数学：12.3运用公式法教案(鲁教版七年级下)
青岛版数学七年级下册12.4《用公式法进行因式分解》教学设计
青岛版数学七年级下册12.4《用公式法进行因式分解》教学设计一. 教材分析《用公式法进行因式分解》是青岛版数学七年级下册12.4节的内容，本节课的主要内容是让学生掌握公式法进行因式分解的方法，理解公式法在解决实际问题中的应用。
教材通过例题和练习题的形式，帮助学生掌握公式法进行因式分解的步骤和技巧。
二. 学情分析学生在七年级上学期已经学习了因式分解的基本方法，如提取公因式法、分组分解法等。
但对于公式法进行因式分解，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，教师需要通过具体例题和练习题，引导学生理解和掌握公式法进行因式分解的方法。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握公式法进行因式分解的方法，能够运用公式法解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论交流，培养学生解决问题的能力和团队协作能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们积极思考、勇于探索的精神。
四. 教学重难点1.重点：公式法进行因式分解的方法。
2.难点：如何引导学生理解和掌握公式法进行因式分解的步骤和技巧。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等多种教学方法，引导学生通过自主学习、合作交流，掌握公式法进行因式分解的方法。
六. 教学准备1.准备相关例题和练习题，用于引导学生进行因式分解。
2.准备PPT，用于展示教材内容和教学过程。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何进行因式分解。
例如：已知二次方程x^2+4x+3=0，求它的因式分解。
2.呈现（10分钟）呈现教材中关于公式法进行因式分解的内容，引导学生了解公式法进行因式分解的步骤和技巧。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一道练习题进行因式分解。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成教材中的练习题，教师选取部分学生的作业进行讲解和分析。
5.拓展（10分钟）让学生思考如何将公式法进行因式分解应用到实际问题中，例如：求解实际问题中的最大值和最小值等。
【教学设计】青岛版数学七年级下册12.4《用公式法进行因式分解(1)》教学设计1
【教学设计】青岛版数学七年级下册12.4《用公式法进行因式分解(1)》教学设计1一. 教材分析《用公式法进行因式分解(1)》这一节内容，主要让学生掌握公式法分解因式的步骤和应用。
通过这一节的学习，使学生能理解和掌握公式法分解因式的基本方法，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了整式的乘法，有了一定的代数基础。
但是对于公式法分解因式可能会感到陌生，需要通过实例来理解和掌握。
同时，学生可能对代数式的变换和操作有一定的恐惧感，需要教师在教学中给予引导和鼓励。
三. 教学目标1.了解公式法分解因式的概念和方法。
2.能够运用公式法分解因式，解决相关问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：公式法分解因式的概念和方法。
2.难点：如何运用公式法分解因式，并解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法，通过实例引导学生探索和发现公式法分解因式的方法，再通过练习巩固所学知识，最后通过拓展环节提高学生的应用能力。
六. 教学准备1.PPT课件2.相关练习题3.教学视频或动画（可选）七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节内容，引导学生思考如何将一个多项式分解成几个一次或二次多项式的乘积。
2.呈现（15分钟）讲解公式法分解因式的概念和方法，通过PPT展示步骤和例子，让学生理解和掌握。
3.操练（15分钟）让学生分组合作，用公式法分解一些给定的多项式，教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成，检验学生对公式法分解因式的掌握程度。
5.拓展（10分钟）出示一些实际问题，让学生运用公式法分解因式解决，提高学生的应用能力。
6.小结（5分钟）对本节内容进行总结，强调公式法分解因式的方法和步骤。
7.家庭作业（5分钟）布置一些相关的练习题，让学生回家巩固所学知识。
8.板书（课后）根据课堂教学情况，整理板书内容，便于学生复习和总结。
青岛版七年级数学下册 12.4《用公式法进行因式分解》教案设计
1．课本44页练习1题。
2、课本46页习题A组1、4题。（4题选作）
2．预习“用完全平方公式分解因式”。
用平方差公式可以写成如下形式：
a2-b2=（a+b）（a-b）其中的a,b可以是数、字母、单项式或多项式。
有
效
训
练
预
习
检
测
运用平方差公式计算下列公式：
1. (2x-3y)(2x+3y)
集体备课教案
科目数学课时年级七
课 题
12.3用公式法进行因式分解（一）
教
学
目
标
1．能说出平方差公式的特点。
2．能较熟练地应用平方差公式分解因式。
重
点
难
点
重点:应用平方差公式分解因式。
难点:灵活应用公式和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求．
教学方法与手段
自主探究学习法
教 学 设 计
课
内
探
究
备 课 区
理解用平方差公式分解因式的特点
审查组组长签字备课教师签名：使用教师
课
内
探
究
四、课堂小结：
引导学生总结本节的学习内容，强调注意的问题。
1．如果多项式各项含有公因式，则第一步是提出这个公因式。
2．如果多项式各项没有公因式，则第一步考虑用公式分解因式。
3．第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式因式都不能分解为止。
2. (-2m-5)(2m-5)
3. (ab+1)(ab-1)
达
标
训
练
1、把下列各式分解因式
（1）36（x+y）2-49（x-y）2
鲁教版七年级数学下册教学计划
鲁教版七年级数学下册教学计划一、教学目标与要求针对七年级数学下册的教学，我们设定以下目标与要求：1.知识与理解：让学生掌握初中数学的基础概念、原理及其运用，深化对代数、几何等基础知识的认识和理解。
2.技能与应用：培养学生的计算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，以及利用所学知识解决实际问题的能力。
3.态度与习惯：激发学生学习数学的兴趣，培养其勤奋好学的习惯，增强团队合作意识，提升自我学习能力。
二、教学内容概览本册教材主要包括：1.代数初步（整式、方程与不等式等）2.几何基础（线段、角、三角形等基本几何元素及其性质）3.数据的收集与整理（统计初步）4.图形与变换（平移、旋转等）三、教学进度安排根据教学大纲和学校安排，我们将合理划分每个章节的教学时间，确保内容的完整性和深度。
具体教学进度表将在开学初与学生及家长共同制定。
四、重点难点解析1.教学重点：整式的运算、一元一次方程的解法、基本几何图形的性质。
2.教学难点：复杂方程的建立与求解、几何证明题的解题思路与方法。
针对重难点，我们将设计专题讲解、例题分析和大量练习，帮助学生突破难关。
五、教学方法与手段我们将采用多种教学方法，如讲授法、探究法、合作学习法等，结合多媒体、实物教具等教学手段，激发学生的学习兴趣，提高教学效果。
