§281锐角三角函数(四)

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湘教版九年级数学上册第4章锐角三角函数4.3解直角三角形教学设计

湘教版九年级数学上册第4章锐角三角函数4.3解直角三角形教学设计一. 教材分析湘教版九年级数学上册第4章锐角三角函数4.3节主要是解直角三角形。

本节内容是在学生已经掌握了锐角三角函数的概念和性质的基础上进行学习的，通过解直角三角形，让学生进一步理解三角函数的定义和应用，培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对锐角三角函数的概念和性质有一定的了解。

但解直角三角形这一节内容涉及的知识点较多，运算较为复杂，对学生来说是一个较大的挑战。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解概念，突破难点，提高学生的运算能力和解决问题的能力。

三. 教学目标1.理解解直角三角形的概念和性质；2.学会用锐角三角函数解直角三角形；3.培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：解直角三角形的概念和性质，用锐角三角函数解直角三角形；2.难点：理解解直角三角形的性质，熟练运用锐角三角函数解直角三角形。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生自主探究，合作交流；2.利用多媒体辅助教学，直观展示解直角三角形的过程；3.运用练习法，巩固所学知识，提高解题能力。

六. 教学准备1.准备相关的多媒体课件；2.准备一些典型的解直角三角形的题目；3.准备黑板和粉笔。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际生活中的直角三角形，如建筑工人测量高度、运动员测量跳远距离等，引导学生思考如何计算这些直角三角形的未知边长。

2.呈现（10分钟）讲解解直角三角形的概念和性质，引导学生理解直角三角形的三个锐角函数的定义和关系。

3.操练（15分钟）让学生独立完成一些典型的解直角三角形的题目，教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。

5.拓展（10分钟）讲解一些关于解直角三角形的拓展知识，如如何利用解直角三角形求解其他三角形的边长等。

专题28 锐角三角函数(解析版)

专题28 锐角三角函数知识点一：锐角三角函数 1．三角函数定义在Rt △ABC 中，若∠C=90°A sin A ac ∠==的对边斜边A cos A bc ∠==的邻边斜边A tan A A ab∠==∠的对边的邻边A cot A A ba ∠==∠的邻边的对边2.同角三角函数的关系（1）平方关系：22sin cos 1A A += （2）商数关系：sin tan cos A A A =cos cot sin A A A = （3）倒数关系：tan cot 1A A ⋅=3.互为余角的三角函数关系sin(90)cos A A ︒-=，cos(90)sin A A ︒-=tan(90)cot A A ︒-=，cot(90)tan A A ︒-=或者：若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB ，cosA=sinB ，tanA=cotB ，cotA=tanB 4. 特殊角的三角函数值5.锐角三角函数的增减性(0°--90°)（1）锐角的正弦值（或正切值）随着角度的增大而增大，随着角度的减小而减小。

（2）锐角的余弦值（或余切值）随着角度的增大而减小，随着角度的减小而增大。

6.锐角三角函数的取值范围0≤sin α≤1，0≤cos α≤1，tan α≥0，cot α≥0. 知识点二：解直角三角形 1.直角三角形中边角关系在直角三角形ABC 中，如果∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，那么（1）三边之间的关系为222a b c +=（勾股定理）（2）锐角之间的关系为∠A+∠B=90° （3）30°角所对直角边等于斜边的一半。

（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

（5）边角之间的关系为：（三角函数定义） 2.其他有关公式（1）1sin 2S ab C ∆==1sin 2bc A =1sin 2ac B （2）Rt △面积公式：1122S ab ch == （3）直角三角形外接圆的半径2cR =，内切圆半径2a b c r +-=结论：直角三角形斜边上的高ab h c= 3.实际问题中术语的含义 (1)仰角与俯角在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角。

《锐角三角函数》教学设计

《锐角三角函数》教学设计一、教学目标：1.了解什么是锐角三角函数；2.掌握正弦、余弦、正切的定义和计算方法；3.掌握锐角三角函数的性质和图像特点；4.能够应用锐角三角函数求解实际问题。

二、教学重点：1.正弦、余弦、正切的定义和计算方法；2.锐角三角函数的性质和图像特点。

三、教学难点：1.锐角三角函数的性质和图像特点。

四、教学过程：1.导入新知识向学生提问：“你们知道什么是三角函数吗？”接着引导学生回忆正弦、余弦、正切的定义和计算方法。

2.学习正弦、余弦、正切的定义和计算方法首先，给出锐角的定义：“锐角是指小于90°的角”。

然后，给出三角函数的定义：正弦（sin）：在锐角∠A中，它的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦，记作sinA。

余弦（cos）：在锐角∠A中，它的邻边与斜边的比值叫做∠A的余弦，记作cosA。

正切（tan）：在锐角∠A中，它的对边与邻边的比值叫做∠A的正切，记作tanA。

接着，通过例题进行讲解，让学生掌握如何计算正弦、余弦、正切。

3.学习锐角三角函数的性质和图像特点介绍锐角三角函数的性质：正弦函数的性质：定义域是全体实数，值域在[-1,1]之间，单调递增。

余弦函数的性质：定义域是全体实数，值域在[-1,1]之间，单调递减。

正切函数的性质：定义域是全体非零实数，值域是全体实数，在每个周期内都是振荡的。

然后，通过绘制锐角的基本函数图像，让学生观察锐角三角函数的图像特点。

4.练习运用锐角三角函数设计练习题，让学生运用锐角三角函数求解实际问题，如航空导弹的打击角度、建筑物的高度等。

五、教学总结对本节课的内容进行总结，强调重点。

六、板书设计锐角三角函数正弦：sinA = 对边/斜边余弦：cosA = 邻边/斜边正切：tanA = 对边/邻边锐角三角函数的性质：正弦函数：定义域是全体实数，值域在[-1,1]之间，单调递增。

余弦函数：定义域是全体实数，值域在[-1,1]之间，单调递减。

正切函数：定义域是全体非零实数，值域是全体实数，振荡。

锐角三角函数复习

C.扩大4倍
D.没有变化
2.（2013•温州）如图，在△ABC中， ∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA的值是（ C ）
A. 3
B. 4
C. 3
4
3
5
D. 4 5
3
3.在△ABC中，∠C＝90，BC＝6cm，sinA= ，
则AC的长为( B )
5
A.3cm B.8cm C.10cm D.5cm
边为c，a，b分别是∠A的对边和邻边，则
正弦：sinA=______=_______； A
b
余弦：cosA=______=_______；
C
正切：tanA=______=_______．
c aB
考点二：特殊角的三角函数值30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
角度三角函数
sinA
BE 5
AE
ABC为等腰直角三角形， AB AC 6， B 且A 45，在RtAED中，AE DE x,
由AB AE EB得 : 62 62 x 5x 解得x 12
AD AE2 DE2 122 122 12 2
14．如图，在某建筑物AC上，挂着“美丽家园”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测的仰角为，再往条幅方向前行20米到达点E处，看到条幅顶端B，测的仰角为，求宣传条幅BC的长，（小明的身高不计，结果精确到 0.1米）
D
A
O
B
C
11.（2008 泰安）直角三角形纸片的两直
角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，
使点 A 与点 B重合，折痕为DE，则
tan CBE 的值是
。

