奇函数、偶函数的几个重要性质
函数的对称性与奇偶性
函数的对称性与奇偶性对于函数而言，它的对称性和奇偶性是一种重要的性质，可以帮助我们更好地理解和分析函数的特点。
在数学中，对称性指的是函数在某种变换下保持不变的性质，而奇偶性则是函数在自身的对称轴上的性质。
本文将重点讨论函数的对称性和奇偶性。
1. 函数的对称性函数的对称性是指在某种变换下，函数的图像能够保持不变。
常见的函数对称性包括中心对称和轴对称。
1.1 中心对称性中心对称性是指函数的图像以某个点为对称中心，对称轴上的任意两点关于对称中心对称。
形式化地说，对于函数f(x)，如果对于任意的x，有f(-x) = f(x)，则函数f(x)具有中心对称性。
例如，函数f(x) = x^2是一个具有中心对称性的函数。
我们可以将其图像想象成一个抛物线，以原点为对称中心，任意一点关于原点的对称点的函数值是相等的。
1.2 轴对称性轴对称性是指函数的图像以某条直线为对称轴，对称轴上的任意两点关于对称轴对称。
形式化地说，对于函数f(x)，如果对于任意的x，有f(-x) = f(x)，则函数f(x)具有轴对称性。
举个例子，函数f(x) = sin(x)是一个具有轴对称性的函数。
我们可以将其图像想象成一条波浪线，其对称轴为x轴，任意一点关于x轴的对称点的函数值是相等的。
2. 函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在自身的对称轴上的性质。
奇函数和偶函数是两种常见的奇偶性。
2.1 奇函数奇函数是指函数在自身的原点上具有对称性，即对于任意的x，有f(-x) = -f(x)。
奇函数的图像关于原点对称。
举个例子，函数f(x) = x^3是一个奇函数。
我们可以观察到，任意一点关于原点的对称点的函数值是相等的，而且函数的图像关于原点对称。
2.2 偶函数偶函数是指函数在自身的对称轴上具有对称性，即对于任意的x，有f(-x) = f(x)。
偶函数的图像关于对称轴对称。
例如，函数f(x) = x^2是一个偶函数。
我们可以观察到，任意一点关于y轴的对称点的函数值是相等的，而且函数的图像关于y轴对称。
【高中数学】函数的奇偶性专题复习(绝对原创!)
【函数的奇偶性】专题复习一、关于函数的奇偶性的定义定义说明：对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ：⑴)()(x f x f =- ⇔)(x f 是偶函数； ⑵)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；二、函数的奇偶性的几个性质①对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；②整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立； ③可逆性：)()(x f x f =-⇔)(x f 是偶函数； )()(x f x f -=-⇔)(x f 是奇函数； ④等价性：)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f ； )()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f⑤奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；⑥可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
三、函数的奇偶性的判断判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：第一种方法：利用奇、偶函数的定义，考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，判断步骤如下： ①定义域是否关于原点对称；②数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立； 例1：判断下列各函数是否具有奇偶性（1）x x x f 2)(3+= （2）2432)(x x x f += （3）1)(23--=x x x x f（4）2)(x x f = []2,1-∈x （5）x x x f -+-=22)( （6）2|2|1)(2-+-=x x x f ；（7）2211)(x x x f -+-= （8）221()lg lgf x x x =+； （9）xx x x f -+-=11)1()(例2：判断函数⎩⎨⎧<≥-=)0()0()(22x x xx x f 的奇偶性。
)(0)0(:2x f f -==解 )()()(,0,022x f x x x f x x -=-=--=-<->有时即当)()()()(,0,022x f x x x f x x -=--=-=->-<有时即当.)(),()(为奇函数故总有x f x f x f =-∴第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数； 两个奇函数的积为偶函数； 两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。
函数的奇偶性、对称性与周期性总结-史上最全
函数的奇偶性、对称性与周期性常用结论，史上最全函数是高中数学的重点与难点，在高考数学中占分比重巨大。
高考中对函数的考查灵活，相关的结论众多，有奇偶性，对称性，还有周期性，这些结论及变形能否掌握，都影响着学生的最终成绩。
本篇将函数的奇偶性、对称性与周期性常用的结论进行总结，希望对同学们有帮助。
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1.奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或奇偶函数的定义域关于原点对称。
①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-()()()0,1()f x f x f x f x +-==-- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
()()-()0,1()f x f x f x f x -==- 2.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
《分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f/函数周期性的几个重要结论2、()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 3= "7、 1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 2=8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6=10、若.2 , )2()(,0p T p px f px f p =-=>则推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 2=推论：奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 4=、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。
高中数学函数的奇偶性
(x 1) (| x | 1) . (x 1)
解：
(1)∵4
x2
0 ,
| x 3 | 3
∴-2≤x≤2且x≠0,
∴函数f(x)的定义域关于原点对称.
f (x) 4 x2 4 x2 . x33 x
又f (x)
4 (x)2
4 x2 ,
谢谢大家
x
x
∴f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.
