近世代数课程
简论近世代数课程的教学
简论近世代数课程的教学
近世代数课程是一门基础学科，在高中数学课程中占有重要的地位，其教学内容涉及到许多角度的数学思想和解决问题的能力。
在这门课程中，学生要掌握数值代数、函数、概率与统计等方面的基本概念和算法，加深对数学知识体系的了解。
为了有效引导学生深入学习近世代数，使其能够更好地掌握相关知识，在教学中应注重强化抽象思维能力的培养，能够培养学生的解题能力和创新精神，达到从数学抽象思想中进行解题的能力，面对解题过程中发生的任何问题，一个有效的解题机制也是非常重要的。
让学生熟悉近世代数课程中函数、数轴动态图、指数和对数函数、微分与积分等内容，也是其重要教学技巧之一。
这里强调两个重要技巧：一是增强学生自主学习的能力，让学生通过自主学习来解决实际问题；二是提高学生的主动学习能力，引导学生在理解数学内容的基础上进行自主的研究，积极地探索数学的内涵，深化其理解和回答更复杂的问题。
总之，在教授近世代数课程时，应注重深入分析实际问题，引导学生学以致用，注重提高学生解决问题的能力，从而培养学生良好的科学素养和思维性能力，能够解决实际问题。
提升学生数学学习兴趣和综合能力，为未来学习科学技术提供坚实的基础。
《高等数学》.
近世代数课程教学大纲一、课程说明1、课程性质近世代数课程是数学系本科专业的一门专业必修课，是一门现代数学课，是数学专业较抽象的一门课程。
本课程主要讲现代代数学的研究对象、研究方法。
它的内容包括三个基本的代数结构：群、环、域。
它不仅是一门重要的专业基础课, 也是学习代数数论、代数几何、代数拓扑等基础数学课程及计算代数、编码等应用数学课程所必需的一门基础课。
它的基本概念、理论和方法不仅在数学中占有及其重要的地位，而且在其它学科中也有广泛的应用，如理论物理、结构化学、计算机等学科。
其研究的方法和观点，对其他学科有很大的影响。
通过本课程的学习，使学生较好地掌握近世代数的基本内容、理论和方法，加深学生对数学的基本思想和方法的理解，增强学生的抽象思维、逻辑推理能力，培养学生能利用代数学的理论知识对实际问题构建代数模型，培养学生分析问题、解决问题的能力。
2、教学目的和要求群、环、域是本课程的基本内容，要求学生熟练掌握群、环、域的基本理论和方法。
由于教学时数所限，本课程的理论推证较少，因此必须通过做练习题来加深对概念的理解和掌握，熟悉各个定理的运用，从而达到消化、掌握所学知识的目的。
对于本科学生，要独立完成大部分课后习题，它是学好本课程的重要方法。
并要阅读一定量的课外参考书，扩大视野。
还要注重培养抽象思维和推理的能力。
3、先修课程和后继课程集合论初步与高等代数是学习本课程的准备知识。
本课程学习以后可以继续研读：群论、环论、模论、李群、李代数等。
4、教学时数分配5、使用教材《近世代数基础》，张禾瑞，高等教育出版社，1978年修订本。
6、教学方法与手段本课程以讲授为主，由于该课程较抽象，在教学中要注重多举例子、多讲习题、多加思考；要注重对教材内容中各个知识点的理解，对教学内容、教学方法与教学手段的改革，认真总结教学经验，不断提高自身的教学水平和理论知识；要突出教材内容所体现的数学思想、方法，加强学生应用数学的能力；要注重对学生证明技巧、证明思路的训练；要增加以学生为主体的启发式、讨论式教学方法；要让学生多加练习、多加思考，提出问题。
《近世代数》课件
近世代数的重要性
近世代数是数学领域中的基础学科之 一，是学习其它数学分支的重要基础 。
它对于理解数学的抽象本质和掌握数 学的基本思想方法具有重要意义，有 助于培养学生的逻辑思维和抽象思维 能力。
课程大纲简介
本课程将介绍近世代数的基本概念和性质，包括集合、群、环、域等代数系统的 定义、性质和关系。
1.1 答案
对。因为$a^2$的定义是两个整数相乘，结果仍为整数。
第1章习题及解答
1.2 答案：（略）
1.3 答案：群的基本性质包括封闭性、结合律和存在单位元。
第2章习题及解答
2.1 判断题：若$a$是整数，则$a^3$也是整数。 2.2 选择题：下列哪个是环？
第2章习题及解答
要点一
2.3 简答题
编码理论中的应用
线性码
线性码是一类重要的纠错码，其生成矩阵和校验矩阵都是线性方程组的解。这 些矩阵的构造和性质都与代数理论紧密相关。
