人教高中数学必修1课件：1.3习题课——函数的基本性质探究导学课型
人教A版高中数学必修第一册《函数的基本性质》课件
x1, x2 D ，当 x1 x2 时，都有 f (x1) f (x2 ) ，那么就说
f (x) 在区间 D 上是减函数.
人教A版（ 高2中01数9）学高必中修数第学一必册《修函第数一册 的 基《本函性数 质的基》本课 性件质》 第1课 时课件 （共11 张ppt）
因此， f (x) x 2 在 2, 上是增函数． x
人教A版高中数学必修第一册《函数的 基本性 质》课 件
人教A版（ 高2中01数9）学高必中修数第学一必册《修函第数一册 的 基《本函性数 质的基》本课 性件质》 第1课 时课件 （共11 张ppt）
课堂小结
函数的单调性
x1, x2 D ，当 x1 x2 时，都有 f (x1) f (x2 ) ，那么就说
人教A版高中数学必修第一册《函数的 基本性 质》课 件
人教A（2019版）高一上
3.2.1 单调性与最大（小）值（第1课时）
人教A版高中数学必修第一册《函数的 基本性 质》课 件
人教A版高中数学必修第一册《函数的 基本性 质》课 件
学习目标
1.了解函数的单调区间、单调性等概念. 2.会划分函数的单调区间，判断单调性. 3.会用定义证明函数的单调性．
人教A版高中数学必修第一册《函数的 基本性 质的 基本性 质》课 件
例题讲解
例
2.证明函数
f
(x)
1 x
在
0
,
上是减函数．
证明： x1, x2 0, ，且 x1 x2 .
则 x1 x2 0 ，且 x1x2 0 ．
所以
f (x1 )
f (x2 )
人教A版高中数学必修第一册《函数的 基本性 质》课 件
人教版高中数学必修一第一章1.3.1函数的单调性PPT教学课件
条件 x1，x2，当x1＜x2时
都有f(fx(x)＜ 1)＜f(ff((xx)2)
都有f(fx()x_1)_＞__f(_x＞ 2) f
结论 那么就说函数f(x)在区间D上是增 增函数 那么就说函数f(x)在区间D上是减 减函数
人教版高中数学必修一精品课件
图示
思考1：增(减)函数定义中的x1，x2有什么特征？
人教版高中数学必修一精品课件
PART 03
合作探究·攻重难
TO WORK TOGETHER TO FIND OUT WHAT'S GOING ON
[合作探究 · 攻重难 ]
求 函数 的 单调 区 间
例1 求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．
1
2x＋1，x≥1，
(1)f(x)＝－；(2)f(x)＝
1
思 考2： 函 数y＝在 定 义 域 上 是 减 函 数 吗 ？ x
1
1
[提示] 不是 ． y＝在(－ ∞， 0)上递 减， 在(0， ＋∞ )上也 递减 ，但不 能说y＝在(－∞ ，0)∪
x
x
(0，＋ ∞)上递 减．
人教版高中数学必修一精品课件
[基础自测] 1．思考辨析 (1)因为f(－1)<f(2)，所以函数f(x)在[－1,2]上是增函数．( ) (2)若f(x)为R上的减函数，则f(0)>f(1)．( ) (3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数．( )
－x2＋2x＋3，x≥0， (3)因为f(x)＝－x2＋2|x|＋3＝－x2－2x＋3，x<0. 根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知， 函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1,0)，[0,1)，[1，＋∞)． f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上是增函数，在(－1,0)，[1，＋∞)上是减函数．
高一数学必修一第二章函数的基本性质(人教版必修一第一章第三节,27ppt)(共27张PPT)
… 清晰 …
自我表述
结果展示
交流评价
质疑修正
重点突出---合作探究、动画展示定义生成
设D为定义域内I的某个区间
精确表达 任意 x1 , x2 D,当x1 x2 , 都有f ( x1 ) f ( x2 ),则f ( x)为D上增函数 类比归纳 任意 x1 , x2 D,当x1 x2 , 都有f ( x1 ) f ( x2 ),则f ( x)为D上减函数
变式训练1：求函数 f ( x) x 2 1 的单调区间
变式训练2：讨论函数 f ( x) kx2 1 在[0, ) 的单调性。
教材例题
例2.物理学中的玻意耳定律 p k (k为正常数）告诉我们， v 对于一定量的气体，当 其体积V减小时，压强 P将增大。
试用函数的单调性证明 之。
设计意图
学生作为探究主体体验定义生成，让定义教学由 被动接受转变为既有知识的再创造过程。
自我表述
结果展示
交流评价
质疑修正
合理设置问题情境 ── 分解教学难度 难点突破---1. 合理设置问题情境
定义法证明函数的单调性 教材处理 结合物理实例展开定义证明
学生反馈 生搬硬套程式化证明过程 方法处理 合理设置问题情境，分解教学难度
①从左往右，图象上升 直观 ② “y随着x的增大而增大”形象 ③列表 x … -3 -2 -1 0 1 2
f(x) … -3 1.大小比较体现动态变化； 2.符号表述符合数学要求
3
-2
-1
④ 1<2<3
有f(1)<f(2)<f(3)
… x1<x2 … f(x1)<f(x2)
0 1 2 3 特值对比能反 映整体趋势吗 ？
高一数学必修一函数的基本性质(单调性)精品PPT课件
观察图像变化规律
图像在对称轴左边呈下降， 在对称轴后边呈下降趋势。
x
y
O
x
y
O
x
y
O
自变量递增，函数递减
x
y
O
x
y
O
x
y
O
自变量递增，函数递增
增函数、减函数的概念：
增函数、减函数的概念：
一般地，设函数f(x)的定义域为I.
