第一章 整式的乘除平方差公式2
北师大版数学七年级下册 第一章 整式的乘除 平方差公式-平方差公式(二)
平方差公式(二)一、教学目标(一)教学目标1.了解平方差公式的几何背景.2.会用面积法推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.3.体会符号运算对证明猜想的作用.(二)能力目标1.用符号运算证明猜想，提高解决问题的能力.2.培养学生观察、归纳、概括等能力.(三)情感目标1.在拼图游戏中对平方差公式有一个直观的几何解释，体验学习数学的乐趣.2.体验符号运算对猜想的作用，享受数学符号表示运算规律的简捷美.二、教学重难点（一）教学重点平方差公式的几何解释和广泛的应用.（二）教学难点准确地运用平方差公式进行简单运算，培养基本的运算技能.三、教具准备一块大正方形纸板，剪刀.投影片四张第一张：想一想，记作(§1.7.2 A)第二张：例3，记作(§1.7.2 B)第三张：例4，记作(§1.7.2 C)第四张：补充练习，记作(§1.7.2 D)四、教学过程Ⅰ.创设问题情景，引入新课［师］同学们，请把自己准备好的正方形纸板拿出来，设它的边长为a.这个正方形的面积是多少？［生］a2.［师］请你用手中的剪刀从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形(如图1－23).现在我们就有了一个新的图形(如上图阴影部分)，你能表示出阴影部分的面积吗？图1－23［生］剪去一个边长为b的小正方形，余下图形的面积，即阴影部分的面积为(a2－b2).［师］你能用阴影部分的图形拼成一个长方形吗？同学们可在小组内交流讨论.(教师可巡视同学们拼图的情况，了解同学们拼图的想法)［生］老师，我们拼出来啦.［师］讲给大伙听一听.［生］我是把剩下的图形(即上图阴影部分)先剪成两个长方形(沿上图虚线剪开)，我们可以注意到，上面的大长方形宽是(a－b),长是a;下面的小长方形长是(a－b),宽是b.我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形，是由于大长方形的宽和小长方形的长都是(a－b),我们可以将这两个边重合，这样就拼成了一个如图1－24所示的图形(阴影部分)，它的长和宽分别为(a+b),(a－b),面积为(a+b)(a－b).图1－24［师］比较上面两个图形中阴影部分的面积，你发现了什么？［生］这两部分面积应该是相等的，即(a+b)(a－b)=a2－b2.［生］这恰好是我们上节课学过的平方差公式.［生］我明白了.上一节课，我们用多项式与多项式相乘的法则验证了平方差公式.今天，我们又通过拼图游戏给出平方差公式的一个几何解释，太妙了.［生］用拼图来验证平方差公式很直观，一剪一拼，利用面积相等就可推证.［师］由此我们对平方差公式有了更多的认识.这节课我们来继续学习平方差公式，也许你会发现它更“神奇”的作用.Ⅱ.讲授新课［师］出示投影片(§1.7.2 A)想一想：(1)计算下列各组算式，并观察它们的特点⎩⎨⎧=⨯=⨯8897 ⎩⎨⎧=⨯=⨯12121311 ⎩⎨⎧=⨯=⨯80808179 (2)从以上的过程中，你发现了什么规律？(3)请你用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？［生］(1)中算式算出来的结果如下⎩⎨⎧=⨯=⨯64886397 ⎩⎨⎧=⨯=⨯14412121431311 ⎩⎨⎧=⨯=⨯6400808063998179 ［生］从上面的算式可以发现，一个自然数的平方比它相邻两数的积大1. ［师］是不是大于1的所有自然数都有这个特点呢？［生］我猜想是.我又找了几个例子如：⎩⎨⎧=⨯=⨯422331 ⎩⎨⎧=⨯=⨯10000100100999910199 ⎩⎨⎧=⨯=⨯62525256242624 ［师］你能用字母表示这一规律吗？［生］设这个自然数为a ,与它相邻的两个自然数为a －1,a +1,则有(a +1)(a －1)=a 2－1.［生］这个结论是正确的，用平方差公式即可说明.［生］可是，我有一个疑问，a 必须是一个自然数，还必须大于2吗？(同学们惊讶，然后讨论)［生］a 可以代表任意一个数.［师］很好！同学们能大胆提出问题，又勇于解决问题，值得提倡.［生］老师，我还有个问题，这个结论反映了数字之间的一种关系.在平时有什么用途呢？(陷入沉思)［生］例如：计算29×31很麻烦，我们就可以转化为(30－1)(30+1)=302－1=900－1=899.［师］的确如此.我们在做一些数的运算时，如果能一直有这样“巧夺天工”的方法，太好了.我们不妨再做几个类似的练习.出示投影片(§1.7.2 B)［例3］用平方差公式计算：(1)103×97 (2)118×122［师］我们可以发现，直接运算上面的算式很麻烦.但注意观察就会发现新的奥妙.［生］我发现了，103=100+3,97=100－3,因此103×97=(100+3)(100－3)=10000－9=9991.太简便了！［生］我观察也发现了第(2)题的“奥妙”.118=120－2,122=120+2118×122=(120－2)(120+2)=1202－4=14400－4=14396.