二元一次方程的应用分类总结
二元一次方程组的应用总结
二元一次方程组的应用总结引言二元一次方程组是初等代数中的一种重要概念。
它由两个未知数和两个方程组成，具有广泛的应用。
本文将总结二元一次方程组的应用，并探讨其在实际问题中的解决方法。
二元一次方程组的应用二元一次方程组在许多领域中得到应用，特别是在经济学、物理学和工程学等科学领域。
以下是一些常见的应用场景。
经济学在经济学中，二元一次方程组常被用于描述市场供求关系。
例如，可以通过一个二元一次方程组来分析市场中的价格和需求的关系，从而预测市场的发展趋势。
物理学物理学中的一些问题也可以通过二元一次方程组进行建模和求解。
例如，可以利用二元一次方程组来描述两个运动物体之间的相对运动关系，从而计算它们的位置和速度。
工程学在工程学中，二元一次方程组被广泛用于解决各种实际问题。
例如，在电路分析中，可以利用二元一次方程组来确定电路中电流和电压的分布情况，从而优化电路设计。
二元一次方程组的解决方法解决二元一次方程组的方法有多种，包括代入法、消元法和矩阵法等。
下面将介绍其中两种常用的方法。
代入法代入法是解决二元一次方程组的一种简单直接的方法。
它的基本思路是将一个方程中的一个未知数用另一个方程中的已知数表示，然后代入到另一个方程中，从而得出一个只包含一个未知数的方程，进而求解未知数的值。
消元法消元法是另一种常用的解决二元一次方程组的方法。
它的基本思路是通过将两个方程相减或相加来消去一个未知数，从而得到一个只包含一个未知数的方程，进而求解未知数的值。
结论二元一次方程组在实际问题中有着广泛的应用。
了解二元一次方程组的应用场景和解决方法，可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
以上是对二元一次方程组的应用的总结，希望对读者有所帮助。
参考文献- 张宇.《高中数学竞赛培训系列·数学学科基础教程》. 清华大学出版社, 2016.- 熊朝海, 张宏法, 张立洪.《解题指南数学》(电阻电路分析部分). 清华大学出版社, 2012.- 王波.《大学物理学》(运动学部分). 高等教育出版社, 2017.- 陈同启.《工程数学-线性代数与场论教程》. 高等教育出版社, 2015.。
二元一次方程组知识点整理、典型例题总结
二元一次方程组知识点整理、典型例题总结二元一次方程组一、知识点总结1、二元一次方程：含有两个未知数（x和y），并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by=c(a≠0,b≠0)。
2、二元一次方程的解：一般地，能够使二元一次方程的左右两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
3、二元一次方程组：含有两个未知数（x和y），并且含有未知数的项的次数都是1，将这样的两个或几个一次方程合起来组成的方程组叫做二元一次方程组。
4、二元一次方程组的解：二元一次方程组中的几个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
二元一次方程组解的情况：①无解，例如：{x+y=1,2x+2y=3}；②有且只有一组解，例如：{x+y=1,2x+y=2}；③有无数组解，例如：{x+y=1,2x+2y=2}。
5、二元一次方程组的解法：代入消元法和加减消元法。
6、列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步：（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数；（2）设：找出能够表示题意两个相等关系，并用字母表示其中的两个未知数；（3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；（4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；（5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案。
二、典型例题分析例1：二元一次方程组{x=2.2x-3m=1}的解，求m、n的值。
例2：若{nx-my=-5.y=3}，求m、n的值。
例3：方程x+3y=10在正整数范围内有哪几组解？例4：将方程10-2(3-y)=3(2-x)变形，用含有x的代数式表示y。
例5：已知{(m+1)x+(n-1)y}/nm=1是关于x、y的二元一次方程，求nm的值。
例6：若方程2m-13n-2x+5y=7是关于x、y的二元一次方程，求m、n的值。
例7：（1）用代入消元法解方程组{7x+5y=3.2x-y=-4}。
二元一次方程组解应用题专题分类常见十三类
逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度顺速–逆速 = 2水速；顺速 + 逆速 = 2船速顺水的路程 = 逆水的路程相遇问题:两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题。
它的特点是两个运动物体共同走完整个路程。
A车路程+B车路程=相距路程总路程=（甲速+乙速）×相遇时间相遇时间=总路程÷（甲速+乙速）另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度甲、乙两人在相距18千米的两地同时出发，相向而行，1小时48分相遇，如果甲比乙早出发40分钟，那么在乙出发1小时30分时两人相遇，求甲、乙两人的速度.练习：学校距活动站670米，小明从学校前往活动站每分钟行80米，2分钟后，小丽从活动站往学校走，每分钟行90米，小明出发多少分钟后和小丽相遇？相遇时二人各行了多少米？A甲、乙二人相距2. 甲以5km/h的速度进行有氧体育锻炼，2h后，乙骑自行车从同地出发沿同一条路追赶甲。
根据他们两人的约定，乙最快不早于1h追上甲，最慢不晚于1h15min追上甲，则乙骑车的速度应当控制在什么范围？3. 从甲地到乙地的路有一段上坡、一段平路与一段3千米长的下坡，如果保持上坡每小时走3千米，平路每小时走4千米，下坡每小时走5千米，那么从甲到乙地需90分，从乙地到甲地需102分。
甲地到乙地全程是多少？4. 甲,乙两人分别从甲,乙两地同时相向出发,在甲超过中点50米处甲,乙两人第一次相遇,甲,乙到达乙,甲两地后立即返身往回走,结果甲,乙两人在距甲地100米处第二次相遇,求甲,乙两地的路程.5. 两列火车同时从相距910千米的两地相向出发,10小时后相遇,如果第一列车比第1二列车早出发4小时20分,那么在第二列火车出发8小时后相遇,求两列火车的速度.6. 某班同学去18千米的北山郊游.只有一辆汽车,需分两组,甲组先乘车,乙组步行.车行至A处,甲组下车步行,汽车返回接乙组,最后两组同时达到北山站.已知汽车速度是60千米/时,步行速度是4千米/时,求A点距北山站的距离.7. 通讯员要在规定时间内到达某地，他每小时走15千米，则可提前24分钟到达某地；如果每小时走12千米，总结升华：根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用的解决策略。