1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 增函数.
2．两种方法：
判断函数单调性的方法 有图象法、定义法． 下一课时我们会重点练习
课堂小结
1．阅读教材P.27 -P.30； 2．教材课后练习：1、2、3.
课后作业
谢谢欣赏
一般地，设函数f(x)的定义域为I.
增函数、减函数的概念：
函数最大值→图像最高点
一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f（x）≤M （2）存在x0∈I，使得f（x0）=M. 那么我们称M是函数y=f（x）的最大值 .
函数最小值→图像最低点
一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f（x）≥M （2）存在x0∈I，使得f（x0）=M. 那么我们称M是函数y=f（x）的最小值 .
-2
3
2
1
-1
y
-3
-4
4
O
x
2
-2
3
1
-3
-1
优秀课件人教版高中必修一数学课件：1.3函数的基本性质(1)
作差 变形
V1,V2 0, ，且V1 V2
V2 V1 0,VV 1 2 0
定号
又 k 0 ,于是 p(V1 ) p(V2 ) 0, p(V1 ) p(V2 ) 结论 k 所以函数 p , V 0, 在区间 0, 上是减函数. V
(2)图①和图②分别为函数 y＝ f(x)和 y＝ g (x )的图象， [1,4)和[4,6] ； 则函数 y＝ f(x)的单调增区间为 ____________ 函数 y 3 ＝ g(x)的单调减区间为 ____________ ． 0， π
2
(3)画出函数 f(x)＝ |x|(1－ x)的图象，并说明函数的单 调区间．
O
x1
x
函数 y x 中自变 量的不同位置时，函 数值的变化情况.
2
y
yx
2
f (x1 )
O
x1
x
2. 初中教材如何描述上述的相同规律？ 高中教材又是如何描述的？
y
y x 1
上升
y
下降
y x 1
x
y
先下降后上升
y x2
o
x
o
o
x
能用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标关系来说明上升或 下降趋势吗？
反比例函数
∩
例题展示
例1、(1) 下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f（x）的图 象，根据图象说出y＝f（x）的单调区间，以及在每一单 调区间上， y＝f（x）是增函数还是减函数.
Y
-5
-4
-3
-2
-1 O
1
2
3
4
5
X
新人教版高中数学必修第一册函数的概念ppt课件及课时作业
2.下列图形中不是函数图象的是
√
A中至少存在一处如x＝0，一个横坐标对应两个纵坐标，这相当于集 合A中至少有一个元素在集合B中对应的元素不唯一，故A不是函数 图象，B，C，D均符合函数定义.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
例2 (1) 已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的定义域为 {_x_|_－__2_≤_ _x_≤__4_或__5_≤__x_≤__8_}__，值域为_{_y_|－__4_≤__y_≤__3_}_.
根 据 y ＝ f(x) 的 函 数 图 象 可 看 出 ， f(x) 的 定 义域为{x|－2≤x≤4或5≤x≤8}，值域为 {y|－4≤y≤3}.
1234
3.函数y＝f(x)的图象与直线x＝2 022的公共点有
A.0个
√C.0个或1个
B.1个 D.以上答案都不对
1234
4.若函数y＝x2－3x的定义域为{－1,0,2,3}，则其值域为_{_－__2_,0_,_4_}_.
1234
课时对点练
基础巩固
1.(多选)对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有
注意点： (1)A，B是非空的实数集. (2)定义域是非空的实数集A，但函数的值域不一定是非空实数集B， 而是集合B的子集. (3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非 空实数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空实数集B中都有(存在 性)唯一(唯一性)的元素y与之对应. (4)函数符号“y＝f(x)”是数学符号之一，不表示y等于f与x的乘积， f(x)也不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系. (5)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号表示函数.