高斯-若尔当消元法
在编码理论中，经常使用高斯-若尔当消元法来求解线性方程组，这种方法在代 数中也有广泛的应用。
物理学中的应用
量子力学中的态空间
在量子力学中，态空间是一个复的向量空间，其基底对应于可观测物理量。这与代数学中的向量空间 概念非常相似。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个多项式，那么E在F上形成一个 子域。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个不可约多项式，那么E在F上形 成一个有限子域。
有限域
有限域的性质
有限域中的元素个数一定是某个素数的幂。
理想与商环
理想的定义与性质
介绍理想的定义，包括左理想、右理想、双边理想等 ，并讨论理想的封闭性、运算性质等。
《近世代数》教案1
《近世代数》教案1《近世代数》教案1教案一：近世代数概述一、教学目标1.了解近世代数的起源和发展历程；2.理解近世代数的基本概念和基本运算；3.掌握近世代数的基本定理和性质；4.培养学生的逻辑推理和证明能力。
二、教学内容1.近世代数的起源和发展历程；2.近世代数的基本概念和基本运算；3.近世代数的基本定理和性质。
三、教学重点和难点1.理解近世代数的基本概念；2.掌握近世代数的基本运算；3.理解和运用近世代数的基本定理和性质。
四、教学方法1.前置知识导入：利用历史故事或问题引入近世代数的起源；2.概念解释与讨论：通过引导学生，共同探讨近世代数的基本概念；3.理解和运用：通过实际问题，让学生理解和运用近世代数的基本定理和性质；4.案例分析和练习：通过案例分析和练习，巩固学生对近世代数的理解和应用能力；5.归纳总结：通过归纳总结，整理和进一步理解所学的知识。
五、教学过程1.前置知识导入（10分钟）-引入：《近世代数》是一门重要的数学学科，它是现代数学的基石之一、那么，你们以为近世代数是从什么时候开始出现的呢？我们来听听关于近世代数起源的故事吧。
-故事：公元16世纪，意大利的一位数学家卡尔达诺被人请到一个庄园解决一个心理障碍的问题，他最终发现了它的根源与代数方程式求解有关。
这个故事揭示了近世代数起源的一部分，下面我们一起来探索更多关于近世代数的知识。
2.概念解释与讨论（20分钟）-定义：近世代数是一门研究代数结构及其性质的学科，它主要研究了代数系统的运算规则和代数方程式的求解方法。
-基本概念：群、环、域是近世代数中的基本概念。
群是指一个非空集合和一个在这个集合上的运算，满足封闭性、结合律、单位元和逆元的性质；环是指一个非空集合和两个在这个集合上的运算，满足加法封闭性、结合律、单位元和可逆性，以及乘法封闭性和结合律；域是指一个非空集合和两个在这个集合上的运算，满足加法封闭性、结合律、单位元和可逆性，以及乘法封闭性、结合律、单位元和可逆性。
近世代数精品课程
于是 c p1 p2 pn , 诸pi皆素元 .又令 a q1q2 qr , b q1'q2' qs' , 诸q j ,qk '皆素元. 于是 q1q2 qr q1' q2 ' qs '＝p p1 p2 pn .
例2 数域F上的多项式环 ( F[ x], , ,0,1)是一个欧氏环. 例3 Gauss整数环 (Z[i], , ,0,1)是欧氏环. 证明 易证 (Z[i], , , 0,1) 是整环. 令
设 a bi Z[i]\{0}, c di Z[i], k li, k , l Z，
an I , 如果d ai , i 1, , n, 则称d为a1, , an的一个公因子；
定义4.2.2 假定d, a1,
d为a1 ,
假定d为a1, , an的一个公因子, 若a1, , an的每一个公因子都能整除d，则称 , an的一个最大公因子.
1 n
定义4.2.3 假定a ,a
a1, an互素.
pi 是I的素元 );
qi （ii）若同时 a q1q2 q (s 是I的素元 ); qi 且可把 那么 r s. qi , 的次序掉换 i pi i I的单位）. （ 是
例
(Z[ 3],,,是整环， 0,1)
4 2 2 (1 3)( 1 4 3) 是 在此环中两种
' ' 则存在 k , l Z
: Z[i] \{0} Z; a bi 则 是一个映射.
