南航矩阵论考试
矩阵论去年试题
南昌航空大学硕士研究生 2009/2010 学年第 一 学期考试卷学生姓名： 所在学院： 学号： 课程名称： 矩阵论 班级： 成绩： 任课教师姓名： 艾小伟 任课教师所在学院： 数信学院一．设矩阵A=010110122---⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，求A 的值域与核。
（10分）二．设1α=(1,1,1,0)T , 2α=(-1,-2,-1,-1)T , 1β=(2,1,3,-1)T , 2β=(1,-1,0,-2)T , V 1=span(1α,2α), V 2=span(1β,2β)，分别求V 1∩V 2 ，V 1+V 2 的一组基和维数。
（12分）三．在22R ⨯中，定义线性变换Г(X) =1102X -⎛⎫ ⎪⎝⎭，求Г在基E 11=1000⎛⎫ ⎪⎝⎭, E 12=0100⎛⎫ ⎪⎝⎭, E 21=0010⎛⎫ ⎪⎝⎭, E 22=0001⎛⎫ ⎪⎝⎭下的矩阵。
（10分）四．求矩阵A=040140122----⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的Smith 标准形和Jordan 标准形J ，并求可逆矩阵P ，使P -1AP=J 。
（18分）五．求矩阵A=123002111021-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的满秩分解。
（10分）六．设║•║是n n C ⨯上的矩阵范数,对于非零向量n C α∈，定义：T ,n x x x C αα=∀∈，证明：x α是n C 上的向量范数（8分）七．求正规矩阵A=010100000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的谱分解式。
（10分）八．设‖•‖是n nC⨯上的相容矩阵范数，A是n阶可逆矩阵，λ为A的任一特征值，证明：‖A-1‖-1≤|λ|≤‖A‖。
（10分）九．已知A=100100⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭,求A的奇异分解和广义逆矩阵A+。
（12分）。
南航矩阵论试卷
2．若 ，则 ；
3．若 ，则 ．
答案及评分标准:
1. ,这里 是可逆的Hermite矩阵,从而 .由于 ,所以 ,即 相似于Hermite半正定矩阵 .
2. .由题1的结论， 的特征值满足条件
于是 ．
3. .
3．证明矩阵幂级数 绝对收敛，并求其和．
答案及评分标准:
1. .
由于 ,所以 .
2.由矩阵2范数的相容性,有 ．另一方面，由题１的计算过程知 ，从而
，
即 ．
3.已知幂级数 的收敛半径为3,且 ,则矩阵幂级数 绝对收敛,且
.
共5页第5页
五、(20分)设 分别是n阶Hermite正定矩阵和半正定矩阵，证明：
3．问： 与矩阵 是否相似？并说明理由．
案及评分标准：
1.特征多项式为 ；初等因子为 .
2. 的最小多项式是 ，rdan标准形为 .
3.因为 的初等因子为 ，与 的初等因子不同,所以 与 不相似.
（5分）
共5页第2页
二、(20分)设 ，映射 使得
.
1．证明 是 的一个子空间，并求它的维数和基；
2．证明 是 的线性变换，并求 在题1所取基下的矩阵；
1．作出 的一个满秩分解；
2．求 的加号逆 ；
3．求方程组 的极小范数解（要求解中不含有参数t）．
答案及评分标准:
1. 的一种满秩分解为 ；
(注意：满秩分解不唯一，需要检验)．
2.因为 ,所以
.
3.由相容性,解得 ,从而极小范数解为 .
共5页第4页
四、(20分)设矩阵 .
1．求 ；
2．证明对于 中的任意矩阵 ，有 ；
南航矩阵论试卷
南航矩阵论研究生试卷及答案
(2)求广义逆矩阵 ;
(3）求该线性方程组的极小最小二乘解.
解答：(1) 矩阵 ， 的满秩分解为
．…………………(5分)
(2) .……………………（10分)
(３）方程组的极小最小二乘解为 ．…………(5分)
共６页第5页
四、(２0分)已知幂级数 的收敛半径为3,矩阵 .
(1) 求 ;
，
证明 是 的一个内积;
(3)求 在题(2)所定义的内积下的一组标准正交基；
(4)证明 是 的线性变换，并求 在题（1)所取基下的矩阵.
解答：(１) 的一组基为 维数为3.
……………………………………(5分）
(2)直接验证内积定义的四个条件成立.……………………………(4分)
(3) 标准正交基 .…………（５分）
(4）由于 ，所以 是 的一个变换.又直接验证,知
,
因此 是 的一个线性变换.………………………………（3分)
线性变换 在基 下的矩阵为
.……………………………………………(3分)
二、(2０分）设三阶矩阵 ， ， .
(１)求 的行列式因子、不变因子、初等因子及Jordan标准形;
(2)利用 矩阵的知识，判断矩阵 和 是否相似，并说明理由.
南京航空航天大学２012级硕士研究生
共６页 第１页
20１２~201３学年第１学期《矩阵论》课程考试A卷
考试日期:2013年１月15日课程编号:Ａ080０0１命题教师:阅卷教师:
学院专业学号姓名成绩
一、(20分)设 是 的一个线性子空间,对任意 ，定义： ,其中 .
