北师大版数学中考复习《解直角三角形》

《解直角三角形》一、知识网络结构图二、考点考点1、锐角三角函数的定义考点2、 特殊角的三角函数值及三角函数关系式 考点3、直角三角形的边角关系 考点4、解直角三角形的实际应用 三、复习课时安排：三课时 四、三年中考楚雄州2010年中考（20．本小题8分）如图，河流的两岸PQ 、MN 互相平行，河岸PQ 上有一排小树，已知相邻两树之间的距离CD=50米，某人在河岸MN 的A 处测得∠DAN = 35°，然后沿河岸走了120米到达B 处，测得∠CBN=70°．求河流的宽度CE(结果保留两个有效数字)．（参考数据： sin35°≈ 0.57, cos35°≈ 0.82, tan35°≈ 0.70sin 70°≈ 0.94, cos70°≈ 0.34, tan70°≈ 2.75 ） 2011年大理、楚雄、临沧、怒江、迪庆、丽江中考（20． 7分）小杨同学为了测量一铁塔的高度CD ，如图，他先在A 处测得塔顶C 的仰角为︒30，再向塔的方向直行40米到达B 处，又测得塔顶C 的仰角为︒60，请你帮助小杨计算出这座铁塔的高度．（小杨的身高忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：732.13,414.12≈≈）2012云南省（20 ，6分）如图，某同学在楼房的A 处测得荷塘的一端B 处的俯角为o30 ，荷塘另一端D 与点C 、B 在同一条直线上，已知32AC =米 ， 16CD =米 ，求荷塘宽BD 为多少米？（取31.73≈ ,结果保留整数）直角三角形中 的边角关系锐角三 角函数解直角三角形实际问题FC︒30︒60 A B D课时1：考点相关概念过关一、 知识点清单考点1、锐角三角函数的定义：Rt △ABC 中，设∠C ＝90°，∠α为Rt △ABC 的一个锐角，则： ∠α的正弦 sin α＝ .∠α的余弦 cos α＝ . ∠α的正切 tan α＝ 考点2、 特殊角的三角函数值及三角函数关系式 （1）特殊角的三角函数值（2）简单的三角函数关系式 同角三角函数之间的关系：sin 2α＋cos 2α＝ ； tan α＝ .互余两角的三角函数关系式：(α为锐角) s in α＝cos ； cos α＝sin . 函数的增减性：(0°<α<90°)(1)sin α，tan α的值都随α增大而 ； (2)cos α都随α增大而 考点3、直角三角形的边角关系直角三角形中的边角关系：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c 则： (1)边与边的关系： ； (2)角与角的关系： ；(3)边与角的关系： (4)三角形面积公式：S △＝ . 考点4、解直角三角形的实际应用1.仰角、俯角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角.2.坡角、坡度：通常把坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度，用字母i 表示，即i= ；坡面与水平面的夹角叫坡角，记作α。

则i=lh= .3.方向角： 若A 点位于O 点的北偏东30°方向，则O 位于A 点的 方向.二、基础训练1、如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.2、把△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的正弦函数值（ ） A ．不变 B ．缩小为原来的13C ．扩大为原来的3倍D ．不能确定 3、如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则sinA 的值是（ ） A 、513 B 、1213 C 、 512 D 、1354、如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，则下列结论正确的是 ( ) A ．sin A ＝32 B ．tan A ＝12C ．cos B ＝32D ．tan B ＝3 5、在△ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝35,则tan A 等于 ( )A ．35B ．45C ．34D ．436、如图，P 是∠AOx 的边OA 上的一点，且点P 的坐标为（1，3），则∠AOx =_______度．cos ∠AOy=7、已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35，则tan B 的值为8、如图所示，河堤横断面迎水坡AB 的坡比是1：3，堤高BC =5m ，则坡面AB 的长度是9、如图，有一斜坡AB 长40m ，此斜坡的坡角为60°，则坡顶离地面的高度为 ．（答案可以带根号）10、计算（1）︒⋅︒-︒30tan 60tan 45cos 22= （2）|－3|＋2cos 45°－(3－1)0=（3）si n 230°+tan 44°tan 46°+si n 260°= 三、拓展提高 11、如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，D 为垂足，若AC =4，BC =3，则求（1）sin ∠ACD 的值．