(2)当x<-1时,f(x)=x+2,-x>1, ∴f(-x)=-(-x)+2=x+2=f(x). 当x>1时,f(x)=-x+2,-x<-1, ∴f(-x)=(-x)+2=-x+2=f(x). 当-1≤x≤1时,f(x)=0,-1≤-x≤1, ∴f(-x)=0=f(x). 综上可知,对于定义域内的每一个x都有f(-x)=f(x), ∴f(x)为偶函数.
f (x) f (x) f (x) 奇函数；
（4）等价性：f (x) f (x) f (x) f (x) 0
f (x) f (x) f (x) f (x) 0
二、利用定义判断函数奇偶性的一般步骤:
（1）首先确定函数的定义域，看它是否关于原点对称。若 不对称，则既不是奇函数又不是偶函数。 （2）若定义域关于原点对称，再判定f(-x)与f(x)之间的关系 ①若f(-x)=-f(x)（或f(-x) +f(x)=0），则为奇函数； ②若f(-x)=f(x)(或 f(-x) -f(x)=0)，则f(x)为偶函数； ③若f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数; ④若f(-x) ≠f(x)且f(-x)≠- f(x)，则f(x)既不是奇函数也不是偶函 数。
函数的对称性与奇偶性的判断方法
函数的对称性与奇偶性的判断方法在数学中，对称性和奇偶性是研究函数性质的重要概念。
判断函数的对称性与奇偶性有助于我们深入理解函数的特点和行为。
本文将介绍几种常见的方法来判断函数的对称性与奇偶性。
一、函数的对称性1. 关于y轴对称如果函数在y轴两侧的取值相同，即f(x) = f(-x)。
这意味着函数图像关于y轴对称。
为了判断该对称性，我们可以通过将x替换为-x，然后观察方程两边是否相等。
2. 关于x轴对称如果函数在x轴上和下两侧的取值相同，即f(x) = -f(-x)。
这表示函数图像关于x轴对称。
同样，我们可以通过将x替换为-x来验证该对称性。
3. 关于原点对称如果函数在原点两侧的取值相同，即f(x) = -f(-x)，这说明函数图像关于原点对称。
同样地，我们可以通过将x替换为-x来检验该对称性。
二、函数的奇偶性1. 关于y轴对称的奇函数如果函数关于y轴对称，并且满足f(-x) = -f(x)，则函数是奇函数。
换句话说，当x取相反数时，函数的函数值也取相反数。
2. 关于y轴对称的偶函数如果函数关于y轴对称，并且满足f(-x) = f(x)，则函数是偶函数。
这表示当x取相反数时，函数的函数值保持不变。
3. 奇偶函数的性质奇函数和偶函数有一些特殊的性质。
对于奇函数，它的反函数也是奇函数；对于偶函数，它的反函数也是偶函数。
此外，奇函数和奇函数的乘积是偶函数，偶函数和偶函数的乘积是偶函数，奇函数和偶函数的乘积是奇函数。
三、判断方法示例下面通过几个简单的例子来说明判断函数对称性和奇偶性的方法。
例1：判断函数f(x) = 2x^4 - 3x^2是否关于y轴对称和奇偶性。
由于f(x)是一个多项式函数，它的所有指数都是非负整数，因此它是一个偶函数。
将x替换为-x，我们可以验证f(-x) = f(x)。
所以该函数关于y轴对称。
例2：判断函数f(x) = sin(x)是否关于x轴对称和奇偶性。
由于f(x)是正弦函数，它的值在不同的x值处取正负值，因此它是一个奇函数。
高考中函数奇偶性的解题技巧(3+8=120)
高考中函数奇偶性的解题技巧一、记忆篇（一）奇函数和偶函数的重要性质和结论1、奇函数：()()f x f x -=-；偶函数：()()f x f x -=．2、奇函数和偶函数的定义域关于原点对称．3、奇函数在原点有定义，则图像必过原点．4、奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇⨯奇=偶；偶⨯偶=偶；奇⨯偶=奇；奇÷奇=偶；偶÷偶=偶；奇÷偶=奇；偶÷奇=奇．5、奇偶函数乘以非零常数k 不影响奇偶性．6、(||)y f x =是偶函数．7、2()y f x =是偶函数．8、若()f x 是奇函数或偶函数，则()f x 是偶函数． （二）常见函数的奇偶性 1、幂函数（()f x x α=） 以下的奇数和偶数可正可负． 当α为奇数时，()f x x α=是奇函数； 当α为偶数时，()f x x α=是偶函数； 2、三角函数（k Z ∈）函数奇偶性()sin()f x A x ωϕ=+(0,0)A ω≠≠k ϕπ=⇔ ()f x 是奇函数 2k πϕπ=+⇔ ()f x 是偶函数 k ϕπ≠且2k πϕπ≠+⇔ ()f x 是非奇非偶函数()cos()f x A x ωϕ=+(0,0)A ω≠≠k ϕπ=⇔ ()f x 是偶函数2k πϕπ=+⇔ ()f x 是奇函数k ϕπ≠且2k πϕπ≠+⇔()f x 是非奇非偶函数 ()tan()f x A x ωϕ=+2k πϕ=⇔ ()f x 是奇函数(0,0)A ω≠≠ 2k πϕ≠⇔ ()f x 是非奇非偶函数 注：以上结论读者可自行用诱导公式和定义证明． 3、多项式函数（1）定义：形如121210()n n n n f x a x a x a x a x a --=+++++（i a R ∈，1,2,,i n =）的函数称为多项式函数．其中我们把次数为奇数的项称为奇次项；次数为偶数的项称为偶次项；规定0a 为偶次项，可看成是x 的0次项；比如：55a x 为奇次项，22a x 为偶次项．（2）结论：()f x 是奇函数 ⇔()f x 只有奇次项，没有偶次项．⇔0i a =（其中0,2,4,6,i =）．()f x 是偶函数 ⇔()f x 只有偶次项，没有奇次项．⇔0i a =（其中1,3,5,7,i =）．()f x 是非奇非偶函数 ⇔()f x 既有奇次项，又有偶次项．4、特例奇偶函数（1）奇函数：x x y a a -=-，x x y a a -=-，log ab x y b x -=+，log a b xy b x+=-，2log (1)a y x x =±+，11x x a y a -=+，11x x a y a +=-；（2）偶函数：x x y a a -=+；注：以上结论读者可自行用奇偶性的定义证明． 5、抽象函数的奇偶性()()()f x y f x f y +=+⇒()f x 是奇函数；注：以上结论读者可自行用赋值法和奇偶性的定义证明． （三）常用结论结论1：若函数()()f x g x c =+，其中()g x 是奇函数，且()f a b =，则()2f a c b -=-．即()()2f a f a c +-=．