(1)求 的一组基和维数；
（2)对任意 ，定义：
解答: ( 的行列式因子为 ;…(3分)
南航双语矩阵论期中考试卷mid-term-exam(2014)优选全文
Mid-term Exam of Matrix Theory (2014)Preferentially Selected Five Questions (5×20 )Q1.Given A ∈P n ×n ,consider the following questions.1)If A is invertible,prove that A −1can be represented by the polynomial of A with degree less than n .2)For any positive integer k ∈N ,prove that A k can be represented by the polynomial of A with degree less than n .3)Especially A = 11221,find the representative polynomials of A −1and A 2014as men-tioned in 1)and 2).Q2.Denote A a linear transformation in R 3,α1,α2,α3the basis of R 3.Suppose that the representation matrix of A with respect to α1,α2,α3is A = 12020−2−2−1.1)Show that β1=α1,β2=α1+α2,β1=α1+α2+α3also form a basis of R 3.2)Determine the representative matrix of A with respect to β1,β2,β2.3)Find the eigenvalues and eigenvectors of A .Q3.Denote R [x ]3to be the vector space of zero and polynomials with degree less than 3.1)Determine the dimension of R [x ]3and give a basis of R [x ]3.2)Define the linear transformation D on R [x ]3,D (f (x ))=f (x ),∀f (x )∈R [x ]3.Show R (D )and ker(D ).3)Prove that D is not diagonalizable.4)Define the inner product on R [x ]3,(f,g )= 1−1f (x )g (x )dx,∀f (x ),g (x )∈R [x ]3,please Gram-Schmidt orthogonalize the basis given in 1).Q4.1)To the best of your knowledge about λ−matrix,determine if the following two matrices are similar or not,and give reason,1A =210021002 ,B = 2a 002a 002 .2)Denote V ={ a 11a 12a 21a 22∈R 2×2|a 11=a 22}.i)Find a basis of V and show the dimension.ii)Arbitrarily given A = a 11a 12a 21a 22 and B = b 11b 12b 21b 22in V ,define (A,B )=a 11b 11+2a 12b 12+a 21b 21.Please show that (A,B )is an inner product on V .Q5.Given A ∈C m ×n and b ∈C m ,please prove1)there exists a real number α>0such that A H A +αI is nonsingular;2)the solution to the least square problem min x ∈C n{ Ax −b 2+α x 2}is x ∗=(A H A +αI )−1A H b ,where · stands for the 2−norm in C m .Q6.Given A ∈R n ×n ,summarize the necessary and sufficient conditions of A to be di-agonalizable,and prove at least one of them.Determine if the matrix A given in Q2is diagonalizable or not.If yes,please explain why,if not,please give the Jordan canonical form of A .2。
南航07-14矩阵论试卷
南航07-14矩阵论试卷南京航空航天大学07-14硕士研究生矩阵论试题2007 ~ 2008学年《矩阵论》课程考试A 卷一、（20分）设矩阵-----=111322211A ，（1）求A 的特征多项式和A 的全部特征值；（2）求A 的行列式因子、不变因子和初等因子；（3）求A 的最小多项式，并计算I A A 236-+；（4）写出A 的Jordan 标准形。
二、（20分）设22?R 是实数域R 上全体22?实矩阵构成的线性空间(按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法)。
（1）求22?R的维数，并写出其一组基；（2）设W 是全体22?实对称矩阵的集合，证明：W 是22?R的子空间，并写出W 的维数和一组基；（3）在W 中定义内积W B A BA tr B A ∈=,),(),(其中，求出W 的一组标准正交基；（4）给出22?R 上的线性变换T ：22,)(?∈?+=R A A A A T T写出线性变换T 在（1）中所取基下的矩阵，并求T 的核)(T Ker 和值域)(T R 。
三、（20分）（1）设-=121312A ，求1A ，2A ，∞A ，F A ；（2）设nn ij C a A ?∈=)(，令ijji a n A ,*max ?=，证明：*是n n C ?上的矩阵范数并说明具有相容性；（3）证明：*2*1A A A n ≤≤。
四、（20分）已知矩阵-=100100011111A ，向量=2112b ，（1）求矩阵A 的QR 分解；（2）计算+A ；（3）用广义逆判断方程组b Ax =是否相容？若相容,求其通解;若不相容,求其极小最小二乘解。
五、（20分）（1）设矩阵=????? ??=15.025.011210,2223235t t B t t A ，其中t 为实数，问当t 满足什么条件时, B A >成立？（2）设n 阶Hermite 矩阵022121211>=A A A A A H，其中k k C A ?∈11，证明：0,012111122211>->-A A A A A H。
南京航空航天大学2007-2014硕士研究生矩阵论matrixTheory试题
2 3 4 A 4 6 8 6 7 8 。 一（20 分） （1）设
2010 ~ 2011 学年《矩阵论》 课程考试 A 卷
