线性规划解

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莫 莉
三、几何意义
2、几个定理 （5）定理3
若可行域有界，则线性规划问题的目标函数一定可以 在其可行域的顶点上达到最优。
证：设X(1),X(2)，…，X(k)是可行域的顶点，若X(0)不是 顶点，且目标函数在X(0)处达到最优z*=CX(0)(标准型是z =max z)。因X(0)不是顶点，所以它可以用D的顶点线性
资源 设 备 产品 Ⅰ 1 Ⅱ 2 拥有量 8 台时
原材料 A
原材料 B
4
0
0
4
16 kg
12 kg
每生产一件产品Ⅰ可获利2元，每生产一件产品Ⅱ 可获利3元，问应如何安排计划使该工厂获利最多?
4
莫 莉
一、图解法
解：例4是一个二维线性规划问题，因而可用作图 法直观地进行求解。
max z 2x 1 3x 2 x 1 2x 2 4x 1 4x 2 x ,x 1 2 8 16 12 0
n) T，称为线性规划问题的可行解，其中使目标函数达到
最大值的可行解称为最优解。
max z
cj x j j
1
n
(1 4) (1 5) (1 6)
莫 莉
n 2, m aij x j bi ,i 1, j 1 x 0, j 1, 2, ,n j
1.6 算法复杂性简介
2
莫 莉
一、图解法 1.2 线性规划解
一、图解法
图解法是用画图的方式求解线性规划的一种方法。
它虽然只能用于解二维（两个变量）的问题，但 其主要作用并不在于求解，而是在于能够直观地 说明线性规划解的一些重要性质。
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莫 莉
一、图解法
例4 某厂生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产 品所需设备台时及A、B两种原材料的消耗如下表：
表示为：
X 0

i 1
k
i xii , i 0,
k

i 1 k
i 1
k
i
1
代入目标函数得 CX 0 C i X i i CX i

i 1
k
i
1
使 X=μ1X(1)+μ2X(2)+…+μkX(k)，则称X为X(1)，X(2)，…， X(k)的一个凸组合（当0＜μi＜1时称为严格凸组合）。
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莫 莉
三、几何意义
1、基本概念 （3）顶点
设 K 是凸集， X∈K ；若 X 不能用 不 同 的 两 点 X(1)∈K 和 X(2)∈K 的 线性组合表示为 X=αX(1)+(1−α)X(2)，(0＜α＜1)
m 1 j
P x b
j 2 j j 1
m
将两式相减，得
P x x 0
j 2 j j 1
因X(1)≠X(2)，所以上式中的系数不全为零，故向量组P1,P2,…， Pm线性相关，与假设矛盾，即X不是基可行解。
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莫 莉
三、几何意义
2、几个定理
（4）引理2
1、无穷多最优解（多重最优解） 目标函数 max z = 2x1+4x2
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莫 莉
一、图解法
通过图解法，可观察到线性规划解可能出现下列情况：
2、无界解
max z x1 x2 2 x1 x 4 x1 x2 2 x ,x o 1 2
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莫 莉
一、图解法
9
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二、线性规划解
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二、线性规划解
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二、线性规划解
4、可行基
对应于基可行解的基，称为可行基。
约束方程组(1-5)具有的基解的数目最多是 C n 个，一般
基可行解的数目要小于基解的数目即： n! m Cn m!(n m)!
m
说明：若基变量全部为正，则该基解是非退化的基可行
X=λX′+(1 − λ)X(2)
将X′的表达式代入上式得到
0＜λ＜1
X=λ[αX(1)+(1−α)X(3)] +(1−λ)X(2) =λαX(1)+λ(1 − α)X(3)+(1−λ)X(2) 令 μ1=αλ,μ2=(1 − λ),μ3=λ(1 − α)，得到
X=μ1X(1)+μ2X(2)+μ3X(3)，∑iμi=1, 0＜μi＜1
则称X为K的一个顶点(或极点图
中的0，Q1,2,3,4都是顶点。 莫 莉
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三、几何意义
2、几个定理 （1）定理1
若线性规划问题存在可行域，则其可行域是凸集
D X

