11 光栅衍射

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光栅衍射光强分布曲线具有 注意： 单缝衍射的特点,只有在单缝衍射的中 央明纹区域内各级主极大明纹较亮。 •干涉与衍射的联系
a + b 一般地：若 大, 衍射调制小 a 例：双缝 b>>a 干涉为主 a+b 若 小 衍射效应明显 a 例：双缝 b ~ a 干涉+衍射
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例2 平面透射光栅，每毫米有500缝。观察 5890 Å 的钠光衍射谱。分别讨论 当平行光 1)垂直入射时, 2) 斜入射(θ=30°)时,最多 能看到第几级谱线， 共看到多少条谱线？ 解1): 由光栅方程 (a + b)sin θ = kλ
一级谱线间的最大距离 Δ x = tgθ 红f - tgθ 紫f
11
第一级光谱的最大衍射角由红光决定。
λ 紫 400 ×10 -7 32' = = - 4 = 0.20 θ 紫 ≈ 11° a + b 2.0 ×10
光栅图示 δ
= (a + b)sin θ k
x
p
a
θ
b
δ
θ
λ
k 1红
1紫
2 光栅的衍射条纹的亮锐程度∝N(狭缝数)。 3中央明纹: k 0 , 0 , I合＝ N2I0＝ Imax最亮 其它明纹对称分布于中央明纹两侧， k , I 。
7
a+b
光栅衍射＝多缝干涉＋单缝衍射
8
三、光栅光谱 1,± 2 由光栅方程: (a + b)sin θ = kλ k = 0,± 可知：若(a+b)一定,则 θ ∝λ 当复色光入射时,在中央明纹两侧产生按 短波长→长波长排列的谱线,称之 x光栅光谱。
λ 明纹宽度 = a f 中央明纹宽度 0 2 2 1a f
线宽度与角宽度
A
x
Δθ
•
λ

0
a
B
θ0
Δθ0
θ1
o

f
其它明纹宽度 0 中央明纹宽度 θ 0 中央明纹角宽度 Δ θ其它明纹角宽度 Δ θ 0中央明纹半角宽度 θ 1 一级明纹衍射角
2
11-8 圆孔夫琅和费衍射 光学仪器的分辨率
φ C
A
BD
= (a + b)(sin θ - sin φ)
θ
斜入射时光栅方程
90° kmax sin 1 θ = ± (a + b)(sin90 ° - sin30 ° ) = 1.85 k max = 1 k max = λ (a + b)(sin- 90° - sin30 ° )= -5.1 k max = -5 k max = λ 最多可见-5,-4,-3,-2,-1,0,1级条纹，共7条。 斜射时可提高级次,但总条纹数不变。
4
哈勃太空望远镜
1990 年发射的哈勃 太空望远镜的凹面物镜 的直径为2.4m ，最小分 " 辨角 0 0.1 ，在大气 层外 615km 高空绕地运 行 ,可观察130亿光年远 的太空深处, 发现了500 亿个星系 .
5
§11-9 衍射光栅 －测波长的元件 a 光栅 光栅: 由大量平行等距的狭缝组成 b 常数 刻痕宽度为 b, 透光宽度为 a . 透光 刻痕 a + b 称为光栅常数 一、光栅衍射图样的形成: 1. 每个缝的光都要发生衍射,对确定的衍 射 角θ,各缝形成的干涉图样,条纹位置均相同。 2. 各缝的衍射光都是相干光,相遇时要发生 干涉。 ∴光栅衍射＝ 单缝衍射 ＋多缝干涉
k 高 λ 短＝ k 低 λ 长
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p127例1 设人眼在正常照度下的瞳孔直径约为 3mm,而在可见光中,人眼最敏感的波长为550nm， 问 （1）人眼的最小分辨角有多大？ （2）若物体放在距人眼25cm(明视距离)处， 则两物点间距R为多大时才能被分辨？ 解（1） 0 1.22
2.2 10 rad
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小结：光栅衍射特性 光栅衍射＝ 单缝衍射 ＋多缝干涉 1. 光栅方程 (a b)sin k k （正入射） k－衍射角 k = 0,± 1,± 2 －主极大级次 中央明纹： 最亮 位置由k=0定
k 其它明纹位置 sin k 亮度 k , I ab
条纹最高级次 k 90 max k 条纹重叠条件θk(或x) 同
( 斜 :θ = φ , x ≠0) 0 0 D θ φ C 其它明纹不对称分布于 B 中央明纹两侧。 光线斜入射 可提高一侧光谱级次k, AC AD 但总衍射条纹数不变。
24
四、X 射线的衍射 x 射线：波长很短(Å ), 穿透力极强的射线。 x 射线的衍射图样－ 劳厄斑点(见图 P243) 布拉格公式 用天然晶体(d～Å )光栅观察 相邻两晶面反射波1,2的光程差 δ= AC + BC =2d sin －掠射角 d－晶格常数 1 干涉加强 δ= kλ O 2 θ 2d sin = k k =1,2,3.. 布拉格公式 d 讨论： A B 1) d,一定→ 特定的k 加强 C
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(a + b)(sin θ - sinφ )= k λ
例3 平面透射光栅 光栅常数6.0×10-3mm, 缝宽1.2×10-3mm。有束 单色光垂直入射到光栅上，求: 单缝衍射 中央主极大范围内含有几条谱线？级次为？ 解：由题意 a + b = 5 5缺级 条纹数为9。 a 分析:单缝衍射一级暗纹 asinθ = λ 对应中央主极大边缘处 多缝干涉在单缝中央主极大内的级次
k’－单缝极小级次
-8
-4
k=4k’
26
半波带
偶数个 对应相消 P处暗纹
λ 2
• • • • •
• •
A
a
θ
θ
• •
B
•
C
λ 2
θwk.baidu.com
奇数个 有一个未被抵消 P处明纹
A
• •
•
•
• •
•
a
θ
B λ
end
C
27
2
圆孔衍射
H
L
P
艾 里 斑
d
L
D
f