（i）求 A 的特征多项式和 A 的全部特征值； （ii）求 A 的行列式因子，不变因子和初等因子； （iii）写出 A 的 Jordan 标准形；
1 A* A2 A* （3）证明： n 。
1 1 1 1 A 0 0 0 0 四、 （20 分）已知矩阵
（1）求矩阵 A 的 QR 分解；
1 2 0 1 b 1 1 2 1 ，向量 ，
（2）计算 A ；
17 6 14 60 A , B 45 16 3 13 ，试问 A 和 B 是否相似？并说明 （2）设
原因。
2 1 A 1 2 3 1 ，求 A 1 ， A 2 ， A ， A F ； 二（20 分） （1）设
（3）用广义逆判断方程组 Ax b 是否相容？若相容,求其通解;若不相容,求其极小最小二乘解。
五、 （20 分）
（1）设矩阵
问当 t 满足什么条件时, A B 成立？
5 3 2 0 1 A 3 2 t , B 1 1 2 t 2 2 0 .5 t
五（20 分）设
A ( a ij )
为 n 阶 Hermite 矩阵，证明：
3
存在唯一 Hermite 矩阵 B 使得 A B ；
2
（2）
（3） 如果 A 0 ，则 tr ( A)tr ( A ) n 。
1
如果 A 0 ，则 tr ( A ) (tr ( A)) ；
2
南京航空航天大学2009_矩阵论考试考题及答案
(3)，判断方程组 Ax b 是否相容？若相容，求其最小范数解；若不相容，求其极小最小二乘 解。(4 分)
解：
2 0 0 8 1 0 0 4 行 (1): A 0 2 8 0 0 1 4 0 ,故矩阵 A 的满秩分解为： 2 2 8 8 0 0 0 0 2 0 2 0 1 0 0 4 1 0 0 4 A 0 2 CD, C 0 2 , D 。 0 1 4 0 0 1 4 0 2 2 2 2
k
k
k 1
A |||| A k 1 |||| A || || A || k . （5 分）
k
2. || A || 1 lim || A || k 0 lim || A k || 0. （5 分） 3. lim || A k || 0 lim || A k 0 || 0 lim A k 0. （5 分）
学院 ------------------------------ 线 ----------------------------------------------------------------
年级 ----------
从而其极小最小二乘解为：
南航07-14矩阵论试卷
南京航空航天大学07-14硕士研究生矩阵论试题2007 ~ 2008学年《矩阵论》 课程考试A 卷一、（20分）设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=111322211A ， （1）求A 的特征多项式和A 的全部特征值； （2）求A 的行列式因子、不变因子和初等因子；（3）求A 的最小多项式，并计算I A A 236-+；（4）写出A 的Jordan 标准形。
二、（20分）设22⨯R 是实数域R 上全体22⨯实矩阵构成的线性空间(按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法)。
（1）求22⨯R的维数，并写出其一组基；（2）设W 是全体22⨯实对称矩阵的集合， 证明：W 是22⨯R的子空间，并写出W 的维数和一组基；（3）在W 中定义内积W B A BA tr B A ∈=,),(),(其中，求出W 的一组标准正交基；（4）给出22⨯R 上的线性变换T ： 22,)(⨯∈∀+=R A A A A T T写出线性变换T 在（1）中所取基下的矩阵，并求T 的核)(T Ker 和值域)(T R 。
三、（20分）（1）设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=121312A ，求1A ，2A ，∞A ，F A ； （2）设nn ij C a A ⨯∈=)(，令ijji a n A ,*max ⋅=，证明：*是n n C ⨯上的矩阵范数并说明具有相容性；（3）证明：*2*1A A A n ≤≤。
四、（20分）已知矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100100011111A ，向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2112b ， （1）求矩阵A 的QR 分解；（2）计算+A ；（3）用广义逆判断方程组b Ax =是否相容？若相容,求其通解;若不相容,求其极小最小二乘解。
五、（20分）（1）设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=15.025.011210,2223235t t B t t A ，其中t 为实数，问当t 满足什么条件时, B A >成立？（2）设n 阶Hermite 矩阵022121211>⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A A A A A H，其中k k C A ⨯∈11，证明：0,012111122211>->-A A A A A H。
南京航空航天大学MatrixTheory双语矩阵论期末考试
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(2) Find a basis for such that with respect to this basis,thematrixBrepresenting is diagonal.
(3) Find thekernel（核）andrange（值域）of this transformation.
Solution:
南京航空航天大学Matrix-Theory双语矩阵论期末考试
———————————————————————————————— 作者：
———————————————————————————————— 日期：
Part I (必做题，共5题，70分)
第1题（15分）
得分
Let denote the set of all real polynomials of degree less than 3 withdomain（定义域） .The addition and scalar multiplication are defined intheusual way.Definean inner product on by
第2题（15分）
得分
Let be the linear transformation on (the vector space of real polynomials of degree less than 3) defined by
南航矩阵论试卷
四、(20分)设矩阵 .
1．求 ；
2．证明对于 中的任意矩阵 ，有 ；
3．证明矩阵幂级数 绝对收敛，并求其和．
答案及评分标准:
1. .
由于 ,所以 .
2.由矩阵2数的相容性,有 ．另一方面，由题１的计算过程知 ，从而
，
即 ．
3.已知幂级数 的收敛半径为3,且 ,则矩阵幂级数 绝对收敛,且
.
共 5 页 第 5 页
五、(20分)设 分别是n阶Hermite正定矩阵和半正定矩阵，证明：
1． 相似于Hermite半正定矩阵；
2．若 ，则 ；
3．若 ，则 ．
答案及评分标准:
1. ,这里 是可逆的Hermite矩阵,从而 .由于 ,所以 ,即 相似于Hermite半正定矩阵 .
