3.1.4 函数的奇偶性
函数奇偶性
函数奇偶性1. 引言在数学中，函数的奇偶性是一种特殊的性质，描述了函数在自变量的取值变化过程中，对应的函数值是否存在对称性。
奇偶性在代数学、微积分以及其他数学领域中都有重要应用。
本文将介绍函数奇偶性的概念，讨论如何判断一个函数的奇偶性，并提供一些常见函数奇偶性的示例。
2. 函数的奇偶性定义2.1 奇函数一个函数 f(x) 是奇函数，当且仅当满足以下条件：•对于任意 x，有 f(-x) = -f(x)简而言之，一个函数在自变量取反时，函数值也取反，则该函数为奇函数。
2.2 偶函数一个函数 f(x) 是偶函数，当且仅当满足以下条件：•对于任意 x，有 f(-x) = f(x)也就是说，一个函数在自变量取反时，函数值保持不变，则该函数为偶函数。
2.3 奇偶函数的图像特点根据奇偶函数的定义，我们可以观察到以下图像特点：•奇函数的图像关于原点对称，也就是说，如果 (x, y) 是函数图像上的一个点，则 (-x, -y) 也是函数图像上的一个点。
•偶函数的图像关于 y 轴对称，也就是说，如果 (x, y) 是函数图像上的一个点，则 (-x, y) 也是函数图像上的一个点。
因此，通过观察函数的图像特点，我们可以初步判断一个函数的奇偶性。
3. 判断函数奇偶性的方法3.1 利用函数定义判断根据函数的定义，我们可以通过验证函数定义是否满足奇偶性的条件来判断函数的奇偶性。
例如，对于一个给定的函数 f(x)，我们可以分别计算 f(-x) 和 -f(x) 的值，如果这两个值相等，则说明函数满足奇偶性的定义，即 f(x) 是奇函数或偶函数。
3.2 利用导数判断对于一个可导的函数f(x)，我们可以通过观察函数的导数来判断函数的奇偶性。
具体地，有以下规律：•如果一个函数的导数是奇函数，则该函数是偶函数；•如果一个函数的导数是偶函数，则该函数是奇函数；•如果一个函数的导数既不是奇函数也不是偶函数，则该函数既不是奇函数也不是偶函数。
3.1.3 高中必修一数学教案《函数的奇偶性》
高中必修一数学教案《函数的奇偶性》教材分析函数的奇偶性是高中数学必修一人教版B版第三章第一单元第三节的内容，是函数的一条重要性质。
教材从学生熟知的函数入手，结合初中学生已经学习过的轴对称和中心对称，感受奇函数和偶函数的图象特征，从特殊到一般，从具体到抽象，注重信息技术的应用，比较系统地学习函数的奇偶性。
从知识结构上而言，奇偶性既是函数概念的拓展和深化，又是后续研究基本初等函数的基础，起着承上启下的作用。
学情分析从学生的认知基础来看，学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形，并且有了一定数量的简单函数的储备。
同时，学生刚刚学习了函数的单调性，已经积累了研究函数的基本方法与初步经验。
从学生的思维发展来看，高一学生的思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变，能够用假设、推理来思考和解决问题。
教学目标1、理解函数奇偶性的概念和图像特征，能判断一些简单函数的奇偶性。
2、经历奇偶性概念的形成过程，提高观察抽象能力以及从特殊到一般的归纳概括能力。
3、通过自主探索，体会数形结合的思想，感受数学的对称美；通过分组讨论，培养合作交流的精神，学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，培养学生善于探索的思维品质。
教学重点函数奇偶性的概念及其建立过程，判断函数的奇偶性。
教学难点对函数奇偶性的概念理解与认识。
教学方法讲授法、讨论法、练习法教学过程一、复习导入初中时我们学习过有关轴对称和中心对称的知识，而且已经知道，在平面直角坐标系中，点（x，y）关于y轴的对称点为（-x，y），关于原点的对称点为（-x，-y）。
例如，（-2，3）关于y轴的对称点（2，3），关于原点的对称点（2，-3）二、学习新知1、偶函数填写下表，观察指定函数的自变量x互为相反数时，函数值之间具有什么关系，并分别说出函数图象应具有的特征。
不难发现，上述两个函数，当自变量取为相反数的两个值x和-x，对应的函数值相等。
f（-x）= （-x）2 = x2 = f（x）g（-x）= 1|−x| = 1|x|= g（x）一般地，设函数y = f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-x∈D，且f（-x）= f（x）则称y = f（x）为偶函数。
高中数学人教B版 必修第一册 函数的奇偶性 课件
3 =+1
2 = 2 + 1
4 = 2 , ∈ [−1,3]
【解析】 (1)定义域：R
− = − + −
3
+ (−)5
= − + 3 + 5 = −()
所以该函数为奇函数.
(2) 非奇非偶函数 ( − 与()即不相等也不为相反数)
x
O
x
1、对定义域中的每一个
x，-x是也在定义域内；
2、都有f(x)=f(-x)
新课
1.偶函数的定义
如果对于函数f(x)的定义域为A.如果对任意的x∈A，都有
f(-x)= f(x)，
那么称函数y=f(x)是偶函数.
新课
偶函数的判定：
（1）下列说法是否正确，为什么？
① 若f (－2) = f (2)，则函数 f (x)是偶函数．
∴ 3 < (1)
课堂小结
1. 定义：如果对于函数f(x)的定义域为A.如果对任意的x∈A，
都有 f(-x)= f(x)，那么称函数y=f(x)是偶函数.
如果对于函数f(x)的定义域为A.如果对任意的x∈A，
都有f(-x)= -f(x)，那么称函数y=f(x)是奇函数.