P
d
d 2 1.22 f D
end
28
p
θ
重叠
3 2 1 0
x
θ
o
f
光谱重合θ (或x )同 k 高 λ 短＝ k 低 λ 长
9 重叠
-1 -2 -3
光栅的衍射光谱图示
( a b ) sin k
( k 0 ,1,2 , )
入射光为白光时， k不同，按波长分开形成光谱. 不同，
I
sin
b bb ' a
三.光学仪器的分辨率 一个的极大与另一个极小重合 －恰能分辨 S1 R θ 1 • D θR 瑞利判据 --------• 准则 S2 最小分辨角θR ≈ sin 1 . 22 R 1 (爱里斑的角半径) D
λ－入射光波长 D－通光孔径 光学仪器的分辨率η －最小分辨角的倒数
D 1 η= D大,λ小,分辨率高 θ R 1.22
（ 2）
1.22 5.5 10 m 3 D 3 10 m
4
4

7
R l0 25cm 2.2 10
0.0055 cm 0.055mm
23
φ C
A B D
θ
斜入射时的光栅方程
AC-BD 中央明纹位置 由k=0定
A
(a b)(sin sin ) = k λ 1,± 2 k－主极大级次 k = 0,±
即当θ角相同时

a+b k = a k'
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光栅缺极条件
亮度
a+b k= k' a
单 缝 衍 射 1 sin
k－光栅缺级级次 k’－单缝极小级次
-1
0
ab 2 例: 若 a -3 则±2, ±4, ±6, …主极大缺极
-3
k' = ± 1,± 2
多 缝 干 涉
-2 缺 级 -2 -1 0 1 2 3 光 栅 衍 射 -1 0 1 2 3
2) d, 一定→ 特定的 k 加强。
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2光栅缺极问题 光栅衍射加强条件： ( a b ) sin k 单缝衍射减弱条件: a sin k' 两式相比
I单
a+b k= k' a
缺极条件
k－ 光栅缺极级次
-2
-1
0 I
1
2
光栅衍射 光强曲线
单缝衍射 轮廓线
0 4 8
6
二、光栅方程 (主极大方程) 相邻狭缝对应点两光线的相位差 由多光束干涉主极大条件 Δ φ = 2kπ (a + b)sin θ = kλ 光栅方程
2π 2π Δφ = δ = (a + b)sin θ λ λ
讨论 k = 0,± 1,± 2 k－主极大级次 1 主极大的位置 由 sinθ = k λ 定,与N无关。
k
max
1 -3 (a + b)sin90 ° a+b = ×10 m 500 = λ -3 10 k max = 3 = -10 = 3.4 500 ×5890 ×10
若k=3，则 kmax=2（θ不能 =90）
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正入射时最多能看到7条谱线, 级次为 0,±1, ±2, ±3.
2)平行光斜入射(φ=30°)时, δ = BD - AC
有两条缺级 19-2=17
(a + b)sin θ = kλ
单缝中央主极大内0,±1, ±2, ±3, ±4 共9条。
19 600 nm 若 理论上最多可见第几级？共多少条条纹？
作
业
p170 11-27,28,30,31
下次课§11-10,11
