matlab《数字图像处理》第8章 傅立叶变换解析
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第8章 图像傅立叶 变换
学习重点
二维傅立叶变换的定义 二维傅立叶变换的性质 二维傅立叶变换matlab实现
2
学习内容
8.1 一维傅立叶变换 8.2 二维傅立叶变换 8.3 傅立叶变换的性质 8.4 matlab傅立叶变换的实现 8.5 傅立叶变换的应用简介
3
为什么要在频率域研究图像增强
可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。 一些在空间域表达困难的增强任务，在频率域 中变得非常普通。
6
7
8.1 一维傅立叶变换
1） 一维连续函数的傅立叶变换（FT）
定义：若函数满足狄里赫利(Dirichlet)条件： 1）具有有限个间断点； 2）具有有限个极值点； 3）绝对可积，
则下列变换成立：
傅立叶正变换： F (u)
f (x) exp j2uxdx
傅立叶反变换：
f ( x) F (u) exp j2uxdu
反变换: f (x, y) F (u, v) exp j2 (ux vy)dudv
变换对: f (x, y) F(u, v)
18
幅度谱、相位谱、能量谱
一般F(u,v)是复函数,即:
F(u,v) R(u,v) jI(u,v) F(u,v) e j(u,v)
幅度谱: F(u, v) R2 (u, v) I 2 (u, v)
一旦找到一个特殊应用的滤波器，通常在空间 域采用硬件实现它
5
8.1 一维傅立叶变换
法国数学家傅立叶(生于1768年)在1822年出版的 《热分析理论》一书中指出:任何周期函数都可以表 达为不同频率的正弦和或余弦和的形式,即傅立叶级 数。
20世纪50年代后期,快速傅立叶变换算法出现,得到 了广泛的应用。
22
2） 平移性 公式（1）：
23
2） 平移性：
公式（2）：
f
(x
Fra Baidu bibliotek
x0 ,
y
y0 )
F (u, v) exp
j
2
N
(ux0
vy0 )
24
2）平移性：
25
3）分配律：
26
3） 尺度变换（缩放）：
27
5）旋转性
则： f ( , 0 ) F (, 0 )
相位谱:
(u,
v)
tg
1
I (u, v) R(u, v)
能量谱: E(u, v) R2 (u, v) I 2 (u, v)
19
2) 二维离散傅立叶变换
定义: 若f(x,y)是离散图像函数，为M×N维大小（通常M=N）， 则其傅立叶变换为：
正变换:
F (u, v)
1
M 1 N 1
f (x, y) exp[ j2 (ux / M vy / N )]
8
如果 f (x) 为实函数，傅立叶变换用复数表示：
F(u) R(u) jI(u)
用指数形式表示：
F(u) F(u) e j(u)
傅立叶谱：
相角： (u) arctg[ I (u) ]
R(u)
能量谱： E(u) F(u) 2 R2 (u) I 2 (u)
9
2） 一维离散傅立叶变换（DFT）
MN x0 y0
反变换:
M 1 N 1
f (x, y) F (u, v) exp[ j2ux / M vy / N ] u0 v0
20
8.3 二维傅立叶变换的性质
1） 可分离性：正反变换都具有分离性
21
1） 可分离性：正反变换都具有分离性
利用二维傅立叶变换的可分离性，可将二维DFT转化 成一维DFT计算。即，先在x（或y）方向进行一维DFT， 再在y（或x）方向进行一维DFT
滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤 波的某些性质
给出一个问题，寻找某个滤波器解决该问题， 频率域处理对于试验、迅速而全面地控制滤波 器参数是一个理想工具
4
为什么要在频率域研究图像增强
可以在频域指定滤波器，做反变换，然后在空 间域使用结果滤波器作为空间域滤波器的指导
一旦通过频域试验选择了空间滤波，通常实施 都在空间域进行
F (u)e j 2ux / M
x0
10
离散傅里叶变换及其反变换总存在。 用欧拉公式得 e j cos j sin
F(u)
1
M 1
f (x)[cos 2ux / M j sin 2ux / M ]
M x0
每个F(u) 由f(x)与对应频率的正弦和余弦乘积和组成；
u 值决定了变换的频率成份，因此，F(u)覆盖的域 (u值) 称为频率域，其中每一项都被称为FT 的频率
相位谱
(u)
arc tan
I (u) R(u)
功率谱 P(u) R2 (u) I 2 (u)
13
f(x)是一门函数，如图所示，它表示为：
