概率统计试题及答案(本科完整版)

概率统计试题及答案(本科完整版)

一、 填空题（每题2分，共20分）

1、记三事件为A ，B ，C . 则用A ，B ，C 及其运算关系可将事件，“A ，B ，C 中只有一个发生”表示为 .

2、匣中有2个白球，3个红球。 现一个接一个地从中随机地取出所有的球。那么，白球比红球早出现的概率是 2/5 。

3、已知P(A)=0.3，P （B ）＝0.5，当A ，B 相互独立时，06505P(A B )_.__,P(B |A )_.__⋃==。

4、一袋中有9个红球1个白球，现有10名同学依次从袋中摸出一球（不放回），则第6位同学摸出白球的概率为 1/10 。

5、若随机变量X 在区间 (,)a b 上服从均匀分布，则对

a c b

<<以及任意的正数0

e >，必有概率

{}

P c x c e <<+ ＝

⎧+<⎪⎪-⎨

-⎪+>⎪-⎩e

,c e b b a b c ,c e b b a

6、设X 服从正态分布2

(,)N μσ，则~23X Y -= N ( 3-2μ , 4σ2 )

.

7、设1128363

X B EX DX ~n,p ),n __,p __==（且＝，＝，则

8、袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3只，以X 表示取出3只球中

ABC ABC ABC

U U

2，3，则:

P ( A 1 ) = 0.1 , P ( A 2 ) = 0.2 , P ( A 3 ) = 0.15 ,由各台机器间的相互独立性可得

()()()()()123123109080850612P A A A P A P A P A ....=⋅⋅=⨯⨯= ()()()12312321101020150997P A A A P A A A ....⋃⋃=-=-⨯⨯= ()()

()()()()1231231231231231231231233010808509020850908015090808500680153010806120941

P A A A A A A A A A A A A P A A A P A A A P A A A P A A A .................=+++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+++=U U U

2、甲袋中有n 只白球、m 只红球；乙袋中有N 只白球、M 只红球。今从甲袋任取一球放入乙袋后，再从乙袋任取一球。问此球为白球的概率是多少？

解：以W 甲表示“第一次从甲袋取出的为白球”，R 甲表示“第一次从甲袋取出的为红球”， W 乙表示“第二次从乙袋取出的为白球”，

则

所

求

概率为

()()()()

P W P W W R W P W W P R W ==+U 乙甲乙甲乙甲乙甲乙

()(

)

()(

)

P W P W W P R P W R =+甲乙甲甲乙甲

11

111111111

n m N N n m N M n m N M C C C C C C C C +++++++=⋅+⋅

()()()()()()

111n N mN

n m N n

n m N M n m N M ++++=

=

++++++

3、设随机变量X 的概率密度为

cos , ||()2

0 , A x x f x π⎧

<⎪=⎨⎪⎩其它

,

试求（1）常数A ;

(2) 分布函数()F x ; (3) 概率{ 0 }4P X π<<。 解：（1） 由归一性可得：()22

12f x dx Acos xdx A

π

π+∞

-∞

-===⎰⎰，

从而 12A =

()()()()()()2

2

2

2222x

x

x x f x dx,x .F x f x dx f x dx,x f x dx,x πππππ

π-∞-∞

-

⎧<-⎪⎪⎪

==-≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩⎰⎰⎰⎰

()021

122

212,x sin x ,x ,x π

ππ

π

⎧<-⎪

⎪=+-≤<⎨⎪⎪≥⎩

(

)4

1304

24

.P{X }cos xdx π

π<<==⎰

4、（1）已知X 的分布律为

X -1 0 1

计算)21(2

X D -。（5分） 解

：

()

()

()

{

}

2

2

2

4

2

1244D(X )D X

E X

E X ⎡⎤-==-⎣⎦

115225235

44

164⎛⎫=-

= ⎪⎝⎭

（2）、设)1,0(~N X ，求2

X Y =的概率密度.（5分）

解：Y 的密度函数为：2000

y

,y f (y ),y -⎧>=≤⎩

5、设(,)X Y 的概率密度为

00

0 , (),,(,)x y e x y f x y -+⎧>>=⎨

⎩其它

.

(1) 试求分布函数),(y x F ；

(2) 求概率{}(,)P x y G ∈其中区域G 由X 轴, Y 轴以及直线1=+y x 所围成. 解: ()()()000010x y

(x y )x

y e

dxdy,x ,y .F x,y f x,y dxdy ,-+-∞-∞

⎧>>⎪==⎨

⎪⎩

⎰⎰⎰⎰

其他

()()1100x y

e e ,x ,--⎧-->⎪=⎨

⎪⎩

其

(){}()2G

.P (x,y )G f x,y dxdy ∈=⎰⎰1

11

00

12x

(x y )e dy dx e --+-⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦

⎰⎰

6、设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为

(1),01

(,)0,k x y x f x y -<<<⎧=⎨⎩

其它

,求常数k 及边缘概率密度.