圆的标准方程 试讲课件
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必修2《圆的标准方程》1(人教版)PPT课件
极坐标方程与标准方程的关系
通过极坐标与直角坐标的转换公式 $x = rcostheta, y = rsintheta$， 可以将极坐标方程转换为标准方程。
标准方程 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ 可以通过配方转换为极坐标方 程。
极坐标方程的应用
描述圆的形状和大小。 解决与圆相关的几何问题，如求圆的面积、周长等。
圆的几何意义
01
02
03
04
圆是中心对称图形，对称中心 是圆心。
圆也是轴对称图形，任何经过 圆心的直线都是它的对称轴。
圆的周长与直径的比值是一个 常数，这个常数叫做圆周率π
。
圆的面积与半径的平方成正比 ，比例系数是π。
2023
PART 02
圆的标准方程
REPORTING
标准方程的形式
圆的标准方程为： $(x - a)^{2} + (y b)^{2} = r^{2}$
切线的定义
与圆有且仅有一个公共点 的直线。
切线的性质
切线与半径垂直，且切点 到圆心的距离等于半径长 。
切线的判定方法
若直线与圆有公共点，且 过该点的半径与直线垂直 ，则该直线为圆的切线。
2023
PART 06
圆的综合应用
REPORTING
圆与直线的位置关系
相离
直线与圆没有交点，即圆心到直 线的距离大于圆的半径。
$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$
标准方程的应用
用于判断点与圆的位置关系 用于求解与圆有关的轨迹问题
用于求解圆的切线方程 用于解决与圆相关的最值问题
2023
选择必修 第二章 2.4.1 圆的标准方程 课件(共26张PPT)
究位置关系、距离
等问题
新知引入
类比直线方程的研究过程，如何研究圆的方程呢？
圆
平面直角坐标系
圆的方程
代数运算
利用圆的方程，研究
圆有关的位置关系、
几何度量等问题
新知探究
在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？
如图，在平面直角坐标系中，⨀A的圆心A的坐标为(a,b)，半径为r，M(x,y)为
圆上任意一点,⨀A就是以下点的集合
多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.建立直线的方程后，我们可以运
用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交
点以及点到线段所在直线的距离等问题.类似地，为了研究圆的有关性质，解决
与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程.
我国的墨子云：圆，一中同长也.
意思：圆有一个圆心，圆心到圆周上各点的距离（即半径）都相等.
程①.于是
(5 − )2 +(1 − )2 = 2 ,
൞(7 − )2 +(−3 − )2 = 2 ,.
(2 − )2 +(−8 − )2 = 2
知新探究
【例2】△ABC的三个顶点分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，
求△ABC的外接圆的标准方程.
解： 即
2 + 2 − 10 − 2 + 26 = 2 ,
心A间的距离为r，点M就在⨀A上.
这时，我们把上述方程称为圆心为A，半径为r的圆
的标准方程(standard equation of thecircle).
半径r
圆的几何要素: 圆心（a,b）
圆心在坐标原点，
半径为r的圆的标准
三个独立条件求a,b,r确定一个圆的方程.
等问题
新知引入
类比直线方程的研究过程，如何研究圆的方程呢？
圆
平面直角坐标系
圆的方程
代数运算
利用圆的方程，研究
圆有关的位置关系、
几何度量等问题
新知探究
在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？
如图，在平面直角坐标系中，⨀A的圆心A的坐标为(a,b)，半径为r，M(x,y)为
圆上任意一点,⨀A就是以下点的集合
多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.建立直线的方程后，我们可以运
用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交
点以及点到线段所在直线的距离等问题.类似地，为了研究圆的有关性质，解决
与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程.
我国的墨子云：圆，一中同长也.
意思：圆有一个圆心，圆心到圆周上各点的距离（即半径）都相等.
程①.于是
(5 − )2 +(1 − )2 = 2 ,
൞(7 − )2 +(−3 − )2 = 2 ,.
(2 − )2 +(−8 − )2 = 2
知新探究
【例2】△ABC的三个顶点分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，
求△ABC的外接圆的标准方程.
解： 即
2 + 2 − 10 − 2 + 26 = 2 ,
心A间的距离为r，点M就在⨀A上.
这时，我们把上述方程称为圆心为A，半径为r的圆
的标准方程(standard equation of thecircle).
半径r
圆的几何要素: 圆心（a,b）
圆心在坐标原点，
半径为r的圆的标准
三个独立条件求a,b,r确定一个圆的方程.