2. 性质： ①偶函数的定义域关于原点对称图象关于y轴对称;
0
x
0
x
0
x
新课
2、奇、偶函数定义的逆命题也成立，即
① 若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)有成立.
② 若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)有成立.
3、奇、偶函数性质：
①偶函数的定义域关于原点对称图象关于y轴对称;
函数的奇偶性教学设计
3.1.4函数的奇偶性【教学目标】1.理解奇函数㊁偶函数的定义及奇函数㊁偶函数的图象特征,初步掌握函数奇偶性的判断方法.2.能正确地使用符号语言刻画函数的奇偶性,提升数学表达和数学交流能力.3.经历由具体到抽象的思维过程,提升直观想象和逻辑推理的核心素养.【教学重点】奇函数㊁偶函数的定义与函数奇偶性的判断方法.【教学难点】奇函数和偶函数的定义.【教学方法】本节课主要采用类比教学法,先由两个具体的函数入手,引导学生发现函数f(x)在x与在-x处函数值之间的规律,由特殊到一般引出奇函数的定义,再由点的对称关系得出奇函数的图象特征,然后由学生自主探索,类比得出偶函数的定义.结合定义与例题总结出判断函数奇偶性的步骤,在解题过程中深化对函数奇偶性概念的理解.【教学过程】教学环节教学内容师生互动设计意图导入复习前面所学的求函数值的知识.师生共同回顾.为学生理解奇㊁偶函数的定义做好准备.新课已知函数f(x)=2x和g(x)=14x3.试求当x=ʃ3,x=ʃ2,x=ʃ1时的函数值,并观察相应函数值之间的关系.学生计算相应的函数值.教学环节教学内容师生互动设计意图新课一个函数是奇函数的充要条件是,它的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形.例1判断下列函数是不是奇函数:(1)f(x)=1x;(2)f(x)=-x3;(3)f(x)=x+1;(4)f(x)=x+x3+x5+x7.解(1)因为函数f(x)=x的定义域A={x xʂ0},所以当xɪA时,-xɪA.因为f(-x)=1-x=-1x=-f(x),所以函数f(x)=1x是奇函数.(2)函数f(x)=-x3的定义域为R,所以当xɪR时,-xɪR.因为f(-x)=-(-x)3=-(-x3)=-f(x),所以函数f(x)=-x3是奇函数.(3)函数f(x)=x+1的定义域为R,当xɪR时,-xɪR.因为教师请学生尝试解答例1(1),对学生的回答进行补充㊁完善,师生共同总结判断方法:S1判断当xɪA时,是否有-xɪA,即函数的定义域是否关于坐标原点对称;S2 若S1成立,对任意一个xɪA,若f(-x)=-f(x),则函数y=f(x)是奇函数.教师板书详细的解题过程.规范解题步骤,提升学生思维的严谨性.f(-x)=-x+1,-f(x)=-(x+1)=-x-1,教学环节教学内容师生互动设计意图新课例2判断下列函数是不是偶函数:(1)f(x)=x2+x4;中提出的问题.教师以提问的方式检查学生的自学情况.(2)f(x)=x2+1;(3)f(x)=x2+x3;(4)f(x)=x2+1,xɪ[-1,3].解因为(1)(2)(3)的函数定义域都是实数集R,当xɪR时,有-xɪR,所以只要验证f(-x)=f(x)是否成立即可.(1)因为f(-x)=(-x)2+(-x)4=x2+x4=f(x),所以函数f(x)=x2+x4是偶函数;(2)因为f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x),所以函数f(x)=x2+1是偶函数;(3)因为f(-x)=(-x)2+(-x)3=x2-x3,所以当xʂ0时,学生分析解题思路.请部分学生在黑板上解答(1)(2)(3).教师引导学生订正黑板上的答案,规范解题过程,梳理解题步骤.教师结合函数图象讲解(4).帮助学生加深对偶函数定义的理解.f(-x)ʂf(x),函数f(x)=x2+x3不是偶函数;(4)因为定义域[-1,3]不关于坐标原点对称,所以函数f(x)=x2+1,xɪ[-1,3]不是偶函数(也不是奇函数).教学环节教学内容师生互动设计意图新课3.对定义域的要求一个函数为奇函数或者偶函数的前提条件是这个函数的定义域关于原点对称.教师结合函数的图象强调定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的前提.练习2判断下列函数是不是偶函数:(1)f(x)=(x+1)(x-1);(2)f(x)=x2+1,xɪ(-1,1];(3)f(x)=1x2-1.学生练习,师生共同订正.根据学生做题情况,了解学生对本节知识的掌握情况.小结1.函数的奇偶性.(1)奇函数:定义㊁图象特征.(2)偶函数:定义㊁图象特征.2.判断函数奇偶性的步骤.教师梳理本节重点内容,请学生对比理解㊁记忆.提升学生的类比能力,加强对函数奇偶性的理解.作业必做题:本节习题第5题.选做题:本节习题第6题.学生课后完成.巩固本节内容.。
《3.1.3函数的奇偶性》教学设计教学反思-2023-2024学年高中数学人教B版19必修第一册
《3.1.3 函数的奇偶性》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 理解奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法。
2. 能够运用奇偶性性质，解决相关数学问题。
3. 提高学生对函数性质的理解和掌握，为后续函数学习打下基础。
二、教学重难点1. 教学重点：理解奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法。
2. 教学难点：如何引导学生运用奇偶性性质解决实际问题。
三、教学准备1. 准备教学用具：黑板、白板、笔、函数图像等。
2. 制作PPT课件，包含概念引入、方法讲解、例题分析、练习题等环节。
3. 搜集相关数学问题，以便学生运用奇偶性性质进行解答。
4. 确定教学方法，采用讲授与讨论相结合，引导学生自主探究。
四、教学过程：1. 导入新课：教师展示一些函数图像（如：y=x^2, y=x^3, y=sinx等），引导学生观察图像特征。
随后，教师提出疑问：“对于这些函数，它们是否有某些共性？”以此引发学生对函数奇偶性的思考。
设计意图：通过直观的函数图像，引发学生对奇偶性的初步感知，为后续教学做好铺垫。