20
练习：在单缝夫琅和费衍射实验中，垂直入 射的光有两种波中波长 1=400nm ， 2 =760nm.已知单缝宽度a=1.0×102cm透 镜焦距 f =50 cm，求两种光第一级衍射明 纹 中心之间的距离。 解： ( 1 )由单缝衍射明纹公式可 知： 3 1 1 a sin 1 (2k 1) x 2 2 sin tg , f 3 2 2 a sin 2 (2k 1) 2 2 3 f x x2 x1 0.27cm 2a
(a + b)sin θ = kλ
单缝中央主极大内0,±1, ±2, ±3, ±4 共9条。
18 600 nm 若 理论上最多可见第几级？共多少条条纹？
例3 平面透射光栅 光栅常数6.0×10-3mm, 缝宽1.2×10-3mm。有束 单色光垂直入射到光栅上，求: 单缝衍射 中央主极大范围内含有几条谱线？级次为？ 解：由题意 a + b = 5 5缺级 条纹数为9。 a 分析:单缝衍射一级暗纹 asinθ = λ 对应中央主极大边缘处 10-1=9 2*9+1=19多缝干涉在单缝中央主极大内的级次
一、圆孔的衍射
圆孔衍射图样： 中央亮斑称为爱里斑 λ sin θ = 单缝衍射第一级暗环的条件 a 同理,圆孔衍射第一级暗环 sin ~ D sin 1.22 D 是圆孔直径. D θ 1.22修正系数
D R ≈ f sinθ 1.22 f D
二 、 爱里斑半径R
R
f
3
d
：艾里斑直径
瑞利判据
0.8I 0
对于两个强度相等的不相干的点光源（物点）， 一个点光源的衍射图样的主极大刚好和另一点光 源衍射图样的第一极小相重合，这时两个点光源 （或物点）恰为这一光学仪器所分辨. 29 end
复习 单缝衍射 A 理解半波带好半波带的概念。
P
θ
θ θ不同→δm不同→ a 缝面所分成的半波带数不同； C λ 暗纹 a sinθ 2k B δ m = a sin θ = ± 2 δ m = a sin θ = ±( 2k + 1) λ 明纹 k = 1,2,3 2 λ k 衍射图样的形成与分布, 暗纹 a sin θ = λ 仅取决于相应的衍射角 ( 2k + 1) 明纹 θ小 2a 条纹位置 x = tgθ f ≈ sin θf
0
一级光谱
三级光谱 二级光谱
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例1 用白光垂直照射光栅常数 为2.0×10-4cm 的 光栅，求: 第一级光谱的张角及谱线 间的最大距离？(设透镜焦距为f) 解：由光栅方程 (a + b)sin θ = kλ 第一级光谱的最小衍射角由紫光决定。
sinθ 紫
λ 红 760 ×10 -7 20' = sin θ红 = - 4 = 0.38 θ 红 ≈ 22° a + b 2.0 ×10 48' ∴第一级光谱的张角 Δ θ = θ 红－ θ 紫= 10 °
x1红 x1紫
o
一级谱线张角
1 1红－1紫 f
一级谱线间隔
x1 x1红－x1紫
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四 光栅衍射的缺极 当多缝干涉的主极大位置恰好与 单缝衍射的极小位置相重合时, 该级主极大消失 －缺极。
干涉主极大 (a + b)sin θ = kλ k = 0,± 1,± 2 单缝衍射暗纹
1,± 2 asinθ = k 'λ k ' = ±