《圆的标准方程》课件
《圆的标准方程》PPT课 件
欢迎来到《圆的标准方程》PPT课件！在这个课件中，我们将介绍圆的基本概 念、标准方程的一般形式以及圆心和半径的含义。让我们开始探索圆的奥秘 吧！
什么是圆的标准方程
圆的标准方程是描述圆形的方程式。它使用平面直角坐标系中的变量来表示 圆的位置和半径。了解圆的标准方程可以帮助我们解决各种与圆相关的数学 问题。
多边形
圆可以与多边形的外接圆或内切 圆相交或相切。
圆的重要性及应用领域
1 数学基础
圆是几何学的基本概念之一，对于数学的发展起到了重要的推动作用。
2 物理学
圆的运动和旋转是物理学中许多现象的基础，如行星的轨道和自转。
3 计算机科学
圆的标准方程在计算机图形学中用于绘制圆形的图像和动画。
圆的标准方程与其他方程型的比较
圆的标准方程在物理学中的应用
物理学中的许多现象可以用圆的标准方程进行建模和描述。例如，行星的轨道可以用圆形或椭圆 形来表示，而物体的旋转运动也可以用圆的方程来描述。
圆的标准方程在工程 中用于设计圆形物体 的尺寸和位置。
通过圆的标准方程解决方程组
圆的标准方程可以与其他方程组合使用，解决多元方程组中与圆有关的问题。例如，我们可以通 过圆的标准方程和直线方程的系统来求解直线和圆的交点。
圆和其他图形的关系
1
三角形
2
圆可以与三角形的外接圆或内切
圆有关。
3
矩形
圆可以与矩形相切或包围，形成 有趣的图案。
步骤2
将圆心的坐标(h, k)代入圆的标准方程的x 和y的变量位置。
步骤4
整理方程，得到圆的标准方程。
圆的一般方程和标准方程之间 的关系
圆的一般方程和标准方程都可以用来表示圆形，但它们的形式不同。一般方 程是多项式形式，而标准方程是平方项的和。通过变换，可以将一般方程转 化为标准方程，反之亦然。
欢迎来到《圆的标准方程》PPT课件！在这个课件中，我们将介绍圆的基本概 念、标准方程的一般形式以及圆心和半径的含义。让我们开始探索圆的奥秘 吧！
什么是圆的标准方程
圆的标准方程是描述圆形的方程式。它使用平面直角坐标系中的变量来表示 圆的位置和半径。了解圆的标准方程可以帮助我们解决各种与圆相关的数学 问题。
多边形
圆可以与多边形的外接圆或内切 圆相交或相切。
圆的重要性及应用领域
1 数学基础
圆是几何学的基本概念之一，对于数学的发展起到了重要的推动作用。
2 物理学
圆的运动和旋转是物理学中许多现象的基础，如行星的轨道和自转。
3 计算机科学
圆的标准方程在计算机图形学中用于绘制圆形的图像和动画。
圆的标准方程与其他方程型的比较
圆的标准方程在物理学中的应用
物理学中的许多现象可以用圆的标准方程进行建模和描述。例如，行星的轨道可以用圆形或椭圆 形来表示，而物体的旋转运动也可以用圆的方程来描述。
圆的标准方程在工程 中用于设计圆形物体 的尺寸和位置。
通过圆的标准方程解决方程组
圆的标准方程可以与其他方程组合使用，解决多元方程组中与圆有关的问题。例如，我们可以通 过圆的标准方程和直线方程的系统来求解直线和圆的交点。
圆和其他图形的关系
1
三角形
2
圆可以与三角形的外接圆或内切
圆有关。
3
矩形
圆可以与矩形相切或包围，形成 有趣的图案。
步骤2
将圆心的坐标(h, k)代入圆的标准方程的x 和y的变量位置。
步骤4
整理方程，得到圆的标准方程。
圆的一般方程和标准方程之间 的关系
圆的一般方程和标准方程都可以用来表示圆形，但它们的形式不同。一般方 程是多项式形式，而标准方程是平方项的和。通过变换，可以将一般方程转 化为标准方程，反之亦然。
圆的标准方程ppt课件完整版x-2024鲜版
2024/3/28
25
两圆相离条件（内含和外离）
内含
两圆圆心之间的距离小于两圆半径之差。
外离
两圆圆心之间的距离大于两圆半径之和。
2024/3/28
26
判断方法总结及示例
要点一
判断方法
首先根据两圆圆心距和半径和、半径差的大小关系，确定 两圆的位置关系类型（相交、相切、相离），然后根据具 体类型进一步判断是相交、内切、外切、内含还是外离。
04
2024/3/28
05
4. 从中可以看出，圆心坐标 为 $(2, -3)$，半径 $r = 1$
。
12
03
圆的图像与性质分析
2024/3/28
13
圆心位置对图像影响
圆心决定圆的位置
在平面直角坐标系中，圆心的坐标决定了圆在平面上的位置。
圆心与圆上任一点的距离等于半径
根据圆的定义，圆心到圆上任意一点的距离都等于半径，因此圆心的位置会影响圆的整体形状和大小 。
$(x - a)^{2}$ 和 $(y - b)^{2}$ 分别表示 点 $(x, y)$ 到圆心 $(a, b)$ 的水平和垂 直距离的平方。