第28章-锐角三角函数-全章教案

求 sinA 就是要确定∠
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一、在 Rt△ABC 中，∠C =90°： B
a 对边
c 斜边
视，对学习基 A 的对边与斜边的比；
础较弱的学求 sinB 就是要确定∠B
生及时给予的对边与斜边的比．
指点．
教师引导学
生作知识总
结，不断扩充
培养学生概括的能
学生的知识力，使知识形成体系，
结构，学习新并渗透数学思想方法。
的解题方法．
Cb
A
五、体验收获
即
sin
A
A的对边斜边
a c
．
同样 sinB= B的对边斜边
b c
当∠A=300 时，sinA=？当∠A=450 时，sinA=？当∠A=600 时，sinA=？
也随之确
定”．但是怎
样证明这个
C
A C1
A!
命题呢？学
生这时的思
经过学生的实验和证明，得出：
维很活跃．对
于这个问题，
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，我们把锐
部分学生可
角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦
能能解决
（sine）,记作：sinA，
它．因此教师
此时应让学
B
生展开讨论，
独立完成．
a 对边
长 50m，那么斜坡与水平面所成角的度数是多少
呢？
二、探究 1．请每一位同学拿出自己的三角板，分别测量并教师提出问在培养学生动手能力的
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说理
三、感悟深化

第二十八章锐角三角函数(单元总结)-2021学年九年级数学下册(人教版)(解析版)

第二十八章锐角三角函数单元总结【知识要点】知识点一锐角三角形锐角三角函数：如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)【正弦和余弦注意事项】1.sinA 、cosA 是在直角三角形中定义的，∠A 是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。

