二次根式复习讲义41296
《二次根式》全章复习与巩固(基础)知识讲解
《二次根式》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】【要点梳理】要点一、二次根式的相关概念和性质 1.二次根式形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式，如13,,0.02,02等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式a 有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2）；（3）.要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2a =（0a ≥），如2221122););)33x x ===（0x ≥）. （2）2a a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 2a .（3a ，再根据绝对值的意义来进行化简.（42的异同a 可以取任何实数，而2中的a 必须取非负数；a ，2=a （0a ≥）.相同点：被开方数都是非负数，当a 2.3.最简二次根式（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； （2）被开方数中不含有分母； （3）分母中不含有根号.满足这三个条件的二次根式叫做最简二次根式.等都是最简二次根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.显然是同类二次根式. 要点二、二次根式的运算 1.乘除法（1）乘除法法则： 类型 法则逆用法则二次根式的乘法0,0)a b =≥≥积的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥≥二次根式的除法0,0)a b≥>商的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥>要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如=（2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.≠. 2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如23252(135)22+-=+-=-. 【典型例题】类型一、二次根式的概念与性质1． 当________时，二次根式3x -在实数范围内有意义. 【答案】x ≥3.【解析】根据二次根式的性质，必须3x -≥0才有意义.【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有0a ≥时a 才是二次根式. 举一反三【高清课堂：二次根式 高清ID 号：388065 关联的位置名称：填空题5】 【变式】①242x x =-成立的条件是 . ②2233x x x x--=--成立的条件是 . 【答案】① x ≤0；(2422x x x x ==-∴≤0.)② 2≤3x <.(20,30,x x -->∴≥2≤3x <)2．当0≤x ＜1时，化简21x x +-的结果是__________.【思路点拨】由范围判断x 、x －1的符号，再根据利用二次根式的性质化简二次根式，即2a =a ，同时联系绝对值的意义正确解答.【答案】 1.【解析】因为x ≥0，所以2x =x ；又因为x <1,即x -1<0,所以1(1)1x x x -=--=-，所以21x x +-=x +1-x =1.【总结升华】本题考查绝对值与二次根式的化简． 举一反三 【变式】（x ＞0，y ＞0）【答案】 解：原式=﹣=﹣，∵x＞0，y ＞0， ∴原式=﹣=﹣3xy ．3.下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）.A. 14B. 48C. abD. 44a + 【答案】A.【解析】选项B ：48=43；选项C ：有分母；选项D ：44a +=21a +，所以选A. 【总结升华】本题考查了最简二次根式的定义. 类型二、二次根式的运算4．（2016秋•普宁市期末）计算：（2﹣）（2+）+（2﹣）2﹣．【思路点拨】原式利用平方差公式，完全平方公式化简，计算即可得到结果． 【答案与解析】解：原式=4﹣5+4﹣4+2﹣=5﹣．【总结升华】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 举一反三 【变式】计算：48(54453)833-+⨯. 【答案】243610-.5.化简：20102011(32)(32)⋅.【思路点拨】3232)互为有理化因子，所以利用幂的运算法则使其尽可能地结合在一些进行乘法运算. 【答案与解析】 解：201020102010=(32)32)(32)(32)32)32)132)3 2.⋅⋅⎡⎤=⋅⋅⎣⎦=⋅=原式【总结升华】本题的求解用到了积的乘方的性质，乘法运算律，平方差公式及根式的性质，是一道综合运算题型.6 已知2231,12x x x x=-+求.【答案与解析】 解：2231,1=30,(1)1313331=3x x x xx x x =+∴->∴=--++==原式当时，原式【总结升华】化简求值时要注意x 的取值范围，如果未确定要注意分类讨论. 举一反三【高清课堂:二次根式 高清ID 号：388065关联的位置名称：计算技巧6-7】 【变式】已知a b +=-3, ab =1,求ab b a +的值. 【答案】解：∵a b +=-3,ab =1，∴<0a ,<0b ，11++)=-=3ab ab a b b a ab∴原式.。
二次根式复习专题讲义(补课用)
二次根式复习专题讲义一、二次根式的概念：1.二次根式：形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
①.式子中，被开方数(式)必须大于等于零。
②.a （a ≥0）是一个非负数。
③. （a ）2＝a （a ≥0）；2a =a （a ≥0）2.二次根式的乘： ①.一般的，有a·b＝a b．（a ≥0，b ≥0）②. 反过来，有ab ＝a ×b( a ≥ 0 ，b ≥ 0 )3.二次根式的除：①. 一般地，对二次根式的除法规定：ab=a b（a ≥0，b>0）， ②. 反过来，a b=a b（a ≥0，b>0）4. 二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
典型例题分析：例1. 下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x、x （x>0）、0、42、-2、1x y+、x y +（x ≥0，y •≥0）．分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0。
解：二次根式有：2、x （x>0）、0、-2、x y +（x≥0，y ≥0）；不是二次根式的有：33、1x、42、1x y+。
例2.当x 是多少时，23x ++11x +在实数范围内有意义？ 分析：要使23x ++11x +在实数范围内有意义，必须同时满足23x +中的≥0和11x +中的x+1≠0．解：依题意，得23010x x +≥⎧⎨+≠⎩由①得：x ≥-32由②得：x ≠-1当x ≥-32且x ≠-1时，23x ++11x +在实数范围内有意义。