2. 探索奇偶性的定义：教师引导学生逐步推导奇偶性的定义，并解释其含义。
在此过程中，教师可借助具体函数进行说明，帮助学生理解。
例如，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意x，都有f(-x)=-f(x)，则称函数f(x)为奇函数；如果对于定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)，则称函数f(x)为偶函数。
设计意图：通过逐步推导，帮助学生理解奇偶性的定义，并强调定义中的关键条件。
3. 实例分析：教师展示一些具体的奇偶函数图像，引导学生观察并分析它们的性质。
学生可尝试用自己的语言描述奇偶函数的特征，如单调性、对称性等。
设计意图：通过实例分析，帮助学生加深对奇偶性概念的理解，并锻炼其分析能力。
4. 探究奇偶性的应用：教师引导学生思考奇偶性在数学及其他领域中的应用，如代数问题、几何问题等。
学生可分组讨论，交流想法，最后由教师进行总结。
中职数学函数的概念-最新,经典试题,通用
- 1 -第三章 函数 3.1.1 函数的概念一、选择题1、如图，下列对应关系，不是数集A 到数集B 上的函数是( )2、下列四个图像中，哪个图像是函数的图像A 、、3、设f(x)=x+1，则f(2)的值为( ) A 、4 B 、3 C 、2 D 、14、已知f(x)=若f(x)=9，则x 的值是( )A 、3或﹣3B 、3C 、﹣3D 、﹣3或7 5、已知函数f(x)=2x+a ，f(5)= 6，则a=( ) A 、﹣4 B 、4 C 、5 D 、6 三、填空题1、若函数f(x)=2x ﹣2x ，则f(8)＝ f(x+1)＝2、g(x)=3+4x ，f[g(x)]=221xx +,则f(7)=3、已知f(x)= ，则f[f(0)]=4、已知函数f(x)=33++bx ax ，若f(2)=４, 则f(﹣2)=5、已知函数y=3x ，x ∈[﹣1,2]，则其值域是BABCD2x （x ﹤0） x+2（x ﹥0）0 x ﹥03 x=032x ﹣4 x ﹥0- 2 - 26、函数y=11-x 的定义域是 ７、f(x)=ax -1的定义域为｛x|x ≠5｝，则a= 三、解答题1、求下列函数的定义域 ⑴y=6+x ⑵y=51-x (3)x xy --=332、求函数y=xx 54--的定义域。
3、若函数f(x)=11-x ，g(x)=12-x ,求f(g(3))的值。
４、已知函数=)(x f（1）求)3(),0(),1(f f f -（2）作出函数的图象[)+∞∈,0,1x ()0,,1∞-∈-x- 3 -3.1.2 函数的表示方法(一)一、选择题1、函数x x y 53+=的表示方法为 ( ) A 、图象法 B 、列表法 C 、解析法 D 、以上都不对2、若点(1,y)在函数x x f 2)(=的图象上，则y= ( ) A 、2 B 、21C 、2xD 、以上都不对 3、(-1,3)是以下哪个函数图像上的点 ( ) A 、y=2x B 、y=1-2x C 、2x y = D 、x y =4、若点(x,4)在函数2x y =的图象上，则x= ( ) A 、-2 B 、2 C 、2或-2 D 、以上都不对5、一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉害，叫过药后感觉好多了，中午时亮亮的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜，亮亮才感觉身上不那么发烫了，下图中能基本反映亮亮这一天(０～24时)体温变化情况的是A 、B 、C 、二、填空题1、函数的表示方法通常有 ， ，2、点P(-1,2)，Q(2,0)，Q(3,2)，T(4,-4)中，在函数y=-2x+4上的点有 个 3、一次函数f(x)=kx 的图象过点(2,4)，则f(x)的解析式是________4、一种产品的单价为a 元，写出收款总额y 随售出件数x 变化的解析式为________ 5、、若点(-1,y)在常值函数f(x)=6的图象上，则y=________ 三、解答题1、已知函数f(x)在[-1,1]上的图象如图所示，求f(x)的解析式24 时24 时24 时18 24 时2、汽车在行驶过程中，速度往往是变化的，下图表示的是一辆汽车的速度随时间变化而变化的情况。
具体or抽象数学抽象素养的培养——学案《函数的奇偶性》
（上接 76 页）f（-x）=-f（x）
设问二 ：既然函数图像有相应的对称性，请问函数的定义域 D 有什
么要求？
学生难点 ：概念中没有提及，要从高度概括的定义中引申出定义域
的特点，有困难。
设问三 ：如何判断证明一个函数的奇偶性
例题 ：求证 ：
是偶函数
第三组 ：函数奇偶性的判断 1）解决问题落实素养 （说明 ：利用定义解决问题，是教学难点（包括函数的单调性，周期 性等），考虑到判断函数的奇偶性，第一步并不是定义的验证，而是“函 数的定义域是否具有对称性”。）
设问 ：请问这四个函数的定义域？ 答 ：x ∈（- ∞ ,0）U（0,+ ∞），x ∈ R，x ∈（- ∞ ,1）U（1,+ ∞）， x ∈（- ∞ ,-2）U（-2,0）U（0,+ ∞），x ∈ {0} 设问 ：定义域对函数的奇偶性有什么影响？ 答 ：定义域不对称，即不关于原点对称，函数不具备奇偶性，即非 奇非偶函数。 设问 ：定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的什么条件？ 答 ：必要非充分条件。 设问 ：判断一个函数的步骤？ 答 ：第一步判断函数的定义域是否关于原点对称 ；第二步由函数的 奇偶性定义判断。 学案二（抽象到具体） 1）直接给出偶函数和奇函数的抽象定义 偶函数定义 ：见上 奇函数定义 ：见上 2）提出问题 设问一 ：如何理解任意 x 在定义域内，都有 f（x）=f（-x）,f（-x）=-f （x）? 学生难点 ：概念过于抽象，不能理解 f（x）=f（-x）,（下转 78 页）
（4）函数 y=f（x）在定于 D 上，且定义域 D 关于原点对称，若存在
x 使得 f（-x）=-f（x）, 则函数 y=f（x）在定于 D 上是奇函数。（假） 练习二 ：判断下列函数的奇偶性
函数几何画板课件 (5)
304(1) 奇函数
[适用章节]
数学（上册）第3.1.4节函数的奇偶性.
