g (f · r0 ) µ0 4π µ0 = 3 4πr0 = µ0 3 4πr0 1 µ0 dV = r0 4π r0 )dV 3 r0
(8)
m=
★m称之为电流体系的磁矩。(8)式即为磁偶极矩产生的矢势。 ★对于闭合线圈内的电流分布，磁矩中体积分转化为线积分：
量
磁偶极矩矢势的计算（续）
A(1) (x) = µ0 (x × J ) × r0 dV 3 8πr0 µ0 1 r0 = (x × J ) dV × 3 4π 2 r0 µ0 m × r0 = 3 4π r0 1 2 x × J (x )dV
§ 3.4
电流线圈的磁偶极矩
【证明】 对于某个电流线圈，可以选择不同曲面但拥有相同边界，证明其磁偶 极矩为不变量。 【证】 一个任意电流线圈可以看作由它所围的一个曲面S 上许多小电流线圈组 合而成，因此它的总磁偶极矩为 m=I
S
dS
★尽管以电流线圈为边界的曲面S 并不唯一，但由高斯定理： ∇ψdV = ◆取ψ = 1可得： dS ψ
第三节
§ 3.1 磁矢势的多极展开
µ0 4π
磁多极矩
★无界空间中，电流分布为J (x )，空间中的磁场矢势A(x)： A(x) = J (x ) dV r x )，可对(6)式做多极矩展开： (6)
★当场点距离电流分布区域很远时(r
第三节
§ 3.1 磁矢势的多极展开
µ0 4π
磁多极矩
★无界空间中，电流分布为J (x )，空间中的磁场矢势A(x)： A(x) = J (x ) dV r x )，可对(6)式做多极矩展开： 1 1 1 −x ·∇ + r0 r0 2! xi x j
(8)
m=
★m称之为电流体系的磁矩。(8)式即为磁偶极矩产生的矢势。
磁偶极矩矢势的计算（续）
A(1) (x) = µ0 (x × J ) × r0 dV 3 8πr0 µ0 1 r0 = (x × J ) dV × 3 4π 2 r0 µ0 m × r0 = 3 4π r0 1 2 x × J (x )dV
第三节
§ 3.1 磁矢势的多极展开
磁多极矩
第三节
§ 3.1 磁矢势的多极展开
磁多极矩
★无界空间中，电流分布为J (x )，空间中的磁场矢势A(x)：
第三节
§ 3.1 磁矢势的多极展开
µ0 4π
磁多极矩
★无界空间中，电流分布为J (x )，空间中的磁场矢势A(x)： A(x) = J (x ) dV r (6)
§ 3.2
磁零极矩形成矢势为零
★稳恒电流构成闭合回路，J (x )是无源有旋的，且流出边界的电流为零： ∇ · (Jx ) = (∇ · J ) x + (J · ∇ ) x = J
A(0) (x) =
µ0 4πr0 µ0 = 4πr0 µ0 = 4πr0 =0
J (x ) dV ∇ · (Jx ) dV dS · Jx
(8)
磁偶极矩矢势的计算（续）
A(1) (x) = µ0 (x × J ) × r0 dV 3 8πr0 µ0 1 r0 = (x × J ) dV × 3 4π 2 r0 µ0 m × r0 = 3 4π r0 1 2 x × J (x )dV
(8)
m=
磁偶极矩矢势的计算（续）
A(1) (x) = µ0 (x × J ) × r0 dV 3 8πr0 µ0 1 r0 = (x × J ) dV × 3 4π 2 r0 µ0 m × r0 = 3 4π r0 1 2 x × J (x )dV
S1 S2
dS ψ
dS =
dS = 0
§ 3.4
第三节
§ 3.1 磁矢势的多极展开
磁多极矩
★无界空间中，电流分布为J (x )，空间中的磁场矢势A(x)： µ0 4π ★当场点距离电流分布区域很远时(r A(x) = µ0 A(x) = 4π 1 1 1 J (x ) − x · ∇ + r0 r0 2! A(0) (x) = A(1) (x) = − µ0 4π µ0 8π µ0 4πr0
i,j
(6)
★当场点距离电流分布区域很远时(r A(x) = µ0 4π J (x )
∂ 1 + · · · dV ∂xi ∂xj r0
2
(7)
A(0) (x) =
J (x ) dV = 0
第三节
§ 3.1 磁矢势的多极展开
µ0 4π
磁多极矩
★无界空间中，电流分布为J (x )，空间中的磁场矢势A(x)： A(x) = J (x ) dV r x )，可对(6)式做多极矩展开： 1 1 1 −x ·∇ + r0 r0 2! µ0 4πr0 xi x j