［生］遇到类似这样的题，我们就不用笔算，口算就能得出.［师］我们再来看一个例题(出示投影片§1.7.2 C).［例4］计算：(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2;(2)(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3).分析：上面两个小题，是整式的混合运算，平方差公式的应用，能使运算简便；还需注意的是运算顺序以及结果一定要化简.解：(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2=a2(a2－b2)+a2b2=a4－a2b2+a2b2=a4(2)(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3)=(2x)2－52－(4x2－6x)=4x2－25－4x2+6x=6x－25注意：在(2)小题中，2x与2x－3的积算出来后，要放到括号里，因为它们是一个整体.［例5］公式的逆用(1)(x+y)2－(x－y)2 (2)252－242分析：逆用平方差公式可以使运算简便.解：(1)(x+y)2－(x－y)2=［(x+y)+(x－y)］［(x+y)－(x－y)］=4xy(2)252－242=(25+24)(25－24)=49Ⅲ.随堂练习1.(课本P 32)计算(1)704×696(2)(x +2y )(x －2y )+(x +1)(x －1)(3)x (x －1)－(x －31)(x +31) (可让学生先在练习本上完成，教师巡视作业中的错误，或同桌互查互纠) 解：(1)704×696=(700+4)(700－4)=490000－16=489984(2)(x +2y )(x －2y )+(x +1)(x －1)=(x 2－4y 2)+(x 2－1)=x 2－4y 2+x 2－1=2x 2－4y 2－1(3)x (x －1)－(x －31)(x +31) =(x 2－x )－［x 2－(31)2］ =x 2－x －x 2+91 =91－x 2.(补充练习)出示投影片(§1.7.2 D)解方程：(2x +1)(2x －1)+3(x +2)(x －2)=(7x +1)(x －1)(先由学生试着完成)解：(2x +1)(2x －1)+3(x +2)(x －2)=(7x +1)(x －1)(2x )2－1+3(x 2－4)=7x 2－6x －14x 2－1+3x 2－12=7x 2－6x －1x=2Ⅳ.课时小结［师］同学们这节课一定有不少体会和收获.［生］我能用拼图对平方差公式进行几何解释.也就是说对平方差公式的理解又多了一个层面.［生］平方差公式不仅在计算整式时，可以使运算简便，而且数的运算如果也能恰当地用了平方差公式，也非常神奇.［生］我觉得这节课我印象最深的是犯错误的地方.例如a(a+1)－(a+b)(a－b)一定要先算乘法，同时减号后面的积(a+b)(a－b),算出来一定先放在括号里，然后再去括号.就不容易犯错误了.……Ⅴ.课后作业课本P32、习题1.12.Ⅵ.活动与探究计算：19902－19892+19882－19872+…+22－1.［过程］先做乘方运算，再做减法，则计算繁琐，观察算式特点，考虑逆用平方差公式.［结果］原式=(19902－19892)+(19882－19872)+…+(22－1)=(1990+1989)(1990－1989)+(1988+1987)(1988－1987)+…+(2+1)(2－1)=1990+1989+1988+1987+…+2+1=2)11990(1990+⨯=1981045五、板书设计§1.7.2 平方差公式(二)一、平方差公式的几何解释：二、想一想特例——归纳——建立猜想——用符号表示——给出证明即(a+1)(a－1)=a2－1三、例题讲解：例3 例4四、练习。
七下第一章《整式的乘除》复习课件
七下第一章《整式的乘除》复习课件一、教学内容1. 整式的乘法：多项式乘以多项式，多项式乘以单项式，单项式乘以单项式。
2. 整式的除法：多项式除以多项式，多项式除以单项式，单项式除以单项式。
3. 平方差公式：a^2 b^2 = (a + b)(a b)。
4. 完全平方公式：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2，a^2 2ab + b^2 = (a b)^2。
二、教学目标1. 掌握整式的乘除运算法则，能够熟练地进行整式的乘除计算。
2. 理解并熟练运用平方差公式和完全平方公式。
3. 提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
三、教学难点与重点重点：整式的乘除运算，平方差公式和完全平方公式的运用。
难点：灵活运用平方差公式和完全平方公式解决实际问题。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：笔记本、练习本、文具。
五、教学过程1. 情景引入：以实际生活中的问题引入，例如计算购物时优惠后的价格。