变式题1：当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，•31x -才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x ≥13当x ≥13时，31x -在实数范围内有意义．变式题2：①.当x 是多少时，23x x++x 2在实数范围内有意义？解：依题意得：2300x x +≥⎧⎨≠⎩，320x x ⎧≥-⎪⎨⎪≠⎩∴当x>-32且x≠0时，23xx+＋x2在实数范围内没有意义。
二次根式全章复习讲义
知识点一 二次根式的概念和性质 【知识梳理】一、二次根式概念1.二次根式：一般地，我们把形如(a ≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 二、二次根式的性质1.a ≥0，（a ≥0）；2. （a ≥0）；3..【典例精讲】类型一、二次根式的概念1下列各式中，一定是二次根式的有（ ）个．A.2B.3C.4D.5举一反三：【变式】下列式子中二次根式的个数有（ ）. （1）13；（2）3-； （3）21x -+；（4）38； （5）21()3-；（6）1x -（1x >）A ．2 B.3 C.4 D.52. x 取何值时，下列函数在实数范围内有意义？（1）1y x =-； （2）y=2+x －x 23-；举一反三：【变式】下列格式中，一定是二次根式的是（ ）. A. 23- B. ()20.3- C. 2- D. x类型二、二次根式的性质3. 计算下列各式：232()4-⨯-2(3.14)π-(1) (2)举一反三：【变式】（1）2)252(-=_____________. （2）2)2(2a a ---=_____________.4.已知实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简：22||()||a a c c b b -++---|．举一反三：【变式】若整数m 满足条件22(1)1,,5m m m +=+<且则m 的值是___________.【巩固练习】一．选择题1要使代数式有意义，则x 的（ ）.A. 最大值是23 B ．最小值是23 C. 最大值是32 D. 最小值是322. 若1a <,化简2(1)-1=a - ( ).A.2a -B.2a -C.aD.a - 3.下列说法正确的是（ ）A ．4是一个无理数B ．函数11y x =-的自变量x 的取值范围是x ≥1C ．8的立方根是2± D.若点(2,)-3)P a Q和点（b ，关于x 轴对称，则a b +的值为5. 4. 若a 不等于0，a 、b 互为相反数，则下列各对数中互为相反数的一对数是( ). A.与B.与C.与D.与5.下列根式是最简二次根式的是（ ）. A ．8 B ．24x y + C ． D ．6. 已知，化简二次根式的正确结果为（ ）.A.B. C.D.二. 填空题7.当x______时，式子x -在实数范围有意义；当x_______时，式子2x -在实数范围有意义.8.=____________. 若，则____________.9．（1）2)53(-=_____________. （2）9622++-a a a （a>0）=__________________________.10.求值（1）已知a 、b 满足，解关于x 的方程（a+2）x+b 2=a ﹣1．（2）已知x 、y 都是实数，且，求y x的平方根．知识点二二次根式的乘除法计算化简一、二次根式的乘法及积的算术平方根：（≥0，≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被1.乘法法则a b开方数相乘.二、二次根式的除法及商的算术平方根：（≥0，>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相1.a b除.。
二次根式全章复习
二次根式全章复习一． 教学衔接二． 教学内容知识点一：二次根式的概念及意义考点１：二次根式的概念：一般地，形如a （ａ≥０）的式子叫做二次根式，其中“”叫做二次根号，ａ叫做被开方数。
考点２．二次根式的非负性：当ａ＞０时，a 表示ａ的算术平方根，因此a ＞０；当ａ＝０时，a 表示０的算术平方根，因此a ＝０，所以a （ａ≥０）总是非负数，即a ≥０。
例１．下列各式中，是二次根式的是（ ） Ａ．34 Ｂ．35）（- Ｃ．a Ｄ．21 例２．下列各式中，是二次根式的有（ ）① x ；②2；③12+x ；④兀；⑤4；⑥39；⑦35-；⑧72；⑨100-． Ａ．３个 Ｂ．４个 Ｃ．５个 Ｄ．６个规律小结：判断一个式子是不是二次根式，要看它是否同时具备两个特征： （１）带有二次根号“”； （２）被开方数为非负数。
例3.根式3-x 中ｘ的取值范围是（ ） Ａ．ｘ≥3 Ｂ．ｘ≤3 Ｃ．ｘ＜3 Ｄ．ｘ＞3例4.若2-a ＋3-b ＝０，则ａ2－２ｂ＝．例5.已知ｙ＝52-x ＋x 25-＋３，则２ｘｙ的值为（ ）Ａ．－１５ Ｂ．１５ Ｃ．－215 Ｄ．215 规律小结：二次根式中涉及两类非负数问题： （１）二次根式a 中被开方数ａ必须是一个非负数，即ａ≥０； （２）二次根式a （ａ≥０）本身的值也是一个非负数，即a ≥０（ａ≥０）．随堂练习：1.当ｘ为何值时，下列二次根式在实数范围内有意义？（１）24-x ； （２）x 3-； （３）x 58-；（４）1222+x ； （５）52--x ； （６）x x 2+．2.使式子2x -有意义的未知数ｘ有（ ）Ａ．０个 Ｂ．１个 Ｃ．２个 Ｄ．无数个3.下列式子122++x x ，22+x ，x ，33，5-，9，３2中，哪些是二次根式？4.1+x ＋（ｙ－２０１３）2＝０，则ｘy ＝．5.若ｘ，ｙ为实数，且ｙ＝x x 4312-+＋3412-+x x ＋１，求ｘ＋ｘｙ＋ｘ2ｙ的值。
《二次根式复习课》课件
简化表达式
利用二次根式的性质和运 算法则，简化复杂的代数 表达式。
解方程
利用二次根式解一元二次 方程或二元一次方程组。
不等式求解
利用二次根式求解一元二 次不等式。
二次根式在实际问题中的应用
计算实际问题中的数值
解决概率和统计问题
利用二次根式解决一些实际问题，如 物体运动、速度、加速度等。
利用二次根式解决一些概率和统计问 题，如方差、标准差等。
二次根式的加减法
01
总结词
掌握二次根式的加减法规则
02 03
详细描述
二次根式的加减法需要先将根号内的数进行加减运算，再将根号外的系 数进行加减运算。如果根号内的数是相同的，可以直接相加或相减其系 数。
举例
$sqrt{5} + sqrt{5} = 2sqrt{5}$，$sqrt{5} - sqrt{5} = 0$，$sqrt{10} + 2sqrt{10} = 3sqrt{10}$。
二次根式的简化
总结词
描述二次根式的简化方法
1. 化简二次根式
通过因式分解、平方差公式等 方法，将复杂的二次根式化简 为简单的形式。
2. 合并同类项
将二次根式中的同类项进行合 并，简化表达式。
3. 分母有理化
对于分母含有二次根式的式子 ，通过有理化分母的方法，将
式子转化为更简单的形式。
02 二次根式的运算
二次根式的混合运算
总结词
掌握二次根式的混合运算规则
详细描述
二次根式的混合运算需要按照先乘除后加减的顺序进行，同时需要注意运算优先级，如括号、指数等。在运算过程中 ，需要注意化简和合并同类项。
举例
$(sqrt{5} + 2)^2 = (sqrt{5})^2 + 2 times 2sqrt{5} + 4 = 5 + 4sqrt{5} + 4 = 9 + 4sqrt{5}$， $3sqrt{10} times frac{sqrt{5}}{2} = frac{3sqrt{10} times sqrt{5}}{2} = frac{15}{2}$。
二次根式复习课件
