专题32 函数的存在与恒成立问题(原卷版)

专题32 函数的存在与恒成立问题
一、题型选讲
题型一 、 函数的存在问题
函数的恒成立问题往往采取分离参数法，参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：
①()(),x D g a f x ∃∈≤，则只需要()()max g a f x M ≤= ()(),x D g a f x ∃∈<，则只需要()()max g a f x M <= ②()(),x D g a f x ∃∈≥，则只需要()()min g a f x m ≥= ()(),x D g a f x ∃∈>，则只需要()()min g a f x m >=
例1、【2019年高考浙江】已知a ∈R ，函数3
()f x ax x =-，若存在t ∈R ，使得2
|(2)()|3
f t f t +-≤
，则实数a 的最大值是___________.
例2、(2016泰州期末） 若命题“存在x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≤0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．
例3、(2016苏锡常镇调研） 已知函数f (x )＝x ||x 2－a ，若存在x ∈[]1，2，使得f (x )<2，则实数a 的取值范围是________．
题型二、 函数的恒成立问题
函数的恒成立问题往往采取分离参数法，参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：
（1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行。

但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法。

（2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题。

（可参见”恒成立问题——最值分析法“中的相关题目）
参变分离后会出现的情况及处理方法：（假设x 为自变量，其范围设为D ，()f x 为函数；a 为参数，()g a 为其表达式）（1）若()f x 的值域为[],m M
①()(),x D g a f x ∀∈≤，则只需要()()min g a f x m ≤= ()(),x D g x f x ∀∈<，则只需要()()min g a f x m <= ②()(),x D g a f x ∀∈≥，则只需要()()max =g a f x M ≥
()(),x D g a f x ∀∈>，则只需要()()max =g a f x M >
例4、（2020届山东省泰安市高三上期末）设函数在定义域(0，+∞)上是单调函数，
，若不等式对恒成立，则实数a 的取
值范围是______．
变式5、【2019年高考天津理数】已知a ∈R ，设函数222,1,()ln ,
1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式
()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为
A ．[]
0,1 B ．[]
0,2 C ．[]0,e
D ．[]
1,e
例6、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知函数
当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
题型三、函数的存在与恒成立的综合问题
多变量恒成立与存在问题：对于含两个以上字母（通常为3个）的恒成立不等式，先观察好哪些字母的范围已知（作为变量），那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理
（1）选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离。

则不含参数的一侧可以解出最值（同时消去一元），进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了。

（2）将参数与变量进行分离，即不等号一侧只含有参数，另一侧是双变量的表达式，然后按所需求得双变量表达式的最值即可。

例7、(2019苏州期末）设函数f(x)＝⎪⎪⎪
⎪2
x －ax 2，若对任意x 1∈(－∞，0)，总存在x 2∈[])+∞,2使得)()(12x x f f ≤，则实数a 的范围
()f x ()()0,,x x f f x e x e ⎡⎤∀∈+∞-+=⎣⎦()()f x f x ax '+≥()0,x ∈+∞()()2
(,)1x f x ae x a R g x x =--∈=1,0a x =≥()()1f x kxln x ≥+
k
例8、（2017苏锡常镇一调） 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
－x 2＋4x ， 0≤x <4，
log 2
(x －2)＋2， 4≤x ≤6，若存在x 1，x 2∈R ，当
0≤x 1<4≤x 2≤6时，f (x 1)＝f (x 2)，则x 1f (x 2)的取值范围是________．
二、达标训练
1、(2017泰州期末） 若命题“存在x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≤0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．
2、(2017苏北四市摸底）已知函数f (x )＝e x －
1＋x －2(e 为自然对数的底数)，g (x )＝x 2－ax －a ＋3，若存在实数x 1，x 2，使得f (x 1)＝g (x 2)＝0，且|x 1－x 2|≤1，则实数a 的取值范围是________.
3、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知函数,若有且只有两个整数使得
,且,则的取值范围是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
4、【2020年高考天津】已知函数3
()ln ()f x x k x k =+∈R ，()f x '为()f x 的导函数．
当3k ≥-时，求证：对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()
121212
2f x f x f x f x x x ''+->
-．
5、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）已知2
()2ln(2)(1)()(1)f x x x g x k x =+-+=+，.
（1）求()f x 的单调区间；
（2）当2k =时，求证：对于1x ∀>-，()()f x g x <恒成立；
（3）若存在01x >-，使得当0(1,)x x ∈-时，恒有()()f x g x >成立，试求k 的取值范围.
()()()ln 10f x x a x a a =+-+>12,x x ()10f x >()20f x >a 3ln 30,2+⎛
⎫
⎪⎝⎭()0,2ln 2+3ln 3,2ln 22+⎡⎫+⎪⎢
⎣⎭2ln 243ln 3,32++⎡⎫
⎪⎢⎣
⎭。