(名师整理)最新数学中考专题复习《四点共圆题型》考点精讲精练课件
专题 四点共圆模型(老师版)
专题07四点共圆模型四点共圆是初中数学的常考知识点，近年来，特别是四点共圆判定的题目出现频率较高。
相对四点共圆性质的应用，四点共圆的判定往往难度较大，往往是填空题或选择题的压轴题，而计算题或选择中四点共圆模型的应用（特别是最值问题），通常能简化运算或证明的步骤，使问题变得简单。
本文主要介绍四点共圆的四种重要模型。
四点共圆：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。
模型1、定点定长共圆模型（圆的定义）【模型解读】若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。
这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。
条件：如图，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD，结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。
例1、（2023•连云港期中）如图，点O为线段BC的中点，点A、C、D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是．【分析】根据题意得到四边形ABCD共圆，利用圆内接四边形对角互补即可求出所求角的度数．【详解】由题意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圆O，如图所示，∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝40°，∴∠ADC＝140°，故答案为：140°．【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解本题的关键．例2．（2022·安徽合肥·校考一模）如图，O 是AB 的中点，点B ，C ，D 到点O 的距离相等，连接AC BD ，．下列结论不一定成立的是（）A ．12∠=∠B ．3=4∠∠C ．180ABC ADC ∠+∠=︒D ．AC 平分BAD∠【答案】D 【分析】以点O 为圆心，OA 长为半径作圆．再根据圆内接四边形的性质，圆周角定理逐项判断即可．【详解】如图，以点O 为圆心，OA 长为半径作圆．由题意可知：OA OB OC OD ===．即点A 、B 、C 、D 都在圆O 上．A ．∵AB AB =，∴12∠=∠，故A 不符合题意；B ．∵BC BC =，∴3=4∠∠，故B 不符合题意；C ．∵四边形ABCD 是O 的内接四边形，∴180ABC ADC ∠+∠=︒，故C 不符合题意；D ．∵BC 和CD 不一定相等，∴BAC ∠和DAC ∠不一定相等，∴AC 不一定平分BAD ∠，故D 符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查圆周角定理及其推论，充分理解圆周角定理是解答本题的关键．例3．（2023·陕西·九年级期中）如图，已知AB=AC=AD ，∠CBD=2∠BDC ，∠BAC=44°，则∠CAD 的度数为（）A ．68°B ．88°C ．90°D ．112°【答案】B 【详解】试题分析：本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的关键．根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC=∠ACB ，再求出∠CBD ，然后根据∠ABD=∠ABC ﹣∠CBD 计算即可得解．如图，∵AB=AC=AD ，∴点B 、C 、D 在以点A 为圆心，以AB 的长为半径的圆上；∵∠CBD=2∠BDC ，∠CAD=2∠CBD ，∠BAC=2∠BDC ，∴∠CAD=2∠BAC ，而∠BAC=44°，∴∠CAD=88°，例4．（2022·绵阳市4模型2、定边对双直角共圆模型同侧型异侧型1）定边对双直角模型（同侧型）条件：若平面上A 、B 、C 、D 四个点满足90ABD ACD ∠=∠=︒，结论：A 、B 、C 、D 四点共圆，其中AD 为直径。
专题29 四点共圆问题(教师版)-2021年中考数学模型技巧讲义(二轮)
专题29 四点共圆问题【规律总结】1、四点共圆：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。
四点共圆有三个性质：（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；（2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的外角等于内对角。
2、判定定理：方法1：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。
（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆）方法2 ：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。
（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆）【典例分析】例1．（2021·沭阳红岩学校九年级期末）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=，3BC =，4AC =，点P 为平面内一点，且CPB A ∠=∠，过C 作CQ CP ⊥交PB 的延长线于点Q ，则CQ 的最大值为（ ）A ．175B ．154CD 【答案】B【分析】根据题意可得A 、B 、C 、P 四点共圆，由AA 定理判定三角形相似，由此得到CQ 的值与PC 有关，当PC 最大时CQ 即取最大值．【详解】解：∵在Rt ABC △中，90ACB ∠=，CPB A ∠=∠，3BC =，4AC =∵A 、B 、C 、P 四点共圆，AB 为圆的直径，5=∵CQ CP ⊥∵90ACB PCQ ∠=∠=∵∵ABC∵∵PQC ∵AC PC BC CQ =， 43PC CQ =，即34CQ=PC ∵当PC 取得最大值时，CQ 即为最大值∵当PC=AB=5时，CQ 取得最大值为154故选：B ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质以及四点共圆，掌握同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等确定四点共圆，利用相似三角形性质得到线段间等量关系是解题关键．例2．（2019·上海市市西初级中学八年级期末）如图，AB 是Rt ABC 和Rt ABD △的公共斜边，AC=BC ，32BAD ∠=，E 是AB 的中点，联结DE 、CE 、CD ，那么ECD ∠=___________________．【答案】13【分析】先证明A、C、B、D四点共圆，得到∵DCB与∵BAD的是同弧所对的圆周角的关系，得到∵DCB 的度数，再证∵ECB=45°，得出结论．【详解】解：∵AB是Rt∵ABC和Rt∵ABD的公共斜边，E是AB中点，∵AE=EB=EC=ED，∵A、C、B、D在以E为圆心的圆上，∵∵BAD=32°，∵∵DCB=∵BAD=32°，又∵AC=BC，E是Rt∵ABC的中点，∵∵ECB=45°，∵∵ECD=∵ECB-∵DCB=13°．故答案为：13．【点睛】本题考查直角三角形的性质、等腰三角形性质、圆周角定理和四点共圆问题，综合性较强．例3．