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x
⑵函数在负无限处极限:
lim f (x) A
x
⑶函数在正负无限处极限:
y A
o
x
lim f (x) A
x
.精品课件.
15
▲. 极限 lim f (x) A存在的充要条件: (当且仅当) x
lim f (x) lim f (x) A
x
x
例 : 对于函数 f (x) = arctgx , x→∞时极限是否存在?
A 为极限 . 记作 : xlimx0 f (x) A
注: ①仅要求函数在点x0 附近有定义 ,但在 x0 处可以没有定义. ②“自变量 x 以任何方式无限趋近于定值 x0”是指左趋近和 右趋近 (对于一元函数) .
.精品课件.
12
⑵ . 函数的单侧极限 :
左极限 :x从左侧趋近于x0时产生的极限.
x 例 : 右图中的函数f(x) (分段函数)
lim f (x) A lim f (x) B A
xx0 0
xx0 0
∵A≠B, 即左极限≠右极限
B
∴此函数 f (x)在 x0处的极限不存在. o
x0
y
.精品课件.
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2 . x →∞ 时函数的极限 :
⑴函数在正无限处极限:
lim f (x) A
那么拆成什么形式好呢?
或: y = cos2x , x =t+π/6
▲.一般复合函数拆开的结果应使拆成的每一个函数都是基本初等
函数或是它们的和,差,积,商.
例: y asin(3x21)可分解为:y au,u sin v,v 3x2 1.
例:
y
sin2
2
1 x
可分解为:y
2u,u
v2,v
sin ,
记作:y=f(x),x X.
x称为自变量,y称为因变量.X称为函数的定义
而所有对应的y值组成的数集Y则称为函数的值域.
.精品课件.
3
3.函数的表示方法:
√ 解析法 (如 y = f (x))
函数的表示法
列表法 图象法
其他 解析法可用一个式子表示也可用多个式子表示.例如:
cosx -π≤x≤0
f (x) =
例:自由落体S=gt2/2中的S与t都是变量. 一个量是常量还是变量只是相对而言的.
.精品课件.
2
2.函数的概念:
函数关系——变量之间的依赖关系 函数定义: 设x与y是两个变量,如果对于x在数集X中所取的 每一个值,通过x与y之间的某一对应律f, 都有一个 (或多个)确定的 y 值与之对应 , 则称 f 是X上的函数.
1
0<x<1
(分段函数)
1/x x ≥1
注:分段函数虽然由多个式子组成的,但它不是多个函数,而是一个函数.
.精品课件.
4
二.初等函数:
1.基本初等函数:(中学学过的)
幂函数:y= xa 指数函数:y= ax 对数函数:y=logax 三角函数:y=sinx,y =cosx , y=tgx , y=ctgx. 反三角函数:y =arcsinx , y =arccosx ,
y = f [φ(x)]
( y—因变量 , u—中间变量 ( 既是自变量又是因变量 ) , x—自变量 )
注:①函数u=Φ(x)的值域不能超过函数y=f(u)的定义域. ②形成复合函数的中间变量可以不止一个,如: y=f{φ[ω(x)]}
.精品课件.
6
将复合函数拆成简单函数:(重点)
例:y = cos (2t+π/3) 可分解为 : y = cosx , x =2t+π/3.
y =arctgx , y =arcctgx .
.精品课件.
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2.复合函数:形如:y= f [(φ(x)] ( u =φ(x) )
定义:设变量 y 是变量 u 的函数 , 变量 u 又是变量 x 的函数即 y = f (u) , u =φ(x) , 如果变量x的某些值通过中间变量u 可以确定变量 y 的值时 , 则称 y 是 x 的复合函数 , 记作
1 . 自变量 x →x0 时函数的极限. 2 . 自变量 x →∞ 时函数的极限.
x→x0-0 时,函数的极限 x→x0+0 时,函数的极限
x→-∞ 时,函数的极限 x→+∞时,函数的极限
.精品课件.