2.sinA 、cosA 是一个比值（数值，无单位）。

3.sinA 、cosA 的大小只与∠A 的大小有关，而与直角三角形的边长无关。

0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。

正切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，对边邻边C知识点二解直角三角形一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．直角三角形五元素之间的关系： 1. 勾股定理（）2. ∠A+∠B=90°3. sin A==4. cos A= =5.tan A= =【考查题型】考查题型一正弦典例1．（2020·陕西西安市·西北工业大学附属中学九年级期中）如图，在54⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ABC ∆的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin BAC ∠的值为（）A ．43B ．34C ．35D ．45【答案】D 【分析】过C 作CD AB ⊥于D ，首先根据勾股定理求出AC ，然后在Rt ACD ∆中即可求出sin BAC ∠的值．【详解】如图，过C 作CD AB ⊥于D ，则=90ADC ∠︒，∴AC ＝222234=+=+AC AD CD ＝5． ∴4sin 5CD BAC AC ∠==．故选D ．【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．变式1-1．（2018·西城区·北京四中九年级期中）如图，在Rt ABC ∆中，90C =∠，10AB =，8AC =，则sin A 等于（）A ．35B ．45C ．34D ．43【答案】A 【解析】分析：先根据勾股定理求得BC=6，再由正弦函数的定义求解可得．详解：在Rt △ABC 中，∵AB=10、AC=8， ∴2222=108=6AB AC --，∴sinA=63105BC AB ==. 故选：A ．点睛：本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及正弦函数的定义．变式1-2．（2019·山东淄博市·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝45，AC＝6cm，则BC的长度为()A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 【答案】C【详解】已知sinA=45BCAB=，设BC=4x，AB=5x，又因AC2+BC2=AB2，即62+（4x）2=（5x）2，解得：x=2或x=﹣2（舍），所以BC=4x=8cm，故答案选C．考查题型二余弦典例2．（2020·福建省泉州市培元中学九年级期中）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（）A 5B25C5D．23【答案】B【详解】由格点可得∠ABC所在的直角三角形的两条直角边为2，4，222425+=∴cos∠25525=．故选B ．变式2-1．（2016·辽宁铁岭市·九年级期末）在ABC 中，C 90∠=，AB 6=，1cosA 3=，则AC 等于（） A ．18 B ．2C ．12D ．118【答案】B 【分析】根据三角函数的定义，在直角三角形ABC 中，cosA ＝ACAB，即可求得AC 的长．【详解】解：∵在△ABC 中，∠C ＝90°，∴cosA ＝ACAB ， ∵cosA ＝13，AB ＝6，∴AC ＝123AB =，故答案选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，解题的关键是要熟练掌握直角三角形中边角之间的关系．变式2-2．（2019·山东滨州市·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点M 的坐标为M （5，2），那么cosα的值是（）A 5B ．23C 25D 5【答案】D 【分析】如图，作MH⊥x轴于H．利用勾股定理求出OM，即可解决问题．【详解】解：如图，作MH⊥x轴于H．∵M（5，2），∴OH＝5，MH＝2，∴OM＝22(5)2+＝3，∴cosα＝5 OHOM=，故选：D．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．考查题型三正切典例3．（2020·广东深圳市·深圳中学八年级期中）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（）A．12B．1 C3D3【答案】B【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求．【详解】如图，连接BC ，由网格可得AB=BC=5，AC=10，即AB 2+BC 2=AC 2， ∴△ABC 为等腰直角三角形， ∴∠BAC=45°，则tan ∠BAC=1，故选B ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．变式3-1．（2018·江苏苏州市·九年级期末）如图，在等腰Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 是AC 上一点，若1tan 5DBA ∠=，则AD 的长为（）.A ．2B ．3C ．2D ．1【答案】A 【解析】分析：本题考查等腰直角三角形的性质及解直角三角形．解题的关键是作辅助线，构造直角三角形，运用三角函数的定义建立关系式然后求解．解析：如图，作DE ⊥AB 于E ．∵tan ∠DBA==，∴BE=5DE ．∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠A=45°，∴AE=DE ．∴BE=5AE ，又∵AC=6，∴AB=6，∴AE+BE=AE+5AE=6，∴AE=，∴在等腰直角△ADE中，由勾股定理，得AD=，AE=2．故选A.变式3-2．（2020·河北唐山市·九年级期末）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若2tan5BAC∠=，则此斜坡的水平距离AC为（）A．75m B．50m C．30m D．12m 【答案】A【分析】根据BC的长度和tan BAC∠的值计算出AC的长度即可解答.【详解】解：因为2tan5BCBACAC＝∠=，又BC＝30，所以，3025AC＝，解得：AC＝75m，所以，故选A.【点睛】本题考查了正切三角函数，熟练掌握是解题的关键.考查题型四特殊角的三角函数值典例4．（2018·南昌市期末）点M(－sin60°，cos60°)关于x轴对称的点的坐标是( )A．(32，12) B．(－32，－12)C．(312) D．(－123【答案】B 【详解】∵点（-sin60°，cos60°）即为点（312），∴点（-sin60°，cos60°）关于y 3，12）．变式4-1．（2019·山东淄博市·九年级期中）下列式子错误的是（）A．cos40°=sin50°B．tan15°•tan75°=1C．sin225°+cos225°=1 D．sin60°=2sin30°【答案】D【详解】试题分析：选项A，sin40°=sin（90°﹣50°）=cos50°，式子正确；选项Btan15°•tan75°=tan15°•cot15°=1，式子正确；选项C，sin225°+cos225°=1正确；选项D，sin60°=3，sin30°=12，则sin60°=2sin30°错误．故答案选D．变式4-2．（2018·河北唐山市·九年级期末）如果△ABC中，sin A=cos B=22，则下列最确切的结论是（）A．△ABC是直角三角形B．△ABC是等腰三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是锐角三角形【答案】C【解析】因为sin A=cos B 2，所以∠A=∠B=45°，所以△ABC是等腰直角三角形. 故选C.考查题型五同角的三角函数典例5．（2018·山东潍坊市·九年级期末）在Rt△ABC中，∠C =90°，sinA=45，则cosB的值等于( )A．35B．45C．34D5【答案】B 【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A+∠B=90°，则cos B=sin A=45．故选B．点睛：本题考查了互余两角三角函数的关系．在直角三角形中，互为余角的两角的互余函数变式5-1．（2018·浙江台州市·九年级期末）在Rt △ABC 中，cosA= 12，那么sinA 的值是（）A ．2B ．2C ．3D ．12【答案】B 【分析】利用同角三角函数间的基本关系求出sinA 的值即可．【详解】：∵Rt △ABC 中，cosA=12 ，∴ =2，故选B ．【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握同角三角函数的关系是解题的关键．变式5-2．（2018·湖南岳阳市·九年级期末）在Rt ABC 中，C 90∠=，如果4cosA 5=，那么tanA 的值是（） A ．35B ．53C ．34D ．43【答案】C 【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解. 【详解】解：∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，∴cosA=b c ，tanA=ab ，a 2+b 2=c 2. ∵cosA=45，设b=4x ，则c=5x ，a=3x ．∴tanA=a b =3344x x =. 故选C.【点睛】利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值.考查题型六解直角三角形典例6．（2020·东北师大附中明珠学校九年级期中）如图，两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB 与AD 的长度之比为( )A ．tan tan αβB ．sin sin βαC ．sin sin αβD ．cos cos βα【答案】B【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB 、AD 即可解决问题；【详解】在Rt △ABC 中，AB=AC sin α，在Rt △ACD 中，AD=AC sin β， ∴AB ：AD=AC sin α：AC sin β=sin sin βα，故选B ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．变式6-1．（2020·山东枣庄市·九年级期末）如图，在ABC ∆中，144CA CB cosC ＝＝，＝，则sinB 的值为（）A ．10B ．15C ．6D ．10 【答案】D【分析】过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ，在Rt ACD ∆中可求出AD ，CD 的长，在Rt ABD ∆中，利用勾股定理可求出AB 的长，再利用正弦的定义可求出sinB 的值．【详解】解：过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ，如图所示．在Rt ACD ∆中，1CD CA cosC ⋅＝＝，2215AD AD CD ∴=-=；在Rt ABD ∆中，315BD CB CD AD ＝﹣＝，＝，22BD AD 26AB ∴=+=，AD 10sin AB B ∴==．故选：D ．【点睛】考查了解直角三角形以及勾股定理，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD ，AB 的长是解题的关键．变式6-2．（2019·辽宁沈阳市·九年级期末）如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B 处仰角为30°，则甲楼高度为（）A．11米B．（36﹣153）米C．153米D．（36﹣103）米【答案】D【分析】分析题意可得：过点A作AE⊥BD，交BD于点E；可构造Rt△ABE，利用已知条件可求BE；而乙楼高AC＝ED＝BD﹣BE．【详解】解：过点A作AE⊥BD，交BD于点E，在Rt△ABE中，AE＝30米，∠BAE＝30°，∴BE＝30×tan30°＝103（米），∴AC＝ED＝BD﹣BE＝（36﹣103）（米）．∴甲楼高为（36﹣103）米．故选D．【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值.考查题型七利用解直角三角形相关知识解决实际问题典例7．（2019·河南许昌市·九年级期末）如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B 处的求救者后，又发现点B 正上方点C 处还有一名求救者.在消防车上点A 处测得点B 和点C 的仰角分别是45°和65°，点A 距地面2.5米，点B 距地面10.5米.为救出点C 处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC 约为多少米？（结果保留整数.参考数据：tan65°≈2.1,sin65°≈0.9,cos65°≈0.4,2≈1.4）【答案】云梯需要继续上升的高度BC 约为9米.【分析】过点A 作AM EF ⊥于点M ，AD BC ⊥于点D ，在Rt ABD ∆中，求得AD 的长；在Rt ACD ∆中，求得CD 的长，根据BC=CD-BD 即可求得BC 的长.【详解】过点A 作AM EF ⊥于点M ，AD BC ⊥于点D ，∵CN EF ⊥ ，∴90AMN MND ADN ∠=∠=∠=︒，∴四边形AMND 为矩形.∴ 2.5DN AM ==米.∴10.5 2.58BD BN DN =-=-=（米），由题意可知，45BAD ∠=︒，65CAD ∠=︒，∵AD BC ⊥，∴90ADB ∠=︒，在Rt ABD ∆中，tan BD BAD AD ∠=， ∴88tan tan45BD AD BAD ===∠︒（米）. 在Rt ACD ∆中，tan CD CAD AD∠=， ∴tan 8tan658 2.116.8CD AD CAD =⋅∠=︒≈⨯=（米）.∴16.888.89BC CD BD =-≈-=≈（米）.答：云梯需要继续上升的高度BC 约为9米.【点睛】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，添加辅助线，构造直角三角形，建立直角三角形模型是解决问题的关键．变式7-1．（2018·江苏无锡市·九年级期末）如图，为了测量出楼房AC 的高度，从距离楼底C 处603米的点D （点D 与楼底C 在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1：3的斜坡DB 前进30米到达点B ，在点B 处测得楼顶A 的仰角为53°，求楼房AC 的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈43，计算结果用根号表示，不取近似值）．【答案】153+【分析】如图作BN ⊥CD 于N ，BM ⊥AC 于M ，先在RT △BDN 中求出线段BN ，在RT △ABM 中求出AM ，再证明四边形CMBN 是矩形，得CM=BN 即可解决问题．【详解】如图作BN ⊥CD 于N ，BM ⊥AC 于M ．在RT △BDN 中，BD=30，BN ：ND=13，∴BN=15，DN=153，∵∠C=∠CMB=∠CNB=90°，∴四边形CMBN是矩形，∴CM=BM=15，BM=CN=603153453-=，在RT△ABM中，tan∠ABM=43 AMBM=，∴AM=603，∴AC=AM+CM=15603+．【点睛】构造适当的直角三角形，并应用锐角的三角函数，正确理解坡比的概念．变式7-2．（2018·山西晋中市期末）“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．如图所示，底座上A，B两点间的距离为90cm．低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°，高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°．求高、低杠间的水平距离CH的长．（结果精确到1cm，参考数据sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850）【答案】高、低杠间的水平距离CH 的长为151cm ．【解析】分析：利用锐角三角函数，在Rt △ACE 和Rt △DBF 中，分别求出AE 、BF 的长．计算出EF ．通过矩形CEFH 得到CH 的长．详解：在Rt △ACE 中，∵tan ∠CAE=CE AE， ∴AE=()15515521tan tan82.47.5CE cm CAE =≈≈∠︒ 在Rt △DBF 中，∵tan ∠DBF=DF BF， ∴BF=()23423440tan tan80.3 5.85DF cm DBF =≈=∠︒. ∵EF=EA+AB+BF≈21+90+40=151（cm ）∵CE ⊥EF ，CH ⊥DF ，DF ⊥EF∴四边形CEFH 是矩形，∴CH=EF=151（cm ）.答：高、低杠间的水平距离CH 的长为151cm ．点睛：本题考查了锐角三角函数解直角三角形．题目难度不大，注意精确度．。