[使用目的]
教师通过使用课件直观演示奇函数定义的内涵，加深对奇函数定义的理解，是数形结合的具体体现.
[操作说明]
1 . 按钮“动画”，可以用来观察)
(x
f的值的关系；用鼠标拖动x可
f-和)
(x
更从容地观察显示)
f的值的关系.
(x
(x
f-和)
2 . 按钮“旋转180度”可以显示图象以坐标原点为中心旋转180度，与原图象重合.显示奇函数的图象以坐标原点为中心对称.
3 .双击函数解析式，可以自行改变函数解析式,教师可以自己再设计一两个奇函数和学生一起研究.。
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人教版中职数学教材基础模块上册全册教案目录第三章函数03。
1.1 函数的概念03。
1。
2 函数的表示方法33。
1.3 函数的单调性63.1.4 函数的奇偶性103。
2。
1 一次、二次问题143。
2.2 一次函数模型173。
2.3 二次函数模型203.3 函数的应用24第四章指数函数与对数函数264.1。
1 有理指数(一)264。
1。
1 有理指数（二）304。
1.2 幂函数举例334。
1.3 指数函数364.2.1 对数404。
2。
2 积、商、幂的对数434。
2。
3 换底公式与自然对数464.2。
4 对数函数484。
3 指数、对数函数的应用51第五章三角函数535.1。
1 角的概念的推广535。
1。
2 弧度制575.2。
1 任意角三角函数的定义605。
2。
2 同角三角函数的基本关系式645。
2。
3 诱导公式675。
3.1 正弦函数的图象和性质715.3。
2 余弦函数的图象和性质755.3。
3 已知三角函数值求角77第三章函数3。
1.1函数的概念【教学目标】1。
理解函数的概念，会求简单函数的定义域．2。
理解函数符号y＝f （x）的意义，会求函数在x＝a处的函数值．3. 通过教学，渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点．【教学重点】函数的概念及两要素,会求函数在x＝a处的函数值，求简单函数的定义域．【教学难点】用集合的观点理解函数的概念．【教学方法】这节课主要采用问题解决法和分组教学法．运用现代化教学手段，通过两个实例，分析抽象出函数概念,使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素．然后通过求函数值与定义域的两类题目，深化对函数概念的理解．3。
1.2函数的表示方法【教学目标】1。
了解函数的解析法、列表法、图象法三种主要表示方法．2。
已知函数解析式会用描点法作简单函数的图象．3.培养学生数形结合、分类讨论的数学思想方法，通过小组合作培养学生的协作能力．【教学重点】函数的三种表示方法；作函数图象．【教学难点】作函数图象．【教学方法】这节课主要采用问题解决法和分组讨论教学法．本节课先借助一个实例，简要介绍函数的三种表示方法，进一步刻画函数概念；然后通过两个例题,使学生初步感知如何由解析式分析函数性质以指导画图，避免画图的盲目性．通过本节教学,使学生初步了解数形结合研究函数的方法,为下面学习函数的单调性和奇偶性做铺垫．【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导入1．函数的定义是什么？2．你知道的函数表示方法有哪些呢？师：提出问题．生：回忆思考回答．为知识迁移做准备．新课1．函数的三种表示方法：（1）解析法（2）列表法(3) 图象法2．问题.由3。
函数的奇偶性与对称性研究
函数的奇偶性与对称性研究函数的奇偶性和对称性是高等数学中的一个重要概念，它们对于研究函数的性质和性质之间的关系具有重要的指导作用。
本文将对函数的奇偶性和对称性进行探讨，并说明它们在不同数学领域和实际问题中的应用。
1. 函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在定义域内满足某种对称关系。
具体而言，如果函数f(x)满足f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数；如果函数f(x)满足f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。
奇函数的特点在于曲线关于坐标原点对称，即如果(x, y)为曲线上的点，则(-x, -y)也为曲线上的点。
相反，偶函数的特点在于曲线关于y轴对称，即如果(x, y)为曲线上的点，则(-x, y)也为曲线上的点。
在实际问题中，奇函数和偶函数的性质常常可以简化问题的分析和求解过程，如对称性的应用可以减少计算量和推导步骤。
例如，在对称图形的面积、重心和质心等问题中，通过利用函数的奇偶性和对称性，可以将问题简化为计算某个部分的面积或质心，然后根据对称性得到整个图形的性质。
2. 函数的对称性函数的对称性是指函数的图像或曲线在某个特定轴线上满足某种对称关系。
常见的函数对称性包括关于x轴对称、关于y轴对称和关于原点对称。
关于x轴对称的函数具有特点：如果(x, y)为函数图像上的点，则(x, -y)也为函数图像上的点。
这种对称性常常存在于椭圆函数、二次函数等曲线图像中。
关于y轴对称的函数具有特点：如果(x, y)为函数图像上的点，则(-x, y)也为函数图像上的点。
这种对称性常常存在于正弦函数、余弦函数等曲线图像中。
关于原点对称的函数具有特点：如果(x, y)为函数图像上的点，则(-x, -y)也为函数图像上的点。
这种对称性常常存在于指数函数、对数函数等曲线图像中。