2 a2 b ，
使得
k k'
1 1 , l l' 2 2
近世代数教学大纲近世代数课程是高等学校数学专业的必修课程
近世代数教学大纲近世代数课程是高等学校数学专业的必修课程《近世代数》教学大纲《近世代数》课程是高等学校数学专业的必修课程，是大学数学的重要基础课程之一。
它是现代数学的一个重要分支，其主要研究对象不是代数机构中的元素特性，而是各种代数结构本身和不同代数结构之间的相互联系。
《近世代数》已成为进入现代数学的阶梯和基础，不仅在知识方面，而且在思想方法上对于学习和研究近代数学都起着明显而有力的作用，它的理论结果也已经应用到诸多相关的科学领域，如计算机科学、理论物理、理论化学等。
设置本课程的目的：向学生介绍近世代数的最基本的概念、理论和方法，介绍现代数学的基础知识，培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。
从而满足学生对代数学进一步学习和研究的要求，满足其他数学领域及数学应用对代数的基本要求。
学习本课程的要求：学生应了解近世代数的基本的概念和理论，掌握代数学研究代数结构的一般方法，注意培养抽象思维能力和逻辑推理能力，能为以后的代数学习或其他数学领域的学习打下良好的代数学基础。
先修课程要求：集合论初步，线性代数，高等代数本课程学时：54学时选用教材：刘绍学、章璞编著，近世代数导引，高等教育出版社（2011）教学手段：课堂讲授为主，讨论、课外辅导为辅考核方法：考试注：1、注意章节之间的相互联系，每章内容在全教材中所处的地位及作用。
2、在概念的讲授中，应注意由特殊到一般，由具体到抽象。
教学的初始阶段，宜慢不宜快。
3、不拘泥于教材，同时编写课程讲义。
4、时刻把握学生的接受能力。
5、教材中打“*”的内容根据实际情况选择讲解。
主要教学内容与重难点：第一章集合与运算一、学习目的通过本章的学习，能够熟练掌握近世代数中常见的一些基本概念和符号，初步了解近世代数课程研究的对象和一般的研究方法。
二、课程内容§1．1 集合§1．2 运算映射的定义，单射，满射，双射（一一映射）；变换的定义，单射变换，满射变换，双射变换。
近世代数教学大纲
近世代数教学大纲一、课程基本信息课程名称：近世代数课程类别：数学专业基础课课程学分：＿____课程总学时：＿____授课对象：数学专业本科生二、课程教学目标1、使学生掌握近世代数的基本概念、理论和方法，包括群、环、域等代数结构。
2、培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，提高学生的数学素养。
3、引导学生运用近世代数的方法解决实际问题，培养学生的创新能力和应用能力。
三、课程教学内容与要求（一）群论1、群的定义和基本性质理解群的定义，包括群的运算满足的四个条件（封闭性、结合律、单位元、逆元）。
掌握群的例子，如整数加法群、对称群等。
熟悉群的基本性质，如消去律、元素的阶等。
2、子群、陪集和拉格朗日定理子群的定义和判定方法。
理解陪集的概念和性质。
掌握拉格朗日定理及其应用。
3、群的同态和同构群同态和同构的定义及性质。
了解同态基本定理。
4、循环群和置换群循环群的结构和性质。
掌握置换群的表示和运算。
（二）环论1、环的定义和基本性质理解环的定义，包括环的运算满足的条件。
熟悉环的基本性质，如零因子、单位元等。
2、子环、理想和商环子环的定义和判定方法。
理想的概念和性质。
掌握商环的构造和性质。
3、环的同态和同构环同态和同构的定义及性质。
4、整环、域和分式域整环和域的定义和性质。
了解分式域的构造。
（三）域论1、域的扩张理解域扩张的概念。
掌握域扩张的次数。
2、有限域有限域的结构和性质。
四、课程教学方法1、课堂讲授：通过讲解基本概念、定理和例题，使学生掌握近世代数的核心内容。
2、课堂讨论：组织学生对一些疑难问题进行讨论，培养学生的思维能力和表达能力。
3、课后作业：布置适量的作业，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
4、课外辅导：对学生在学习过程中遇到的问题进行个别辅导。
五、课程考核方式1、平时成绩（包括作业、考勤、课堂表现等）：占总成绩的_____。
2、期中考试：占总成绩的_____。
3、期末考试：占总成绩的_____。
六、教材及参考资料1、教材：《近世代数》，＿____著，＿____出版社。
《近世代数》课程教学大纲
《近世代数》课程教学大纲一、教学大纲说明（一）课程的地位、作用和任务《近世代数》是数学与信息科学学院数学与应用数学（教师教育）本科专业的专业选修课之一，修学时间为一学期。
本课程较全面地介绍了近代抽象代数学的基础知识、基本理论、基本方法及其应用，为进一步学习各专业课打下基础。
（二）课程教学目的和要求通过本课程的学习，使学生较好地掌握近世代数的基本内容，并在一定程度上能利用近世代数的思想、方法解决一些简单的数学问题。
掌握：群、正规子群、商群，环、理想、商环，域、扩域等基本概念，并能应用举例。
理解：等价关系与分类、群的同态与同构、环的同态与同构、整环里的因式分解定理、域扩张定理等。
了解：变换群、置换群结构、多项式环理论、代数扩域理论等。
（三）课程教学方法与手段本课程的教学以讲授和辅导课相结合的方式。
总课时为54，其中讲授课时为42，约占总课时的78%，习题课时为12，约占总课时22%。
