函数及其图象
八 函数及其图象
八函数及其图象一、平面直角坐标系（一）平面直角坐标系如图，在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系．其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O(即公共的原点)叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面．为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，编号如下图所示．注意：x轴和y轴上的点不属于任何象限．坐标平面是由两条坐标轴和四个象限构成的．也就是说坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴、y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限．在这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点(原点)外，其它区域之间均没有公共点．（二）点的坐标的概念点的坐标用()ba,表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒．平面内点的坐标是有序实数对，当ba≠时，()bb,是两个不同a,和()a 点的坐标．注意：数轴上的点与实数是一一对应的，而对于坐标平面内任意一点M，都有唯一的一对有序实数(x，y)和它对应；对于任意的一对有序实数(x，y)，在坐标平面内都有唯一的点M和它对应．也就是说，坐标平面的点与有序实数对是一一对应的．（三）不同位置的点的坐标的特征1、各象限内点的坐标有如下特征(如右图所示)：点P(x，y)在第一象限⇔x>0，y>0。
点P(x，y)在第二象限⇔x<0，y>0．点P(x，y)在第三象限⇔x<0，y<0．点P(x，y)在第四象限⇔x>0，y<0．2、坐标轴上的点有如下特征：点P(x，y)在x轴上⇔y为0，x为任意实数．点P(x，y)在y轴上⇔x为0，y为任意实数．点P(x，y)既在x轴上，又在y轴上⇔x、y同时为零，即点P坐标为()0,0．3、两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征：点P(x，y)在第一、三象限的夹角平分线上⇔x与y相等．点P (x ，y )在第二、四象限的夹角平分线上⇔x 与y 互为相反数． 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特点： 位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同；位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同．5、关于x 轴、y 轴或原点对称的点的坐标特征：点P 与点'P 关于x 轴对称⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数．点P 与点''P 关于y 轴对称⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数． 点P 与点'''P 关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数．（四） 点到坐标轴及原点的距离点(),P x y 到坐标轴及原点的距离(如图)：(1)点P (x ，y )到x 轴的距离等于|y |；(2)点P (x ，y )到y 轴的距离等于|x |；(3)点P (x ，y )到原点的距离等于22y x +． 二、 函数（一） 函数及其相关概念1、在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量． 注意：变量和常量往往是相对的，相对于某个变化过程．在不同研究过程中，作为变量与常量的身份是可以相互转换的．2、一般的，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数．3、用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式．例如，代数式vt ，2x -1，22-+x x ，x1，3-x 等等都是函数解析式．其中用数学式表示函数的方法叫做解析法．4、使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做函数的自变量的取值范围．5、对于自变量在取值范围内的一个确定的值，如当x =a 时，函数有唯一确定的对应值，这个对应值，叫做当x =a 时的函数值，简称函数值．注意：(1)当函数是由一个解析式表示时，欲求函数值，实质就是求代数式的值．(2)当已知函数解析式，又给出函数值，欲求相应的自变量的值时，实质就是解方程． (3)当已知函数值的一个取值范围，欲求相应的自变量的取值范围时，实质就是解不等式．（二） 函数的三种表示法及其优缺点1、解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数学运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法．解析法简单明了，能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的相依关系，但求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，而且在实际问题中，有的函数关系不一定能用解析式表达出来． 2、列表法把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法．如平方表、平方根表等．列表法一目了然，表格中已有自变量的每一个值，不需计算就可以直接查出与它对应的函数值，使用起来很方便，但列表法有局限性，因为列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数之间的对应规律． 3、图象法用图象表示函数关系的方法叫做图象法．图象法形象直观，通过函数的图象，可以直接、形象地把函数关系表示出来，能够直观地研究函数的一些性质，例如函数有没有最大值(或最小值)？最大(小)值是多少？函数值是随自变量增大而增大，还是随自变量的增大而减小等等，函数图象是研究函数性质的有力工具．但是，由图象观察只能得到近似的数量关系．三、函数的图象（一）函数图象的概念：1、对于一个函数，如果把自变量x 和函数y 的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图象． 2、由函数解析式画其图象的一般步骤：（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连结起来． 3、函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系：由函数图象的定义可知图象上任意一点()y x P ,中的x ，y 是解析方程的一个解，反之，以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数的图象上．4、通常，判定点是否在函数图象上的方法是：将这个点的坐标代入函数解析式，如果满足函数解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数解析式，这个点就不在其函数的图象上．反之亦然．注意：两个函数图象的交点，就是这两个函数解析式所组成的方程组的解．即求交点坐标，就是解方程组． 四、一次函数（一） 正比例函数和一次函数的概念1、一般的，如果b kx y +=(b k ,是常数，0≠k )，那么y 叫做x 的一次函数．2、特别的，当一次函数b kx y +=中的b 为0时，kx y =(k 为常数，0≠k )．这时，y 叫做x 的正比例函数．3、一般情况下，一次函数和正比例函数中自变量的取值范围是全体实数． 注意：若0=k ，则b y =(b 为常数)，这样的函数叫做常函数，它不是一次函数．正比例函数是一次函数的特例，一次函数包含正比例函数．