（2020·北京市三帆中学九年级期中）已知：过O上一点A作两条弦AB、AC，且∠=︒，（AB、AC都不经过O）过A作AC的垂线AF，交O于D，直线BD，45AAC 交于点E ，直线BC ，AD 交于点F .（1）请在图1中，按要求补全图形；（2）在图2中探索线段BE 和BF 的数量关系，并证明你的结论；（3）探索线段AB 、AE 、AF 的数量关系，并直接写出你的结论________.【答案】（1）见解析；（2）BE BF =，理由见解析；（3）AE AF =【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）连接EF ，CD ，取EF 中点G 连接BG 、AG ，证明B 、E 、A 、F 四点共圆进而可证出结论；（3）由（2）知，点A 、B 、E 、F 四点共圆，连接CD ，交AB 于点P ，则CD 过圆心O ，由证得出∵ACB∵∵APD∵CPB ，进而可证AC AD +=，由等量代换可得出结论．【详解】解：（1）补全图形（2）BE BF =证明：连接EF ，CD ，CD 过圆心O ，CD 为直径，取EF 中点G 连接BG 、AG ∵AF AE ⊥，∵DBF=90°，∵90EBF FAE ∠=∠=︒∵EG AG =∵EG BG AG GF ===∵B 、E 、A 、F 在圆G 上，∵∵1=∵2，∵∵DAE=90°，∵BAD=45°，∵∵2=∵BAD=45°，又∵∵EBF=90°，∵∵BEF=45°=∵1，∵BE BF =，故答案为：BE BF =；（3）由（2）知，点A 、B 、E 、F 四点共圆，连接CD ，交AB 于点P ，则CD 过圆心O ， ∵∵BEA=∵BFA ，BE BF =，∵EBC=∵DBF=∵DAE=90°，∵∵EBC∵∵FBD ，∵BC=BD ，CE=DF ，在∵ACB 和∵APD 中，∵CAB=∵DAB=45°，∵ABC=∵ADC ，∵BCD=45°，∵∵ACB∵∵APD∵CPB ， ∵,AC AB BC AB AP AD BE BC==， ∵2,AC AD AP AB BC BP AB ⋅=⋅=⋅，CD 为直径，2222==2AC AD CD BC +，∵()222+2AC AD AC AD AC AD =++⋅=222BC AC AD +⋅=22BP AB AP AB ⋅+⋅=()2AB BP AP ⋅+=22AB ，∵AC AD +=，，∵AE AF =+，故答案为：AE AF =+．【点睛】本题考查了四点共圆的证明，圆的性质以及性质应用，勾股定理的应用，熟练掌握圆的性质是解题的关键．【好题演练】一、单选题1．（2020·浙江杭州市·九年级专题练习）如图，圆上有A 、B 、C 、D 四点，其中80BAD ∠=︒，若弧ABC 、弧ADC 的长度分别为7π、11π，则弧BAD 的长度为（ ）A ．4πB ．8πC ．10πD ．15π【答案】C【分析】先求出圆的周长，再根据圆内接四边形的性质可得100C ∠=︒，然后根据圆周角定理可得弧BAD 所对圆心角的度数，最后根据弧长的定义即可得．【详解】弧ABC 、弧ADC 的长度分别为7π、11π∴圆的周长为71118πππ+=80BAD ∠=︒100C ∴∠=︒（圆内接四边形的对角互补）∴弧BAD 所对圆心角的度数为2200C ∠=︒则弧BAD 的长度为2001810360ππ⨯= 故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长的定义、圆内接四边形的性质，熟记圆的相关定理与性质是解题关键．2．（2019·浙江绍兴市·九年级期中）如图1，在等腰三角形ABC 中，AB=AC=4，BC=6．如图2，在底边BC 上取一点D ，连结AD ，使得∠DAC=∠ACD ．如图3，将∠ACD 沿着AD 所在直线折叠，使得点C 落在点E 处，连结BE ，得到四边形ABED ．则BE 的长是（ ）A ．1B ．65C ．3215D ．174【答案】A【分析】只要证明ABD MBE ∆∆∽，得AB BD BM BE =，求出BM 、BD 即可解决问题． 【详解】解：AB AC =，ABC C ∴∠=∠，DAC ACD ∠=∠，DAC ABC ∴∠=∠，C C ∠=∠，CAD CBA ∴∆∆∽， ∴CA CD CB CA ， ∴464CD =， 83CD ∴=，810633BD BC CD =-=-=， DAM DAC DBA ∠=∠=∠，ADM ADB ∠=∠，ADM BDA ∴∆∆∽，∴AD DM BD DA =，即8310833DM =， 3215DM ∴=，103263155MB BD DM =-=-=， ABM C MED ∠=∠=∠，A ∴、B 、E 、D 四点共圆，ADB BEM ∴∠=∠，EBM EAD ABD ∠=∠=∠，ABD MBE ∴∆∆∽， ∴AB BD BM BE=， 6105314BM BD BE AB ⨯∴===．故选：A ．【点睛】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是充分利用相似三角形的性质解决问题，本题需要三次相似解决问题，题目比较难，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题3．（2020·黑龙江哈尔滨市·）如图，等边∠ABC 中，D 在BC 上，E 在AC 上，BD ＝CE ，连BE 、AD 交于F ，T 在EF 上，且DT ＝CE ，AF＝50，TE ＝16，则FT ＝_____．【答案】17【分析】用“SAS”可判定∵ABD∵∵BCE ，得到∵AFE=60°，延长FE 至点G ，使得FG=FA ，连AG ，AT ，得到∵AFG 是等边三角形，证明A 、B 、D 、T 四点共圆，设法证明∵FAT∵∵GAE （ASA ），即可求得答案．【详解】∵∵ABC 为等边三角形，∵AB=AC=BC ，∵ABD=∵BCE=60°，在∵ABD 和∵BCE 中，60AB BC ABD BCE BD CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∵∵ABD∵∵BCE （SAS ），∵∵BAD=∵CBE ，∵∵ADC=∵CBE+∵BFD=∵BAD+∵B ，∵∵BFD=∵B=∵AFE=60°；延长FE 至点G ，使得FG=FA ，连AG ，AT ，∵∵AFE=60°，∵∵AFG 是等边三角形，∵AG=AF=FG=50，∵AGF=∵FAG=60°，∵∵BAF+∵EAF =∵CAG+∵EAF =60°，∵∵BAF=∵CAG ，∵DT=CE ，∵∵DBT=∵BTD ，∵∵BAD=∵CBE ，∵∵BAD=∵BTD ，∵A 、B 、D 、T 四点共圆，∵∵BAD=∵DAT ，∵∵FAT=∵GAE ，在∵FAT 和∵GAE 中，60FAT GAE AF AG AFG AGF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∵∵FAT∵∵GAE （ASA ），∵FT= GE ，∵FG=50，TE=16， ∵FT=12(FG - TE)=17． 故答案为：17．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等，作出辅助线，判断出∵FAT∵∵GAE 是解本题的关键．4．（2020·西安市铁一中学九年级二模）如图，正方形ABCD 中，9AB =，点E 为AD 上一点，且:1:2AE ED =，点P 为边AB 上一动点，连接PE ，过点E 作EF PE ⊥，交射线BC 于点F ，连接PF ，点M 为PF 中点，连接DM ，则DM 的最小值为________．