★磁单极不存在，因此对应点电荷的项为零；
§ 3.3
磁偶极矩矢势的计算
§ 3.3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
磁偶极矩矢势的计算
r0 3 改写为m r0
★第二项可由f g ·
×
r0 3 形式： r0
§ 3.3
磁偶极矩矢势的计算
r0 3 改写为m r0
★第二项可由f g ·
×
r0 3 形式： r0
f g · r0 = f (g · r0 ) = (g × f ) × r0 + g (f · r0 )
A(1) (x) = −
J ( x )x · ∇ r 0i
i
J (x )(x ·
J xi dV 1 1 (J xi + Ji x ) + (J xi − Ji x ) dV 2 2
r 0i
i
∇ · (Jx xi ) = xi ∇ · (Jx ) + ∇ xi · Jx = xi J + (ei · J )x = J xi + Ji x
i,j
J (x ) dV r x )，可对(6)式做多极矩展开： 1 ∂2 xi x j + · · · dV ∂xi ∂xj r0
(6)
(7)
J (x ) dV = 0 1 µ0 m × r0 dV = 3 r0 4π r0 1 dV r0
J (x )x · ∇
A(2) (x) =
J (x )x x : ∇∇
i
1 µ0 dV = r0 4π
J (x )(x ·
r0 )dV 3 r0
J xi dV 1 1 (J xi + Ji x ) + (J xi − Ji x ) dV 2 2
r 0i
i
∇ · (Jx xi ) = xi ∇ · (Jx ) + ∇ xi · Jx = xi J + (ei · J )x = J xi + Ji x µ0 3 4πr0 1 (J xi − Ji x ) dV 2
A(1) (x) =
r 0i
i
µ0 = 3 8πr0
[J (x · r0 ) − x (J · r0 )] dV
磁偶极矩矢势的计算（续）
磁偶极矩矢势的计算（续）
A(1) (x) = µ0 (x × J ) × r0 dV 3 8πr0 µ0 1 r0 = (x × J ) dV × 3 4π 2 r0 µ0 m × r0 = 3 4π r0
§ 3.4
电流线圈的磁偶极矩
【证明】 对于某个电流线圈，可以选择不同曲面但拥有相同边界，证明其磁偶 极矩为不变量。 【证】 一个任意电流线圈可以看作由它所围的一个曲面S 上许多小电流线圈组 合而成，因此它的总磁偶极矩为 m=I
S
dS
★尽管以电流线圈为边界的曲面S 并不唯一，但由高斯定理： ∇ψdV = ◆取ψ = 1可得： dS −
§ 3.3
磁偶极矩矢势的计算
r0 3 改写为m r0
★第二项可由f g ·
×
r0 3 形式： r0
f g · r0 = f (g · r0 ) = (g × f ) × r0 + g (f · r0 ) A(1) (x) = − µ0 4π µ0 = 3 4πr0 = µ0 3 4πr0 J ( x )x · ∇ r 0i
S
dS
§ 3.4
电流线圈的磁偶极矩
【证明】 对于某个电流线圈，可以选择不同曲面但拥有相同边界，证明其磁偶 极矩为不变量。 【证】 一个任意电流线圈可以看作由它所围的一个曲面S 上许多小电流线圈组 合而成，因此它的总磁偶极矩为 m=I
S
dS
★尽管以电流线圈为边界的曲面S 并不唯一，但由高斯定理：
§ 3.4
(8)
m=
★m称之为电流体系的磁矩。(8)式即为磁偶极矩产生的矢势。 ★对于闭合线圈内的电流分布，磁矩中体积分转化为线积分： m= ★其中用到：
1 x 2
量
1 2
x × Idl = I S
× dl =
δS = S
§ 3.4
电流线圈的磁偶极矩
§ 3.4
电流线圈的磁偶极矩
【证明】 对于某个电流线圈，可以选择不同曲面但拥有相同边界，证明其磁偶 极矩为不变量。
A(1) (x) = −
J ( x )x · ∇ r 0i
i
J (x )(x ·
J xi dV 1 1 (J xi + Ji x ) + (J xi − Ji x ) dV 2 2
r 0i
i
§ 3.3
磁偶极矩矢势的计算
r0 3 改写为m r0
★第二项可由f g ·