2. .由题1的结论， 的特征值满足条件
3．问： 与矩阵 是否相似？并说明理由．
案及评分标准：
1.特征多项式为 ；初等因子为 .
2. 的最小多项式是 ，Jordan标准形为 .
3.因为 的初等因子为 ，与 的初等因子不同,所以 与 不相似.
（5分）
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二、(20分)设 ，映射 使得
.
1．证明 是 的一个子空间，并求它的维数和基；
于是 ．
3. .
航空航天大学2015级硕士研究生
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2015 ~ 2016学年第1学期 《矩阵论》 课程考试A卷
考试日期：2015年12月28日课程编号：A080001命题教师： 阅卷教师：
学院 专业 学号 成绩
一、(20分)设 阶矩阵 ．
1．求 的特征多项式和初等因子；
2．求 的最小多项式和Jordan标准形；
矩阵论试卷(2012A)答案(1[1].5)
![矩阵论试卷(2012A)答案(1[1].5)](https://img.taocdn.com/s3/m/a30b5e8571fe910ef12df86e.png)
2
17 分
⇒ 由（1）的证明知，“=”成立时，有 A 酉相似于一对角阵，根据定理 4.5.2，A 为
正规阵 20 分
2× 2
三．（1） 对任意 X1 , X 2 ∈ W , k ∈ R, 都有 X1 + X 2 ∈ W , kX1 ∈ W , 所以， W 是 R ⎛ x11 线 性 子 空 间 ， 设 X =⎜ ⎜x ⎝ 21 ⎛ x11 X =⎜ ⎜x ⎝ 21 0 ⎞ ⎟, x11 + x21 ⎟ ⎠
的
x12 ⎞ ⎟ ∈ W , 因 为 AX = XA, 所 以 ， x22 ⎟ ⎠
⎛1 0⎞ ⎛0 0⎞ 5分 W 的一组基为 X1 = ⎜ ⎟ , X = ⎜ 2 ⎜0 1⎟ ⎜1 1 ⎟ ⎟, 维数是 2. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （ 2 ） 对 任 意 X1 , X 2 ∈ W , k ∈ R, 都 有 T ( X 1 + X 2 ) = T ( X1 ) + T ( X 2 ) ， 9分 T ( kX1 ) = kT ( X1 ) ，所以， T 为线性变换 ⎛1 0⎞ ⎛0 0⎞ （3）对于 W 的一组基为 X1 = ⎜ ⎜0 1⎟ ⎟, X 2 = ⎜ ⎜1 1 ⎟ ⎟, 有： ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 0 0⎞ ⎛ − 1 0⎞ T ( X 1) = ⎜ ⎜ 0 0⎟ ⎟ = 0X1 + 0 X2 ， T ( X 2 ) = ⎜ ⎜ 2 1⎟ ⎟ = −1 X1 + 2 X 2 ， ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 0 − 1⎞ ⎛ 0 −1⎞ T ( X 1 , X 2 ) = ( X 1 , X 2 )⎜ ⎜0 2 ⎟ ⎟ ， T 在（1）中所取基下的矩阵是 A = ⎜ ⎜0 2 ⎟ ⎟ 14 分 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 0⎞ ⎛0 0⎞ （4）对于 W 的一组基为 X1 = ⎜ ⎜0 1⎟ ⎟, X 2 = ⎜ ⎜1 1 ⎟ ⎟, ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ − b 0⎞ ⎛ 0 0⎞ 若 T ( aX 1 + bX 2 ) = ⎜ ⎟ ⎜ 2b b ⎟ ⎟=⎜ ⎜ ⎟ ，则有： b = 0 ， ⎝ ⎠ ⎝ 0 0⎠ 所以， Ker (T ) = {kI2 : k ∈ R )} ，维数为 1, 17 分 ⎛ −1 0⎞ R (T ) = {T ( X ) : X ∈ W } = span{T ( X 1 ), T ( X 2 )} = {k ⎜ ⎜ 2 1⎟ ⎟ : k ∈ R} ， ⎝ ⎠
南京航空航天大学研究生课程《矩阵论》内容总结与习题选讲
《矩阵论》复习提纲与习题选讲Chapter1 线性空间和内积空间内容总结：z 线性空间的定义、基和维数；z 一个向量在一组基下的坐标；z 线性子空间的定义与判断；z 子空间的交z 内积的定义；z 内积空间的定义；z 向量的长度、距离和正交的概念；z Gram-Schmidt 标准正交化过程；z 标准正交基。
习题选讲：1、设表示实数域3]x [R R 上次数小于3的多项式再添上零多项式构成 的线性空间（按通常多项式的加法和数与多项式的乘法）。
（1） 求的维数；并写出的一组基；求在所取基下的坐标；3]x [R 3]x [R 221x x ++ （2） 在中定义3]x [R ， ∫−=11)()(),(dx x g x f g f n x R x g x f ][)(),(∈ 证明：上述代数运算是内积；求出的一组标准正交基；3][x R （3）求与之间的距离；221x x ++2x 2x 1+−（4）证明：是的子空间；2][x R 3]x [R （5）写出2[][]3R x R x ∩的维数和一组基；二、 设22R ×是实数域R 上全体22×实矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加 法和数与矩阵的乘法）。
（1） 求22R ×的维数，并写出其一组基；（2） 在(1)所取基下的坐标； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−3111（3） 设W 是实数域R 上全体22×实对称矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法）。