【答案】10【分析】由已知可得AE=3，DE=6，又AB=9，90A ︒∠=，由勾股定理得=90PEF ︒∠=，90PBF ︒∠=，M 为PF 中点，可知M 为四边形BFEP 外接圆的圆心，BE 为圆M 的弦，故圆心M 在线段BE 的垂直平分线上，作线段BE 的垂直平分线GH 交BE 于G ，交CD 于H ，过点D 作DM GH ⊥于M ，此时的线段DM 即为所求最小值，过点E 作EN DM ⊥于N ，则四边形EGMN 为矩形，可得90GEN ︒∠=，GE=MN ，可证ABE NED ，可得AE BE DN DE =，代入数据得：，又，可得DM 的长度．【详解】∵:1:2AE ED =，AD=AB=9，∵AE=3，DE=6，又∵AB=9，90A ︒∠=，=∵90PEF ︒∠=，90PBF ︒∠=，∵B 、F 、E 、P 四点共圆，且PF 为直径，∵M 为PF 中点，∵M 为四边形BFEP 外接圆的圆心，∵E 、B 为定点，∵BE 为圆M 的弦，∵圆心M 在线段BE 的垂直平分线上，如下图，作线段BE 的垂直平分线GH 交BE 于G ，交CD 于H ，过点D 作DM GH ⊥于M ，此时的线段DM 即为所求最小值，过点E 作EN DM ⊥于N ，则四边形EGMN 为矩形，∵90GEN ︒∠=，GE=MN,∵90AEB DEN ︒∠+∠=，∵90A ︒∠=，∵90ABE AEB ︒∠+∠=，∵=DEN ABE ∠∠，又∵==90A DNE ︒∠∠，∵ABE NED ， ∵AE BE DN DE=，即3DN =解得：∵BE=∵EG= ，，+2=10．【点睛】本题考查了圆内接四边形，圆的对称性，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理及其逆定理确定四点共圆是解题的关键．三、解答题5．（2020·沭阳县修远中学九年级期中）在边长为12cm 的正方形ABCD 中，点E 从点D 出发，沿边DC 以1cm/s 的速度向点C 运动，同时，点F 从点C 出发，沿边CB 以1cm/s 的速度向点B 运动，当点E 达到点C 时，两点同时停止运动，连接AE 、DF 交于点P ，设点E ． F 运动时间为t 秒．回答下列问题：(1)如图1，当t 为多少时，EF 的长等于(2)如图2，在点E 、F 运动过程中，①求证：点A 、B 、F 、P 在同一个圆(∠O)上；②是否存在这样的t 值，使得问题①中的∠O 与正方形ABCD 的一边相切?若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；③请直接写出问题①中，圆心O 的运动的路径长为_________．【答案】（1）t=4或8；（2）①证明见解析；②存在，t=3或12；③6cm ．【分析】（1）由题意易得DE=CF=t ，则有EC=12-t ，然后利用勾股定理求解即可；（2）①由题意易证∵ADE∵∵DCF ，则有∵CDF=∵DAE ，然后根据平行线的性质可得∵APF=90°，进而可得∵B+∵APF=180°，则问题得证；②由题意可知当∵O 与正方形ABCD 的一边相切时，可分两种情况进行分类讨论求解：一是当圆与AD 相切时，一是当圆与边DC 相切时；③由动点E 、F 在特殊位置时得出圆心O 的运动轨迹，进而求解即可．【详解】解：（1）由题意易得：DE=CF=t ，四边形ABCD 是正方形，∴AB=CD=BC=AD=12cm ，∵C=∵B=∵ADC=∵DAB=90°，∴ EC=12-t ，EF 的长等于，∴在Rt∵CEF 中，222EF EC CF =+，即(()22212t t =-+解得124,8t t ==；（2）①由（1）可得AB=CD=BC=AD=12cm ，∵C=∵B=∵ADC=∵DAB=90°，DE=CF=t ， ∴∵ADE∵∵DCF ，∴∵CDF=∵DAE ，∵CDF+∵PDA=90°，∴∵DAE+∵PDA=90°，∴∵ADP=∵APF=90°，∴∵APF+∵B=180°，由四边形APFB 内角和为360°可得：∵PAB+∵PFB=180°，∴点A 、B 、F 、P 在同一个圆(∵O)上；②由题意易得：当∵O 与正方形ABCD 的一边相切时，只有两种情况；a 、当∵O 与正方形ABCD 的边AD 相切时，如图所示：由题意可得AB 为∵O 的直径，∴t=12；b 、当∵O 与正方形ABCD 的边DC 相切于点G 时，连接OG 并延长交AB 于点M ，过点O 作OH∵BC 交BC 于点H ，连接OF ，如图所示：∴OG∵DC ，GM∵AB ，HF=HB ，∴四边形OMBH 、GOHC 是矩形，∴OH=BM=GC ，OG=HC ，AB=BC=12cm ，∴OH=6，CF=t ，BF=12-t ， ∴126,662222t t t t HF CH OG OF t -==-===+-=+， 在Rt∵FOH 中，222OF OH FH =+，即2226+6622t t ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得：3t =；综上所述：当3t =或t=12时，∵O 与正方形ABCD 的边相切；③由（1）（2）可得：当点E 与点D 重合及点F 与点C 重合时，圆心在正方形的中心上；当点E 与点C 重合及点F 与点B 重合时，圆心在AB 的中点上，故圆心的运动轨迹为一条线段，如图所示：∴OP 即为圆心的运动轨迹，即OP=6cm ．故答案为6cm ．【点睛】本题主要考查圆的综合，熟练掌握圆的性质及切线定理解题的关键，注意运用分类讨论思想解决问题．6．（2020·安徽芜湖市·芜湖一中九年级）已知AD 为锐角ABC ∆的高，G 为AC 中点，DE AB ⊥于点E ，延长ED 至F ，使得GF GD =．（1）证明：AED AFC ∆∆；（2）证明：22AE CF BE AF ⋅=⋅；（3）若6,7,8AB BC CA ===，求四边形ACFD 的面积．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）16【分析】（1）通过GA GD GC GF ===得A ，D ，F ，C 四点共圆，得到ADE ACF ∠=∠，结合90AED AFC ︒∠=∠=，证得AEDAFC ∆∆； （2）通过Rt AED Rt AFC ∆∆，Rt AED Rt DEB ∆∆证得22AE CF BE AF ⋅=⋅； （3）利用勾股定理求得AD ，BD ，CD ，在Rt ADB ∆中，求出DE ，AE ，得出ADE S ∆，借助2()ACF ADE S AC S AD∆∆=，求得ACF S ∆，再用Rt AEF Rt ADC ∆∆，得到2()AEF ADC AE S S AD ∆∆=⋅，最后ACFD AEF ACF AED S S S S ∆∆∆∆=+-．【详解】解：（1）∵GA GD GC GF ===∵,,,A D F C 四点共圆∵90AFC ADC ︒∠=∠=又∵ADE ACF ∠=∠∵Rt AED Rt AFC ∆∆（2）由（1）Rt AEDRt AFC ∆∆ ∵AF AE CF ED= 又∵Rt AEDRt DEB ∆∆ ∵AF AE DE CF ED EB== ∵2()AF AE DE AE CF ED EB EB =⋅= 即22AE CF BE AF ⋅=⋅（3）∵222236(7)64AD BD AD BD ⎧+=⎨+-=⎩∵311,22AD BD CD === ∵Rt ADB ∆中，2458AD BD AD DE AE AB AB ⋅====∵128ADE S ∆=而2()ACF ADE S AC S AD∆∆=∵ACF S ∆=同理利用Rt AEF Rt ADC ∆∆得到2()AEF ADC AE S S AD ∆∆=⋅=∵ACFD AEF ACF AED S S S S ∆∆∆∆=+-=． 【点睛】本题考查了四点共圆的判断，圆内接四边形的性质，圆周角定理的应用，相似三角形的证明，不规则图形的面积的求法，熟练掌握其中的联系，是解题的关键．。
专题1.5 最值问题-隐圆模型之四点共圆
∠BAD=∠EAC=α,连接CD,BE相交于点P.
