圆的证明与计算

以圆为背景的证明、动态探究题

1.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O 分别交AC，BM于点D，E.

（1）求证：MD=ME

（2）填空：①若AB=6，当AD=2DM时，DE=___________；

②连接OD，OE，当∠A的度数为____________时，四边形ODME是菱形.

2.如图，CD是⊙O的直径，且CD=2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P 作⊙O的切线PA，PB，切点分别为点A，B．

（1）连接AC，若⊙APO=30°，试证明⊙ACP是等腰三角形；

（2）填空：

①当DP= cm时，四边形AOBD是菱形；

②当DP=________cm时，四边形AOBP是正方形．

3.如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A，B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC＝PB，D是AC的中点，连接PD，PO．

（1）求证：△CDP≌△POB;

（2）填空：

①若AB＝4，则四边形AOPD的最大面积为_________________;

②连接OD，当∠PBA的度数为________时，四边形BPDO是菱形．

4.如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线

交BA的延长线于点P，连接BC.

（1）求证：∠PCA=∠B;

（2）已知∠P=40°,AB=12cm,点Q在优弧AC上，从点A开始以πcm/s的速度逆时针运动到点C停止（点Q与点A、C不重合），设运动时间为ts.

①当t=________时，以点A、Q、B、C为顶点的四边形面积最大。

②当t=________时，△ABQ与△ABC全等。

5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O与AB边交于点D,过点D作⊙O的切线交BC于点E,连接OE,⊙O的半径为3。

（1）求证：OE∥AB;

（2）①当BC=_________时，四边形ODEC是正方形。

②当BC=_________时，AD=3DE.

6.如图，AD是⊙O的直径，AD=2BD,点C是上的不与A、D重合的动点，连接BC、BA、AC.

（1）求∠ACB的度数；

（2）填空：已知⊙O半径为4，

①当的长为___________时，四边形OBDC是菱形。

②当的长为___________时，四边形ABDC是矩形。

7.如图，在△ABC中AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC,垂足为点F.

（1）求证：DF为⊙O的切线。

（2）若过点A且与BC平行的直线交BE延长线于点G,连接CG,设⊙O的半径为5.

①当CF=_________时，四边形ABCG是菱形。

4时，四边形ABCG的面积是__________.

②当BC=5

8.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，以边AC上一点O为圆心，OA为半径作圆，恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F. （1）求证：BD是⊙O的切线；

（2）若AB=3，点E是半圆AmF上一动点，连接AE、AD、DE.填空：

①当的长度是_________时，四边形ABDE是菱形；

②当的长度是_________时，△ADE是直角三角形。

9.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，过点O的直线OM∥BC,交AC于点M。

（1）∠AMO的度数是________。

（2）延长OM交⊙O于点E,过点E作⊙O的切线，交BC的延长线于点F，连接FM并延长，交AB于点G.

①试判断四边形CFEM的形状，并说明理由；

②若AG=2，CM=3，则四边形CFEM的面积是__________.

圆的证明计算题

1.如图，AB为⊙O的直径，OP⊥AB交⊙O于点D,PM切⊙O于点M，AM交OP于点N,过点B作PM的平行线交⊙O于点C.

（1）求证：PM=PN；

3OD，求弦BC的长.

（2）若AB=4,DP=

2

2..如图，已知AB是⊙O的直径，过点O作OP，交弦AC于点D，交⊙O于点E，且使∠PCA=∠ABC.

（1）求证：PC是⊙O的切线.

（2）若∠P=60°，PC=2，求PE的长.

3..如图，点E在以AB为直径的⊙O上，点C是弧BE的中点，过点C作CD垂直于AE，交AE的延长线于点D，连接BE交AC于点F.

（1）求证：CD是⊙O的切线；

4，BF=15,求AC的长.

（2）若cos∠CAD=

5

4..如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE 上的一点，使CF∥BD．

（1）求证：BE=CE；

（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；

（3）若BC=8，AD=10，求CD的长

5.如图，A、F、B、C是半圆O上的四个点，四边形OABC是平行四边形，∠FAB ＝15°，连接OF交AB于点E，过点C作OF的平行线交AB的延长线于点D，延长AF交直线CD于点H．

（1）求证：CD是半圆O的切线；

3-6，求EF和半径OA的长．

（2）若DH=3

6..如图AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点

B作⊙O的切线交CE的延长线于点D.

（1）求证；DB=DE.

（2）若AB=12,BD=5,求⊙O的半径.

7..如图△ABC中，∠C=90°，点D是AB边上一点，以CD为直径的⊙O交BC 于点E，连接AE，交CD于点P,交⊙O于另一点F,连接DF，∠CAE=∠ADF. （1）求证：AB是⊙O的切线.

（2）若PF:PC=1:2,AF=5,求PC的长.