证明：W 是22R ×的子空间；并写出W 的维数和一组基；（4） 在W 中定义内积， )A B (tr )B ,A (T =W B ,A ∈求出W 的一组标准正交基；（5）求与之间的距离； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡0331⎥⎦⎤⎢⎣⎡−1221 （6）设V 是实数域R 上全体22×实上三角矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法）。
证明：V 也是22R ×的子空间；并写出V 的维数和一组基；（7）写出子空间的一组基和维数。
南航矩阵论考试试题
南航矩阵论考试试题南航矩阵论考试试题南航矩阵论考试是一门重要的数学课程，旨在培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
本文将介绍一些典型的南航矩阵论考试试题，帮助读者更好地理解这门课程的内容和要求。
一、基础知识部分1. 请解释矩阵的定义和基本性质。
矩阵是由数个数按矩形排列而成的表格。
它的定义包括行数和列数两个维度，记作m×n。
矩阵有很多基本性质，如加法、数乘、转置等。
矩阵的加法满足交换律和结合律，数乘满足分配律。
矩阵的转置是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
2. 什么是方阵和单位矩阵？方阵是行数等于列数的矩阵。
单位矩阵是一个对角线上全为1，其余元素全为0的方阵。
单位矩阵在矩阵运算中起到了重要的作用，类似于数学中的“1”。
二、矩阵运算部分1. 请计算以下矩阵的和：A = [1 2 3; 4 5 6]，B = [7 8 9; 10 11 12]。
矩阵的和等于对应位置元素相加得到的新矩阵。
根据题目给出的矩阵，可以计算得到A + B = [8 10 12; 14 16 18]。
2. 请计算以下矩阵的积：C = [1 2; 3 4]，D = [5 6; 7 8]。
矩阵的乘法需要注意行列对应元素的乘积。
根据题目给出的矩阵，可以计算得到C × D = [19 22; 43 50]。
三、线性方程组部分1. 请解以下线性方程组：2x + 3y = 8，4x - 5y = 7。
线性方程组可以转化为矩阵的形式，即AX = B，其中A为系数矩阵，X为未知数矩阵，B为常数矩阵。
根据题目给出的线性方程组，可以得到矩阵形式为：[2 3] [x] [8][4 -5] [y] = [7]通过矩阵的逆运算，可以解得x = 3，y = 2。
2. 请解以下线性方程组：x + 2y + 3z = 6，2x - y + z = 1，3x + 4y + 5z = 10。
同样地，将线性方程组转化为矩阵形式：[1 2 3] [x] [6][2 -1 1] [y] = [1][3 4 5] [z] [10]通过矩阵的逆运算，可以解得x = 1，y = 2，z = 1。
南京航空航天大学MatrixTheory双语矩阵论期末考试
第6题 第7题
Let P4 be the vector space consisting of all real polynomials of degree less than 4 with usual addition and scalar multiplication. Let x1, x2 , x3 be three distinct real numbers. For each pair of polynomials f and g in P4 , define
Explain.
Solution:
(1) An annihilating polynomial of A is x2 5x 6 .
The minimal polynomial of A divides any annihilating polynomial of A. The possible minimal polynomials are
x 6 , x 1, and x2 5x 6 . --------------------------------------------------------------------------------------------------------------(2) The minimal polynomial of A divides the characteristic polynomial of A. Since A is a matrix of order 3, the characteristic polynomial of A is of degree 3. The minimal polynomial of A and the
(1)
（1） 0 （x） x （x2） 2 2x2
南京航空航天大学07-08矩阵论答案(B)
∞
= 5； A
= 23 ；
T 1 2
∵ λ ( A A) = {3, 5,15} ， ∴ A 2 = [λmax ( A A)] = 15 。
的特征向量， （2）设 x ∈ C 是 A 相应于特征值 λ 的特征向量，∴ Ax = λ x , x ≠ 0 ， ）
n
两 边 取 矩 阵 范 数 导 出 的 C 上 向 量 范 数 可 得 ： λ x = λ x = Ax ≤ A x ，
Ik
0 , In−k
使得 PAP
H
A11 = 0
=B， A22 − A A A12 0
H 12 −1 11
H − ∵ A11 > 0, A22 − A12 A111 A12 > 0,∴ B > 0, 从而有 A > 0 。
5 ∆ 1 = 5 > 0, ∆ 2 = 1 > 0 ， ∆ 3 = A − B = 1 − t 2 > 0 4
即−
2 2 成立。 <t< 时 A > B 成立。 5 5
H
矩阵， （2）∵ A 是 Hermite 矩阵，∴ 存在酉矩阵 U ，使得 U AU = diag{λ1 , λ2 ,⋯ , λn } ， ） 由此可知： 由此可知： λmin ( A) I ≤ A ≤ λmax ( A) I ，
共 3 页 ∴ ∀x ∈ C n , x ≠ 0 ，有 λmin ( A) ≤ R( x ) =
−1
第 3 页
x H Ax ≤ λmax ( A) 。 xH x