f (x)
A 0
(0x X ) x0
求其傅立叶变换F(u)
14
解：
F (u) f ( x)e j 2uxdx
X Ae j 2uxdx
离散函数f(x)(其中x，u=0,1,2计,…算F,(Mu-)1：)的傅
立叶变换:
1) 在指数项中代入
u=0，然后将所有x
F (u)
1
M 1
值相加
f ( x)e j 2ux2/)M u=1，复对所有x
M x0
的相加；
3) 对所有M 个u 重
F(u)的反变换:
复此过程，得到完 整的FT。
M 1
f (x)
曲线下面积：当x 域 加倍时，频率谱的高度 也加倍；当函数长度加 倍时，相同间隔下频谱 中零点的数量也加倍。
17
8.2 二维傅立叶变换
1） 二维连续函数傅立叶变换（2DFT）
定义: 若f(x,y)是连续图像函数
正变换: F (u, v) f (x, y) exp j2 (ux vy)dxdy
分量。与f(x) 的“时间域”和“时间成份”相对应。
11
傅里叶变换将信号分成不同频率成份。类 似光学中的分色棱镜把白光按波长(频率) 分成不同颜色，称数学棱镜。
傅里叶变换的成份：直流分量和交流分量
12
傅立叶变换在极坐标下表示:
F(u) F(u) e j(u)
频率谱
F (u) R2 (u) I 2 (u)
0
A
j 2u
e j 2ux
X 0
A e juX e juX e juX j 2u
A sin(uX )e juX u
15
对应的傅立叶谱为：
F (u) A sin(uX ) e juX u
AX sin(uX ) uX
16
简单函数的傅里叶谱M 点离散函数及其傅里叶频 谱(M=1024, A=1, K=8)； 对应的傅里叶频谱
学习重点
二维傅立叶变换的定义 二维傅立叶变换的性质 二维傅立叶变换matlab实现
2
学习内容
8.1 一维傅立叶变换 8.2 二维傅立叶变换 8.3 傅立叶变换的性质 8.4 matlab傅立叶变换的实现 8.5 傅立叶变换的应用简介
3
为什么要在频率域研究图像增强
可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。 一些在空间域表达困难的增强任务，在频率域 中变得非常普通。
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8.1 一维傅立叶变换
1） 一维连续函数的傅立叶变换（FT）
定义：若函数满足狄里赫利(Dirichlet)条件： 1）具有有限个间断点； 2）具有有限个极值点； 3）绝对可积，
则下列变换成立：
傅立叶正变换： F (u)
f (x) exp j2uxdx
傅立叶反变换：
f ( x) F (u) exp j2uxdu
反变换: f (x, y) F (u, v) exp j2 (ux vy)dudv
变换对: f (x, y) F(u, v)
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幅度谱、相位谱、能量谱
一般F(u,v)是复函数,即:
F(u,v) R(u,v) jI(u,v) F(u,v) e j(u,v)
幅度谱: F(u, v) R2 (u, v) I 2 (u, v)
一旦找到一个特殊应用的滤波器，通常在空间 域采用硬件实现它
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8.1 一维傅立叶变换
法国数学家傅立叶(生于1768年)在1822年出版的 《热分析理论》一书中指出:任何周期函数都可以表 达为不同频率的正弦和或余弦和的形式,即傅立叶级 数。
20世纪50年代后期,快速傅立叶变换算法出现,得到 了广泛的应用。
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2） 平移性 公式（1）：
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2） 平移性：
公式（2）：
f
(x
Fra Baidu bibliotek
x0 ,
y
y0 )
F (u, v) exp
j
2
N
(ux0
vy0 )
24
2）平移性：
25
3）分配律：
26
3） 尺度变换（缩放）：
27
5）旋转性
则： f ( , 0 ) F (, 0 )
相位谱:
(u,
v)
tg
1
I (u, v) R(u, v)
能量谱: E(u, v) R2 (u, v) I 2 (u, v)
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2) 二维离散傅立叶变换