结论2：任何一个函数都可以表示成奇函数和偶函数的和，即()()()()()22f x f x f x f x f x --+-=+，其中()()2f x f x --是奇函数，()()2f x f x +-是偶函数．注：以上结论读者可自行用奇偶性的定义证明．二、实战篇（高考试题赏析） 题型一、函数奇偶性的判断例1、（2012高考广东）下列函数为偶函数的是（ ）A ．sin y x =B ．3y x =C ．x y e =D ．2ln 1y x =+ 解析：易知sin y x =和3y x =为奇函数，x y e =为非奇非偶函数，2ln 1y x =+为偶函数，选D ．例2、（2010广东）若函数x x x f -+=33)(与x x x g --=33)(的定义域均为R ，则（ ） A ．)(x f 与)(x g 与均为偶函数 B ．)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数 C ．)(x f 与)(x g 与均为奇函数 D ．)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数 解析：x x y a a -=-为奇函数，x x y a a -=+为偶函数，选D ．例3、（2012年重庆）函数()()(4)f x x a x =+-为偶函数，则实数a =_____． 解析：展开2()()(4)(4)4f x x a x x a x a =+-=+--，要想是偶函数， 则不能有奇次项，40a ∴-=，4a ∴=．注：可用偶函数的定义或特殊值法(1)(1)f f -=求出a ． 例4、（2011年辽宁）若函数))(12()(a x x xx f -+=为奇函数，则=a （ ）A ．21B ．32C ．43D ．1解析：因为分子y x =是奇函数，且))(12()(a x x xx f -+=是奇函数，根据 奇÷偶=奇 可得：(21)()y x x a =+-是偶函数， 而2(21)()2(12)y x x a x a x a =+-=+--要想是偶函数， 则不能有奇次项，120a ∴-=，12a ∴=，选A ． 注：可用奇函数的定义或特殊值法(1)(1)f f -=-求出a ．例5、（2009年重庆）若1()21xf x a =+-是奇函数，则a = ． 解析：方法一：由(1)(1)f f -=-可得12a =．方法二：通分1(2)121()212121x xx xxaa a a a f x a -+⋅-+=+==---，11x x a y a +=-是奇函数，11a a -∴=，12a ∴=． 例6、（2011年广东）设函数()f x 和()g x 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ）A ．()()f x g x +是偶函数B ．()()f x g x -是奇函数C ．()()f x g x +是偶函数D ．()()f x g x -是奇函数 解析：易知：若()f x 是偶函数，则()f x 是偶函数； 若()g x 是奇函数，则()g x 是偶函数，()()f x g x ∴+是偶函数，选A ． 例7、（2009全国卷Ⅱ）函数22log ()2xy x-=+的图像（ ） A ．关于原点对称 B ．关于主线y x =-对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线y x =对称 解析：22log ()2xy x-=+是奇函数， ∴图像关于原点对称． 练习一1、（2013年广东）定义域为R 的四个函数3y x =，2x y =，21y x =+，2sin y x =中，奇函数的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．12、（2012年高考（天津））下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为（ ） A ．cos 2y x = B ．2log ||y x =C ．2x xe e y --= D ．31y x =+3、（2012年高考（陕西））下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A ．1y x =+B ．2y x =-C ．1y x=D ．||y x x =4、（2013年高京）下列函数中，既是偶函数又在区间(0，+ ∞)上单调递减的是 （ ）A ．1y x=B ．x y e -=C ．21y x =-+D ．lg ||y x =5、（2012年高考上海）若(2)()()x x m f x x++=为奇函数，则实数m =______．6、（2007海南、宁夏）设函数(1)()()x x a f x x++=为奇函数，则a = ． 7、（2010浙江）若函数2()()af x x a x=+∈R ，则下列结论正确的是（ ） A ．a ∀∈R ，()f x 在(0,)+∞上是增函数 B ．a ∀∈R ，()f x 在(0,)+∞上是减函数 C ．a ∃∈R ，()f x 是偶函数 D ．a ∃∈R ，()f x 是奇函数题型二、函数的奇偶性求值例8、（2013年山东）已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，21()f x x x=+，则(1)f -=（ ）A ．2-B ．0C ．1D ．2解析：函数()f x 为奇函数，21(1)(1)(1)21f f ∴-=-=-+=-，选A ．例9、（2010年山东）设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22x f x x b =++（b 为常数），则(1)f -=（ ）A ．3-B ．1-C ．1D ．3 解析：函数()f x 为奇函数，且在原点有定义，(0)0f ∴=， 而0(0)2200f b =+⨯+=，1b ∴=-，1(1)(1)(2211)3f f ∴-=-=-+⨯+-=-，选A ．例10、（2013年湖南）已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且(1)(1)2f g -+=，(1)(1)4f g +-=，则(1)g =（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1解析：由()f x 是奇函数，()g x 是偶函数可得：(1)(1)(1)(1)2f g f g -+=-+=，(1)(1)(1)(1)4f g f g +-=+=， (1)3g ∴=，选B ．