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《高中数学-函数与极限》课件PPT
我们将学习一些常用的极限公式和定理，如幂函数的极限、三角函数的极限和指数函数的极限等。
1
幂函数的极限
特定幂函数的极限计算方法。
2
三角函数的极限
特定三角函数的极限计算方法。
3
指数函数的极限
特定指数函数的极限计算方法。
数列极限的概念和性质
我们将学习数列极限的概念和性质，如收敛数列和发散数列的判定。
1 数列极限的定义
高中数学-函数与极限
在本课程中，我们将深入探讨函数与极限的概念，掌握函数的性质和极限的 计算方法，并学习如何应用极限解决数学问题。
函数的概念和分类
函数是数学中的一个重要概念，我们将学习函数的定义、图像以及分类，如线性函数、二次函数和指数函数等。
线性函数
函数图像呈直线，具有常量斜率。
二次函数
函数图像呈抛物线，具有二次项。
2 极大值和极小值
判定函数在某一区间内的最大值和最小值。
1 无穷大
表示函数在某一点的函数值无限增大。
2 无穷小
表示函数在某一点的函数值无限接近于零。
极限等价性
我们将学习极限等价性的概念和应用，以及利用极限等价性求解复杂极限。
1 极限等价性的定义
2 极限等价性的应用
描述两个函数在某一点附近极限的相似性质。
通过极限等价性简化复杂极限的求解过程。
常用极限公式和定理
描述数列中的数值无限接 近某一值的情况。
2 收敛数列
数列逐渐趋近某一值。
3 发散数列
数列无限远离某一值。
数列极限的计算方法
我们将学习常见的数列极限计算方法，如等差数列和等比数列的极限计算。
1
等差数列的极限
求解等差数列的极限值。
函数的极限【高等数学PPT课件】
A(或f
( x0
0)
A)
右极限: 定理1
lim
xx0
f (x)
A(或f (x0
0)
A)
lim f (x) A lim f (x) lim f (x) A
xx0
xx0
xx0
x sin x, x 0
例1
试问函数f ( x)
10, x 0
(c) Sketch the graph of F.
例2 lim sin x不存在 x
lim sin 1 不存在.
x0
x
y sin 1 x
思考与练习
1. 若极限 lim f ( x) 存在, 是否一定有
x x0
lim f ( x) f ( x0 ) ？
x x0
2. 设函数 f ( x) a x2, x 1 且 2x 1, x 1
lim f ( x)
x1
存在, 则 a 3 .
3.Let F (x) x 2 1 .
x 1
(a) Find (i) lim F (x) x 2 1 .
x1
x 1
(ii) lim x1
F(x)
x2 1 .
x 1
(b) Does lim F(x). exist?
x1
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) 不存在.
x0
x0
x0
二、函数极限的性质
1.惟一性
定理1 (极限的惟一性) 如果函数极限
存在，则极限值惟一.
2.有界性
定理2 (局部有界性)
如果极限 lim f (x) xx0
大学高数第一章函数和极限ppt课件
lim 3x
x
28
2、当 x x0 时函数极限
定义 1.6 设函数在点 x0 附近有定义（但在这一点可以没有
定义），若 x （ x x0 ）无论以怎样的方式趋近于 x0 ，函
数 f (x) 都无限趋近于一个常数 A ，就称当 x 趋近于 x0 时，
函数以 A 为极限，记为：
lim f (x) A 或
解：由于函数表达式中带有| x | ，
y
所以要分别求函数的左右极限。
因为： lim | x | lim x 1，
x x0
x x0
lim | x | lim x 1，
x
x x0
x x0
左右极限不相等，所以， lim | x | 不存在. x0 x
也可以从函数的图像上明确地看出该函数的极限不存在
变量 u 称为中间变量。
如：y sin3 x 可视为 y u3,u sin x 复合而成的 复合函数。 类似地，可以定义多于两重复合关系的复合函数。
11
例 已知 y arcsin[ln(x 1)]
（1）分析 y 的复合结构；（2）求 y 的定义域.