(1)求∠BPD的度数(用含α的代数式表示)；
(2)连接AP,求证：∠APD=∠ABD.
A D
OP
E
B
C
模型解读---手拉手(双子型)中的四点共圆
D 条件：△OCD∽△OAB
O
结论：①△OAC∽△OBD
E C ②AC与BD交于点E,必有∠AEB=∠AOB；
3.定弦中最小的圆是以该弦为直径的圆。
E
D
A
C
A
B
O
B O
F
典型例题---直径是圆中最长的弦
【例3】在△ABC中,∠ACB=90º,AC=6,BC=8,O为AB的中点,过O作
OE⊥OF,OE、OF分别交射线AC,BC于E、F,则EF的最小值为? A
【简答】∵∠EOF=∠C=90º,∴C,O均在以
EF为直径的圆上∵EF是圆的直径,O、C均
F M
D
C
E
O
A
B
当堂训练---对角互补型四点共圆
1.如图,在四边形ABCD中,∠B=60º,∠D=120º,BC=CD=a,
则AB-AD=( C )
A. a
B.
3 a
C.a
D. 3a
2
2
D
a
120º
C
a
A
60º 60º
Ea
B
当堂训练---对角互补型四点共圆
2.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,连接EF.
典型例题---对角互补型四点共圆
【例1】如图,正方形ABCD绕点A逆时针旋转到正方形AEFG,连接 BE,延长BE交于CF于点M,求证：M是线段CF的中点.
高中数学竞赛平面几何讲座第4讲--四点共圆问题
第四讲 四点共圆问题“四点共圆"问题在数学竞赛中经常出现,这类问题一般有两种形式:一是以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段,为解决其他问题铺平道路。
判定“四点共圆”的方法,用得最多的是统编教材《几何》二册所介绍的两种（即P 89定理和P 93例3)，由这两种基本方法推导出来的其他判别方法也可相机采用。
1 “四点共圆”作为证题目的例1．给出锐角△ABC ，以AB 为直径的圆与AB 边的高CC ′及其延长线交于M ,N .以AC 为直径的圆与AC 边的高BB ′及其延长线将于P ，Q .求证：M ，N ,P ，Q 四点共圆.（第19届美国数学奥林匹克）分析：设PQ ，MN 交于K 点，连接AP ，AM .欲证M ，N ，P ，Q 四点共圆,须证MK ·KN ＝PK ·KQ ，即证（MC ′—KC ′)(MC ′+KC ′) ＝（PB ′—KB ′)·（PB ′+KB ′） 或MC ′2-KC ′2=PB ′2-KB ′2. ①不难证明 AP =AM ，从而有 AB ′2+PB ′2=AC ′2+MC ′2。
故 MC ′2-PB ′2=AB ′2—AC ′2=（AK 2-KB ′2）-（AK 2—KC ′2）=KC ′2-KB ′2。
②由②即得①,命题得证.例2．A 、B 、C 三点共线,O 点在直线外，O 1，O 2，O 3分别为△OAB ，△OBC ,△OCA 的外心。
求证:O ，O 1，O 2， O 3四点共圆.（第27届莫斯科数学奥林匹克）分析：作出图中各辅助线.易证O 1O 2垂直平分OB ，O 1O 3垂直平分OA 。
观察△OBC 及其外接圆，立得∠OO 2O 1=21∠OO 2B =∠OCB 。
观察△OCA 及其外接圆，立得∠OO 3O 1=21∠OO 3A =∠OCA 。
由∠OO 2O 1=∠OO 3O 1 O ,O 1，O 2，O 3共圆。
2024年广东九年级中考数学专题复习课件专题七+++隐圆与四点共圆
10. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，现有一根 长为2的木棒EF紧贴着矩形的边(即两个端点始终在矩 形的边上)，按逆时针方向滑动一周，则木棒EF的中 点P在运动过程中所产生 的运动轨迹长度为__2_π_＋__2__．
11．(2023·广州)如图，在正方形ABCD中，E为边AD上 的动点(不与点A，D重合)，边BC关于BE对称的线段 为BF，连接AF.
解：∵∠ADE＝∠ABE＝90°， ∴A，D，B，E四点共圆，AE为四点所在圆的直径． 又∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠AED＝∠ABD＝45°. ∴△DAE为等腰直角三角形．
∴AE＝ 2 AD＝2 2 .
5 对角互补的四边形的顶点共圆 8．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠BAD＝
1 到定点距离相等的各点共圆 几何语言：如图，∵OA＝OB＝OC＝OD， ∴A，B，C，D四点共圆．
2 同斜边的两个直角三角形的顶点共圆 几何语言：如图，∵∠B＝∠D＝90°，∴A，B，C，D 四点共圆．证明提示：取斜边中点，
连接OD，OB.
3 对角互补的四边形的顶点共圆 几何语言：如图，∵∠A＋∠C＝180°，∴A，B，C， D四点共圆．
＝∠CBN＋∠ABN ∴∠AGC＝＝9900°°.. ∴A，B，C，D，G五点共圆． ∵△GBF≌△GBC，
∴当G为 AD 的中点时，边BC上的高最大，S△GBC最 大．如图，过点G作GH⊥BC于点H.