例11、（2011年广东）设函数3()cos 1f x x x =+，若()11f a =，则()f a -=_______．解析：3y x =是奇函数，cos y x =是偶函数，3cos y x x ∴=是奇函数，由结论1得：()21()9f a f a -=⨯-=-．例12、（2012年高考（课标））设函数22(+1)sin ()1x xf x x +=+的最大值为M ，最小值为m ，则=M m +________．解析：22222(+1)sin 12sin 2sin ()1111x x x x x x xf x x x x +++++===++++， 2sin y x x =+是奇函数，21y x =+是偶函数，∴22sin 1x xy x +=+是奇函数， ()f x ∴的最大值和最小值是对称的，∴若max ()()f x f a =，则min ()()f x f a =-， 由结论1得：()()212M m f a f a +=+-=⨯=．例13、（2011年湖北）已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2x x f x g x a a -+=-+()1,0≠>a a 且，若(2)g a =，则(2)f =（ ）A ．2B ．415 C ．417D ．2a 解析：x x y a a -=-是奇函数，2y =是偶函数，()x x f x a a -∴=-，()2g x =，又(2)g a =，2a ∴=， ()22x x f x -∴=-，15(2)4f ∴=，选B ． 例14、（2011年湖北）若定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()x f x g x e +=，则()g x =（ ）A ．x x e e --B ．1()2x x e e -+C ．1()2x x e e --D ．1()2x x e e --解析：由结论2可得：1()()2x x g x e e -=-，1()()2x x f x e e -=+，选D ．练习二1、（2011年安徽）设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，()f x =22x x -，则(1)f = ．2、（2012年上海）已知()y f x =是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -= ．3、（2012年高考（上海））已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f ．若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g _______ ．4、（2011年湖南）已知()f x 为奇函数，()()9,(2)3,(2)g x f x g f =+-==则 ．题型三、三角函数中的奇偶性例15、（2013年山东）将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为（ ）A ．34π B ．4π C ．0 D ．4π- 解析：函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位后得： sin(2())sin(2)84y x x ππϕϕ=++=++，又sin(2)4y x πϕ=++是偶函数，42k ππϕπ∴+=+，当0k =时，4πϕ=，选B ．例16、（2013年湖北）将函数3cos sin ()y x x x R =+∈的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）A ．12π B ．6π C ．3π D ．56π解析：由辅助角公式可得：3cos sin 2sin()3y x x x π=+=+ ，向左平移(0)m m >个单位长度后得：sin()3y x m π=++，又因为图象关于y 轴对称，32m k πππ∴+=+，当0k =时，m 最小且6m π=．练习三1、（2009年广东）函数22cos 14y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭是（ ）A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 2、（2009年四川卷）已知函数))(2sin()(R x x x f ∈-=π，下面结论错误．．的是（ ） A ．函数)(x f 的最小正周期为2πB ．函数)(x f 在区间[0,]2π上是增函数C ．函数)(x f 的图象关于直线0x =对称D ．函数)(x f 是奇函数3、（2012年天津）设R ϕ∈，则“=0ϕ”是“()=cos(+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4、（2008年广东）已知函数2()(1cos2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 5、（2009天津卷）已知函数()sin()(,0)4f x x x R πωω=+∈>的最小正周期为π，将)(x f y =的图像向左平移||ϕ个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的一个值是（ ）A ．2π B ．83π C ．4π D ．8π6、（2009天津卷）已知函数()sin()(,0)4f x x x R πωω=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ω=的图象，只要将()y f x =的图象（ ）A ．向左平移8π个单位长度B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度。
函数的奇偶性
函数的奇偶性一、定义1、如果对于 A x ∈,都有 ，称()y f x =是偶函数。
2、如果对于 A x ∈,都有 ，称()y f x =是奇函数。