第二十八章锐角三角函数(教案)

-正弦函数：以直角三角形中，锐角的对边与斜边的比值为例，强调正弦函数的概念。
-余弦函数：以直角三角形中，锐角的邻边与斜边的比值为例，强调余弦函数的概念。
-正切函数：以直角三角形中，锐角的對边与邻边的比值为例，强调正切函数的概念。
-锐角三角函数的图像与性质：通过绘制和观察图像，理解函数在0°到90°间的变化规律，为后续学习打下基础。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正弦、余弦、正切函数的定义和应用这两个重点。对于难点部分，如函数图像和恒等变换，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与锐角三角函数相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示锐角三角函数的基本原理。
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《锐角三角函数》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要测量高度或距离的情况？”（如测量建筑物的高度）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索锐角三角函数的奥秘。
-在实际情境中运用锐角三角函数进行计算
4.锐角三角函等变换简化计算
5.锐角三角函数的综合应用
-解决复合型问题，如图形面积、角度计算等
-结合实际情境，运用锐角三角函数知识解决问题
二、核心素养目标
1.掌握锐角三角函数的定义与性质，培养数学抽象和逻辑推理能力；
第二十八章锐角三角函数（教案）
一、教学内容
第二十八章锐角三角函数
1.锐角三角函数的定义与性质
-正弦函数、余弦函数、正切函数的定义
-正弦、余弦、正切的值在0°到90°间的变化规律

锐角的三角函数值

锐角的三角函数值（4）——一般锐角的三角函数值导学目标：会使用计算器求锐角三角函数值，会使用计算器根据锐角三角函数值求对应的锐角。

一自主预习：1.在利用计算器求一个锐角的三角函数值时,应先使计算器设置在”“状态.标志是屏幕上显示 .2.sin-1,cos-1,tan-1键是表示由求锐角度数的功能键3.求sin400的值的按键顺序是什么？4.求值(精确到0.0001)⑴cos34035/⑵tan66015/17//二．合作探究：探究点1：求一个锐角的三角函数值。

我们知道sin300=,那么sin3002/是多少呢？说明：⑴用计算器求一个角的三角函数值时，首先要把计算器设置在“角度”状态下，也就是在计算器的显示屏上出现“DEG”的字样。

⑵在角度单位状态为度的情况下，先输入数据，再按sin,cos,tan键可以直接求出一个角的正弦，余弦，正切值了例1：用计算器求下列各三角函数的值（精确到0.001）⑴sin240⑵tan63027/ ⑶cos18059/27//例2.用计算器求：①sin100,sin200,sin300,……sin900的值.②cos100,cos200,cos300,……,cos900的值.③tan100,tan200,tan300,……,tan900的值.⑵根据所求结果总结：①随角度变化函数值的变化规律。

②同角的正余弦函数值间的关系⑵比较大小：①sin72032/ 620 ; ②cosa cosβ (a<β,a,β为锐角)⑶sin12012/ cos78030探究点二：已知三角函数值求锐角。

例.根据下列条件求∠A 的度数（用度，分，秒表示）⑴cosA=o.6753 ⑵tanA=87.54 ⑶sinA=0.4553说明：计算器中sin-1,cos-1,tan-1，这些键的功能是由正弦值，余弦值，正切值求锐角的度数。

在角度状态为“度“的情况下，求锐角时，先输入数据，再按2ndF键，再按sin-1,cos-1,tan-1键，即可得到相应的角度。

理解锐角三角函数概念应注意的问题

茨竹学校陈兴超在09年12月25日三、四片区数学教研会上，有老师曾提出一个问题：书写三角函数时，有时加角的符号，有时没有加角的符号，那么该怎样判定加与不加呢？笔者带着这个问题，查阅了有关资料，结合教学实践，作了一些探究。

现就理解锐角三角函数概念应注意的问题作如下例举，供同行们参考.1、初中阶段的所说的锐角三角函数是锐角的正弦、余弦、正切、余切四种函数的统称.2、锐角三角函数表示的是两个正数的比值，因而，锐角三角函数没有单位.3、理清锐角三角函数中的自变量与因变量对于上述四种函数来说，以∠A为例，自变量都是锐角A，因变量就是锐角A的四种三角函数。

