模型组合讲解—回旋加速模型

模型组合讲解——回旋加速模型

［模型概述］

带电粒子在电磁场中的运动是每年高考中的热点问题，考查内容或电场对带电粒子的加速（减速），或磁场对带电粒子的偏转（回旋），或两者结合考查学生的综合能力。

［模型讲解］

1．回旋加速器解读 例1．（2005天津高考）正电子发射计算机断层（PET ）是分子水平上的人体功能显像的国际领先技术，它为临床诊断和治疗提供全新的手段。

（1）PET 在心脏疾病诊疗中，需要使用放射正电子的同位素氮13示踪剂，氮13是由小型回旋加速器输出的高速质子轰击氧16获得的，反应中同时还产生另一个粒子，试写出该核反应方程。

（2）PET 所用回旋加速器示意如图1，其中置于高真空中的金属D 形盒的半径为R ，两盒间距为d ，在左侧D 形盒圆心处放有粒子源S ，匀强磁场的磁感应强度为B ，方向如图所示。质子质量为m ，电荷量为q 。设质子从粒子源S 进入加速电场时的初速度不计，质子在加速器中运动的总时间为t （其中已略去了质子在加速电场中的运动时间），质子在电场中的加速次数于回旋半周的次数相同，加速质子时的电压大小可视为不变。求此加速器所需的高频电源频率f 和加速电压U 。

图1

（3）试推证当d R >>时，质子在电场中加速的总时间相对于在D 形盒中回旋的时间可忽略不计（质子在电场中运动时，不考虑磁场的影响）。

解析：

（1）核反应方程为：He N H O 4

213711168+→+

①

（2）设质子加速后最大速度为v ，由牛顿第二定律得：

R

v m qvB 2

=

②

质子的回旋周期为：qB m

v R T ππ22==

③ 高频电源的频率为：m

qB

T f π21==

④ 质子加速后的最大动能为：2

2

1mv E k =

⑤

设质子在电场中加速的次数为n ，则： nqU E k = ⑥

又2

T

n

t = ⑦ 可解得：t

BR U 22

π=

⑧

（3）在电场中加速的总时间为：

v nd

v nd t 22

1=

=

⑨

在D 形盒中回旋的总时间为v

R

n t π=2 ⑩

故

1221<<=R

d t t π，即当d R >>时，1t 可以忽略不计。 评点：交变电场的周期等于带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期，经交变电场每半周粒子被加速一次。

2．匀强电场匀变速；匀强磁场回旋（偏转） 例2．（2006年江苏省泰兴第三高级中学调研）在如图2所示的空间区域里，y 轴左方有一匀强电场，场强方向跟y 轴正方向成60°，大小为C N E /100.45

⨯=；y 轴右方有一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度T B 20.0=。有一质子以速度s m v /100.26

⨯=，由x 轴上的A 点（10cm ，0）沿与x 轴正方向成30°斜向上射入磁场，在磁场中运动一段时间后射入电场，后又回到磁场，经磁场作用后又射入电场。已知质子质量近似为

kg m 27106.1-⨯=，电荷C q 19106.1-⨯=，质子重力不计。求：（计算结果保留3位有效

数字）

（1）质子在磁场中做圆周运动的半径。

（2）质子从开始运动到第二次到达y 轴所经历的时间。 （3）质子第三次到达y 轴的位置坐标。

图2

解析：（1）质子在磁场中受洛伦兹力做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律，

R

v m qvB f 2==

得质子做匀速圆周运动的半径为：

m qB

mv

R 10.0==

（2）由于质子的初速度方向与x 轴正方向夹角为30°，且半径恰好等于OA ，因此，质子将在磁场中做半个圆周到达y 轴上的C 点，如答图3所示。

图3

根据圆周运动的规律，质子做圆周运动周期为qB m

T π2=

质子从出发运动到第一次到达y 轴的时间1t 为s qB

m

T t 711057.12-⨯≈=

=π 质子进入电场时的速度方向与电场的方向相同，在电场中先做匀减速直线运动，速度减为零后反向做匀加速直线运动，设质子在电场中运动的时间2t ，根据牛顿第二定律：

2

2t v

m

qE =，得 s qE

mv t 72100.12-⨯==

因此，质子从开始运动到第二次到达y 轴的时间t 为s t t t 7

211057.2-⨯=+=。 （3）质子再次进入磁场时，速度的方向与电场的方向相同，在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，到达y 轴的D 点。

根据几何关系，可以得出C 点到D 点的距离为︒=30cos 2R CD ； 则质子第三次到达y 轴的位置为

cm R R OC CD y 32030cos 230cos 22=︒+︒=+=

即质子第三次到达y 轴的坐标为（0，34.6cm ）。

评点：由以上几例看到，带电粒子的复杂运动常常是由一些基本运动组合而成的。掌握基本运动的特点是解决这类问题的关键所在。另外我们也要注意近年高考对回旋加速模型考法的一些变化，如环行电场，变化磁场等组合，但不管怎样处理的基本方法不变。

［模型要点］

①带电粒子在两D 形盒中回旋周期等于两盒狭缝之间高频电场的变化周期，与带电粒子的速度无关；

②将带电粒子在两盒狭缝之间的运动首尾连起来是一个初速为0的匀加速直线运动；

③带电粒子每经电场加速一次，回旋半径就增大一次，所有经过半径之比为1：2：

3……（这可由学生自己证明），对于同一回旋加速器，其粒子回旋的最大半径是相同的，

解题时务必引起注意。

电场加速（减速），磁场回旋。磁场回旋时在洛伦兹力作用下做圆周运动有R

v m qvB 2

=；

电场加速从能角度电场力做功k q E U ∆=，动能：m

qBR mv E k 2)(212

2==；从力角度若匀

强电场还可以用牛顿定律解决。

［模型演练］ 1．（2005年南京调研）如图4所示，在半径为R 的绝缘圆筒内有匀强磁场，方向垂直纸面向里，圆筒正下方有小孔C 与平行金属板M 、N 相通。两板间距离为d ，两板与电动势为U 的电源连接，一带电量为q -、质量为m 的带电粒子（重力忽略不计），开始时静止于C 点正下方紧靠N 板的A 点，经电场加速后从C 点进入磁场，并以最短的时间从C 点射出。已知带电粒子与筒壁的碰撞无电荷量的损失，且碰撞后以原速率返回。求：

（1）筒内磁场的磁感应强度大小；

（2）带电粒子从A 点出发至重新回到A 点射出所经历的时间。