二、函数的奇偶性的几个性质1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于 对称；2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内 一个x 都必须成立；3、可逆性： )()(x f x f =- ⇔)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；4、等价性：)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f ；)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f5、奇函数的图像关于 对称，偶函数的图像关于 对称；6、奇+奇=奇；偶+偶=偶；奇*奇=偶；偶*偶=偶；奇*偶=奇7、一次函数为奇函数⇔ ；二次函数为奇函数⇔8、奇偶性与单调性 奇函数在对称区间(-b,-a)与(a ，b)上增减性相同；偶函数在对称区间(-b,-a)与(a ，b)上增减性相反应用一：奇偶性的理解例1、下面四个结论中，正确命题的个数是（ ）①偶函数的图象一定与y 轴相交；②函数()f x 为奇函数当且仅当(0)0f =；③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数又是偶函数一定是0)(=x f )(R x ∈ A ．1 B ．2 C ．3 D ．4例2、对于定义在R 上的函数，下列说法正确的有 。
（1）f （x ）为偶函数，则)2()2(f f =-。
（2）（2）)2()2(f f =-，则f （x ）为偶函数。
（3）),2()2(f f ≠-则f （x ）不为偶函数。
（4）)2()2(f f =-，则f （x ）不为奇函数。
（5）既是奇函数又是偶函数的函数一定是R x y ∈=,0。
（6）()y f x =在]83,[+a a 上是奇函数，则2-=a 。
例3、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。
1、 若函数为奇函数或偶函数，则其定义域关于原点对称。
（ ）2、 两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。
高一数学 函数奇偶性知识点归纳
函数奇偶性知识点归纳考点分析配经典案例分析函数的奇偶性定义：1．偶函数：一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数．2．奇函数：一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数．二、函数的奇偶性的几个性质1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；3、可逆性：)()(x f x f =-⇔)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；4、等价性：)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f (||)()f x f x ⇔=；)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f ；5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；6、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
7、判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。
8、如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。
并且关于原点对称。
三、关于奇偶函数的图像特征 一般地：奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数； 即：f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称 点（x,y ）→（-x,-y ）偶函数的图像关于y 轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数。
即： f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y 轴对称 点（x,y ）→（-x,y ）奇函数对称区间上的单调性相同（例：奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
）偶函数对称区间上的单调性相反（例：偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减）。
函数的奇偶性十大题型归类总结-高一数学(人教A版2019必修第一册)
（7）定义域：
x2 1
1
x2
0 0
，解得
x
1 ，所以
f
x
0 ，所以
f
x
既是奇函数又为偶函数
（8）定义域： 1 x 0 ，即 x 1 x 1 ，所以 f x 为非奇非偶函数 1 x
【例
2】判断函数
f
(x)
x2
x
2
(x (x
0) 0)
的奇偶性。
【答案】奇函数
【解析】法一：当 x 0 时， x 0，所以 f x x2 x2 f x
1 x2 , x [1, 0) ，
1 x2 , x (0,1]
当 x1，0 时， 0 f x 1;
当 x0，1时， 1 f x 0 ，
故 f x 的值域为 1，1 ，故 B 正确．
由 f 1 f 1 0 可得 f x 不是定义域上的增函数，故 C 错误．
故选：C． 【题型专练】 1.设函数 f(x)，g(x)的定义域都为 R，且 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
奇函数对 B 当 x 0 时， x 0，所以 f x x2 x x2 x f x
当 x 0 时， x 0，所以 f x x2 x x2 x f x ，所以为偶函数
对 C 定义域：1 x2 0 ，即 x 1 x 1 ，所以 x 2 2 x 2 2 x
对 C 定义域： x x 0 ，奇函数除奇函数=偶函数 对 D 定义域： x x 0 ，所以 f x 为非奇非偶函数
5.（2022·全国·高一课时练习）下列函数既是偶函数，又在 (0, ) 上单调递增的是（ ）
A． y x 【答案】C
B． y x2
C． y x
函数的奇偶性单调性最值
x1 x2 0, x1 1 0, x2 1 0.
x1 x2
0,
x1 1 x2 1
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).