近似计算的意义：在实际问题中，有时需要计算二次根式的近似值 近似计算的方法：可以通过泰勒级数展开、牛顿迭代法等方法进行近似计算 近似计算的精度：根据实际需要选择合适的近似计算方法，以提高计算精度 近似计算的应用：在工程、物理、化学等领域，二次根式的近似计算有着广泛的应用
概念：二次根 式的无理数表 示是指将二次 根式转化为无
相似三角形：二次根式在相 似三角形中的应用
圆周率：二次根式在圆周率 中的应用
测量：测量距离、 角度等
计算：计算面积、 体积等
工程：建筑、机 械等工程计算
科学：物理、化 学等科学计算
解方程：二次根式方程的求解 求值：二次根式的值域和取值范围 证明：二次根式的不等式证明 应用：二次根式在几何、代数、概率等领域的应用
化简技巧：利用平 方差公式、完全平 方公式等技巧进行 化简
同分母二次根式加减法：将分母化为相同，再相加或相减 异分母二次根式加减法：将分母化为相同，再相加或相减 带分数二次根式加减法：将带分数化为假分数，再相加或相减 混合二次根式加减法：将二次根式化为最简二次根式，再相加或相减
二次根式的乘法：将两个二次根式 的被开方数相乘，根指数不变
二次根式的乘方：将二次根式乘方， 根指数变为原来的2倍
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二次根式的除法：将两个二次根式 的被开方数相除，根指数不变
二次根式的开方：将二次根式开方， 根指数变为原来的1/2倍
乘法运算：将两个二次根式化 为最简二次根式后，再进行乘 法运算
减法运算：将两个二次根式化 为最简二次根式后，再进行减 法运算
根
二次根式的几 何意义是表示 一个数的平方
根
二次根式的几 何意义是表示 一个数的平方
二次根式复习专题讲义(补课用)汇总
二次根式复习专题讲义(补课用)汇总二次根式复专题讲义一、二次根式的概念：1.二次根式：形如 $\sqrt{a}$ （$a\geq 0$）的式子叫做二次根式，也称为二次根号。
①.式子中，被开方数(式)必须大于等于零。
②.$a$（$a\geq 0$）是一个非负数。
即$\sqrt{a^2}=a$（$a\geq 0$）；③。
$\sqrt{a^2}=|a|$（$a$为任意实数）2.二次根式的乘：①.一般的，有$\frac{a}{b}\cdot\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=\frac{a\sqrt{b}}{b}$（$a\geq 0$，$b>0$）②.反过来，有$\frac{a\sqrt{b}}{b}=\sqrt{ab}$（$a\geq 0$，$b>0$）3.二次根式的除：①.一般地，对二次根式的除法规定：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\cdot\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{ab}}{b}$（$a\geq 0$，$b>0$），即 $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a\geq 0$，$b>0$）②.反过来，$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a\geq 0$，$b>0$）4.二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
典型例题分析：例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、$\frac{1}{x}$、$\sqrt{x}$（$x>0$）、$\sqrt{42}$、-2、$\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$（$x\geq 0$，$y\geq 0$）．例2.当$x$是多少时，$\frac{2x+3}{x+1}$在实数范围内有意义？frac{3x-1}{x+2}$在实数范围内有意义？变式题2：①.当$x$是多少时，$\frac{\sqrt{x-2}}{x-1}$有意义？例3.①.已知$y=\frac{2x+3}{x^2}$在实数范围内有意义，求$x$的取值范围和$y$的值．②.若$a+1+\frac{1}{b-1}=0$，求$a^{2004}+b^{2004}$的值．③.已知$\frac{x-y+1}{x-3}=0$，求$xy$的值．例4.计算：1.$\left(\frac{3}{2}\right)^2$2.$\left(\frac{3\sqrt{5}}{2}\right)^2$3.$\left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right)^2$4.$\left(\frac{5}{\sqrt{3}}\right)^2$5.$\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2$6.$\left(\frac{7}{\sqrt{2}}\right)^2$7.$\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2$例5.计算：1.$\frac{(x+1)^2}{x^2}$（$x\geq 0$）2.$\frac{a^2}{a^2+2a+1}$3.$\frac{a^2}{a^2-2a+1}$4.$\frac{9}{25}+\frac{4}{9}$变式题：计算1.$\left(-\frac{3}{2}\right)^2$2.$(23^2-32^2)$例6.在实数范围内分解下列因式:1）$x^2-3$（2）$x^4-4$（3）$2x^2-3$例7.化简：1）$\frac{9}{\sqrt{25}}$2）$(-4)^2$3）$\frac{a^2}{25}$（$a\neq 0$）4）$(-3)^2$例8.填空：当$a\geq 0$时，$\sqrt{a^2}=$ $a$；当$a<0$时，$\sqrt{a^2}=$ $-a$，并根据这一性质回答下列问题．1）若$a^2=a$，则$a$可以是什么数？2）若$a^2=-a$，则$a$可以是什么数？3）若$a^2>a$，则$a$可以是什么数？例9.当$x>2$，化简$(x-2)^2-(1-2x)^2$．例10．先化简再求值：当$a=9$时，求$a^2+1-2a$的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+(1-a)^2=a+1-2a+a^2=1+a-a^2乙的解答为：原式=a+(1-a)^2/(1-a)^2=a+1-a=1；a+(a-1)/(1-a)=2a-1=17．两种解答中，甲的解答是错误的，错误的原因是少写了一步展开式子的步骤．变式题1．根据题目条件，得到|1995-a|+a-2=a，即|1995-a|=a-2，因为a-200≥-199，所以当a≥197时，1995-a为正数，此时a-1995=|1995-a|=a-2-1995=-1993-a；当a<197时，1995-a为负数，此时a-1995=|1995-a|=1995-a-2=1993+a，综上所述，a-1995的值为-1993-a（a≥197）或1993+a（a<197）。
二次根式全章复习与巩固——知识讲解(教案)