2. 知识回顾：复习整式的乘法、除法，平方差公式和完全平方公式。
3. 例题讲解：讲解典型例题，让学生理解并掌握整式的乘除运算方法和技巧。
4. 随堂练习：布置随堂练习题，让学生巩固所学知识，并及时纠正错误。
5. 课堂互动：组织学生进行小组讨论，分享解题心得和方法。
7. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。
六、板书设计1. 整式乘法法则2. 整式除法法则3. 平方差公式：a^2 b^2 = (a + b)(a b)4. 完全平方公式：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2，a^2 2ab + b^2 = (a b)^2七、作业设计1. 题目：计算下列整式的乘除结果。
（1）(x + 2)(x 2)（2）(x + 3)÷(x 1)（3）(a + b)^22. 答案：（1）x^2 4（2）x + 4（3）a^2 + 2ab + b^2八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课学生对整式的乘除运算掌握较好，但在运用平方差公式和完全平方公式解决实际问题时，部分学生还存在一定的困难。
第一章整式的乘除知识点整理
1 七年级下册第一章整式的乘除知识点、易错点整理一、知识点：1、同底数幂的乘法：a m ·a n ＝a m+n （m ，n 都是正整数）即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
2、幂的乘方法则：（a m ）n ＝a mn （m ，n 都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。
3、积的乘方法则：（ab ）n ＝ a n ·b n （n 为正整数） 积的乘方=乘方的积4、单项式与单项式相乘法则：（1）系数与系数相乘（2）同底数幂与同底数幂相乘（3）其余字母及其指数不变作为积的因式注意点：（1）任何一个因式都不可丢掉（2）结果仍是单项式 （3）要注意运算顺序5、多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
（注意：项是包括前面的符号的，每一次单项式相乘的时候先处理符号问题。
）注意点：（1）多项式与多项式相乘的结果仍是多项式；（2）结果的项数应该是原两个多项式项数的积（没有经过合并同类项之前），检验项数常常作为检验解题过程是否的一个有效方法。
6、乘法公式一：平方差公式：（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2。
（22-反同，即可把相同的项看作a ，把相反的项看作b 。
）乘法公式二：完全平方公式：（a ±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2（前±后）2＝前2±2×前×后＋后2口诀：前平方，后平方，积的两倍中间放，中间符号看情况。
（这个情况就是前后两项同号得正，异号得负。
）7、a m ÷a n ==a m －n （a ≠0，m ，n 都是正整数，且m ＞n ）即同底数幂相除，底数不变，指数相减。
8、① a 0=1（a ≠0）② pp a a 1=-= （a ≠0，p 是正整数） 注意点：因为p p p a a a ⎪⎭⎫ ⎝⎛==-11，即底数互为倒数，指数互为相反数，当底数为分数时，可以把底数变为倒数，指数变为相反数再计算会更加简便。
2023年北师大版七年级下册数学第一章整式的乘除第10课时平方差公式(2)
第10课时 平方差公式(2)
C NTENTS
01 学习目标 02 知识要点 03 对点训练 04 精典范例 05 变式练习
·数学
1.(2022新课标)理解乘法公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2，了解公 式的几何背景. 2.(2022新课标)能利用平方差公式进行简单的计算和推理.
抽象能力 运算能力 几何直观
知识点一：利用图形验证平方差公式
(北师7下P21、人教8上P107)如图1，边长为a 的大正方形中有一个边长为b的小正方形. (1)图1中的阴影部分面积为 a2－b2 ；
·数学
图1
·数学 (2)小颖将阴影部分拼成一个长方形(如图2)，这个长方形的 长为 a＋b ，宽为 a－b ，它的面积为 (a＋b)(a－b)； (3)通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等 式是 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 .
6.【例3】计算：(a＋1)(a－1)－a(a＋3). 解：原式＝a2－1－(a2＋3a) ＝a2－1－a2－3a＝－1－3a.
·数学
10.化简：(a＋b)(a－b)＋2b2. 解：原式＝a2【例4】先化简，再求值：(1＋a)(1－a)－a(2－a)，其中 a＝12. 解：原式＝1－a2－2a＋a2＝1－2a. 当a＝12时，原式＝1－2×12＝1－1＝0.