六、课堂练习与作业每节课后，我们将安排适量的课堂练习，帮助学生巩固所学知识。
同时，根据教学进度和章节内容，布置适量的课后作业，要求学生按时完成并提交。
七、教学评价与反馈1.形成性评价：通过课堂表现、练习、作业等，及时了解学生的学习情况，调整教学策略。
2.总结性评价：每个单元结束后进行测验或考试，评估学生的掌握情况，为下一阶段的教学提供参考。
及时给予学生反馈，鼓励其进步，指出不足，并提供改进建议。
八、教学资源与工具我们将充分利用学校图书馆、网络资源等教学资源，为学生提供丰富的学习材料。
同时，鼓励学生使用计算器、几何画板等学习工具，辅助学习和练习。
【教案】青岛版数学七年级下册12.4《用公式法进行因式分解(2)》教案
【教案】青岛版数学七年级下册12.4《用公式法进行因式分解(2)》教案一. 教材分析本节课是青岛版数学七年级下册第12.4节，主要内容是用公式法进行因式分解。
因式分解是初中数学中的重要内容，是解决一元二次方程、分式方程、不等式等问题的关键。
通过本节课的学习，让学生掌握公式法进行因式分解的步骤和技巧，提高他们的数学解题能力。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了因式分解的基本方法，但对公式法进行因式分解可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生理解公式法进行因式分解的原理，并通过例题讲解和练习，让学生熟练运用公式法进行因式分解。
三. 教学目标1.让学生掌握公式法进行因式分解的步骤和技巧。
2.培养学生运用公式法解决实际问题的能力。
3.提高学生分析问题、解决问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：公式法进行因式分解的步骤和技巧。
2.教学难点：灵活运用公式法进行因式分解。
五. 教学方法采用讲授法、例题讲解法、练习法、小组讨论法等教学方法，引导学生主动参与课堂，提高他们的数学素养。
六. 教学准备1.准备相关的PPT课件，展示公式法进行因式分解的步骤和技巧。
2.准备一些练习题，用于巩固学生对公式法的掌握。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过复习一元二次方程的解法，引导学生回顾因式分解的基本方法，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师讲解公式法进行因式分解的步骤和技巧，让学生理解并掌握公式法。
3.操练（15分钟）教师出示一些练习题，让学生运用公式法进行因式分解。
教师及时给予指导和反馈，帮助学生巩固所学知识。
4.巩固（10分钟）教师出示一些有一定难度的题目，让学生独立完成，检验他们对公式法的掌握程度。
5.拓展（10分钟）教师引导学生运用公式法解决实际问题，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力。
6.小结（5分钟）教师对本节课的内容进行总结，强调公式法进行因式分解的步骤和技巧。
7.家庭作业（5分钟）教师布置一些练习题，让学生课后巩固所学知识。
七年级数学下册《公式法》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.掌握并运用完全平方公式、平方差公式进行因式分解；
2.理解并运用立方公式、立方差公式进行因式分解；
3.学会使用公式法解决实际问题，提高解决问题的能力；
4.能够运用所学的公式法进行数学推理，培养逻辑思维能力。
（二）过程与方法
在本章节的学习过程中，教师引导学生：
3.立方公式及立方差公式
a.引导学生观察立方的特点，探讨立方公式的规律。
b.讲解立方公式及立方差公式的推导过程，强调与平方公式的异同。
c.通过实例，展示立方公式在解决问题中的优势。
（三）学生小组讨论
1.将学生分成小组，每组挑选一个公式进行深入探讨，讨论其推导过程和应用场景。
2.每个小组派代表进行汇报，分享本组的探讨成果，其他小组进行评价和补充。
1.通过自主探究、合作交流的方式，发现并理解公式法的形成过程；
2.学会运用数形结合的思想，将抽象的公式具体化，提高解决问题的效率；
3.运用类比、归纳等方法，发现数学规律，培养创新思维；
4.通过实际问题的解决，感受数学在生活中的应用，提高数学素养。
（三）情感态度与价值观
1.增强对数学学科的兴趣，激发学习数学的热情；
2.学生的抽象思维能力正在逐步发展，对于公式法这一抽象的数学概念，可能存在理解上的困难。因此，教学中应注重运用具体实例，引导学生逐步理解并运用公式法。
3.学生在解决问题时，可能过分依赖机械计算，而忽视了对公式法的运用。教学中，要引导学生运用公式法简化计算过程，提高解题效率。
4.学生在合作交流方面，需要进一步培养团队协作能力和表达能力。在教学过程中，教师应鼓励学生积极参与讨论，分享自己的想法，从而提高学生的交流能力。
【教学设计】青岛版数学七年级下册12.4《用公式法进行因式分解》教学设计
【教学设计】青岛版数学七年级下册12.4《用公式法进行因式分解》教学设计一. 教材分析本节课的教学内容是青岛版数学七年级下册12.4《用公式法进行因式分解》。
这一节内容是学生在学习了整式的乘法、因式分解的定义及常用的提公因式法、分组分解法等因式分解方法的基础上进行学习的，是学生进一步掌握因式分解的技巧和方法，培养学生解决问题的能力。
本节课的主要内容是利用公式法进行因式分解，常用的公式有完全平方公式和平方差公式。
二. 学情分析七年级的学生已经掌握了整式的乘法、因式分解的定义及常用的提公因式法、分组分解法等因式分解方法，对于新的因式分解方法——公式法，他们可能会感到陌生，但是由于之前的学习经验，学生已经具备了一定的学习能力和解决问题的能力。
同时，由于本节课的内容与实际生活联系紧密，学生对于实际问题解决的需求也会激发他们的学习兴趣。
三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够掌握公式法进行因式分解的方法，并能够运用公式法解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过学生的自主探究、合作交流，培养学生的解决问题能力和合作能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生解决问题的积极态度和团队合作的意识。
四. 教学重难点1.教学重点：学生能够掌握公式法进行因式分解的方法。
2.教学难点：学生能够灵活运用公式法进行因式分解，并解决实际问题。
五. 教学方法1.引导法：教师通过提问、引导，激发学生的思考，引导学生自主探究。
2.合作学习法：学生通过小组合作交流，共同解决问题，培养团队合作能力。
3.实践法：学生通过解决实际问题，巩固所学知识，提高解决问题的能力。
六. 教学准备1.教具准备：黑板、粉笔、投影仪等。
2.学具准备：学生每人一份教材、练习本、铅笔等。
3.教学资源：教师准备相关的教学素材，如PPT、练习题等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问，引导学生回顾之前学过的因式分解方法，为新课的学习做好铺垫。
【教案】青岛版数学七年级下册12.4《用公式法进行因式分解(1)》教案1
【教案】青岛版数学七年级下册12.4《用公式法进行因式分解(1)》教案1一. 教材分析本节课的主题是“用公式法进行因式分解（1）”，这是青岛版数学七年级下册的教学内容。
因式分解是初中学段数学的重要内容，是解决各种数学问题的基本技能。
通过本节课的学习，学生将掌握因式分解的基本方法，提高解决数学问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了有理数的运算、方程的解法等知识，具备了一定的数学基础。