用集合表示正比例函数与一次函数的关系如图所示： （二）正比例函数和一次函数的图象和性质1、一次函数的图象：所有一次函数的图象都是一条直线．一次函数b kx y +=的图象，也称作直线b kx y +=． 2、一次函数、正比例函数图象的主要特征：一次函数b kx y +=的图象是经过点(0，b )的直线；正比例函数kx y =的图象是经过原点(0，0)的直线．注意：点(0，b )是直线b kx y +=与y 轴的交点．当b >0时，此交点在y 轴的正半轴上；当b <0时，此交点在y 轴的负半轴上；当0=b 时，此交点在原点，此时的一次函数就是正比例函数．3、因为一次函数解析式b kx y +=中的b 决定直线b kx y +=与y 轴交点的位置，所以通常把b 叫做直线b kx y +=在y 轴上的截距．4、正比例函数的性质:一般的，正比例函数kx y =有下列性质：(1)当k >0时，图象经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大； (2)当k <0时，图象经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小． 5、一次函数的性质:一般的，一次函数b kx y +=有下列性质： (1)当k >0时，y 随x 的增大而增大； (2)当0<k 时，y 随x 的增大而减小．（三） 两条直线的位置关系设直线1l 和2l 的解析式为11b x k y +=和22b x k y +=，则它们的位置关系可由其系数确定： 相交与2121l l k k ⇔≠；平行与212121l l b b k k ⇔⎩⎨⎧≠=；重合与212121l l b b k k ⇔⎩⎨⎧==． （四） 正比例函数和一次函数解析式的确定1、确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kx y =(0≠k )中的常数k ．确定一个一次函数， 需要确定一次函数定义式b kx y +=(0≠k )中的常数k 和b ．解这类问题的一般方法是待定系数法．先设出式子中的未知系数，再根据已知条件列出方程(组)求出未知系数，从而写出这个式子的方法叫做待定系数法．其中的未知数系数也称为待定系数．如正比例函数kx y =中的k ，一次函数b kx y +=中的k 和b ，都是待确定的系数． 2、用待定系数法求函数解析式的一般步骤： ①设出含有待定系数的函数解析式；②把已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程(组)； ③解方程(组)，求出待定系数；④将求得的待定系数的值代回所设的解析式． 五、二次函数（一）二次函数的概念1、一般的，如果)0,,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，那么，y 叫做x 的二次函数． 注意：(1)任何一个二次函数的解析式，都可以化成)0,,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数的形式，因此，把)0,,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数叫做二次函数的一般式．(2)二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 与一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有密切联系，如果将变量y 换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次方程了．(3)二次函数c bx ax y ++=2的结构特征是：等号右边是关于自变量x 的二次多项式． 2、二次函数常用的表达式为：(1)一般式：c bx ax y ++=2(0≠a )．(2)顶点式：k h x a y +-=2)((0≠a )，其中abac k ab h 44,22-=-=．(3)两根式：)0)()((21≠--=a x x x x a y ，其中21,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标．如果没有交点，则不能这么表示．（二） 二次函数的性质和图象1、二次函数的图象是一条关于ab x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线．2、抛物线的几个主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点．3、画二次函数的图象通常采用简化了的描点法——五点法，其步骤是：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴；(2)求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点；4、当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A 、B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D ．将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图象． 5、当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D ．由C 、M、D 三点可粗略地画出二次函数的草图．如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图象． 6、二次函数c bx ax y ++=2的性质：（三）二次函数解析式的确定1、二次函数的解析式有三种形式：(1)一般式：)0,,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数； (2)顶点式：k h x a y +-=2)()0,,,(≠a k h a 是常数；(3)当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次方程02=++c bx ax 有实数根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解公式=++c bx ax 2()()21x x x x a --，二次函数cbx axy ++=2可转化为两根式()()21x x x x a y --=．2、要确定二次函数解析式，就是要确定解析式中的待定系数(常数)，由于每一种形式中都含有三个待定系数，所以用待定系数法求二次函数的解析式，需要已知三个独立条件． 3、当已知抛物线上任意三点时，通常设函数解析式为一般式c bx ax y ++=2，然后列出三元一次方程组求解．4、当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设函数解析式为顶点式k h x a y +-=2)(求解．5、当已知抛物线与x 轴有交点且知道交点的横坐标时，通常设函数解析式为两根式()()21x x x x a y --= 求解．注意：求函数解析式的问题，如果是采用顶点式或两根式求解，那么求得的解析式，最后要化为一般式．（四） 二次函数的最值1、如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值)，即当ab x 2-=时， ab ac y 442-=最值．2、如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看ab 2-是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当ab x 2-=时，abac y 442-=最值；若不在此范围内，则需考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性．如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大；当2x x =时，c bx ax y ++=222最小．六、反比例函数（一） 反比例函数的概念一般的，函数)0(≠=k k xk y 是常数，叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成1-=kxy 的形式．