随机数学

f n ( A)
A1 设试验 E 的基本空间为 ，A 为 E 中的随机事件， , A2 ,, Am为 E 中两两 互不相容的事件，则由定义1易知频率具有下述性质：
nA n
．
性质1 0≤
f n (A) ≤1．
性质2 f n ( ) 1 ． 性质3 f n ( A1 A2 Am ) f n ( A1 ) f n ( A2 ) f n ( Am ) ．
AB 就是把事件 A 与事件 B 所公有的基本事件放在一起作成的事件．
AC AB 在 E 2中， ={2}， ={1，3}， ． BC 对于任一事件 A，有
AA A
A A
A
事件的和与事件的积可以推广到多个事件的情形： n 事件 A1 , A2 ,, An 的和事件记作 A1 A2 An 或 Ai， i A 表示事件“ 1 , A2 ,, An 中至少有一个事件发生”．1 n Ai 事件 A1 , A2 ,, An 的积事件记作 A1 A2 An 或 ， i 1 A1 表示事件“ , A2 ,, An 同时发生”． A 可数无穷多个事件 A1 , A2 ,, Ai , 的和与积分别记作 Ai 与 Ai ， i 表 i 1 i 1 i 1 A1 A 示“事件 1 , A2 ,, Ai , 中至少有一个发生”； Ai 表示“事件, A2 ,, Ai , 同 i 1 时 发生”． “事件 A发生而事件 B 不发生”，这样的事件称为事件 与事 A 5．事件的差： 件 B 的差，记为 A B ．
一、随机试验与随机事件 随机试验： 具有以下特点的试验称为随机试验： 1°试验可以在相同条件下重复进行； 2°试验可能出现的结果不只一个，在试验之前知道所有可能的结果； 3°试验结束后会出现哪一个结果是随机的(无法事先知道，也无法控制)． 通常用字母E表示随机试验(以后简称试验)．
例如：
E1 ：抛一枚硬币，观察正、反面出现的情况．
第一章 随机事件与概率
自然界中各种现象可以区分为两种：确定性现象与随机现象． 确定性现象：在一定条件下必然会出现的现象． 随机现象：在一定的条件下，可能出现多种结果，而在试验之前无法预知其 确切的结果，也无法控制． 概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科． 第一节 随机事件及其运算
B C D 解 四个事件分别设为 A ， ， ， ，则有
(1) A A1 A2 A3 ； (2) B A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 ； (3) C A1 A2 A3 (4) D A1 A2 A3 B
A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3
( C A1 A2 A3 )；
或
. D A1 A2 A1 A3 A2 A3
第二节 概率的古典定义
在一个试验中，有许多随机事件．一个事件在一次试验中可能发生，也 可能不发生．有的事件发生的可能性大，有的事件发生的可能性小．概率就 是用来刻划事件发生的可能性大小的数量指标． 一、概率的统计定义 1．频率 定义1 设 A 为试验 E 中的一个事件，把试验 E 在相同条件下重复进行 n次，如 n n A，则称 A 为事件 A 在 n 次试验中发生的频率，记为 果事件 A 发生的次数为 n f n (A) ， 即
A 如在 E2 中， 与 B 互逆． 8．运算规律：
(1)
A B B A ，A B B A ．
(2) ( A B)C AC BC ， ( AB) C ( A C )( B C) ．
(3) A B A B ， Ak (4) A B A B ， Ak
E 2 ：掷一颗骰子，观察出现的点数． E3 ：向一个靶子发射一颗子弹，观察打中的环数． E 4 ：检查一大批灯泡的寿命．
e 基本事件(样本点， 或 )： 一次试验可能出现的每一个直接的结果．也就 是随机试验不能够再分解的结果．
如
e1 e E1有两个基本事件： ={出现正面}，2 ={出现反面}．
nB 6 1 ． n 36 6
例4 袋中装有5个白球3个黑球，从中任取两球，求两球都是白球的概率．
A 所包含的基本事件数为
8 n 解 设 A 表示事件“取出的两球都是白球”，基本事件总数为 2 5
nA ， 2
，
则由古典概率得
nA 5 P( A) n 14
{1 , 2 ,, n }；
(ii) 每个基本事件发生的可能性是相等的．
2．古典概率
定义3 设 A 为等可能概型 E 中的一个事件， 的基本事件总 E 数为 n 事件 A所包含的基本事件数为 n A ，称 ，
nA 为事件 n
A 的概率，记 为 P ( A) ，即