− 存在，构造可逆矩阵 （3）∵ A11 > 0,∴ A11 存在，构造可逆矩阵 P = ） − A H A− 1 12 11
南航矩阵论第一章作业答案与提示
矩阵论作业答案与提示第一章（P41-P44）8提示：设044332211=+++ααααx x x x ，解得04321====x x x x ，因此4321,,,αααα线性无关．10（1）提示：考虑n 阶反对称矩阵构成的线性空间V ．设ij α是处的元素为1，处的元素为-1，而其余元素均为零的n 阶反对称矩阵（），则),(j i ),(i j j i <n n n 2n ,123112,,,,,,,−ααααL L L A ij 线性无关．又若V a α∈=)(，则有∑≤<≤=nj i ijija A 1α，即A 可以由n n n n ,1223112,,,,,,,−αααααL L L 线性表示，因此.2)1(12)2()1()dim(−=+++−+−=n n n n V L 同理，若V 是n 阶对称矩阵构成的线性空间，则.2)1()dim(+=n n V 12提示：设A x x x x =+++44332211αααα，解得1,1,3,24321−===−=x x x x ，因此A 在基4321,,,αααα下的坐标是.)1,1,3,2(T −−18提示：（1）对任意P ,,∈∈k W Y X ，直接验证W kX Y X ∈+,．（2）在中取向量W )(i i e diag =α，其中表示第i 个分量为1，其余分量为零的n 维行向量，，则i e n i ,,2,1L =n ααα,,,21L 线性无关．又若，则由W x X n n ij ∈=×)(XA AX =得到，即)(0j i x ij ≠=),,,(2211nn x x x diag X L =．于是∑==ni i ii x X 1α，即X 可由n ααα,,,21L 线性表示．因此n ααα,,,21L 是的一组基，而．W n W =)dim(19（1）提示：设},{},,{212211ββααspan V span V ==，则},,,{212121ββααspan V V =+．由于121,,βαα是向量组2121,,,ββαα的极大线性无关组，所以，而3)dim(21=+V V 121,,βαα是21V V +的一组基．接下来，求的维数和基．设21V V I 21V V I ∈α，则有24132211ββαααk k k k −−=+=，从而024132211=+++ββααk k k k ．解这个向量方程得到：,,3,4,4321k k k k k k k k =−=−==其中k 是任意常数．此时,)4,3,2,5()3()4(2121T k k k −−−=−=−=ββααα即．于是})4,3,2,5{(21T span V V −−−=I 1)dim(21=V V I ，而是的一组基． T )4,3,2,5(−−−21V V I 21提示：设,)1,,1,1(,)1,1,0,,0(,)0,,1,1,0(,)0,,0,1,1(121Tn T n T T L L L L =−=−=−=−αααα则},,,{},{},,,,{112121211n n n n span V V span V span V ααααααα−−=+==L L ．由于n n ααα,,,11−L 线性无关，所以它们构成n R 的一组基，从而．注意到，于是． n R V V =+21}0{21=V V I n R V V =+⋅2124提示：在V 中取向量,1100,0010,0011321⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=ααα 则321,,ααα线性无关，且321αααc b a c c b a a ++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+， 从而，而3)dim(=V 321,,ααα是V 的一组基．定义映射如下：3:R V →σ,)(⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+c b a c c b a a σ 由于是向量在基T c b a ),,(⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=c c b a a α321,,ααα下的坐标，所以σ是V 到3R 的同构映射．27（1）提示：首先将321,,ααα化为标准正交向量组，得到.)2,1,1,2(101,)2,3,3,2(261,)1,2,2,1(101321T T T −−−=−=−=εεε其次，解方程组，求得基础解系，将其单位化，得0321===x x x TT T εεεT )3,2,2,3(4−=αT )3,2,2,3(2614−=ε，则4321,,,εεεε是V 的标准正交基．最后，直接计算，得到311010εεα+=． （2）解答：212321362),31(4103,26,21εεαεεε+=−===x x ．。
历年矩阵论试题
南京航空航天大学矩阵论历年试题整理者：王正华2007.1.28一 设2615115126A −=− −（1）求A 的特征多项式和A 的全部特征值；（2）求A 的行列式、不变因子，初等因子； （3）求A 的最小多项式； （4）写出A 的Jordan 标准形二（1）设210121A= −，1）求12,,,F A A A A ∞；（2）设A 为n阶矩阵，证明21,max ij i j na A∞≤≤≤≤三（1）111111112A − =− −，作出A 的满秩分解并求出A +；（2）利用该矩阵判断如下方程组1231231231121x x x x x x x x x −+=−++=− −+= ，是否相容？若相容求通解；若不相容，求极小最小二乘解四 设V 是数域P 上全体3阶实对称矩阵作成的线性结构（1）求V 的维数，并写出一组基（2）在V 中定义变换100100()011010001011T X X=，证明T 是线性变换，并求T 在（1）中所取基下的矩阵五（1）设2010252,022024220t A t B −==，其中t 是实数，t 满足什么条件时A B >成立？