·数学
·数学
4.【例1】如图，利用图1和图2的阴影面积相等，写出一个 正确的等式： (a＋2)(a－2)＝a2－4 .
·数学
8.(创新题)在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方 形(a＞b).把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等 腰梯形(如图)，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式， 这个等式是( A ) A.a2－b2＝(a＋b)(a－b) B.(a＋b)2 ＝a2＋2ab＋b2 C.(a－b)2＝a2－2ab＋b2 D.a2－ab＝a(a－b)
2020-2021学年北师大版七年级下册第一章整式乘除
平方差公式、完全平方公式、整式的除法知识点1：平方差公式平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2 两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。
即：（a+b）(a-b) = 相同符号项的平方 - 相反符号项的平方平方差公式可以逆用，即：a2-b2=（a+b）(a-b)。
例直接运用公式（5a + 2b）（5a - 2b）=需要先变形再用平方差公式（-2x-y）(2x-y) =每个多项式含三项（a+2b+c）(a+2b-c) =练：1、已知a + b =15，a - b = 10，则a2- b2的值是（）2、若（2a + 3b）（）= 9b2- 4a2，则括号内应填的代数式是（）3、化简x2-（x + 2）（x - 2）的结果是 _________ .4、已知a + b = 12，且a2- b2=48，则式子a - b的值是 _________ .5、用平方差公式进行计算（1）1007×993 （2）108×1126、化简求值：2x（x - 4）-（x- 2）（-x - 2），其中x = 12 .7、若（3a + 3b - 1）（3a +3b + 1）=80，求a + b的值.知识点2：完全平方差公式两数和的完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；两数差的完全平方公式：(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2.析规律 完全平方公式的特征 完全平方公式总结口诀为：首平方，尾平方，首尾二倍积，加减在中央．例 计算：()22x y +＝ ．＝练 1、利用完全平方公式计算：（1）1022= （2）972= 2、已知x 2-6x+m 可以写成一个完全平方式，则m 的值为 。
3、已知4a b +=，2ab =，则22a b +=（ ）提示：ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+4、己知13x x +=，则221x x +的值为（ ） 提示： 2)1(1222-+=+a a a a 2)1(1222+-=+aa a a 5、计算：2)21(c b a -+ )2)(2()322y x y x y x -+-+（6、先化简，再求值：4（x -1）2+（2x ＋3）（2x -3），其中x=-17、（分类配方）已知03410622=++-+n m n m ，求n m +的值。
北师大版七年级数学下册 第一章 整式的乘除(二) 讲义(无答案)
第一章整式的乘除（二）一、整式的乘法1. 单项式与单项式相乘：法则：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．例：(-5a2b2)·(-4 b2c)·(-ab)= [(-5)×(-4)×(-1)]·(a2·a)·(b2·b2)·c=-30a3b4c2.单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．用字母表示：a(b+c+d)= ab + ac + ad例：= (-3x2)·(-x2)+(-3x2)·2 x一(-3x2)·1=3.多项式与多项式相乘法则：多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．用字母表示：( a+b)(c+d)= ac + ad + bc + bd例：(m+n)(a+b)= (m+ n)a+( m +n)b= ma+ na+mb+nb二、乘法公式1. 平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。
（a＋b）（a－b）＝a2－b2例：①(x-4)(x+4) = ( )2 - ( )2 =________；②(-m+n )( m+n ) = ( ) ( )=___________________；③=( ) ( )=___________；④(2a+b+3)(2a+b-3) =( )2-( )2=______________= ；⑤(2a—b+3)(2a+b-3)=（）（）=( )2-( )2⑥ ( m +n )( m -n )( m 2+n 2 ) =( )( m 2+n 2 ) = ( )2 -( )2 =_______； ⑦ (x +3y )( ) = 9y 2-x 22. 完全平方公式： 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）们的 积的2倍。
七年级数学下册第一章整式的乘除1.5平方差公式2说课稿新版北师大版
七年级数学下册第一章整式的乘除1.5平方差公式2说课稿新版北师大版一. 教材分析本次说课的教材是北师大版七年级数学下册第一章整式的乘除中的1.5平方差公式。
平方差公式是整式乘除中的一个重要概念，它揭示了两个平方项之间的相互关系。
本节课的内容是在学生已经掌握了整式的加减、乘法的基础上进行的，是进一步学习多项式乘法、因式分解等知识的基础。
二. 学情分析面对的是七年级的学生，他们已经掌握了整式的加减、乘法等基本知识，具备了一定的逻辑思维和运算能力。
但是，对于平方差公式的理解和运用还需要进一步的引导和培养。