3. 奇偶性与对称性的应用举例奇偶性和对称性不仅在数学领域有广泛应用，也在物理、工程等实际问题的分析中发挥着重要作用。
以下是一些具体的例子：3.1 函数的简化通过利用函数的奇偶性和对称性，可以将复杂的函数化简为简单的形式。
函数中的奇偶性知识点总结
函数中的奇偶性知识点总结一、基本概念1.1 奇数和偶数在整数集中，可以将整数分为奇数和偶数。
奇数是指不能被2整除的整数，偶数则是可以被2整除的整数。
奇数和偶数在日常生活中经常出现，例如我们说1、3、5、7、9等数都是奇数，而2、4、6、8、10等数则是偶数。
1.2 奇偶性的判定判断一个整数的奇偶性，最简单的方法就是看这个数能不能被2整除。
如果能被2整除，那么这个数就是偶数，否则就是奇数。
1.3 奇偶性的性质奇数与奇数相加或相乘得到的结果仍然是奇数；偶数与偶数相加或相乘得到的结果仍然是偶数；奇数与偶数相加得到的结果是奇数，相乘得到的结果是偶数。
1.4 奇偶性的表示方法对于一个整数n，可以用数学符号来表示其奇偶性。
一般用e表示偶数，用o表示奇数，偶数可以表示成2k（k为整数），奇数可以表示成2k+1（k为整数）。
二、奇偶性的应用2.1 奇偶性在数论中的应用在数论中，奇偶性是一个非常重要的概念。
很多数论中的问题都可以通过奇偶性的分析来解决。
比如，确定一个数的因数个数，判断一个数的平方是否是完全平方数等等。
2.2 奇偶性在代数中的应用在代数中，奇偶性也有着重要的应用。
例如，解不定方程时可以通过奇偶性来得到一些重要结论；计算多项式的值可以通过奇偶性来简化计算等等。
2.3 奇偶性在组合数学中的应用在组合数学中，奇偶性也有着广泛的应用。
比如，在排列组合中，奇偶性可以用来证明一些组合恒等式；在排列组合问题中，奇偶性也可以用来简化问题的求解等等。
2.4 奇偶性在概率论中的应用在概率论中，奇偶性也有着重要的应用。
例如，在求事件概率时可以通过奇偶性来约简问题；在独立事件的概率计算中也可以用奇偶性来简化问题等等。
三、常见问题与定理3.1 奇数的性质奇数与奇数相加的结果是偶数；奇数与偶数相加的结果是奇数；奇数的平方是奇数。
3.2 偶数的性质偶数与偶数相加的结果是偶数；偶数与偶数相乘的结果是偶数；偶数的平方是偶数。
3.3 整数的奇偶性定理整数的奇偶性有许多重要的性质和定理。
数学中的函数和微积分基础知识
数学中的函数和微积分基础知识一、函数的概念与性质1.1 函数的定义：函数是一种数学关系，将一个集合（称为定义域）中的每个元素对应到另一个集合（称为值域）中的唯一元素。
1.2 函数的性质：（1）单调性：函数在定义域内可能是单调递增或单调递减的。
（2）奇偶性：函数关于原点对称，即f(-x) = f(x)为偶函数；函数关于原点对称，即f(-x) = -f(x)为奇函数。
（3）周期性：函数具有周期性，即对于任意实数x，有f(x + T) = f(x)，其中T为函数的周期。
1.3 常见函数类型：（1）线性函数：f(x) = ax + b，其中a、b为常数。
（2）二次函数：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
（3）指数函数：f(x) = a^x，其中a为正常数。
（4）对数函数：f(x) = log_a(x)，其中a为正常数。
二、微积分的基本概念2.1 导数的概念：导数表示函数在某一点的瞬时变化率，即函数图像上某点切线的斜率。
2.2 导数的计算法则：（1）常数倍法则：若f(x) = c g(x)，其中c为常数，则f’(x) = c g’(x)。
（2）和差法则：若f(x) = g(x) + h(x)，则f’(x) = g’(x) + h’(x)。
（3）积法则：若f(x) = g(x)h(x)，则f’(x) = g(x)h’(x) + g’(x)*h(x)。
（4）商的导数法则：若f(x) = g(x)/h(x)，则f’(x) = (g’(x)h(x) -g(x)h’(x))/[h(x)]^2。
2.3 微分的基本概念：微分表示函数在某一点的切线与x轴的夹角的正切值，即导数的几何意义。
2.4 不定积分与定积分的概念：（1）不定积分：表示函数在某一区间内的面积，即定积分的上限为无穷大或下限为无穷小的积分。
（2）定积分：表示函数在某一区间内的面积，即定积分的上下限均为有限值的积分。
2.5 微积分基本定理：若f(x)为连续函数，则f(x)的不定积分存在，且f(x)的不定积分与f(x)的原函数在积分区间上的差值为定积分。
讲义-第三章《函数》
例：求函数y=3x2+2x+1的最小值及它图像的对称轴，并说明图像的单调区间。
（3）图像法：用图像来表示两个变量的函数关系。特点是直观表示变化趋势。
2.分段函数：在函数定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则。
★3.3函数的单调性：
1.内涵:是指函数的增减性，反应在图像上就是看函数是增函数还是减函数。
2.增函数、减函数的等价说法：增函数就是在给定的区间上随着自变量x的增大（减小）而增大（减小），减函数是随着自变量x的增大（减小）而减小（增大）。
第三章函数
★3.1函数的概念（难点）
1.定义：有两个变量x和y，如果给定一个x值，就相应的确定了唯一的y值，那么我们就称y是x的函数。其中x表示自变量，y表示因变量。
2.函数的实质：是表示两个数集的元素之间按照某种对应法则确定的一种对应关系。
3.函数符号y=f（x）是一个抽象的数学符号，它是“y是x的函数”这句话的数学表示，并非表示f与x的乘积。在该符号中，f表示对应法则，等式y=f（x）表明，对于定义域中的任意x，在“对应法则f”的作用下，即可得到y。