但因式分解较为抽象，需要学生具有一定的逻辑思维能力和转化能力。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行引导和讲解。
三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解并掌握因式分解的基本概念和方法，能够运用公式法进行因式分解。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流，学生能够培养数学思维能力和问题解决能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够体验到数学学习的乐趣，增强对数学学科的兴趣。
四. 教学重难点1.重点：学生能够掌握因式分解的基本方法，能够运用公式法进行因式分解。
2.难点：学生能够理解因式分解的原理，能够灵活运用公式法进行因式分解。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入因式分解的概念，激发学生的学习兴趣。
2.引导发现法：教师引导学生发现因式分解的规律，培养学生的自主学习能力。
3.合作学习法：学生分组讨论，共同解决问题，提高学生的合作能力和交流能力。
六. 教学准备1.教师准备：教师需要熟悉教材内容，了解学生的学习情况，准备相关的教学资源和教学工具。
2.学生准备：学生需要预习教材内容，了解因式分解的基本概念和方法。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过生活实例引入因式分解的概念，引导学生思考如何将一个多项式分解成几个整式的乘积。
2.呈现（10分钟）教师展示因式分解的定义和基本方法，引导学生发现因式分解的规律。
3.操练（10分钟）教师提出一些因式分解的问题，学生分组讨论，共同解决问题。
七年级数学下册 12.3运用公式法教案 鲁教版【教案】
12.3运用公式法●教学目标（一）教学知识点1.使学生了解运用公式法分解因式的意义；2.使学生掌握用平方差公式分解因式.3.使学生了解，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式.（二）能力训练要求1.通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察能力.2.训练学生对平方差公式的运用能力.（三）情感与价值观要求在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法.●教学重点让学生掌握运用平方差公式分解因式.●教学难点将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力.●教学方法引导自学法●教具准备投影片两张第一张（记作§12.3 A）第二张（记作§12.3 B）●教学过程Ⅰ.创设问题情境,引入新课［师］在前两节课中我们学习了因式分解的定义，即把一个多项式分解成几个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在一个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式.如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？当然不是，只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程，就能利用这种关系找到新的因式分解的方法，本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法.Ⅱ.新课讲解［师］1.请看乘法公式（a +b ）（a －b ）=a 2－b2 （1）左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是a 2－b 2=（a +b ）（a －b ）（2） 左边是一个多项式，右边是整式的乘积.大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？ ［生］符合因式分解的定义，因此是因式分解.［师］对，是利用平方差公式进行的因式分解.第（1）个等式可以看作是整式乘法中的平方差公式，第（2）个等式可以看作是因式分解中的平方差公式.2.公式讲解［师］请大家观察式子a 2－b 2,找出它的特点. ［生］是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差. ［师］如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积.如x 2－16=（x ）2－42=（x +4）（x －4）.9 m 2－4n 2=（3 m ）2－（2n ）2=（3 m +2n ）（3 m －2n ）3.例题讲解［例1］把下列各式分解因式：（1）25－16x 2;（2）9a 2－41b 2. 解：（1）25－16x 2=52－（4x ）2=（5+4x ）（5－4x ）;（2）9a 2－41 b 2=（3a ）2－（21b ）2 =（3a +21b ）（3a －21b ）. ［例2］把下列各式分解因式: （1）9（m +n ）2－（m －n ）2;（2）2x 3－8x .解：（1）9（m +n ）2－（m －n ）2=［3（m +n ）］2－（m －n ）2=［3（m +n）+（m－n）］［3（m +n）－（m－n）］=（3 m +3n+ m－n）（3 m +3n－m +n）=（4 m +2n）（2 m +4n）=4（2 m +n）（m +2n）（2）2x3－8x=2x（x2－4）=2x（x+2）（x－2）说明：例1是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方，利用平方差公式分解因式；例2的（1）是把一个二项式化成两个多项式的平方差，然后用平方差公式分解因式，例2的（2）是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，当一个题中既要用提公因式法，又要用公式法分解因式时，首先要考虑提公因式法，再考虑公式法.补充例题投影片（§12.3 A）本题错在对分解因式的概念不清，左边是多项式的形式，右边应是整式乘积的形式，但（1）中还是多项式的形式，因此，最终结果是未对所给多项式进行因式分解.（2）不正确.错误原因是因式分解不到底，因为a2－1还能继续分解成（a+1）（a－1）.应为a4－1=（a2+1）（a2－1）=（a2+1）（a+1）（a－1）.Ⅲ.课堂练习（一）随堂练习1.判断正误解：（1）x2+y2=（x+y）（x－y）;（×）（2）x2－y2=（x+y）（x－y）;（√）（3）－x2+y2=（－x+y）（－x－y）;（×）（4）－x2－y2=－（x+y）（x－y）.（×）2.把下列各式分解因式解：（1）a2b2－m2=（ab）2－m2=（ab+ m）（ab－m）;（2）（m－a）2－（n+b）2=［（m－a）+（n+b）］［（m－a）－（n+b）］=（m－a+n+b）（m－a－n－b）;（3）x2－（a+b－c）2=［x+（a+b－c）］［x－（a+b－c）］=（x+a+b－c）（x－a－b+c）;（4）－16x4+81y4=（9y2）2－（4x2）2=（9y2+4x2）（9y2－4x2）=（9y2+4x2）（3y+2x）（3y－2x）3.解：S剩余=a2－4b2.当a=3.6,b=0.8时，S剩余=3.62－4×0.82=3.62－1.62=5.2×2=10.4（cm2）答：剩余部分的面积为10.4 cm2.（二）补充练习投影片（§12.3 B）我们已学习过的因式分解方法有提公因式法和运用平方差公式法.如果多项式各项含有公因式，则第一步是提公因式，然后看是否符合平方差公式的结构特点，若符合则继续进行.第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式都不能分解为止.