此外，学生对于新知识的接受程度和理解能力各有不同，需要针对性地进行教学。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解和掌握平方差公式的概念和运用，能够运用平方差公式进行简单的计算和问题解决。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，培养学生自主学习和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和积极进取的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：平方差公式的概念和运用。
2.教学难点：对平方差公式的理解，能够灵活运用平方差公式进行问题解决。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，引导学生主动探究，提高学生的学习兴趣和参与度。
2.教学手段：利用多媒体课件、教学卡片、黑板等辅助教学，使教学内容更加直观、生动。
六. 说教学过程1.导入：通过复习整式的加减、乘法知识，引导学生进入新课，激发学生的学习兴趣。
2.知识讲解：讲解平方差公式的概念和运用，通过例题展示平方差公式的运用过程，让学生理解和掌握平方差公式。
3.练习巩固：布置一些相关的练习题，让学生运用平方差公式进行计算和问题解决，巩固所学知识。
4.拓展延伸：通过一些综合性的问题，引导学生运用平方差公式进行解决，提高学生的运用能力和解决问题的能力。
5.课堂小结：对本节课的内容进行总结，强调平方差公式的概念和运用。
七年级数学下册第一章整式的乘除知识归纳
第一章整式的运算单项式 整 式多项式同底数幂的乘法幂的乘方 积的乘方幂运算 同底数幂的除法零指数幂负指数幂 整式的加减单项式与单项式相乘单项式与多项式相乘整式的乘法 多项式与多项式相乘整式运算 平方差公式完全平方公式单项式除以单项式整式的除法多项式除以单项式一、单项式、单项式的次数：只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
二、多项式1、多项式、多项式的次数、项几个单项式的和叫做多项式。
其中每个单项式叫做这个多项式的项。
多项式中不含字母的项叫做常数项。
多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
三、整式：单项式和多项式统称为整式。
四、整式的加减法：整式加减法的一般步骤：（1）去括号；（2）合并同类项。
五、幂的运算性质：1、同底数幂的乘法：a m ﹒a n =a m+n (m,n 都是正整数）；2、幂的乘方：（a m ）n =a mn (m,n 都是正整数）；3、积的乘方：（ab ）n =a n b n (n 都是正整数）；4、同底数幂的除法：a m ÷a n =a m-n (m,n 都是正整数,a ≠0) ；六、零指数幂和负整数指数幂：1、零指数幂：a 0=1（a ≠0）;2、负整数指数幂：1(0)p p a a a -=≠p 是正整数。
七、整式的乘除法：1、单项式乘以单项式：整 式 的 运 算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、p 是正整数相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。
2、单项式乘以多项式：法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
3、多项式乘以多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
4、单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
七年级数学下册第一章整式的乘除1.5平方差公式2教学设计新版北师大版
七年级数学下册第一章整式的乘除1.5平方差公式2教学设计新版北师大版一. 教材分析平方差公式是初等数学中的基本公式之一，对于学生来说，理解并熟练掌握平方差公式对于后续学习有着重要的作用。
北师大版七年级数学下册第一章整式的乘除2节，主要介绍平方差公式的概念、推导和应用。
本节课的内容是学生对整式乘除知识的进一步拓展，对于培养学生的逻辑思维能力和数学素养具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了整式的基本概念，如加减乘除等运算，但对平方差公式的理解和运用还不够熟练。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知基础，通过引导和激励，激发学生的学习兴趣，帮助学生理解和掌握平方差公式。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解平方差公式的概念，掌握平方差公式的推导过程，能够运用平方差公式进行简单的计算。
2.过程与方法：通过小组合作、讨论交流等方式，培养学生的团队协作能力和问题解决能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的自信心，使学生感受到数学的乐趣。
四. 教学重难点1.重点：平方差公式的概念和推导过程。
2.难点：平方差公式的灵活运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入平方差公式，使学生能够将数学知识与实际生活联系起来。
2.小组合作学习：引导学生进行小组讨论和交流，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
3.启发式教学：教师提问引导学生思考，激发学生的学习兴趣和主动性。
4.反馈评价：及时给予学生反馈，鼓励学生的积极性，帮助学生找到问题所在，提高学习效果。
六. 教学准备1.教学课件：制作教学课件，包括平方差公式的概念、推导过程和应用实例。
2.教学素材：准备一些相关的数学题目，用于巩固和拓展学生的知识。
3.教学设备：投影仪、电脑等教学设备。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过生活实例引入平方差公式，如计算矩形的面积等，引发学生的兴趣和思考。
2.呈现（10分钟）教师展示平方差公式的概念和推导过程，引导学生理解和掌握平方差公式。
七年级数学下册第1章整式的乘除5平方差公式第2课时平方差公式的运用上课pptx课件新版北师大版
(3) (3x + 4)(3x - 4) - (2x + 3)(3x - 2).