主要内容采用课堂讲授，适当配合习题课和辅导课，定期疑问，适当采用多媒体教学。
（四）课程与其它课程的联系近世代数的内容涉及到高等代数和初等数论的部分知识，它在密码学、信息安全理论、有限域、代数数论等课程中有很重要作用。
（五）教材与参考书教材：裴定一编，《近世代数》，广东科技出版社，2005年教学参考书：张禾瑞编，《近世代数》，高等教育出版社，1980年二、课程的教学内容、重点和难点第一章整数与集合的一些性质（4学时）本章介绍整数的整除，欧氏除法、算术基本定理、同余、同等式、中国剩余定理、等价关系与集合的分类。
要求：①了解整数整除、同余、中国剩余定理；②掌握等价关系与集合的划分，并能运用。
重点：整数的性质、集合与映射、等价关系与集合的分类。
难点：等价关系与集合的分类。
第二章群论（22学时）本章介绍群、子群及其性质、正规子群、商群、同构定理等内容。
要求：①了解群的背景及其群的具体例子；②掌握群的概念、性质、商群、同构定理；③能够运用群的性质解决一些数学问题。
大学课程辅导近世代数学教案
课时：2课时教学目标：1. 让学生掌握近世代数学的基本概念和基本定理。
2. 培养学生运用近世代数学知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。
教学内容：1. 近世代数学的基本概念：群、环、域、向量空间等。
2. 近世代数学的基本定理：拉格朗日定理、欧拉定理、同构定理等。
3. 应用近世代数学知识解决实际问题。
教学过程：第一课时：一、导入1. 回顾上一节课的内容，让学生回忆近世代数学的基本概念。
2. 提出问题：如何运用近世代数学知识解决实际问题？二、讲授新课1. 介绍近世代数学的基本概念：群、环、域、向量空间等。
2. 讲解近世代数学的基本定理：拉格朗日定理、欧拉定理、同构定理等。
3. 结合实例，讲解如何运用近世代数学知识解决实际问题。
三、课堂练习1. 给出几个与近世代数学相关的问题，让学生独立完成。
2. 对学生的解答进行点评和指导。
四、课堂小结1. 总结本节课所学内容，让学生回顾近世代数学的基本概念和基本定理。
2. 强调运用近世代数学知识解决实际问题的方法。
第二课时：一、复习1. 复习上一节课所学内容，检查学生对近世代数学基本概念和基本定理的掌握程度。
2. 提出问题：如何运用近世代数学知识解决实际问题？二、讲授新课1. 讲解近世代数学在密码学中的应用。
2. 讲解近世代数学在计算机科学中的应用。
三、课堂练习1. 给出几个与近世代数学应用相关的问题，让学生独立完成。
2. 对学生的解答进行点评和指导。
四、课堂小结1. 总结本节课所学内容，让学生回顾近世代数学在密码学和计算机科学中的应用。
2. 强调近世代数学在实际问题中的应用价值。
教学评价：1. 通过课堂练习和课后作业，了解学生对近世代数学知识的掌握程度。
2. 观察学生在实际问题中的应用能力，评估学生的综合能力。
3. 鼓励学生积极参与课堂讨论，提高学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。
(完整版)近世代数教学大纲
《近世代数》教学大纲课程名称：近世代数英文名称：Abstract Algebra课程编号：0641008 学分：3 学时：54先修课程：高等代数、初等数论替代课程：无适用对象：数学与应用数学专业（4年制普通本科）（一）课程目的要求本课程的目的是引导学生掌握近世代数的基本概念和基本理论，从而达到对近世代数的语言与理论有所了解的目的，帮助学生为进一步的学习和研究打好代数学方面的知识基础.主要是群、环、域的基本概念以及基本理论。
在学习本课程中，要求学生掌握近世代数的基本概念、基本理论和方法，提高数学修养与技巧，以便能深入理解中学代数的内容和方法，为进一步学习其它学科创造条件。
（二）课程简介近世代数是数学与应用数学专业必修课程，是现代数学的一个重要分支，是研究多种代数结构的一门学科。
它的内容对中学代数教学有指导意义，它的思想方法已经渗透到数学的多个分支，它的结果已应用到众多学科领域，现在本课程已作为师范院校数学专业学生的必修课。
本课程的学习分为三个部分，第一部分学习近世代数的预备知识，包括集合、映射、代数运算及等价关系等基本概念。
第二部分学习群的基本理论，主要包括群的定义和基本性质, 子群和商群理论, 群同态和同构定理, 置换群的基本理论，有限群的Lagrange定理。
第三部分学习环论的基础内容, 主要包括环, 子环, 商环的定义和基本性质, 环同态和同构定理, 素理想与极大理想，环上的多项式环的构造，扩域和有限域。
（三）教学方式教学方式是以教师讲授为主，注重知识点之间的比较，运用类比方法；根据课堂教学情况，适当补充一些例题，以帮助学生课后巩固所学知识；适时给出思考题，培养学生的独立思考能力；对一章进行总结时，适当配备一些典型习题讲解, 以帮助学生理解和掌握抽象的概念和性质定理。
（四）教材和主要教学参考书教材：《近世代数》（第二版），朱平天，李伯洪，邹园编，科学出版社, 2009年出版主要教学参考书：1.张禾瑞编:《近世代数基础》，人民教育出版社, 1984年版。
近世代数课件代数运算
§1 代数运算
令 u 表示{a, b, c}中其余的那个元素.于是, (x y) z e z z , x (y z) x u z ,
从而, (x y) z x (y z) .