二元一次方程组解应用题总结
二元一次方程组解应用题总结（2）顺水(风)速度=静水（无风）速度+水流（风）速度逆水（风）速度=静水（无风）速度本金利率时间税率（9）利润问题：利润=售价进价）进价100%（10）盈亏问题：关键从盈（过剩）、亏（不足）两个角度把握事物的总量（11）数字问题：首先要正确掌握自然数、奇数偶数等有关的概念、特征及其表示（12）几何问题：必须掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式（13）年龄问题：解这类问题的基本关系是抓住两个人年龄的增长数相等。
年龄问题的主要特点是：时间发生变化，年龄在增长，但是年龄差始终不变。
年龄问题往往是“和差”、“差倍”等问题的综合应用（14）分配调运问题（15）方案设计问题讲解：一、数字问题例1 一个两位数，比它位上的数与个位上的数的和大9；如果交换位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数、分析：设这个两位数位上的数为x，个位上的数为y，则这个两位数及新两位数及其之间的关系可用下表表示：位上的数个位上的数对应的两位数相等关系原两位数xy10x+y10x+y=x+y+9新两位数yｘ10y+x10y+x=10x+y+27解方程组，得，因此，所求的两位数是14、点评：由于受一元一次方程先入为主的影响，不少同学习惯于只设一元，然后列一元一次方程求解，虽然这种方法有八九可以奏效，但对有些问题是无能为力的，象本题，如果直接设这个两位数为x，或只设位上的数为x，那将很难或根本就想象不出关于x的方程、一般地，与数位上的数字有关的求数问题，一般应设各个数位上的数为“元”，然后列多元方程组解之、二、利润问题例2一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价是多少？分析：商品的利润涉及到进价、定价和卖出价，因此，设此商品的定价为x元，进价为y元，则打九折时的卖出价为0、9x元，获利(0、9x-y)元，因此得方程0、9x-y=20%y；打八折时的卖出价为0、8x元，获利(0、8x-y)元，可得方程0、8x-y=10、解方程组，解得，因此，此商品定价为200元、点评：商品销售盈利百分数是相对于进价而言的，不要误为是相对于定价或卖出价、利润的计算一般有两种方法，一是：利润=卖出价-进价；二是：利润=进价利润率（盈利百分数）、特别注意“利润”和“利润率”是不同的两个概念、三、配套问题例3 某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？分析：要使生产出来的产品配成最多套，只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套，根据题意，每天生产的螺栓与螺母应满足关系式：每天生产的螺栓数2=每天生产的螺母数1、因此，设安排ｘ人生产螺栓，ｙ人生产螺母，则每天可生产螺栓25ｘ个，螺母20ｙ个，依题意，得，解之，得、故应安排20人生产螺栓，100人生产螺母、点评：产品配套是工厂生产中基本原则之一，如何分配生产力，使生产出来的产品恰好配套成为主管生产人员常见的问题，解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系，其中两种最常见的配套问题的等量关系是：（1）“二合一”问题：如果ａ件甲产品和ｂ件乙产品配成一套，那么甲产品数的ｂ倍等于乙产品数的ａ倍，即；（2）“三合一”问题：如果甲产品ａ件，乙产品ｂ件，丙产品ｃ件配成一套，那么各种产品数应满足的相等关系式是：、四、行程问题例：甲、乙二人相距6km，二人同向而行，甲3小时可追上乙；相向而行，1小时相遇。
二元一次方程组的应用
二元一次方程组的应用一、简介二元一次方程组是由两个未知数和两个方程组成的方程集合。
在数学中，二元一次方程组广泛应用于解决各种实际问题。
本文将探讨二元一次方程组在实际应用中的一些例子，并说明其在解决问题中的重要性。
二、线性方程组的应用1. 计算问题：二元一次方程组常被用于计算相关问题。
例如，设想你在购买书籍和笔记本时共花费了100元，已知一本书的价格是10元，一台笔记本的价格是20元，那么用二元一次方程组可以表示为：x + y = 10010x + 20y = 100通过求解以上方程组，我们可以得到书籍和笔记本的具体数量。
2. 几何问题：二元一次方程组也可以应用于几何问题。
例如，在平面上给定两个直线的斜率和截距，我们可以用二元一次方程组表示这两条直线，并通过求解方程组确定两条直线的交点坐标。
三、应用案例分析1. 混合液体问题：假设有一瓶含有某种化学物质的溶液，溶液中物质的含量为x，另有一瓶纯净的溶液，其中物质的含量为y。
我们需要将两种溶液混合，使得混合后的溶液物质的含量为k。
根据物质守恒定律，可以得到以下方程组：x + y = kCx + Dy = E其中C、D、E为给定的常数。
通过求解该方程组，我们可以确定混合液体的比例，从而达到所需的物质含量。
2. 财务问题：考虑以下情境：张三和李四各自投资了一笔钱到同一项业务中，两人最终收益相等。
已知张三投资的金额为x，收益率为p，李四投资的金额为y，收益率为q。
我们可以列出以下方程组：x(1 + p) = y(1 + q)x + y = T其中T为总投资金额。
通过求解该方程组，我们可以确定张三和李四的具体投资金额，从而平衡他们的收益。
四、总结通过以上例子可以看出，二元一次方程组在实际问题中的应用非常广泛。
无论是计算问题、几何问题还是财务问题，二元一次方程组都能提供简洁而有效的数学解决方案。
因此，掌握二元一次方程组的求解方法对于解决实际应用问题非常重要。
总之，二元一次方程组在数学和实际问题中都具有重要的应用价值。
初中二元一次方程知识归纳
初中⼆元⼀次⽅程知识归纳 ⼆元⼀次⽅程是初中解⽅程的重要知识点，求解⼆元⼀次⽅程⾸先要明⽩其基础内容。
以下是店铺分享给⼤家的初中⼆元⼀次⽅程知识，希望可以帮到你! 初中⼆元⼀次⽅程知识 ⼀.⼆元⼀次⽅程(组)的相关概念 1.⼆元⼀次⽅程：含有两个未知数并且未知项的次数是1的⽅程叫做⼆元⼀次⽅程。
2.⼆元⼀次⽅程组：⼆元⼀次⽅程组两个⼆元—次⽅程合在⼀起就组成了⼀个⼆元⼀次⽅程组。
3.⼆元⼀次⽅程的解集： (1)⼆元⼀次⽅程的解 适合⼀个⼆元⼀次⽅程的每⼀对未知数的值.叫做这个⼆元⼀次⽅程的⼀个解。
(2)⼆元⼀次⽅程的解集 对于任何⼀个⼆元⼀次⽅程，令其中⼀个未知数取任意⼆个值，都能求出与它对应的另⼀个未知数的值.因此，任何⼀个⼆元⼀次⽅程都有⽆数多个解.由这些解组成的集合，叫做这个⼆元⼀次⽅程的解集。
4.⼆元⼀次⽅程组的解：⼆元⼀次⽅程组可化为 使⽅程组中的各个⽅程的左、右两边都相等的未知数的值，叫做⽅程组的解。
⼆.利⽤消元法解⼆元⼀次⽅程组 解⼆元(三元)⼀次⽅程组的⼀般⽅法是代⼊消元法和加减消元法。