★3.4函数的奇偶性
1.内涵：指函数的对称性。
2.奇偶性：奇函数：图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形（中心对称）
偶函数：图像是以y轴为对称轴的对称图形（轴对称）
3.判断函数的奇偶性的方法:
如满足f(-x)=-f(x)时，函数为奇函数；如满足f(-x)=f(x)时，函数为偶函数。
4.重点：（1）函数的奇偶性是函数在整个定义域上的一种性质；
3.根据函数的解析式判断一个函数在给定区间上是增函数还是减函数的一般步骤是：
高中数学教案《函数的奇偶性
高中数学教案《函数的奇偶性》第一章：引言1.1 课程目标：理解函数奇偶性的概念。
学会判断函数的奇偶性。
1.2 教学内容：引入函数的概念。
介绍奇函数和偶函数的定义。
举例说明奇函数和偶函数的性质。
1.3 教学方法：使用多媒体课件进行讲解。
通过具体例子引导学生理解奇偶性的概念。
进行小组讨论，让学生互相交流思路。
1.4 教学活动：引入函数的概念，引导学生回顾已学的函数知识。
讲解奇函数和偶函数的定义，举例说明其性质。
布置练习题，让学生巩固奇偶性的判断方法。
第二章：奇函数的性质2.1 课程目标：理解奇函数的性质。
学会运用奇函数的性质解决问题。
2.2 教学内容：回顾奇函数的定义。
介绍奇函数的性质，如奇函数的图像关于原点对称等。
举例说明奇函数性质的应用。
2.3 教学方法：使用多媒体课件进行讲解。
通过具体例子引导学生理解奇函数的性质。
进行小组讨论，让学生互相交流思路。
2.4 教学活动：回顾奇函数的定义，引导学生复习相关知识。
讲解奇函数的性质，举例说明其应用。
布置练习题，让学生巩固奇函数性质的理解。
第三章：偶函数的性质3.1 课程目标：理解偶函数的性质。
学会运用偶函数的性质解决问题。
3.2 教学内容：回顾偶函数的定义。
介绍偶函数的性质，如偶函数的图像关于y轴对称等。
举例说明偶函数性质的应用。
3.3 教学方法：使用多媒体课件进行讲解。
通过具体例子引导学生理解偶函数的性质。
进行小组讨论，让学生互相交流思路。
3.4 教学活动：回顾偶函数的定义，引导学生复习相关知识。
讲解偶函数的性质，举例说明其应用。
布置练习题，让学生巩固偶函数性质的理解。
第四章：奇偶性的判断4.1 课程目标：学会判断函数的奇偶性。
理解奇偶性在实际问题中的应用。
4.2 教学内容：介绍判断函数奇偶性的方法。
举例说明如何判断函数的奇偶性。
探讨奇偶性在实际问题中的应用。
4.3 教学方法：使用多媒体课件进行讲解。
通过具体例子引导学生理解判断函数奇偶性的方法。
进行小组讨论，让学生互相交流思路。
物理函数知识点高中总结
物理函数知识点高中总结一、函数的概念1.1 函数的定义在数学中，函数是一种特殊类型的关系，它将一个集合的每个成员（称为自变量）映射到另一个集合的成员（称为因变量）。
在物理学中，函数常常用来描述物理量之间的关系，如位移与时间的关系、速度与时间的关系、力与位移的关系等等。
1.2 函数的表示函数通常用一个数学式表示，形式为 y = f(x)，其中 y 表示因变量，x 表示自变量，f(x)表示函数的值。
1.3 物理函数的应用物理函数的应用非常广泛，它可以用来描述各种物理现象，如运动、力学、光学、热力学等等。
通过研究物理函数，可以揭示出许多自然规律和物理定律。
二、常见的物理函数2.1 一元函数一元函数是指只有一个自变量的函数，通常表示为 y = f(x)。
在物理学中，常见的一元函数有位置-时间函数、速度-时间函数、加速度-时间函数、力-位移函数等等。
2.2 二元函数二元函数是指有两个自变量的函数，通常表示为 z = f(x,y)。
在物理学中，常见的二元函数有温度-位置函数、压力-体积函数、电势能-位置函数等等。
2.3 复合函数复合函数是指一个函数作为另一个函数的自变量，通常表示为 y = f(g(x))。
在物理学中，常见的复合函数有速度-位移函数、加速度-速度函数等等。
2.4 反函数反函数是指一个函数的自变量和因变量对调后得到的函数，通常表示为 x = f(y)。
在物理学中，常见的反函数有时间-位置函数的反函数、速度-时间函数的反函数等等。
三、物理函数的性质3.1 函数的定义域和值域函数的定义域是指自变量的取值范围，函数的值域是指因变量的取值范围。
在物理学中，定义域和值域对于描述物理现象的范围和变化趋势非常重要。
3.2 函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数关于原点的对称性。
奇函数是指满足 f(-x) = -f(x) 的函数，通常关于原点对称；偶函数是指满足 f(-x) = f(x) 的函数，通常关于y轴对称。
函数的奇偶性及对称性
函数的奇偶性及对称性函数是数学中的重要概念，用于描述变量之间的关系。
在实际问题的建模和解决中，经常会遇到需要研究函数的性质和特征的情况。
其中，函数的奇偶性及对称性是我们常见且重要的性质之一。
一、函数的奇偶性在研究函数的奇偶性之前，我们先来了解一下奇数和偶数的定义。
奇数指的是不能被2整除的整数，例如1，3，5，7等；而偶数指的是能被2整除的整数，例如2，4，6，8等。
1.1 定义对于定义在实数集上的函数f(x)，若对任意的实数x，函数满足f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。
同样地，若对任意的实数x，函数满足f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数。