同理可知,当 y z 或 z x 时, (x y) z x (y z) .
§1 代数运算
则称“ ”适合结合律. (2)若对于任意的 a, b A 总有 ab ba ,
§1 代数运算
则称“ ”适合交换律. (3)若对于任意的 a, b, c A ,由 ab ac
可以推得 b c ,则称“ ”适合左消去律;若对 于 任 意 的 a, b, c A , 由 ba ca 可 以 推 得 b c ,则称“ ”适合右消去律;若“ ”既适合 左消去律,又适合右消去律,则称“ ”适合消 去律.
§1 代数运算
例 5 设 R 是实数集.则 R 上的加法“” 适合结合律、交换律和消去律; R 上的乘法 “”适合结合律和交换律,不适合消去律; R 上 减法“-”不适合结合律和交换律,但适合消 去律.
注意: R \{0} 上的乘法“”适合结合律、 交换律和消去律.
§1 代数运算
例 6 令 P nn 表示某个数域 P 上的全 体 n 阶方阵构成的集合.则 P nn 上的加法 适合结合律、交换律和消去律; P nn 上的 减法不适合结合律和交换律,适合消去 律; P nn 上的乘法适合结合律,不适合消去 律,当 n 1时不适合交换律.
{(a1, a2 , , an ) | ai Ai , i 1, 2, n} 称为 A1, A2 , , An 的直积或笛卡儿积,记作
A1 A2 An . 特别地,当 A1 A2 An A 时, A1 A 2 A n 可 以简记作 An (读作 A 的 n 次方).这里约定,当 n 1 时, A1 A 2 A n 就是 A1 .
05006《近世代数》课程教学大纲
《近世代数》课程教学大纲课程编号：05006课程英文名称：Modern Algebra学时数：72学分数：3.5适应层次和专业：数学与应用数学本科专业一、课程的性质和目的《近世代数》又名《抽象代数》（Abstract Algebra），是数学与应用数学专业本科的一门重要专业基础课，也是学习代数数论、代数几何、代数拓扑等基础数学课程及计算代数、编码等应用数学课程所必需的一门基础课。
《近世代数》的基本概念、理论和方法，是每一个数学工作者所必需具备的基本数学素养之一。
理解和掌握《近世代数》的基本内容、理论和方法，对于学生加深理解数学的基本思想和方法，培养抽象思维能力和逻辑推理能力，提高数学修养都具有重要意义。
课程设置的目的主要为：使学生对抽象代数的思想和方法有较深刻的认识，提高抽象思维、逻辑推理和运算的能力；使学生获得一定的抽象代数的基础知识，受到代数方法的初步训练，为进一步学习代数后继课程打下基础；使学生能应用抽象代数的知识与方法去理解与处理有关的问题，培养与提高应用抽象代数的理论分析问题与解决问题的能力。
二、课程教学内容及各章节学时分配第一章、基本概念（14学时）第一节集合主要知识点：集合的基本概念，集合的运算第二节映射与变换主要知识点：映射、单射、满射、一一映射、映射的合成、变换、一一变换、恒等变换、n次置换第三节代数运算主要知识点：代数运算、二元运算第四节运算律主要知识点：结合律、交换律、左分配律、右分配律、结合律的性质、交换律的性质、分配律的性质第五节同态与同构主要知识点：同态映射、同态满射、同态、同构映射、自同态、自同构第六节等价关系与集合的分类主要知识点：关系、等价关系、集合分类、同余关系、模n的剩余类、等价关系与集合分类的关系第二章、群（20学时）第一节群的定义和初步性质主要知识点：群、群的阶、交换群、有限群、无限群、幺半群、加群、群的简单性质、几种常见的具体的群（非零有理数乘群、正有理数乘群、一般线性群、n次单位根群、四元数群、整数加群等）第二节群中元素的阶主要知识点：元素阶的定义及性质、周期群、无扭群、混合群、交换群中元素阶的性质第三节子群主要知识点：子群、平凡子群、非平凡子群、子群的判定方法、特殊线性群、中心元素、无中心群、中心第四节循环群主要知识点：生成系、生成元、循环群的定义和由生成元决定循环群的性质与特点第五节变换群主要知识点：变换群、双射变换群、非双射变换群、对称群、n次对称群、抽象群与变换群之间的关系第六节置换群主要知识点：置换与置换群的定义及性质、Klein四元群、置换阶的判别第七节陪集、指数和Lagrange定理主要知识点：左（右）陪集的定义及性质、群关于子群的左（右）陪集分解、左右陪集之间的关系、子群与陪集之间的映射关系、指数及相关性质、Lagrange定理第三章正规