备战中考数学二次函数的综合复习

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；

（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P 的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=x2﹣3x。

（2）点B的坐标为：（4，4）。

（3）存在；理由见解析；

【解析】

【分析】

（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值，从而求得抛物线的解析式。

（2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了OA的长，根据△OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标，然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可。

（3）根据B点坐标可求出直线OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出P点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出P点的坐标．求△POB的面积时，求出OB，OP的长度即可求出△BOP的面积。

【详解】

解：（1）∵函数的图象与x轴相交于O，∴0=k+1，∴k=﹣1。

∴这个二次函数的解析式为y=x2﹣3x。

（2）如图，过点B做BD⊥x轴于点D，

令x 2﹣3x=0，解得：x=0或3。∴AO=3。

∵△AOB 的面积等于6，∴

12

AO•BD=6。∴BD=4。 ∵点B 在函数y=x 2﹣3x 的图象上，

∴4=x 2﹣3x ，解得：x=4或x=﹣1（舍去）。

又∵顶点坐标为：（ 1.5，﹣2.25），且2.25＜4，

∴x 轴下方不存在B 点。

∴点B 的坐标为：（4，4）。

（3）存在。 ∵点B 的坐标为：（4，4），∴∠BOD=45°，22BO 442=

+=。 若∠POB=90°，则∠POD=45°。

设P 点坐标为（x ，x 2﹣3x ）。 ∴2x x 3x =-。

若2x x 3x =-，解得x="4" 或x=0（舍去）。此时不存在点P （与点B 重合）。 若()2x x 3x =--，解得x="2" 或x=0（舍去）。

当x=2时，x 2﹣3x=﹣2。

∴点P 的坐标为（2，﹣2）。 ∴22OP 222=+=

∵∠POB=90°，∴△POB 的面积为：12PO•BO=12×2×2=8。

2．已知，抛物线y ＝ax 2+ax+b （a≠0）与直线y ＝2x+m 有一个公共点M （1，0），且a ＜b ．

（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；

（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；

（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．

【答案】（1）b=﹣2a，顶点D的坐标为（﹣1

2

，﹣

9

4

a）；（2）

27327

48

a

a

--；（3）

2≤t＜9

4

．

【解析】

【分析】

（1）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点D的坐标；

（2）把点M（1，0）代入直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，可求得另一交点N的坐标，根据a＜b，判断a＜0，确定D、M、N的位置，画图1，根据面积和可得△DMN的面积即可；

（3）先根据a的值确定抛物线的解析式，画出图2，先联立方程组可求得当GH与抛物线只有一个公共点时，t的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t的值，可得：线段GH与抛物线有两个不同的公共点时t的取值范围．

【详解】

解：（1）∵抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），

∴a+a+b=0，即b=-2a，

∴y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a（x+1

2

）2-

9

4

a

，

∴抛物线顶点D的坐标为（-1

2

，-

9

4

a

）；

（2）∵直线y=2x+m经过点M（1，0），∴0=2×1+m，解得m=-2，

∴y=2x-2，

则2222y x y ax ax a -⎧⎨+-⎩

＝＝， 得ax 2+（a-2）x-2a+2=0，

∴（x-1）（ax+2a-2）=0，

解得x=1或x=2

a -2， ∴N 点坐标为（

2a

-2，4a -6）， ∵a ＜b ，即a ＜-2a ，

∴a ＜0， 如图1，设抛物线对称轴交直线于点E ，

∵抛物线对称轴为122a x a =-

=-， ∴E （-12

，-3）， ∵M （1，0），N （

2a

-2，4a -6）， 设△DMN 的面积为S ， ∴S=S △DEN +S △DEM =

12

|（ 2a -2）-1|•|-94a -（-3）|=274−3a −278a ， （3）当a=-1时，

抛物线的解析式为：y=-x 2-x+2=-（x+12）2+94， 由222y x x y x

⎧=--+⎨=-⎩， -x 2-x+2=-2x ，

解得：x 1=2，x 2=-1，

∴G （-1，2），

∵点G 、H 关于原点对称，