三角函数的图象与性质要点梳理五点法作图原理

3
3
y 3 tan( x )在 ( 4 k 4 ,4 k 8 )( k Z )内单调递增 ,
46
3
3
y 3 tan( x )的单调递减区间为 64
( 4 k 4 ,4 k 8 )( k Z ).
3
3
探究提高(1)求形如y=Asin( x+)或y=Acos( x +) (其中A≠0, >0)的函数的单调区间,可以通
sin 2x的周期为 ，故D错.
y=-sin x的周期为2,是奇函数，由图象知
在 ( 0 , ) 上是递减函数，故C正确. 2
5.（2009·四川文，4）已知函数f(x)=sin( x )
2
(x∈R)，下面结论错误的是（D ）
A.函数f(x)的最小正周期为2
B.函数f(x)在区间
0
,
2
12
12
原函数的单调递减区间为
k
12
,
k
5
12
(k
Z).
( 2 ) y 3 tan( x ) 3 tan( x ),
64
46
T 4 , y 3 tan( x )的周期为 4 .
| |
64
由 k x k
2 46
2
得 4 k 4 x 4 k 8 ( k Z ),
[2k,2k
2
[2k,2k] 单调增区间
](k Z) ；
2
(kZ) ；
单调减区间 单调减区间
[2k,2k
2
[2k,,2k]
[k ,k
2 2 (kZ)
3 ](k Z)
2
(k Z)
奇
偶
奇
3.一般地对于函数f（x）,如果存在一个不为0的常 数T，使得当x取定义域内的每一个值时,都有 f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期 函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有 周期中存在的最小正数,叫做最小正周期(函数
4
解 方法一 y2sin x ()化 y 成 2sixn ().
4
4
y sin u(u R)的递增 、 递减区间分别为
2k
2
,2k
2
(k
Z),
2k
2
,2k
3
2
(k
Z),
函数 y 2sin( x )的递增 、 递减区间分别由下面
4
的不等式确定
2k x 2k 3 (k Z),
3分
2
3
若
a
0,则
2a
b
1
, 解得
a 12 6
3
;
3a b 5
2
D .4
2.设点P是函数f(x)=sin x ( ≠0)的图象C的
一个对称中心,若点P到图象C的对称轴的距离的
最小值是 , 则f(x)的最小正周期是（B ）
4
A .2 B .
C .
D .
2
4
解析 由正弦函数的图象知对称中心与对称轴
的距离的最小值为最小正周期的 1 , 故f（x）的
最小正周期为T= 4 .
题型分类 深度剖析
题型一 与三角函数有关的函数定义域
【例1】 求下列函数的定义域： （1）y=lgsin(cos x);(2)y= sinxcosx. 思维启迪 本题求函数的定义域:(1)需注意对数 的真数大于零，然后利用弦函数的图象求解； (2)需注意偶次根式的被开方数大于或等于零， 然后利用函数的图象或三角函数线求解. 解 (1)要使函数有意义,必须使sin(cos x)>0. ∵-1≤cos x≤1,∴0<cos x≤1.
由2k u 2k 3 (k Z),
2
2
即 2k x 2k 3 (k Z)得
24
2
2 k 5 x 2 k ( k Z ),
4
4
即
2
k
5 4
, 2 k
4
(
k
Z
)为
y
2 sin(
4
x)
的递增区间 .
综上可知 : y 2 sin( x )的递增区间为 4
3
4.在下列函数中,同时满足以下三个条件的是(C )
①在 (0 , ) 上递减； 2
②以 2为周期；
③是奇函数.
A.y=tan x
B.y=cos x
C.y=-sin x
D.y=sin xcos x
解析 y=tan x的周期为，故A错.
y=cos x为偶函数，故B错.
y=sin xcos x=1
2
的周期一般指最小正周期).函数y=Asin(x+ ） 或y=Acos（ x+ ）（ >0且为常数）的周 期T 2 ,函数y=Atan(x+ )(>0)的周期
T .
基础自测
1.函数y=1-2sin xcos x的最小正周期为（B ）
A .1 B . 2
C .2
解析 y1sin 2x,T2.