2024/3/28
$r$ 表示圆的半径， 即从圆心到圆上任一 点的距离。
10
从一般方程到标准方程的转换
一般方程形式为
$x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0$
当两个质点发生碰撞时，可以通过它们的运动轨迹（即两个圆的 方程）来求解碰撞点的坐标。
分析物体的受力情况
在某些物理问题中，可以通过分析物体运动轨迹的形状（如圆形 或椭圆形）来推断物体所受的力。
31
2-4-1圆的标准方程 课件(共28张PPT)
题型二 判断点与圆的位置关系
例 2 (1)已知圆心为点 C(－3，－4)，且圆经过原点，求该 圆的标准方程，并判断点 P1(－1，0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和 圆的位置关系．
【思路分析】 关键是找到点与圆心的距离和半径的关系．
【解析】 因为圆心是 C(－3，－4)，且圆经过原点， 所以圆的半径 r＝ （－3－0）2＋（－4－0）2＝5. 所以圆的标准方程为(x＋3)2＋(y＋4)2＝25. 因 为 （－1＋3）2＋（0＋4）2 ＝ 4＋16 ＝ 2 5 <5 ， 所 以 P1(－1，0)在圆内； 因为 （1＋3）2＋（－1＋4）2＝5，所以 P2(1，－1)在圆上； 因为 （3＋3）2＋（－4＋4）2＝6>5，所以 P3(3，－4)在圆 外．
(2)由已知得圆心坐标为 M(2，－1)，半径 r＝12|AB|＝1，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
(3)方法一：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
∴（ （2－－2a－）a2）＋2（＋－（3－－5b－）b2）＝2r＝2，r2， a－2b－3＝0，
即aa22－ ＋44aa＋ ＋bb22＋ ＋61b0＋ b＋132＝ 9＝r2r，2， ②
要点 3 几种特殊位置的圆的标准方程
条件
方程形式
(x－a)2＋(y－ 过原点，圆心(a，b)，半径 r＝ a2＋b2
b)2＝a2＋b2
圆心在原点，即 a＝0，b＝0，半径 为 r，r>0
x2＋y2＝r2
圆心在 x 轴上，即 b＝0，半径为 r， (x－a)2＋y2＝r2
r>0
圆心在 y 轴上，即 a＝0，半径为 r， x2＋(y－b)2＝r2
(2)已知 A(1，2)，B(0，1)，C(7，－6)，D(4，3)，判断这四 点是否在同一个圆上．
圆的标准方程公开课课件 (1)
2 2
2
C
x
圆的标准方 程
三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程.
若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x y r
2 2
2
应用举例
( x a ) ( y b) r
2 2
2
例1. 说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径： 2 + （y+2）2 = 1 2 2 (2) x (1) (x + 7) + ( y 4) = 36 解：(1) (x + 7)2 + ( y 4)2 = 36 【x –(- 7)】2 + ( y 4)2 = 62 所以 a=-7 ,b=4,r=6 所以圆的圆心坐标为（-7,4），半径为r=6 (2) x2 + （y+2）2 = 1 (x-0)2 + 【 y-(-2)】2 = 12 所以 a=0 ,b=-2,r=1
2 2
2
• （2）明确三个量a,b,r • （3）将式子化简
2 2 2 M ( x , y ) 怎样判断点 0 0 0 在圆 ( x a) ( y b) r 内呢？圆上？还是在圆外呢？
y M2 M3
C
o
M1
x
知识探究二：点与圆的位置关系 在平面几何中，如何确定点与圆的位置关系呢？
( x 2)2 ( y 1)2 2
2、圆 x2 y 2 26 的圆心和半径分别是（ C）
A 、（0,0），26
C、（0,0）， 26
B 、（1,0），26
D、 （0,1）， 26
小结
1.圆的标准方程
( x a) ( y b) r
2 2
2
（圆心C(a,b),半径r）
2
C
x
圆的标准方 程
三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程.