《高中数学必修1-函数(完整版)教学课件》
一次函数
一次函数是一种线性函数，其图 像是一条直线。它在数学中具有 重要的应用。
二次函数
二次函数是一种非线性函数，其 图像是一个抛物线。它也在各个 领域中广泛应用。
自我介绍
在这一部分，我们将介绍函数的定义和性质，以便更好地了解函数的基本概念。
1 函数定义
通过了解函数的定义，我们可以了解函数是 什么以及如何表示和理解它们。
《高中数学必修1-函数 （完整版）教学课件》
欢迎来到《高中数学必修1-函数（完整版）教学课件》！在这个课件中，我 们将探讨函数的定义、性质以及其在实际应用中的重要性。快开始你的数学 之旅吧！
随堂起立
让我们开始我们的课程！请大家都起立，让我们用一次函数和二次函数的图像模拟一个起立的过程。
起立过程
通过绘制图像，我们可以直观地 了解一次函数和二次函数的图像 是如何模拟起立的过程。
生物学 物理学 经济学
用函数模型描述人口增长和生物进化。 使用函数表示物体的运动和能量转化。 使用函数分析经济增长和市场需求。
结论和问题解答
在这个课件中，我们学习了函数的定义、性质、一次函数、二次函数以及函 数在实际应用中的重要性。接下来，让我们解答一些关于函数的问题，巩固 所将深入研究二次函数及其相关的概念和特性。
1
基本定义
二次函数是一个变量的二次多项式，其
顶点和对称轴
2
图像是一个抛物线。
二次函数的顶点和对称轴是抛物线的两
个重要特征。
3
实际应用
二次函数在自然科学、经济学和工程等 领域中经常用于模拟和预测。
函数的应用
在这一部分，我们将探讨函数在实际生活中的广泛应用，并了解函数在解决实际问题中的重要作用。
2 函数性质
人教版高中数学必修一函数的基本性质ppt课件
1.3.1 单调性与最大（小）值
请观察函数y=x2与y=x3图象，回答下列问题：
1、当x∈[0，+∞)，x增大时，图（1）中的y值
（2）增中大的y值
。
增大
2、当x∈(－∞，0)，x增大时，图（1）中的y值
图（2减）小中的y值
。
增大
；图 ；
3、分别指出图(1)、图(2)中，当x ∈[0，+∞)和x∈(－∞， 0)时，函数图象是上升的还是下降的？ 4、通过前面的讨论，你发现了什么？
定义
如果对于函数f(x)的定义域内任意 偶函数 一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函
数f(x)是偶函数
图象特点
关于 y轴 对称
如果对于函数f(x)的定义域内任意 奇函数 一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么
函数f(x)是奇函数
关于 原点 对称
基础知识梳理
3.奇偶函数的定义域有何特点？ 【思考·提示】 若函数f(x)具有奇偶性， 则f(x)的定义域关于原点对称．反之，若函数 的定义域不关于原点对称，则该函数无奇偶 性．
课堂互动讲练
【规律小结】 用定义证明函数单调性的 一般步骤：
(1)取值：即设x1，x2是该区间内的任意两 个值，且x1＜x2.
(2)作差：即f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))，并 通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于 判断差的符号的方向变形．
课堂互动讲练
(3)定号：根据给定的区间和x2－x1的符号， 确定差f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))的符号．当符 号不确定时，可以进行分类讨论．
（maximum value）。
你能给出函数最小值的定义吗？
人教版高一数学必修1课件(实用版)1.3函数的基本性质(综合
以下结论：(1) f (1) 0;(2) f ( 1 ) f ( x)( x 0); x
(3) f ( x ) f ( x) f ( y)( x 0).其中正确结论的序号 y
是
(写出所有你认为正确的结论的序号)
二、巩固练习
1、若函数f ( x)
x
为奇函数( D )
(2x 1)( x a)
(1)求证：f ( x)是奇函数; (2)若f (3) 2，求f (12)的值.
三、巩固练习
1、奇函数y f ( x)( x R)的图象必定经过点( C)
Ａ、a, f (a) B、 a, f (a)
Ｃ、 a, f (a)
D、 a,
f
(
1 a
)
2、对于定义域为 的任意奇函数f ( x)都恒成立
[5, 2) (2,5]
2．已知f(x)是R上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝
x2＋x－1，当x∈(－∞，0)时，f(x) =
．
则 a 的取值范围是
0。
(0,
1 2
)
二、巩固练习
4、函数f ( x) 9 x2 (A )
| 3 x | 3
Ａ、是奇函数
B、是偶函数
Ｃ、既是奇函数又是偶函数 D、非奇非偶函数
三、作业 1、必做：课本P39 习题1.3 A组 6
2、选做：已知函数f ( x)对一切x, y，都有 f ( x y) f ( x) f ( y).