Ⅴ.课后作业习题12.31.解：（1）a 2－81=（a +9）（a －9）;（2）36－x 2=（6+x ）（6－x ）;（3）1－16b 2=1－（4b ）2=（1+4b ）（1－4b ）;（4）m 2－9n 2=（m +3n ）（m －3n ）;（5）0.25q 2－121p 2=（0.5q +11p ）（0.5q －11p ）;（6）169x 2－4y 2=（13x +2y ）（13x －2y ）;（7）9a 2p 2－b 2q 2=（3ap +bq ）（3ap －bq ）;（8）449a 2－x 2y 2=（27a +xy ）（27a －xy ）;2.解：（1）（m +n ）2－n 2=（m +n +n ）（m +n －n ）= m （m +2n ）;（2）49（a －b ）2－16（a +b ）2=［7（a －b ）］2－［4（a +b ）］2=［7（a －b ）+4（a +b ）］［7（a －b ）－4（a +b ）］=（7a －7b +4a +4b ）（7a －7b －4a －4b ）=（11a －3b ）（3a －11b ）;（3）（2x +y ）2－（x +2y ）2=［（2x +y ）+（x +2y ）］［（2x +y ）－（x +2y ）］=（3x +3y ）（x －y ）=3（x +y ）（x －y ）;（4）（x 2+y 2）－x 2y 2=（x 2+y 2+xy ）（x 2+y 2－xy ）;（5）3ax 2－3ay 4=3a （x 2－y 4）=3a （x +y 2）（x －y 2）（6）p4－1=（p2+1）（p2－1）=（p2+1）（p+1）（p－1）.3.解：S环形=πR2－πr2=π（R2－r2）=π（R+r）（R－r）当R=8.45,r=3.45，π=3.14时，S环形=3.14×（8.45+3.45）（8.45－3.45）=3.14×11.9×5=186.83（cm2）答：两圆所围成的环形的面积为186.83 cm2.Ⅵ.活动与探究把（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc分解因式解：（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc=［a+（b+c）］［bc+a（b+c）］－abc=abc+a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2－abc=a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2=（b+c）［a2+bc+a（b+c）］=（b+c）［a2+bc+ab+ac］=（b+c）［a（a+b）+c（a+b）］=（b+c）（a+b）（a+c）●板书设计参考练习把下列各式分解因式：（1）49x2－121y2;（2）－25a2+16b2;（3）144a2b2－0.81c2;（4）－36x 2+6449y 2;（5）（a －b ）2－1;（6）9x 2－（2y +z ）2;（7）（2m －n ）2－（m －2n ）2;（8）49（2a －3b ）2－9（a +b ）2.解：（1）49x 2－121y 2=（7x +11y ）（7x －11y ）;（2）－25a 2+16b 2=（4b ）2－（5a ）2=（4b +5a ）（4b －5a ）;（3）144a 2b 2－0.81c 2=（12ab +0.9c ）（12ab －0.9c ）;（4）－36x 2+6449y 2=（87y ）2－（6x ）2=（87y +6x ）（87y －6x ）;（5）（a －b ）2－1=（a －b +1）（a －b －1）;（6）9x 2－（2y +z ）2=［3x +（2y +z ）］［3x －（2y +z ）］=（3x +2y +z ）（3x －2y －z ）;（7）（2m －n ）2－（m －2n ）2=［（2 m －n ）+（m －2n ）］［（2 m －n ）－（m －2n ）］ =（3 m －3n ）（m +n ）=3（m －n ）（m +n ）（8）49（2a －3b ）2－9（a +b ）2=［7（2a －3b ）］2－［3（a +b ）］2=［7（2a －3b ）+3（a +b ）］［7（2a －3b ）－3（a +b ）］ =（14a －21b +3a +3b ）（14a －21b －3a －3b ）=（17a －18b ）（11a －24b ）。
七下123运用公式法教案.docx
3 •运用公式法第3课时教学目标：1.知识与技能:掌握运用提公因式法、公式法分解因式，培养学生应用因式分解解决问题的能力.2.过程与方法:经历探索因式分解方法的过程，培养学牛研讨问题的方法，通过猜测、推理、验证、归纳等步骤，得岀因式分解的方法.3.情感态度与价值观:通过因式分解的学习，使学生体会数学美，体会成功的自信和团结合作精神，并体会整体数学思想和转化的数学思想.教学重、难点：用提公因式法和公式法分解因式.教具准备:多媒体课件教学方法：活动探究法教学过程：一.导入新课［师］前面我们已学习了因式分解概念，提公因式法分解因式,运用公式法分解因式的方法，并做了一些练习•今天，我们来综合总结一下.(一)讨论推导木章知识结构图［师］请大家先回忆一下我们这一章所学的内容有哪些？［生］(1)有因式分解的意义,提公因式法和运用公式法的概念.(2)分解因式与整式乘法的关系.(3)分解因式的方法.［师］很好•请大家互相讨论，能否把木章的知识结构图绘出来呢？(若学生有困难，教师可给予帮助)［生］看课件，注意公式运用时事项。
二、典例示范例5：把下列各式分解因式：(1)x(x+6)+9 (2) y (y+4)-4 (y+1)引导学生先做乘法运算，整理后，再运用学过的方法来分解因式。
例6： (x2+l ) 2-4X2学生先独立完成，大部分学生采用的方法如下：=(X4+2X2+1)-4X2二x" - 2x'+l=(X2-1)2再引导学生运用平方差公式来解题：二(x2+l) 2-4X2=(X2+1+2X)(X2+1~2X)= (x+l)2(x-l)2总结：因式分解的一般步骤：一提二用①对任意多项式分解因式，都必须首先考虑提取公因式.②对于二次二项式，考虑用平方差公式分解③对于二次三项式，考虏用完全平方公式分解。
三•随堂练习练习一：把下列各式分解因式1). a(a_2)+12.)・ l_a1练习二：把下列各式分解因式1).. (X+1)2-4X2)・(x+1)(x_l)一33)・ x4-8x2y2+16y4注意：每个多项式中的因式都要分解到不能分解为止.2 •变式引申1)已知2a+b二6 ,2+5利用因式分解计算4a2-b22)已知：x+y二1,求丄x2+xy+丄y?的值2 2四、当堂检测A组：1、下列各式中，分解因式a4-2a2b2+b4正确的( ) A、(a2-b2) 2B、(a+2ab+b2) (a-2ab+b2)C、(a+b) 2 (a~b) 2D、(a~b) 22、把下列各式分解因式(1)2a+4ab+2b2(2)(a+9) -36aB组：把下列各式分解因式(1) (m+n)2-6(m+n)+9(2) 9 (a+b)2- (a-b)2*五、当堂小结因式分解的一般步骤：(1)若多项式中各项含公因式，则先提取公因式.(2)若多项式中各项没有含公因式,则根据多项式的特点，选用平方差公式或完全平方公式(3)每个多项式中的因式都要分解到不能分解为止.六、布置作业必做：1、X4-2X2+12、(m+n) -4(m+n)3、(x-2)2-4选做：1、若矩形的周长为16cin7它的两边分别为4x-4y-x2+ 2xy-y2-4=0,求该矩形的面积。
七年级数学下册 12.3《运用公式法》课件 鲁教版
□2－△2＝(□＋△)(□－△)
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3
回顾 & 思考☞
一、公式法