1.解法： (1) 代⼊消元法是将⽅程组中的其中⼀个⽅程的未知数⽤含有另⼀个未知数的代数式表⽰，并代⼊到另⼀个⽅程中去，消去另⼀个未知数，得到⼀个解。
代⼊消元法简称代⼊法。
(2)加减消元法利⽤等式的性质使⽅程组中两个⽅程中的某⼀个未知数前的系数的绝对值相等，然后把两个⽅程相加或相减，以消去这个未知数，使⽅程只含有⼀个未知数⽽得以求解。
这种解⼆元⼀次⽅程组的⽅法叫做加减消元法，简称加减法。
⽤加减法消元的⼀般步骤为： ①在⼆元⼀次⽅程组中，若有同⼀个未知数的系数相同(或互为相反数)，则可直接相减(或相加)，消去⼀个未知数; ②在⼆元⼀次⽅程组中，若不存在①中的情况，可选择⼀个适当的数去乘⽅程的两边，使其中⼀个未知数的系数相同(或互为相反数)，再把⽅程两边分别相减(或相加)，消去⼀个未知数，得到⼀元⼀次⽅程; ③解这个⼀元⼀次⽅程; ④将求出的⼀元⼀次⽅程的解代⼊原⽅程组系数⽐较简单的⽅程，求另⼀个未知数的值; ⑤把求得的两个未知数的值⽤⼤括号联⽴起来，这就是⼆元⼀次⽅程组的解。
常见的二元一次方程组
常见的二元一次方程组摘要：一、二元一次方程组的定义二、二元一次方程组的形式三、解二元一次方程组的方法1.代入法2.消元法四、二元一次方程组的应用1.鸡兔同笼问题2.行程问题五、总结正文：一、二元一次方程组的定义二元一次方程组是指包含两个未知数，且每个方程中的未知数的次数都是一次的方程组。
它可以表示为：ax + by = cdx + ey = f其中，a、b、c、d、e、f 都是已知数，x、y 是未知数。
二、二元一次方程组的形式二元一次方程组可以分为以下三种形式：1.标准形式：ax + by = c，dx + ey = f2.简化形式：a1x + b1y = c1，a2x + b2y = c23.斜率截距形式：y = kx + b三、解二元一次方程组的方法1.代入法代入法是一种简单直观的解法，首先解出一个未知数，然后将解出的未知数代入到另一个方程中，从而求得另一个未知数的值。
2.消元法消元法是将两个方程中的一个未知数消去，从而将二元一次方程组转化为一个一元一次方程，然后求解。
消元法又分为加减消元法和乘除消元法。
四、二元一次方程组的应用1.鸡兔同笼问题鸡兔同笼问题是一个典型的二元一次方程组应用问题。
假设鸡的数量为x，兔的数量为y，鸡和兔的总数量为n，鸡和兔的总腿数为m，我们可以得到以下方程组：x + y = n2x + 4y = m2.行程问题行程问题也是二元一次方程组的常见应用场景。
例如，一个人先以速度v1 行走了一段距离s1，然后以速度v2 行走了一段距离s2，我们可以得到以下方程组：s1 = v1t1s2 = v2t2s1 + s2 = d五、总结二元一次方程组是数学中的一个基本概念，它由两个未知数和两个方程组成。
二元一次方程组重点考点题型总结
二元一次方程组重点考点题型总结二元一次方程组类型总结类型一：二元一次方程的概念及求解例（1）已知（a-2）x-by|a|-1=5是关于x、y的二元一次方程，则a=______，b=_____。
例（2）二元一次方程3x+2y=15的正整数解为_______________。
类型二：二元一次方程组的求解例（3）若|2a+3b-7|与（2a+5b-1）互为相反数，则a=______，b=______。
例（4）2x-3y=4x-y=5的解为_______________。
类型三：已知方程组的解，而求待定系数。
例（5）已知方程组是解，则m-n的值为_________。
3mx-2y=1.x=-24x+ny+7=2.y=13x-2y=4例（6）若满足方程组的x、y的值相等，则k=_______。
kx+(2k-1)y=6练：若方程组与有相同的解，则a=，b=。
2x-y=3.x-by=43bax+y=52x-y=5类型四：涉及三个未知数的方程，求出相关量。
例（7）已知abc1=，且a+b-c=，则a=_______，b=_______，c=_______。
例（8）解方程组得x=______，y=______，z=______。
x+3y=23y+z=4z+3x=6练：若2a+5b+4c=，3a+b-7c=，则a+b-c=。
由方程组可得，x∶y∶z是（）。
x-2y+3z=2x-3y+4z=类型五：列方程组求待定字母系数是常用的解题方法。
例（9）若，1都是关于x、y的方程|a|x+by=6的解，则a+b的值为。
x=1.y=-2.y=-2.z=3例（10）关于x，y的二元一次方程ax+b=y的两个解是。
练：如果。
为10%，总利息为430元，求他分别买了多少元的一年期和两年期融资券．解答：21）设原数为abc，移位后为bca，列方程组：100b10c a(100a10b c)459b10c a 3化XXX：99b99a459b10c a 3解得b＝5，代入第二个方程得a＝7，代入第一个方程得c＝3，原数为753．22）设一年期融资券为x元，两年期融资券为y元，列方程组：0.09x0.1y430x2y4000化XXX：9x10yx2y4000解得x＝2000，y＝1000，他买了2000元的一年期融资券和1000元的两年期融资券．。
七年级上册二元一次方程知识总结
七年级上册二元一次方程知识总结一、引言二元一次方程是初中数学中的重要内容，掌握好二元一次方程的知识对于进阶学习和科学研究都具有重要意义。
本篇文章将对七年级上册关于二元一次方程的知识进行总结，并向读者介绍相关概念、性质和解题方法，希望能够对读者有所帮助。
二、二元一次方程的概念1. 二元一次方程的定义二元一次方程是指含有两个未知数的一次方程，通常表示为ax+by=c，其中a、b、c为已知常数，x、y为未知数。
这种方程在解析几何和代数中有着广泛的应用。
2. 二元一次方程的一般形式一般情况下，二元一次方程可以表示为Ax+By=C，其中A、B、C 为已知常数，x、y为未知数。
通过二元一次方程的一般形式，我们可以进行方程的变形和简化，从而更好地理解和解决问题。
三、二元一次方程的性质1. 二元一次方程的等价变形二元一次方程经过等价变形后，其解不变。
等价变形通常包括方程两边加减同一个量、方程两边乘除同一个非零数等操作。
2. 二元一次方程的解的存在唯一性对于一组二元一次方程，当且仅当系数行列式不等于零时，其解存在且唯一。
这一性质对二元一次方程的解题过程具有重要指导作用。
四、二元一次方程的解法1. 二元一次方程的图解法通过将二元一次方程表示为直线的形式，我们可以通过图形的交点来求解方程的解。
这是一种直观的解法，有助于帮助学生理解方程的几何意义。
2. 二元一次方程的代入法对于一组二元一次方程，可以通过其中一个方程的解，代入另一个方程中，进而求解另一个未知数。
这是一种常用的解方程方法，也是解题过程中的常见操作。
3. 二元一次方程的消元法通过将两个方程相加或相减，消去一个未知数，然后求解另一个未知数的值，从而得到方程的解。
消元法在实际问题中具有较高的适用性，也是解二元一次方程的重要方法。
五、举例分析1. 实际问题的建立通过一些实际问题，我们可以将问题转化为二元一次方程，然后通过解方程的方法得到问题的解。
这是一个将数学知识与实际问题相结合的过程。
二元一次方程组的应用题,总结了十个题型,学透很容易!