自变量x 的取值范围是0≠x 的一切实数，函数y 的取值范围也是一切非零实数．（二）反比例函数的图象和性质1、反比例函数的图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称．由于反比例函数中自变量0≠x ，函数0≠y ，所以，它的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．2、反比例函数图象的画法(描点法)： (1)列表：自变量的取值，应以0为中心，沿0的两边取三对(或三对以上)互为相反数的数； (2)描点：先描出一侧，另一侧可根据中心对称点的性质去找；(2)连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸．注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交．3、反比例函数的性质：(1)描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内” ，也就是说，研究反比例函数的增减性，只能在每个分支所在的象限内讨论，尽管这两个分支的增减情况一样，但笼统的合在一起说就会出现矛盾，就会导致错误．(2)反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由比例系数k 的符号决定的．反过来，由双曲线所在位置或函数的增减性，也可以推断出k 的符号．如，已知双曲线xk y =在第二、四象限，则可知k <0．（三） 反比例函数解析式的确定确定解析式的方法仍是待定系数法．由于在反比例函数xk y =中，只有一个待定系数，因此只需要一 对对应值或图象上一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式．（四） 反比例函数中比例系数的几何意义如图，过反比例函数)0(≠=k x k y 图象上任一点P 作x 轴、y 轴的垂线PM 、PN ，则所得的矩形PMON的面积xy x y PN PM S =⋅=⋅=．xky =， k xy =∴．kS =∴．即过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得的矩形面积为k ．。
(完整版)六大基本初等函数图像及其性质
六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数）y =C（其中C 为常数）；α1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。
1(3.（选，补充）指数函数值的大小比较*N ∈a ；a.底数互为倒数的两个指数函数x a x f =)(，xa x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1)(的函数图像关于y 轴对称。
b.1.当1>a 时，a 值越大，xa y =的图像越靠近y 轴；b.2.当10<<a 时，a 值越大，x a y =的图像越远离y 轴。
4.指数的运算法则（公式）；a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥；(1) n m n m a a a +=⋅(2)nm n m aa a -=÷(3)()()mn nm n m aa a ==(4) ()nnnba ab =b.根式的性质； (1)()a a nn= ； (2)当n 为奇数时，a a nn =当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0(0)(a a a a a a nnc.分数指数幂；(1))1,,,0(*>∈>=n Z n m a a a n m nm(2))1,,,0(11*>∈>==-n Z n m a a aanmnm nm yxf x xxx g ⎪⎫⎛=1)(四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a )，定义域),0(+∞∈x [无界]1.对数的概念：如果a(a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是 N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式。
函数及其图象函数的图像平面直角坐标系
有些函数图像可能关于原点对称，这种对称性称为奇函数的特性。
函数图像的顶点坐标
极值点
当函数在某点的一阶导数为零，二阶导数为负时，该点为函数的极小值点，极小 值点坐标为（x，f（x））。
拐点
当函数在某点的一阶导数为零，二阶导数为正时，该点为函数的拐点，拐点的坐 标为（x，（f（x）））。
04
记作y=f(x)，其中f是函数的符号，x是自变量，y是因变量。
函数的表示方法
解析法
用数学形式（解析式）表示函数关系的方法 。
图象法
用图象表示函数关系的方法。
表格法
用表格表示函数关系的方法。
函数的分类
常量函数
因变量的值只与自变量的值无关的函数。
线性函数
因变量的值与自变量的值成正比或反比的函数。
幂函数
因变量的值是自变量的幂的函数。
指数函数
因变量的值是自变量的指数的函数。
对数函数
因变量的值是自变量的对数的函数。
三角函数
因变量的值是自变量正弦、余弦、正切等三角函数的函 数。
02
平面直角坐标系
坐标系的建立
通过定义原点和正方向，以及单位长度，在平面上建立坐标系。 固定x轴和y轴的方向，确定横轴和纵轴的长度单位。
常见函数的图像
正比例函数
总结词：直线
详细描述：正比例函数图像为一条直线，其解析式为$y=kx$，其中$k$为常数。 当$k>0$时，直线经过一、三象限，$y$随$x$的增大而增大；当$k<0$时，直线 经过二、四象限，$y$随$x$的增大而减小。
反比例函数
总结词：双曲线
详细描述：反比例函数图像为双曲线，其解析式为$y= \frac{k}{x}$，其中$k$为常数。双曲线与坐标轴不相交 ，且分布在第一、第三象限。当$k>0$时，双曲线的两 支分别位于第一、第三象限，$y$随$x$的增大而减小 ；当$k<0$时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限 ，$y$随$x$的增大而增大。
函数及其图象PPT课件
s
s
s
s
t
t
O
O
A
B
O
t
C
t
O D
3、（09湖州市）如图，一只蚂蚁从 O 点出发，沿着扇形 OAB 的边缘匀速
爬行一周，设蚂蚁的运动时间为 t ，蚂蚁到 O 点的距离为 S ，则 S 关于 t 的函数图象大致为（ C ）
A
S
S
S
S
O
O
tO
tO
tO
t
第（3）题
B
A.
B.
C.
D.
4、(09内江市)打开某洗衣机开关（洗衣机内无水），在洗涤衣服时，洗衣机 经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗
（2）（09大连）函数y x 2 中，自变量x的取值范围是 ( D )
A．x < 2 B．x ≤2 C．x > 2 D．x≥2
x x 2
（3）（09哈尔滨）函数y＝
的自变量 的取值范围是_____________．
x2
x （4）（09齐齐哈尔）函数 y x 的自变量 的取值范围是_x_≥_0_且__x_≠1 ___． x 1
5000
4000 3000 2000
乙
甲
A
1000
O
5
10 15
20 x(分)
(3)解: x 15 时，甲的路程是: 25015 5000 1250 米，
乙的路程是2000米， 两人相距：2000 — 1250 = 750米
在15＜x＜20的时段内， 乙速：2000÷（20 — 15）= 400 米/分 两人速度之差： 400 — 250 = 150米/分
热身练习：
函数及其图象函数的图像函数的图象
2023函数及其图象•函数的基本概念•函数的图像•不同类型函数的图像目录•函数图像的应用•函数图像的艺术01函数的基本概念设x和y是两个变量，D是一个给定的集合，在D上有唯一确定的y值与x对应，则称y是x的函数，记作y=f(x)。
集合D称为函数的定义域，x称为自变量，y称为因变量。
函数的定义函数的表示方法图象法用图象表示函数，如f(x)=x^2的图象为开口向上的抛物线。