2、完全平方公式 a2±2ab+b2=(a±b)2
有三项
①左边
两个数的平方和
特 （完全平方式） 点
这两个数的积的两倍
②右边 两数的和与差的平方
可形象表示为
首 2 2 首 尾 尾 2 首 尾 2
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将下列各式因式分解 (1)x(x+6)+9 (2)y(y+4)－4(y+1) (3)(x2+1)2－4x2
—综合运用公式
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回顾 & 思考☞
一、提公因式法 关键：确定公因式
步骤：一看系数 二看字母 三看指数 最大公约数 相同字母最低次幂
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回顾 & 思考☞
二、公式法
1、平方差公式 a2−b2= (a+b)(a−b)
特 ①左边 两个数的平方差；只有两项
点 ②右边 两数的和与差相积
相同项 相反项
形象地表示为
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5
因式分解的一般步骤：
① 对任意多项式分解因式，都必须首先考虑提取 公因式。 ② 对于二次二项式，考虑套用平方差公式分解。
③ 对于二次三项式，考虑套用完全平方公式分解。
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练习一：把下列各式分解因式 1). 3m2-27 2). 1-a4
练习二：把下列各式分解因式 1). 9-12x+4x2 2). -x2+4x-4 3). y3+4xy2+4x2y
123运用公式法(二)教案
12.3运用公式法（二）一、教学目标（一）教学知识点1.使学生会用完全平方公式分解因式.2.使学生学习多步骤，多方法的分解因式.（二）能力训练要求在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力.（三）情感与价值观要求通过综合运用提公因式法、完全平方公式，分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力.二、教学重点让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法.（五）教学难点让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式. 三、教学方法观察—发现—运用法四、教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］我们知道，因式分解是整式乘法的反过程，倒用乘法公式，我们找到了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？在前面我们不仅学习了平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2而且还学习了完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2本节课，我们就要学习用完全平方公式分解因式.Ⅱ.新课1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点.［师］由因式分解和整式乘法的关系，大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢？［生］可以.将完全平方公式倒写：a2+2ab+b2=（a+b）2;a2－2ab+b2=（a－b）2.便得到用完全平方公式分解因式的公式.［师］很好.那么什么样的多项式才可以用这个公式分解因式呢？请大家互相交流，找出这个多项式的特点.［生］从上面的式子来看，两个等式的左边都是三项，其中两项符号为“+”，是一个整式的平方，还有一项符号可“+”可“－”，它是那两项乘积的两倍.凡具备这些特点的三项式，就是一个二项式的完全平方，将它写成平方形式，便实现了因式分解.［师］左边的特点有（1）多项式是三项式；（2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；（3）另一项是这两数或两式乘积的2倍.右边的特点：这两数或两式和（差）的平方.用语言叙述为：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.形如a2+2ab+b2或a2－2ab+b2的式子称为完全平方式.由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.［师］判断一个多项式是否为完全平方式，要考虑三个条件，项数是三项；其中有两项同号且能写成两个数或式的平方；另一项是这两数或式乘积的2倍.［生］（1）是.（2）不是；因为4x不是x与2y乘积的2倍；（3）是；（4）不是.ab不是a与b乘积的2倍.（5）不是，x2与－9的符号不统一.（6）是.2.例题讲解［例1］把下列完全平方式分解因式：（1）x2+14x+49;（2）（m+n）2－6（m +n）+9.［师］分析：大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式.公式中的a,b可以是单项式，也可以是多项式.解：（1）x2+14x+49=x2+2×7x+72=（x+7）2（2）（m +n）2－6（m +n）+9=（m +n）2－2·（m +n）×3+32=［（m +n）－3］2=（m +n －3）2.［例2］把下列各式分解因式：（1）3ax2+6axy+3ay2;（2）－x2－4y2+4xy.［师］分析：对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式.如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“+”号时，可以先提取“－”号，然后再用完全平方公式分解因式.解：（1）3ax2+6axy+3ay2=3a（x2+2xy+y2）=3a（x+y）2（2）－x 2－4y 2+4xy=－（x 2－4xy +4y 2）=－［x 2－2·x ·2y +（2y ）2］=－（x －2y ）2Ⅲ.课堂练习a .随堂练习1.解：（1）是完全平方式x 2－x +41=x 2－2·x ·21+（21）2=（x －21）2 （2）不是完全平方式，因为3ab 不符合要求.（3）是完全平方式41m 2+3 m n +9n 2 =（21 m ）2＋2×21 m ×3n +（3n ）2 =（21 m +3n ）2 （4）不是完全平方式2.解：（1）x 2－12xy +36y 2=x 2－2·x ·6y +（6y ）2=（x －6y ）2;（2）16a 4+24a 2b 2+9b 4=（4a 2）2+2·4a 2·3b 2+（3b 2）2=（4a 2+3b 2）2（3）－2xy －x 2－y 2=－（x 2+2xy +y 2）=－（x +y ）2;（4）4－12（x －y ）+9（x －y ）2=22－2×2×3（x －y ）+［3（x －y ）］2=［2－3（x －y ）］2=（2－3x +3y ）2Ⅳ.课时小结这节课我们学习了用完全平方公式分解因式.它与平方差公式不同之处是：（1）要求多项式有三项.（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.同时，我们还学习了若一个多项式有公因式时，应先提取公因式，再用公式分解因式. Ⅴ.课后作业习题12.51.解：（1）x 2y 2－2xy +1=（xy －1）2;（2）9－12t +4t 2=（3－2t ）2;（3）y 2+y +41=（y +21）2; （4）25m 2－80 m +64=（5 m －8）2;（5）42x +xy +y 2=（2x +y ）2; （6）a 2b 2－4ab +4=（ab －2）22.解：（1）（x +y ）2+6（x +y ）+9=［（x +y ）+3］2=（x +y +3）2;（2）a 2－2a （b +c ）+（b +c ）2=［a －（b +c ）］2=（a －b －c ）2;（3）4xy 2－4x 2y －y 3=y （4xy －4x 2－y 2）=－y （4x 2－4xy +y 2）=－y （2x －y ）2;（4）－a +2a 2－a 3=－（a －2a 2+a 3）=－a （1－2a +a 2）Ⅵ.活动与探究写出一个三项式，再把它分解因式（要求三项式含有字母a 和b ，分数、次数不限，并能先用提公因式法，再用公式法分解因式.分析：本题属于答案不固定的开放性试题，所构造的多项式同时具备条件：①含字母a 和b ；②三项式；③可提公因式后，再用公式法分解.参考答案：4a 3b －4a 2b 2+ab 3=ab （4a 2－4ab +b 2）=ab （2a －b ）2。