（2）CD 的长PA OyxDCBA12、如图，天空中有一个静止的广告气球C ，从地面A 点测得C 点的仰角为45°，从地面B 点测得C 点的仰角为60°．已知AB ＝20 m ，点C 和直线AB 在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度（结果保留根号）13、如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是多少？14、如图，在矩形ABCD 中，点E 在AB 边上，沿CE 折叠矩形ABCD ，使点B 落在AD 边上的点F 处，若AB =4，BC=5，求tan ∠AFE 的值.15、已知△ABC 的外接圆O 的半径为3，AC=4，求sinB 的值.BC 45°60°α5米AB课时2：解直角三角形一、 知识点清单1、解直角三角形的概念：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．2、直角三角形可解的条件：（1）已知两边（2）已知一锐角和一边.3、应用工具：勾股定理和三角函数关系.4、结合图形:如果是直角三角形,将问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系解之;当有些图形不是直角三角形时，可添加适当的辅助线，把它们分割成直角三角形既可以解之. 二、基础训练1、如图先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB 为（ ） A. αcos 5 B. αcos 5 C. αsin 5 D. αsin 52、在△ABC 中，∠C =90°AC =8,∠A =60°,则AB =（ ）A ．10B ．4C ．16D ．833、一个人从山下沿30°角的坡路登上山顶,共走了500m,那么这山的高度是（ ）m.A.230B.240C.250D.2604、在直角三角形ABC 中,∠C =90°,∠A =30°,斜边上的高CD=1,则三边的长分别是（ ）A ．7,2,3===c b aB ． 334,332,2===c b a C ．334,2,332===c b a D ． 4,2,32===c b a 5、如图：△ABC 中，∠C =90°，AB =310，cos B =21，D 为AC 上一点，且∠DBC =30°，AD 的长为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．116、在△ABC 中，∠C =90°，若b =2，c =2，则a =__________，∠A =________．7、在ABC 中，∠C =90°，若c =7，∠A =30°，则b =_______，a =_______．8、在△ABC 中，∠C =90°，tan A =125，△ABC 周长为60，则面积=_________． 9、设等腰三角形的腰长为2cm ，底边长为32cm ，则顶角为_______度．10、梯形的上底长为4cm ，下底长为12cm ，两底角分别为60°和30°，那么梯形的周长等于________cm ． 三、拓展提高11、生活经验表明，靠墙摆放的梯子，当50°≤α≤70°(α为梯子与地面所成的角)，能够使人安全攀爬，现在有一长为6m 的梯子AB ，试求能够使人安全攀爬时，梯子的顶端能达到的最大高度AC .(结果保留两个有效数字，sin 70°≈0.94，sin 50°≈0.77，cos 70°≈0.34，cos 50°≈0.64)12、所示，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，E 为AC 边的中点，BC ＝14，AD ＝12，sin B ＝45． (1)求线段DC 的长； (2)求tan ∠EDC 的值.13、 如图所示，某水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽AD ＝2.5m ，坝高4 m ，背水坡的坡度是1：1，迎水坡的坡度是1：1.5，求坝底宽BC .14、已知直角三角形两个锐角的正弦sin A ，sin B 是方程012222=+-x x 的二根，求A 、B 的度数．15、丁丁想在一个矩形材料中剪出如图阴影所示的梯形，作为要制作的风筝的一个翅膀．请你根据图中的数据帮丁丁计算出BE 、CD 的长度（精确到个位，≈1.7）．课时3：综合应用一、知识点清单解直角三角形在实际中有广泛的应用，主要涉及测量、航空、航海、工程等领域，常作为习题出现的有以下几个方面：度量工作、工程建筑、测量距离等．解这类问题的一般步骤是： (1)弄清题中名词术语的意义，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型； (2)将实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，当有些图形不是直角三角形时，可添加适当的辅助线，把它们分割成直角三角形； (3)寻求基础直角三角形，并解这个三角形或设未知数进行求解． 二、基础训练1．如图，在高为2m ，坡角为︒30的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）．