则GH过圆心O，即过正方形中心O.
∴GH＝OH＋OG＝
1 2
AB＋
2 2
AB.
∴S△BGF＝S△GBC＝
60°，∠BCD＝120°，四边形ABCD的周长是否存 在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说 明理由．
四川省成都地区中考数学第二部分系统复习专题9四点共圆巧解中考题课件
∴PA＝(4 3－3)k.∴PH＝4 3k.
DH 3 ∴在 Rt△PDH 中，tan∠P＝PH＝ 3 . ∴∠P＝30°，∠PDH＝60°. ∵PD⊥DO， ∴∠BDE＝90°－∠PDH＝30°. 连接 BE，则∠DBE＝90°，DE＝2r＝50， ∴BD＝DE·cos 30°＝25 3.
方法提炼
1.四点共圆 如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四 个点共圆，一般简称为“四点共圆”． 2．四点共圆的性质 (1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的 顶角相等． (2)圆内接四边形的对角互补． (3)圆内接四边形的一个外角等于它的内对角．
方法提炼
3．四点共圆的判定 (1)用“角”判定： ①一组对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上； ②一个外角等于它的内对角的四边形的四个顶点在同一个圆 上； ③如果两个三角形有一条公共边，且位于公共边同侧的两个 角相等，则这两个三角形的四个顶点在同一个圆上． (2)“等线段”判定： 四顶点到同一点的距离相等，若OA＝OB＝OC＝OD，则A，B，C， D四点共圆． (3)用“比例线段”判定： 若线段AB，CD(或其延长线)交于点P，且PA·PC＝PB·PD，则 A，B，C，D四点共圆.
∵∠DBE＝∠DBE，∴△BOF∽△BED. BO OF 3
∴BE＝DE＝10 5. 6
∵DE＝4，∴OF＝5 5.
∴BF＝59 10.
课堂精讲
方法二：如图，∵∠BOC＝∠BFC＝90°，
∴B，C，F，O 四点共圆．
∴∠1＝∠2＝45°.
∵∠2＝∠3＝45°，∴∠1＝∠3＝45°.
∵∠DBE＝∠FBO，∴△BOF∽△BED.
第 8 题图
课后精练
四点共圆公开课教案教学设计课件资料
四点共圆公开课教案教学设计课件资料一、教学目标1. 让学生理解四点共圆的定义及性质。
2. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生合作交流、思考创新的能力。
二、教学内容1. 四点共圆的定义及判定方法。
2. 四点共圆的性质及其应用。
3. 运用四点共圆解决实际问题。
三、教学重点与难点1. 重点：四点共圆的定义、性质及应用。
2. 难点：四点共圆的判定方法及运用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究四点共圆的性质。
2. 利用多媒体课件，直观展示四点共圆的实例。
3. 组织小组讨论，培养学生的合作交流能力。
4. 结合实际问题，锻炼学生的解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过展示生活中的四点共圆现象，引导学生关注四点共圆。
2. 探究四点共圆的定义：让学生通过观察、讨论，总结出四点共圆的定义。
3. 学习四点共圆的性质：引导学生发现四点共圆的性质，并运用性质解决问题。
4. 判定方法的学习：讲解四点共圆的判定方法，并通过实例进行分析。
5. 实践应用：让学生运用所学知识解决实际问题，巩固所学内容。
6. 课堂小结：总结本节课的主要内容，强调四点共圆的定义、性质及应用。
7. 作业布置：布置适量作业，巩固所学知识。
六、教学评价1. 评价目标：检查学生对四点共圆定义、性质和判定方法的理解及应用能力。
2. 评价方法：a. 课堂问答：通过提问，了解学生对四点共圆基本概念的理解。
b. 练习题：设计不同难度的练习题，评估学生对知识的掌握程度。
c. 小组讨论：评估学生在小组中的合作交流和问题解决能力。
d. 课后作业：通过作业提交，检查学生的学习效果和应用能力。
七、教学反思1. 教师在课后应对本节课的教学效果进行反思，包括：a. 学生对四点共圆概念的理解程度。
b. 教学方法的使用是否得当，学生参与度如何。
c. 教学内容的难易程度是否适合学生。
d. 课堂管理和学生提问的处理情况。
2. 根据反思结果，调整教学策略，为后续课程做准备。
专题23 四点共圆九年级数学全一册重点题型通关训练(人教版)(原卷版)
专题二十三四点共圆【导例】如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BA延长线上，点E在BC边上，∠CAE=2∠ACD，∠BAE=60°．求证：A，E，C，D四点共圆．【方法点睛】如何判断四点共圆：①四边形对角互补②借助同弦所对的圆周角相等，如：∠ADB=∠ACB，可判断ADCB四点共圆.借助四点共圆，能轻松得出构成同弦的圆周角相等.【典例精讲】【例1】如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠ABD=72°，求∠CAD 的度数.【例2】如图，若D为等腰Rt△ABC的边BC上一点，且DE⊥AD，BE⊥AB，AD=2，求AE的长.【专题过关】1. 如图，已知∠ADB=∠ACB=60°，∠BAD=65°，则∠ACD=____.2. 如图，△ABC中，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，且∠ADC=120°．求证：AD=DC．3. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4，D是BC中点，∠CAD=∠CBE，求AE的长度.【专题提升】4.如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在线段BC，CD上，且CF=3，CE=2，若点M，N分别在线段AB，AD上运动，P为线段MF上的点，在运动过程中，始终保持∠PEB=∠PFC，则线段PN的最小值为_____.5如图，在△ABC中，∠B=75°，∠C=45°，AC=2√2，点P是BC上一动点，PE⊥AB于E，PD⊥AC于D．无论P的位置如何变化，线段DE的最小值为____.6.△ABC是等边三角形，点D是△ABC内一点，连接CD，将线段CD绕C逆时针旋转60°得到线段CE，连接BE，DE，AD，并延长AD交BE于点F．当点D在如图所示的位置时.（1）求∠AFB的度数；（2）直接写出线段FD，FE，FC之间的数量关系：____________.7. 如图，在等腰△ABC中，AB=AC=√5，D为BC边上异于中点的点，点C关于直线AD的对称点为点E，EB的延长线与AD的延长线交于点F，求AD•AF的值.。
初中数学重点梳理：四点共圆
四点共圆知识定位圆在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，它的有关知识如圆与正多边形的关系，圆心角、三角形外接圆、弧、弦、弦心距间的关系，垂径定理，圆内接四边形的性质和判定，点、直线、圆和圆的位置关系是今后我们学习综合题目的重要基础，必须熟练掌握。
本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中圆的内接四边形相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理1、四点共圆：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。
四点共圆有三个性质：（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；（2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的外角等于内对角。
2、判定定理：方法1：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。
（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆）方法2 ：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。