初学二元一次方程组的应用，好多同学会遇到会解不会列的尴尬局面。
为此，特把二元一次方程组应用中常见的题型整理出来，希望能对同学们有所帮助。
类型一：行程问题例：甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇．问甲、乙两人每小时各走多少千米？【分析】设甲，乙速度分别为x，y千米/时，根据甲乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么在乙出发后2.5小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么在甲出发后3小时相遇可列方程求解。
类型二：工程问题例：小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司，合做需6周完成，需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，需工钱4.8万元，若只选一个公司单独完成，从节约开支角度考虑，小明家是选甲公司、还是乙公司请你说明理由．分析：需先算出甲乙两公司独做完成的周数．等量关系为：甲6周的工作量+乙6周的工作量=1；甲4周的工作量+乙9周的工作量=1；还需算出甲乙两公司独做需付的费用．等量关系为：甲做6周所需钱数+乙做6周所需钱数=5.2；甲做4周所需钱数+乙做9周所需钱数=4.8类型三：商品销售利润问题例：李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？分析：由题意得出两个相等关系为：甲、乙两种蔬菜共10亩和共获利18000元，依次列方程组求解类型四：银行储蓄问题例：小明的爸爸为了给他筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱．第一种，一年期存取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期存取，这种存款银行利率为年息2.70%．三年后同时取出共得利息303.75元．问小明的爸爸两种存款各存入了多少元？分析：利用两种方式共计存了4000元钱以及两笔存款三年内共得利息303.75元得出等式求出即可类型五：生产配套问题例：现用190张铁皮做盒，一张可以做8个盒身或22个盒底，1个盒身与2个盒底配一个盒子，问用多少张铁皮制盒身、多少张铁皮制盒底，可制成一批完整的盒子？分析：本题的等量关系是：制盒身的铁皮+制盒底的铁皮=190张；盒底的数量=盒身数量的2倍．据此可列方程组求解类型六：增长率问题例：某城市现有人口42万人．计划一年后城镇人口增加0.8%，农村人中增加1.1%，这样全市人口得增加1%，求这个城市现有城镇人口和农村人口分别是多少人？分析：根据题意可得出的等量关系为：现有的城镇人口+现有的农村人口=42万，计划一年后城镇人口增加的数量+农村人口的增加的数量=全市人口增加的数量，然后列出方程组求解类型七：数字问题例：一个两位数的十位数字与个位数字和为6，十位数字比个位数字大4，求这个两位数字．分析：设这个两位数十位上的数字为x，个位上的数字为y，根据十位数字与个位数字和为6，十位数字比个位数字大4，列方程组求解类型八：几何问题用长48厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边分别折3厘米，补较短边上去，则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？分析：设矩形的长为x，宽为y，则可得x-3=y+3，再由矩形的周长为48，可得出2（x+y）=48，联立方程组求解即可类型九：年龄问题例：今年，小李的年龄是他爷爷的1/5,小李发现，12年后，他的年龄变成爷爷的1/3,求今年小李的年龄．分析：通过理解题意可知本题的等量关系，12年之后他爷爷的年龄x1/3=12年之后小李的年龄．根据这两个等量关系，可列出方程，再求解类型十：方案优化问题例：某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同类型的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．（1）若商场用9万元同时购进甲、乙两种不同型号的电视机共50台，求应购进甲、乙两种电视机各多少台？（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．试问：同时购进两种不同型号电视机的方案可以有几种（每种方案必须刚好用完9万元）？为使销售时获利最多，应选择哪种进货方案？并说明理由．分析：（1）本题的等量关系是：甲乙两种电视的台数和=50台，买甲乙两种电视花去的费用=9万元．依此列出方程求出正确的方案；（2）根据（1）得出的方案，分别计算出各方案的利润，然后判断出获利最多的方。
(完整版)二元一次方程知识点总结
二元一次方程组一、二元一次方程及其解（1）二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是(0,0)ax by c a b +=≠≠.（2）条件：1）含有两个未知数 2）所含未知数的项的次数是13）等号两边是等式二、二元一次方程组及其解（1）、二元一次方程组：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，将这样的两个或几个一次方程合起来组成的方程组叫做二元一次方程组.（2）、二元一次方程组的解：二元一次方程组中的几个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.【二元一次方程组解的情况：①无解，例如：16x y x y +=⎧⎨+=⎩，②有且只有一组解，例如：122x y x y +=⎧⎨+=⎩；③有无数组解，例如：1222x y x y +=⎧⎨+=⎩.】例1、若方程213257m n x y --+=是关于x y 、的二元一次方程，求m 、n 的值.例2、若23x y =⎧⎨=⎩是方程组2315x m nx my -=⎧⎨-=-⎩的解，求m n 、的值.例3、已知(1)(1)1n m m x n y ++-=是关于x y 、的二元一次方程，求m n 的值.（变式训练）已知218(26)(2)0n m m xn y +--++=是关于x y 、的二元一次方程，当2y =-时，求x 的值.二元一次方程的变形：用一个未知数表示另一个未知数例：已知二元一次方程５x-2y=10 ①将其变形为用含x 的代数式表示y 的形式。
②将其变形为用含y 的代数式表示x 的形式例4:已知在方程8x-6y=10中，请用含有x 的代数式表示y ，用含有y 的代数式表示x .知识点1:二元一次方程及其解1、下列各式是二元一次方程的是（ ）..A 67x y -= .B 105x y-= .C 45x xy -= .D 210x x ++= 2、若32x y =⎧⎨=⎩是关于x y 、的二元一次方程30x ay -=的一个（组）解，则a 的值为（ ）.A 3 .B 4 .C 4.5 .D 63、对于二元一次方程21x y -=有无数个解，下列四组值不是该方程的解的一组是（ ）.A 012x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ .B 11x y =⎧⎨=⎩ .C 10x y =⎧⎨=⎩ .D 11x y =-⎧⎨=-⎩。
完整版)二元一次方程组常考题型分类总结(超全面)
完整版)二元一次方程组常考题型分类总结(超全面)二元一次方程组常见题型二元一次方程组是初中数学中的重要内容，常见的题型包括分配调运问题、行程问题、百分数问题、分配问题、浓度分配问题和金融分配问题等。
其中，分配调运问题是指在不同的地方分配人员或物品，需要根据条件求出各个地方的人数或物品数量。
例如，某校师生到甲、乙两个工厂参加劳动，如果从甲厂抽9人到乙厂，则两厂的人数相同；如果从乙厂抽5人到甲厂，则甲厂的人数是乙厂的2倍，需要求出到两个工厂的人数各是多少。
行程问题是指两个人或物体在不同的路程上移动，需要根据条件求出它们的速度或路程。
例如，甲、乙二人相距6km，二人同向而行，甲3小时可追上乙；相向而行，1小时相遇。
需要求出甲、乙的平均速度各是多少。
百分数问题是指在数量变化中涉及到百分数的计算，需要根据条件求出各个数量的值。
例如，某市现有42万人口，计划一年后城镇人口增加0.8％，农村人口增加1.1％，这样全市人口将增加1％，需要求出这个市现在的城镇人口与农村人口。
分配问题是指在已知总量和每份数量的情况下，需要求出总量或份数。
例如，某幼儿园分萍果，若每人3个，则剩2个；若每人4个，则有一个少1个，需要求出幼儿园有几个小朋友。
浓度分配问题是指在不同浓度的物质中混合，需要根据条件求出各个物质的数量或浓度。
例如，要配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水各需多少。
金融分配问题是指在不同价格的商品中混合，需要根据条件求出各个商品的数量或价格。
例如，需要用多少每千克售4.2元的糖果才能与每千克售3.4元的糖果混合成每千克售3.6元的杂拌糖200千克。
几何分配问题）用8块相同的长方形拼成一个宽为48厘米的大长方形，每块小长方形的长和宽分别是多少？解：设小长方形的长是x厘米，宽是y厘米。
可以列出以下两个方程：1、8x = 482、4y = 48解方程得到x = 6，y = 12，因此每块小长方形的长是6厘米，宽是12厘米。
八年级数学：二元一次方程解法大全_公式总结
八年级数学：二元一次方程解法大全_公式总结
1、直接开平方法：
直接开平方法就是用直接开平方求解二元一次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解为x=±根号下n+m.