在［0，2 ］内，满足sin x=cos x的x为 , 5 ,
44
再结合正弦、余弦函数的周期是2 ,
所以定义域为 {x|2kx5 2k,k Z }.
4
4
方法二 利用三角函数线，如图MN为正弦线， OM为余弦线， 要使sin x≥cos x,即MN≥OM，
则 x5(在[0,2]内).
定 4 义域4{ 为 x| 2 k x5 2 k ,k Z }.
知能迁移1 求下列函数的定义域：
(1)y lg(2sinx1) 12cosx;
lg(2sinx1) tanx1
(2)y
cosx( π)
.
28
解 (1)要使函数有意义,必须有 12si2ncxos1x00,
即 scioxn x s1 2 1,解 得 π 6 π 2 2kkπ π xx 5 6 5π π 2 2kkπ π,(kZ)
2k
5 4
, 2 k
4
(
k
Z );
递减区间为
2k
4
, 2 k
3 4
(
k
Z ).
题型三 三角函数的对称性与奇偶性
【例3】 已知f(x)=sin x+ 3 cos x（x∈R），函数 y=f(x+ )的图象关于直线x=0对称，则 的值可
以
是A . 2
思维启迪
B . 3
C . 4
（D .） 6
4
4
3.函数y=sin (2x ) 的图象（A ）
3
A.关于点 ( ,0 ) 对称
3
B.关于直线 x 对称
4
C.关于点 ( ,0 ) 对称
4
D.关于直线 x 对称
3
解析 验证法：当 x时 ,sin 2()sin0,
3
33
所y以 sin 2x()的图象 (,关 0)对 于 .称 点
3
y=cos x
定义域
R
R
y=tan x
{x| xk,
2
(k∈Z)
图象
值域
[-1,1]
[-1,1]
R
对称性
对称轴: xk 对称轴:xk 对称中心:
2
(k Z)
；
对称中心:
(kZ) ；对称中
心:
(k ,0) 2
( k ,0) 2
(k Z)
(k,0)k(Z)
(k Z)
周期 单调性 奇偶性
2
2
单调增区间 单调增区间
上是增函数
C.函数f(x)的图象关于直线x=0对称
D.函数f(x)是奇函数
解析 ysixn ()co x, sT2 ,A正确;
2
ycox在 s0,2上是减 ,y函 cox在 数 s0,2上是
增函 ,B正 数 ;确
由图象知y=-cos x关于直线x=0对称，C正确.
y=-cos x是偶函数，D错误.
先求出f(x+ )的函数表达式.
f(x+ )关于x=0对称，即f(x+ )为偶函数.
解析 f(x)2sinx(),
3 y f(x)2sinx()图象关x于 0对称 ,即f(x)
3 为偶函. 数
wenku.baidu.com
k,k,kZ，
32
6
当k 0时,.
6
答案 D
探究提f高(x)=Asin( x+)若为 偶函数,则当x=
过解不等式的方法去解答,列不等式的原则是:
①把“x+ (>0)”视为一个“整体”；②A>0(A<0)
时，所列不等式的方向与y=sin x(x∈R), y=cos x(x∈R)的单调区间对应的不等式方向相 同（反）.
（2）对于y=Atan( x+ ) (A、、 为常数),其
周期 T 单,调区间利用 x(k,k),
解出x的|取 |值范围,即为其单调区间.对于复2合函2 数y=f(v),v= (x)，其单调性判定方法是:若y=f(v) 和v=(x)同为增（减）函数时，y=f((x))为增 函数；若y=f(v)和v= (x)一增一减时，y=f( (x)) 为减函数.
知能迁移2 求函数 y2sin( x) 的单调区间.
64
思维启迪 （1）化为ysin2(x再求)单, 调区间;
3
(2)先化为 y3tan,x(再求)单调区间.
46
解 (1)由已知函数y sin(2x ),欲求函数的单调
3
递减区间,只需求y sin(2x )的单调递增区.间
3
由2k 2x 2k (k Z),
2
3
2
解得k x k 5 (k Z).
4
4
方法三
six n co x s2six n()0,
4
将x 视为一个整,由体正弦函y数 sinx的
4
图象和性质可 2k知x 2k,
4
解得2k x5 2k,kZ.