这说明，当锐角A的大小不变时，锐角A的正弦值、余弦值、正切值、余切值也将保持不变.4、锐角三角函数中自变量的取值范围锐角三角函数的自变量是锐角，所以，自变量∠A的范围就是0°＜∠A＜90°.5、理解锐角三角函数的整体性sinA是∠A的正弦函数，cosA是∠A的余弦函数，tanA是∠A的正切函数，cotA是∠A的余切函数，其中，sinA、cosA、tanA、cotA分别是四个不同的整体，不能错误地认为是sin、cos、tan、cot分别与A的乘积，否则，就没有意义了.6、在书写锐角三角函数时，要因角的不同表示方法而采用不同的书写方式，不能随意改变。

具体要求如下：（1）用顶点字母法表示锐角，在书写锐角三角函数时，可以省略角的符号“∠”。

例如∠B的锐角三角函数，可以分别记作：sinB、cosB、tanB、cotB.（2）用希腊字母法表示锐角，在书写锐角三角函数时，可以省略角的符号“∠”。

例如∠β的锐角三角函数，可以分别记作：sinβ、cosβ、tanβ、cotβ.（3）用三个英文字母法表示锐角，在书写锐角三角函数时，不可以省略角的符号“∠”。

例如∠ABC的锐角三角函数，可以分别记作：sin∠ABC、cos∠ABC、tan∠ABC、cot∠ABC.（4）用数字法表示锐角，在书写锐角三角函数时，不可以省略角的符号“∠”。

沪科版数学九年级上册23.1《锐角的三角函数》教学设计4

沪科版数学九年级上册23.1《锐角的三角函数》教学设计4一. 教材分析《锐角的三角函数》是沪科版数学九年级上册第23.1节的内容。

本节主要介绍了锐角三角函数的定义及应用。

通过本节的学习，学生能够理解锐角三角函数的概念，掌握锐角三角函数的计算方法，并能够运用锐角三角函数解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基础知识，对函数的概念和性质有一定的了解。

但是，对于锐角三角函数的具体定义和应用，学生可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题出发，逐步理解和掌握锐角三角函数的概念和计算方法。

三. 教学目标1.了解锐角三角函数的定义及计算方法。

2.能够运用锐角三角函数解决实际问题。

3.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.锐角三角函数的定义及计算方法。

2.运用锐角三角函数解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过设置实际问题，引导学生从实际问题中抽象出锐角三角函数的概念。

2.案例教学法：通过具体的案例，讲解和演示锐角三角函数的计算方法。

3.小组合作学习：学生分组讨论和解决问题，培养学生的合作意识和团队精神。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示锐角三角函数的定义和计算方法。

2.案例材料：准备一些实际的案例，用于讲解和演示锐角三角函数的应用。

3.练习题：准备一些练习题，用于巩固学生的学习成果。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些实际的例子，如建筑物的角度测量、滑翔机的起飞角度等，引导学生思考这些例子与三角函数的关系，从而引出锐角三角函数的概念。

2.呈现（10分钟）讲解锐角三角函数的定义和计算方法，引导学生从实际问题中抽象出锐角三角函数的概念。

3.操练（10分钟）学生分组讨论和解决一些实际的案例，如滑翔机的起飞角度问题、房屋建筑的倾斜度问题等，巩固学生对锐角三角函数的理解和应用。

4.巩固（10分钟）学生独立完成一些练习题，检测学生对锐角三角函数的掌握程度。

第四章《锐角三角函数》(基础卷)(解析版)

