生活中的优化问题举例(22)

故 x＝5 是 f(x)的最小值点，
对应的最小值为
f(5)＝6×5＋158＋ 00
＝ 5
70.
当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小值 70 万元．
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第一章 导数及其应用
题型三 利润最大问题
例3 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的
销售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关
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第一章 导数及其应用
题型二 费用(用材)最省问题 例2 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单
位：米)，其中容器 的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，
按照设计要求容器 的容积为80π立方米，且 3
l≥ 2r.假设该容
器 的建造费 用仅与其 表面积有 关．已知 圆柱形部 分每平方
米建造费用为 3 千元，半球形部分每平方米建造费用为
f(x)的最
大
值．因此，当 x＝2r时，S 也取得最大值，最大值为 fr2
＝3 3r2，即梯形面积 S 的最大值为3 3r2.
2
2
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第一章 导数及其应用
【名师点评】 (1)解决有关面积、容积的最值问题，要正 确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问 题的定义域，利用导数求解函数的最值． (2)借助直角坐标系来沟通变量间的关系，是处理几何问题 的常用方法．
第一章 导数及其应用
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2．解决优wenku.baidu.com问题的基本思路 函数
第一章 导数及其应用
导数
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第一章 导数及其应用
想一想 2.解决应用问题的步骤是什么？
提示：实际应用问题的解题步骤：
读题
建模
求解
反馈
文字语言⇒数学语言⇒数学应用⇒检验作答.
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第一章 导数及其应用
典题例证技法归纳
题型探究
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第一章 导数及其应用
解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为 100·2πrh＝200πrh(元)， 底面的总成本为 160πr2 元，所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋ 160πr2)元． 又根据题意 200πrh＋160πr2＝12 000π， 所以 h＝ 1 (300－4r2)，从而
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第一章 导数及其应用
解：(1)由题意，每年销售 Q 万件，共计成本为(32Q＋
3)万元．销售收入是 (32Q＋ 3)·150%＋ x·50%，
∴年利润 y＝(年收入)－(年成本)－(年广告费)
＝12·(32Q＋ 3－ x)
＝1232·3xx＋＋11＋3－x
－ ＝
x2＋ 98x＋ 2 x＋ 1
20×3x4＋0
＋ 5
6x
＝38x＋00 5＋ 6x(0≤ x≤ 10)．
(2)f′ (x)＝ 6－ 32x＋40502，
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第一章 导数及其应用
令 f′(x)＝0，即32x4＋0052＝6，
解得 x＝5(x＝－235不合题意，舍去)．
当 0＜x＜5 时，f′(x)＜0；
当 5＜x＜10 时，f′(x)＞0.
第一章 导数及其应用
1．4 生活中的优化问题举例
第一章 导数及其应用
学习导航
学习目标
利润最大、用料 实例 ―了―解→ 最省、效率最高 ―理―解→
等优化问题
由实际问题建立数
运用由导数求最
学模型，并表示为 ―应―用→ 值的方法解决实
适当的函数关系式
际中的优化问题
重点难点 重点:运用由导数求最值的方法解决生活中 的优化问题.
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第一章 导数及其应用
解：(1)设隔热层厚度为 x cm，由题设，每年能源消耗费
用为
C(x)＝3xk＋
， 5
再由 C(0)＝8，得 k＝40，因此 C(x)＝3x4＋0 5.
而建造费用为 C1(x)＝6x. 最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 f(x)
＝
20C(x)＋
C1(x)＝
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第一章 导数及其应用
x f′(x)
f(x)
(3,4)
4
(4,6)
＋
0
－
↗
极大值42
↘
由上表可得，x＝4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也
是最大值点．
所以，当 x＝4 时，函数 f(x)取得最大值，且最大值等于 42.
故当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的 利润最大．
由于 l≥2r，
因此 0<r≤2.