《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（基础）【学习目标】1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】【要点梳理】要点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式，如13,,0.02,02等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式a 有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2）；（3）.要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2a =（0a ≥），如2221122););)33x x ===（0x ≥）. （2）2a a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 2a .（3a ，再根据绝对值的意义来进行化简.（42的异同a 可以取任何实数，而2中的a 必须取非负数；a ，2=a （0a ≥）.相同点：被开方数都是非负数，当a 2.3. 最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.次根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.显然是同类二次根式. 要点二、二次根式的运算 1. 乘除法（1）乘除法法则： 类型 法则逆用法则二次根式的乘法0,0)a b =≥≥积的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥≥二次根式的除法0,0)a b ≥>商的算术平方根化简公式：0,0)a b=≥>要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如=（2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.≠. 2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如23252(135)22+-=+-=-. 【典型例题】类型一、二次根式的概念与性质1． 当________时，二次根式3x -在实数范围内有意义. 【答案】x ≥3.【解析】根据二次根式的性质，必须3x -≥0才有意义.【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有0a ≥时a 才是二次根式. 举一反三【变式】①242x x =-成立的条件是 . ②2233x x x x--=--成立的条件是 . 【答案】① x ≤0；(2422x x x x ==-∴≤0.)② 2≤3x <.(20,30,x x -->∴≥2≤3x <)2． x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)； (2).【答案】（1）;（2）.【解析】(1) 要使在实数范围内有意义，则必有∴当时，在实数范围内有意义；(2) 要使在实数范围内有意义，则必有∴当时，在实数范围内有意义；【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有0a ≥时a 才是二次根式. 举一反三： 【变式】已知，求的值.【答案】根据二次根式的意义有将代入已知等式得3．当0≤x <1时，化简21x x +-的结果是__________.【答案】 1.【解析】因为x ≥0，所以2x =x ；又因为x <1,即x -1<0,所以1(1)1x x x -=--=-，所以21x x +-=x +1-x =1.【总结升华】利用二次根式的性质化简二次根式，即2a =a ，同时联系绝对值的意义正确解答. 举一反三【变式】（2015春•大冶市期末）已知﹣=2，则+的值为_____________． 【答案】5. 解：∵﹣=2，∴=+2，两边平方得，25﹣x 2=4+15﹣x 2+4，∴2=3，两边平方得4（15﹣x 2）=9， 化简，得x 2=，∴+=+=5．故答案为：5．4.（2016•柘城县校级一模）把1a a--中根号外的因式移到根号内的结果是( ). A ．a - B ．a - C ．a -- D ．a 【答案】A.【解析】由二次根式的意义知10a-> ，则0a < ()211a a a a a--=-⨯-=-. 【总结升华】在利用二次根式性质化简时，要注意其符号，要明确a 是非负数，反过来将根号外的因式移到根号内时，也必须向里移非负数。
二次根式的讲义
专题一 二次根式【知识点1】二次根式的概念：一般地，我们把形如)0(0≥≥a a 的式子叫做二次根式。
二次根式的实质是一个非负数数a 的算数平方根。
【注】二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a 必须是非负数。
例1 以下各式1〕22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________〔填序号〕． 例2 使x ＋1x-2有意义的x 的取值范围是〔 〕 A ．x ≥0 B ．x ≠2 C ．x>2 D ．x ≥0且x ≠2． 例3 假设y=5-x +x -5+2021，那么x+y=练习1使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是〔 〕 A 、x>3 B 、x ≥3 C 、 x>4D 、x ≥3且x ≠4练习2假设11x x ---2()x y =+，那么x －y 的值为〔 〕A ．－1B ．1C ．2D ．3例4 假设230a b -+-=，那么 2a b -= 。
例5 在实数的范围内分解因式：X 4 - 4X 2+ 4= ________ 例6 假设a 、b 为正实数，以下等式中一定成立的是〔 〕： A 、a 2 +b 2 =a 2+b 2 ； B 、〔a 2+b 2〕2 =a 2+b 2； C 、〔 a + b 〕2= a 2+b 2； D 、〔a —b 〕2 =a —b ；【知识点2】二次根式的性质：〔1〕二次根式的非负性，)0(0≥≥a a 的最小值是0；也就是说〔〕是一个非负数，即0〔〕。
注：因为二次根式〔〕表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数〔〕的算术平方根是非负数，即0〔〕，这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如假设，那么a=0,b=0；假设，那么a=0,b=0；假设，那么a=0,b=0。
二次根式专题复习课件 (共21张PPT)
次 根
三个性质 2 ab a ba 0,b 0
式
3
a b
a
(a 0,b 0)
b
四种运算
加 、减、乘、除
二次根式的概念
１．二次根式的定义：形如 a（a 0）的式子
叫做二次根式
２．二次根式的识别：（１）被开方数 a 0
（２）根指数是２
例．下列各式中哪些是二次根式？ 那些不是？为什么？
练习与反馈：
1．要使下列式子有意义，求字母Ｘ
的取值范围
1（１） 3 x（２） Nhomakorabea2x 5
（３） 1 x （４） x 2 2 x
x
（５） x2 2x 1
2．（１） ( 3)2 ____
（２）当 x 1 时， (1 x)2 ____ （３） (x 2)2 x 2
则Ｘ的取值范围是＿＿＿
八年级下册
二次根式专题复习
杉川 备课组
考点复习目标：
1. 知道二次根式有关概念，能正确做出相关判断。 2.明确二次根式的性质，并灵活运用计算。 3.掌握二次根式的概念及性质解题。
知识重难点：
运用二次根式概念及性质解决相关问题。
知识结构
三个概念
二次根式 最简二次根式 同类二次根式
二
1 a 0 （ａ 0）
4.已知： x 4 + 2x y =0,求 x-y 的值.