子群和群的同态与同构（16学时）第一节群同态与同构的简单性质主要知识点：群同态、同构的定义及简单性质第二节正规子群和商群主要知识点：正规子群的定义及简单性质、商群及商群的一个应用、与正规子群密切相关的哈密顿群和单群第三节群同态基本定理主要知识点：正规子群、商群以及同态与同构映射之间的联系（含同态基本定理）、循环群的同态象、同态映射下两个群的子群之间的关系第四节群的同构定理主要知识点：第一同构定理、第二同构定理、第三同构定理第五节群的自同构群主要知识点：集合的自同构群、群的自同构群及性质第六节共轭关系与正规化子主要知识点：共轭元素、类等式、正规化子、共轭子集、共轭子群、共轭元素类与共轭子群类之间的关系第四章环与域（22学时）第一节环的定义主要知识点：环的定义及简单性质、交换环、非交换环、有限环、无限环、左（右）单位元、环中元素的运算规则、子环、循环环第二节环的零因子和特征主要知识点：零因子、无零因子环及其性质、整环、特征及其性质第三节除环和域主要知识点：除环、域的定义及性质、子域、域中元素的运算法则第四节环的同态与同构主要知识点：环同态、同构的定义及简单性质、环的自同构第五节模n剩余类环主要知识点：模n剩余类环的定义及性质、循环环的性质第六节理想主要知识点：理想的定义及简单性质、平凡理想、非平凡理想、单环、由元素生成的理想及性质第七节商环与环同态基本定理主要知识点：陪集的乘法、环同态基本定理（环第一同构定理）、环第二同构定理、环第三同构定理第八节素理想和极大理想主要知识点：素理想定义及性质、极大理想定义及性质第九节环与域上的多项式环主要知识点：环上未定元的多项式环及简单判定三、课程教学基本要求近世代数课程的基本要求是：掌握运算律描写代数运算并从它出发推导其它性质的能力：学会把这种能力熟练地运用于中等及高等学校数学课程所涉及的一些最重要的代数系统；深刻领会这些代数系统的本质特征及它们之间的联系；由此来统率中学数学教材中的代数部分。
国家本科一流线上课程 近世代数
国家本科一流线上课程近世代数近世代数是数学的一个分支，主要研究代数结构及其运算规律。
它起源于十九世纪末的数学革命，是数学科学发展中的一个重要里程碑。
近世代数不仅在数学基础理论研究中发挥着重要作用，同时也在应用数学、计算机科学等多个领域起到了关键性的作用。
近世代数的研究对象是代数结构，其中最为重要的代数结构有群、环、域以及它们的扩展。
代数结构包含了一组元素和一组运算规则，在进行这些运算时，使得运算结果仍然满足一些性质。
例如，群是一种包含了一组元素和一种运算的代数结构，满足结合律、存在单位元素和逆元素等性质。
近世代数的核心问题就是研究这些代数结构的性质和运算规律。
其中，群是近世代数中最基本的代数结构之一。
它研究了群的子群、群的同态、群的生成元以及群的正规子群等问题。
这些问题不仅具有理论意义，也应用到物理学、化学、密码学等实际问题中。
例如，密码学中的RSA算法和椭圆曲线密码算法都是基于群运算的。
环则是近世代数的另一个重要研究对象。
环是一种既有加法又有乘法运算的代数结构，它的运算规则满足分配律、结合律以及存在单位元素等性质。
环论研究了环的子环、理想、同态以及域的概念等。
环论在数论、代数几何等领域具有重要应用。
例如，代数几何中的代数闭域与代数拓扑学中的同调论都是基于环的结构来进行研究的。
代数结构中的一个重要概念是域。
域是一种满足一定条件的结合律、交换律、分配律等性质的代数结构。
在域论中，我们研究了域的扩张、域的三角学等问题。
域在数论、代数几何、概率论等领域具有广泛的应用。
例如，Galois理论是一个基于域扩张的重要理论，他不仅解决了代数方程的可解性问题，也为数论和代数几何的发展提供了基础。
除了基本的群、环、域的研究外，近世代数还包括了多项式环、李代数、Hopf代数、编码理论等诸多内容。
多项式环研究了一元多项式及其运算的性质，它在近代数论中起到了重要作用。
李代数则研究了一种特殊的代数结构，它在物理学和几何学中有着广泛的应用。
《近世代数》课程教学大纲