故函数f(x)= x 1 在［-1,+∞）上为增函数.
探究提高 对于给出具体解析式的函数，判断或
证明其在某区间上的单调性问题，可以结合定义
2(x2 x1) 0, (x1 1)( x2 1)
即f(x1)-f(x2)>0，所以f(x1)>f(x2).
优秀课件
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故 f (x) 2 在（-1，+∞）上为减函数.
x 1
（2）函数f(x)=-x2+2x+1在［1,+∞）上为减函数，
证明如下：
任取x1、x2∈R，且x2>x1≥1,
则f(x1)-f(x2)=(x21 2x1 1) (x22 2x2 1)
(x22 x21) 2(x1 x2) =(x2+x1)(x2-x1)+2(x1-x2)
=(x2-x1)(x2+x1-2).
∵x2>x1≥1,∴x2-x1>0,x2+x1>2,x2+x1-2>0,
其中能推出函数y=f(x)为增函数的命题为①__③____.
解析 依据增函数的定义可知，对于①③，当自变
量增大时，相对应的函数值也增大，所以①③可推
出函数y=f（x）为增函数.
优秀课件
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单调性性质规律总结:
若函数f(x)，g(x)在给定的区间上具有单调性，利用增(减)函数的定 义容易证得，在这个区间上： (1)函数f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性. (2)C＞0时，函数f(x)与C·f(x)具有相同的单调性；C＜0时，函数
奇偶函数的性质及其应用
奇偶函数的性质及其应用Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】奇偶函数的性质及其应用一、知识点总结奇偶函数的性质1）若函数f（x）是定义在区间d的奇函数，则具备以下性质：a.定义域关于原点对称，即：若定义域为[a,b]，则a+b=0;b.对于定义域内任意x都有f（-x）=-f（x）；c.图像关于原点（0,0）对称；d.若0∈d则f（0）=0;e.奇函数在关于原点对称的区间具有相同的单调性。
2）若函数是定义在区间d的偶函数，则具备以下性质：a.定义域关于原点对称，即：若定义域为[a,b]，则a+b=0;b.对于定义域内任意x都有f（-x）=f（x）=f（|x|）；c.图像关于y轴对称；d.偶函数在关于原点对称的区间具有相反的单调性二、奇偶函数性质的应用热点题型一：利用奇偶性求参数的值例1 已知f（x）=ax2+bx是定义在[a-1,2a]的偶函数，那么a+b的值为.解：∵f（x）是定义在[a-1,2a]的偶函数，∴b=0a-1+2a=0，解得b=0,a=故a+b=.点评：对于多项式型的函数f（x）=a1xn+a2xn-1+…+an，若f（x）为奇函数，则应只保留x的奇次项，若为偶函数则应只保留x的偶次项.故b=0，又奇偶函数定义域关于原点对称，故a-1+2a=0.例2 已知函数f（x）=是定义在r上的奇函数，求a的值.解法一：∵f（x）是定义在r上的奇函数∴f（x）=0，即：=0，∴a=1解法二：∵f（x）是定义r在的奇函数∴f（-x）=-f（x）即：=-整理得（2a-2）（2x+1）=0∴2a-2=0解之得a=1点评：对于奇函数f（x），若0∈f（0）定义域，则此性质可大大减少运算量。
故首选f（0）=0，若0埸定义域，再考虑f（-x）=-f（x），利用恒等式求解。
热点题型二：利用奇偶性求函数解析式例3 已知函数f（x）是定义在r上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x （1+x）求出函数的解析式。
常用的奇偶函数
常用的奇偶函数奇偶函数是数学中常见的一种函数类型，它具有特殊的对称性质。
在日常生活中，我们也可以找到一些奇偶函数的例子，它们存在于各个方面，给我们的生活带来了不少乐趣和启发。
一、奇函数的魅力奇函数是指满足对称性质的函数，即f(x) = -f(-x)。
这种函数的特点是关于原点对称，图像呈现出左右对称的形态。
在生活中，我们可以找到很多奇函数的例子。
1. 自然界中的奇函数在大自然中，存在着许多奇函数的例子。
比如，天空中的云朵形状往往具有奇函数的特点，它们在不同的高度上形成了各种各样的对称形态，给人一种美丽而神秘的感觉。
2. 艺术中的奇函数奇函数的美学特点也被广泛应用于艺术创作中。
绘画、雕塑、音乐等艺术形式中，都可以找到奇函数的身影。
比如，著名的音乐作品《春江花月夜》中，音符的起伏变化呈现出奇函数的特点，给人们带来了一种动人心弦的感觉。
3. 生活中的奇函数除了自然界和艺术领域，奇函数还存在于我们的日常生活中。
比如，钟表的指针运动就是一个奇函数，它们在不同的时间点上呈现出对称的形态。
另外，花朵的形状、人体的结构等也都具有奇函数的特点，给我们的生活带来了美的享受。
二、偶函数的魅力与奇函数不同，偶函数是指满足对称性质的函数，即f(x) = f(-x)。
这种函数的特点是关于y轴对称，图像呈现出上下对称的形态。