解：(1) y arcsinu ， u ln v ， v x 1
常见的周期函数有：sin x 、cos x 、tan x ，cot x
前两者周期为 2 ，后两者周期为 。
9
5.函数的有界性
若存在某个正数 M ，使得不等式 f (x) M
对于函数 f (x) 的定义域 D 内的一切 x 值都成立，则称函数 f (x) 在定义域内是有界函数； 如果这样的正数 M 不存在，则称函数 f (x) 在定义域 D 内是
函数与极限ppt课件
(或 lim f (x) A,简记x , f (x) A.)
x
lim 1 0及 lim 1 0
x x
x x
y
lim arctan x , lim arctan x
x
2 x
2
2 y arctan x
O
x
2
x 时 f (x) arctan x变 化 趋 势
定义1：若当 x 时, f ( x) 的值与常数 A
x x x0
x0
x0
y
1
o
x
1
左右极限存在但不相等, lim f ( x) 不存在. x0
注：分段函数分段点处的极限必须通过该定理讨论.
例9：常用结论：
lim C C
x x0
lim x a
xa
lim qx 0 (0 q 1)
x
1
lim
x
x
0
( 0)
limsin x 0 limcos x 1
0,X 0,使 当 x X时 ,恒 有 f (x) A .
lim f ( x) A
x
0, X 0, 使 当 x X时 , 恒 有 f (x) A .
lim f ( x) A
x
0,X 0,使 当 x X时 ,恒 有 f (x) A .
极 限 lim f ( x ) A 和 lim f ( x ) A 称 为 单 侧 极 限.
lim sin x 0. x x
几何解释:
y sin x x
A
X
X
当x X或x X时, 函数 y f ( x)图形完全落在以
直线y A 0为中心线, 宽为2的带形区域内.
例2：观察反正切函数的图像
函数与极限_.ppt
有界数列不一定收敛.
定理3
收敛的数列的保号性.
设 lim x a , 且 a 0 ( or a 0 ), 那么存在 N 0 正 , n
n
当 n N 时 ,都x 有 0 ( x 0 ). n n
证
a 不妨 a 设 0 ,对 , 2
a 则 N , 使得 n N 时 当 恒 x a 有 , n 2 a a 即有 a x a . n 2 2
第二节 数列极限
(Limits of Sequences)
自然界中有很多量仅仅通过有限次的算术运算 是计算不出来的，而必须通过分析一个无限变化趋 势才能求得结果，这正是极限概念和极限方法产生 的客观基础。本节中我们将介绍微积分发展史中的 两个典型问题，在解决这两个问题的过程中，孕育 了极限思想，并产生了微积分的两个分支------微分 学和积分学。
2 . x b x a n n
上式仅当 a b 时才能成立 .故收敛数列极限唯一.
20.03.2019 17
n 1 例4 证明数列 x ( 1 ) 是发散的 . n 1 lim x a , 由定义, 对于 , 证 设 n n 2 1 则 N , 使得当 n N 时 , 有 x a 成立 , n 2 1 1 即当 n N 时 , x ( a , a ), 区间长度为1. n 2 2 而 x 无休止地反复取 1 , 1 两个数 , n
例如,
x 数 轴 上 对 应 于 有 界 数 列 的 点 落 在 闭 区 间 n都
[ M ,M ] 上 .