Pj x j b , x j 0 j 1
n
T
证：只需证明D中任意两点连线上的点必在D内。设
(1-9)
(x1−μα1)P1+(x2−μα2)P2+…+(xm− μαm)Pm=b
(x1+μα1)P1+(x2+μα2)P2+…+(xm+μαm)Pm=b
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莫 莉
三、几何意义
（2）若X不是可行域D的顶点，则它一定不是基可行解。 因X 不是可行域D的顶点，故在可行域D中可找到不同的两点
X(1)=(x1(1),x2(1),…,xn(1))T
莫 莉
一、图解法
通过图解法，可观察到线性规划解可能出现下列情况： 无可行解的情形：
当存在相互矛盾的约束条件时，线性规划问题的可行 域为空集。例如，如果在例3的数学模型中增加一个约 束条件:
x1 1.5x2 8
则该问题的可行域即为空集，即无可行解，
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莫 莉
一、图解法
通过图解法，可观察到线性规划解可能出现下列情况：
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莫 莉
三、几何意义 1.2 线性规划解
三、几何意义
1、基本概念
2、几个定理
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莫 莉
三、几何意义
1、基本概念 （1）凸集
设K是n维欧氏空间的一点集，若任意两点X(1)∈K，X(2)∈ K的连线上的所有点αX(1)+(1−α)X(2)∈K，(0≤α≤1)，则称K
为凸集。
图1-7
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三、几何意义
Pj x j
j 1 n
1 2 P x 1 x j j j
n j 1 n


2
n j 1
Pj x j Pj x j Pj x j2
j 1 j 1
1
n
b b b b
1 0 ，所以xj≥0，j=1,2,…, 又因 x j1,x j2 0, 0,
j 1 n n
2 2 P x b , x j j j 0, j 1,2,, n
j 1
令X=(x1，x2，…，xn)T为x(1)，x(2)连线上任意一点，即 X=αX(1)+(1-α)X(2) (0≤α≤1) X的每一个分量是 ，将它代入约束条件，得到
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莫 莉
三、几何意义
若K是有界凸集，则任何一点X∈K可表示为K的顶点的 凸组合。（本引理的证明从略，用以下例子说明本引理的结论） 例5 设X是三角形中任意
一点， X(1) ， X(2) 和 X(3) 是
三角 形 的 三 个顶点 ， 试
用三个顶点的坐标表示
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莫 莉
三、几何意义
解：任选一顶点X(2)，做连线XX(2)，并延长交于X(1)、X(3) 连接线上一点X′。因为X′是X(1)、X(3)连线上一点，故可用 X(1)、X(3)线性组合表示为：X′=αX(1)+(1−α)X(3) ，0＜α＜1 又因X是X′与X(2)连线上的一个点，故
解；当基解中的非零分量的个数小于m时，即有基变量 为0，该基解是退化的基可行解。在以下讨论时，假设 不出现退化的情况。
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莫 莉
二、线性规划解
可行解、基解、基可行解和非可行基间的关系
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莫 莉
二、线性规划解
线性线性规划解的几种可能情况
无可行解，可行域为空集，约束中存在矛盾
方程。 有唯一的最优解（通常的情况），必是可行 域的顶点。 有无穷多个最优解。 有可行解但无最优解，可行域必无界。
实心圆，实心球体，实心立方体等都是凸集，圆环 不是凸集。从直观上讲，凸集没有凹入部分，其内 部没有空洞。图1-7中的(a)(b)是凸集，(c)不是凸集。 图1-2中的阴影部分是凸集。 任何两个凸集的交集是凸集，见图1-7(d)
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莫 莉
三、几何意义
1、基本概念 （2）凸组合
设X(1)，X(2)，…，X(k)是n维欧氏空间En中的k个点。若 存在μ1，μ2，…，μk，且0≤μi≤1, i=1,2,…，k
现分两步来讨论，分别用反证法。 莫 莉
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三、几何意义
(1) 若X不是基可行解，则它一定不是可行域D的顶点。 根据引理1，若X不是基可行解，则其正分量所对应的系 数列向量P1，P2，…，Pm线性相关，即存在一组不全为 零的数αi,i=1,2,…,m，使得
α1P1+α2P2+…+αmPm=0
用一个数μ＞0乘(1-9)式再分别与(1-8)式相加，得
X(2)=(x1(2),x2(2),…,xn(2))T 使得 X=αX(1)+(1−α) X(2) ， 0＜α＜1
设X是基可行解，对应的向量组P1…Pm线性独立，故当j＞m时， 有xj=xj(1)=xj(2)=0。由于X(1)，X(2)是可行域的两点，因而满足