表象法用表格表示函数，如t=sin(x)。
解析法用等式表示函数，如y=2x+1。
函数的分类•常数函数：f(x)=c(c为常数)•一次函数：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0)•二次函数：f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)•反比例函数：f(x)=k/x(k为常数，k≠0)•幂函数：f(x)=x^a(a为常数)•指数函数：f(x)=a^x(a为常数，a>0且a≠1)•对数函数：f(x)=log_a x(a为常数，a>0且a≠1)•复合函数：f(x)=u(x)+g(x)，其中u和g都是简单函数。
02函数的图像1函数图像的概念23将函数表达式中自变量与因变量之间的关系用图形表示出来。
函数图像在平面直角坐标系中，以横轴表示自变量，纵轴表示因变量。
坐标系根据函数表达式的性质，图像呈现不同形状，如直线、曲线、折线等。
函数图像的形状描点法根据函数表达式，求出一些自变量对应的因变量值，然后在坐标系上描出对应的点，最后用平滑的曲线或直线将这些点连接起来。
图示法利用计算器或编程语言，直接在计算机上绘制出函数图像。
绘制函数图像的方法函数图像的变换伸缩将函数图像按比例进行缩放，可以是横向或纵向。
平移将函数图像沿横轴或纵轴方向移动一定距离。
翻折将函数图像以某一条直线或点为对称中心进行翻折。
复合变换以上变换可以同时进行，也可以多次进行。
旋转将函数图像按一定角度顺时针或逆时针旋转一定角度。
03不同类型函数的图像线性函数一次函数的图像是直线，表达式为$y=kx+b$，其中$k$是斜率，$b$是截距。
函数及其图象函数的图像平面直角坐标系
旋转变换是指将图形绕原点进行旋转，这种变换不改变图形的大小和形状。旋转变换可以 用矩阵表示，其中矩阵的元素表示旋转的角度和方向。
二维坐标系及其应用
二维坐标系定义
在平面上，通过两个相互垂直的坐标轴， 可以确定平面上任意一点的位置。这种由 两个相互垂直的坐标轴组成的坐标系称为 二维坐标系。
VS
THANKS
3
函数可以用数学表达式、图像或表格等方式来 表示。
函数的性质
函数具有单值性， 即对于每个输入值 ，只有一个输出值 与之对应。
函数的性质还包括 奇偶性、单调性、 周期性等。
函数还具有封闭性 ，即函数的输出值 与输入值的关系不 受外界干扰。
函数的分类
根据函数的定义域和值域的关系，函数可以分为单射函数、 满射函数和双射函数。
确定需要考察的函数表达式，例如y = x^2 + 2x + 1。
连接点
用平滑的曲线连接这些点。
选择x值
选择一系列x值，例如x = -5, -4, -3, ..., 5 。
描点
在平面直角坐标系上，以(x, y)的形式描出 每一个点。
计算y值
将每个x值代入函数表达式，计算对应的y 值。
插值法绘制函数图像
01
02
输入函数表达式
在绘图软件中输入需要绘制的函数表 达式。
03
设定x值范围
设定x值的范围，例如x = -5 to 5。
调整图像参数
可以调整图像的颜色、线型、坐标轴 范围等参数，以更好地展示函数的特 点。
05
04
绘制图像
使用绘图软件的相应功能，绘制函数 图像。
04
函数图像的分析与应用
函数的极值与最值
函数及其图象
4、已知a是整数，点A（2a+1，2+a）在第二象限内， 则a= -1 ，
2、函数自变量的取值范围 （只要使式子有意义）
函数形式
自变量的取值范围
整式
全体实数
分式
分母不为零的实数
二次根式
被开方数≥0
实际问题
使实际问题有意义
1、函数y＝ x 3中自变量的取值范围是 x≥3且x≠4
用水量（吨） 不超过10吨 超过10吨
水费（元） 每吨1．2元 超过的部分按每吨1.8元收费
（1）该市某户居民5月份用水x吨（x＞10），
应交水费y（元）表示为
1、 点的位置及其坐标特征:
y
①.各象限内的点:
Q(0,b) Q(b,-b) C(m,n)
②.各坐标轴上的点:
(-,+)
M(a,b)
(+,+)
P(a,0)
o
x
N(a,-b()-,-)
(+,-)
③.各象限角平分线上的点:
D(-m,-n) P(a,a)
A(x,y)
B(-x,y)
④.对称于坐标轴的两点:
x 1 4
2．函数y= A．x≠0
Bx．x1＞的1自变C量．xx的≥1取值范D．围x是＞（0
B
）
3、已知等腰三角形的周长为10cm，将底边长y(cm)表示成腰长 x(cm)的函数关系式是y＝10－2x，则其自变量x的取值范围是：
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⑤.对称于原点的两点:
1、点P（-3， 3 ）到x轴的距离是 3 ，
到y轴的距离是 3 ，到原点的距离是 2 3 。
八年级第十七章《函数及其图象》知识点
.精品文档.八年级第十七章《函数及其图象》知识点八年级第十七《函数及其图象》知识点（2）一、一次函数（一）一次函数的概念：形如y=kx+b （其中k工0）,两个特征：①k工0，②x的次数为1正比例函数的概念：当b=0时的一次函数成为正比例函数，此时称y与x成正比例【注意】两个变量成正比例，即y=kx.例题1、若函数y=（-1）x|| 是一次函数，则=.2、若y-1与x+3成正比例，且当x=1时，y=2，求y与x 的函数关系式.（二）一次函数的图象及其性质：y=kx+b （" 0）1、一次函数的图象是一条直线，故使用待定系数法求直线解析式时一般需要两个点.特殊直线：直线y=x或直线y= -x上的点到两坐标轴距离相等.2、一次函数的性质（与系数k、b相关）① k决定着函数的增减性当k > 0时，y随x的增大而增大（增函数），必过第一三象限当k v 0时，y随x的增大而减小（减函数），必过第二四象限② b决定着直线与y轴交点的位置：在原点的基础上“上加下减”当b=0时，必过原点；当b>0时，沿y轴向上平移；当b v 0时，沿y轴向下平移.补充口诀：上加下减改变b, y=kx+b —y=kx+b+左加右减改变x, y=kx+b —y=k（x+）+b③斜率k的性质：平移k不变；|k|越大，直线的倾斜程度越大；k=【可用于待定系数法求解析式中的k 1④截距b的性质：与y轴交点（0, b）,与x轴交点（, 0）⑤四种特殊位置关系的直线：两直线平行k相等；两直线相互垂直--> k1 • k2= -1 ；两直线关于x轴对称--> k与b均互为相反数；两直线关于y轴对称k互为相反数，b相等.⑥点（x0, y0）到直线ax+by+=0的距离d公式：d=（三）一次函数的应用1、解题关键：点的坐标，尤其是交点的坐标三种交点：①与x轴交点，y坐标为0,即（x, 0）②与y轴交点，x坐标为0,即（0, y）③两个图象的交点：联立解析式，方程组的解即为交点的x坐标和y坐标2、解题思路：①与三角形全等、直角三角形、面积、周长、线段有关的问题均转化为点的坐标【数形结合很重要，注意运用“全等（含对称）、勾股定理、等面积法（含同底等高）”等知识】②求函数解析式（含求函数值或自变量的值）均用待定系数法，其中k、b注意利用性质求得.【待定系数法思路：几个未知系数，就用几个条件构造方程】③比较大小的三种方法：【含两种方案的比较问题】代入计算法（对函数解析式已知的题目适用）增减性分析法（对k的符号已知的适用）图象分析法（对能画出大致图形的适用，借助交点和坐标轴分析）④最值问题（如最大利润）：先求出自变量的取值范围（常以“有几种方案”的问题出现，需根据题意列不等式组求出）；再列出关于利润的函数表达式（要化简整理成y=kx+b 的形式），最后根据增减性结合具体方案（自变量取值范围），找出最值.⑤行程问题（常以两车同向或相向为背景）图象交点的意义：两车相遇(或追上)两车的距离即为：s=y1-y2例题1、已知直线y=(k+2)x+k2-4 的图象经过原点，贝U k=.2、若一次函数y=(k+2)x-2k+3的图象不经过第四象限，则k的取值范围是.3、已知直线平行于直线y=2x，且与y轴交点到原点的距离为2,则该直线的解析式是.4、把直线y=-x+3向上平移个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则的取值范围是.5、函数y=ax-2与y=bx+3的图象交于x轴上的一点，则=.6、一次函数y=(3a-7)x+a-2 的图象与y轴交点在x轴上方，且y随x的增大而减小，求a的取值范围.7、正比例函数y=-kx的图象经过第一三象限，在函数y=(k-2)x 的图象上有三个点(x1 , y1 )、(x2, y2)、(x3, y3), 且x1 >x2 > x3时，贝» y1、y2、y3的大小关系为.