解：(1) 原式＝(50 + 1)(50－1)＝502－12
＝2500－1＝2499.
(2) 原式＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝132－0.22
＝169－0.04＝168.96.
(3) 原式＝(9x2－16)－(6x2 + 5x－6)
例2 计算：
(1) a2(a + b)(a－b) + a2b2；
(2) (2x－5)(2x + 5)－2x(2x－3).
解：(1) 原式 = a2(a2－b2) + a2b2 = a4－ a2b2 + a2b2 = a4.
(2) 原式 = (2x)2－25－(4x2－6x) = 4x2－25－4x2+6x = 6x－25.
A. a = b
B. a＞b
C. a＜b
D. a≤b
2. 97×103 = (100－3 )×( 100 + 3) = ( 1002－32 ).
3. 方程 (x + 6)(x－6)－x(x－9) = 0 的解是_x_=__4__.
4. 利用平方差公式计算：
(1) 51×49；
(2) 13.2×12.8；
典例精析
例1 用平方差公式进行计算：
(1) 103×97；
(2) 118×122.
解：103×97 = (100＋3)(100－3)
解：118×122 = (120－2)(120＋2)
= 1002－32 = 10000 － 9
= 1202－22 = 14400－4
= 9991.
= 14396.
北师大版七年级下册数学第一章整式的乘除《平方差公式》
北师大版七年级下册数学第一章整式的乘除《平方差公式》知识点总结平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
要点诠释：在这里，a,b既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式。
抓住公式的几个变形形式利于理解公式。
但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如(a+b)(a-b)利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如(3x+5y)(3x-5y)（3）指数变化：如(m3+n2)(m3-n2)（4）符号变化：如(-a-b)(a-b)（5）增项变化：如(m+n+p)(m-n+p)（6）增因式变化：如(a-b)(a+b)(a2+b2)(a4+b4)做题步骤：1）先判断能否使用平方差公式。
判断依据：一对相等项，一对相反项。
2）如果可以使用，则一般情况下我们可以将相等的一项放在多项式的第一位进行计算（第一个数的平方减去第二个数的平方）；3）不管能否使用平方差公式，多项式乘以多项式是基本方法。
表达式:(a+b)(a-b)=a^2-b^2,两个数的和与这两个数差的积,等于这两个数的平方差,这个公式就叫做乘法的平方差公式公式运用可用于某些分母含有根号的分式:1/(3-4倍根号2)化简:1×(3+4倍根号2)/(3-4倍根号2)^2;=(3+4倍根号2)/(9-32)=(3+4倍根号2)/-23注意事项：（1）有公因式（包括负号）则先提取公因式；（2）整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系；（3）平方差公式中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式；第一关：直接运用公式1.（a+3）(a-3)2..( 2a+3b)(2a-3b)3. (1+2c)(1-2c)4. (-x+2)(-x-2)5. (2x+1/2)(2x-1/2)6. (a+2b)(a-2b)7. (2a+5b)(2a-5b)8. (-2a-3b)(-2a+3b)第二关：运用公式使计算简便1、1998×20022、498×5023、999×10014、1.01×0.995、30.8×29.26、100-1/3×99-2/37、20-1/9×19-8/9第三关：两次运用平方差公式1、（a+b）(a-b)(a2+b2)2、(a+2)(a-2)(a2+4)3、(x-1/2)(x2+1/4)(x+1/2)第四关：需要先变形再用平方差公式1、（-2x-y）(2x-y)2、(y-x)(-x-y)3.(-2x+y)(2x+y) 4.(4a-1)(-4a-1)5.(b+2a)(2a-b)6.(a+b)(-b+a)7.(ab+1)(-ab+1)第五关：每个多项式含三项1.（a+b+c）(a+b-c)2.(a+b-3)(a-b+3)3.x-y+z)(x+y-z)4.(m-n+p)(m-n-p)课后练习导学案图文导学。
