专题一：通径分析

通径系数的定义可以由偏回归系数导出。 例如水稻单株产量y（kg）与x1（穗数）、x2（单穗粒 数）、x3（粒重）间存在着线性回归关系。其回归关系为： y=b0+b1x1+b2x2+b3x3，此式中b0为常数，b1、b2、b3分别表 示y对x1、y对x2、y对x3的偏回归系数，偏回归系数是带有 单位的，如b1，b2的单位分别为：kg/穗，kg/粒。所以不便 于偏回归系数进行直接比较。所以常常将其标准化之后以 便于消去单位，进行直接比较。下面进行回归方程的标准 化：
Variable Intercept X1
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Parameter Estimate -8.06429 2.39762
Standard Error
3.11354 0.32711
对于回归方程y= b0+b1x1+b2x2+b3x3+…+bkxk，则有x1对y 的直接通径系数为P1y=b1*Sx1/Sy, x2对y的直接通径系数为 P2y=b1*Sx2/Sy，xk对y的直接通径系数为Pky=b1*Sxk/Sy，其 中Sx1、Sx2、Sy分别为x1 、x2、 xk的样本标准差。
X2 X2 16 20.6389250 5.3106915 1.2227993 24.0000000
X3 X3 16 3.3300297 0.8577880 0.1804756 3.9000000
y y 16 13.8274649 4.7609829 4.1394387 22.5000000
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proc reg corr data = tongjing; /*进行回归分析和相关分析*/ model y=x1-x3/selection=stepwise sls=.05 sle=.05 STB; /*表示选用逐步 回归法进行分析，sls=和sle=定义选入和剔除自变量的限制 水平（0.05），STB给出直接通径系数*/
X1 10 9 10 13 10 10 8 10 10 10 10 8 6 8 9
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X2
X3
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3.6
20
3.6
22
3.7
21
3.7
22
3.6
23
3.5
23
3.3
24
3.4
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பைடு நூலகம்3.4
21
3.4
23
3.9
21
3.5
23
3.2
21
3.7
22
3.6
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Y 15.7 14.5 17.5 22.5 15.5 16.9 8.6 17.0 13.7 13.4 20.3 10.2 7.4 11.6 12.3
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y=
b0+b1x1+b1x2+b1x3 ··················································( 1) 由（1）对y求平均数得：
y′=b0+b1x1′+b1x2′ +b1x3′ ····································(2) 用（1）式减（2）得：
这种情况可以推广到i个自变量，并记 直接通径为i→y（i=1,2,3····m）; 间接通径为i→j→y(i=1,2,3····m，i≠j ) ， 但也可统一记作i→j→y，当i=j时为直接通径，i≠j时为 间接通径。
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1.2 通径系数
表示各条通径对于改变依变量的相对重要性的统计数就 叫通径系数（path coefficient）, 记作Pi→j→Y 或简写为PijY。
y- y′= b1(x1- x1′)+ b2(x2- x2′)+ b3(x3- x3′) ············(3)
由（3）式除Sy得：
(y- y′)/ S y = b1(x1- x1′)/ S y + b2(x2- x2′) / S y+ b3(x3-x3′)/
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将(4)式做相应得恒等变换:
即：P1y= b1∙(Sx1/Sy)，P2y= b2∙(Sx2/Sy), ··, Pky= bk∙(Sxk/S
y)，简言之，通径系数是变量标准化的各偏回归系 数，用以表示相关变量因果关系的一个统计量。
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2 通径系数的类型
通径系数包括直接通径系数和间接通径系数两种类型。 2.1 直接通径系数
专题一：通径分析
搜集变量资料是农业科学研究经常采用的方法， 如：搜集作物的产量与其构成因素穗数、粒数、粒
重等资料，研究这些变量的目的是想知道这些变 量之间的关系，许多人往往采用简单回归和相 关或多元回归分析。