&若直线y=kx+b交坐标轴于(-2,0) 、(0,3)两点，则不等式kx+b > 0的解集是.9、函数y= -x+3，当图象在第一象限时，x的取值范围是；当-1 < x < 3时，函数的最小值是.10、直线AB过点A (0,6 )、B (-3,0 ),直线D与直线AB相互垂直，且过点（0,1 ）.（1）求两直线的解析式；（2）求直线D与x轴的交点D 的坐标；（3）求直线AB上到y轴距离等于4的点的坐标；（4）求两直线的交点P的坐标；（5）求厶PAD的面积；（6）在y 轴上的是否存在点，使得S A PA=S^ PAD.11、点A为直线y=-2x+2上的点，点A到两坐标轴的距离相等，则点A的坐标为.12、把Rt △ AB放在平面直角坐标系中，点A （1,0 ）、点B（ 4,0 ）, / AB=90°, B=5.将厶AB沿x轴向右平移，当点落在直线y=2x-6上时，求线段B扫过的面积.13、某工厂投入生产一种机器，当该机器生产数量至少为10台，但不超过70台时，每台成本y与生产数量x之间是一次函数关系，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x （单位：台）102030y （单位：万元/台）605550（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的50取值范围；(2)市场调查发现，这种机器每月销售量z (台)与售价a (万元/台)之间满足如图所示的函数关系.该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器25台，请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润. (注：利润=售价-成本)14、现从A, B两个蔬菜市场向甲、乙两地运送蔬菜，A, B 两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A地到甲地的运费为50元/吨，到乙地的运费为30元/吨；从B地到甲地的运费为60元/吨，到乙地的运费为45元/吨.(1) 设从A地往甲地运送蔬菜x吨，请完成下表：运往甲地(单位：吨)运往乙地(单位：吨)AxB(2) 设总运费为元，请写出与x的函数关系式；(3) 共有多少种运送方案？哪种方案运费最少？15、一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1 (k),出租车离甲地的距离为y2 ( k),客车行驶时间为x ( h), y1 , y2 与x 的函数关系图象如图所示：(1)根据图象，求出y1 , y2关于x的函数关系式。
第十八章 《函数及其图像》复习资料(知识结构)(自编)
第十八章 《函数及其图象》复习资料知识结构一、函数及其图象 （一）变量与函数1.在某一变化过程中，可以取 的量，叫做变量。
取值 ，我们称之为常量。
如：圆的面积S 随半径r 的变化而变化，S 与r 是变量，π是常量。
2.表示函数的方法通常有三种：① ，② ，③ 。
（二）图形与坐标1.在平面上两条 、 且 的数轴，建立一个平面直角坐标系。
2.点的坐标（x ，y ）中，x 代表横坐标，y 代表纵坐标。
3.各象限内点的坐标符号：（如下图）4.对称两点的坐标特征（如下图）5. x 轴上点坐标表示为（x ， ），y 轴上点坐标表示为（ ，y ）6. 点P （x ，y ）到x 轴的距离是 ，到y 轴的距离是 。
7.x 轴上两点（a ，0），（b ，0）之间的距离是 或 ，y 轴上两点（0，m ），（0,n ）之间的距离是 或8.函数图象的作图方法：① ，② ，③ 。
例1：已知点P （m -1,3），（1）若点P 在第二象限，则m 的取值范围是 ， （2）当m=1时，点P 在 ，（3）当m=2时，点P 关于x 轴对称的点p 1的坐标是 ，关于y 轴对称的同为正同为负一负一正一正一负点p 2的坐标是 ，关于原点对称的点p 3的坐标是 .。
（三）函数自变量的取值范围：关键是使函数解析式有意义。
（1）当函数的解析式是整式时，自变量取 ； （2）当函数的解析式是分式时，自变量取 ； （3）当函数的解析式是偶次根式时，自变量取使 ； （4）当函数的解析式是奇次根式时，自变量取 ； （5）实际问题中，自变量的取值范围要根据实际情况而定； 注意：需要多种情况综合考虑时，注意不要遗漏。
例2：求下列函数自变量的取值范围：（1）y x =-26；（2） （3）y x =-6；（4）二、一次函数1.一次函数的概念：函数（，为常数，）叫做的一次函数。
（1）作为一次函数自变量的最高次数是1，且其系数，这两个条件缺一不可。
（2）正比例函数 （为常数，且），正比例函数是特殊的 ，2.一次函数的图像：一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）的图像是 。
第五讲 函数及其图象
第五讲 函数及其图像学习目标1、知道平面直角坐标系、函数的定义、函数的图像。
2、知道点的坐标的特征并会应用。
一、知识回顾知识点1、平面直角坐标系⑴. 坐标平面上的点与有序实数对构成一一对应； ⑵. 各象限点的坐标的符号；点的位置 横坐标符号 纵坐标符号 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限⑶. 坐标轴上的点的坐标特征．x 轴上的点______坐标为0, y 轴上的点______坐标为0. ⑷．各象限角平分线上的点的坐标特征⑴第一、三象限角平分线上的点，横、纵坐标 。
⑵第二、四象限角平分线上的点，横、纵坐标 。
⑸. 点P （a ，b ）关于⎪⎩⎪⎨⎧原点轴轴y x对称点的坐标⎪⎩⎪⎨⎧----),(),(),(b a b a b a⑹.两点之间的距离⑺.线段AB 的中点C ，若),(),,(),,(002211y x C y x B y x A 则2,2210210y y y x x x +=+=知识点2、函数的概念⑴ 常量与变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量；在某一变化过程中保持数值不变的量叫做常量．⑵ 函数：在某一变化过程中的两个变量x 和y ，如果对于x 在某一范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值和它对应，那么y 就叫做x 的函数，其中x 做自变量，y 是因变量． ⑶自变量取值范围的确定①整式函数自变量的取值范围是全体实数．②分式函数自变量的取值范围是使分母不为0的实数．22122121222111)()()()()1(y y x x P P y x P y x P -+-＝， ，，，③二次根式函数自变量的取值范是使被开方数是非负数的实数若涉及实际问题的函数，除满足上述要求外还要使实际问题有意义． ⑷)函数值：对于自变量在取值范围内的一个值所求得的函数的对应值．⑸ 函数常用的表示方法：(1)图象法：形象、直观；(2)列表法：具体、准确；(3)解析法：抽象、全面。
第十七部分 函数及其图象
第十七部分 函数及其图象第一节 函数的其础知识中考考点导航1.中考导航图解⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧孙数的图象图象法列表法解析法函数的表示法函数自变量取值范围函数概念函数不同位置点的坐标特征征坐标平面内点的坐标特平面直角坐标系的概念平面直角坐标系函数的基础知识 2.中考命题趋向本节内容是中考命题的重点内容.各象限内点的坐标符号的确定常与一次方程(组)\一元一次不等(组)相联系出现在填空题\选择题及解答题中,对所给定的函数,确定其自变量的取值范围和根据实际问题建立函数关系,几乎各省市都有题目出现,利用数形结合的思想,从阅读理解,收集信息,视图方面去考查,既考查了分析问题,解决问题的能力,又考查了探索、发现问题的能力，是对数学综合能力的考查。