20.03.2019
19
定理2
收敛的数列必定有界.
lim x a , 取 证 设 1 , n n
函数极限PPT课件
有|f(x)-A|<e
例例33 证 明 lim (2x -1) 1 x1
证明 因为e 0 de /2 当0|x-1|d 时 有
|f(x)-A||(2x-1)-1|2|x-1|e
所 以 lim (2x -1) 1 x1
分析 |f(x)-A||(2x-1)-1|2|x-1|
e >0 要使|f(x)-A|<e 只要|x-1|<e /2
证明 因为e 0 d e 当0|x-x0|d 时 有
|f(x)-A||x-x0|e
所以
lim
x x0
x
x0
分析
|f(x)-A||x-x0|
e >0 要使|f(x)-A|e 只要|x-x0|e
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铃
lim
x x0
f(x)A或fe(>x)0 Ad(>x0 当x0)。0<|x-x0|<d
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铃
lim
x x0
f(x)A或fe(>x)0 Ad(>x0 当x0)。0<|x-x0|<d
有|f(x)-A|<e
例6 当x 0时，lim x2 4. x2
证明 因为 x2 - 4 x - 2 x + 2.
令 x - 2 1,则有3 x + 2 5,
所以 x2 - 4 x - 2 x + 2 5 x - 2。
y=f(x)
A+e
A
A-e
x0-d x0 x0+d
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函数与极限ppt课件
21
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(3) 有界性
设函数 f (x)的定义域为 D, 数集 X D,
常数 M 0，使得 对 x X , 有 f (x) M,
则称 f ( x)在X上有界. 否则称为无界.
y
M y = f (x)
OX
x
-M
若 f ( x) 在D上有界, 则称 f (x) 为有界函数.
二、 区间与邻域
区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a,b R,且a b.
{x a x b} 称为开区间, 记作 (a,b)
oa
b
x
{x a x b} 称为闭区间, 记作 [a,b]
oa
b
x
8
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半开区间
表示法：
(1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 .
例:
有限集合
A a1
, a2
, , an
ai
n i 1
自然数集 N 0, 1 , 2 , , n, n
(2) 描述法：M x x 所具有的特征 例: 整数集合 Z x x N 或 x N 实数集合 R x x 为有理数或无理数
一般地，函数的周期性主要是指三角函数，如
y=sinx，y=cosx 的最小正周期是2π，
y=tanx, y=cotx 的最小正周期是π．
27
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注意：两个周期函数的和或积是不是周期函数，取 决于这两个周期函数的周期之比是否是有理数.
例 下列函数是不是周期函数.
(1) f ( x) sin x
函数的极限定义及性质(共9张PPT)
两种特殊情况 :
lim f (x) A
x
0 , X 0 , 当 x X 时, 有 f (x) A
lim f (x) A
x
0 , X 0 , 当 x X 时, 有 f (x) A
几何意义 : 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .
例如，f (x) 1 , g(x) 1
x
1 x
都有水平渐近线 y 0 ;
又如， f ( x) 1 2 x , g (x) 1 2 x
都有水平渐近线 y 1.
1 y y 1 12x
1 x
x
1 O2Ox
xx
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几何解释
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2. 左极限与右极限
左极限 :
f
( x0 )
lim
x x0
f
(x)
A
0 , 0 ,当 x ( x0 , x0 )
时, 有 f ( x) A .
右极限 :
f
( x0 )
lim
x x0
f
(x)
A
0 , 0 ,当 x ( x0 , x0 )
解: 利用结论 . 因为
lim f (x) lim (x 1) 1
x 0
x0
lim f (x) lim (x 1) 1
x 0
x 0
显然 f (0 ) f (0 ) , 所以 lim f (x) 不存在 .
x 0
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3. 函数极限的性质
极限的唯一性；局部有界性；局部保号性
函数的极限定义及性质
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一、自变量趋于有限值时函数的极限
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y = f [φ(x)]
( y—因变量 , u—中间变量 ( 既是自变量又是因变量 ) , x—自变量 )
注:①函数u=Φ(x)的值域不能超过函数y=f(u)的定义域. ②形成复合函数的中间变量可以不止一个,如: y=f｛φ[ω(x)]｝
.精品课件.
6
将复合函数拆成简单函数：（重点）
例：y = cos (2t+π/3) 可分解为 : y = cosx , x =2t+π/3.
第一章函数与极限
函数与极限——微积分中的二个重要基本概念 函数——高等数学研究的基本对象． 极限——是否采用极限的运算方法，是高等数学与
初等数学的根本区别．
.精品课件.
