不定积分求解方法及技巧小汇总

不定积分求解方法及技巧小汇总

摘要：总结不定积分基本定义，性质和公式，求不定积分的几种基本方法和技巧，列举个别典型例子，运用技巧解题。

一•不定积分的概念与性质

定义1如果F (x)是区间I上的可导函数，并且对任意的x I，有F'(x)=f(x)dx则称F (x)是f(x)在区间I上的一个原函数。

定理1 (原函数存在定理)如果函数f(x)在区间I上连续，那么f(x)在区间I上一定有原函数，即存在可导函数 F (x),使得F (x) =f(x) (x I)

简单的说就是，连续函数一定有原函数

定理2设F (x)是f(x)在区间I上的一个原函数，贝U

(1) F (x) +C也是f(x)在区间I上的原函数，其中C是任意函数；

(2)f(x)在I上的任意两个原函数之间只相差一个常数。

定义2 设F (x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么f(x)的全体原函数 F (x) +C称

为f(x)在区间I上的不定积分，记为f(x)d(x),即f(x)d(x)=F(x)+C

其中记号称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)d(x)称为被积表达式，x称为积分

变量，C称为积分常数。

性质1设函数f(x)和g(x)存在原函数，则[f(x) g(x)]dx= f(x)dx g(x)dx.

性质2 设函数f(x)存在原函数，k为非零常数，贝U kf(x)dx=k f(x)dx.

二.换元积分法的定理

如果不定积分g(x)dx不容易直接求出，但被积函数可分解为g(x)=f[ (x)] ( (x).做变量代换u= (x),并注意到’(x) dx=d (x),则可将变量x的积分转化成变量u的积分，于是有

g(x)dx= f[ (x)] ( (x)dx= f(u)du.

如果f(u)du 可以积出，则不定积分g(x)dx的计算问题就解决了，这就是第一类换元法。第一类换元法就是将复合函数的微分法反过来用来求不定积分。

f[ (x)] ' (x)dx= f(u)du=F(u)+C=F[ (x)]+C.定理1设F(u)是f(u)的一个原函数，u= (x)可导，则有换元公式

f[ (x)] ' (x)dx= f(u)du=F(u)+C=F[ (x)]+C.

(15) chxdx=shx+C. (16) (17) cotxdx=ln si nx +C; (18) (19)cscxdx=ln cscx cotx +C; (20) tan xdx=-l n cosx +C; secxdx=ln secx tanx +C;

dx _1 , —2 = ln a x a

x a n+C;

第一类换兀法是通过变量代换u= (x),将积分f[ (x) ' (x)dx 化为f(u)du.但有些积分需要用到形如x= (t) 的变量代换，将积分f(x)dx 化为f[ (t)] ' (t). 在求出后一积分之后，再以x= (t)的反函数t= (X)带回去，这就是第二类换元法。即

f(x)dx={ f[ (t)] '(t)dt} t1(X).

为了保证上式成立，除被积函数应存在原函数之外，还应有原函数t= 1(x )存在的条

件，给出下面的定理。

定理2设x= (t)是单调，可导的函数，并且’(t) 0.又设f[ ⑴] '⑴具

其中1( x )是x= ( t )的反函数。

三•常用积分公式

1基本积分公式

有原函数F (t),则f(x)dx= f[ (t)] '(t)dt=F(t)+C=F[ (x)]+C

(1) (3)

⑺(9) (11) kdx=kx+C(k 是常数)；(2)

——=ln x +C;

x

dx

sin xdx=-cosx+C ; (8)

u 1

u

x

x u dx= +C(u u 1

-1);

(4)

⑹

=arcta

nx+C;

1 x2

cosxdx=s in x+C;

-=csc 2xdx=-cotx+C; (10)

2

sin x

cscxcotxdx=-cscx+C; (12)

(13) a x dx= e x+C; (14)

dx 2 —

2 = sec xdx=tanx+C; cos x

secxta nxdx=secx+C;

e x dx= e x+C;

shxdx=chx+C;

2.

四.解不定积分的基本方法

(21)

dx

:2 2

V a x =arcs in x c

-+c ；

a

(22)

(23)

dx

=ln

x 1 2 2

Vx

a

+C.

/ 2 2

V x a

QX

2 2

------------- =ln (X+

x a +c ；

I 2

2

、a x

第一类换元积分法

J /(tan = J tanx

J /(COtxX^2Ait4v = - J /(COtxX cotx 9 J sin itix cos ftxdx J sin Mtvsin nxdx Jcos//Lvcos/tvdx loJjdiT 皿

fco^xrfx (山为奇数)

JfOWMy (也为偶数) 12.J/(arctanx)^^ ^dx = J

j /{arcsinx)-j===aU — |/'(arcsinxXCarc^inx)

H ― tau x

u =cotx

利用积化和睾 公式进行喪换

用公寸，

1—sitj- x = car 2 A 1—rax :x = sut 1 A

进行交换

化为倍角的二角萌 数降慕后再积分

w = arctanx z -arcsin.v