中考知能梳理考点1 平面直角坐标系（1）在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴（图1-17-1），这就建立了平面直角坐标系，通常把其中水平的一条数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；两数轴的交点O 叫做坐标原点。
注意：在平面直角坐标系中，任意一点都可以用一对有序实数来表示，如图1-17-1，P 点的横坐标为3，纵坐标为2，所以P 点坐标为（3，2）。
（2）在直角坐标系中，两条坐标轴把坐标平面分成四个区域如图1-17-2，由右上角按逆针方向依次称为第一、二、三、四象限，坐标轴上的点不属于任何一个象限。
（3）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的如点（a,b ），横坐标a 写在前面，纵坐标b 写在后面。
考点2 坐标平面内点的坐标的特征（1）各象限内点的坐标的特征（如图1-17-3表示为）点P（x,y）在第一象限⇔x>0,y>0; 点P（x,y）在第二象限⇔x<0,y>0;点P（x,y）在第三象限⇔x<0,y<0;点P（x,y）在第四象限⇔x>0,y<0。
第10讲 函数及其图象
于“唯一性”可以从以下两方面理解：①从函数关
系方面理解；②从图象方面理解．
两种思想方法
(1)函数思想
研究一个实际问题时，首先从问题中抽象出特定的
函数关系，转化为“函数模型”，然后利用函数的 性质得出结论，最后把结论应用到实际问题中去， 从而得到实际问题的研究结果． (2)数形结合思想
数形结合，直观形象，为分析问题和解决问题创造
紧抓两个变量 函数中有两个变量，一个是自变量x，另一个是因 变量y，这也说明了函数关系是某一过程中的两个变 量之间的关系．在具体问题中，要结合实际意义确
定变量．如：在路程问题中s＝vt，当速度v是定值
时，s与t是变量；当时间t是定值时，s与v是变量．
正确理解“唯一” 函数概念中，“对于x的每一个值，y都有唯一确 定的值与它对应”这句话，说明了两个变量之间的 对应关系，对于x在取值范围内每取一个值，都有 且只有一个y值与之对应，否则y就不是x的函数．对
1 1．(1)(2013· 包头)函数 y＝ 中，自变量 x 的取值范围 x＋1
是( C )
A．x＞－1
B．x＜－1
C．x≠－1
D．x≠0
3－x (2)(2013· 恩施)函数 y＝ 的自变量 x 的取值范围是 x＋2
x≤3且x≠－2
．
由自变量取值求函数值 【例2】 已知y＝－2x＋4，且－1≤x＜3，求函数值y
了有利条件，如用函数图象解答相关问题是典型的 数形结合思想的应用．
x＋2 1．(2014· 内江)在函数 y＝ 中，自变量 x 的取值范围 x－1 是( A ) A．x≥－2 且 x≠1 B．x≤2 且 x≠1
C．x≠1
D．x≤－2
2．(2014·重庆)2014年5月10日上午，小华同学接到通知，她 的作文通过了《我的中国梦》征文选拔，需尽快上交该作文 的电子文稿．接到通知后，小华立即在电脑上打字录入这篇 文稿，录入一段时间后因事暂停，过了一小会，小华继续录 入并加快了录入速度，直至录入完成．设从录入文稿开始所 经过的时间为x，录入字数为y，下面能反映y与x的函数关系 的大致图象是( C )
六大基本初等函数图像及其性质
六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；常数函数（C y =）0≠C0=C平行于x 轴的直线y 轴本身 定义域R定义域R二、幂函数 αx y = ，x 是自变量，α是常数；1.幂函数的图像：2.幂函数的性质；性质函数x y =2xy =3x y =21xy =1-=x y定义域 R RR [0,+∞) {x|x ≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增[0,+∞) 增 增 增(0,+∞) 减 (-∞,0] 减(-∞,0) 减公共点（1,1）1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时xyOxy =2x y =3x y =1-=x y 21xy =O=y xCy =Oxyy在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.指数函数的性质；性质函数x a y =)1(>ax a y =)10(<<a定义域 R 值域(0，+∞) 奇偶性 非奇非偶公共点过点(0，1)，即0=x 时，1=y单调性在），（∞+∞-是增函数 在），（∞+∞-是减函数 1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。
六大基本初等函数图像及其性质
六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；二、幂函数 αy =1.幂函数的图像：3y2.幂函数的性质；1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.指数函数的性质；1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。
3.（选，补充）指数函数值的大小比较*N ∈a ；a.底数互为倒数的两个指数函数yxx a x f =)(，xa x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1)(的函数图像关于y 轴对称。
b.1.当1>a 时，a 值越大，x a y =的图像越靠近y 轴；b.2.当10<<a 时，a 值越大，xay =的图像越远离y 轴。
4.指数的运算法则（公式）；a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥；(1) nm n m a a a +=⋅ (2) n m n m a a a -=÷(3)()()mn nmnm aaa ==(4)()n n n b a ab =b.根式的性质；f xxxx g ⎪⎫ ⎛=1)(四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a )，定义域),0(+∞∈x [无界]1.对数的概念：如果a(a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是 N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式。
18 函数及其图象
第18章函数及其图象 (2)§18.1变量与函数 (2)§18.2函数的图象 (6)1. 平面直角坐标系 (7)2．函数的图象 (8)阅读材料 (13)笛卡儿的故事 (13)§18.3 一次函数 (13)1. 一次函数 (13)2. 一次函数的图象 (14)3. 一次函数的性质 (17)4. 求一次函数的关系式 (18)阅读材料 (20)小明算得正确吗 (20)§18.4反比例函数 (20)1. 反比例函数 (20)2.反比例函数的图象和性质 (21)§18.5 实践与探索 (23)阅读材料 (27)The Graph of a Function (27)小结 (27)复习题 (28)第18章函数及其图象大千世界处在不停的运动变化之中,如何来研究这些运动变化并寻找规律呢?数学上常用变量与函数来刻画各种运动变化.§18.1变量与函数问题1图18.1.1是某日的气温变化图．图18.1.1看图回答：（1）这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温．（2）这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？（3）这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？从图中我们可以看到，随着时间t（时）的变化，相应地气温T（℃）也随之变化．问题2银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率，下表是2006年8月中国工商银行为“整存整取”的存款方式规定的利率：观察上表，说说随着存期x的增长，相应的利率y是如何变化的．问题3收音机上的刻度盘上的波长和频率分别是用米（m）和千赫兹（kHz）为单位标刻的．下面是一些对应的数：细心的同学可能会发现：λ与fλf或者说f说明波长λ越大，频率f就问题4圆的面积随着半径的增大而增大．