若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x y r
2 2
2
应用举例
( x a ) ( y b) r
2 2
2
例1. 说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径： 2 + （y+2）2 = 1 2 2 (2) x (1) (x + 7) + ( y 4) = 36 解：(1) (x + 7)2 + ( y 4)2 = 36 【x –(- 7)】2 + ( y 4)2 = 62 所以 a=-7 ,b=4,r=6 所以圆的圆心坐标为（-7,4），半径为r=6 (2) x2 + （y+2）2 = 1 (x-0)2 + 【 y-(-2)】2 = 12 所以 a=0 ,b=-2,r=1
2 2
2
• （2）明确三个量a,b,r • （3）将式子化简
2 2 2 M ( x , y ) 怎样判断点 0 0 0 在圆 ( x a) ( y b) r 内呢？圆上？还是在圆外呢？
y M2 M3
C
o
M1
x
知识探究二：点与圆的位置关系 在平面几何中，如何确定点与圆的位置关系呢？
( x 2)2 ( y 1)2 2
2、圆 x2 y 2 26 的圆心和半径分别是（ C）
A 、（0,0），26
C、（0,0）， 26
B 、（1,0），26
D、 （0,1）， 26
小结
1.圆的标准方程
( x a) ( y b) r
2 2
2
（圆心C(a,b),半径r）
圆的标准方程 圆的一般方程 教学课件(共39张PPT)高中数学北师大版(2019)选择性必修第一册
(, )
r
由两点间的距离公式得
x
a
2
y b
2
r，
(, )
O
将上式两边平方得 x a
2
y b
2
r 2 .①
x
思考一下
以方程①的解为坐标点一定在圆 C 上吗？
设以方程①的任意解 x, y 为坐标的点记为点 Q ，
因为 x, y 是方程①的解，代入方程①可得： x a 2 y b 2 r 2
10
D +3E
20
4 D+2 E
F050ຫໍສະໝຸດ 5D 5EF0
解得 D
F
2, E
0
4, F
2
2
x
+
y
故所求圆的方程为
20 ，
2x
4y
20
0.
例 5：讨论方程 x +y
2
2
x 3
解： 将原方程组整理为 1 2 x2
当
2
y2 表示的是什么图形？
1 y2
2
0，
6x 9
1 时，方程（1）是一元一次方程 6x 9
思考交流
对于点 Px0 , y0 和圆 C : x a 2 y b 2 r 2 ，由圆的标准方程的概念，可知点 P
在圆 C 上的充要条件是 x0 a2 y0 b2 r 2 .
2
2
当点 P 不在圆 C 上时，一定有 x0 a y0 b r 2 ，此时，存在以下两种情况：
PC r
x0 a 2 y0 b2
r
x0 a y0 b r 2
圆的标准方程ppt课件
_____5______．
解析：圆 C : x2 y2 25 的圆心为C(0,0) ，半径r = 5 ， 因为 AC (8 0)2 (6 0)2 10 5 ，所以点 A 在圆外， 所以 AP 的最小值为 AC r 10 5 5 ，故答案为：5.
总结一下
圆的标准方程
6.已知 A2,2、 B2,6 ，则以 AB 为直径的圆的标准方程为_x_2____.y4 2 8
解析：线段 AB 的中点坐标为0, 4 ， AB 2 22 2 62 4 2 ，
所以，所求圆的半径为 2 2 ，故所求圆的标准方程为 x2 y 42 8 .
7.已知点 A(8, 6) 与圆C : x2 y2 25 ，P 是圆 C 上任意一点，则 AP 的最小值是
求圆的标准方程的两种方法
1.待定系数法.先设圆的标准方法 x a 2 y b 2 r2 ，再根据条件列出关于 a， b，r 的三个独立方程，通过解方程组求出 a，b，r 的值，从而得到圆的标准方程， 如例题 2 的解法.这是一种代数解法. 2.直接求解法.先根据题目条件求出圆心和半径，直接写出圆的标准方程，如例 3 的解法，这种解法往往需要圆的几何性质.
例 3 已知圆心为 C 的圆经过 A(1，1) ，B(2 ，2) 两点，且圆心 C 在直线l : x y 1 0 上， 求此圆的标准方程.
分析：设圆心 C 的坐标为 a,b .由已知条件可知， CA CB ，且a b 1 0 ， 由此可以求出圆心坐标和坐标.
解：解法1：
设圆心 C 的坐标为 (a ，b) . 因为圆心 C 在直线 l : x y 1 0 上，所以 a b 1 0 .① 因为 A，B 是圆上两点，所以| CA| | CB | . 根据两点间距离公式，有 (a 1)2 (b 1)2 (a 2)2 (b 2)2 ， 即 a 3b 3 0 .② 由①②可得 a 3，b 2 . 所以圆心 C 的坐标是 (3， 2) . 圆的半径 r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5 .
解析：圆 C : x2 y2 25 的圆心为C(0,0) ，半径r = 5 ， 因为 AC (8 0)2 (6 0)2 10 5 ，所以点 A 在圆外， 所以 AP 的最小值为 AC r 10 5 5 ，故答案为：5.
总结一下
圆的标准方程
6.已知 A2,2、 B2,6 ，则以 AB 为直径的圆的标准方程为_x_2____.y4 2 8
解析：线段 AB 的中点坐标为0, 4 ， AB 2 22 2 62 4 2 ，
所以，所求圆的半径为 2 2 ，故所求圆的标准方程为 x2 y 42 8 .