（2）设,A B 均为Hermite 半正定矩阵，证明：○1若A >0, 则AB 相似于半正定对角阵； ○2若A >0, 则()00tr AB B =⇒=； ○3若()0,tr AB = 则0AB =一（20分） 已知 A =1001225i i −，其中i（1）求12,,,F A A A A ∞（2）证明：A ≥0 （3）设,,nH c B αβαβ∈=，证明22FBαβ=二（20分） 设A ＝110101101211 ，b ＝314(1)作出A 的满秩分解 (2) 计算A +(3)利用广义逆矩阵方法判断线性方程组A x ＝b 是否相容？若相容，求其通解，若不相容，求其极小最小二乘解三（20分） 设A ＝110430211− − −（1）求A 的特征多项式和A 的全部特征值（2）求A 的不变因子、初等因子和最小多项式 （3）写出A 的Jordan 标准形（4）设A 为n 阶矩阵，证明：A 非奇异的充要条件是存在常数项不为零的多项式()f x ，使()f x ＝0 四（20分） （1）设A 、B 均为Hermite 矩阵（n 阶），且A B ＝B A ，证明： （a ）如果A >0,且A B >0 , 则B >0（b ）如果A >0, B >0,且33A B >，则A B >（2）若A 是2阶实正规矩阵，且i αβ±是A 的一对共轭实特征值，证明：存在正交矩阵Q ，使得Q AQ αββα+ =−五（20分） 设实数域上线性空间32R ×的子集W ＝22{,()0}A R tr A ×∈=（1）W 是22R×的子空间（2）给出W 的变换T （A ）＝A A ++，A W ∀∈，证明：T 是W 上的线性变换 （3）求Ker （T ）及其维数（4）求W 的一组基和维数，并写出线性变换T 在所取基下的矩阵一 （20分）设[]n R X 表示实数域R 上次数小于n 的多项式再添上零多项式构成的线性空间（按通常多项式的加法和数与多项式的乘法）（1）求[]n R X 的维数并写出[]n R X 的一组基；（2）在[]n R X 中定义线性变换D ：(())'(),()[]n D f x f x f x R x =∈，求D 在（1）中所取基下的矩阵表示，并求R （D ）和Ker （D ）（3）证明D 在任何一组基下的矩阵都不可能是对角矩阵（4）在[]n R X 中定义内积11(,)()(),f g f x g x dx −=(),()[]n f x g x R X ∈,求出3[]R X 的一组标准正交基二 （20分）设A ＝3615125125− −−三 （16分）（1）设A ＝11121013 − −，求12,,,F A A A A ∞ （2）设A 为n 阶矩阵，证明：()1A ρ<的充要条件是存在某种相容矩阵范数.，使得1A <四（14分）设111021111021A − −−=（1） 作出A 的一个QR 分解，即求满足T Q Q I =的4×3矩阵和3阶上三角矩阵R ，使得A QR ＝ （2） 计算A +五 （16分）（1）设311120102A − = − ，121211111B =，问A ≥B 是否成立 （2）设A 为n 阶Hermite 正定矩阵，B 为n 阶Hermite 半正定矩阵，并且AB BA =，证明 （i ）AB 为Hermite 半正定矩阵 （ii ）如果A ≥B ，则2A ≥2B六 （14分）（1）设222i i A i i i i =− −−，其中i =，证明A 是正定矩阵； （2）若n n A C ×∈，且21A<，则A >B ≥0(3)设,n n A B C ×∈是Hermite 矩阵，证明如果A >B ≥0，则A B −≤A ，且等号成立一（20分）（1）设A 为n 阶非奇异复矩阵，试述矩阵A 的QR 分解定理；（2）设110101111010A= −（i ）作出A 的一个满秩分解 （ii ）计算广义逆矩阵A +二（18分）（1）设210123032A=− −，求12,,,F A A A A ∞；（2）设A 为n 阶可逆矩阵，.是满足1I =的矩阵范数，证明11AA −−≥，21A ≤三（22分）设3117937100480024A −−−−−= − −（1） 求A 的特征多项式和A 的全部特征值； （2） 求A 的不变因子、初等因子和最小多项式； （3） 写出A 的Jordan 标准形； （4） 求lim k k A →∞；（5） 计算Ae 四（20分）（1）设622250207A −=−，证明A 为正定矩阵；（2）设A ，B 均为Hermite 矩阵，证明：（i ） 如果A >0, 则A B 相似于对角矩阵；（ii ） 如果A >0, B >0, 则A B 的特征值均为正数；（iii ） 如果A >0, B >0,且A B ＝B A ，则A B 是Hermite 正定矩阵五（20分）设V 是实数域R 上全部3阶实反对称矩阵作成的线性空间（按矩阵的加法和数量乘法）（1） 求V 的维数，并写出V 的一组基；（2） 证明：若A 是3阶实对称矩阵，且X V ∈，则必有AX XA V +∈； （3） 作映射T 如下：011011()101101,110110T X X X X V −−=+∈ −−证明：T 是V 上的线性变换；（4） 求T 在（1）中所取基下的矩阵表示。
矩阵论考试题和答案(详细)
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课程编号: A000003 考试日期: 2009 年 1 月 13 日
λ I − A = λ (λ + 1)2
---------------3 ----------------3 -------------6 --------------2 ---------------2
= P −1 AP 满足相容矩阵范数的四个条件。
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第 2 页
三、 （20 分）
（1） A 的满秩分解为 1 0 − 1 0 1 A = 0 1 0 1 0 − 1 0