所以建造费 用
y＝
2πrl×
3＋
4πr2c＝
2πr×
4 3
2r20－
r
×
3
＋
4πr2c，
因此 y＝4π(c－2)r2＋16r0π，0<r≤2.
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(2)由(1)得 y′＝8π(c－2)r－16r02 π
＝8π
c－ r2
2r3－c2－0
2
，
0<r≤
2.
由于 c>3，所以 c－2>0.
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第一章 导数及其应用
【名师点评】 (1)解决此类有关利润的实际应用题,应灵 活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等 量关系有： ①利润＝收入－成本； ②利润＝每件产品的利润×销售件数． (2)对于单峰函数来说极值点就是最值点．
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第一章 导数及其应用
跟踪训练 3．某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促 销，在一年内，预计年销量 Q(万件)与广告费 x(万元)之间 的函数关系为 Q＝3xx＋＋11(x≥0)，已知生产此产品的年固定 投入为 3 万元，每生产 1 万件此产品需再投入 32 万元．若 每件产品售价为“年平均每件成本的 150%”与“年平均 每件所占广告费的 50%”之和． (1)试将年利润 y(万元)表示为年广告费 x(万元)的函数．如 果年广告费投入 100 万元，企业是亏损还是盈利？ (2)年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量
y＝x－2
＋ 3
10(x－
6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)
＝
(x
－
3)
2 x－
＋ 3
10
x－
62
＝
2
＋
10(x
－
3)(x
－
6)2,3<x<6.
从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)·(x－
6)．
于是，当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
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第一章 导数及其应用
跟踪训练 1．(2013·高考重庆卷)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池 (不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积 为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成 本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水 池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)． (1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域； (2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的 体积最大．
系式
y＝x－a
＋ 3
10(x－
6)2，其中
3<x<6， a
为常数．已知
销售价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克．
(1)求 a 的值；
(2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售量价格 x 的 值，使商场每日销 售该商品所获得的利润最大．
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第一章 导数及其应用
【解】 (1)因为 x＝5 时，y＝11，所以a2＋10＝11，a＝2.
当 r3－c2－02＝0 时，r＝
3 20 c－ 2.
令 3 c2－02＝m，则 m>0，
所以
y′＝8π
c－ r2
2(r－m
)(r2＋
rm＋m
2)．
①当 0<m<2，即 c>9时， 2
当 r＝m 时，y′＝0；
第一章
导数及其应用
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第一章 导数及其应用
当 r∈(0，m)时，y′<0； 当 r∈(m,2)时，y′>0， 所以 r＝m 是函数 y 的极小值点，也是最小值点． ②当 m≥2，即 3<c≤92时， 当 r∈(0,2)时，y′<0，函数单调递减， 所以 r＝2 是函数 y 的最小值点． 综上所述，当 3<c≤92时，建造费用最小时 r＝2；
35(x≥
0)，
∴所求的函数关系
式为
－ y＝
x2＋ 98x＋ 2 x＋ 1
35(x≥
0)．
当 x＝100 时，y＜0，即年广告费投入 100 万元时，企
业亏损．
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第一章 导数及其应用
(2)令
y＝
－ f(x)＝
x2＋ 98x＋ 2 x＋ 1
35(x≥
0)，得
f′(x)＝－
2x＋
98
·2
x＋1－2－ 4 x＋12
题型一 面积、容积的最值问题 例1 如图，有一块半椭圆形钢板，其
长半轴长为 2r，短半轴长为 r，计划将此钢 板切割成等腰梯形的形状，下底 AB 是半椭 圆的短轴，上底 CD 的端点在椭圆上，记 CD＝2x，梯形面积为 S. (1)求面积 S 以 x 为自变量的函数式，并写出其定义域； (2)求面积 S 的最大值．