（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆）3、托勒密定理：若ABCD四点共圆（ABCD按顺序都在同一个圆上），那么AB*DC+BC*AD=AC*BD。
托勒密定理逆定理：对于任意一个凸四边形ABCD，总有AB*CD+AD*BC≥AC*BD，等号成立的条件是ABCD四点共圆。
4、证明方法：（1）从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆周上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆（2）被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等(同弧所对的圆周角相等），从而即可肯定这四点共圆。
几何描述：四边形ABCD中，∠BAC=∠BDC，则ABCD四点共圆。
证明：过ABC作一个圆，明显D一定在圆上。
四点共圆公开课教案教学设计课件资料
四点共圆公开课教案教学设计课件资料教学目标：1. 让学生理解四点共圆的定义和性质。
2. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
3. 培养学生的观察能力、推理能力和团队合作能力。
教学重点：1. 四点共圆的定义和性质。
2. 运用四点共圆解决实际问题。
教学难点：1. 四点共圆的证明。
2. 灵活运用四点共圆解决复杂问题。
教学准备：1. 教学课件。
2. 几何图形工具。
3. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用课件展示生活中的圆形现象，如太阳、地球、圆桌等，引导学生关注圆形的特征。
2. 提问：你们知道圆形有哪些性质吗？二、新课导入（10分钟）1. 介绍四点共圆的定义：在平面上有四个点，若这四个点恰好在同一个圆上，则称这四个点为四点共圆。
2. 引导学生通过观察和推理，总结四点共圆的性质。
三、案例分析（10分钟）1. 利用课件展示四个点共圆的实例，让学生观察并分析。
2. 引导学生运用四点共圆的性质解决实际问题。
四、课堂练习（10分钟）1. 分发练习题，让学生独立完成。
2. 选取部分学生的作业进行点评和讲解。
五、总结与拓展（5分钟）1. 总结本节课的主要内容和知识点。
2. 提出拓展问题，激发学生的思考和兴趣。
教学反思：本节课通过导入、新课、案例分析、课堂练习和总结拓展等环节，让学生掌握了四点共圆的定义和性质，并能运用到实际问题中。
在教学过程中，注意调动学生的积极性，培养他们的观察能力和推理能力。
通过小组合作，培养学生的团队合作意识。
总体来说，本节课达到了预期的教学目标。
六、课堂互动与讨论（10分钟）1. 引导学生分组进行讨论，每组选择一个实际问题，运用四点共圆的知识进行解决。
2. 邀请几组学生分享他们的解题过程和答案，讨论不同解题方法的优劣。
七、应用拓展（10分钟）1. 利用课件展示一些与四点共圆相关的实际问题，让学生独立解决。
2. 引导学生思考四点共圆在现实生活中的应用，如建筑设计、交通规划等。
八、总结与复习（10分钟）1. 带领学生总结本节课的主要内容和知识点，强调四点共圆的定义和性质。
(完整版)初三上专题四点共圆
四点共圆专题讲义例1如图，E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点.求证：E、F、G、H四点共圆.A1例2. (1)如图，在△ ABC 中，BD、CE 是AC、AB 上的高，/ A=60 ° .求证：ED = _BC 2(2)已知：点0是厶ABC的外心，BE, CD是高.求证：A0丄DE例3.如图，在△ ABC中，AD丄BC, DE丄AB, DF丄AC .求证：B、E、F、C四点共圆.〔、〈* ---- 空R；°7、 / f —*ff A OA=OB=OC/ ADC= / ABC=90°/ ACD= / ABD=90°/ B+ / D=180。
或/A+ / BCD=180。
或/A= / DCE/ A= / D 或/ B= /C1. ______________________________________________________2. _______________________________________________________3.________________________________________________________4.例4•求证：圆内接四边形对边乘积的和等于对角线的乘积，即图中练习1.在△ ABC中，BA BC , BAC , M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2得到线段PQ .(1)若60且点P与点M重合(如图1),线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出/ CDB 的度数；(2)在图2中，点P不与点B, M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想/ CDB的大小(用含的代数式表示)，并加以证明；(3)对于适当大小的，当点P在线段BM上运动到某一位置(不与点B, M重合)时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ = QD，请直接写出的范围.AB • CD + BC • AD=AC • BD .练习2.在△ ABC中，/ A=30°, AB=2j3，将△ ABC绕点B顺时针旋转(0° < <90°),得到△ DBE，其中点A的对应点是点D，点C的对应点是点E，AC、DE相交于点F，连接BF.(1)如图1,若=60°，线段BA绕点B旋转得到线段BD.请补全△ DBE，并直接写出/ AFB的度数；(2)如图2,若=90°，求/ AFB的度数和BF的长；(3)如图3,若旋转(0 ° < <90 °),请直接写出/ AFB的度数及BF的长(用含的代数式表示)•练习3 .已知，点P是/ MON的平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A,将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON 于点B，且使/ APB+ / MON=180°.(1)利用图1，求证：PA=PB ;(2)如图2,若点C是AB与OP的交点，当S APOB=3S APCB时，求PB与PC的比值；图1(3)若/ MON=60°, OB=2，射线AP交ON于点D，且满足且/ PBD = Z ABO，请借助图3补全图形，并求OP长. 练习4 .已知，在△ABC中，AB=AC .过A点的直线a从与边AC重合的位置开始绕点A按顺时针方向旋转角0, 直线a交BC边于点P (点P不与点B、点C重合)，A RMN的边MN始终在直线a上(点M在点N的上方)，且BM = BN，连接CN .(1)当/ BAC=Z MBN=90°时，①如图a，当0=45°时，/ ANC的度数为___________ ;②如图b，当0工45时，①中的结论是否发生变化？说明理由；(2)如图C,当/ BAC= / MBN丰90时，请直接写出/ ANC与/ BAC之间的数量关系，不必证明.练习5.已知：Rt A A'BC'和Rt A ABC 重合，A'C'B = / ACB=90° , BA'C' = / BAC=30° ,现将Rt A A'BC'绕点B按逆时针方向旋转角 a (60°w a 90°)，设旋转过程中射线C'C'和线段AA'相交于点D,连接BD .(1)当a=60时时，A'B过点C,如图1所示，判断BD和AA'之间的位置关系，不必证明；(2)当a=90 °时，在图2中依题意补全图形，并猜想(1)中的结论是否仍然成立，不必证明；(3)如图3,对旋转角a (60°v av90° )，猜想(1)中的结论是否仍然成立；若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由.图1 图2 图3练习6 .在等边厶ABC 外侧作直线 AP ,点B 关于直线AP 的对称点为D ，连接AD , BD , CD ，其中CD 交直线AP 于点 E .设/ PAB = ，/ ACE = ，/ AEC =. (1)依题意补全图1 ;(2)若 =15°，直接写出 和 的度数；⑶ 如图2,若60° < <120。
2023年中考复习大串讲初中数学之 圆 课件
∵tan∠BAO＝
3 4
，∴设EH＝3x，AH＝4x，
∴AE＝AC＝5x，OH＝4－4x.