7.已知点 A(8, 6) 与圆C : x2 y2 25 ，P 是圆 C 上任意一点，则 AP 的最小值是
求圆的标准方程的两种方法
1.待定系数法.先设圆的标准方法 x a 2 y b 2 r2 ，再根据条件列出关于 a， b，r 的三个独立方程，通过解方程组求出 a，b，r 的值，从而得到圆的标准方程， 如例题 2 的解法.这是一种代数解法. 2.直接求解法.先根据题目条件求出圆心和半径，直接写出圆的标准方程，如例 3 的解法，这种解法往往需要圆的几何性质.
例 3 已知圆心为 C 的圆经过 A(1，1) ，B(2 ，2) 两点，且圆心 C 在直线l : x y 1 0 上， 求此圆的标准方程.
分析：设圆心 C 的坐标为 a,b .由已知条件可知， CA CB ，且a b 1 0 ， 由此可以求出圆心坐标和坐标.
解：解法1：
设圆心 C 的坐标为 (a ，b) . 因为圆心 C 在直线 l : x y 1 0 上，所以 a b 1 0 .① 因为 A，B 是圆上两点，所以| CA| | CB | . 根据两点间距离公式，有 (a 1)2 (b 1)2 (a 2)2 (b 2)2 ， 即 a 3b 3 0 .② 由①②可得 a 3，b 2 . 所以圆心 C 的坐标是 (3， 2) . 圆的半径 r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5 .
圆的标准方程完整ppt课件(2024)
r^{2}$。
2024/1/30
9
方程中参数的意义
2024/1/30
$a, b$
01
圆心坐标，表示圆心的位置。
$r$
02
半径，表示圆的大小。
$x, y$
03
圆上任意一点的坐标，满足方程 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} =
r^{2}$。
10
03
圆的图形特征与性质
2024/1/30
圆关于经过圆心的任意直 线都是对称的。
2024/1/30
周期性
圆上任意一点绕圆心旋转 360度后回到原位，具有 周期性。
应用
利用对称性和周期性可以 简化一些复杂的几何问题 。
13
切线与法线的性质
切线
与圆有且仅有一个公共 点的直线。
2024/1/30
法线
过切点且与切线垂直的 直线。
切线与半径垂直
切线长定理
已知圆与直线相切求参数
利用圆心到直线的距离等于半径，可以列出方程求解参数 。
24
判断点与圆的位置关系
计算点到圆心的距离与半径比较
若距离小于半径，则点在圆内；若距离等于半径，则点在圆上；若距离大于半 径，则点在圆外。
利用点与圆方程的关系判断
将点的坐标代入圆方程，若得到的值小于0，则点在圆内；若得到的值等于0， 则点在圆上；若得到的值大于0，则点在圆外。
圆与双曲线的关系
双曲线的一种特殊情况是等轴双曲线，其渐近线方程就是圆的方程。此外，双曲线的焦点 到任意一点的距离之差为定值，这个定值也可以和圆的半径建立联系。
圆与抛物线的关系
抛物线的一种特殊情况是顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线，其准线方程就是圆的方程 。同时，抛物线的焦点到任意一点的距离等于该点到准线的距离，这个性质也可以和圆的 性质进行类比。
2024/1/30
9
方程中参数的意义
2024/1/30
$a, b$
01
圆心坐标，表示圆心的位置。
$r$
02
半径，表示圆的大小。
$x, y$
03
圆上任意一点的坐标，满足方程 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} =
r^{2}$。
10
03
圆的图形特征与性质
2024/1/30
圆关于经过圆心的任意直 线都是对称的。
2024/1/30
周期性
圆上任意一点绕圆心旋转 360度后回到原位，具有 周期性。
应用
利用对称性和周期性可以 简化一些复杂的几何问题 。
13
切线与法线的性质
切线
与圆有且仅有一个公共 点的直线。
2024/1/30
法线
过切点且与切线垂直的 直线。
切线与半径垂直
切线长定理
已知圆与直线相切求参数
利用圆心到直线的距离等于半径，可以列出方程求解参数 。
24
判断点与圆的位置关系
计算点到圆心的距离与半径比较
若距离小于半径，则点在圆内；若距离等于半径，则点在圆上；若距离大于半 径，则点在圆外。
利用点与圆方程的关系判断
将点的坐标代入圆方程，若得到的值小于0，则点在圆内；若得到的值等于0， 则点在圆上；若得到的值大于0，则点在圆外。
圆与双曲线的关系
双曲线的一种特殊情况是等轴双曲线，其渐近线方程就是圆的方程。此外，双曲线的焦点 到任意一点的距离之差为定值，这个定值也可以和圆的半径建立联系。
圆与抛物线的关系
抛物线的一种特殊情况是顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线，其准线方程就是圆的方程 。同时，抛物线的焦点到任意一点的距离等于该点到准线的距离，这个性质也可以和圆的 性质进行类比。
2.4.1圆的标准方程课件共23张PPT
上、圆内,还是圆外.