例1.解方程(1)(3x+1)2=7(2)9x2-24x+16=11
分析：(1)此方程显然用直接开平方法好做，(2)方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。
(1)解：(3x+1)2=7×
∴(3x+1)2=5
∴3x+1=±(注意不要丢解)
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
(2)解：9x2-24x+16=11
∴(3x-4)2=11
∴3x-4=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
2.配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0)
先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c
将二次项系数化为1：x2+x=-
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+()2=-+()2
方程左边成为一个完全平方式：(x+)2=
当b^2-4ac≥0时，x+=±
∴x=(这就是求根公式)。
二元一次方程组行程问题类型全知识总结点总结加总结练习
一、行程问题：路程＝速度×时间1、相遇问题：二者所走的行程之和＝二者原相距行程2、追及问题：快者所走行程－慢者所走行程＝二者原相距行程例1、某站有甲乙两辆汽车，若甲车先出发1小时后乙车出发，则乙车出发后5小时追上甲车；若甲车先开出30千米后，乙车出发，则乙车出发4小时后乙车所走的行程比甲车所走的行程多10千米。
求两车的速度。
例2、甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖沓机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇。
相遇后，拖沓机持续行进，汽车在相遇处逗留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖沓机。
这时，汽车、拖沓机各自行驶了多少千米？3、环形跑道问题：环形跑道追及、相遇问题等同于直线追及、相遇问题。
1）同时同地相向而行第一次相遇（相当于相遇问题）：甲的行程＋乙的行程＝跑道一圈长2）同时同地同向而行第一次相遇（相当于追及问题）：快者的行程－慢者的行程＝跑道一圈长例1、甲、乙两人在周长为400米的环形跑道上练跑，假如同时同地相向出发，每隔分钟相遇一次；假如同时同地同向出发。
每隔10分钟相遇一次，假定两人速度不变，且甲快乙慢，求甲、乙两人的速度。
4、航行、飞翔问题：1）顺水（风）：航速＝静水（无风）中的速度＋水（风）速2）逆流（风）：航速＝静水（无风）中的速度－水（风）速例1、已知A、B两码头之间的距离为240千米，一艘船航行于A、B两码头之间，顺水航行需4小时；逆流航行需6小时，求船在静水中的速度及水流的速度。
【练一练】1、甲、乙两人相距36千米，相向而行，假如甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发小时后相遇；假如乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？2、甲乙两人练习赛跑假如甲让乙先跑10m，甲跑5s就能追上乙，假如乙先跑2s，那么甲跑4s就能追上乙，求两人每秒各跑多少米。
3、甲、乙两人在一条长400米的环形跑道上跑步，假如同向跑，每隔31分钟相3遇一次，，假如反向跑，则每隔40秒相遇一次，已知甲比乙跑的快，求甲、乙两人的速度？4、甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖沓机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇.相遇后，拖沓机持续行进，汽车在相遇处逗留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖沓机.这时，汽车、拖沓机各自行驶了多少千米？5、某队伍履行任务，以8千米/时的速度行进，通信员在队尾接到命令后把命令传给排头，而后立刻返回排尾，通信员往返的速度均为12千米/小时，共用分钟，求队伍的长是多少？6、一架飞机在两城之间飞翔，风速为24千米/小时，顺风飞翔需2小时50分，顶风飞翔需要3小时。
专题07 二元一次方程组(归纳与讲解)(原卷版)
专题07 二元一次方程组【专题目录】技巧1：二元一次方程组的五种特殊解法技巧2：二元一次方程组中六种类型数学思想的应用 技巧3：二元一次方程(组)的解的五种常见应用 【题型】一、二元一次方程组的有关概念 【题型】二、用代入法解二元一次方程组 【题型】三、用加减法解二元一次方程组 【题型】四、用整体消元法解二元一次方程组 【题型】五、同解方程组 【题型】六、列二元一次方程组 【考纲要求】1、了解二元一次方程的概念，能把二元一次方程化为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，能举例说明二元一次方程及其中的已知数和未知数；2、理解二元一次方程组和它的解等概念，会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解。
【考点总结】一、二元一次方程组(1)概念：具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．(2)一般形式：⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝c 1，a 2x ＋b 2y ＝c 2(a 1，a 2，b 1，b 2均不为零)．(3)二元一次方程组的解一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．【注意】1.解二元一次方程组的步骤（1）代入消元法① 变：将其一个方程化为y=ax+b或者为x=ay+b的形式① 代：将y=ax+b或者为x=ay+b代入另一个方程① 解：解消元后的一元一次方程① 求：将求得的未知数值代入y=ax+b或x=ay+b，求另一个未知数的值① 答:写出答案（2）加减消元法① 化：将原方程组化成有一个未知数的系数相等(互为相反数)的形式,① 加减：将变形后的方程组通过加减消去一个未知数① 解：解消元后的一元一次方程① 求：将求得的知数的值代入方程组中任意一个方程求另一个未知数的值2.解二元一次方程组的方法选择（1）当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法；（2）当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法；（3）方程组中同一个知数的数相同或互为相反数时，选用加减消无法（4）当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法 【技巧归纳】技巧1：二元一次方程组的五种特殊解法 【类型】一、引入参数法解二元一次方程组 1．用代入法解方程组： ⎩⎪⎨⎪⎧x 5＋y 6＝0，①3（x －y ）－4（3y ＋x ）＝85.①【类型】二、特殊消元法解二元一次方程组 题型1：方程组中两未知数系数之差的绝对值相等2．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧2 015x ＋2 016y ＝2 017，①2 016x ＋2 017y ＝2 018.①题型2：方程组中两未知数系数之和的绝对值相等3．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧13x ＋14y ＝40，①14x ＋13y ＝41.②【类型】三、利用换元法解二元一次方程组 4．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3（x ＋y ）＋4（x －y ）＝20，x ＋y 4－x －y 2＝0.【类型】四、同解交换法解二元一次方程组5．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －by ＝4，3x －y ＝5与方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝16，4x －7y ＝1的解相同，求(a －b)2 018的值． 【类型】五、运用主元法解二元一次方程组6．已知⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y －3z ＝0，x －3y －z ＝0(x ，y ，z 均不为0)，求xy ＋2yzx 2＋y 2－z 2的值．技巧2：二元一次方程组中六种类型数学思想的应用 【类型】一、整体思想 1．先阅读，然后解方程组．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，①4（x －y ）－y ＝5②时，由①，得x －y ＝1，③然后再将③代入②，得4×1－y ＝5，解得y ＝－1，从而进一步求得x ＝0.所以方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.这种方法被称为“整体代入法”．请用这样的方法解下面的方程组：⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －2＝0，2x －3y ＋57＋2y ＝9. 2．若x ＋2y ＋3z ＝10，4x ＋3y ＋2z ＝15，求x ＋y ＋z 的值． 【类型】二、化繁为简思想3．阅读下面解方程组的方法，然后解决问题：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧19x ＋18y ＝17，①17x ＋16y ＝15②时，我们如果直接考虑消元，会很繁琐，而采用下面的解法则是轻而易举的．