P ( A) 事件A包含的基本事件数 n A 基本事件总数 n
5 95 ， 1 3
则由古典概率得
5 95 n A 1 3 0.176 P( A) n 100 4
．
例6 从1, 2,…, 10这十个数字中任取三个，问大小在中间的数字恰好为5的概 率是多少？ 解 设
试验 E 的基本空间为 ， 、 、 k ( k =1，2，…)为 E 中的事件． A B A 1．包含： 如果事件 A发生必然导致事件 B 发生．则称事件 B包含事件 A ， 记作 A B 或 B A ．
A B 就是在A 中的基本事件，一定都含在 B中．对任一事件A都 有 A ．
A 如在 E 2 中， C {4，6}．
对于任一事件 A ，有
A A
，
A A
，
A
．
A B 就是 A 的基本事件中去掉含在 B 中的，余下的基本事件作成的事
件． 6．互不相容(互斥): 若事件 与事件B 不能同时发生(即 AB )，则称事 件A 与事件B 互不 相容或互斥．
．
概率的这个定义，称为概率的古，求事件“恰有一次出现正面”的概 率．
解 设H 表示事件“出现正面”， 表示事件 T
A “出现反面”， 面”．
表示事件“ 恰有一次出 现正
这是一个等可能概型，基本空间为 {HHH , HHT , HTH , HTT , THH , THT , TTH, TTT} ．
．
例5 设某一箱子装有同种类型的电子元件100个，其中有95个合格品，5个不 合格品．从箱子中任取4个电子元件，问其中恰有1个不合格品的概率是多少？ 解 设 A 表示事件“取基本事件总数为．所包含的基本事件数为，出的4个 元件中恰有1个不合格品”．
100 n ． A 所包含的基本事件数为 n A 基本事件总数为 4
随机事件：试验的每一个可能结果．用大写字母 A, B , C 等表示． 随机事件也就是基本空间的子集，即若干基本事件做成的集合． A 如在 E 2 中，“出现偶数点”的事件可表示为 {2，4，6}， “出现奇数点”的事件可表示为 ={1,3,5}， B 而 C {1，2，3}表示事件“出现的点数不超过3”． 事件发生： 当事件A 所包含的基本事件有一个出现，就说事件 A 发生了，否 则就说事件 A 未发生． 必然事件： 一定生的事件，也就是基本空间 ． 不可能事件： 一定不发生的事件,记为 ． 二、事件的关系与运算
E 2有六个基本事件： e
i ={出现
i 点}，i 1, 2,, 6．
基本空间(样本空间， 或 S 或 U )： 全体基本事件的集合． 如 E1 的基本空间为 {e1 , e2 } ； 2 的基本空间为 E {e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 } 或 {1，2，3，4，5，6}．
k 1 k 1
Ak ． Ak ．
k 1 k 1

(5) A B A AB AB ．
例 某工人加工三个零件，设Ai 表示事件 A ， ， “第 i 个零件是合格品”( =1，2，3)，试用 1 A2 A3 表示下列事 件： i (1) 只有第一个零件是合格品； (2) 只有一个零件是合格品； (3) 至少有一个零件是合格品； (4) 最多有一个零件是合格品．
解 点”．
(用j ) i,
则
表 示 事 件i“ 第 一 次 出 现
j
(i, j 1, 2,, 6 点 ， 第 二 次)出 现
该试验的基本空间为
{(i, j ) | i, j 1, 2,, 6} ，
共有 n 36 个基本事件． 设 A 表示事件“两次出现的点数之和等于8”， 表示事 B
A 与 B 互不相容，就是 A 与 B 不含有公共基本事件．
A
当事件 A 与 B 互不相容时，A B 记作 A B ． 7．对立(互逆)： A 事件与事件 B 有且仅有一个发生， 若 即 A B 且 AB ，则 称事件 A 与事件 B 为对立事件或互逆事件，其 中事件 B 叫做事件 A 的逆事件，记作 B A ，事件 A 叫做事件 B 的逆事 件，记作 A B ．
我们把频率 f n (A) 围绕摆动的稳定值 p ，就叫做事件 A 的概率，即有概率的统计定义如下： 2．概率的统计定义
A
定义2 在相同的条件下重复进行 n 次试验，如果当 n 增大时， 事 件 的 频 率 f n ( A) nA / n稳 定 地 在 某 一 常 数 p 附近摆动，
则称常数 p 为事件A 的概率，为 P ( A) p． 根据这一定义，可以把由大量重复试验所得到的事件的频率作为事 件概率的近似值． 二、古典概型 1．等可能概型(也叫做古典概型)：具有以下特点的试验称为 等可能概型： (i) 只有有限个基本事件，即基本空间为有限空间，
A 件“两次出现的点数相同”．则