如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积则S与r之间满足下列关系：S＝____________．利用这个关系式，试求出半径为1 cm、1.5 cm、2 cm、2.6 cm、3.2 cm时圆的面积，并将结果填入下表：由此可以看出，圆的半径越大，它的面积就______________．概括在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些变化规律．这里出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量．例如问题1中，刻画气温变化规律的量是时间t和气温T，气温T随着时间t的变化而变化，它们都会取不同的数值．像这样在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量(variable)．上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相关．一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量（independent variable），y是因变量（dependent variable ），此时也称y 是x 的函数（function ）．表示函数关系的方法通常有三种：（1） 解析法，如问题3中的f =300000 ，问题4中的S ＝πr 2，这些表达式称为函数的关系式．（2） 列表法，如问题2中的利率表，问题3中的波长与频率关系表．（3） 图象法，如图18.1.1中的气温曲线．在问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量（constant ），如问题3中的300 000，问题4中的π等．练 习1. 举3个日常生活中遇到的函数关系的例子.2. 下表是某市2000年统计的该市男学生各年龄组的平均身高.(1)从表中你能看出该市14岁的男学生的平均身高是多少吗?(2)该市男学生的平均身高从哪一岁开始迅速增加?(3)上表反映了哪些变量之间的关系?其中哪个是自变量?哪个是因变量?3. 写出下列各问题中的关系式,并指出其中的常量与变量:(1)圆的周长C 与半径r 的关系式;(2)火车以60千米/时的速度行驶,它驶过的路程s (千米)和所用时间t (时)的关系式;(3)n 边形的内角和S 与边数n 的关系式.试一试（1） 填写如图18.1.2所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么?如果把这些涂黑的格子横向的加数用x 表示，纵向的加数用y 表示，试写出y 与x 的函数关系式．（2）试写出等腰三角形中顶角的度数y 与底角的度数x 之间的函数关系式．（3）如图18.1.3，等腰直角△ABC 的直角边长与正方形MNPQ 的边长均为10 cm ，AC 与MN 在同一直线上，开始时A 点与M 点重合，让△ABC 向右运动，最后A 点与N 点重合．试写出重叠部分面积y （cm 2）与MA 长度x （cm ）之间的函数关系式．思 考（1） 在上面“试一试”中所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗？如 果有，写出它的取值范围。
高考中所有的函数图像大汇总
高考中所有的函数图像大汇总 专项二 高考用到的函数图像总结高考中用到的函数图像是指：一次函数图像、反比例函数图像、二次函数图像、幂函数图像（五种）、对勾（也称对号）函数图像、指数函数图像、对数函数图像、简单的三角函数图像、简单的三次函数图像一、一次函数图像（1）函数)0(≠+=k b kx y 叫做一次函数，它的定义域是R ，值域是R ； （2）一次函数的图象是直线，这条直线不能竖直，所以一次函数又叫线性函数；（3）一次函数)0(≠+=k b kx y 中，k 叫直线的斜率，b 叫直线在y 轴上的截距； 0>k 时，函数是增函数，0<k 时，函数是减函数；注意截距不是距离的意思，截距是一个可正可负可为零的常数 （4）0=b 时该函数是奇函数且为正比例函数，直线过原点；0≠b 时，它既不是奇函数，也不是偶函数； （5）作一次函数图像时，一般先找到在坐标轴上的两个点，然后连线即可 二、反比例函数图像 （一）反比例函数的概念1．（）可写成（）的形式，注意自变量x 的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可写成xy=k 的形式，用它可迅速地求出反比例函数解析式中的k ，从而得到反比例函数的解析式；3．反比例函数的自变量，故函数图象与x 轴、y 轴无交点．（二）反比例函数及其图象的性质函数解析式：（），自变量的取值范围：越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．图像越远离坐标轴越小，图象的弯曲度越大．图像越靠近坐标轴 当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随x 的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随x 的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上． 4．k 的几何意义如图1，设点P （a ，b ）是双曲线上任意一点，作PA ⊥x 轴于A 点，PB ⊥y 轴于B 点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO 和三角形PBO 的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P 关于原点的对称点Q 也在双曲线上，作QC ⊥PA 的延长线于C ，则有三角形PQC 的面积为．图1 图2 三、二次函数图像(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 (－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a单调性在x ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递减； 在x ∈⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递增 在x ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递增； 在x ∈⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于x＝－b2a对称（2）我们在做题的时候，作比较详细的二次函数图像，需要作出开口方向、对称轴所在位置、与两个坐标轴的交点位置、顶点所在位置，而不能随手一条曲线，就当做二次函数的图像了。
函数及其图像(课堂PPT)
集合：A，B，C…表示；元素：a，b，c…表示
函数与极限
4
2.实数与数轴
实数R有理数Q分 整数 数(Z12负非, 整 负86 ,数 整)（ 数（1,自2然,数集nN,：0）,1，2， )
f
(
x
3)
1 2
0 x31 1 x32
1 2
3 x 2 2 x 1
故定义域是[-3, -1].
函数与极限
28
例3 脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图
所示,写出电压U与时间t(t 0)的函数关系式.
解 当 t [0, ]时, 2
U
E
t
2E t;
2 当 t ( , ]时,
2. 函数中根式,要求负数不能开偶次方
3. 函数中有对数式,要求真数必须大于零
4. 函数中有对数式和反三角函数式,要求符合它们定义域
5. 若函数式是上述各式的混合式,则应取各部分定义域
的交集
函数与极限
20
例1 求下列函数的定义域
(1()1(y)1y)y44411x1x22x2 xxx222; ;
((22()2)y)yylglgxlxg11;x; 1 ; x x22x 2
2
U
( , E)
2
E
o
(,0) t
2
单三角脉冲信号的电压
U 0
(t )
E
0
2
即U 2E (t )
函数与极限
29
当 t (,) 时, U 0.