1
第一节 函 数
一．函数概念：
１．常量与变量： 常量：某一变化过程中保持数值不变的量.
例：同一地点的ｇ=9.8米/秒2 (初等数学研究的主要对象) 变量：在某一变化过程中取不同数值的量．
1 . 自变量 x →x0 时函数的极限. 2 . 自变量 x →∞ 时函数的极限.
x→x0-0 时,函数的极限 x→x0+0 时,函数的极限
x→-∞ 时,函数的极限 x→+∞时,函数的极限
.精品课件.
11
1 . x →x0 时函数的极限:
⑴定义: 设函数 f (x) 在点 x0 附近有定义 (但在 x0 处可以没有定义) , 当自变量 x 以任何方式无限趋近于定值 x0 时 , 若函数 f (x) 无限趋近于一个常数 A ,就说当 x 趋近于 x0时 , 函数 f (x)以
x 例 : 右图中的函数f(x) (分段函数)
lim f (x) A lim f (x) B A
xx0 0
xx0 0
∵A≠B, 即左极限≠右极限
B
∴此函数 f (x)在 x0处的极限不存在. o
x0
y
.精品课件.
14
2 . x →∞ 时函数的极限 :
⑴函数在正无限处极限:
lim f (x) A
A 为极限 . 记作 : xlimx0 f (x) A
注: ①仅要求函数在点x0 附近有定义 ,但在 x0 处可以没有定义. ②“自变量 x 以任何方式无限趋近于定值 x0”是指左趋近和 右趋近 (对于一元函数) .
.精品课件.
12
⑵ . 函数的单侧极限 :
左极限 ：x从左侧趋近于x0时产生的极限.
x
⑵函数在负无限处极限:
lim f (x) A
x
⑶函数在正负无限处极限:
y A
o
x
lim f (x) A
x
.精品课件.
15
▲. 极限 lim f (x) A存在的充要条件: (当且仅当) x
lim f (x) lim f (x) A
x
x
例 : 对于函数 f (x) = arctgx , x→∞时极限是否存在?
1
0＜x＜1
(分段函数)
1/x x ≥1
注：分段函数虽然由多个式子组成的，但它不是多个函数，而是一个函数．
.精品课件.
4
二．初等函数：
1．基本初等函数：(中学学过的）
幂函数：ｙ= xa 指数函数：ｙ= ax 对数函数：ｙ=logax 三角函数：ｙ=sinx，y =cosx , y=tgx , y=ctgx. 反三角函数：y =arcsinx , y =arccosx ,
那么拆成什么形式好呢?
或: y = cos2x , x =t+π/6
▲.一般复合函数拆开的结果应使拆成的每一个函数都是基本初等
函数或是它们的和,差,积,商.
例： y asin(3x21)可分解为：y au，u sin v，v 3x2 1.
例：
y
sin2
2
1 x
可分解为：y
2u，u
v2，v
sin ,
y =arctgx , y =arcctgx .
.精品课件.
5
2．复合函数：形如：ｙ= f [(φ(x)] ( u =φ(x) )
定义:设变量 y 是变量 u 的函数 , 变量 u 又是变量 x 的函数即 y = f (u) , u =φ(x) , 如果变量x的某些值通过中间变量u 可以确定变量 y 的值时 , 则称 y 是 x 的复合函数 , 记作
记作：y=f(x)，x X．
ｘ称为自变量，ｙ称为因变量．Ｘ称为函数的定义
而所有对应的ｙ值组成的数集Ｙ则称为函数的值域．
.精品课件.
3
３．函数的表示方法：
√ 解析法 (如 y = f (x))
函数的表示法
列表法 图象法
其他 解析法可用一个式子表示也可用多个式子表示.例如:
cosx -π≤x≤0
f (x) =
1 x2
x
都是初等函数。
.精品课件.