j 1
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m
Pj x j1 b 与
3、无可行解
x1 1.5x2 8
增加的约束条件
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二、线性规划解 1.2 线性规划解
二、线性规划解
讨论线性规划问题求解前, 先了解线性规划问题
解的概念
1.可行解 3.基可行解
2.基
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4.可行基
莫 莉
二、线性规划解
1、可行解 定义：满足约束条件(1-5)、(1-6)式的解X=(x1,x2，…，x
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莫 莉
一、图解法
max z 2 x1 3x2
2 z x2 x1 3 3 表示一簇平行线
目标值在（4，2）点，达到最大值14
先做非负约束图形，再做资源约束的图形；再做 目标图形；目标图形平行移动，最后求出最优解。
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莫 莉
一、图解法
通过图解法，可观察到线性规划解可能出现下列情况：
n。由此可见X∈D，D是凸集。 证毕。
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莫 莉
三、几何意义
2、几个定理 （2）引理1
线性规划问题的可行解 X=(x1,x2,… ， xn)T 为基可行解 的充要条件是：X的正分量所对应的系数列向量是线
性独立的。
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莫 莉
三、几何意义
证： (1) 必要性。由基可行解的定义可知。 (2) 充分性。若向量P1，P2，…，Pk线性独立 则必有k≤m；当k=m时，它们恰构成一个基，从而X=( x1,x2,…,xk,0…0)为相应的基可行解。当k＜m时，则一
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二、线性规划解
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二、线性规划解
2、基，基向量，基变量
B是系数矩阵A中的m m阶非奇异子矩阵 B 0
称B为线性规划问题的基。 a11 a12 a1m a21 a22 a2 m B P 1, P 2 , P m a a a m2 mm m1 Pj ( j 1,2, m)为基向量， x j ( j 1,2, m)为基变量。
第一章 线性规划（linear Programming）
主讲人：莫 莉
moli@mail.hust.edu.cn
2011 年 3 月
莫 莉
第一章 线性规划 第一章 线性规划（Linear Programming）
1.1 线性规划模型
1.2 线性规划解
1.3 单纯形法
1.4 对偶问题
1.5 对偶理论
定可以从其余的列向量中取出m-k个与P1，P2，…，P
k构成最大的线性独立向量组，其对应的解恰为X，所
以根据定义它是基可行解。 莫 莉
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三、几何意义
2、几个定理 （3）定理2
线性规划问题的基可行解X对应于可行域D的顶点。
证：不失一般性，设基可行解X的前m个分量为正，故
P x
j j 1
m
j
b
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二、线性规划解
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二、线性规划解
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二、线性规划解
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二、线性规划解
3、基可行解
满足非负条件（1-6）的基解，称为基可行解. 基可行 解的非零分量的数目不大于m，并且都是非负的。
0,Q1 ,Q2 ,Q3 ,Q4 是基可行解
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二、线性规划解
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二、线性规划解
X x , x ,, x
1 1 1 X 1 x1 , x2 , , xn
2 1 2 2 2
2 T n
是D内的任意两点；且X(1)≠X(2)。
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三、几何意义
则有
1 1 P x b , x j j j 0, j 1,2,, n