∵△OCE∽△OEA，∴
OOEA＝OOCE
(答图6) ，即OE2＝OA·OC.
又∵OE2＝OH2＋EH2，∴(4－4x)2＋(3x)2＝4(4－5x)，
解得x1＝
12 25
，x2＝0(不合题意，舍去)，∴E
5225，3265.
(图5)
证明：如答图5，连接OC交AB于点I， ∵圆心O与点C关于弦AB对称， ∴AB垂直平分OC，∴CI＝OI. ∵OC是半径，OC⊥AB， ∴AI＝BI， ∴四边形AOBC是菱形．
(答图5)
如图5，⊙O中，圆心O关于弦AB的对称点C恰好在⊙O
上，连接AC，BC，BO，AO.
(2)若点Q是优弧
已知条件
分析
由DF＝DC可得∠DFC＝∠DCF.由∠BDC＝
DF＝DC， 2∠DFC结合(1)中结论得∠CFD＝∠CAD，易
AC⊥BD 得∠CFD＝∠CBD，所以CF＝CB. 又由
AC⊥BD即可证得AC垂直平分BF，得AB＝AF
已知条件
分析
1.根据勾股定理求得AE，CE，BE；
AF＝10，
BC＝4 5
又∵∠ACP＝∠QCA，∴△ACP∽△QCA， ∴ QACC＝ACCP ，即CP·CQ＝AC2＝(2 3 )2＝12.
(答图5)
如图5，⊙O中，圆心O关于弦AB的对称点C恰好在⊙O
上，连接AC，BC，BO，AO.
(2)若点Q是优弧
︵
AB
上一动点(不与点A，B重合)，连接
CQ交AB于点P，⊙O的半径为2 3 .
考点4 与坐标系结合
例6
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由式①②，得 BM＝DM， 即 M 为 BD 的中点．
课后精练
(2)如图，延长 AM 交圆于点 P，连接 CP. ∴∠BCP＝∠PAB＝∠DAC＝∠DBC. ∴PC∥BD，∴ACNN＝APMM.③ 又∵∠MCB＝∠DCA＝∠ABD，∠DBC＝∠PCB， ∴∠ABC＝∠MCP. 又∠ABC＝∠APC， 则∠APC＝∠MCP. 有 MP＝CM.④ 由式③④，得ACNN＝ACMM.
课堂精讲
方法二：我们观察这个图形可以发现点 B，C，F，O 这四点是共圆的，故∠1＝∠2＝45°(圆中同弧所对圆周 角相等)，所以∠1＝∠3＝45°，加上公共角∠DBE，就能 得到△BOF∽△BED，这样的方法是利用几何图形中的变换 得到所要的结论，少了许多计算．这道题的方法还有很多， 还可以过点 O 向 BE 作垂线，垂足为 M，然后利用勾股定理 求解．
∵∠DBE＝∠DBE，∴△BOF∽△BED. ∴BBOE＝ODFE＝130 5. ∵DE＝4，∴OF＝56 5.
9 ∴BF＝5 10.
课堂精讲
方法二：如图，∵∠BOC＝∠BFC＝90°，
∴B，C，F，O 四点共圆．
∴∠1＝∠2＝45°.
∵∠2＝∠3＝45°，∴∠1＝∠3＝45°.
∵∠DBE＝∠FBO，∴△BOF∽△BED.
的度数等于( A)
第 1 题图 A．55° B．60° C．65° D．70°
课后精练 2．(2018·邵阳)如图，四边形ABCD为⊙O的内接四 边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是B( )
第2题图 A．80° B．120° C．100° D．90°
课后精练
3．(2019·天水)如图，四边形ABCD是菱形， ⊙O经过点A，C，D，与BC相交于点E，连接 AC，ACE.若∠D＝80°，则∠EAC的度数为( )
数学中考专题考点精讲
第一部分 系统复习
专题9 四点共圆巧解 中考题
考点解读
四点共圆在圆内接四边形综合问题的求解中占据了重要 地位，都是在大题中结合题目的几何背景进行综合考查，重在 考查学生对知识的应用能力．考查的基本类型有：利用四点共 圆证相似，利用四点共圆求最值，这些问题大都利用转化思想， 将几何问题转化为四点共圆问题，使题目能简单求解.
答案图 【答案】C
课堂精讲
【方法归纳】若已知圆上四点，常常使用四点共圆 的性质，找角之间的转化关系．本题考查了圆周角定 理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直 径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直 径，用“四点共圆”的思想进行角的数量代换，有助于我 们更好地解题．
答案图
课后精练
8．如图，⊙O 的半径 r＝25，四边形 ABCD 内接于⊙O，AC ⊥BD 于点 H，P 为 CA 延长线上的一点，且∠PDA＝∠ABD.
(1)试判断 PD 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)若 tan∠ADB＝34，PA＝4 33－3AH，求 BD 的长； (3)在(2)的条件下，求四边形 ABCD 的面积．
第3题图 A．20° B．25° C．30° D．35°
课后精练
4．如图，以 Rt△ABC 的斜边 BC 为一边在△ABC 的同 侧作正方形 BCEF，设正方形的中心为点 O，连接 AO，如果
AB＝4，AO＝6 2，那么 AC 的长等于___1__6__.
第 4 题图
课后精练
5．已知△ABC 为等腰直角三角形，∠C 为直 角，延长 CA 至点 D，以 AD 为直径作圆，连接 BD 与⊙O 交于点 E，连接 CE，CE 的延长线交⊙O 于
第 8 题图
课后精练
解：(1)PD与⊙O相切．
理由：如图，连接DO并延长交圆于
点E，连接AE，∵DE是直径，
E＝90°.
