学姐笔记-中考数学几何经典题型比例线段

比例线段

知识考点：

本节知识在历年中考的考题中，主要涉及用比例的性质、平行线分线段成比例定理。由于比例的性质在应用时有其限制条件，一些中考题又以此为背景设计分类求解题。

精典例题：

【例1】已知

05

43≠==z

y x ，那么

z y x z y x +++-＝ 。 分析：此类问题有多种解法，一是善于观察所求式子的特点，灵活运用等比性质求解；二是利用方程的观点求解，将已知条件转化为z x 53=

，z y 5

4

=，

代入所求式子即可得解；三是设“k ”值法求解，这种方法对于解有关连比的问题十分方便有效，要掌握好这一技巧。

答案：

3

1

变式1：已知

32===f e d c b a ，若032≠-+-f d b ，则3

222-+--+-f d b e c a ＝ 。 变式2：已知3:1:2::=z y x ，求

y

x z

y x 232++-的值。

变式3：已知a

a

c b b c b a c c b a k -+=

+-=-+=，则k 的值为 。 答案：（1）

3

2；（2）3；（3）1或－2； 【例2】如图，在△ABC 中，点E 、F 分别在AB 、AC 上，且AE ＝AF ，EF 的延长线交BC 的延长线于点D 。求证：CD ∶BD ＝CF ∶BE 。

分析：在题设中，没有平行的条件，要证明线段成比例，可考虑添加平行线，观察图形，对照结论，需要变换比CF ∶BE ，为了变换比CF ∶BE ，可以过点C 作BE 的平行线交ED 于G ，并设法证明CG ＝CF 即可获证。

本例为了实现将比CF ∶BE 转换成比CD ∶BD 的目的，还有多种不同的添画平行线的方法，它们的共同特征都是构造平行线截得的线段成比例的基本图形，请你们参考图形，自己去构思证明。

例2图1

G

F

E

D

C

B

A 例2图2 G

F E

D

C B A

例2图3

G

F

E

D

C B A

变式1：已知如图，D 是△ABC 的边BC 的中点，且

31=BE AE ，求

FC

AF

的值。 变式2：如图，BD ∶DC ＝5∶3，E 为AD 的中点，求BE ∶EF 的值。 答案：（1）

3

1

；（2）13∶3； 【例3】如图，在△ABC 中，P 为中线AM 上任一点，CP 的延长线交AB 于D ，BP 的延长线交AC 于E ，连结DE 。

（1）求证：DE ∥BC ；

（2）如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DC 、BE 交于P ，连结AP 并延长交BC 于M ，试问：M 是否为BC 的中点？ 解析：（1）延长AM 至Q ，使MQ ＝MP

∵BM ＝MC ，∴四边形BPCQ 是平行四边形 ∴CD ∥BQ ，BE ∥QC

∴EC

AE

PQ AP DB AD == ∴DE ∥BC

（2）过B 作BQ ∥CD 交AM 的延长线于Q ∵DE ∥BC ，∴

EC

AE

PQ AP DB AD == ∴

EC

AE

PQ AP =，∴BE ∥QC ∴四边形BPCQ 是平行四边形 ∴M 是BC 的中点

探索与创新：

【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题： 三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。如图，△ABC 中，AD 是角平分线。求证：

AC

AB

DC BD =

。 分析：要证

AC

AB

DC BD =

，一般只要证BD 、DC 与AB 、AC 或BD 、AB 与DC 、AC 所在三角形相似，现在B 、D 、C 在同一条直线上，△ABD 与△ADC 不相似，需要考虑用别的方法换比。我们注意到在比例式

AC

AB

DC BD =

中，AC 恰好是BD 、DC 、AB 的第四比例项，所以考虑过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E ，从而得到BD 、CD 、AB 的第四比例项AE ，这样，证明

例2图4

G

F

E

D C B A

变式1图

F

E

D

C

B A

变式2图

F

E

D C

B A 例3图

Q

M

P E

D

C

B

A

AC

AB

DC BD =

就可以转化为证AE ＝AC 。 证明：过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E

CE ∥AD ⎪⎭

⎪

⎬⎫⎪⎩⎪

⎨⎧∠=∠∠=∠∠=∠⇒E 13

221⇒∠E ＝∠3 ⇒AE ＝AC

CE ∥AD ⇒

AE

AB

DC BD =

∴AC

AB

DC BD =

（1）上述证明过程中，用了哪些定理（写出两个定理即可）；

（2）在上述分析、证明过程中，主要用到了三种数学思想的哪一种？选出一个填入后面的括号内（ ）

①数形结合思想 ②转化思想 ③分类讨论思想 答案：②转化思想

（3）用三角形内角平分线性质定理解答问题：已知AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，AB ＝5 cm ，AC ＝4 cm ，BC ＝7 cm ，求BD 的长。

答案：

9

35cm 评注：本题的目的主要在于考查学生的阅读理解能力。

跟踪训练：

一、填空题： 1、若

3

12=-n n m ，则n m

＝ ；若7:4:2::=z y x ，且3223=+-z y x ，则x

＝ ，y ＝ ，z ＝ 。

2、若

k y

z

x x z y z y x =+=+=+，则k ＝ 。 3、已知数3、6，请再写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项，则这个数是 。

4、如图，在□ABCD 中，E 为BC 上一点，BE ∶EC ＝2∶3，AE 交BD 于点F ，则BF ∶FD ＝ 。 二、选择题：

1、已知如图，AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O ，则下列比例式中正确的是（ ） A 、

AD OA CD AB = B 、BC OB OD OA = C 、OC OB CD AB = D 、OD

OB

AD BC =

填空第4题图

F E

D

C

B

A 选择第1题图

O

D

C

B A 选择第2题图

E

F

G

D C

B

A

问题图

3

2

1E

D

C

B

A