A + = C T ( CC
T
-----------------5
1 4 0 1 − 4
(tr ( A))2 = (λ1 + L + λn ) 2 ≥ λ12 + L + λn2 = tr ( A2 ) 。 ---------------4
（3）因为 A > 0 ，则 A 可逆，并且 A−1 > 0 。由 I = AA−1 ，可得
n = tr ( I ) = tr ( AA−1 ) = tr ( AH A−1 ) ≤ tr ( AH A)tr ( A− H A−1 ) 2 = tr ( A2 )tr ( A−2 ) 2
由（2）知 tr ( A2 ) ≤ tr ( A), tr ( A−2 ) ≤ tr ( A−1 ) ，因此n ≤ tr ( A)tr ( A−1 ) 。 -则存在与 . 相容的向量范数 . a ，从而
| λ | x a = λ x a = Ax a ≤ A x a , | λ −1 | x a ≤ A−1 x
南京航空航天大学2018矩阵论试卷2018A
南京航空航天大学2018级硕士研究生 共 5 页 第 1 页2017 ~ 2018学年第1学期 《矩阵论》 课程考试A 卷考试日期：2018年1月5日 课程编号：6A080001 命题教师： 阅卷教师： 学院 专业 学号 姓名 成绩一、(20分) 设阶矩阵．4⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=1000110010100001A 1．求的特征多项式以及特征值的几何重数与代数重数；A 2．求的初等因子、最小多项式；A 3．求的Jordan 标准形；A 4．问：与矩阵是否相似？并说明理由．A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=1000010000100661B二、(20分) 设，在中定义映射：T )1,1,1(-=α3R .3,)(32)(R x x x x T ∈∀-=αασ1.证明是的线性变换；σ3R 2.求在基下的矩阵；σT T T )3,0,0(,)1,2,0(,)1,1,1(321==-=αααA 3.证明是的正交变换.σ3R三、(20分) 设列满秩矩阵，四维列向量.34⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100111100111A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111b 1．作出的分解；A QR 2．求的加号逆；A +A 3．证明方程组不相容，并求其极小最小二乘解．b Ax =四、(20分) 设.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111201111A 1．求；21,,,A A A A F ∞2．证明矩阵幂级数绝对收敛，并求其和；∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛131k kA 3．设是阶矩阵，证明．A n 111A n A A n F ≤≤五、(20分) 设是两个n 阶Hermite 正定矩阵，是n 阶酉矩阵，证明：B A ,C 1．存在n 阶Hermite 正定矩阵，使得；S 2S A =2．；021≥-+-I A A 3．若，则；BC C A H >H C CA B 11-->4．题1中的Hermite 正定矩阵唯一存在．S。
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于是 .
3. ．
南航矩阵论考试
———————————————————————————————— 作者：
———————————————————————————————— 日期：
ﻩ
南京航空航天大学2０1５级硕士研究生
共5页第1页
2015 ~ 201６学年第1学期《矩阵论》课程考试Ａ卷
考试日期:2015年12月28日课程编号：A0８０0０１命题教师:阅卷教师：
，
即 ．
３.已知幂级数 的收敛半径为3,且 ,则矩阵幂级数 绝对收敛,且
．
共5页第５页
五、(20分)设 分别是n阶Hermiｔe正定矩阵和半正定矩阵，证明：
1． 相似于Hermite半正定矩阵;
2.若 ,则 ；
３.若 ,则 .
答案及评分标准:
1. ，这里 是可逆的Hｅrmite矩阵,从而 ．由于 ,所以 ,即 相似于Hｅrmitｅ半正定矩阵 .
在题1所取基下的矩阵是 .
３．由于 ，所以 , 为 的一组基；由于 ，所以 ， 是 的一组基.
4．由于 ，所以 .
共5页第3页
三、（20分)设非齐次线性方程组 相容，其中 ， ．
1.作出 的一个满秩分解;
2．求 的加号逆 ;
3.求方程组 的极小范数解（要求解中不含有参数t).
答案及评分标准:
1. 的一种满秩分解为 ;
学院专业学号姓名成绩
一、(２０分)设 阶矩阵 .
1.求 的特征多项式和初等因子;
2．求 的最小多项式和Joｒdan标准形；
3.问： 与矩阵 是否相似？并说明理由．
案及评分标准：
１.特征多项式为 ；初等因子为 .
２. 的最小多项式是 ，Jｏrdan标准形为 .
3.因为 的初等因子为 ，与 的初等因子不同,所以 与 不相似.
(5分）
共5页第２页
二、(20分)设 ,映射 使得
.
1.证明 是 的一个子空间，并求它的维数和基；
2.证明 是 的线性变换,并求 在题1所取基下的矩阵；
3．求 的核 与值域 的维数和基；
4．证明: .
答案及评分标准：
1．直接验证,知 是线性子空间. 的维数是3，一组基是
.
2.直接验证,知 是线性变换.
(注意:满秩分不唯一,需要检验)．
2.因为 ,所以
.
３.由相容性,解得 ,从而极小范数解为 .
共5页第4页
四、（２0分)设矩阵 .
1.求 ;
2.证明对于 中的任意矩阵 ,有 ;
3．证明矩阵幂级数 绝对收敛，并求其和.
答案及评分标准:
1. ．
由于 ,所以 .
２.由矩阵2范数的相容性，有 .另一方面,由题1的计算过程知 ，从而