8
第二节 函数的极限
极限概念的引入:
例1 . 有一变量其变化趋势为:1 , 1/2 , 1/3 , 1/4 , . . .,1/n , . . . 则该变量的极限是0.(数列极限)
.精品课件.
9
一.函数的极限:
对于函数 y = f (x) , 我们将分别考察以下两种情况的极限:
Y
解 : 当 x →+∞时 , f (x) = arctgx →π/2 ,
π
当 x →-∞时 , f (x) = arctgx →-π/2 .
π/2
lim f (x) lim f (x)
记作 : lim f (x) A xx0 0
右极限： x从右侧趋近于x0时产生的极限.
记作 : lim f (x) A xx0 0
.精品课件.
13
▲. 极限 lim f (x) A存在的充要条件 : (当且仅当) x x0
lim f (x) lim f (x) A
xx0 0
xx0 0
即左极限和右极限都存在并且相等时,才能说函数的极限存在
1
.
x
.精品课件.
7
3．初等函数
定义：由基本初等函数经过有限次加，减，乘，除四则运算和
有限次复合运算而构成的仅用一个解析式表达的函数，
称为初等函数． 问：分段函数是否是初等函数？ 不是初等函数，但它是一个函数.
（注：不用一个式子表示的函数就不是初等函数）
例： y ln cos2 x，y 1 a2 x ，y arcsin x tgx .
例：自由落体Ｓ=gt2/2中的S与t都是变量. 一个量是常量还是变量只是相对而言的．
.精品课件.
2
２．函数的概念：
函数关系——变量之间的依赖关系 函数定义： 设ｘ与ｙ是两个变量，如果对于ｘ在数集Ｘ中所取的 每一个值，通过ｘ与ｙ之间的某一对应律ｆ, 都有一个 (或多个)确定的 y 值与之对应 , 则称 f 是Ｘ上的函数.
( y—因变量 , u—中间变量 ( 既是自变量又是因变量 ) , x—自变量 )
注:①函数u=Φ(x)的值域不能超过函数y=f(u)的定义域. ②形成复合函数的中间变量可以不止一个,如: y=f｛φ[ω(x)]｝
.精品课件.
6
将复合函数拆成简单函数：（重点）
例：y = cos (2t+π/3) 可分解为 : y = cosx , x =2t+π/3.
第一章函数与极限
函数与极限——微积分中的二个重要基本概念 函数——高等数学研究的基本对象． 极限——是否采用极限的运算方法，是高等数学与
初等数学的根本区别．
.精品课件.
1
第一节 函 数
一．函数概念：
１．常量与变量： 常量：某一变化过程中保持数值不变的量.
例：同一地点的ｇ=9.8米/秒2 (初等数学研究的主要对象) 变量：在某一变化过程中取不同数值的量．
1 . 自变量 x →x0 时函数的极限. 2 . 自变量 x →∞ 时函数的极限.
x→x0-0 时,函数的极限 x→x0+0 时,函数的极限
x→-∞ 时,函数的极限 x→+∞时,函数的极限
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1 . x →x0 时函数的极限:
⑴定义: 设函数 f (x) 在点 x0 附近有定义 (但在 x0 处可以没有定义) , 当自变量 x 以任何方式无限趋近于定值 x0 时 , 若函数 f (x) 无限趋近于一个常数 A ,就说当 x 趋近于 x0时 , 函数 f (x)以
x 例 : 右图中的函数f(x) (分段函数)
lim f (x) A lim f (x) B A
xx0 0
xx0 0
∵A≠B, 即左极限≠右极限
B
∴此函数 f (x)在 x0处的极限不存在. o
x0
y
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2 . x →∞ 时函数的极限 :
⑴函数在正无限处极限:
lim f (x) A
A 为极限 . 记作 : xlimx0 f (x) A
注: ①仅要求函数在点x0 附近有定义 ,但在 x0 处可以没有定义. ②“自变量 x 以任何方式无限趋近于定值 x0”是指左趋近和 右趋近 (对于一元函数) .
.精品课件.