A.m )13(2+ B.4m C.m )23(+ D.m )33(2+2、如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部(B 处)6米的D 处，仰望旗杆顶端A ，测得仰角为60°，眼睛离地面的距离ED 为1.5米．则旗杆AB 的高度为 ．(结果精确到0.1米，3 1.732≈ )3、如图所示，某居民楼I 高20米，窗户朝南．该楼内一楼住户的窗台离地面距离CM 为2米，窗户CD 高1．8米．现计划在I 楼的正南方距1楼30米处新建一居民楼Ⅱ．当正午时刻太阳光线与地面成30°角时，要使Ⅱ楼的影子不完全影响一楼住户住户的采光，新建Ⅱ楼最高不能超过 米.4、小红同学用仪器测量一棵大树AB 的高度，在C 处测得∠ADG =30︒，在E 处测得∠AFG =60︒，CE =8米，仪器高度CD =1.5米，则这棵树AB 的高度为 （结果保留两位有效数字，3≈1.732）.5、如图，测量河宽AB （假设河的两岸平行），在C 点测得∠ACB ＝30°，D 点测得∠ADB ＝45°，又CD ＝60m ，则河宽AB 为 m （结果保留根号）.2米（第10题）30︒AG BF ECD 30︒ 60︒三、拓展提高6、如图所示，某幢大楼顶部有一块广告牌CD，甲、乙两人分别在相距8米的A，B两处测得D点和C点的仰角分别为45°和60°，且A，B，F三点在一条直线上，若BE＝15米，求这块广告牌的高度．(3≈1.73，结果保留整数)7、小强在教学楼的点P处观察对面的办公大楼．为了测量点P到对面办公大楼上部AD的距离，小强测得办公大楼顶部点A的仰角为45°，测得办公大楼底部点B的俯角为60°，已知办公大楼高46米，CD＝10米．求点P到AD的距离（用含根号的式子表示）．8、如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tanα=，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，求小山岗的高AB（结果取整数：参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）．9、如图所示，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在它的北偏东60°方向上，该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在它的北偏东30°方向上；已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁，若货船继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险?试说明理由．10、如图：山顶上有高为h的塔BC,从塔顶B测得地面上一点A的俯角是α,从塔底C测得A的俯角为β,求山高H.MPDCBA北北东东BCA 11、如图，甲、乙两只捕捞船同时从A 港出海捕鱼．甲船以每小时215千米的速度沿西偏北30°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进．甲船航行2小时到达C 处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B 处相遇．（1）甲船从C 处追赶上乙船用了多少时间？（2）甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？12、某宾馆为庆祝开业，在楼前悬挂了许多宣传条幅，如图所示，一条幅从楼顶A 处放下，在楼前点C 处拉直固定，小明为了测量此条幅的长度，他先在楼前D 处测得楼顶A 点的仰角为31°，再沿DB 方向前进16米到达E 处，测得点A 的仰角为45°，已知点C 到大厦的距离BC=7米，90ABD ∠=︒,请根据以上数据求条幅的长度（结果保留整数.参考数据：tan310.6,sin310.52,cos310.86︒≈︒≈︒≈）13、如图所示，A ，B 两城市相距100 km ．现计划在这两座城市中间修筑一条高速公路(即线段AB )，经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，50 km 为半径的圆形区域内．请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区．为什么?(3 1.7322≈1.414)14、新闻链接，据[侨报网讯]外国炮艇在南海追袭中国渔船被中国渔政逼退． 2012年5月18日，某国3艘炮艇追袭5条中国渔船．刚刚完成黄岩岛护渔任务的“中国渔政310”船人船未歇立即追往北纬11度22分、东经110度45分附近海域护渔，保护100多名中国渔民免受财产损失和人身伤害．某国炮艇发现中国目前最先进的渔政船正在疾速驰救中国渔船，立即掉头离去．（见图1）解决问题如图2，已知“中国渔政310”船（A）接到陆地指挥中心（B）命令时，渔船（C）位于陆地指挥中心正南方向，位于“中国渔政310”船西南方向，“中国渔政310”船位于陆地指挥中心南偏东60°方向，AB=海里，“中国渔政310”船最大航速20海里/时．根据以上信息，请你求出“中国渔政310”船赶往出事地点需要多少时间．。