《近世代数》课程教学大纲MODERN ALGEBRA〔2009年10修订,潘庆年执笔〕一、课程的适用专业、学时及学分本课程的适用专业为：数学与应用数学专业,68学时,4学分.二、课程的性质、目的和任务近世代数是数学与应用数学专业一门必修的专业基础课,是现代数学的重要基础之一.通过本课的学习,能够使学生掌握群、环、域的基础知识,深刻理解和体会公化这一现代数学的思想方法,同时掌握代数的一些基本方法：集合、运算、运算性质,特殊元素,特殊子对象,商对象,同态同构,为学生的进一步学习提供理论基础和方法保证,加深对中等数学中代数体系的理解.三、与其它课程的联系本课程的学习需要一定集合论和高等代数的基础,对数论、组合论、离散数学的学习有一定的帮助.四、课程的基本内容、重点及难点〔一〕基本概念1、集合及其运算.2、映射,映射的合成,一一映射,可逆映射击,一一映射与可逆映射的关系.3、代数运算及其运算律.4、同态,同构,自同态,自同构.5、等价关系,集合元素的分类,二者的关系.重点及难点：同态、同构等价关系与集合元素的分类〔二〕群1、群的定义及其等价条件.2、群的同态及其性质.3、变换群,Cayley定理.4、置换群,置换的循环表方法,交代群.5、循环群,整数加群Z和模n剩余类加群Z n,结构定理.6、子群及子群的陪集,Lagrange定理.7、不变子群,商群,同态基本定理.重点及难点：群的定义,循环群与置换群,不变子群与商群,同态基本定理.〔三〕环与域1、环的定义及简单性质,几类常用的环的实例.2、交换律,单位元,可逆元,零因子,正那么元,整环.3、除环和域,四元数除环,域中元的运算.4、无零因子环的特征.5、子环,环的同态及同态映射的性质.6、多项式环,同态及代入法,未定元的存在性.7、理想,剩余类〔商〕环,同态基本定理.8、极大理想,域的构作.9、分式域的存在条件及其构作方法重点与难点：环〔域〕的概念,几类常用环的性质,理想与商环,同态及同态基本定理.〔四〕整环的因子分解理论1、整除,因子与平几因子,相伴元,素元,唯一分解.2、唯一分解环及其等价条件,最大公因子,互素.3、主理想环,升链条件,极大理想与素元的关系.4、欧氏环、唯一分解环、主理想环及其之间的关系.5、多项式环的因子分解,根.重点与难点：素元,唯一分解问题.〔五〕扩域1、扩域,素域,最小扩域F〔S〕的构造及其性质.2、代数元与超越元,单代数扩域的同构定理,单超越扩域的同构定理.3、代数扩域,有限扩域,二者的关系4、多项式的分裂域,存在及其唯一性.5、有限域,有限域的阶,多项式x q-x的分裂域.重点与难点：单扩F〔α〕的同构定理,代数扩域,分裂域的存在及唯一,有限域的性质.六、教材与教学参考书[1] X禾瑞. 近世代数基础. :高教, 2000年〔选用教材〕.[2] X绍学. 近世代数基础. :高教,2001年.[3] 吴品三.抽象代数.:高教,1984年.[4] 杨子胥.近世代数.:高教,2001年.[5] 韩士安,林磊.近世代数.:科学,2008年.[6] 樊辉,X宏伟.抽象代数.:科学,2008年.[7] 聂灵沼,丁石孙．代数学引论．：高等教育, 1988[8] T .W .Hungerford . Algebra. Berlin: Springer_verlag,1 974.[9]Nathan Jacobson ． Basic Algebra <I> ． New York ：W. H. Freeman and Company , 1985[10] Joseph. J. Rotman. 抽象代数基础教程 < 英文版>. 第 2 版. :机械工业 ,2004 年[11]Joseph A Gallian ．Contemporary abstract algebra ． Boston :New York Houghton Mifflin Company , 1998 ．。
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解．
例 Z 是一个UFD, Z[
3]
不是一个UFD．
p 是I中的素元，则对任 定理4.2.1 假定I是一个UFD，
意
a, b I
证明
p ab p a或p b 有：
．
当 a , b中有一个是零或是单位时，定理显真.
现设a, b 皆非零元，也非单位. p ab ab pc, c 0, c也非单位.
例 2 F是域，则(F[ x], , ,0,1)是主理想环.
证明：设（{0} ）A是F[ x]的理想，
记A中次数最低的多项式为f ( x), 则( f ( x)) A.
另一方面，若 g ( x) A, g ( x) ( f ( x)),则f ( x)
g ( x ),
设g ( x) f ( x)u( x) v( x), (v( x)) ( f ( x))而v( x) A此与f ( x)次数最小矛盾.