方法小结：(1)已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域：
一般设u=g(x)，则u的取值范围就是f(x)的定义域，通
过解不等式可求得 方法小结：(2)已知 f [g(x)]的定义域为D，求f(x)的定 义域，就是求g(x)在D上的值域
人教版高中数学必修一 函数的基本性质精品课件
[解析] (1)设 x1<x2≤2，则 f(x1)－f(x2)＝(－x21＋4x1)－(－ x22＋4x2)＝(x2－x1)(x1＋x2－4)<0，
∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(－∞，2]上为增函数． (2)设 x1>x2≥－12，则 f(x1)－f(x2)＝ 2x1＋1－ 2x2＋1 ＝ 2x1＋2(x11＋－x22)x2＋1>0. ∴f(x1)>f(x2)， ∴f(x)＝ 2x＋1在[－12，＋∞)上为增函数．
(2)在区间A内任取两个值x1、x2，设x1＜x2， ∵y＝f(x)，y＝g(x)为增函数 ∴f(x2)－f(x1)＞0 g(x2)－g(x1)＞0 ∴[f(x2)＋g(x2)]－[f(x1)＋g(x1)] ＝[f(x2)－f(x1)]＋[g(x2)－g(x1)]＞0 ∴f(x2)＋g(x2)＞f(x1)＋g(x1) ∴y＝f(x)＋g(x)是增函数
2．若f(x)的定义域为D，A⊆D，B⊆D，f(x)在A和B上 都单调递减，未必有f(x)在A∪B上单调递减．
3．对增函数的判断，当 x1＜x2 时，都有 f(x1)＜f(x2)， 也可以用一个不等式来替代：
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0 或f(xx1)1－ －fx(2x2)＞0. 对减函数的判断，当 x1＜x2 时，都有 f(x1)＞f(x2)，相应 地也可用一个不等式来替代： (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0 或f(xx1)1－ －fx(2x2)＜0.
都有 f(x1)<f(x2) ，那么就说f(x)在这个区间D上是增函
数．,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的
值x1、x2，当x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2)
高中数学必修第一册人教A版《3.2函数的基本性质》知识探究课件
究函数值随自变量变化的趋势;奇偶性是函数的“整体性质”,用于研究函数图
象在整个定义域上的对称性.
2.研究函数的“奇偶性”与“单调性”对了解函数的性质非常重要,如果知道一个
函数是奇函数或是偶函数,根据它的图象关于原点对称或关于y轴对称的特性,
只要把这个函数的定义域分成关于原点对称的两部分,由函数在其中一部分
本题根据函数的奇偶性、单调性来逐项估计判断特别地在判断某个函数
是否具有奇偶性时,可利用具有奇偶性的函数的必要条件是函数的定义域
关于原点对称.具体推理过程如下:(1)∵(−) = (−) − () =
− (),∴原命题正确.(2)函数定义域是{| ≠ },不关于原点对称,所以原
命题错误.(3) = |−| = |(+)−| ,因此把 = |+| 向右平移2个单位得
.
典型例题
分析___________.
在区间[, ]上的最大值为_______,最小值为
−
+ , < ,
(2)函数 = ቊ
的最大值为___________.
− + , ⩾
解析 (2)当 < 时,函数 = + 单调递增,则有 < ,无最大值;当 ⩾ 时,函数 =
是减少的,那么它的图象从左到右是降落的.
2.在书写函数的单调区间时,区间端点的开或闭没有严格规定,习惯上,若函数
在区间端点处有意义,则写成闭区间(也可以写成开区间);若函数在区间端点
处无意义,则必须写成开区间.
要点辨析
1.讨论函数的单调性时,必须先确定函数的定义域.函数的递增(或递减)是针对
定义域内的某个区间而言的,故 ⊆ .
高中数学(人教A版)必修一课件：1.3函数的基本性质
(3) f (x)＝x＋1；
(4) f (x)＝x2，x∈[－1, 3]；
(5) f (x)＝0.
例1 判断下列函数的奇偶性；
(1) f (x)＝x＋x3＋x5；
(奇函数)
(2) f (x)＝x2＋1；
(偶函数)
(3) f (x)＝x＋1；
(4) f (x)＝x2，x∈[－1, 3]；
(5) f (x)＝0.
练习
2. 判断下列论断是否正确
(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点
对称，则这个函数关于原点对称且这
个函数为奇函数；
(错)
(2)如果一个函数为偶函数，则它的定义
域关于坐标原点对称.
(对)
(3)如果一个函数定义域关于坐标原点对
称，则这个函数为偶函数； (错)
(4)如果一个函数的图象关于y轴对称，则
这个函数为偶函数.