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0 解得 x=4,y=-8
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
5.(2016.湖北黄冈市)已知x,y为实数,且
x 1 +3(y-2)2 =0,则x-y的值为( D )
A.3
B.-3
二次根式复习课件
举例
例如，化简√8可以将其拆分为 √(4×2)，然后利用根式的乘法性 质得到2√2。
注意事项
在化简过程中，需要注意确保结果 是最简形式，即无法继续化简。
02
二次根式的运算
加减运算
合并同类项
将二次根式下的相同项进 行合并，简化表达式。
根式化简
通过移项、合并同类项等 手段，将复杂的二次根式 化简为简单的形式。
开方与乘方的互逆关系
开方和乘方是数学中的两个基本运算，它们之间存在互逆关系。 开方运算可以理解为乘方的逆运算，即求一个数的平方根相当于求该数的逆运算。
开方和乘方的互逆关系在数学证明和计算中经常用到，是数学中的一个重要概念。
THANKS
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性质
01
02
03
非负性
由于a是非负实数，因此 二次根式的值总是非负的 。
根式的唯一性
对于任何非负实数a，其 平方根是唯一的。
根式的运算性质
二次根式具有运算性质， 如√a^2=|a|， √(ab)=√a√b(a≥0,b≥0) 等。
根式的简化
化简方法
化简二次根式的方法包括提取公 因数、分母有理化、合并同类项
几何问题中的应用
勾股定理的应用
利用勾股定理和二次根式的性质，解决与直角三 角形相关的几何问题。
面积与周长的计算
利用二次根式计算各种形状的面积和周长。
几何图形的性质
理解二次根式在几何图形中的应用，如圆的面积 、圆柱体和圆锥体的体积等。
05
二次根式的注意事项
负数开平方的合理性
实数范围内，负数没有平方根， 但在复数范围内，负数可以开平
根式与常数的加减
在进行二次根式的加减运 算时，需要注意与常数的 乘法与除法的混合运算
二次根式全章复习讲义
二次根式复习提纲知识点一：二次根式的概念【知识要点】 二次根式的定义： 形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．【典型例题】【例11xx>0）、1x y +（x ≥0，y ≥0）．其中是二次根式的是_________（填序号）．举一反三：1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） ABCD【例2有意义，则x 的取值范围是举一反三：1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ）A 、x>3B 、x ≥3C 、 x>4D 、x ≥3且x ≠43、如果代数式mn m 1+-有意义，那么，mn 的取值范围【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=解题思路：式子a ≥0），50,50x x -≥⎧⎨-≥⎩ 5x =，y=2009，则x+y=2014举一反三：1、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值2、当a 1取值最小，并求出这个最小值。
知识点二：二次根式的性质【知识要点】1. 非负性：a a ()≥0是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．2.()()a a a 20=≥． 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥()()23.a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．4. 公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a a a 20=≥的区别与联系（1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数． （2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数． （3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的．【典型例题】【例4】若()2240a c --=，则=+-c b a ．举一反三：1、若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 。
《二次根式》复习
《二次根式》复习二次根式教学目标1. 理解二次根式的意义和基本性质，并能熟练的化简含二次根式的式子。
2. 熟练的进行二次根式的加、减、乘、除混合运算。
重难点重点：含二次根式的式子的混合运算。
难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子。
教学过程设计一、知识点复习1、三个概念：二次根式；最简二次根式；同类二次根式2、三个性质： 双重非负性)0(0≥≥a a ；())0(a 2≥=a a ； 3、两个公式： ；4、四种运算：二次根式的加、减、乘、除运算。
a =2a )0,0(a ≥≥•=b a b a b )0,0(>≥=b a b a b a二、精讲精练的值。
能够合并，求与、如果最简二次根式，你写的是是同类二次根式的式子、请你写出一个与a a 2-178-a 3382xx x a a x --+-+-3156a 445x -34的取值范围：、求下列二次根式中有意义，则、若有意义。
时，、当。
的值为则、若y y x x 21x 3,31344x 372-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---少？的值最小，最小值是多取何值时，、当3198++x x ),()7(;12)6(;1)5()4(;)0(1)3(;7)2(;1x -1122232同号）（二次根式？、判断下列各式哪些是b a ab m m x ax x +-+≠-()012221412250)2(5.02313814482719-+-++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---÷）（、计算：三、小结1、二次根式的式子的混合运算。
2、综合运用二次根式的性质及运算法则化简。
求值。
值，代入化简后的式子的适化简，然后自选一个合）先将（、化简求值x 22211023xx x x x -÷--()()()2222211:,2---+-++a b b a b a b a 置如图所示，试化简在数轴上对应的点的位）已知实数（的值。
