函数及其图象
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函数及其图象
知识点索引
基础知识 题型分类
易错警示
要点梳理 基础自测
题型一 确定自变量的取值范围 题型二 根据函数关系式求自变量的值、
函数值 题型三 确定实际背景下的函数关系式
11.函数自变量的取值范围不可忽视
要点梳理
基础知识·自主学习
1. 常量、变量 在某一过程中，保持一定数值不变的量叫做__常__量____； 可以取不同数值的量叫做__变__量____．
2. 函数 一般地，设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果 对于x的每一个确定的值，y都有__唯__一____确定的值与 它对应，那么就说x是_自__变__量___，y是x的__函__数____．
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要点梳理
基础知识·自主学习
3. 函数自变量的取值范围 函数中自变量的取值往往受到某种限制，自变量能取 的数的全体称作自变量的取值范围．由解析式给出的 函数，自变量取值范围应使解析式有意义．
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基础自测
基础知识·自主学习
3. (2014天水)如图，扇形OAB动点P从点A出发，沿 、线
段BO、OA匀速运动到点A，则OP的长度y与运动时间t之
间的函数图象大致是
( D)
A.
B.
C.
D.
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基础自测
Hale Waihona Puke Baidu
基础知识·自主学习
4.(2014哈尔滨)早晨，小刚沿着通往学校唯一的一条路(直 路)上学，途中发现忘带饭盒，停下往家里打电话，妈妈 接到电话后带上饭盒马上赶往学校，同时小刚返回，两人 相遇后，小刚立即赶往学校，妈妈回家，15分钟妈妈到家， 再经过3分钟小刚到达学校，小刚始终以100米/分的速度 步行，小刚和妈妈的距离y(单位：米)与小刚打完电话后 的步行时间t(单位：分)之间的函数关系如图，下列四种 说法：
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要点梳理
基础知识·自主学习
(3)图像法：用图象来表示一个变量与另一个变量之间函 数关系的方法． 函数的变化情况和某些性质在图象上能够很直观地显 示出来，我们通常借助函数的图象来探索函数的性 质．其缺点在于从图象上找自变量与函数的对应值一 般只是近似的，且只能反映出变量间关系的一部分而 不是全体． 函数的三种表示法各有优缺点，我们常常各取其长， 综合运用这三种方法来研究有关函数问题．
解析 ①由图可知打电话时，小刚和妈妈的距离为1250 米，所以是正确的； ②打完电话后5分钟两人相遇后，小刚立即赶往学校，妈 妈回家，15分钟妈妈到家，再经过3分钟小刚到达学校， 经过5＋15＋3＝23分钟小刚到达学校，所以是正确的；
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基础自测
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1. (2014 济宁)函数 y＝x＋x1中的自变量 x 的取值范围是
(A )
A. x≥0
B. x≠－1
C. x＞0
D. x≥0 且 x≠－1
解析 根据题意得：x≥0且x＋1≠0，解得x≥0. 故选A.
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2. (2014 滨州)下列函数中，图象经过原点的是 ( A )
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要点梳理
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4. 函数的图象 一般地，对于一个函数，如果把自变量x与函数y的每对 对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描 出这些点，用光滑曲线连接这些点所组成的图形，就是 这个函数的___图__象___．
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5. 函数的表示方法 函数通常有三种表示方法：__解__析__法____；__列__表__法____； __图__象__法____．
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①打电话时，小刚和妈妈的距离为1250米；
②打完电话后，经过23分钟小刚到达学校；
③小刚和妈妈相遇后，妈妈回家的速度为150米/分；
④小刚家与学校的距离为2550米．
其中正确的个数是
()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
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(1)函数解析式如果是一个整式，则自变量可以取_____ ___全__体__实__数____；
(2)如果函数解析式中的分母含有自变量，则自变量的取 值范围是___使__分__母__的__值__不__等__于_零__的__所__有__实__数_____；
(3)如果函数解析式中含有二次根式，则自变量的取值范 围是___使__被__开__方__式__的__值__为__非__负__数__的__所__有__实__数____．
故选A.
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3. (2014天水)如图，扇形OAB动点P从点A出发，沿 、线
段BO、OA匀速运动到点A，则OP的长度y与运动时间t之
间的函数图象大致是
()
A.
B.
C.
D.
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解析 点P在弧AB上时，OP的长度y等于半径的长度，不变； 点P在BO上时，OP的长度y从半径的长度逐渐减小至0； 点P在OA上时，OP的长度从0逐渐增大至半径的长度． 纵观各选项，只有D选项图象符合．故选D.
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(1)解析法：用等式来表示一个变量与另一个变量之间 的函数关系的方法，这个等式成为函数的解析式． 解析法简单明了，能使我们从解析式了解整个变化 过程中函数与自变量之间的全部相依关系，适合于 作理论分析和计算、推导．许多定律、法则都用解 析式(即公式)来表示．但在求对应值时，需要逐个 计算，有时是很麻烦的，且有不少函数很难或者无 法用解析式表示出来．
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(2)列表法：用表格形式来表示一个变量与另一个变量之 间函数关系的方法． 列表法对于表中已有的自变量每一个值，可以直接找 到对应的函数值，它适用于计算函数值很麻烦或很难 找到函数关系式的情况．缺点是不能把自变量与函数 的全部对应值都列出来，而且从表格中也不易看出自 变量与函数之间的对应规律．
A. y＝3x
B. y＝1－2x
4 C. y＝x
D. y＝x2－1
解析 因为函数的图象经过原点(0，0)，所以将点
(解0，析0)依因次为代函入数各的选图项象的经函过数原解点析(0式，进0)行，一所一以验将证点(0，0)依
即次可代．入各选项的函数解析式进行一一验证即可．
4 y＝x的图象是双曲线，不经过原点，故 C 错误．故选 A.