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1 . x →x0 时函数的极限:
⑴定义: 设函数 f (x) 在点 x0 附近有定义 (但在 x0 处可以没有定义) , 当自变量 x 以任何方式无限趋近于定值 x0 时 , 若函数 f (x) 无限趋近于一个常数 A ,就说当 x 趋近于 x0时 , 函数 f (x)以
1 x2
x
都是初等函数。
.精品课件.
8
第二节 函数的极限
极限概念的引入:
例1 . 有一变量其变化趋势为:1 , 1/2 , 1/3 , 1/4 , . . .,1/n , . . . 则该变量的极限是0.(数列极限)
.精品课件.
9
一.函数的极限:
对于函数 y = f (x) , 我们将分别考察以下两种情况的极限:
Y
解 : 当 x →+∞时 , f (x) = arctgx →π/2 ,
π
当 x →-∞时 , f (x) = arctgx →-π/2 .
π/2
lim f (x) lim f (x)
第一章函数与极限
函数与极限——微积分中的二个重要基本概念 函数——高等数学研究的基本对象. 极限——是否采用极限的运算方法,是高等数学与
初等数学的根本区别.
.精品课件.
1
第一节 函 数
一.函数概念:Байду номын сангаас
1.常量与变量: 常量:某一变化过程中保持数值不变的量.
例:同一地点的g=9.8米/秒2 (初等数学研究的主要对象) 变量:在某一变化过程中取不同数值的量.
记作 : lim f (x) A xx0 0
右极限: x从右侧趋近于x0时产生的极限.
记作 : lim f (x) A xx0 0
.精品课件.
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▲. 极限 lim f (x) A存在的充要条件 : (当且仅当) x x0
lim f (x) lim f (x) A
xx0 0
xx0 0
即左极限和右极限都存在并且相等时,才能说函数的极限存在
1
.
x
.精品课件.
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3.初等函数
定义:由基本初等函数经过有限次加,减,乘,除四则运算和
有限次复合运算而构成的仅用一个解析式表达的函数,
称为初等函数. 问:分段函数是否是初等函数? 不是初等函数,但它是一个函数.
(注:不用一个式子表示的函数就不是初等函数)
例: y ln cos2 x,y 1 a2 x ,y arcsin x tgx .
⑵函数在负无限处极限:
lim f (x) A
x
⑶函数在正负无限处极限:
y A
o
x
lim f (x) A
x
.精品课件.
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▲. 极限 lim f (x) A存在的充要条件: (当且仅当) x
lim f (x) lim f (x) A
x
x
例 : 对于函数 f (x) = arctgx , x→∞时极限是否存在?
A 为极限 . 记作 : xlimx0 f (x) A
注: ①仅要求函数在点x0 附近有定义 ,但在 x0 处可以没有定义. ②“自变量 x 以任何方式无限趋近于定值 x0”是指左趋近和 右趋近 (对于一元函数) .
.精品课件.
12
⑵ . 函数的单侧极限 :
左极限 :x从左侧趋近于x0时产生的极限.
x 例 : 右图中的函数f(x) (分段函数)
lim f (x) A lim f (x) B A
xx0 0
xx0 0
∵A≠B, 即左极限≠右极限
B
∴此函数 f (x)在 x0处的极限不存在. o
x0
y
.精品课件.
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2 . x →∞ 时函数的极限 :
⑴函数在正无限处极限:
lim f (x) A
那么拆成什么形式好呢?
或: y = cos2x , x =t+π/6
▲.一般复合函数拆开的结果应使拆成的每一个函数都是基本初等
函数或是它们的和,差,积,商.
例: y asin(3x21)可分解为:y au,u sin v,v 3x2 1.
例:
y
sin2
2
1 x
可分解为:y
2u,u
v2,v
sin ,
记作:y=f(x),x X.
x称为自变量,y称为因变量.X称为函数的定义
而所有对应的y值组成的数集Y则称为函数的值域.
.精品课件.
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3.函数的表示方法:
√ 解析法 (如 y = f (x))
函数的表示法
列表法 图象法
其他 解析法可用一个式子表示也可用多个式子表示.例如:
cosx -π≤x≤0
f (x) =
例:自由落体S=gt2/2中的S与t都是变量. 一个量是常量还是变量只是相对而言的.