4
4
所以定义域为 { x|2 k x5 2 k ,k Z }.
44
探究提高 (1)对于含有三角函数式的(复合)函数 的定义域，仍然是使解析式有意义即可. (2)求三角函数的定义域常常归结为解三角不等 式(或等式). (3)求三角函数的定义域经常借助两个工具，即单 位圆中的三角函数线和三角函数的图象，有时也 利用数轴.
2
4
2
即 2k 3 x 2k 7 (k Z),
4
4
2k x 2k (k Z),
2
4
2
即 2k x 2k 3 (k Z).
4
4
函 数 y 2 s in ( x )的 单 调 递 减 区 间 , 单 调 递 4
增
区
间
分
别
为
2
k
4
,2k
3 4
(
k
Z ),
0时，f(x)取得最大或最小值.
若f(x)=Asin(x+)为奇函数，则当x=0时，f(x)=0. 如果求f(x)的对称轴,只需令 x+ = k (k Z）
2 求x. 如果求f(x)的对称中心的横坐标，
只需令x+ =k (k Z）即可.
知能迁移3 使奇函数f(x)=sin(2x+ )+ 3
cos在(2x +4
2 3
3
π2kπx5π2kπk( Z),
3
6
故所求函数π 3的 2k定 π5,6π义 2k域 π(k为 Z).
2sinx10
sinx12
(2)由tanx10,得tanx1
(kZ),
cosx(π)0 xπkππ
28
2 8
2
可利用单位圆中三角函数线直观地求得上述不
等式组的解集，如图所示：
2 k
§4.3三角函数的图象与性质
基础知识 自主学习
要点梳理
1.“五点法”作图原理:在确定正弦函数y=sin x
在［0，2］上的图象形状时,起关键作用的五
个点是(0,0)
、
(
2
,1)
、 ( ,0) 、
( 3 ,1) 2
、
(2,0) .余弦函数呢？
2.三角函数的图象和性质:
函 性 数 y=sin x
质
3
题型四 三角函数的值域及最值
【例4】 (12分)已知函数f(x)=2asin(2x )b
3
的定义域为
0,
2
,函数的最大值为1,最小值为
-5,求a和b的值.
思维启迪 求出2x- 的范围
3
a>0时，利用最值求a、 b
a<0时，利用最值求a、 b
解 0x, 2 x 2,
2 3 33
3 sin( 2 x ) 1,
方法一 利用余弦函数的简图得知定
义域为{x|2kx2k,k Z }.
2
2
方法二 利用单位圆中的余弦线OM,依题意
知0<OM≤1,
∴OM只能在x轴的正半轴上，
∴其定义域为
{x|2kx2k,k Z }.
2
2
（2）要使函数有意义，必须使sin x-cos x≥0.
方法一 利用图象.在同一坐标系中画出
［0,2 ］上y=sin x和y=cos x的图象,如图所示.
π
π 6
x
2k
π
5π 6
k
π
π 2
x
k
π
π 4
(k Z)
x
2k
π
3π 4
函数 { x定 |2 kπ π 义 x 2 k 域 π 3 π ,k 为 Z }.
2
4
题型二 三角函数的单调性与周期性
【例2】 (1)求函y数 sin(2x)的单调递;减区间
3
(2)求y3tan(x)的周期及单. 调区间
,
0
) 上为减函数的
的值为
A .
B .
C .5
3
6
6
D
( )
D .2 3
f(x )为奇 , f(0 函 ) si数 n3 co s 0 .
解析 tan 3.
k ,k Z，f( x ) 2 s2 i x n k π ( 2 ) s2 i x ,n
3
在 4,0上为减 ,函 f(x)数 2sin2x,k取奇 , 数 当 k1时 ,2.
2
k
3 4
,2k
7 4
(
k
Z ).
方法二 y2sinx ()可看 y 作 2siu与 n 是 u由 x
4
4
复合 . 而成的
又 u x为减函数,由2k u 2k (k Z),
4
2
2
得 2k x 2k 3 (k Z).
4
4
即
2k
4
,2k
3
4
(k
Z)为y
2sin(
4
x)
的递减区间.