解：①－②，得2x ＋2y ＝2，所以x ＋y ＝1.③ ③×16，得16x ＋16y ＝16，④②－④，得x ＝－1，将x ＝－1代入③，得y ＝2.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.请用上述方法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2 018x ＋2 017y ＝2 016，2 016x ＋2 015y ＝2 014.【类型】三、方程思想4．已知(5x －2y －3)2＋|2x －3y ＋1|＝0，求x ＋y 的值． 5．若3x 2m＋5n ＋9＋4y 4m－2n －7＝2是二元一次方程，求(n ＋1)m＋2 018的值．【类型】四、换元思想6．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y 2＋x －y 3＝6，4（x ＋y ）－5（x －y ）＝2.【类型】五、数形结合思想7．如图，母亲节那天，很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒，从图中信息可知，买5束鲜花和5个礼盒共需多少元？【类型】六、分类组合思想8．若方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －y ＝5，ax ＋by ＝－1与⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝9，3ax －4by ＝18有公共解，求a ，b 的值．技巧3：二元一次方程(组)的解的五种常见应用 【类型】一、已知方程(组)的解求字母的值1．若关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝m ，x ＋my ＝n 的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，则|m －n|的值为( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．22．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝2是关于x ，y 的二元一次方程2ax －by ＝2的两组解，求a ，b 的值．【类型】二、已知二元一次方程组与二元一次方程同解求字母的值3．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3m ，x －y ＝9m 的解也是方程3x ＋2y ＝17的解，求m 的值．【类型】三、已知二元一次方程组的解满足某一关系求字母的值4．已知m ，n 互为相反数，关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ＝60，3x －y ＝8的解也互为相反数，求m ，n 的值．【类型】四、已知两个二元一次方程组共解求字母的值5．关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝－6，ax －by ＝－4与⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＝16，bx ＋ay ＝－8有相同的解，求(2a ＋b)2 018的值．【类型】五、已知二元一次方程组的误解求字母的值6．在解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2ax ＋y ＝5，2x －by ＝13时，由于粗心，甲看错了方程组中的a ，得解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝72，y ＝－2；乙看错了方程组中的b ，得解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－7.(1)甲把a 错看成了什么？乙把b 错看成了什么？ (2)求出原方程组的正解． 【题型讲解】【题型】一、二元一次方程组的有关概念例1、若21a b =⎧⎨=⎩是二元一次方程组3522ax by ax by ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩的解，则x ＋2y 的算术平方根为（ ）A ．3B ．3，－3CD【题型】二、用代入法解二元一次方程组例2、二元一次方程组224x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是()A．2xy=⎧⎨=⎩B．2xy=⎧⎨=⎩C．31xy=⎧⎨=-⎩D．11xy=⎧⎨=⎩【题型】三、用加减法解二元一次方程组例3、由方程组+=43x my m⎧⎨-=⎩可得出x与y之间的关系是()．A．x＋y＝1B．x＋y＝－1C．x＋y＝7D．x＋y＝－7【题型】四、用整体消元法解二元一次方程组例4、若方程组237351m nm n-=⎧⎨+=⎩的解是21mn=⎧⎨=-⎩，则方程组()()()()2132731521x yx y⎧+--=⎪⎨++-=⎪⎩的解是（）A．11xy=⎧⎨=⎩B．11xy=⎧⎨=-⎩C．31xy=⎧⎨=⎩D．33xy=⎧⎨=-⎩【题型】五、同解方程组例5、已知关于x①y的方程组2342x yax by-=⎧⎨+=⎩，与3564x ybx ay-=⎧⎨+=-⎩，有相同的解，则a①b的值为① ①A．21ab=-⎧⎨=⎩B．12ab=⎧⎨=-⎩C．12ab=⎧⎨=⎩D．12ab=-⎧⎨=-⎩【题型】六、列二元一次方程组例6、《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（）A．2392xyxy⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩B．2392xyxy⎧=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩C．2392xyxy⎧=+⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩D．2392xyxy⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩二元一次方程组（达标训练）一、单选题1．（2022·广东·深圳外国语学校模拟预测）“绿水青山就是金山银山”，某地准备购买一些松树和柏树绿化荒山，已知购买2棵松树和3棵柏树需要120元，购买2棵松树比1棵柏树多20元，设每棵松树x 元，每棵柏树y 元，则列出的方程组正确的是（ ）A ．23120220x y x y +=⎧⎨-=⎩B ．23120220x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．23120220x y y x +=⎧⎨-=⎩D ．32120220x y x y +=⎧⎨+=⎩2．（2022·天津河北·一模）方程组282x y x y+=⎧⎨=⎩的解是( )A ．21x y =⎧⎨=⎩B ．42x y =⎧⎨=⎩C ．12x y =⎧⎨=⎩D ．24x y =⎧⎨=⎩3．（2022·天津红桥·三模）方程组21230x y y x +=-⎧⎨+=⎩的解是（ ）．A ．11x y =-⎧⎨=⎩B ．12x y =-⎧⎨=-⎩C ．23x y =-⎧⎨=⎩D ．23x y =⎧⎨=-⎩4．（2022·上海杨浦·二模）下列方程中，二元一次方程的是（ ） A ．1xy =B ．210x -=C ．1x y -=D ．11x y+= 5．（2022·山东威海·一模）已知关于x ，y 的二元一次方程组231ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解为11x y =⎧⎨=-⎩，则2a b-的值是（ ） A ．2- B ．2C ．3D ．3-二、填空题6．（2022·湖南娄底·二模）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托．如果一托为5尺，那么索长与竿子长之和为______尺．7．（2022·江苏无锡·二模）已知方程组26221x y x y +=⎧⎨+=⎩，则x y +的值为______．三、解答题8．（2022·广东·广州市第一二三中学模拟预测）阅读材料：善于思考的小军在解方程组()1045x y x y y --=⎧⎪⎨--=⎪⎩①②时，采用了一种“整体代入”的解法： 解：由①得x ﹣y ＝1①将①代入①得：4×1﹣y ＝5，即y ＝﹣1把y＝﹣1代入①得x＝0，①方程组的解为1 xy=⎧⎨=-⎩请你模仿小军的“整体代入”法解方程组，解方程232235297x yx yy-=⎧⎪-+⎨+=⎪⎩．二元一次方程组（提升测评）一、单选题1．（2022·广东·江门市新会东方红中学模拟预测）若最简二次根式3a则a、b的值分别是（）A．2和1B．1和2C．2和2D．1和12．（2022·福建·平潭翰英中学一模）已知12xy=⎧⎨=⎩是二元一次方程组{mx−ny=8nx+my=1的解，则43m n+的立方根为（）A．±1BC．±D．1-3．（2022··二模）我们知道二元一次方程组233345x yx y-=⎧⎨-=⎩的解是31xy=⎧⎨=⎩．现给出另一个二元一次方程组2(21)3(31)33(21)4(31)5x yx y+--=⎧⎨+--=⎩，它的解是（）A．123xy=-⎧⎪⎨=⎪⎩B．123xy=-⎧⎪⎨=-⎪⎩C．123xy=⎧⎪⎨=⎪⎩D．123xy=⎧⎪⎨=-⎪⎩4．（2022·福建宁德·二模）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有二人共车九人步；三人共车，二车空．问：人与车各几何？译文：若每辆车都坐2人，则9需要步行：若每辆车都坐3人，则两辆车是空的，问：车与人各多少？设有x辆车，y人，根据题意，列方程组是（）A．