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易错警示
要点梳理 基础自测
题型一 确定自变量的取值范围 题型二 根据函数关系式求自变量的值、
函数值 题型三 确定实际背景下的函数关系式
11.函数自变量的取值范围不可忽视
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1. 常量、变量 在某一过程中，保持一定数值不变的量叫做__常__量____； 可以取不同数值的量叫做__变__量____．
2. 函数 一般地，设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果 对于x的每一个确定的值，y都有__唯__一____确定的值与 它对应，那么就说x是_自__变__量___，y是x的__函__数____．
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3. 函数自变量的取值范围 函数中自变量的取值往往受到某种限制，自变量能取 的数的全体称作自变量的取值范围．由解析式给出的 函数，自变量取值范围应使解析式有意义．
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3. (2014天水)如图，扇形OAB动点P从点A出发，沿 、线
段BO、OA匀速运动到点A，则OP的长度y与运动时间t之
间的函数图象大致是
( D)
A.
B.
C.
D.
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4.(2014哈尔滨)早晨，小刚沿着通往学校唯一的一条路(直 路)上学，途中发现忘带饭盒，停下往家里打电话，妈妈 接到电话后带上饭盒马上赶往学校，同时小刚返回，两人 相遇后，小刚立即赶往学校，妈妈回家，15分钟妈妈到家， 再经过3分钟小刚到达学校，小刚始终以100米/分的速度 步行，小刚和妈妈的距离y(单位：米)与小刚打完电话后 的步行时间t(单位：分)之间的函数关系如图，下列四种 说法：
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(3)图像法：用图象来表示一个变量与另一个变量之间函 数关系的方法． 函数的变化情况和某些性质在图象上能够很直观地显 示出来，我们通常借助函数的图象来探索函数的性 质．其缺点在于从图象上找自变量与函数的对应值一 般只是近似的，且只能反映出变量间关系的一部分而 不是全体． 函数的三种表示法各有优缺点，我们常常各取其长， 综合运用这三种方法来研究有关函数问题．
解析 ①由图可知打电话时，小刚和妈妈的距离为1250 米，所以是正确的； ②打完电话后5分钟两人相遇后，小刚立即赶往学校，妈 妈回家，15分钟妈妈到家，再经过3分钟小刚到达学校， 经过5＋15＋3＝23分钟小刚到达学校，所以是正确的；
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1. (2014 济宁)函数 y＝x＋x1中的自变量 x 的取值范围是
(A )
A. x≥0
B. x≠－1
C. x＞0
D. x≥0 且 x≠－1
解析 根据题意得：x≥0且x＋1≠0，解得x≥0. 故选A.
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2. (2014 滨州)下列函数中，图象经过原点的是 ( A )
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4. 函数的图象 一般地，对于一个函数，如果把自变量x与函数y的每对 对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描 出这些点，用光滑曲线连接这些点所组成的图形，就是 这个函数的___图__象___．
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5. 函数的表示方法 函数通常有三种表示方法：__解__析__法____；__列__表__法____； __图__象__法____．
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①打电话时，小刚和妈妈的距离为1250米；
②打完电话后，经过23分钟小刚到达学校；
③小刚和妈妈相遇后，妈妈回家的速度为150米/分；
④小刚家与学校的距离为2550米．
其中正确的个数是
()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
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(1)函数解析式如果是一个整式，则自变量可以取_____ ___全__体__实__数____；
(2)如果函数解析式中的分母含有自变量，则自变量的取 值范围是___使__分__母__的__值__不__等__于_零__的__所__有__实__数_____；
(3)如果函数解析式中含有二次根式，则自变量的取值范 围是___使__被__开__方__式__的__值__为__非__负__数__的__所__有__实__数____．
故选A.
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3. (2014天水)如图，扇形OAB动点P从点A出发，沿 、线
段BO、OA匀速运动到点A，则OP的长度y与运动时间t之
间的函数图象大致是
()
A.
B.
C.
D.
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解析 点P在弧AB上时，OP的长度y等于半径的长度，不变； 点P在BO上时，OP的长度y从半径的长度逐渐减小至0； 点P在OA上时，OP的长度从0逐渐增大至半径的长度． 纵观各选项，只有D选项图象符合．故选D.
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(1)解析法：用等式来表示一个变量与另一个变量之间 的函数关系的方法，这个等式成为函数的解析式． 解析法简单明了，能使我们从解析式了解整个变化 过程中函数与自变量之间的全部相依关系，适合于 作理论分析和计算、推导．许多定律、法则都用解 析式(即公式)来表示．但在求对应值时，需要逐个 计算，有时是很麻烦的，且有不少函数很难或者无 法用解析式表示出来．
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(2)列表法：用表格形式来表示一个变量与另一个变量之 间函数关系的方法． 列表法对于表中已有的自变量每一个值，可以直接找 到对应的函数值，它适用于计算函数值很麻烦或很难 找到函数关系式的情况．缺点是不能把自变量与函数 的全部对应值都列出来，而且从表格中也不易看出自 变量与函数之间的对应规律．
A. y＝3x
B. y＝1－2x
4 C. y＝x
D. y＝x2－1
解析 因为函数的图象经过原点(0，0)，所以将点
(解0，析0)依因次为代函入数各的选图项象的经函过数原解点析(0式，进0)行，一所一以验将证点(0，0)依
即次可代．入各选项的函数解析式进行一一验证即可．
4 y＝x的图象是双曲线，不经过原点，故 C 错误．故选 A.