在我们的生活中，也可以找到很多偶函数的例子。
1. 几何中的偶函数在几何学中，偶函数也有广泛的应用。
比如，圆的方程就是一个偶函数，它具有关于y轴的对称性质。
另外，对称图形的性质也可以用偶函数来描述，比如正方形、矩形等，它们在对称轴两侧的性质是一样的。
2. 物理中的偶函数在物理学中，偶函数也有着重要的应用。
比如，物体的质量分布、电场的分布等都可以用偶函数来描述。
同时，偶函数还可以用来描述物体的对称性质，比如球体的形状、杆的长度等。
3. 经济中的偶函数在经济学中，偶函数也有一定的应用。
比如，收入分配的曲线往往具有偶函数的特点，即富人和穷人的收入分布呈现出对称的形态。
怎么判断奇偶函数
怎么判断奇偶函数奇偶函数是指具有特定对称性质的函数。
在数学领域中，奇函数和偶函数是两类常见的函数类型。
判断一个函数是奇函数还是偶函数的方法有很多种，下面将介绍几种常见的方法。
一、定义法根据函数定义进行判断是最简单直接的方法。
根据函数的定义：-如果对于每一个x，有f(-x)=-f(x)，那么这个函数是奇函数；-如果对于每一个x，有f(-x)=f(x)，那么这个函数是偶函数。
例如，对于函数f(x)=x^3，我们可以验证：f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)因此，f(x)=x^3是一个奇函数。
二、图像法另一种判断奇偶函数的方法是观察函数的图像。
一般来说，奇函数的图像具有关于原点对称的性质，而偶函数的图像具有关于y轴对称的性质。
例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以通过绘制函数的图像来判断：我们可以看到，f(x)=x^2的图像具有关于y轴对称的性质，即图像的左右两部分完全相同，因此f(x)=x^2是一个偶函数。
再例如，对于函数f(x)=x^3，我们可以通过绘制函数的图像来判断：我们可以看到，f(x)=x^3的图像具有关于原点对称的性质，即图像的左右两部分关于原点对称，因此f(x)=x^3是一个奇函数。
三、导数法奇函数和偶函数还有一个重要的性质是其导函数的性质。
具体来说：-如果一个函数f(x)是奇函数，那么它的导函数f'(x)是偶函数；-如果一个函数f(x)是偶函数，那么它的导函数f'(x)是奇函数。
例如，对于函数f(x) = cos(x)，我们可以通过求导数来判断：f'(x) = -sin(x)我们可以看到，f'(x) = -sin(x)是一个奇函数，因此f(x) = cos(x)是一个偶函数。
再例如，对于函数f(x) = sin(x)，我们可以通过求导数来判断：f'(x) = cos(x)我们可以看到，f'(x) = cos(x)是一个偶函数，因此f(x) = sin(x)是一个奇函数。
高中函数必考知识点总结
高中函数必考知识点总结一、函数的概念与性质1. 函数的概念函数是一种特殊的关系，它是一个或多个自变量和因变量之间的对应关系。
在数学中，通常用f(x)表示函数，其中x为自变量，f(x)为因变量。
函数也可以用y表示，即y=f(x)。
函数的定义域为自变量能取得的值的集合，值域为函数在定义域内所有可能取得的值的集合。
2. 函数的性质（1）定义域和值域：一个函数的定义域和值域是描述这个函数在横坐标和纵坐标上的取值范围。
（2）奇函数与偶函数：奇函数的图像对称于原点，即f(-x)=-f(x)；偶函数的图像对称于y 轴，即f(-x)=f(x)。
（3）周期函数：周期函数是指满足f(x+T)=f(x)的函数，其中T为函数的周期。
（4）单调性：函数在定义域上的单调性分为递增和递减两种情况。
二、函数的图像与性质1. 一次函数（1）一次函数的图像是一条直线，其表达式一般为y=kx+b，其中k为斜率，b为截距。
（2）一次函数的图像是一条直线，斜率k表示了直线的斜率，而截距b表示了直线与y 轴的交点。
2. 二次函数（1）二次函数的图像是一个抛物线，其表达式一般为y=ax^2+bx+c，其中a不为0。
（2）二次函数的顶点坐标为（-b/2a，c-b^2/4a），对称轴方程为x=-b/2a，开口向上或开口向下取决于a的正负。
3. 指数函数（1）指数函数的图像是一条过点（0,1）的递增曲线，其表达式一般为y=a^x，其中a为底数，a>0且a≠1。
（2）指数函数的性质：具有底数为正数，且大于1时函数递增；具有底数为0到1之间的数时函数递减。
（3）指数函数的图像在x轴上没有横截点，y轴上有一个横截点（0,1）。
4. 对数函数（1）对数函数的图像是一条过点（1,0）的递增曲线，其表达式一般为y=loga(x)，其中a为底数，a>0且a≠1。
（2）对数函数的性质：具有底数为正数，且大于1时函数递增；具有底数为0到1之间的数时函数递减。
函数的奇偶性(1)(201911整理)
例2.分析函数 y lg( 2 1) 的图像的对称性 1 x
练:设奇函数f(x)定义域为[-5,5], 若当x [0,5]时,f(x)
的图像如图所示,求不等式f(x)<0的解集
y
-5
-2 0 2
5x
(-2,0) (2,5)
例3.设函数f(x)为R上的偶函数,并且在( ,0] 上单调
高三数学第一轮复习:
7.