解:由已知得，圆心A的位置为线段P1P2的中 6) ,
P1 P2
利用两点间距离公式得 r =
=
2
4 - 6 + 9 - 3
圆的标准方程为: (x-5)2+(y-6) 2=10.
2
2
2
= 10.
2.已知P 1(4, 9) , P 2(6, 3)两点,求以线段P 1P 2为直径
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
解:线段AB的垂直平分线l1的方程是 x - 2 y - 8 = 0
同理, 线段AC的垂直平分线l2的方程是 x + 3 y + 7 = 0
x -2y-8 = 0
圆心的坐标就是方程组
的解 .
x +3y +7 = 0
x = 2,
所以, 圆心C的坐标(2 , -3) , 圆的半径
分析:设圆心C的坐标为(a, b) . 由已知条件可知 |CA|=
|CB|, 且a-b+1=0 . 由此可求出圆心坐标和半径 .
又因为线段AB是圆的一条弦 , 根据平面几何知识, AB
的中点与圆心C的连线垂直于AB , 由此可得到另一种解法.
解法1:设圆心C的坐标为(a, b) . 因为圆心C在直线 l :
分析: 不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆 ,
三角形有唯一的外接圆 . 显然已知的三个点不在同一条直
线上 . 只要确定了a, b, r , 圆的标准方程就确定了.
例2 △ABC的三个顶点分别是A(5, 1) , B(7, -3) , C(2,
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
2
2
2
解: 设所求的方程是 x - a + y - b = r
解:由已知得，圆心A的位置为线段P1P2的中 6) ,
P1 P2
利用两点间距离公式得 r =
=
2
4 - 6 + 9 - 3
圆的标准方程为: (x-5)2+(y-6) 2=10.
2
2
2
= 10.
2.已知P 1(4, 9) , P 2(6, 3)两点,求以线段P 1P 2为直径
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
解:线段AB的垂直平分线l1的方程是 x - 2 y - 8 = 0
同理, 线段AC的垂直平分线l2的方程是 x + 3 y + 7 = 0
x -2y-8 = 0
圆心的坐标就是方程组
的解 .
x +3y +7 = 0
x = 2,
所以, 圆心C的坐标(2 , -3) , 圆的半径
分析:设圆心C的坐标为(a, b) . 由已知条件可知 |CA|=
|CB|, 且a-b+1=0 . 由此可求出圆心坐标和半径 .
又因为线段AB是圆的一条弦 , 根据平面几何知识, AB
的中点与圆心C的连线垂直于AB , 由此可得到另一种解法.
解法1:设圆心C的坐标为(a, b) . 因为圆心C在直线 l :
分析: 不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆 ,
三角形有唯一的外接圆 . 显然已知的三个点不在同一条直
线上 . 只要确定了a, b, r , 圆的标准方程就确定了.
例2 △ABC的三个顶点分别是A(5, 1) , B(7, -3) , C(2,
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
2
2
2
解: 设所求的方程是 x - a + y - b = r
圆的标准方程 课件(48张)
()
(2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2 一定表示圆．
()
(3)圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝9 的圆心坐标是(2，3)，半径是 9．
()
[答案] (1)√ (2)× (3)×
[提示] (1)正确．确定圆的几何要素就是圆心和半径． (2)错误．当 m＝0 时，不表示圆． (3)错误．圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝9 的圆心为(－2，－3)，半径为 3．
类型 2 待定系数法求圆的标准方程
【例 2】 (对接教材人教 B 版 P99 例 2)求下列各圆的标准方程． (1)圆心在 y＝0 上且过两点 A(1，4)，B(3，2)； (2)圆心在直线 x－2y－3＝0 上，且过点 A(2，－3)，B(－2，－5)．
[解] (1)设圆心坐标为(a，b)，半径为 r， 则所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2． ∵圆心在 y＝0 上，故 b＝0， ∴圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2． 又∵该圆过 A(1，4)，B(3，2)两点，
1234 5
回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．方程(x－a)2＋(y－b)2＝m 一定表示圆吗？ [提示] 不一定．当 m＞0 时，表示圆心为 C(a，b)，半径为 m的 圆； 当 m＝0 时，表示一个点 C(a，b)； 当 m＜0 时，不表示任何图形．
1234 5