第四章锐角三角函数（基础卷）一、选择题（每小题4分，共40分）1、在Rt△ABC中，∠C＝90∘，BC＝5，AC＝12，则sin B的值是（）A.512B.125C.513D.1213【答案】D【解析】直接利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数得出答案．【解答】如图所示：∵∠C＝90∘，BC＝5，AC＝12，∴AB=13，∴sin B=ACAB =1213．2、在Rt△ABC中，∠C=90∘，则下列式子定成立的是()A.sin A=sin BB.cos A=cos BC.tan A=tan BD.sin A=cos B【答案】D【解析】根据一个锐角的正弦等于它的余角的余弦解答．【解答】解：∵∠C=90∘，∴∠A+∠B=90∘，∴sin A=cos B．3、已知sinαα是锐角，则α=( )A.75∘B.60∘C.45∘D.30∘【答案】B【解析】根据sin60∘a的值．【解答】解：∵sinαα是锐角，∴α=60∘．4、sin58∘、cos58∘、cos28∘的大小关系是（）A.cos28∘<cos58∘<sin58∘B.sin58∘<cos28∘<cos58∘C.cos58∘<sin58∘<cos28∘D.sin58∘<cos58∘<cos28∘【答案】C【解析】先把正弦化成余弦，然后根据锐角三角函数值的变化规律：锐角余弦值随着角度的增大而减小进行排列大小．【解答】sin58∘＝cos32∘．∵58∘>32∘>28∘，∴cos58∘<cos32∘<cos28∘，∴cos58∘<sin58∘<cos28∘．5、在Rt△ABC中，∠C=90∘，如果AC=4，BC=3，那么∠A的正弦值是( )A.34B.43C.35D.45【答案】C【解析】根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】∵AC=4，BC=3，AB=5,∴sin A=BCAB =35.6、拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是BC=10m，则坡面AB的长度是（）A.15mB.C.D.20m【答案】D【解析】在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．【解答】解：Rt△ABC中，BC=10m，tan A=∴AC=BC÷tan A=，∴AB=20m．7、在Rt△ABC中，∠B=90∘．若AC=2BC，则sin C的值是( )A.12B.2【答案】C【解析】利用已知表示出各边长，进而利用锐角三角函数关系得出答案．【解答】解：如图所示：∵AC=2BC，∴设BC=x，则AC=2x，∴AB=，∴sin C=ABAC=8、如图，在平面直角坐标系xOy中，点P(4, 3)，OP与x轴正半轴的夹角为α，则tanα的值为（）A.35B.45C.34D.43【答案】C【解析】过P作PN⊥x轴于N，PM⊥y轴于M，根据点P的坐标求出PN和ON，解直角三角形求出即可．【解答】过P作PN⊥x轴于N，PM⊥y轴于M，则∠PMO＝∠PNO＝90∘，∵x轴⊥y轴，∴∠MON＝∠PMO＝∠PNO＝90∘，∴四边形MONP是矩形，∴PM＝ON，PN＝OM，∵P(4, 3)，∴ON＝PM＝4，PN＝3，∴tanα=PNON =34，9、在Rt△ABC中，已知∠C=90∘，∠A=40∘，BC=3，则AC等于（）A.3sin40∘B.3sin50∘C.3tan40∘D.3tan50∘【答案】D【解析】根据三角形内角和定理求出∠B的度数，根据正切的概念解答即可．【解答】解：∵∠C=90∘，∠A=40∘，∴∠B=50∘.∵tan B=AC，BC∴AC=BC⋅tan B=3tan50∘.10、我国北斗导航装备的不断更新，极大方便人们的出行．某中学组织学生利用导航到C地进行社会实践活动，到达A地时，发现C地恰好在A地正北方向，导航显示路线应沿北偏东60∘方向走到B地，再沿北偏西37∘方向走才能到达C地．如图所示，已知A，B两地相距6千米，则A，C两地的距离为（）（参考数据sin53∘≈0.80，cos53∘≈0.60，tan53∘≈1.32）A.12千米B.(3+千米C.(3+千米D.(12―千米【答案】B【解析】作BD⊥AC于点D，根据题意可得，∠A＝60∘，AB＝6，∠CBD＝53∘，再根据锐角三角函数即可求出AD和CD的值，进而求出A，C两地的距离．【解答】如图，作BD⊥AC于点D，根据题意可知：在Rt△ADB中，∠A＝60∘，AB＝6，∴AD＝3，BD＝在Rt△CDB中，∠CBD＝53∘，≈∴CD＝BD⋅tan53∘≈×1.32≈×43∴AC＝AD+CD＝3+则A，C两地的距离为(3+千米．二、填空题（本题共计6小题，每题4分，共计24分）11. 已知tan(α+15∘)=α的度数为________∘．【答案】15【解析】根据tan30∘=α+15∘＝30∘，再解即可．【解答】∵tan30∘=∴α+15∘＝30∘，∴α＝15∘，12.已知在Rt△ABC中，∠C=90∘，sin A=5，则tan B的值为________．13【答案】125，设一条直角边BC为5x，斜边AB为13x，根据勾股【解析】根据题意作出直角△ABC，然后根据sin A=513定理求出另一条直角边AC的长度，然后根据三角函数的定义可求出tan∠B．【解答】解：∵sin A=513，∴设BC=5x，AB=13x，则AC=12x，故tan∠B=ACBC =125．13.如图，在△ABC中，∠C＝90∘，AC＝6，若cos A=35，则BC的长为________．【答案】8【解析】根据锐角三角函数定义和勾股定理求解．【解答】∵在△ABC中，∠C＝90∘，AC＝6，cos A=35，∴cos A=ACAB =6AB=35，∴AB＝10，∴BC8．14. △ABC中，∠C=90∘，AB=8，cos A=34，则BC的长________．【答案】【解析】首先利用余弦函数的定义求得AC的长，然后利用勾股定理即可求得BC的长．【解答】解：如图，∵cos A=ACAB，∴AC=AB⋅cos A=8×34=6，∴BC15. △ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sin A cos B=12，则∠C=________．【答案】60∘【解析】先根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和定理求出∠C即可作出判断．【解答】解：∵△ABC中，∠A、∠B都是锐角sin A cos B=12，∴∠A=∠B=60∘．∴∠C=180∘―∠A―∠B=180∘―60∘―60∘=60∘．16. 如图，BE是△ABC的角平分线，F是AB上一点，∠ACF＝∠EBC，BE、CF相交于点G．若sin∠AEB=BG＝4，EG＝5，则S△ABE＝________．【答案】81【解析】如图，过点B作BT⊥AC于T，连接EF．在Rt△BET中，解直角三角形求出BT，ET，BC，由△ECG ∽△EBC，求出EC，CG，再利用相似三角形的性质求出EF，BF，AE，AB，证明点T与点A重合即可解决问题．【解答】如图，过点B作BT⊥AC于T，连接EF．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠ECG＝∠ABE，∴∠ECG＝∠CBE，∵∠CEG＝∠CEB，∴△ECG∽△EBC，∴ECEB =EGEC=CGCB，∴EC2＝EG⋅EB＝5×(5+4)＝45，∵EC>0，∴EC＝在Rt△BET中，∵sin∠AEB=BTBEBE＝9，∴BT∴ET==∴CT＝ET+CE∴BC=∴CG=EG⋅BCEC=10，∵∠ECG＝∠FBG，∴ E ，F ，B ，C 四点共圆，∴ ∠EFG ＝∠CBG ，∵ ∠FGE ＝∠BGC ，∴ △EGF ∽△CGB ，∴ EF CB =EGCG ，∴510，∴ EF ＝5，∵ ∠AFE ＝∠ACB ，∠EAF ＝∠BAC ，∴ △EAF ∽△BAC ，∴AE AB=AFAC =EFBC =12，设AE ＝x ，则AB ＝2x ，∵ ∠FBG ＝∠ECG ，∠BGF ＝∠CGE ，∴ △BGF ∽△CGE ，∴ BF CE =BGCG ，∴410，∴ BF ∵ AE ⋅AC ＝AF ⋅AB ，∴ x (x ＝(2x ―⋅2x ，解得x =∴ AE ＝ET ∴ 点A 与点T 重合，∴ AB ＝2AE =∴ S △ABE =12×AB ×AE =12××81．三、解答题（本题共计8小题，每题10分，共计86分） 17. 计算(1)tan30∘sin60∘+cos 230∘―sin 245∘tan45∘；(2)2―1+∘+|―5|―(π―2013)0.解：(1)原式=×+―×1=12+34―12=34 .(2)原式=12+―1=12+32+5―1=6 .18. 如图，在△ABC 中，AB =AC =4,BC =6，求cos B 及tan B 的值．解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ．∵ AB =AC ，∴ BD =CD =3.在Rt △ABD 中，由勾股定理得AD ===∴ cos B =BDAB =34,tan B =ADBD =19. 在△ABC 中，∠A,∠B,∠C 的对边分别为a ,b ，c ，且a :b :c =3:4:5，求证：sin A +sin B =75 证明：设a =3k ,b =4k ,c =5k (k >0)．∵ a 2+b 2=(3k )2+(4k )2=25k 2=c 2，∴ △ABC 是直角三角形，且∠C =90∘.∴ sin A =ac =3k5k =35,sin B =bc =4k c=45．∴ sin A +sin B =75.20. 如图，一艘船由西向东航行，在A 处测得北偏东60∘方向上有一座灯塔C ，再向东继续航行60km 到达B 处，这时测得灯塔C 在北偏东30∘方向上，已知在灯塔C 的周围47km 内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？解：过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ．根据题意可知∠BAC =90∘―30∘=30∘，∠DBC =90∘―30∘=60∘，∵ ∠DBC =∠ACB +∠BAC ，∴ ∠BAC =30∘=∠ACB ，∴ BC =AB =60km ，在Rt △BCD 中，∠CDB =90∘，∠BDC =60∘，sin ∠BCD =ADAC ，∴ sin60∘=CD60，∴ CD =60×sin60∘=60×=km )>47km ，∴ 这艘船继续向东航行安全．21. 如图，王亮为了测量河宽CD，先在A处测得对岸C点在其北偏东45∘方向，然后沿河岸直行100米到B点，在B点测得对岸C点在其北偏西45∘方向，求河宽CD的长度．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732).解：设GD=x米，由题意得：CD⊥AB，∠ACD=30∘，∠BCD=45∘，∴∠ADC=∠BDC=90∘，∴AD=米，BD=CD=x米，∵AD+BD=AB=100米，∴+x=100，解得：x=6.5，即河宽CD约为63.5米（63.4也对）.22. 如图，山坡上有一棵与水平面垂直的大树AB，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部B恰好落在山坡上的点D处，已知山坡的坡角∠AEF=23∘，量得树干倾斜角∠BAC=38∘，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60∘，AD=4m．(1)求∠CAE的度数；(2)求这棵大树折断前的高度．（结果保留整数，参考数据≈1.4≈1.7≈2.4）．解：(1)如图，延长BA交EF于点G．在Rt△AGE中，∠AEF=23∘，∴∠GAE=90∘―23∘=67∘．又∵∠BAC=38∘，∴∠CAE=180∘―67∘―38∘=75∘．(2)如图，过点A作AH⊥CD，垂足为H．在△ADH中，∠ADC=60∘，AD=4，cos∠ADC=DHAD ，sin∠ADC=AHAD，∴DH=2，AH=在Rt△ACH中，∵∠C=180∘―75∘―60∘=45∘，∴CH=AH=∴AC=∴ CD =CH +DH =+2．∴ AB =AC +CD =+2≈10（米）．答：这棵大树折断前高约10米．23. 已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形．∠ACB =90∘，点A ，C 的坐标分别为A (―4,0)，C (2,0)，tan ∠BAC =12，AB 与y 轴相交于点D ．(1)求过点A ，B 的直线的函数表达式；(2)在y 轴上找一点E ，连接EB ，使得△EDB 与△ABC 相似，求点E 的坐标．解：(1)∵ 点A (―4,0)，C (2,0)， ∴ AC =6.∵ tan ∠BAC =12=BC AC ， ∴ BC =3， ∴B 点坐标为(2,3).设过点A ，B 的直线的函数表达式为：y =kx +b ，则―4k +b =0，2k +b =3，解得k =12，b =2，∴ 直线AB 的函数表达式为：y =12x +2.(2)①当∠BED =∠ACB =90∘时，即过点B ，作BE //x 轴，与y 轴交于点E ，则∠EBD =∠CAB ，∴ △EDB ∼△CBA ，则DE BC =BE AC ，即DE 3=26，解得DE =1，∴ E (0,3).②当∠DBE =∠ACB =90∘时，即过点B ，作BE ⊥BD ，与y 轴交于点E ，则∠DEB =∠BAC ，∴ △EDB ∼△ABC ，则DE BA =BD BC ，即=DE =5，∴ E (0,7).24、在东西方向的海岸线l 上有一长为1km 的码头MN(如图)，在码头西端M 的正西19.5km处有一观察站A.某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A 的北偏西30°，且与A 相距40km 的B 处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A 的北偏东60°，且与A 相距的C 处．(1)求该轮船航行的速度(保留精确结果)；(2)如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．解：(1)∵∠1＝30°，∠2＝60°，∴△ABC为直角三角形．∵AB＝40km，AC＝，∴BC＝km)．∵1小时20分钟＝80分钟，1小时＝60分钟，∴80＝千米/小时)．(2)作线段BR⊥x轴于R，作线段CS⊥x轴于S，延长BC交l于T.∵∠2＝60°，∴∠4＝90°－60°＝30°.∵AC＝km)，∴CS＝30°＝km)．∴AS＝30°＝12(km)．又∵∠1＝30°，∴∠3＝90°－30°＝60°.∵AB＝40km，∴BR＝40·sin60°＝km)．∴AR＝40×cos60°＝40×12＝20(km)．易得，△STC∽△RTB，∴STRT＝CSBR，STST＋20＋12＝解得：ST＝8(km)．∴AT＝12＋8＝20(km)．又∵AM＝19.5km，MN长为1km，∴AN＝20.5km.∵19.5<AT<20.5，故轮船能够正好行至码头MN靠岸．。