例1 判断下列函数的奇偶性； (1) f (x)＝x＋x3＋x5； (2) f (x)＝x2＋1； (3) f (x)＝x＋1； (4) f (x)＝x2，x∈[－1, 3]； (5) f (x)＝0.
例1 判断下列函数的奇偶性；
(1) f (x)＝x＋x3＋x5；
(奇函数)
(2) f (x)＝x2＋1；
强调定义中“任意”二字，说明函 数的奇偶性在定义域上的一个整体性质， 它不同于函数的单调性 .
问题2：－x与x在几何上有何关系？具有 奇偶性的函数的定义域有何特征？
问题2：－x与x在几何上有何关系？具有 奇偶性的函数的定义域有何特征？
奇函数与偶函数的定义域的特征是 关于原点对称.
问题3：结合函数f (x)＝x3的图象回答以 下问题： (1)对于任意一个奇函数f (x)，图象上的 点P (x，f (x))关于原点对称点P'的坐标 是什么？点P'是否也在函数f (x)的图象 上？由此可得到怎样的结论. (2)如果一个函数的图象是以坐标原点为 对称中心的中心对称图形，能否判断它 的奇偶性？
人教A版数学必修1第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质(课件)
例2：求下列函数的最值与值域 (1)y=x2+2x-3 (2)y=x2+2x-3 x[0,2] (3)y=x2+2x-3 , x[-3,-2] (4)y=x2+2x-3 x[-2,2]
例2：求下列函数的最值与值域
(1)y=x2+2x-3
y
解：∵ y=x2+2x-3 =(x+1)2-4
y
解：设 t = 4 x 13
则x t 2 13且t 0 4
t 2 13
y
3 t
7
2
2
1 (t 1)2 3 2
o
x
y 7 2
故函数的值域为：
(3)当0 a 1 时，
1
2
-1
o
1 2
1
x
f (x)max f (a) a2 a 1
-1 x=a
f (x)min f (1) a
-2
例3:求函数 f (x) x2 2ax 1 a , x [0 , 1]
的最值.
解 f (x) (x a)2 a2 a 1 y
2
x [0 ,1] 对称轴 x=a，
-3 -2 -1 0
x
所以：值域是[-3，0]
例2：求下列函数的最值与值域
(4)y=x2+2x-3 x[-2,2]
解 : y (x 1)2 4 1[2,2]
ymin f 1 4 f 2 3, f 2 5
ymax 5
所以：值域是[-4，5]
问题2
问题3
问题4
总结：要求最值，就要考察函数在区间上
ymin f (0) 3 ymax f (2) 5
-10 1 2
课件_人教版高中数学必修一课件：函数的基本性质[单调性)PPT课件_优秀版
2.若 f(x ) x 2 (a - 1 )x 2 在 ( ,4 ) 为 (1)当 时,求函数 的最小值;
G(x)=
的单调性
根据自变量的大小关系得函数值的大小:
2
(2)若对任意
恒成立,
减函数,求a的范围. 若
已知
为单调函数,利用
为减函数,
F(x)=f(x)±g(x),M(x)=f(x)g(x),h(x)=f2(x)
f (x)xax(a0)型函数的单调性.单调 区间的记忆和证明;
3.已知f(x),g(x)的单调性,判断并证明 F(x)=f(x)±g(x),M(x)=f(x)g(x),h(x)=f2(x) G(x)= 1 ,H(x) f (x) 的单调性
f (x)
4.已知 f ( x ) 为单调函数,利用 " x 1 x 2 f ( x 1 ) f ( x 2 ) ( 或 f ( x 1 ) f ( x 2 ) )
在
为增函数,求p的值;f(1)的值.