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但是，多元回归分析虽然在一定程度上能反映各 个变量的真实关系，然而多元回归在分析偏回归系 数时带有单位，使自变量对依变量的效应不能直接 进行比较，从而不能比较各自变量的相对重要性。
y 0.8973 0.0462 0.6890 1.0000
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The REG Procedure Model: MODEL1
Dependent Variable: y y Stepwise Selection: Step 1
Variable X1 Entered: R-Square = 0.8052 and C(p) = 15.9479
run;quit;
ods rtf close;
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D:\sas2003\tongjing.xls D:\sas2003\通径分析程序 D:\sas2003\tongjing.rtf
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MEANS 过程
变标 量 签N
均值
标准偏差 最小值
最大值
X1 X1 16 8.9093246 2.4682378 1.5491933 13.0000000
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4、应用SAS进行通径分析的具体过程
SAS是美国使用的最为广泛的三大著名统计分析软件 （SAS, SPSS和SYSTAT）之一，是目前国际上最为流行的 一种大型的统计分析系统，被誉为统计分析的标准软件。
对于通径系数，如采用其它常规的统计方法，往往颇费周
折。如采用SAS软件，往往比较简单，较快的完成分析过 程。下面通过一个实例，介绍应用SAS进行通径分析的基 本作法。
∆y=(y-y′)/Sy， ∆x1= (x1- x1′)/S x1， ∆x2 = (x2- x2′)/Sx2， ∆x3 = (x3- x3′)/Sx3 ， ∆y、∆x1、∆x2、∆x3即为变量y、x1、x2、x3的标准化，
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将(5)式改写成下式： ∆y＝b1(Sx1/Sy)∙ ∆x1+ b2(Sx2/Sy) ∙ ∆x2 + b3(Sx3/Sy) ∙ ∆x3 则b1∙(Sx1/Sy)，b2∙(Sx2/Sy)，b3∙(Sx3/ Sy)为变量标准化后的 偏回归系数，它是不带单位的相对数，这样就可以用以估计 ∆x1，∆x2，∆x3对∆y直接影响效应的大小，并比较其重要性。
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2.3 直接、间接通径系数和相关系数的关系 依据回归系数和通径系数的定义以及最小二乘法原理可
得到：
rij = Piy + ∑rijPjy(i≠j，i、j=1,2,3….K)
即：一个自变量对因变量的直接通径系数和间接通径系数的 总和等于这个自变量与因变量之间的相关系数。
例如：对多元回归方程y=bo+b1x1+b2x2+b3x3, 有： r1y=P1y+r12P2y+r13P3y r2y=P2y+r21P1y+r23P3y r3y=P3y+r31P1y+r32P2y 并可以得到表1：
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表1 直接通径系数和间接通径系数表
变量 X1
X2
X3
Y
X1 r11P1y r12P2y r13P3y r1y X2 r21P1y r22P2y r23P3y r2y X3 r31P1y r32P2y r33P3y r3y
注：蓝色部分为直接通径系数，其它为间接通径系数。
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x1
“→”中表示变量间存在
Y
因果关系，箭头方向是原 因到结果，称为通径。
x2
“ ”表示变量间存在
相关关系，称为相关线，
图1
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x1
Y
图1
x2
x1→y,x2→y为直接通径，由于x1,x2存在相关关系，又 产生了两条间接通径，一条是x1是通过x2而作用于Y的通 径，记作x1→x2→Y,一条是x2是通过x1而作用于y的通径， 记作x2→x1→y。
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3、通径系数的性质
通径系数有以下几个性质： 1）一个具有k个自变量的反应系统，共有m个直接通径 系数和m(m-1)个间接通径系数。 2）进行通径分析的基础是Y和Xi都具有线性关系，而且 Y可以被线性分解。 3）通径系数是具有向量的。如：Xi和Y不可以互换，即： Piy≠Pyi。它的取值在实数范围内可以大于1或小于-1。 4）通径系数是变量标准化的偏回归系数，它能够表示 变量间的因果关系，故具有回归系数性质。 5）通径系数不带具体单位，因而又具有相关系数的性 质，表示原因与结果的相关关系。所以通径系数是介于回 归系数和相关系数之间的一种统计量。 6）通径系数可以表示某个自变量的相对重要性。
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