青岛版七下数学12.3用公式法进行因式分解说课稿
青岛版七下数学12.3用公式法进行因式分解说课稿一. 教材分析大家好，今天我要给大家说课的是青岛版七年级下的数学，第12.3节内容，用公式法进行因式分解。
本节内容是在学习了整式的乘法、完全平方公式和平方差公式的基础上进行学习的，是初中数学中的重要内容。
因式分解是解决代数方程和不等式的重要方法，也是后续学习多项式乘法、分式乘法等知识的基础。
二. 学情分析在进入本节课的学习之前，学生已经掌握了整式的乘法、完全平方公式和平方差公式，对因式分解有了初步的认识。
但是，对于如何灵活运用这些公式进行因式分解，还需要进一步的引导和训练。
此外，因式分解的思路和方法还需要学生在实践中去感悟和掌握。
三. 说教学目标本节课的教学目标有三点：一是让学生掌握因式分解的基本方法，能够运用公式法进行因式分解；二是培养学生观察、分析、解决问题的能力；三是培养学生的逻辑思维能力和创新能力。
四. 说教学重难点本节课的重难点是如何灵活运用完全平方公式和平方差公式进行因式分解。
其中，如何判断和运用公式法进行因式分解是教学的难点。
五. 说教学方法与手段为了突破教学的重难点，我采用了启发式教学法和小组合作学习法。
在教学过程中，我将以学生为主体，引导学生观察、分析、解决问题，培养学生的逻辑思维能力和创新能力。
同时，我还会利用多媒体教学手段，展示因式分解的过程，帮助学生更好地理解和掌握知识。
六. 说教学过程教学过程分为五个环节：导入、新课、练习、总结、布置作业。
1.导入：我会通过一个简单的例子，引导学生回顾整式的乘法，为新课的学习做好铺垫。
2.新课：我会引导学生观察、分析完全平方公式和平方差公式的特点，引导学生发现因式分解的规律，然后讲解如何运用公式法进行因式分解。
3.练习：我会设计一些练习题，让学生运用公式法进行因式分解，巩固所学知识。
4.总结：我会引导学生总结因式分解的思路和方法，帮助学生形成知识体系。
5.布置作业：我会布置一些课后练习题，让学生进一步巩固所学知识。
七年级数学下册12.4用公式法进行因式分解说课稿
七年级数学下册12.4用公式法进行因式分解说课稿一. 教材分析《七年级数学下册》第12.4节“用公式法进行因式分解”是初中数学的重要内容，是学生掌握因式分解方法的转折点。
这一节的内容是在学生已经掌握了多项式的基本概念、运算法则和提公因式法等知识的基础上进行学习的。
教材中通过公式法来进行因式分解，让学生感受数学的规律性和美感，培养学生对数学的兴趣和探究精神。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，对数学的学习有了一定的基础。
但是，学生对于新知识的学习还是以形象思维为主，对于抽象的数学公式和定理的理解和运用还需要通过具体的例子和实际操作来进行。
在因式分解的学习中，学生可能会对于公式的推导和运用存在困难，需要通过多次的练习和教师的引导来逐步掌握。
三. 说教学目标1.知识与技能：学生会掌握公式法进行因式分解的方法，能够运用公式法解决一些实际问题。
2.过程与方法：学生会通过观察、猜想、验证、总结等过程，体验数学的探究过程，培养学生的探究能力和思维能力。
3.情感态度价值观：学生会感受数学的规律性和美感，培养对数学的兴趣和探究精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够掌握公式法进行因式分解的方法，并能够运用公式法解决一些实际问题。
2.教学难点：学生对于公式的推导和运用，以及对于因式分解的理解。
五. 说教学方法与手段在这一节课中，我会采用问题驱动的教学方法，通过提问和引导，让学生主动去探究和发现公式法进行因式分解的方法。
同时，我会运用多媒体教学手段，通过动画和图形的展示，帮助学生直观地理解因式分解的过程。
六. 说教学过程1.导入：通过复习多项式的基本概念和运算法则，引导学生进入新课。
2.探究：通过具体的例子，引导学生观察和猜想公式法进行因式分解的方法，然后进行验证和总结。
3.讲解：通过讲解和示范，让学生理解和掌握公式法进行因式分解的方法。
4.练习：通过布置一些实际的练习题，让学生运用公式法进行因式分解，巩固所学知识。
青岛版七年级数学下册12.4《用公式法进行因式分解》教案
12.4用公式法进行因式分解教案【学习目标】1、理解完全平方公式的结构特点。
2、能较熟悉地运用完全平方公式分解因式。
3、能灵活应用提公因式法、公式法分解因式。
4、通过综合运用提公因式法，完全平方公式分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力．通过知识结构图培养学生归纳总结的能力．【重点】用完全平方公式分解因式．【难点】灵活应用完全平方公式分解因式．【教学方法】自主探究合作学习法【学习准备】多媒体课件【导学流程】一、提出问题，创设情境问题1：根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，•分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？问题2：把下列各式分解因式．（1）a2+2ab+b2（2）a2-2ab+b2引入本节的课题，明确本节的学习目标。
二、学生自学，独立探究自学任务：1、自学课本43页、44页例2。
2、通过自学，掌握因式分解的完全平方公式的结构特点。
3、会应用完全平方公式把多项式因式分解。
自学检测：1、因式分解的完全平方公式的表述：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的积的2倍，•等于这两个数的和（或差）的平方．2、完全平方公式的符号表示．即：a2+2ab+b2=（a+b）2，a2-2ab+b2=（a-b）2．3、下列各式是不是完全平方式？（1）a2-4a+4（2）x2+4x+4y2（3）4a2+2ab+14b2（4）a2-ab+b2（5）x2-6x-9（6）a2+a+0.25（放手让学生讨论，达到熟悉公式结构特征的目的）。
4、把3题中是完全平方式的进行因式分解。
结果：（1）a2-4a+4=a2-2×2·a+22=（a-2）2（3）4a2+2ab+14b2=（2a）2+2×2a·12b+（12b）2=（2a+12b）2（6）a2+a+0.25=a2+2·a·0.5+0.52=（a+0.5）2（2）、（4）、（5）都不是．三、精讲点拨，拓展提高。
青岛版 七年级下册 数学 12.4用公式法进行因式分解 教案
用公式法进行因式分解【教学目标】（一）知识与技能1．知识目标：使学生了解平方差公式和完全平方公式的结构特点。
会用公式法分解因式。
2．能力目标：通过对平方差公式和完全平方公式的辨析，培养学生的观察能力。
（二）过程与方法1．在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维能力。