七年级数学下册第一章整式的乘除1.5平方差公式(2)教案北师大版(2021年整理)
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同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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平方差公式课题平方差公式2课型教学目标1．知识与技能目标：会用面积法验证平方差公式，并能运用公式进行简单的运算及解决相关问题。
2．数学思考目标:会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法. 3．问题解决目标：了解平方差公式的几何背景，能运用公式进行简单的运算.4．情感态度目标：让学生在公式的运用中积累解题的经验，体会成功的喜悦。
重点巩固掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简单的运算。
难点利用数形结合的数学思想方法解释平方差公式，灵活运用平方差公式进行计算。
教学用具教学环节说明二次备课新课导入一、复习1．平方差公式是什么？2．运用公式时应该注意什么?二、探索平方差公式的几何背景如图 1—3，边长为 a 的大正方形中有一个边长为 b 的小正方形。
(1）请表示图 1-3 中阴影部分的面积.（2）小颖将阴影部分拼成了一个长方形(如图 1-4），这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗?（3）比较（1）（2）的结果，你能验证平方差公式吗？引导学生进行探索，并帮助学生理解公式的几何解释。
三、想一想1。
计算下列各组算式，并观察它们的共同特点。
北师版数学七年级下册教学课件 第1章 整式的乘除5 平方差公式(第2课时)
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七年级数学·下 新课标[北师]
第一章 整式的乘除
学习新知
检测反馈
问题思考
学习新知
大家回顾一下上节课学习的平方差公式,看谁答的又对又快.
1.平方差公式.
(1)符号表达式:
.
(2)文字表达:
.
2.判断下列算式能否运用平方差公式计算. (1)(a+2)(a- 3); (2)(- m- n)(m- n); (3)(2x+3y)(3x- 2y); (4)(4x- 3)(- 4x- 3).
=a2(a2- b2)+a2b2
=(2x)2- 52- (4x2- 6x)
=a4- a2b2+a2b2
=4x2- 25- 4x2+6x
=a4.
=6x- 25.
[知识拓展] 平方差公式中的字母不仅可以表示一个数字或一个
单项式,也可以表示一个多项式,如(a+b- c)(a- b+c)=[a+(b- c)][a- (b-
所以103×97 =(100+3)(100- 3) =1002- 32 =9991.
（2）118×122 =(120- 2)(120+2) =1202- 4 =14400- 4
七年级数学 第一章 整式的乘除 1.5 平方差公式(第2课时)
知识点一 利用平方差公式简化(jiǎnhuà)运算(P22例3补充) 【典例1】用平方差公式计算: (1)30.1×29.9. (2)2018×2020-20192.
第七页，共三十八页。
【规范(guīfàn)解答】(1)30.1×29.9
=(30+0.1)(30-0.1)
…………恒等变形
化简:(m+2)(m-3)-(m+5)(m-5).
第二十四页，共三十八页。
【正解】原式=m2-3m+2m-6-(m2-25) =m2-3m+2m-6-m2+25=-m+19.
第二十五页，共三十八页。
【一题多变】
乘法公式的探究(tànjiū)及应用:
第二十六页，共三十八页。
(1)如图1所示,可以求出阴影部分面积是________. (写成两数平方差的形式(xíngshì)) (2)若将图1中的阴影部分裁剪下来,重新拼成一个如图2的 长方形,此长方形的面积是________.(写成多项式乘法的形
=4a2-b2-(4b2-9a2)=4a2-b2-4b2+9a2 =13a2-5b2.
第二十一页，共三十八页。
★4.解方程:(3-x)(3+x)-x(5-x)=4. 解:(3-x)(3+x)-x(5-x)=4.
9-x2-5x+x2=4.
9-5x=4. -5x=-5.
x=1.