1.2 性质（1）奇函数的图像关于原点对称，即对于函数y=f(x)，会关于原点O对称。
（2）奇函数在原点处取值为0，即f(0) = 0。
（3）奇函数的奇次幂项系数为0，即f(x)中只包含奇次幂的项。
（4）奇函数的乘积仍为奇函数。
二、函数的对称性除了奇偶性，函数还可以具有其他类型的对称性，比如轴对称、中心对称等。
2.1 轴对称当函数的图像关于某一直线对称时，称该函数具有轴对称性。
常见的轴对称有关于y轴和x轴的对称。
2.2 中心对称当函数的图像关于某一点对称时，称该函数具有中心对称性。
该点称为对称中心。
三、应用举例接下来，我们通过一些具体的函数来深入了解函数的奇偶性及对称性的应用。
3.1 奇函数的例子我们以f(x) = x^3作为奇函数的例子来说明。
（1）对于任意的实数x，有f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)，满足奇函数的定义。
（2）图像关于原点O对称，过原点的直线y=x是该函数的斜渐近线。
（3）该函数在原点处取值为0。
（4）该函数的乘积仍为奇函数，例如f(x)g(x)= (x^3)(x^5) = x^8。
3.2 偶函数的例子我们以f(x) = x^2作为偶函数的例子来说明。
（1）对于任意的实数x，有f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)，满足偶函数的定义。
人教高中数学必修一B版《函数的奇偶性》函数的概念与性质说课复习(函数奇偶性的概念)
栏目 导引
第三章 函 数
已知函数 y＝f(x)是偶函数，且图像与 x 轴有四
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个交点，则方程 f(x)＝0 的所有实根之和是( )
A．4
B．2
C．1
D．0
解析：选 D.因为 f(x)是偶函数，且图像与 x 轴有四个交点，所
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解：(1)由题意作出函数图像如图所示：
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(2)据图可知，单调递增区间为(－1，1)． (3)据图可知，使 f(x)<0 的 x 的取值集合为(－2，0)∪(2，＋∞)．
栏目 导引
第三章 函 数
巧用奇偶性作函数图像的步骤
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栏目 导引
第三章 函 数
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若函数
y＝f(x)，x∈[－2，a]是偶函数，则
a
的值为( 课件
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)
A．－2
B．2
C．0
D．不能确定
解析：选 B.因为偶函数的定义域关于原点对称，所以－2＋a＝ 0，所以 a＝2.
栏目 导引
课件 课件
函数奇偶性怎么教
“函数的奇偶性”该怎么教1 问题的提出最近听了一堂课——函数的奇偶性。
教师首先向学生展示了4张图，分别是蝴蝶、麦当劳标志，太极图，风车，以说明这些图的特征是轴对称及中心对称。
教师说明此做法的目的在于，“一是可用调动学生的学习和课堂参与的积极性，二是让学生体会如何从具体问题抽象出数学问题，增长用数学的眼光看问题的见识，体现了数学的文化特征。
”然后抽象成数学问题是函数图象关于y 轴对称、关于原点对称并“就此引入函数奇偶性的定义”。
然后，就是“例题与练习”。
在练习中，要求学生“判断下列函数的奇偶性，并说明理由：（1）f （x ）=12x －1+12；（2）f （x ）=⎩⎨⎧1＋x ，x ≥0，1－x ，x ＜0．” 也有某教材，函数的奇偶性从“美丽的蝴蝶，盛开的花朵，六角性的雪花晶体，建筑物在水中的倒影”说起。
函数的奇偶性的教学到底该从哪里说起，笔者谈谈自己的认识，供同行参考，不当之处敬请指正。
2 数学上的认识见木见林，在知识的系统中认识知识，在知识的联系中认识知识，因此，应该在函数的性质中认识函数的奇偶性。
函数的性质指什么？指变化中的不变性，指函数所具有的各种特征。
函数是两个变量x ，y 间的关系，自然要关心一个变量y 随着另一个变量x 的变化怎样变化（或者不变）这个特点。
比如，当自变量x 的值增大时，相应的函数值y 是增大还是减少？——单调性；当自变量x 变号，成为相反数时，相应的函数值y 怎么变化？也变成相反数吗？——函数的奇偶性；当自变量x 每增加一个固定值时，相应的函数值y 是否也增加一个固定的值？——函数的周期性等。
这些性质表现在图象（形）上的特征又是什么。
列表如下：3 概念产生的必要性与合理性凡是教概念应该让学生感受必要性，让他们参与定义感受合理性。
当自变量的值x 改变符号成为相反数时，相应的函数值y 怎么变化呢？一种是也变成了相反数，另一种是不变，这是两种“规则”的。
当然还有其他“不规则”的，即既不是奇函数也不是偶函数的那种。
函数的 奇偶性(一)
自学检测一
从图象的角度出发判断“自学指导一”的两 个函数是奇函数吗? (用图象判断的条件:是以坐标原点为对称中心 的中心对称图形)
1、改变奇函数的定义域，它还是奇函数吗？
y = x3 (x≠0) y = x3 (x≠1) y = x3 (x≥0) y=x3 (－1≤x≤1)
y
1
y