2 ＜r}．
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第一章 导数及其应用
(2)记 f(x)＝4(x＋r)2(r2－x2)，其中 0＜x＜r. 则 f′(x)＝8(x＋r)2(r－2x)．
令 f′(x)＝0，得 x＝12r.因为当 0＜x＜2r 时，f′(x)＞0；
当r ＜ 2
x＜
r
时
，f′ (x)＜ 0，结合题意 可得
fr2是
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第一章 导数及其应用
【解】 (1)依题意，以 AB 的中点 O 为原点建立直角坐标系(如 图)，则点 C 的横坐标为 x，点 C 的纵坐标 y 满足方程xr22＋4yr22＝ 1(y≥0)，解得 y＝2 r2－x2(0＜x＜r)． S＝1(2x＋2r)·2 r2－x2＝2(x＋r)· r2－x2，其定义域为{x|0＜x
5r V(r)＝ πr2h＝π5(300r－ 4r3 )， 因为 r＞0，又由 h＞0 可得 r＜5 3， 故函数 V(r)的定义域为(0,5 3)．
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第一章 导数及其应用
(2)因为 V(r)＝π(300r－4r3)， 5
所以 V′(r)＝π(300－12r2)． 5
令 V′(r)＝0，解得 r1＝5，r2＝－5(因为 r2＝－5 不在定义域 内，舍去 )． 当 r∈(0,5)时，V′(r)＞0，故 V(r)在(0,5)上为增函数； 当 r∈(5,5 3)时，V′(r)＜0，故 V(r)在(5,5 3)上为减函数． 由此可知，V(r)在 r＝5 处取得最大值，此时 h＝8. 即当 r＝5，h＝8 时，该蓄水池的体积最大．
当 c>92时，建造费用最小时 r＝
3
20 c－ 2.
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第一章 导数及其应用
【名师点评】 (1)建立函数后要写出定义域． (2)对于含参数的函数模型，不但要注意参数的范围，而且 若参数对最值(实际上是对单调性)有影响时，需对参数分 类讨论．
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第一章 导数及其应用
跟踪训练 2．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶 和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔 热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元．该建筑物每年 的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满 足关系：C(x)＝3xk＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源 消耗费用为 8 万元．设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源 消耗费用之和． (1)求 k 的值及 f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值．
c(c>3)千元．设该容器的建造费用为 y 千元．
(1)写出 y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域；
(2)求该容器的建造费用最小时的 r.
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第一章 导数及其应用
【解】 (1)设容器的容积为 V，
由题意知 V＝πr2l＋43πr3，又 V＝803π，
故 l＝V－π43r2πr3＝38r02－43r＝432r20－r .
∴ f(x)m a x＝ f(x)极大值＝ f(7)＝ 42.
∴年广告费投入 7 万元时，企业年利润最大．
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第一章 导数及其应用
方法感悟
利用导数解决优化问题的基本步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数 学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)． (2)求导函数f′(x)，解方程f′(x)＝0. (3)比较函数在区间端点和极值点的函数值的大小，最大 者为最大值，最小者为最小值． (4)依据实际问题的意义给出答案．
x2＋
98x＋
35
－ ＝
x2－ 2x＋ 2 x＋ 12
63 .
令 f′(x)＝0，即 x2＋2x－63＝0.
∴ x＝－ 9(舍去 )， x＝ 7.
又当 x∈(0,7)时，f′(x)＞0；
当 x∈(7，＋∞)时，f′(x)＜0，
∴f(x)极 ＝ 大值 f(7)＝42.
又 f(x)在(0，＋∞)上只有一个极值点，
难点：由实际问题建立数学模型,并表示为适当的函数关 系式．
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第一章 导数及其应用
新知初探思维启动
1．优化问题 生活中经常遇到求__利__润__最__大___、__用__料__最__省__、_效__率__最__高__ 等问题，这些问题通常称为优化问题．
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想一想 1.求函数最值的常用方法有哪些？ 提示：①利用二次函数性质； ②判别式法； ③基本不等式法； ④导数法； ⑤换元法．