2932y xy x=+⎧⎨=-⎩B．293(2)y xy x=+⎧⎨=-⎩C．2932y xy x=-⎧⎨=-⎩D．()2932y xy x=-⎧⎨=-⎩5．（2022·广东·揭阳市实验中学模拟预测）如果关于x，y的方程组436626x yx my-=⎧⎨+=⎩的解是整数，那么整数m的值为（）A ．4，4-，5-，13B ．4，4-，5-，13-C ．4，4-，5，13D ．4-，5，5-，13二、填空题6．（2022·江苏南通·二模）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，原文：今有人盗库绢，不知所失几何．但闻草中分绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹．问人、绢各几何？注释：（娟）纺织品的统称；（人得）每人分得；（匹）量词，用于纺织品等，（盈）：剩下．若设贼有x 人，库绢有y 匹，则可列方程组为______．三、解答题7．（2022·广东·华南师大附中三模）解下列方程组： (1)1223334m nm n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩；(2)6234()5()2x y x yx y x y +-⎧+=⎪⎨⎪+--=⎩； (3)0.10.3 1.3123x y x y+=⎧⎪⎨-=⎪⎩； (4)23433x y x y ⎧=⎪⎨⎪-=⎩． 8．（2022·浙江温州·二模）为促进学生体育活动，学校计划采购一批球类器材，当每班购进5个排球和6个篮球时花费360元；购进10个排球和2个篮球时花费270元． (1)求排球和篮球的单价．(2)为扩充器材室储备，现还需购买120个排球和篮球，其中排球的数量不少于篮球数量的23，如何购买总费用最少．(3)经调查，为满足不同学生的需要，学校准备新增购进进价为每个60元的足球，篮球和排球的仍按需购进，进价不变，排球是篮球的4倍，共花费9000元，则学校至少可以购进多少个球类器材？。
绝对经典二元一次方程组知识点整理、典型例题练习总结
绝对经典二元一次方程组的 解题技巧与注意事项
第五章
解题技巧
消元法：通过代入或加减消元，将二元一次方程组转化为一元一次方程求 解。 换元法：通过引入新变量替换原方程中的某些项，简化方程组或找到更简 单的解法。
参数法：通过引入参数来简化方程组，并找到更有效的解法。
图像法：通过绘制二元一次方程组的平面图，直观地找到解集和解决方案。
分配问题：描述一组人或物按照一定规则进行分配的情况，可以通过建立 二元一次方程组求解。
配套问题：描述不同部件或产品之间的配对关系，通常涉及数量、比例和 单价等变量。
相遇问题
描述：二元一次 方程组在解决相 遇问题中的应用
实例：两个物体在 某点相遇，通过方 程组求解各自的运 动轨迹和时间
解题思路：先设 定变量，列出方 程组，然后解方 程组得出答案
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消元法：通过消去一个未知数，将 二元一次方程组转化为一个一元一 次方程，再求解另一个未知数
公式法：通过使用二元一次程组 的通解公式来求解未知数
整体代入法
定义：将方程组中的一个方程整体代入另一个方程，消元求解
适用范围：当方程组中某个未知数的系数相等或互为相反数时，适合使用 整体代入法
绝对经典二元一次方 程组知识点整理、典 型例题练习总结
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目录
CONTENTS
01 二元一次方程组的基本概念
02 绝对经典二元一次方程组的解法
03 绝对经典二元一次方程组的实际应用
04
绝对经典二元一次方程组的变式与拓 展
二元一次方程知识点总结
二元一次方程知识点总结二元一次方程是数学中的重要概念之一，它能够帮助我们解决实际问题，并在代数学中具有广泛的应用。
本文将对二元一次方程的定义、特点、解法以及应用进行总结，以便读者更好地理解和掌握这一概念。
一、二元一次方程的定义与特点二元一次方程是指一个含有两个变量（通常表示为x和y）的一次方程，一般的表示形式为Ax + By = C，其中A、B、C为已知数，且A和B不同时为零。
二元一次方程与一元一次方程（只含一个变量）相比，具有更多的未知元和方程的复杂性，其解集通常是一个平面直线，因此也被称为线性方程。
二、二元一次方程的解法1. 消元法消元法是二元一次方程求解过程中常用的方法之一。
其基本思想是通过将方程组中的一个方程转化为另一个方程的形式，以消去其中一个变量，从而得到只含有一个变量的方程，进而求解出变量的值。
以方程组为例，假设有以下二元一次方程组：a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2要使用消元法求解该方程组，可以通过以下步骤进行：a. 将其中一个方程乘以某一倍数，使得两个方程中的x或y的系数相等或互为相反数；b. 通过相加或相减，消去其中一个变量，得到只含有另一个变量的方程；c. 求解这个方程，求出变量的值；d. 将求得的变量值代入原方程组中，解出另一个变量的值。
2. 代入法代入法是另一种常用的二元一次方程求解方法。
其基本思想是先利用其中一个方程解出一个变量的值，然后将此值代入另一个方程中，从而得到只含有一个变量的方程，进而求解出变量的值。
以方程组为例，假设有以下二元一次方程组：a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2要使用代入法求解该方程组，可以通过以下步骤进行：a. 从其中一个方程中解出一个变量（通常选择系数较小或系数为1的变量），得到该变量的表达式；b. 将该表达式代入另一个方程中，得到只含有一个变量的方程；c. 求解这个方程，求出变量的值；d. 将求得的变量值代入原方程组中，解出另一个变量的值。
二元一次方程组总结归纳
二元一次方程含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。
注意：二元指的就是含有2个系数不为0的未知数；一次指的就是所有未知数的次数都是1，方程则要求必须是等式。
二元一次方程组由两个二元一次方程所组成的方程组叫二元一次方程组。
二元一次方程组的解一般地，使二元一次方程组中两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值叫做二元一次方程组的解。
二元一次方程组的解法1、代入消元法通过代入消去一个未知数，将方程组转化为一个一元一次方程来解，这种解法叫做代入消元法。
求解步骤：1) 从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来；2) 把1）中所得的新方程代入另一个方程，消去一个未知数；3) 解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.4) 把所求得的一个未知数的值代入1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解。
2、加减消元法两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求解方法叫做加减消元法。
求解步骤：1) 方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，就用适当的整数乘方程两边，使相乘后一个未知数的系数与另一方程中该未知数的系数互为相反数或相等；2) 把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；3) 解这个一元一次方程；4) 将求出的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解。
在掌握二元一次方程组基本解法后，我们就得研究如何利用二元一次方程求解实际问题。
针对二元一次方程组经常涉及到的11种经典题型，豆豆老师逐一给大家进行举例讲解，希望大家认真看，用心学。
经典题型1、行程问题例：甲、乙两人相距40千米，两人相向而行，如果甲比乙先走3 小时，那么他们在乙出发1小时后相遇；如果乙比甲先走1 小时，那么他们在甲出发2小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？思路分析：不管哪种情况，他们两人走的路程之和都等于40千米，而这也是我们列方程组的关键。
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二元一次方程的应用分类总结————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期:ﻩ二元一次方程的应用分类总结（专练)知识点1 行程问题【例１】某车站有甲、乙两辆汽车，若甲车先出发１h 后乙车出发，则乙车出发后5h 追上甲车;若甲车先开出20ｋm 后乙车出发,则乙车出发4ｈ后追上甲车，求甲、乙两车的速度。
【例2】甲、乙两人在周长为400m 的环形跑道上练跑，如果同时、同地同向出发,经过80秒相遇;已知乙的速度是甲速度的32,求甲、乙两人的速度。
【例３】甲、乙两人从相距３6千米的两地相向而行。
如果甲比乙先走２小时,那么他们在乙出发后经2.5小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发后经3小时相遇;求甲、乙两人每小时各走多少千米？【例4】A 、B 两码头相距1４0千米,一艘轮船在其间航行,顺流用了7小时,逆流用了1０小时，求这艘轮船在静水中的速度和水流速度。
1. A市至B市的航线长1200千米，一架飞机从A市顺风飞往B市需2小30分,从Ｂ市逆风飞往A市需３小时２0分，求飞机的速度与风速。
2. Ａ、B两地相距500千米，甲、乙两车由两地相向而行。
若同时出发则5小时相遇;若乙先出发5小时,则甲出发后3小时与乙车相遇。
求甲、乙两车的速度。