x为一切实数都成立,且f(3)<f(π),比较 它在[a,b]存在最值
根据自变量的大小关系得函数值的大小:
(2)若对任意
恒成立,
f(-3)与f(3)的在小. 练习:P44随堂训练5 强化训练3,6
根据自变量的大小关系得函数值的大小:
G(x)=
的单调性
若二次函数f(x),且f(2-x)=f(2+x)对
G(x)=
的单调性
练习:P46 强化训练8
2 . f ( x ) | x 2 x 3 | G(x)=
的单调性
已知 为单调函数,利用
2
G(x)=
的单调性
x为一切实数都成立,且f(3)<f(π),比较
(新课标人教A)数学必修一：1-3-1-1函数的基本性质课件
1. 3 函数的基本性质1. 3.1单调性与最大（小）值第1课时函数的单调性【课标要求】1.理解并掌握函数单调性及其几何意义.2.掌握用定义判断函数单调性的一般方法. 【核心扫描】1.判断、证明函数的单调性.（重点、难点）2.求函数的单调区间.（重点）.d KEQIANTANJIUXUEXI01》课前探究学习自学导弓I 1.增函数与减函数的概念设函数斤兀）的定义域为/:①y/Ui)IfM| 1 a0上1 x2先一②挑战自我i点点落实v(l)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值M，兀2，当兀1。
2时，都有」")<%),那么就说函数沧)在区间D上是增函数，如图①所示.(2)如果对于定义域/内某个区间o上的任意两个自变量的值兀1，吃，当X1<X2时，都有曲>仏2),那么就说函数几朗在区间D上是减函数，如图②所示.2.函数的单调性与单调区间如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数^=蚣)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.想一想：如图所示函数介兀)的图象，则函数几兀)的单调增区间是(一8, 0] U(0, +8)吗？3.判断（证明）函数的单调性判断（证明）函数单调性的步骤名师点睛1.对函数单调性概念的理解(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性.(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的心、兀2有以下几个特征：一是任意性，即“任意取无1，兀2”，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定兀1心2；三是属于同一个单调区间.(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即由九)是增(减)函数且沧1)今＞2)0兀15(兀1＞兀2).(4)并不是所有函数都具有单调性.若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个区间上不存在单调性.若函数出现两个或两个以上的单调区间时，两单调区间不能用连接呦！而用“和”或J ”连接.2・判断函数单调性的常用方法(1)定义法：这是证明或判定函数单调性的常用方法.这种判断函数单调性的最基本的方法在高考中常有考查，一定要引起重视.(2)图象法：根据函数图象的升、降情况进行判断.(3)依据已知函数的单调性判断：如根据已学过的一次函数、二次函数、反比例函数的单调性情况.拓展在解答选择或填空题时，也可用到以下结论: ⑴函数y=/（兀）与y = 一/⑴单调性相反；⑵若函数沧）恒正或恒负时，函数y=^与y=fM单调性相反;（3）在公共定义域内，增函数+增函数=增函数，增函数一减函数=增函数；减函数+减函数=减函数，减函数一增函数=减函数.KETANGJIANGLIANHUDONG》课堂讲练互动循循善诱i触类旁通题型一证明或判断函数的单调性【例1】利用定义判断尢)=$在区间(0, +®)上的单调性.［思路探索］函数解析式和区间已给出，只需利用单调性的定义判断即可.•g)= 上在区间(0, +oo)上是增函数.证明任取X” ％2丘(0，+°°)且刃＜^2,2(" —X 2)(X I + 2)(X 2+2)*V%I <X 2 且 %2丘(°，+°°)，/.%1—%2<0^ %i + 2>0, x 2+2>0,->2)<0,r则 f(X l) — f(X 2)= 刃 _ 兀2 %i +2 X2+2 %!(%2+2)—X 2(^I +2)(%I + 2)(X 2+2)规律方法判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格按照单调性的定义操作.利用定义法判断（或运用）函数的单调性的步骤为：（1）取值（注意刃、兀2的任意性）；（2）作差变形（目的是便于判断符号）；（3）判断差的符号；（4）写出结论.【变式11证明函数兀¥）=% + 1在（0，1）上是减函数.A题型二求函数的单调区间【例2］画岀函数y—F+2|X|+3的图象，并指岀函数的单调区间.［思路探索］I化简函数解析式|-|画出函数图象确定单调区间函数图象如图所示.函数在（一8, -1］, ［0,1］±是增函数， 函数在［—1,0］, ［1, +8］上是减函数.•I 函数的单调增区间是（一8, 一 1］和［0,1］, 单调减区间是［—1,0］和［1, + °°）.规律方法(1)由函数图象确定函数单调区间是一种直观简单的方法，对于较复杂的函数的单调区间，可以利用一些基本函数的单调性或根据函数单调性的定义来求.