3．圆心为点 P(－2，3)，并且与 x 轴相切的圆的方程是( ) A．(x＋2)2＋(y－3)2＝4 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝4 C．(x＋2)2＋(y－3)2＝9 D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9 C [因为圆心 P(－2，3)到 x 轴的距离为 3，且圆与 x 轴相切， 所以圆的半径为 3，则该圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝9．]
圆的标准方程精品课件
3
证明
设P和Q是圆上关于任意直线l对称的两点，则 AP=BQ，且PO=QO。由于PQ与l垂直，所以 △APO≌△BQA，从而证明了P和Q关于l对称。
06 圆的实际应用
生活中的圆的应用
交通工具
车轮、自行车轮胎、火车 铁轨等都采用了圆形的结 构，使得运动更加平稳和 高效。
建筑学
建筑物的窗户、门洞、柱 基等常采用圆形或圆弧形， 不仅美观大方，而且符合 结构力学原理。
圆的弦长定理
总结词
弦长与半径的关系
详细描述
在圆中，通过圆心的弦被平分，并且弦长等于两个半径之和。如果弦不经过圆心，则弦长小于两个半径之和。这 个定理用于计算弦的长度以及与半径之间的关系。
04 圆的面积与周长
圆的面积计算公式
圆的面积计算公式
$S = pi r^{2}$，其中$S$表示圆的面积，$r$表示圆的半径。
圆的标准方程的图形表示
以圆心为坐标原点，以半径为长度单 位，在平面直角坐标系中画出的圆形。
圆的标准方程推导
推导过程
通过将圆上任一点的坐标表示为$(x, y)$，利用点到圆心 的距离等于半径的性质，将圆的方程转化为标准形式。
推导步骤
设圆上任一点$P(x, y)$，圆心$O(h, k)$，半径为$r$，则 $OP = r$，即$sqrt{(x - h)^{2} + (y - k)^{2}} = r$，平 方两边得到标准方程。
自然界
自然界中许多物体呈现圆 形或类圆形，如星球、花 朵、叶子等。
02 圆的标准方程
圆的标准方程形式
圆的标准方程
圆的标准方程的应用
$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$， 其中$(h, k)$是圆心坐标，$r$是半径。
02教学课件_2.4.1 圆的标准方程 课件共38张PPT)
d=|PC|= (x0 -a)2 + (y0 -b)2 .
位置关系 d 与 r 的大小
图
示
点 P 的坐标的特点
点在圆外 d>r
(x0-a)2+(y0-b)2>r2
点在圆上 d=r
(x0-a)2+(y0-b)2=r2
点在圆内 d<r
(x0-a)2+(y0-b)2<r2
2.点P(-2,-2)和圆x2+y2=4的位置关系是(
故圆心是直线 y=-2x-4 与直线 x-2y-3=0 的交点,
= -2-4,
= -1,
由
得
= -2.
-2-3 = 0,
即圆心为(-1,-2),圆的半径为 r= (-1-2)2 + (-2 + 3)2 = 10,
所以所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
归纳总结
圆的标准方程的两种求法
.
思路分析:(1)首先根据圆的方程确定圆心和半径,然后利用P到圆心的距离和圆的半径
大小关系确定点与圆的位置关系;(2)首先确定圆心和半径,利用圆心到点M的距离小
于半径列出不等式求解.
解析:(1)因为(m2)2+52=m4+25>24,所以点 P 在圆外.
≥ 0,
(2)由题意知
(5 + 1-1)2 + ( )2 < 26,
y
M
r
A
O
x
新知探究
一、 圆的标准方程
点睛：(1)当圆心在原点即A(0,0)时,方程为x2+y2=r2.
(2)当圆心在原点即A(0,0),半径长r=1时,方程为x2+y2=1,称为单位圆.
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第四章 4.2 4.2.3
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自 主 预 习 课 时 作 业
要 点 导 学
∵d>r，∴直线与圆相离． ∴轮船不会受到台风的影响．
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针对这个类型的题目，即直线与圆的方程在生产、生活实践
自 主 预 习
如图所示．
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第四章 4.2 4.2.3
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设 x＋y＝b，则 b 表示动直线 y＝－x＋b 的纵截距，显然当 动直线 y＝－x＋b 与圆(x－3)2＋(y－3)2＝4 相切时，b 取最大值 或最小值．
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已知点 P(x， y)在圆 x2＋y2－6x－6y＋14＝0 上， 求 x＋y 的最 大值与最小值．
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第四章 4.2 4.2.3
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解：圆 x2＋y2－6x－6y＋14＝0 变形为(x－3)2＋(y－3)2＝4.