.精品课件.
2
2.函数的概念:
函数关系——变量之间的依赖关系 函数定义: 设x与y是两个变量,如果对于x在数集X中所取的 每一个值,通过x与y之间的某一对应律f, 都有一个 (或多个)确定的 y 值与之对应 , 则称 f 是X上的函数.
1
0<x<1
(分段函数)
1/x x ≥1
注:分段函数虽然由多个式子组成的,但它不是多个函数,而是一个函数.
.精品课件.
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二.初等函数:
1.基本初等函数:(中学学过的)
幂函数:y= xa 指数函数:y= ax 对数函数:y=logax 三角函数:y=sinx,y =cosx , y=tgx , y=ctgx. 反三角函数:y =arcsinx , y =arccosx ,
y = f [φ(x)]
( y—因变量 , u—中间变量 ( 既是自变量又是因变量 ) , x—自变量 )
注:①函数u=Φ(x)的值域不能超过函数y=f(u)的定义域. ②形成复合函数的中间变量可以不止一个,如: y=f{φ[ω(x)]}
.精品课件.
6
将复合函数拆成简单函数:(重点)
例:y = cos (2t+π/3) 可分解为 : y = cosx , x =2t+π/3.
y =arctgx , y =arcctgx .
.精品课件.
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2.复合函数:形如:y= f [(φ(x)] ( u =φ(x) )
定义:设变量 y 是变量 u 的函数 , 变量 u 又是变量 x 的函数即 y = f (u) , u =φ(x) , 如果变量x的某些值通过中间变量u 可以确定变量 y 的值时 , 则称 y 是 x 的复合函数 , 记作
1 . 自变量 x →x0 时函数的极限. 2 . 自变量 x →∞ 时函数的极限.
x→x0-0 时,函数的极限 x→x0+0 时,函数的极限
x→-∞ 时,函数的极限 x→+∞时,函数的极限
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1 . x →x0 时函数的极限:
⑴定义: 设函数 f (x) 在点 x0 附近有定义 (但在 x0 处可以没有定义) , 当自变量 x 以任何方式无限趋近于定值 x0 时 , 若函数 f (x) 无限趋近于一个常数 A ,就说当 x 趋近于 x0时 , 函数 f (x)以
1 x2
x
都是初等函数。
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第二节 函数的极限
极限概念的引入:
例1 . 有一变量其变化趋势为:1 , 1/2 , 1/3 , 1/4 , . . .,1/n , . . . 则该变量的极限是0.(数列极限)
.精品课件.
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一.函数的极限:
对于函数 y = f (x) , 我们将分别考察以下两种情况的极限:
Y
解 : 当 x →+∞时 , f (x) = arctgx →π/2 ,
π
当 x →-∞时 , f (x) = arctgx →-π/2 .
π/2
lim f (x) lim f (x)
第一章函数与极限
函数与极限——微积分中的二个重要基本概念 函数——高等数学研究的基本对象. 极限——是否采用极限的运算方法,是高等数学与
初等数学的根本区别.
.精品课件.
1
第一节 函 数
一.函数概念:Байду номын сангаас
1.常量与变量: 常量:某一变化过程中保持数值不变的量.
例:同一地点的g=9.8米/秒2 (初等数学研究的主要对象) 变量:在某一变化过程中取不同数值的量.
记作 : lim f (x) A xx0 0
右极限: x从右侧趋近于x0时产生的极限.
记作 : lim f (x) A xx0 0
.精品课件.
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▲. 极限 lim f (x) A存在的充要条件 : (当且仅当) x x0
lim f (x) lim f (x) A
xx0 0
xx0 0
即左极限和右极限都存在并且相等时,才能说函数的极限存在
1
.
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3.初等函数
定义:由基本初等函数经过有限次加,减,乘,除四则运算和
有限次复合运算而构成的仅用一个解析式表达的函数,
称为初等函数. 问:分段函数是否是初等函数? 不是初等函数,但它是一个函数.
(注:不用一个式子表示的函数就不是初等函数)
例: y ln cos2 x,y 1 a2 x ,y arcsin x tgx .