(2)—个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“U”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接，如函数y=k其定义域为(一°°, 0)U(0, +°°),不能说函数在(一8, 0)U(0, +OO)上单调递减，而只能说函数在(―°°, 0)和(0, +°°)上递减・【变式2】求下列函数的单调区间. (1^) = 3W；(2)/(x) = lx2+2x-3L(2)令f(x) =X2+2X—3 = (x+1)2—4.先作出几劝的图象，保留其在X轴及X轴上方部分，把它在X 轴下方的图象翻到X轴上方就得到y=k2+2x-3l的图象，如图所示.由图象易得：函数的递增区间是(一3, -1), (1, +®)；函数的递减区间是(一8, -3], [-1,1]・题型三函数单调性的应用【例3】（12分）已知函数乐）的定义域为[—2,2],且尢）在区间[ — 2,2]上是增函数，求实数加的取值范围.审题指导利用单调性，将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，即脱去/符号，转化为关于加的一元一次不等式，解出m 的范围.［规范解答］・・7W在区间［一2,2］上单调递增，・•・一201502时，总有血）*2）成立.反之也成立，即若f （Xi）<f（X2）,则一2£兀1<¥2壬2.（4 分）V/（l——2WmW2•匚—2<1—m<2, （8 分）1 —m<m解得*v加W2.（10分）・•・所求加的取值范围是2.（12分）【题后反思】单调性是函数的重要性质，它在研究函数时具有重要的作用，具体体现在：（1）利用单调性比较大小，利用函数的单调性，可以把比较函数值的大小问题转化为比较自变量的大小的问题；（2）利用单调性求函数的值域或最值；（3）已知函数的单调性，求函数解析式中参数的范围，这是函数单调性的逆向思维问题.这类问题能够加深对概念、性质的理解.【变式3］已知函数f(x)=x2-\-2(a 是—l)x+2 在区间(―oo, 4]±减函数，求实数a的取值范围.误区警示因对“单调区间”和“区间上单调”两个概念混淆而出错【示例】若函数=x2+2(a — 1 )x+4的单调递减区间是(一°°, 4］,则实数。
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习题课一函数的基本性质
学习目标
1.会根据函数的单调性、奇偶性求最值
2 •能运用函数的单调性和奇偶性比较大小、解不等式等问题★重点难点
1•重点是利用奇偶性、单调性求最值
2.雄点是单调性、奇偶性的灵活运用
学法指导
1.系统总结函数的甫要性质，结合例题明确性质间的相互联
1系及在解决问题中的作用
i 2.进一步提升分析间题、解决间题的能力
I
【典例1】⑴(2016•武汉高一检测)函数
f(x)是定义在
••“课堂合作探究…・
类型一：利用奇偶性、单调性比较大小
温*提示 女果您木乐件的辻 雄中出字他象・册旻 同幷右幻灯片・fitll# 可lEtO ・ R 上的偶函数, 当x$0时，f(x)单调递减•则下列各式 成立的是( A. f (l)<f(-3) C. f (-2) >f (3) )
B. f(3)>f(2)
D. f(2)>f(0)
⑵(2016•长春高一检测)f (x) = (m-1) x2+2mx+3是偶函数，贝!|fH), f(- ), f()的大小关系为()
72 73
A.f( )>f (- )>f(-l)
B. f( )<f (- )<f(-l)
C・f (不)<f(^)<f(-l) D. f(4) <f(佚f (-)
A/2 A/3 A/3 A/2
【解题指南】(1)根据f(x)是偶函数,所以将f(・3) f f(- 2)化为f⑶,f(2),再由单调性判断大小.
⑵先由f(x) = (m-：l)x2+2mx+3是偶函数,确定m的
值f从而得出f(x)的解析式f再根据f(x)的单调性判断
值的大小.
【解析】⑴选C・函数f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-3)=f⑶,f(-2)=f(2),当x“时，f(x)单调递减, 所以
f⑵>f(3),所以f(・2)>f⑶.
⑵选B•因为f(x) = (m・l)x2+2rnx+3是偶函数f所以有f(-x)=f(x) f即(m-l)(-x)2+2m(-x) + 3=(ml)x2+2mx+3 f
所以4mx=0恒成立f所以m=0 f因jtbf(x) = -x2+3 f
又f(x) = M+3在(・8 f 0］上为増函数f故
f(・ f(- ^<f(-l) , Xf()誘(・几所以B正确.
【规律总结】利用奇偶性和单调性比较大小的三个步骤(1)判断：判断所给函数的奇偶性以及给定区间内的单调性.
(2)转化：根据奇偶性将自变量的值转化到同一个单调区间内.
(3)确定：根据函数的单调性，比较函数值的大小.
【巩固训练】1. (2016•郑州高一检测)若对于任意实 数X 总有f (-X )=f (x),且f(x)在区间(-8, -1］上是增 函数，则()
< <f(2)
C ・f ⑵〈f 碍,
D.f(2)< 〈那二鸟
2
3
f(--) 2A. <f(-l)<f(2)
B .
s
二—〉-—〉
z —lx ・
8—)@w 31
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)J I K l5>(x )J H
(x i s Q la
【生
議】
2•若函数f (x)是R上的偶函数，且在［0, +8)上是减函数，则满足f (兀)〈f(a)的实数a的取值范围是
【解析】若竝0 . f(x)在［0 , +8)上是减函数,且和血) <f(a),得0<a<Tr.