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要 点 导 学
(1)建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题的几 何元素，将实际或几何问题转化为代数问题． (2)通过代数运算，解决代数问题． (3)把代数运算结果“翻译”成实际或几何结论．
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第四章 4.2 4.2.3
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2．涉及与圆有关的最值问题，可借助图形性质，利用数形
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第四章 4.2 4.2.3
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由图可知当直线 MQ 是圆的切线时，k 取最大值与最小值．
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设切线 y－0＝k(x－4)，即 kx－y－4k＝0. 圆心 P 到切线的距离 |－k－2－4k| ＝2， 2 k ＋1 化简为 21k2＋20k＝0， 20 解得 k＝0 或 k＝－21. y 20 ∴ 的最大值为 0，最小值为－21. x－4
要 点 导 学
中的应用问题，关键是用坐标法将实际问题转化为数学问题，最 后再还原为实际问题．
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第四章 4.2 4.2.3
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要点三 直线与圆有关的最值问题
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由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与 圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的直观性来分析解 决问题，常涉及的几何量有斜率、截距、距离等．
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点，则△EOF(O 为原点)的面积为( 3 3 6 5 A.2 B.4 C．2 5 D. 5
)
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第四章 4.2 4.2.3
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|2＋6－3| 解析：圆心到直线的距离为 d＝ 2 ＝ 5. 1 ＋－22 ∴弦长|EF|＝2 9－ 52＝4. |－3| 3 5 又原点 O 到直线的距离为 ＝ 5 ， 5 1 3 5 6 5 ∴S△EOF＝ ×4× ＝ . 2 5 5
∴－1<b≤1.
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而 l1 与半圆相切，此时可求得 b＝－ 2. ∴b 的取值范围是－1<b≤1 或 b＝－ 2.
答案：B
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第四章 4.2 4.2.3
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学习小结
自 主 预 习
1． 直线与圆的方程在实际生活以及平面几何的应用， 通常要 用坐标法来解决，具体步骤如下：
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结合求解．
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第四章 4.2 4.2.3
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随堂训练
自 主 预 习
(对应学生用书 P79)
1．如图，圆弧形桥拱的跨度 AB＝12 米，拱高 CD＝4 米， 则拱桥的直径为( )
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A．15 米 B．13 米
课 时 作 业
答案：B
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第四章 4.2 4.2.3
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2． 实数 x、 y 满足方程 x＋y－4＝0， 则 x2＋y2 的最小值为(
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)
A．4 B．6 C．8 D．12
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第四章 4.2 4.2.3
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要 点 导 学
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此类问题主要是利用要求式子的几何意义，将代数求值问题
要 点 导 学
转化成函数图象间的位置关系，利用函数图象的性质解题，常涉 及斜率、截距、距离等．
课 时 作 业
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第四章 4.2 4.2.3
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思路明显，但过程较繁．
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在直线与圆的实际应用及平面几何问题中， 建系时尽可能做 到特殊化，使方程形式简单，尽可能多的点在坐标轴上.
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第四章 4.2 4.2.3
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要 点 导 学
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(对应学生用书 P77)
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要点一 直线与圆的方程的实际应用
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1.直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的 应用，解决实际问题的关键是把实际问题转化为数学问题． 2．用直线与圆的方程解决实际问题的步骤
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要 点 导 学
解释代数运算结果的几何意义，得出几何问题的结论．这就是用 坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”：
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第四章 4.2 4.2.3
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第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示
问题中的几何元素，将几何问题转化为代数问题
解析：由于曲线 x＝ 1－y2是半圆，可借助图形解决，如图，
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作半圆的切线 l1 和经过端点 A，B 的直线 l3，l2，由图可知，当直 线 y＝x＋b 位于 l2 和 l3 之间时，满足题意．
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第四章 4.2 4.2.3
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C．9 米 D．6.5 米
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AB2 解析：设拱桥的半径为 R，则 ＋(R－CD)2＝R2， 2 13 ∴6 ＋(R－4) ＝R ，得 R＝ ，2R＝13. 2
2 2 2
故拱桥的直径为 13 米．
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解析：设点 A 关于 x 轴的对称点为 B(－1，－1)，由图知，
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要求的最短距离为 BC－r， 即 2＋12＋3＋12－1＝4.
答案：4
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一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报， 台风中心位于轮船正西 70 km 处， 受影响的范围是半径为 30 km 的圆形区域， 已知港口位于台风中心正北 40 km 处， 如果这艘轮
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船不改变般线，那么它是否会受到台风的影响？ 【思路启迪】 该问题可以转化为怎样的数学问题？
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圆心 C(3,3)到切线 x＋y＝b 的距离等于圆的半径 2， |3＋3－b| 则 2 2， 2 2 ＝2，即|b－6|＝2 2，解得 b＝6± 1 ＋1 所以，x＋y 的最大值为 6＋2 2，最小值为 6－2 2.
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第四章 4.2 4.2.3
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5．已知圆 C 的圆心是直线 x－y＋1＝0 与 x 轴的交点，且圆
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C 与直线 x＋y＋3＝0 相切，则圆 C 的方程为________．
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|－1＋0＋3| 解析：圆心为(－1,0)，半径为 ＝ 2， 2 所以圆 C 方程为(x＋1)2＋y2＝2.
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4.2.3
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直线与圆的方程的应用
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