28章-锐角三角函数(全章课件)资料

(4)SinB=0.8 （√ ）
2)如图，sinA=
BC（ ×）
AB
练一练
2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大
100倍，sinA的值（ C A.扩大100倍 C.不变
） 1
B.缩小 100
D.不能确定
3.如图 A 300
B
1
3 则 sinA=___2___ .
C 7
练习 B 根据下图，求sinA和sinB的值．
如图，Rt△ABC中，直角边AC、BC小于斜边AB，
sin A BC ＜1
AB
sin B AC AB
＜1
A
C
所以0＜sinA ＜1, 0＜sinB ＜1, 如果∠A ＜ ∠B,则BC＜AC , 那么0＜ sinA ＜sinB ＜1
探究
精讲
如图，在Rt△ABC中，∠C＝ 90°，当锐角A确定时，∠A 的对边与斜边的比就随之确定，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？
C
tan α ＞0，
定义中应该注意的几个问题:
1、sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定义的， ∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。
2、sinA、 cosA、tanA是一个比值（数值）。
3、sinA、 cosA 、tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。
若已知锐角α的始边在x轴的正半轴上,(顶点
28章锐角三角函数
A
如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝
90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜
边的比 BC ，你能得出什么结论？
AB
C
B
在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得

三角函数公式(最全)

1、正弦定理
正弦定理变形可得：
五、其他公式
2、余弦定理
对于如图所示的边长为a、b、c而相应角为α、β、γ的△ABC，有：
3、降幂公式
sin²α=[1-cos(2α)]/2 cos²α=[1+cos(2α)]/2 tan²α=[1-cos(2α)]/[1+cos(2α)]
4、三角和
sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+ cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-…+(-1)k-1xk/k, x∈(-1,1)
sin x = x-x3/3!+x5/5!-…+(-1)k-1x2k-1/(2k-1)!+…, x∈R
cos x = 1-x2/2!+x4/4!-…+(-1)kx2k/(2k)!+…, x∈R
arcsin x = x + x3/(2*3) + (1*3)x5/(2*4*5) + (1*3*5)x7/(2* 4*6*7)…+(2k+1)!!*x2k+1/(2k!!*(2k+1))+…, x∈(-1,1)（!!表示双阶乘）
1
一、定义公式
三角函数公式
锐角三角函数任意角三角函数
正弦（sin）余弦（cos）正切（tan或tg）余切（cot或ctg）正割（sec）余割（csc）正弦（sin）余弦（cos）正切（tan或tg）余切（cot或ctg）正割（sec）余割（csc）
1、倒数关系
二、函数关系