若avO ,因为f(ir)二f(-ir),则由f(x)在［0 , +8)上是减函数,得知f(x)在(・8,0］上是増函数•由于f(F)
<f(a),得到a>-IT ,即-itvavO•由上述两种情况知aW (-IT , it)・
答案：(-TT , TT)
类型二：利用奇偶性、单调性求最值
【典例2】(1)设f(x)在［-2, -1］±为减函数，最小值为3,且f(x)为偶函数，则f(x)在［1, 2］上()
A.为减函数，最大值为3
B.为减函数，最小值为-3
C.为增函数，最大值为-3
D.为增函数，最小值为3
⑵若(P (x), g (x)都是奇函数，f (x) =a(P (x) +bg (x) +2 在(0, +8)上有最大值5,则f(x)在(-8, 0)上有( A.最小值-5
B.最大值-5
C.最小值T
D.最大值-3
・
M -x 喘施z r (8+・
0)
炮草旨・(0
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I s m ・a
孵盘體录・)【惬
B
韻
【解析】⑴选D・因为f(x)在卜2 , -1］±为减函数,最
小值为3 ,所Wf(-1) = 3 ,又因为f(x)为偶函数, 所以f(x)在［—2］上为増函数,且最小值为f(：L)二f(-l) = 3.
(2)
俳
c ・田CU 査追m w x m (o 、+8)、
f(x)Ha£(x)+bg(x)
+2
IA 5
・a m w x m (—
g (x )8p ?rlIO SH 凰博・a f
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x ) + b g s +2IA 5
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w (x )cr g (x )+
2^5
・
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(1)利用在对称区间上单调性与奇偶性的关系，由一侧
区间上的最值求另一侧区间上的最值.
(2)利用奇偶性，在不同区间上对解析式作互相转化,
从而由一个区间上的最值求另一个区间上的最值.
【规律总结】
【巩固训练】若奇函数f(x)当10W4时的关系式是
f (x) =x2-4x+5,则当-4WxW-l时，f(x)的最大值是A.5 B.—5 C. —2 D. -1
【解析】选D•当-4WxW-1时，1W-xW4 f因为
1W X W4
时f f (x)=x2-4x+5.所以f (-x)=x?+4x+5 f又f (x)为奇函数f所以f (-x)二-f (x) •所以f (x)二-x2-4x-5二- (x+2) 2-1.
当x=-2时f取最大值-1・
类型三：利用奇偶性和单调性解不等式
【典例3】(2016•岳阳高一检测)若定义域为R的偶函数玖幻在［0, +8)上是增函数，且f⑴=0,求不等式
f(x)M0的解集.
【解题指南】由f(X)为偶函数■且在［0 ■ +8)上是増函数,可得f (-X)二f (x) ■且f (x)在(-8,0］上是减函
数,即可利用单调性解不等式.
【解析】若定义域为R的偶函数f（X）在［0 ■ +8）上是増
函数,则f（X）在（-8,0］上是减函数,且f （-X）=f （x）,
因为f (1)=0 ■所以f(-l)=f ⑴=0 ■综上当x^-lsKx^l
时,f(X)^0 ,即f (x) M0的解集为{x|xWT .或xMl}・
【延伸探究】
1.(变换条件)若本例中的“偶函数”改为“奇函数”，“f(l)=O〃改为“f(l-m)<f(m)〃，求m的取值范围.
2.(改变问法)典例中条件不变，求x・f(x)WO的解集.
【解析】因为f(x)为吐的偶函数,所Wf(-l)=f(l)=O , 又f(x)在[0 , +8)上是増函数,所以f(x)在(・8,0]±
为减函数・x • f(x) V 0o r x<09 所以x .前J卿( [x>0, 找術阳耨为{x|x—
或0<x<l}.x>0, f(x)<0,
x<0,
x
【规律总结】利用奇偶性与单调性解抽象不等式的四个步骤
⑴转化：利用奇偶性转化成f (M) >f (N)的形式.
(2)确定：确定函数的单调性.
⑶去“ f” ：去掉“ f”,转化为M>N或M〈N的形式.
(4)求解：解不等式(组).
醒：在利用单调性解不等式时，要注意定义域的限制，以保证转化的等价性.
【巩固训练】已知函数f(x)是定义在［-1, 1］上的奇函数，且单调递减，若8满足f(l+a)+f(2+3a)<0,求实数a的取值范
【解析】因为定义域为卜「1],所以尸51+泊1,
-1W 2+3a W1, 解得-2<a<gj_i<a<_ . 1 ①
因为£廛寄函数,且a满足f(d+a)+f(2+3a)v0 ,所以
f(l+a)<-f(2+3a)=f(-2-3a).
因为f(x)在定义域上单调递减. 所以l+a>-2-3a ,即a兰
②
4
由①②得-va・・]
4 3
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• •••
题
课后提升作业••
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