第二十二页，共三十八页。
【新知(xīn zhī)预习】
1.平方差公式的图形解释:
第三页，共三十八页。
2.利用平方差公式计算,关键是确定a,b,把握“同号 的为____正___,异号的为_______负”这一原则,准确(zhǔnquè)进行计
七年级下册第一章整式的乘除1.平方差公式课件
第1章 整式的乘除
聪明来源于知识
灰太狼开了一家租地公司,一天他把一 边长为x米的正方形土地租给慢种植. 有一天他对慢说:“我把这块地的一边 增加5米,另一边减少5米,再继续租给 你,你也没吃亏,你看如何?”慢一听觉 得没有吃亏,就答应了.回到羊村,就把 这件事对喜他们讲了,大家一听,都说 道:“村长，您吃亏了!” 慢村长很吃 惊…
16
提示：结果化到最简。
运用平方差公式计算的步骤： 辨析——标注——套公式——写结果
第二关、拓展提高
利用平方差公式计算： (a 1)(a 1)(a2 1)
解：原式 (a 2 1)(a 2 1)
(a2 )2 12
a4 1
第三关、公式逆用
1、(5p+6q)(5p -6q ) =25p 2 -36q 2
(-x+1)(-x-1) -x 1
a²-b² 最后结果 5 ²-(6x) ² 25-36x² (-x) ²-1² x²-1
相同项
相反项
例题讲授
例1 利用平方差公式计算：
(5+6x)(5−6x)
解: (5+6x)(5−6x)= 52 − (6x)2
合 理
=25− 36x2
加
判断：
括
(4a+3b)(4a-3b)=4a²-3b ² ( × ) 号
边长为x米的正方形
x x
面积：x2
一边增加5,另一边减少5
x
5
x+5
x-5 x
5
面积：(x+5)(x-5) =x2-25
它的面积产生了怎样的变化？
x
x+5
x-5 x
面积：x2
七年级数学下册 第一章 整式的乘除 1.5 平方差公式(第2课时)课件_1
第十一页，共十六页。
练一练
计算 ： (jì suàn) （1）(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1)
（2）x(x-1)- ( x 1 ) ( x 1 )
3
3
2021/12/10
第十二页，共十六页。
自我(zìwǒ) 检测
计算 ： (jì suàn)
1） 2001×1999 -20002
8×8= 12×12= 80×80=
2、从以上过程中，你发现了什么规律(guīlǜ)？
3、请用字母表示这一规律，你能说明它的正 确性吗？
2021/12/10
第八页，共十六页。
例3
用平方差公式进行(jìnxíng)计算：
（1）103×97 ； （2）118×122 （100+3）（100-3） （120-2）（120+2）
2）(3mn+1)(3mn-1)-8m2n2
3） ( 1 x 2) ( 1 x 2-) （1 xx+8）
2
2
4
2021/12/10
第十三页，共十六页。
课堂(kètáng) 小结
本节课你有哪些收获？
还有那些(nàxiē)困惑？
2021/12/10
第十四页，共十六页。
作业
(zuòyè)
拓展作业(zuòyè)： 计算
第一章
整式 的乘除 (zhěnɡ shì)
5 平方差公式(gōngshì)（第2课时）
2021/12/10
第一页，共十六页。
知识(zhī shi) 回顾
平方差公式 ： 1、
(gōngshì)
(a+b)(a－b)=a2－b2
2、公式的结构特点：
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整式的乘除
5 平方差公式（第2课时）
知识回顾
1、平方差公式： (a+b)(a－b)=a2－b2 2、公式的结构特点： 左边是两个二项式的乘积，即两数和与 这两数差的积；右边是两数的平方差。
3、应用平方差公式的注意事项： 1）注意平方差公式的适用范围 2）字母a、b可以是数，也可以是整式 3）注意计算过程中的符号和括号
活动探究一
a
b 图1-3
如图1-3，边长为a的大正方形中有一个边长为b 的小正方形.
活动探究一
a
b 图1-3
（1）请表示图1-3中阴影部分的面积
活动探究一
a
a
b 图1-3
b
图1-4
（2）小颖将阴影部分拼成了一个长方形， 如图1-4，这个长方形的长和宽分别是多 少？你能表示出它的面积吗？
活动探究一
练一练
计算： （1）(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1)
1 1 （2）x(x-1)- ( x ) ( x ) 3 3
自我检测
计算： 1） 2001×1999 -20002 2）(3mn+1)(3mn-1)-8m2n2
1 1 1 3） ( x 2 ) ( x 2 ) - x （x+8） 2 4 2
课堂小结
本节课你有哪些收获？ 还有那些困惑？
作业
1. 教材习题1.10 2. 拓展作业： 计算
(21+1)( 22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)(264+1)
例3
用平方差公式进行计算： （1）103×97 ； （100+3） （100-3） （2）118×122 （120-2） （120+2）
练一练
计算： （1）704×696 ； （2）9.9 ×10.1
例4
计算： （1）a2(a+b)(a－b)+a2b2
（2）(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3)
aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
b 图1-3
b
图1-4
（3）比较（1）（2）的结果，你能验证 平方差公式吗？
活动探究二
1、计算下列各组算式，并观察它们的共同 特点 7×9= 11×13= 79×81= 8×8= 12×12= 80×80= 2、从以上过程中，你发现了什么规律？ 3、请用字母表示这一规律，你能说明它的 正确性吗？