求）已知（x y y y x y x +-=+=x ,5,6xy 3。
二次根式及其运算知识讲义(解析版)
专题01 二次根式及其运算知识讲义【相关概念】二次根式：a≥0）的式子叫做二次根式.a为被开方数，a可以是数字或代数式.代数式：含有字母的数学表达式称为代数式.整式、分式均为代数式.最简二次根式：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.【二次根式运算】乘法=a≥0，b≥0）除法=（a≥0，b ＞0）加（减）法先把各根式化成最简根式，再合并同类根式分母有理化====【二次根式性质】，a≥0非负数：|a|，a 2n()()00a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩2a =【二次根式应用】因式的内移和外移：（1）负号不能移到根号下；（2）根号下的负号不能移到根号外.【题型一】二次根式有意义条件例1. （2020·m 能取的最小整数值是（）A ．m = 0B ．m = 1C ．m = 2D ．m = 3【答案】B.3m －1≥0，解得：m≥13， 所以，m 能取的最小整数值是1．故答案为：B ．例2. （2020·=-，那么x 的取值范围是_______． 【答案】－3≤x≤0.【解析】解：∵233x x +-∴x≤0，且x+3≥0，解得：－3≤x≤0，故答案为：－3≤x≤0.例3．（2019·=x 的取值范围是______. 【答案】x≥2.=∴x≥0，x−2≥0，∴x≥2.故答案为：x≥2.【题型二】同类二次根式例4. （2020·是同类二次根式，那么满足条件的m 中最小正整数是________．【答案】4.【解析】解：当5m+8=7时，m=-15，不合题意，，即5m+8=28时，m=4，是同类二次根式，那么m 的最小正整数是4，故答案为：4．例5. mn =_________．【答案】10.∴n=2，2m-5=5，∴m=5，n=2∴mn=10故答案为：10．例6. mn＝________．【答案】21.∴1221343nm m-=⎧⎨-=-⎩，解得，73mn=⎧⎨=⎩，∴mn=21故答案为：21.【题型三】变式考查例7. （2020·浙江宁波市期中）我们把形如b（a，b为最简二次根式）32是（）A型无理数B C型无理数D型无理数【答案】B.【解析】解：2故答案为：B．例8. （1n所有可能的值；（2是整数，求正整数n的最小值．【答案】（1）自然数n 的值为2、9、14、17、18；（2）正整数n 的最小值为6．【解析】解：（1是整数，∴18-n=0或1或4或9或16，解得：n=18或17或14或9或2，则自然数n 的值为2，9，14，17，18；（2=是整数，n 为正整数，∴正整数n 的最小值为6．例9．（2020·21x =-，则x=__________． 【答案】12或1.21x =-，∴2x-1=0或2x-1=1，解得：x=12或x=1． 故答案为12或1． 【题型四】二次根式运算例10．（2020·周长为( )A ．B ．C ．D ．无法确定【答案】A.若，，则周长为若，∴，此三角形不存在，∴个三角形的周长为故答案为：A ．例11)2211-．)2211--1313=--+-=例12．（2020·福建省泉州月考）已知1x =，x 的整数部分为a ，小数部分为b ，求a b的值．.【解析】解：∵3，∴+1<4，故a=3，－2，∴)3232274a b ====-. 例13．（2020·广东佛山市月考）先阅读，再解答:由222=-= 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：==，请完成下列问题：1的有理化因式是；(2)= ．（直接写结果）>或<）(4)利用你发现的规律计算下列式子的值：)1+【答案】（1+1；（2）；（3）<；（4）2017.【解析】解：（1+1；（2333==+；（3=>（4）原式=)120181+=)11=2018-1=2017．例14. 若a，b都是正整数，且a＜b是可以合并的二次根式，是否存在a，b，＝a，b的值；若不存在，请说明理由．【答案】当a＝3，b＝48；当a＝12，b＝27.，m、n为正整数，m＜n，∴m=1，n=4或m=2，n=3故a=3，b=48或a=12，b=27．例15．（2019·辽宁大连市期中）[观察]请你观察下列式子的特点，并直接写出结果：11112=+-=；11123=+-=；11134=+-=；……[发现]根据你的阅读回答下列问题：（1）请根据上面式子的规律填空：=（n为正整数）；（2）请证明(1) 中你所发现的规律．[应用]请直接写出下面式子的结果：11n++=．【答案】[观察]32，76，1312；[发现]（1）1111n n+-+或221n nn n+++；（2）证明见解析；[应用]221n nn++．【解析】[观察]32，76，1312，[发现]（1）1111n n+-+或221n nn n+++（2）左边=====∵n 为正整数，∴()11111011n n n n +-=+>++ ∴左边=右边[应用11n +++111111111111223341n n =+-++-++-+++-+…… 1111n n =⨯+-+ 1n n n =++ 22=1n n n ++. 【题型五】化简求值例16. （2021·江苏南通市期末）化简2+的结果是（ ） A ．152x -B ．1-C ．27x -D ．1 【答案】A.【解析】解：∵二次根式被开方数为非负数，∴7-x≥0，则x≤7∴x-8＜0，原式=7-x+8-x=15-2x故答案为：A ．例17．（2020·浙江杭州期中）实数a ，b 在数轴上的位置如图，||a b -的结果为（ ）A ．2aB ．2a -C ．2bD ．2b -【答案】B.【解析】解：由题意得：a ＞b ，|a |＜|b |，a ＞0，b ＜0，∴a -b ＞0，a +b ＜0，∴原式＝-a -b -a +b ＝-2a ，故答案为：B ．例18．若数轴上表示数x 的点在原点的左边，则化简3x + ） A ．4x - B ．4x C ．2x - D ．2x【答案】C.【解析】解：∵数x 的点在原点的左边，∴x ＜0，∴原式＝|3x +|x ||＝|3x -x |＝|2x |＝-2x ．故答案为：C ．例19．（2020·温州月考）下列四个式子中，与(a -的值相等的是（） AB ．CD ．【答案】D.【解析】解：由题意得：2021-a>0，得：a<2021，∴a-2021<0，∴原式=(2021a --== 故答案为：D ． 例20．下列给出的四个命题：①若a b = ，则a a b b =；②若a 2﹣5a+5=01a =- ；③(1a -=其中是真命题是【答案】②.