3.甲、乙两人分别从相距20千米的A、B两地相向而行，两小时后在途中相遇,相遇后，甲立即以原速返回A地，乙仍以原速向A地前进,甲返回Ａ地时,乙离A地还有2千米。
求甲、乙两人的速度。
4.某跑道一圈长400米，若甲、乙两运动员从同一地点同时出发(甲的速度大于乙的速度)。
方向相反时，每32秒钟相遇一次；方向相同时，每８0秒钟相遇一次。
求甲、乙两人的速度。
5.甲、乙两人分别从相距30千米的Ａ、B两地同时相向而行。
经过3小时后相距3千米,再经过２小时,甲到B地所剩路程是乙到Ａ地所剩路程的2倍。
求甲、乙两人的速度。
６.Ａ、B两地相距20千米，甲从A地向B地前进,同时乙从B地向A地前进，２小时后两人在途中相遇，相遇后甲返回A地，乙仍然向Ａ地前进，甲回到Ａ地后乙离A地还有2千米，求甲乙两人的速度。
7.甲、乙两物体分别以均匀的速度在周长为60０米的圆形轨道上运动，甲的速度较快，当两物体方向运动时,每1５8.已知一铁路桥长1000米,现有一列火车从桥上通过,测得火车从一开始上桥到车身过完桥共用1分钟,整列火车完全在桥上的时间为4０秒,求火车的速度及火车的长度?知识点２配套问题【例１】一张桌子由桌面和四条脚组成，１立方米的木材可制成桌面50张或制作桌脚300条,现有５立方米的木材,问应如何让分配木材，可以使桌面和桌脚配套？【例2】某公司有3８名工人,2名工人每天可加工3张课桌，3名工人每天可加工10把椅子,若１张桌子配２把椅子，问:如何分配工人才能使得每天生产的桌椅配套？3.某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每２米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只. 现计划用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？4.用白铁皮做罐头盒,每张铁皮可制成盒身25个,或制盒底4０个，一个盒身和两个盒底配成一套罐头盒,现有3６张白铁皮，用多少张制盒身,多少张制盒底可以使盒身与盒底正好配套?5.某车间22名工人生产螺钉和螺母,每人每天平均生产螺钉１200个,或螺母2００0个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天的产量刚好配套，应分配多少名工人生产螺钉,多少名工人生产螺母?6.某工地需要派48人去挖土和运土,如果每人每天平均挖土5方或运土3方,那么应该怎样安排人员,正好能使挖的土及时运走？7. 一张学生桌由一个桌面和四条腿组成。
若1立方米木料可制作桌面50个或桌腿300条，现有15立方米木材，请你设计一下，用多少木料做桌面,用多少木料做桌腿恰好配套?8.机械厂加工车间有8５名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个。
2个大齿轮和3个小齿轮配成一套,问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？9.某校办工厂要生产学生服一批,已知每3米长的某种布料可以做上衣2件或裤子３件,一件上衣和一件裤子为一套,计划用6０0米长的这种布料生产学生服,应该分别用多少布料生产上衣和用多少布料生产裤子才能恰好配套？共能生产多少套？10.包装厂有工人４2人每个工人平均每小时可以生产圆形铁片1２0片或长方形铁片8０片,将两张圆形铁片与和一张长方形铁片可配套成一个密封圆桶，问如何安排工人生产圆形或长方形铁片才能合理地将铁片配套?11.某车间有29名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓1５个或螺母21个,两个螺栓配三个螺母，应如何分配生产螺栓和螺母的工人才能使螺栓和螺母正好配套?12.某车间有技工8５人,平均每天每人可加工甲种部件16个或乙种部件１０个，2个甲种部件和３个乙种部件配成一套，问加工甲、乙部件各安排多少人才能使每天加工的甲、乙两种部件刚好配套？１3.用铝片做听装饮料瓶，每张铝片可制瓶身16张或制瓶底43张,一个瓶身和两个瓶底可配成一套,有150张铝片，用多少张制瓶身和多少张制瓶底？１4.某工厂计划生产一种新型豆浆机，每台豆浆机需3个A种零件和５个Ｂ种零件正好配套。
已知车间每天能生产A种零件4５0个或Ｂ种零件３００个，现在要使在21天中所生产的零件全部配套，那么应安排多少天生产甲种零件，多少天生产乙种零件？１5．车间有26名工人生产零件甲和零件乙,每人每天平均生产零件甲1２0个或零件乙180个，为使零件甲和零件乙按3：2配套,则需分配多少工人生产零件甲和零件乙？知识点3 销售问题【例1】某班文艺小组购买每张3元、5元的杂技票共计20张,用去76元，问其中３元票、５元票各几张?【例２】一件商品如果按定价打九折出售可以盈利2０%;如果打八折出售可以盈利10元,问此商品的定价是多少?进价是多少?【例3】五．一期间,某商场搞优惠促销,决定由顾客抽奖决定折扣，某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付368元,这两面种商品原价之和为50０元,问两种商品原价各是多少元？【例４】商场购进甲、乙两种服装后都加价40％标价出售。
“春节”期间搞优惠活动，决定将甲、乙两种服装分别按标价的八折和九折出售。
某顾客购买两种服装共付款18２元，两种服装标价之和为21０元。
问这两种服装的进价各是多少元？1．某商场按定价销售某种商品时,每件可获利45元,按定价的8.5折销售时,该商品销售８件与按定价降35元销售该商品12件所获利润相等,该商品进价、定价分别是多少?2.某景点的门票价格规定如下表:购票人数1－50人５1-１0０人100人以上每人门票价13元11元9元某校初一(１)，(2)两个班共104人去游览该景点，其中(1）班人数较少,不到50人,（2)班人数较多，有50多人，经估算，如果两班都以班为单位分别购票，则一共应付１２40元;如果两班联合起来,作为一个团体购票，则可以节省不少钱。
问两班各有多少名学生？联合起来购票能省多少钱?3.甲、乙两件服装的成本共５00元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%利润定价,乙服装接4０%的利润定价.在实际出售时,应顾客要求,两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元,求甲、乙两件服装的成本各是多少元？服装套数１套至4５套46套至90套９１套以上每套价格60元５0元40元如果两校分别单独购买，共付５000元。
（１）如果两校联合起来购买,那么比各自购买可以节省多少钱？（２)甲、乙两校各多少学生?（３）如果甲校10名学生不买，请你为两校设计一种最省钱的购买方案。
6.某学校现有甲种材料3５kg，乙种材料２9㎏,制作Ａ、B两种型号的工艺品，用料情况如下表：（1）利用这些材料能制作A、B两种工艺品各多少件?(2）若每公斤甲、乙种材料分别为8元和10元,问制作A、B两种型号的工艺品各需材料多少钱？12０0元，若制成奶片销售,每吨可获利润2000元。
该厂生产能力如下：每天可加工3吨酸奶或1吨奶片，受人员和季节的限制,两种方式不能同时进行。
受季节的限制，这批牛奶必须在4天内加工并销售完毕,为此该厂制定了两套方案：方案一：尽可能多的制成奶片，其余直接销售现牛奶方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成（1）你认为哪种方案获利最多，为什么？(2)本题解出之后,你还能提出哪些问题?8．一旅游团共5１人到一旅店住宿。
旅店的客房有二人间和三人间，二人间每人每晚3０元，三人间每人每晚２0元。
若该团的人恰好住满2１间客房，问:该旅游团一宿的住宿费是多少？知识点4 工程问题工作量=工作效率×工作时间；①工作总量已知;②工作总量未知时,一般设为“单位１”。
做,那么再做9天才能完成，问两人每天各做多少个机器零件?【例2】甲、乙两部抽水机共同灌溉一块稻田,5小时可以完成任务的13。
已知甲抽水机3小时的抽水量等于乙抽水机５小时的抽水量,甲、乙抽水机单独灌溉这块稻田各需几小时？1．加工420个机器零件，甲先做２天,乙加入合做，再做２天完成;如果乙先做2天,甲加入合做,那么再做３天完成.求两人每天各做多少个机器零件？２．甲、乙两人做同样的机器零件,若甲先做一天,乙再开始做,再做5天后两人做的零件同样多;若甲先做30个，乙再开始做，4天后反而比甲多做10个。
(1）求甲、乙两人每天各做多少个零件？（2)若甲、乙两人共同完成一批零件可得报酬66０元，问如何分配才公平？3.一家商店进行装修,若请甲、乙两个装修组同时施工,8天可以完成；若先请甲组单独做６天，再请乙组单独做12天可以完成。
求甲、乙两组单独完成各需要多少天?4.某服装厂接到生产一种工作服的订货任务,要求在规定期限内完成,按照这个服装厂原来的生产能力,每天可生产这种服装15０套,按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的54;现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服２00套，这样不仅比规定时间少用1天，而且比订货量多生产25套,求订做的工作服是几套?要求的期限是几天?知识点5 方案分配问题【例1】已知:用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货1１吨，某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车ａ辆,B型车b辆,一次运完,且恰好每辆车都载满货物。
根据以上信息，解答下列问题：（1）１辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？（2）请你帮该物流公司设计租车方案;（3）若A型车每辆租金100元/次,B型车每辆租金１20元／次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费.【例2】某中学拟组织九年级师生去韶山举行毕业联欢活动。