定义: 若f(x,y)是离散图像函数，为M×N维大小（通常M=N）， 则其傅立叶变换为：
正变换:
F (u, v)
1
M 1 N 1
f (x, y) exp[ j2 (ux / M vy / N )]
8
如果 f (x) 为实函数，傅立叶变换用复数表示：
F(u) R(u) jI(u)
用指数形式表示：
F(u) F(u) e j(u)
傅立叶谱：
相角： (u) arctg[ I (u) ]
R(u)
能量谱： E(u) F(u) 2 R2 (u) I 2 (u)
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2） 一维离散傅立叶变换（DFT）
MN x0 y0
反变换:
M 1 N 1
f (x, y) F (u, v) exp[ j2ux / M vy / N ] u0 v0
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8.3 二维傅立叶变换的性质
1） 可分离性：正反变换都具有分离性
21
1） 可分离性：正反变换都具有分离性
利用二维傅立叶变换的可分离性，可将二维DFT转化 成一维DFT计算。即，先在x（或y）方向进行一维DFT， 再在y（或x）方向进行一维DFT
滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤 波的某些性质
给出一个问题，寻找某个滤波器解决该问题， 频率域处理对于试验、迅速而全面地控制滤波 器参数是一个理想工具
4
为什么要在频率域研究图像增强
可以在频域指定滤波器，做反变换，然后在空 间域使用结果滤波器作为空间域滤波器的指导
一旦通过频域试验选择了空间滤波，通常实施 都在空间域进行
F (u)e j 2ux / M
x0
10
离散傅里叶变换及其反变换总存在。 用欧拉公式得 e j cos j sin
F(u)
1
M 1
f (x)[cos 2ux / M j sin 2ux / M ]
M x0
每个F(u) 由f(x)与对应频率的正弦和余弦乘积和组成；
u 值决定了变换的频率成份，因此，F(u)覆盖的域 (u值) 称为频率域，其中每一项都被称为FT 的频率
相位谱
(u)
arc tan
I (u) R(u)
功率谱 P(u) R2 (u) I 2 (u)
13
f(x)是一门函数，如图所示，它表示为：
f (x)
A 0
(0x X ) x0
求其傅立叶变换F(u)
14
解：
F (u) f ( x)e j 2uxdx
X Ae j 2uxdx
离散函数f(x)(其中x，u=0,1,2计,…算F,(Mu-)1：)的傅
立叶变换:
1) 在指数项中代入
u=0，然后将所有x
F (u)
1
M 1
值相加
f ( x)e j 2ux2/)M u=1，复对所有x
M x0
的相加；
3) 对所有M 个u 重
F(u)的反变换:
复此过程，得到完 整的FT。
M 1
f (x)
曲线下面积：当x 域 加倍时，频率谱的高度 也加倍；当函数长度加 倍时，相同间隔下频谱 中零点的数量也加倍。
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8.2 二维傅立叶变换
1） 二维连续函数傅立叶变换（2DFT）
定义: 若f(x,y)是连续图像函数
正变换: F (u, v) f (x, y) exp j2 (ux vy)dxdy
分量。与f(x) 的“时间域”和“时间成份”相对应。
11
傅里叶变换将信号分成不同频率成份。类 似光学中的分色棱镜把白光按波长(频率) 分成不同颜色，称数学棱镜。
傅里叶变换的成份：直流分量和交流分量
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傅立叶变换在极坐标下表示:
F(u) F(u) e j(u)
频率谱
F (u) R2 (u) I 2 (u)
0
A
j 2u
e j 2ux
X 0
A e juX e juX e juX j 2u
A sin(uX )e juX u
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对应的傅立叶谱为：
F (u) A sin(uX ) e juX u
AX sin(uX ) uX
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简单函数的傅里叶谱M 点离散函数及其傅里叶频 谱(M=1024, A=1, K=8)； 对应的傅里叶频谱