2．经历探索因式分解方法的过程，培养学生自主探索、发现问题的能力，通过猜测、推理、验证、归纳等步骤，发展学生的数学思维能力。
（三）情感态度与价值观通过公式法因式分解的学习，使学生体会数学美，体会成功的自信和团结合作精神，在知识的应用过程中获得研究问题、解决问题的经验和方法。
【教学方法】引导发现，合作交流。
【教学重难点】正确熟练运用公式法分解因式，综合运用提公因式法和公式法分解因式。
【教学过程】（一）创设情境，引入新知让学生写出学过的两组乘法公式（a＋b）（a-b）＝a2-b2（a±b）2＝a2±2ab+b2（二）师生互动，概括新知1．活动1：让学生把上面两个公式左右两边倒过来会出现什么情形？可不可以用此来分解因式？a2-b2＝（a＋b）（a-b）a2±2ab+b2＝（a±b）2由多项式的乘法公式由右向左逆用，这样就又给我们提供了一种新的分解因式的方法——公式法。
运用这些公式可以将某些符合条件的多项式分解因式。
2．活动2：让学生观察、发现、交流、讨论下列问题：（1）公式有什么特点？（2）用语言叙述公式。
（3）公式中的a、b可以表示什么？（4）根据你对公式的理解，请举出几个用公式法分解因式的例子，并指出多项式中谁相当于公式中的a，谁相当于公式中的b？以上问题，尽量让学生自主探索、交流发现，老师补充总结。
（三）合作交流，巩固新知1．例1：把下列各式进行因式分解（1）4x2-25（2）16a2-9b2分析：注意引导学生观察所给多项式的项数，每个项可以看成是什么“东西”的平方，使之与平方差公式进行对照，确认公式中的字母在每个题目中对应的数或式后，再用平方差公式进行因式分解。
初中数学青岛版七年级下册高效课堂资料26《《用公式法进行因式分解》(2)教案
初中数学青岛版七年级下册高效课堂资料12.3《用公式法进行因式分解》教案第二课时【课标要求】能用公式法进行因式分解。
【教学目标】知识与技能1．理解运用公式法因式分解的含义；2．熟记因式分解公式，搞清每个公式的特征，并能熟练运用公式进行因式分解；过程与方法1．经历对平方差、完全平方公式特点的辨析；2．进一步培养学生的观察能力；情感态度和价值观1．在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识；2．通过分组讨论学习，让学生了解换元的思想方法；【教学重点、难点】让学生掌握运用平方差、完全平方公式因式分解。
活用公式解决问题。
【教学过程】一、新课导入一、导入新课1、运用平方差公式和完全平方公式分解因式的关键：运用平方差公式因式分解的关键是要把分解的多项式看成两个数（或者式）的平方差，尤其当系数是分数或小数时，要正确化为两数的平方差。
运用完全平方公式因式分解的关键是要把分解的多项式看成两个数（或者式）的平方和加上（或减去）它们乘积的2倍。
【设计意图】让学生找到运用平方差公式和完全平方公式分解因式的关键地方。
二、探究过程探究一例3．把下列各式因式分解：（1）-2x4+32x2（2）3ax2-6axy+3ay2探究二例4．把下列各式进行因式分解：（1）(a-2b)2-(2a+b)2（2）50n-20n(x-y)+2n(x-y)2【设计意图】 在因式分解时，如果发现各项中含有公因式，应该先把它提出来，然后再进一步因式分解。
对于公式其中的a,b 不只是单项式，也可以是多项式。
三、针对训练1．把()()244a b a b ++++分解因式得（ ）A 、()21a b ++B 、()21a b +-C 、()22a b ++D 、()22a b +-2.计算2210021009999-⨯⨯+的结果是（ ）A 、1B 、-1C 、2D 、-23.把下列多项式分解因式 ()()()3211x x x -+-()()()222x x y y y x -+-4.把下列多项式分解因式（1）3ax 2＋6axy ＋3ay2（2）-x 2-4y 2＋4xy5.把下列多项式分解因式（1）x 2＋14x ＋49（2）2()6()9m n m n +-++（3）42()10()25m n m n -+-+【设计意图】使学生对本节课所学知识进行自我检查，进一步熟练多项式的因式分解。
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12.3运用公式法●教学目标（一）教学知识点1.使学生了解运用公式法分解因式的意义；2.使学生掌握用平方差公式分解因式.3.使学生了解，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式.（二）能力训练要求1.通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察能力.2.训练学生对平方差公式的运用能力.（三）情感与价值观要求在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法.●教学重点让学生掌握运用平方差公式分解因式.●教学难点将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力.●教学方法引导自学法●教具准备投影片两张第一张（记作§12.3 A）第二张（记作§12.3 B）●教学过程Ⅰ.创设问题情境,引入新课［师］在前两节课中我们学习了因式分解的定义，即把一个多项式分解成几个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在一个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式.如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？当然不是，只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程，就能利用这种关系找到新的因式分解的方法，本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法.Ⅱ.新课讲解［师］1.请看乘法公式（a +b ）（a －b ）=a 2－b2 （1）左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是a 2－b 2=（a +b ）（a －b ）（2） 左边是一个多项式，右边是整式的乘积.大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？ ［生］符合因式分解的定义，因此是因式分解.［师］对，是利用平方差公式进行的因式分解.第（1）个等式可以看作是整式乘法中的平方差公式，第（2）个等式可以看作是因式分解中的平方差公式.2.公式讲解［师］请大家观察式子a 2－b 2,找出它的特点. ［生］是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差. ［师］如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积.如x 2－16=（x ）2－42=（x +4）（x －4）.9 m 2－4n 2=（3 m ）2－（2n ）2=（3 m +2n ）（3 m －2n ）3.例题讲解［例1］把下列各式分解因式：（1）25－16x 2;（2）9a 2－41b 2. 解：（1）25－16x 2=52－（4x ）2=（5+4x ）（5－4x ）;（2）9a 2－41 b 2=（3a ）2－（21b ）2 =（3a +21b ）（3a －21b ）. ［例2］把下列各式分解因式: （1）9（m +n ）2－（m －n ）2;（2）2x 3－8x .