【解析】解：①当a=-1，b=1时，命题不成立，是假命题，②a 2=5a-5，∴5a-5≥0，即a≥1，，是真命题；③(a -==，是假命题， 故答案为：②．【题型六】阅读材料例21．（2021·北京延庆区期末）我们规定用（a ，b ）表示一对数对．给出如下定义：记m=，n = a ＞ 0，b ＞ 0），将（m ，n ）与（n ，m ）称为数对（a ，b ）的一对“对称数对”．例如：（4，1）的一对“对称数对”为（12，1）和（1，12）； （1）数对（9，3）的一对“对称数对”是 ；（2）若数对（3，y ）的一对“对称数对”相同，则y 的值为 ；（3）若数对（x ，2）的一个“对称数对”，1），则x 的值为 ；（4）若数对（a ，b ）的一个“对称数对”，，求ab 的值．【答案】（1）1(3与1)3， ；（2）13；（3）1 ；（4）16或6.【解析】解：（1）由题意得13=，∴数对(9，3)的一对“对称数对”是1(3与1)3，；（2）由题意得，∴数对(3，y ）的一对“对称数对”为⎝与⎭， ∵数对(3，y ）的一对“对称数对”相同，= ∴y=13；（3）∵数对(x ，2)的一对“对称数对”是与而数对(x ，2)的一个“对称数对”，1）， 1=， ∴x=1；（4）∵数对(a ，b)的一对“对称数对”是与，而数对(a ，b)的一个“对称数对”是，==1,183a b == ∴11863ab =⨯=；==1,318a b ==， ∴113186ab =⨯=，综上所述，16ab =或6ab =． 例22. 阅读理解：二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．．11==． 类比应用：（1= ； （29++=+ ． 拓展延伸：的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD 的宽AB =1． （1）黄金矩形ABCD 的长BC = ；（2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB 为边的正方形ABEF ，得到新的矩形DCEF ，猜想矩形DCEF 是否为黄金矩形，并证明你的结论；（3）在图②中，连结AE ，则点D 到线段AE 的距离为 ．【答案】类比应用：（1）；（2）2；拓展延伸：（1）12；（2）矩形DCEF为黄金矩形，理由见解析；（3【解析】解：类比应用：（1）根据题意可得：== （2）根据题意可得：9++(9+++19-+-1=2；拓展延伸：（1的矩形叫黄金矩形， 若黄金矩形ABCD 的宽AB =1，则黄金矩形ABCD 的长BC； （2）矩形DCEF 为黄金矩形，理由是：由裁剪可知：AB=AF=BE=EF=CD=1，根据黄金矩形的性质可得：AD=BC=1=∴FD=EC=AD-AF=112-=12，∴DF EF =11122÷=，故矩形DCEF 为黄金矩形；（3）连接AE ，DE ，过D 作DG ⊥AE 于点G ，∵AB=EF=1，，∴=在△AED 中，S △AED =1122AD EF AE DG ⨯⨯=⨯⨯，即AD EF AE DG ⨯=⨯1DG =，解得∴点D 到线段AE 的距离为4+. 例23. （2019·四川月考）阅读下列材料，然后回答问题．一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：====1以上这种化简的步骤叫做分母有理化．②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 a +b =2，ab = -3 ，求 a 2 + b 2 ．我们可以把a +b 和ab 看成是一个整体，令 x =a +b ， y = ab ，则 a 2 + b 2 = (a + b)2 - 2ab = x 2- 2y = 4+ 6=10．这样，我们不用求出a ，b ，就可以得到最后的结果．（1...+（2）已知 m 是正整数， ab且 2a 2+ 1823ab + 2b 2 = 2019 ．求 m ． （31=【答案】（1）12；（2）2；（3）9. 【解析】解：（1）原式12019+2222=+++2019++== （2）∵ab∴=2（2m+1），=1∵2a 2+ 1823ab + 2b 2 = 2019∴2（a 2+b 2）+1823=2019∴a 2+b 2=98∴4（2m+1）2=100∴m=2或m=-3∵m是正整数∴m=2．（31=，得：21=20=2281=-+=0≥≥．例24.（2020·湖南怀化市期末）同学们，我们以前学过完全平方公式222)2(a ab b a b ±+=±，你一定熟练掌握了吧！现在，我们又学习了二次根式，那么所有的非负数（以及0）都可以看作是一个数的平方，如23=，25=，下面我们观察：)2221211213=-⨯=-=-23211)-=-=，∴231)-=1= 求：（1；（2（3=，则m 、n 与a 、b 的关系是什么？并说明理由．【答案】（11；（21；（3）m+n=a ，mn=b ，理由见解析.【解析】解：（11；（21==；（3）m+n ＝a ，mn ＝b.=∴2a =+，∴，∴m+n ＝a ，mn ＝b.例25．（2020·安徽安庆市）阅读理解题，下面我们观察：2221)211213=-⨯=-=-反之23211)-=-=，所以231)-=1= 完成下列各题：（1）在实数范围内因式分解：（2（3．【答案】（1）2(1+；（21；（3【解析】解：（1）22231(1+=+=+（21==（3==。
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a(a 0) |a| a(a 0)
注意：（1）字母不一定是正数．
（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算
术平方根代替．
（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是
负的，应把负号留在根号外．
4. 公式
a2
|
a|
a(a 0) a(a 0)
与
(
a )2 a(a 0) 的区别与联系
a
1 0 1 2
）
（A）x 为任意实数 （B）1≤x≤4 （C） x≥1
（D）x≤1
举一反三：若代数式 (2 a)2 (a 4)2 的值是常数 2 ，则 a 的取值范围是（ ）
Ａ． a≥ 4 Ｂ． a ≤ 2
Ｃ． 2≤a ≤4
Ｄ． a 2 或 a 4
【例 9】如果 a a 2 2a 1 1 ，那么 a 的取值范围是（
a
a
【例 7】如果表示 a，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－b│
+ (a b)2 的结果等于（ ）
A．－2b
B．2b
C．－2a
D．2a
b ao
精品
.