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⑵ . 函数的单侧极限 :
左极限 ：x从左侧趋近于x0时产生的极限.
x
⑵函数在负无限处极限:
lim f (x) A
x
⑶函数在正负无限处极限:
y A
o
x
lim f (x) A
x
.精品课件.
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▲. 极限 lim f (x) A存在的充要条件: (当且仅当) x
lim f (x) lim f (x) A
x
x
例 : 对于函数 f (x) = arctgx , x→∞时极限是否存在?
1
0＜x＜1
(分段函数)
1/x x ≥1
注：分段函数虽然由多个式子组成的，但它不是多个函数，而是一个函数．
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二．初等函数：
1．基本初等函数：(中学学过的）
幂函数：ｙ= xa 指数函数：ｙ= ax 对数函数：ｙ=logax 三角函数：ｙ=sinx，y =cosx , y=tgx , y=ctgx. 反三角函数：y =arcsinx , y =arccosx ,
那么拆成什么形式好呢?
或: y = cos2x , x =t+π/6
▲.一般复合函数拆开的结果应使拆成的每一个函数都是基本初等
函数或是它们的和,差,积,商.
例： y asin(3x21)可分解为：y au，u sin v，v 3x2 1.
例：
y
sin2
2
1 x
可分解为：y
2u，u
v2，v
sin ,
y =arctgx , y =arcctgx .
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2．复合函数：形如：ｙ= f [(φ(x)] ( u =φ(x) )
定义:设变量 y 是变量 u 的函数 , 变量 u 又是变量 x 的函数即 y = f (u) , u =φ(x) , 如果变量x的某些值通过中间变量u 可以确定变量 y 的值时 , 则称 y 是 x 的复合函数 , 记作
记作：y=f(x)，x X．
ｘ称为自变量，ｙ称为因变量．Ｘ称为函数的定义
而所有对应的ｙ值组成的数集Ｙ则称为函数的值域．
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３．函数的表示方法：
√ 解析法 (如 y = f (x))
函数的表示法
列表法 图象法
其他 解析法可用一个式子表示也可用多个式子表示.例如:
cosx -π≤x≤0
f (x) =
1 x2
x
都是初等函数。
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第二节 函数的极限
极限概念的引入:
例1 . 有一变量其变化趋势为:1 , 1/2 , 1/3 , 1/4 , . . .,1/n , . . . 则该变量的极限是0.(数列极限)
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一.函数的极限:
对于函数 y = f (x) , 我们将分别考察以下两种情况的极限:
Y
解 : 当 x →+∞时 , f (x) = arctgx →π/2 ,
π
当 x →-∞时 , f (x) = arctgx →-π/2 .
π/2
lim f (x) lim f (x)
记作 : lim f (x) A xx0 0
右极限： x从右侧趋近于x0时产生的极限.
记作 : lim f (x) A xx0 0
.精品课件.
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▲. 极限 lim f (x) A存在的充要条件 : (当且仅当) x x0
lim f (x) lim f (x) A
xx0 0
xx0 0
即左极限和右极限都存在并且相等时,才能说函数的极限存在
1
.
x
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3．初等函数
定义：由基本初等函数经过有限次加，减，乘，除四则运算和
有限次复合运算而构成的仅用一个解析式表达的函数，
称为初等函数． 问：分段函数是否是初等函数？ 不是初等函数，但它是一个函数.
（注：不用一个式子表示的函数就不是初等函数）
例： y ln cos2 x，y 1 a2 x ，y arcsin x tgx .
例：自由落体Ｓ=gt2/2中的S与t都是变量. 一个量是常量还是变量只是相对而言的．
.精品课件.
2
２．函数的概念：
函数关系——变量之间的依赖关系 函数定义： 设ｘ与ｙ是两个变量，如果对于ｘ在数集Ｘ中所取的 每一个值，通过ｘ与ｙ之间的某一对应律ｆ, 都有一个 (或多个)确定的 y 值与之对应 , 则称 f 是Ｘ上的函数.