U
( , E)
2
函数及其图象复习课
表示函数关系的方法通常有三种：
（1） 解析法，如观察3中的f = ，观察4中 的S＝πr2，这些表达式称为函数的关系式．
300000
（2） 列表法
（3） 图象法
图 18.1.1
求自变量的取值范围应注意： （1）分母≠0 （2）开偶次方时，被开方数≥0
求下列函数中自变量的取值范围： ⑴
1 y x3 2
B
-3 -2 -1 O -1 -2
教科书第52页：5.、7、9
y 3
Q（－3，2）
2 1 -3 -2 -1 O -1 1 2 3 x
-2
P (3,－1)
在四个象限及坐标轴上的点的特征：
y 3
(－，＋)
-3 -2
2 1 -1 O -1
(＋，＋)
(a，0)
1 2 3 x
(－，－) -2 (＋，－)
(b，0)
1.点(0，2)在( B
)
A.X轴上 B.y轴上 C.第三象限 D.第四象限 2.点P（3-m，m)是第二象限内的点，则m的取 值范围为（ m＞3 ） 3.若点P（a，b)在第四象限，则点 M(a-b，b-a)在第( 四 )象限。
K≠0 ⑵、比例系数_____。
k 0 b0
k 0 b0
k 0 b0
概括： （1）y=kx+b,当k＞0时，y随x的增大 而增大，这时函数的图象从左到右上升；
k0 b0
k0 b0
k0 b0
概括： （2）y=kx+b,当k<0时，y随x的增大 而减小，这时函数的图象从左到右下降；
2
1 ⑵ y 2 x
⑶ y x 2x 3
⑷ y 2x 3
在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有 相同单位长度的数轴（如图），这就建立了 平面直角坐标系;
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要点梳理
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(1全__体__实__数____；
(2)如果函数解析式中的分母含有自变量，则自变量的取 值范围是___使__分__母__的__值__不__等__于_零__的__所__有__实__数_____；
(3)如果函数解析式中含有二次根式，则自变量的取值范 围是___使__被__开__方__式__的__值__为__非__负__数__的__所__有__实__数____．
故选A.
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3. (2014天水)如图，扇形OAB动点P从点A出发，沿 、线
段BO、OA匀速运动到点A，则OP的长度y与运动时间t之
间的函数图象大致是
()
A.
B.
C.
D.
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解析 点P在弧AB上时，OP的长度y等于半径的长度，不变； 点P在BO上时，OP的长度y从半径的长度逐渐减小至0； 点P在OA上时，OP的长度从0逐渐增大至半径的长度． 纵观各选项，只有D选项图象符合．故选D.
解析 ①由图可知打电话时，小刚和妈妈的距离为1250 米，所以是正确的； ②打完电话后5分钟两人相遇后，小刚立即赶往学校，妈 妈回家，15分钟妈妈到家，再经过3分钟小刚到达学校， 经过5＋15＋3＝23分钟小刚到达学校，所以是正确的；
A. y＝3x
B. y＝1－2x
4 C. y＝x
D. y＝x2－1
解析 因为函数的图象经过原点(0，0)，所以将点
(解0，析0)依因次为代函入数各的选图项象的经函过数原解点析(0式，进0)行，一所一以验将证点(0，0)依
即次可代．入各选项的函数解析式进行一一验证即可．
4 y＝x的图象是双曲线，不经过原点，故 C 错误．故选 A.
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(1)解析法：用等式来表示一个变量与另一个变量之间 的函数关系的方法，这个等式成为函数的解析式． 解析法简单明了，能使我们从解析式了解整个变化 过程中函数与自变量之间的全部相依关系，适合于 作理论分析和计算、推导．许多定律、法则都用解 析式(即公式)来表示．但在求对应值时，需要逐个 计算，有时是很麻烦的，且有不少函数很难或者无 法用解析式表示出来．
函数及其图象
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基础知识 题型分类
易错警示
要点梳理 基础自测
题型一 确定自变量的取值范围 题型二 根据函数关系式求自变量的值、
函数值 题型三 确定实际背景下的函数关系式
11.函数自变量的取值范围不可忽视
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1. 常量、变量 在某一过程中，保持一定数值不变的量叫做__常__量____； 可以取不同数值的量叫做__变__量____．
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1. (2014 济宁)函数 y＝x＋x1中的自变量 x 的取值范围是
(A )
A. x≥0
B. x≠－1
C. x＞0
D. x≥0 且 x≠－1
解析 根据题意得：x≥0且x＋1≠0，解得x≥0. 故选A.
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2. (2014 滨州)下列函数中，图象经过原点的是 ( A )
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3. (2014天水)如图，扇形OAB动点P从点A出发，沿 、线
段BO、OA匀速运动到点A，则OP的长度y与运动时间t之
间的函数图象大致是
( D)
A.
B.
C.
D.
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4.(2014哈尔滨)早晨，小刚沿着通往学校唯一的一条路(直 路)上学，途中发现忘带饭盒，停下往家里打电话，妈妈 接到电话后带上饭盒马上赶往学校，同时小刚返回，两人 相遇后，小刚立即赶往学校，妈妈回家，15分钟妈妈到家， 再经过3分钟小刚到达学校，小刚始终以100米/分的速度 步行，小刚和妈妈的距离y(单位：米)与小刚打完电话后 的步行时间t(单位：分)之间的函数关系如图，下列四种 说法：
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4. 函数的图象 一般地，对于一个函数，如果把自变量x与函数y的每对 对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描 出这些点，用光滑曲线连接这些点所组成的图形，就是 这个函数的___图__象___．
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5. 函数的表示方法 函数通常有三种表示方法：__解__析__法____；__列__表__法____； __图__象__法____．
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(3)图像法：用图象来表示一个变量与另一个变量之间函 数关系的方法． 函数的变化情况和某些性质在图象上能够很直观地显 示出来，我们通常借助函数的图象来探索函数的性 质．其缺点在于从图象上找自变量与函数的对应值一 般只是近似的，且只能反映出变量间关系的一部分而 不是全体． 函数的三种表示法各有优缺点，我们常常各取其长， 综合运用这三种方法来研究有关函数问题．
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①打电话时，小刚和妈妈的距离为1250米；
②打完电话后，经过23分钟小刚到达学校；
③小刚和妈妈相遇后，妈妈回家的速度为150米/分；
④小刚家与学校的距离为2550米．
其中正确的个数是
()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
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(2)列表法：用表格形式来表示一个变量与另一个变量之 间函数关系的方法． 列表法对于表中已有的自变量每一个值，可以直接找 到对应的函数值，它适用于计算函数值很麻烦或很难 找到函数关系式的情况．缺点是不能把自变量与函数 的全部对应值都列出来，而且从表格中也不易看出自 变量与函数之间的对应规律．
2. 函数 一般地，设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果 对于x的每一个确定的值，y都有__唯__一____确定的值与 它对应，那么就说x是_自__变__量___，y是x的__函__数____．
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3. 函数自变量的取值范围 函数中自变量的取值往往受到某种限制，自变量能取 的数的全体称作自变量的取值范围．由解析式给出的 函数，自变量取值范围应使解析式有意义．