解：（1）9（m +n ）2－（m －n ）2=［3（m +n ）］2－（m －n ）2=［3（m +n）+（m－n）］［3（m +n）－（m－n）］=（3 m +3n+ m－n）（3 m +3n－m +n）=（4 m +2n）（2 m +4n）=4（2 m +n）（m +2n）（2）2x3－8x=2x（x2－4）=2x（x+2）（x－2）说明：例1是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方，利用平方差公式分解因式；例2的（1）是把一个二项式化成两个多项式的平方差，然后用平方差公式分解因式，例2的（2）是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，当一个题中既要用提公因式法，又要用公式法分解因式时，首先要考虑提公因式法，再考虑公式法.补充例题投影片（§12.3 A）判断下列分解因式是否正确.（1）（a+b）2－c2=a2+2ab+b2－c2.（2）a4－1=（a2）2－1=（a2+1）·（a2－1）.本题错在对分解因式的概念不清，左边是多项式的形式，右边应是整式乘积的形式，但（1）中还是多项式的形式，因此，最终结果是未对所给多项式进行因式分解.（2）不正确.错误原因是因式分解不到底，因为a2－1还能继续分解成（a+1）（a－1）.应为a4－1=（a2+1）（a2－1）=（a2+1）（a+1）（a－1）.Ⅲ.课堂练习（一）随堂练习1.判断正误解：（1）x2+y2=（x+y）（x－y）;（×）（2）x2－y2=（x+y）（x－y）;（√）（3）－x2+y2=（－x+y）（－x－y）;（×）（4）－x2－y2=－（x+y）（x－y）.（×）2.把下列各式分解因式解：（1）a2b2－m2=（ab）2－m2=（ab+ m）（ab－m）;（2）（m－a）2－（n+b）2=［（m－a）+（n+b）］［（m－a）－（n+b）］=（m－a+n+b）（m－a－n－b）;（3）x2－（a+b－c）2=［x+（a+b－c）］［x－（a+b－c）］=（x+a+b－c）（x－a－b+c）;（4）－16x4+81y4=（9y2）2－（4x2）2=（9y2+4x2）（9y2－4x2）=（9y2+4x2）（3y+2x）（3y－2x）3.解：S剩余=a2－4b2.当a=3.6,b=0.8时，S剩余=3.62－4×0.82=3.62－1.62=5.2×2=10.4（cm2）答：剩余部分的面积为10.4 cm2.（二）补充练习投影片（§12.3 B）把下列各式分解因式（1）36（x+y）2－49（x－y）2;（2）（x－1）+b2（1－x）;（3）（x2+x+1）2－1.解：（1）36（x+y）2－49（x－y）2=［6（x+y）］2－［7（x－y）］2=［6（x+y）+7（x－y）］［6（x+y）－7（x－y）］=（6x+6y+7x－7y）（6x+6y－7x+7y）=（13x－y）（13y－x）;（2）（x－1）+b2（1－x）=（x－1）－b2（x－1）=（x－1）（1－b2）=（x－1）（1+b）（1－b）;（3）（x2+x+1）2－1=（x2+x+1+1）（x2+x+1－1）=（x2+x+2）（x2+x）=x （x +1）（x 2+x +2）Ⅳ.课时小结我们已学习过的因式分解方法有提公因式法和运用平方差公式法.如果多项式各项含有公因式，则第一步是提公因式，然后看是否符合平方差公式的结构特点，若符合则继续进行.第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式都不能分解为止.Ⅴ.课后作业习题12.31.解：（1）a 2－81=（a +9）（a －9）;（2）36－x 2=（6+x ）（6－x ）;（3）1－16b 2=1－（4b ）2=（1+4b ）（1－4b ）;（4）m 2－9n 2=（m +3n ）（m －3n ）;（5）0.25q 2－121p 2=（0.5q +11p ）（0.5q －11p ）;（6）169x 2－4y 2=（13x +2y ）（13x －2y ）;（7）9a 2p 2－b 2q 2=（3ap +bq ）（3ap －bq ）;（8）449a 2－x 2y 2=（27a +xy ）（27a －xy ）;2.解：（1）（m +n ）2－n 2=（m +n +n ）（m +n －n ）= m （m +2n ）;（2）49（a －b ）2－16（a +b ）2=［7（a －b ）］2－［4（a +b ）］2=［7（a －b ）+4（a +b ）］［7（a －b ）－4（a +b ）］=（7a －7b +4a +4b ）（7a －7b －4a －4b ）=（11a －3b ）（3a －11b ）;（3）（2x +y ）2－（x +2y ）2=［（2x +y ）+（x +2y ）］［（2x +y ）－（x +2y ）］=（3x +3y ）（x －y ）=3（x +y ）（x －y ）;（4）（x 2+y 2）－x 2y 2=（x 2+y 2+xy ）（x 2+y 2－xy ）;（5）3ax 2－3ay 4=3a （x 2－y 4）=3a （x +y 2）（x －y 2）（6）p4－1=（p2+1）（p2－1）=（p2+1）（p+1）（p－1）.3.解：S环形=πR2－πr2=π（R2－r2）=π（R+r）（R－r）当R=8.45,r=3.45，π=3.14时，S环形=3.14×（8.45+3.45）（8.45－3.45）=3.14×11.9×5=186.83（cm2）答：两圆所围成的环形的面积为186.83 cm2.Ⅵ.活动与探究把（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc分解因式解：（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc=［a+（b+c）］［bc+a（b+c）］－abc=abc+a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2－abc=a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2=（b+c）［a2+bc+a（b+c）］=（b+c）［a2+bc+ab+ac］=（b+c）［a（a+b）+c（a+b）］=（b+c）（a+b）（a+c）●板书设计§12.3 运用公式法一、1.由整式乘法中的平方差公式推导因式分解中的平方差公式.2.公式讲解3.例题讲解补充例题二、课堂练习1.随堂练习2.补充练习三、课时小结四、课后作业参考练习把下列各式分解因式：（1）49x2－121y2;（2）－25a2+16b2;（3）144a2b2－0.81c2;（4）－36x 2+6449y 2;（5）（a －b ）2－1;（6）9x 2－（2y +z ）2;（7）（2m －n ）2－（m －2n ）2;（8）49（2a －3b ）2－9（a +b ）2.解：（1）49x 2－121y 2=（7x +11y ）（7x －11y ）;（2）－25a 2+16b 2=（4b ）2－（5a ）2=（4b +5a ）（4b －5a ）;（3）144a 2b 2－0.81c 2=（12ab +0.9c ）（12ab －0.9c ）;（4）－36x 2+6449y 2=（87y ）2－（6x ）2=（87y +6x ）（87y －6x ）;（5）（a －b ）2－1=（a －b +1）（a －b －1）;（6）9x 2－（2y +z ）2=［3x +（2y +z ）］［3x －（2y +z ）］=（3x +2y +z ）（3x －2y －z ）;（7）（2m －n ）2－（m －2n ）2=［（2 m －n ）+（m －2n ）］［（2 m －n ）－（m －2n ）］ =（3 m －3n ）（m +n ）=3（m －n ）（m +n ）（8）49（2a －3b ）2－9（a +b ）2=［7（2a －3b ）］2－［3（a +b ）］2=［7（2a －3b ）+3（a +b ）］［7（2a －3b ）－3（a +b ）］ =（14a －21b +3a +3b ）（14a －21b －3a －3b ）=（17a －18b ）（11a －24b ）。