锐角三角函数(通用8篇)

锐角三角函数（通用8篇）锐角三角函数篇1教学三维目标：一.学问目标：初步了解正弦、余弦、正切概念；能较正确地用siaa、cosa、tana表示直角三角形中两边的比；熟记功30°、45°、60°角的三角函数，并能依据这些值说出对应的锐角度数。

二.力量目标：逐步培育同学观看、比较、分析，概括的思维力量。

三.情感目标：提高同学对几何图形美的熟悉。

教材分析：1.教学重点: 正弦，余弦，正切概念2.教学难点:用含有几个字母的符号组siaa、cosa、tana表示正弦，余弦，正切教学程序：一.探究活动1.课本引入问题，再结合特别角30°、45°、60°的直角三角形探究直角三角形的边角关系。

2.归纳三角函数定义。

siaa= ,cosa= ,tana=3例1.求如图所示的rt ⊿abc中的siaa,cosa,tana的值。

4.同学练习p21练习1，2，3二.探究活动二1.让同学画30°45°60°的直角三角形,分别求sia 30°cos45° tan60°归纳结果30°45°60°siaacosatana2. 求下列各式的值（1）sia 30°+cos30°（2）sia 45°- cos30°(3) +ta60°-tan30°abc三.拓展提高p82例4.（略）1. 如图在⊿abc中,∠a=30°,tanb= ,ac=2 ,求ab四.小结五.作业课本p85－86 2,3,6,7,8,10锐角三角函数篇2一、锐角三角函数正弦和余弦第一課时：正弦和余弦（1）教学目的1，使同学了解本章所要解决的新问题是：已知直角三角形的一条边和另一个元素（一边或一锐角），求这个直角三角形的其他元素。

2，使同学了解“在直角三角形中，当锐角A取固定值时，它的对边与斜边的比值也是一个固定值。

锐角三角形函数

锐角三角形一、知识归纳1、锐角三角函数定义。

2、互余角的三角函数间的关系。

sin(900-α)=cosα, cos(900-α)=sinα,tan(900-α)=cotα, cot(900-α)=tanα.3、同角三角函数间的关系：平方关系：sin2α+cos2α=1倒数关系：cotα=(或tanα·cotα=1)商的关系：tanα=, cotα=. （这三个关系的证明均可由定义得出）4、三角函数值（1）特殊角三角函数值（2）00～900的任意角的三角函数值，查三角函数表。

（3）锐角三角函数值的变化情况（i）锐角三角函数值都是正值（ii）当角度在00～900间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（iii）当角度在00≤α≤900间变化时，0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,当角度在00<α<900间变化时，tanα>0, cotα>0.二、例题分析1、已知在△ABC中，∠C=900，sinA=，求cosA+tanB.解法1：在△ABC中，∠C=900， sinA=，设BC=3k, AB=5k,∴由勾股定理可得AC=4k,∴cosA=, tanB=,∴cosA+tanB=+=.解法2：在△ABC中，∠C=900，∠A+∠B=900，∴sin2A+cos2A=1,∵sinA=,∴cosA===,∵cotA===,∴tanB=cotA=,∴cosA+tanB=+=.说明：已知一个角的三角函数值，求其他的三角函数值时，常用的方法有两个：利用定义或三角函数之间关系。

2、如图△ABC中，∠BAC=1200，AB=10，AC=5，求sinB·sinC的值。

分析：由所求得知，需将∠B，∠C分别置于直角三角形之中，另外已知∠A的邻补角是600，若要使其充分发挥作用，也需将其置于直角三角形中，所以考虑分别过点B，C向CA，BA的延长线作垂线段，即可顺利求解。

28,1 锐角三角函数第四课时-九年级数学下册课件(人教版)

解：(1)sin 20°≈0.342 0，cos 70°≈0.342 0； sin 35°≈0.573 6，cos 55°≈0.573 6； sin 15°32′≈0.267 8，cos 74°28′≈0.267 8.
(2)tan 3°8′≈0.054 7，tan 80°25′43″≈5.930 4.
接写出其相应的角的度数；若不是特殊角的三角函数值，应利用计算器求角的度数．求角的度数要先按 2nd F 键，将 sin 、 cos 、 tan 转化成它们的第二功能键；当三角函数值为分数时，应先化成小数．
例2 已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角：
(1)sin A＝0.516 8(结果精确到0.01°)； (2)cos A＝0.675 3(结果精确到1″)； (3)tan A＝0.189(结果精确到1°)．
2 已知α 为锐角，且tan α＝3.387，下列各值中与α 最接
近的是( A )
A．73°33′
B．73°27′
C．16°27′

D．16°21′
3 在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，用科学计算
器求∠A 约等于( D )
A．24°38′
B．65°22′
C．67°23′
D．22°37′
(1)sin A= 0. 627 5，sin B= 0.054 7; (2)cos A= 0. 625 2，cos B= 0. 165 9； (3)tan A= 4. 842 5，tan B= 0.881 6.
解：(1)∠A≈38°51′57″，∠B≈3°8′8″； (2)∠A≈51°18′11″，∠B≈80°27′2″； (3)∠A≈78°19′56″，∠B≈41°23′58″.

湖北江汉油田广华初级中学361课堂教学教案人教版九年级数学下册281锐角三角函数(4课时)

分析：求sinA就是要确定∠A的对边与斜边的比；求sinB就是要确定∠B的对边与斜边的比．我们已经知道了∠A对边的值，所以解题时应先求斜边的高．
三、、巩固提高
练习：做课本第77页练习．
四、课堂小结
课后反思：
内容：28．1锐角三角函数（二）
主备人：朱静
授课人
审核人：张庆
初备
个人细备
教学目标：
1、了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比．
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于。
【问题三】一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
由Rt△ABC与Rt△A`B`C`，∠C=∠C` =90 o，∠A=∠A`=α，那么与有什么关系
分析：由于∠C=∠C` =90o，∠A=∠A`=α，所以Rt△ABC∽Rt△A`B`C`，
内容：28．1锐角三角函数（一）
主备人：朱静
授课人
审核人：张庆
初备
个人细备
教学目标：
1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。
2、能根据正弦概念正确进行计算
教学重难点：
1．重点：理解认识正弦（sinA）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．
所以Rt△ABC∽Rt△A`B`C` ，
，即
结论：在直角三角形中，当锐角B的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠B的邻边与斜边的比也是一个固定值。
如图，在Rt△ABC中，∠C=90o，把锐角B的邻边与斜边的比叫做∠B的余弦，记作cosB即