相伴元
定义4.1.3 元b叫做元a相伴元，假如b=εa ,其中ε是I的一
个单位.
平凡因子；真因子 定义4.1.4 单位以及元a的相伴元叫做a的平凡因子，其
余的a的因子，叫做真因子.
素元 定义4.1.5
整环I的一个元p叫做一个素元，假如p既不 是零元，也不是单位，并且p只有平凡因子.
定 理4.1.1
唯一分解
单位 定义4.1.1 整环I中的可逆元ε称I的一个单位.
注:
单位和单位元是两个不同的概念，单位元一定 是一个单位，而单位未必是单位元.
整除 定义4.1.2 称整环I的一个元a可以被I的元b整除，假如
在I里找得出元c，使得a=bc.假如a能被 b整除，我们 说b是a的因子，并且用符号b|a 来表示，否则用 b a 来表示.
单位.
定 理4.1.2 单位同素元p的乘积也是一个素元. 证明 (1) 0, p 0 p 0;
(2) p不是单位, 若不然，‘ I使得1 ‘ (p) (‘ ) p
(否则若c是单位，则pc是素元与pc可写成两个非单位的元之积矛盾).
于是 c p1 p2 pn , 诸pi皆素元 .又令 a q1q2 qr , b q1'q2' qs' , 诸q j ,qk '皆素元. 于是 q1q2 qr q1' q2 ' qs '＝p p1 p2 pn .
由分解唯一性知 p是某个qi或q j 的相伴元， ' q ； 如 1 p则p b . 如 q1 p, 则p a
an p 推论 在一个UFD中, 若素元 p a1 a2 ，则 必整除某一个
ai ．
定理4.2.2 若整环I满足：
(1)I \ U (I )中每一个元均有一个分解式； (2) 若 p是I的素元, 则必有p ab p a或p b, a, b I . 那么I一定是唯一分解环.
pi 是I的素元 );
qi （ii）若同时 a q1q2 q (s 是I的素元 ); qi 且可把 那么 r s. qi , 的次序掉换 i pi i I的单位）. （ 是
例
(Z[ 3],,,是整环， 0,1)
4 2 2 (1 3)( 1 4 3) 是 在此环中两种
第四章 整环里的因子分解
§ 4.1- § 4.3
目的与要求: ◆掌握整除,单位,相伴元,平凡因子,真因子,素元, 唯一分解的概念及性质. ◆掌握唯一分解环的概念及等价定义,了解公因子 最大公因子的概念与最大公因子的存在性. ◆掌握主理想环的概念和性质，以及主理想环与 唯一分解环的关系.
§4.1
素元
不同的分解.
证明 (i)
(ii)
a b 3(a, b Z )是单位 ＝1.
适合条件 ＝4的元是素元 .
2
. (iii) 1 3都不是2的相伴元
§4.2
唯一分解环
唯一分解环
定义4.2.1 一个整环I叫做一个唯一分解环(UFD)，如果I
的每一个既不等于零又不是单位的元都有唯一分
则称I是一个主理想环，记为PID.
例1 证明
整数环(Z , , ,0,1)是主理想环.
{0} ）A是Z的理想，记A中的最小正整数为a, 则(a) A. 设（
另一方面，若m A, m (a),则a m, 设m as e,0 r a,
则 r m as A此与a的最小性矛盾，故A (a).从而A (a).
an I , 如果d ai , i 1, , n, 则称d为a1, , an的一个公因子；
定义4.2.2 假定d, a1,
d为a1 ,
假定d为a1, , an的一个公因子, 若a1, , an的每一个公因子都能整除d，则称 , an的一个最大公因子.
1 n
定义4.2.3 假定a ,a
a1, an互素.
b a bc c 1 c U (I ) ,矛盾.
故a有真因子.
推论 假定a≠0，并且a有真因子b，a=bc，那么c也是a
的真因子.
唯一分解 定义4.1.6 我们说，一个整环I的一个元a在I里有唯一分
解，假如以下条件能被满足： （i） a p1 p2 pr (
p是单位.此与p是素元矛盾.
(3) p只有平凡因子.
定 理4.1.3 整环中一个不等于零的元a有真因子的充
分而且必要条件是：a=bc，b和c都不是单位元.
证明 ()a有真因子 b U (I )使得b a且b不是a的相伴元.
c I 使得a bc. 若c U ( I ), 则a与b是相伴关系，故c U (I ). ()假定a bc，b, c U ( I ) b不是a的相伴元，否则
I , 如果a1 ,, an 在I中的最大公因子是单位 ，则称
定理4.2.3
假定I是唯一分解环, a, b I , 那么有
(1)在I中, a和b有最大公因子； (2) 若d , d 均为a和b的最大公因子，则d , d 是相伴关系.
§4.3
主理想环
定义4.3.1 如果整环I中的每一个理想都是主理想，