∵∠PDA＝∠ABD＝∠AED， ∴∠PDA＋∠ADE＝90°，即
答案图
PD⊥DO.
∴PD与⊙O相切于点D.
课后精练
3 (2)∵tan∠ADB＝4， ∴可设 AH＝3k，则 DH＝4k.
又∵∠DAN＝∠BAM，∠BCM＝∠DCN， ∴∠BAM＝∠MBC，∠ABM＝∠BCM. ∴△BAM∽△CBM.
∴BCMM＝ABMM，即 BM2＝AM·CM.①
又∠DCM＝∠DCN＋∠NCM＝∠BCM＋∠NCM＝∠ACB＝∠ADB， ∠DAM＝∠MAC＋∠DAN＝∠MAC＋∠BAM＝∠BAC＝∠CDM， ∴△DAM∽△CDM.
课后精练
7．如图，已知圆内接四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于 点 N，点 M 在对角线 BD 上，且满足∠BAM＝∠DAN，∠BCM＝∠DCN.
求证：(1) M 为 BD 的中点； (2) ACNN＝ACMM.
第 7 题图
课后精练
证明：(1)根据同弧所对的圆周角相等，得∠DAN＝∠DBC， ∠DCN＝∠DBA.
课堂精讲
例 1 (2019·潍坊)如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AB 为直径，AD＝CD，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，连接 AC 交 DE 于 点 F.若 sin∠CAB＝35，DF＝5，则 BC 的长为( )
A．8 B．10 C．12 D．16
课堂精讲 【分析】连接BD，如图，先利用圆周角定理证明 ∠ADE＝∠DAC得到FD＝FA＝5，再根据正弦的定 义计算出EF＝3，则AE＝4，DE＝8，接着证明 △ADE∽△DBE，利用相似比得到BE＝16，所以AB ＝20，然后在Rt△ABC中利用正弦定义计算出BC的 长．
∴BBOE＝ODFE＝130 5. ∵DE＝4，∴OF＝56 5.
答案图
【方法归纳】求线段长常用的方法就是两
种：利用相似中的比例线段求线段长或者利用
直角三角形中的勾股定理求线段长．
课后精练
1．(2019·镇江)如图，四边形 ABCD 是半圆的内接 四边形，AB 是直径，D︵C＝C︵B.若∠C＝110°，则∠ABC
课堂精讲
例2 如图，正方形ABCD的边长为 6，点O是对角线AC，BD的交点，点 E在CD上，且DE＝2CE，过点C作 CF⊥BE，垂足为F，连接OF，求OF 的长．
课堂精讲
【分析】方法一：∵正方形 ABCD 的边长为 6，点 O 是 对角线 AC，BD 的交点．∴△AOB，△AOD，△BOC，△COD 为 等腰直角三角形，且 AO＝BO＝CO＝DO＝3 2.∵DE＝2CE， ∴CE＝2，DE＝4.∴BE＝2 10(在 Rt△BCE 中用勾股定理求 得)．然后利用△BCF∽△BEC，求得 BF.利用BBFD＝BBEO，易证 △BOF∽△BED，根据比例求解 OF 即可．
课后精练
(3)由(2)知，BH＝25 3－4k，
4 ∴HC＝3(25 3－4k)．
又∵PD2＝PA·PC，
∴(8k)2＝(4
3－3)k×[4
4 3k＋3(25
3－4k)]．
解得 k＝4 3－3，
∴AC＝3k＋43(25 3－4k)＝24 3＋7.
1
1
175 3
∴S 四边形 ABCD＝2BD·AC＝2×25 3×(24 3＋7)＝900＋ 2 .
课堂精讲
【解】方法一：∵CF⊥BE， ∴∠BCF＝∠EBC＝90°. ∵∠EBC＋∠BEC＝90°， ∴∠BEC＝∠BCF.
9 ∴BBFD＝56
120＝130
5，BBOE＝23
120＝130
5.
∴BBFD＝BBOE.
∵∠BCE＝∠BFC＝90°， BC BF
∴△BCF∽△BEC.∴BE＝BC. ∵BC＝6，CE＝2， ∴BE＝ BC2＋CE2＝2 10.
学习了本课后，你有哪些收获和感想？ 告诉大家好吗？
在数学的天地里，重要的不是我们知 道什么，而是我们如何知道什么
-------毕达哥拉斯
4 3－3 ∵PA＝ 3 AH，
∴PA＝(4 3－3)k.∴PH＝4 3k.
DH 3 ∴在 Rt△PDH 中，tan∠P＝PH＝ 3 . ∴∠P＝30°，∠PDH＝60°. ∵PD⊥DO， ∴∠BDE＝90°－∠PDH＝30°. 连接 BE，则∠DBE＝90°，DE＝2r＝50， ∴BD＝DE·cos 30°＝25 3.
方法提炼
1.四点共圆 如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个 点共圆，一般简称为“四点共圆”． 2．四点共圆的性质 (1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角 相等． (2)圆内接四边形的对角互补． (3)圆内接四边形的一个外角等于它的内对角．
方法提炼
3．四点共圆的判定 (1)用“角”判定： ①一组对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上； ②一个外角等于它的内对角的四边形的四个顶点在同一个圆上； ③如果两个三角形有一条公共边，且位于公共边同侧的两个角相 等，则这两个三角形的四个顶点在同一个圆上． (2)“等线段”判定： 四顶点到同一点的距离相等，若OA＝OB＝OC＝OD，则A，B， C，D四点共圆． (3)用“比例线段”判定： 若线段AB，CD(或其延长线)交于点P，且PA·PC＝PB·PD，则A， B，C，D四点共圆.
BD 另一点 F，那么CF的值等于______．
第 5 题图
课后精练 6．如图，AB为圆的直径，AD，BC 为圆的两条弦，且BD与AC相交于点E. 求证：AC·AE＋BD·BE＝AB2.
第6题图
课后精练
证明：过点E作EF⊥AB于点F. ∵∠EFB＝90°，∠C＝90°， ∴∠EFB＋∠C＝180°. ∴B，C，E，F四点共圆． ∴AE·AC＝AF·AB.① ∵∠EFA＝90°，∠D＝90°， ∴∠EFA＋∠D＝180°. ∴A，D，E，F四点共圆． ∴BE·BD＝BF·AB.② ①＋②，得 AE·AC＋BE·BD＝AF·AB＋BF·AB. ∵AF＋BF＝AB，∴AE·AC＋BE·BD＝AB2.