举一反三：实数 a 在数轴上的位置如图所示：化简： a 1 (a 2)2 ______ ． 【例 8】化简 1 x x2 8x 16 的结果是 2x-5，则 x 的取值范围是（
（公式 ( a )2 a(a 0) 的运用）
【例 5】 化简： a 1 ( a 3)2 的结果为（ ）
A、4—2a B、0 C、2a—4 D、4
举一反三：
精品
.
x 1 在实数范围内分解因式: 2 3 =
； m4 4m2 4 =
x4 9 __________, x2 2 2x 2 __________
A、x>3
B、x≥3
C、 x>4
x 2、使代数式 2 2x 1 有意义的 x 的取值范围是
．[来源:学*科*网 Z*X*X*K] D 、x≥3 且 x≠4
精品
.
3、如果代数式 m 1 有意义，那么，直角坐标系中点 P（m，n）的位置在（ ） mn
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
1、若 m 3 (n 1)2 0 ，则 m n的值为
。
2、已知 x, y 为实数，且 x 1 3y 22 0 ，则 x y 的值为（ ）
A．3
B．– 3 C．1
D．– 1
3、已知直角三角形两边 x、y 的长满足｜x2－4｜＋ y 2 5y 6 ＝0，则第三边长为＿
＿＿＿＿＿.
4、若 a b 1 与 a 2b 4 互为相反数，则 a b 2005 _____________ 。
.
二次根式
知识点一：二次根式的概念 【知识要点】
二次根式的定义：形如
非负数时， 才Biblioteka 意义．【典型例题】的式子叫二次根式，其中 叫被开方数，只有当 是一个
【例 1】下列各式 1） 1 , 2) 5,3) x2 2, 4) 4,5) ( 1)2 , 6) 1 a, 7) a2 2a 1 ，
5
3
其中是二次根式的是_________（填序号）．
）
A. a=0 B. a=1 C. a=0 或 a=1 D. a≤1
举一反三：
1、如果 a a2 6a 9 3成立，那么实数 a 的取值范围是（ ） A.a 0B.a 3; C.a 3; D.a 3
【例 3】若 y= x 5 + 5 x +2009，则 x+y=
解题思路：式 子
a
（a≥0），
x 5
5 x
0 0
,
x 5 ，y=2009，则 x+y=2014
举一反三：
1、若 x 1 1 x (x y)2 ，则 x－y 的值为（ ）
A．－1 B．1 C．2 D．3
2、若 x、y 都是实数，且 y= 2x 3 3 2x 4 ，求 xy 的值
A．-3
B．3 或-3
C．3
D．9
2、已知 a<0，那么│ a2 －2a│可化简为（ ）
A．－a
B．a
C．－3a
D．3a
3、若 2 a 3，则 2 a2 a 32 等于（ ）
A. 5 2a B. 1 2a C. 2a 5 D. 2a 1
4、若 a－3＜0，则化简 a2 6a 9 4 a 的结果是（
2 化简： 3 3 1 3
3 已知直角三角形的两直角边分别为 2 和 5 ，则斜边长为
（公式
a2
a
a(a a(a
0) 0)
的应用）
【例 6】已知 x 2 ,则化简 x2 4x 4 的结果是
A、 x 2
B、 x 2
C、 x 2
举一反三：
D、 2 x
1、根式 (3)2 的值是( )
3、当 a 取什么值时，代数式 2a 1 1取值最小，并求出这个最小值。
已知 a 是 5 整数部分，b 是 5 的小数部分，求 a 1 的值。 b2
若 3 的整数部分是 a，小数部分是 b，则 3a b
。
若
17
的整数部分为
x，小数部分为
y，求
x2
1 y
的值.
知识点二：二次根式的性质
【知识要点】
）
(A) －1
(B) 1
(C) 2a－7
(D) 7－2a
5、化简 4x2 4x 1
2
2x 3 得（
）
（A） 2 （B） 4x 4 （C）－2 （D） 4x 4
a2 2a 1
6、当 a＜l 且 a≠0 时，化简 a 2 a ＝
．
4 (a 1)2 4 (a 1)2
7、已知 a 0 ，化简求值：
（1） a 2 表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数． （2） ( a ) 2 表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数．
（3） a 2 和 ( a ) 2 的运算结果都是非负的．
【典型例题】
【例 4】若 a 2 b 3 c 42 0，则 a b c
．
举一反三：
1. 非负性： a (a 0) 是一个非负数． 经常用到．
注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中
2. ( a )2 a(a 0) ． 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把
精品
. 任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：
精品
.
a ( a )2 (a 0)
3.
a2
举一反三：
1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A、 a B、 10 C、 a 1
a D、 2 1
2、在 a 、 a2b 、 x 1 、 1 x2 、 3 中是二次根式的个数有______个
【例 2】若式子 1 有意义，则 x 的取值范围是 x3
举一反三：
1、使代数式 x 3 有意义的 x 的取值范围是（ ） x4