知识回顾:
1. 奇函数 偶函数的定义 奇(偶)函数的定义域一定关于原点对称.
问:函数定义域关于原点对称是函数为奇(偶)函数的 必要不充分 条件.
2. 奇函数的图像关于原点对称, 偶函数的图像关于y轴对称. 判断函数奇偶性的方法:
定义法(首先判断函数的定义域是否关于原点对称)
图像法
3. 奇(偶)函数的性质: 1).两个奇函数之积为 偶 函数. 两个偶函数之积为 偶 函数. 一奇和一偶函数之积为 奇 函数
2).奇函数在其定义域上关于原点对称的两个区间上 的单调性 相同 . 偶函数在其定义域上关于原点对称的两个区间上 的单调性 相反 .
例1 判断下例函数的奇偶性
(1)
f
作业: <数学之友> P7
y
0
x
f(x)=x3
y0xຫໍສະໝຸດ f(x)=x2递增, 问a为何值时,f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1)
例4. 已知图(1)中图像对应的函数为y=f(x), 求图(2)中图像对应的函数解析式.
y
y
-3
0
x
(1)
-3
0 3x
(2)
小结:
1.奇(偶)函数的定义及其图像的性质特征 2.会判断一个函数的奇偶性 3.奇(偶)函数的性质 4.函数奇偶性的应用
偶函数知识点总结
偶函数知识点总结在数学中，偶函数是指满足以下性质的函数：对于函数中的任意x，如果f(-x) = f(x)，即函数在x = -x处的函数值相等，那么该函数就被称为偶函数。
简单来说，偶函数的图像以y轴为对称轴，即关于y轴对称。
在本篇文章中，我将总结偶函数的性质、图像特点以及相关的数学公式等知识点，以便帮助学生更好地理解和掌握偶函数的概念。
一、偶函数的性质1. 偶函数满足f(-x) = f(x)，即对于函数中的任意x，如果函数在x = -x处的函数值相等，则该函数为偶函数。
2. 偶函数的定义域可以是任意实数，但其值域通常是非负实数。
3. 偶函数的图像关于y轴对称。
4. 偶函数的奇次幂项系数为0，即偶函数中只包含偶次幂项。
5. 偶函数在原点处是对称的，即f(0) = 0。
二、偶函数的图像特点1. 偶函数的图像以y轴为对称轴，即关于y轴对称。
2. 当x > 0时，偶函数的图像在第一象限和第四象限上均为正值；当x < 0时，偶函数的图像在第二象限和第三象限上均为正值。
3. 偶函数的图像通常是光滑的曲线，对称轴上的对称性使得图像具有特定的几何形状。
4. 一些常见的偶函数的图像特点如正弦函数、余弦函数以及二次函数等。
三、偶函数的数学公式1. 偶函数的一般表示形式为f(x) = a0 + a2x^2 + a4x^4 + ... + a2nx^2n，其中n为正整数，a0、a2、a4、...、a2n为常数项。
2. 正弦函数是一个经典的例子，其数学公式为f(x) = sin(x)，满足f(-x) = sin(-x) = -sin(x)，即为偶函数。
3. 余弦函数是另一个经典的例子，其数学公式为f(x) = cos(x)，满足f(-x) = cos(-x) = cos(x)，也是偶函数。
4. 二次函数f(x) = ax^2 + bx + c也是一个常见的偶函数，其中a为非零常数。
四、偶函数的性质运用1. 利用偶函数的对称性，可以简化一些函数的求导和积分运算。