1 1 x
y
1 1 x
否 否
奇函数的定义域对应的区间关于坐标原点对称．
自学指导三
阅读课本70页到71页例1的四个小题，看完 后要会用定义去判断一个函数是不是奇函 数，并且要会写解题过程。
是
是 不是
不是
作业布置
必做题：74页5题的（1）（2） 选做题：导与练45页1、2、3题
自学指导一
课本69页—70页图3-7以上的内容,思考自变量互为相反 y 数，值域怎么样？ （3分钟） f (x) = 2x
1. 已知 f (x) = 2x， 则 f (1) = 2 ；f (-1) = -2 ；
1
f (2) = 4 ；f (-2) = -4 ；
f (3) = 6 ；f (-3) = -6 ； f (-x) =-2x =- f (x) 2. 已知 f (x) = x3， 则 f (1) = 1 ；f (-1) =-1 ； f (2) = 8 ；f (-2) = -8 ；
-1 O -1 y
1
1
x
f (x) = x3
1
-1 O -1
x
f (3) = 27 ；f (-3) = -27 ； f (-x) = -x3 =- f (x) 图象都是以坐标原点为对称中心的中心对称图形
自学指导二 认真阅读课本70页从“奇函数的定义到例之 前”的内容,圈出关键词并思考以下问题： 1.奇函数的定义是什么？ 2.如何理解 x A, 则 x A 3.奇函数的必要条件、充要条件分别是什么？ 看完后和同桌交流以上3个问题5分钟完成
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甘孜藏族自治州职业技术学校电子教案
专业名称：文化基础
课程名称：数学
任课教师：何小波
授课班级：2019级旅游1班
授课时间：2019-2020学年第2学期
甘孜藏族自治州职业技术学校教务处制
甘孜藏族自治州职业技术学校教学设计
课程名称：《数学》授课次序： 1
任课老师：何小波教研组长签字：
课题
名称
3.1.4 函数的奇偶性
授课
类型
理论课教学时数2学时（80分钟）
授课时间第周
星期
第节
第周
星期
第节
第周
星期
第节
第周
星期
第节
备注
授课班级2019级旅游
1班
教学目标
1.知识与技能：理解奇函数、偶函数的概念；掌握奇函数、偶函数的图象特征．
2.过程与方法：掌握判断函数奇偶性的方法．
3.情感态度与价值观：通过教学，渗透数形结合思想，培养学生类比推理的能力，体会由具体到抽象、由特殊到一般的辩证唯物主义思想．
教学内容与教
材3.1.4 函数的奇偶性
1. 函数奇偶性的定义；
2. 判定函数奇偶的方法、步骤．
教学
设备
多媒体、课件
教学
重点
奇偶性概念与函数奇偶性的判断．
教学
难点
理解奇偶性概念与奇函数、偶函数的定义域．
方法手段这节课主要采用类比教学法．先由两个具体的函数入手，引导学生发现函数f(x)在x与在－ x的函数值之间的关系，由特殊到一般引出奇函数的定义，再由点的对称关系得出奇函数的图象特征．然后由学生自主探索，类比得出偶函数定义．结合定义与例题总结出判断函数奇偶性的步骤，在解题过程中深化对概念的理解．
教学过程
教学
环节
教学内容教师活动学生活动设计意图一、
导入新课（5分钟）复习前面所学求函数值的知识．
教师提出问题，
学生回答．
学生回答为学生理
解奇、偶
函数的定
义做好准
备．
二、新知学习（30分钟）
新知学习：
1．奇函数
（1）奇函数定义
如果对于函数y＝f (x)的定义
域A内的任意一个x都有
f (－x)＝－f (x)，
则这个函数叫做奇函数．
（2）奇函数图像特征
奇函数的图象都是以坐标原点
为对称中心的中心对称图形．
教师引导学生发现规律，总结
规律：自变量互为相反数时，
函数值互为相反数．
教师通过引例，归纳得到奇函
数定义．
提高学生
的读图能
力，渗透
数形结合
的数学思
想．
2.偶函数
（1）偶函数定义
如果对于函数y＝f (x)的定义
域A内的任意一个x都有
f (－x)＝f (x)，
则这个函数叫做偶函数．
（2）偶函数图像特征
偶函数的图象都是以y轴为对
称轴的轴对称图形．
通过类比、自学，培养学生的
理性思维，提高学生的学习能
力，加强学生间的合作交流．
在掌握了
奇函数判
断方法的
基础上，
放手让学
生自己去
进行偶函
数的判
断，提高
学生举一
反三解决
问题的能y
x
O
(x，f (x))
(-x，f (-x))
力．
3. 对定义域的要求
一个函数为奇函数或者偶函数的前提条件是这个函数的定义域关于原点对称．结合函数的图象强调定义域关于原点对称是一个函数为奇函数或偶函数的前提．
4. 判断函数奇偶性的步骤：
S1 判断当x∈A时，是否有－x∈A；
S2 当S1成立时，对于任意一个x∈A：
若f (－x)＝－f (x)，
则函数y＝f (x)是奇函数；
若f (－x)＝f (x)，
则函数y＝f (x)是偶函数．通过例题归纳出判断函数奇
偶性的步骤，在解答过程中要
求学们规范书写步骤，注意逻
辑。
进行归
纳，加深
理解，强
化记忆．
三、小结（45分钟）课堂练习（35分钟）教材练习题
知识小结（10分钟）
1. 函数奇偶性的定义；
2. 判定函数奇偶性性的条件．
3.判定函数奇偶性性的步骤.
作业：
教材 P74 ，习题第5题；
第6题(选做)．
学生读书、反
思：
读教材 P 69～
73——函数的
奇偶性，总结本
节课收获．
对判定步
骤的熟记
学生畅谈
本节课的
收获，老师
引导梳理，
总结本节
课的知识
点．
梳理总结
也可针对
学生薄弱
或易错处
进行强调
和总结．
四、教学反思
x
O
(x，f (x)) (-x，f (x))
y。