拉氏变换
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本章重点
. . . . . .
常用函数的拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的基本性质 复频域中的电路定律 运算阻抗和运算导纳 拉普拉斯变换法分析电路的动态响应 网络函数
返回目录
13.1 拉普拉斯变换
一、拉氏变换(Laplace transformation)的定义 时域(time domain)
原函数(original function)
1 1 esT
F1 ( s )
证：f (t) f1(t) (t) f1(t T ) (t T ) f1(t 2T ) (t 2T )
L[ejt ] 1
s j
1
e( sa )t
1
sa
0 sa
3. f (t) (t)
L[ (t)] (t)estdt 0
0
(t)dt 0
=1
4. f (t ) t n
L[t n]
t nestdt
0
0
t n dest s
t n est e st dt n n t n1estdt
s
0
s 0
s 0
lim tn
t est 0
L[t n ] n L[t n1] s
当n＝1
1 L[t] s2
当n＝2
依次类推，得
L[t n ]
n! sn1
L[t 2 ]
2 s3
求图示两个函数的拉氏变换式
f1(t)
f2(t)
1 e-t
1 e-t
t
t
0
0
解 由于定义的拉氏变换积分下限是0－，两个函数的拉氏变换
f(t-t0) (t-t0)
f(t) (t)
f(t) (t-t0)
0 t0
t 0
t
t
0 t0
例1 求图示函数的拉氏变换式
f(t) 1
f (t) (t) (t T)
F (s) 1 1 esT
0
Tt
ss
例2 求图示函数的拉氏变换式
f(t) T
f (t) t[ (t) (t T )]
0
反变换
f (t) 1
j
F
( s )e st ds
2j j
(inverse Laplace transformation)
记号
L[f(t)]表示取拉氏变换
L-1 [F(s)]表示取拉氏反变换
拉氏变换对 (Laplace pairs)
一 一对应
积分下限从0+ 开始，称为0+ 拉氏变换 。
积分下限从0 开始，称为0 拉氏变换 。
T
f (t) t (t) (t T ) (t T ) T (t T )
ຫໍສະໝຸດ BaiduF(s)
1 s2
1 s2
e sT
T s
e sT
例3 周期函数(periodic function))的拉氏变换
f(t)
1 ...
设f1(t)为第一个周期的函数
L[ f1(t)] F1(s)
0 T/2 T
t
则：L[ f (t)]
由于单边拉氏变换的收敛问题较为简单，在下面的讨论 中一般不再写出其收敛范围。
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13.2 常用函数的拉普拉斯变换
1. f (t) (t)
L[ (t)]
(t)estdt 0
0
estdt
0
1 est s
0
1 s
2. f (t ) eat (t )
L[eat ] eatestdt 0
式相同
F(s) 1
s
当取上式的反变换时，只能表示出 t 0 区间的函数式
L1[ 1 ] e- t
s
t0
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13.3 拉普拉斯变换的基本性质
一、线性(linearity)性质
若L[ f1(t)] F1(s) ,L[ f2(t)] F2(s)
则L[a f1(t) b f2(t)] aF1(s) bF2(s)
L[dn f (t )] snF (s) n1 snk1 f (k) (0 )
dt n
k0
例1
L[cos t] L[ 1 d (sin t)] dt
1
[s
s2
2
sint
0
]
s2
s
2
例2
L[ (t)] L[ d (t)]
dt
s
1 s
(t
)
0
1
三、原函数的积分(integration)
f(t) t [0,)
复频域 (complex frequency domain) 象函数(transform function) F(s) 复频 率 (complex frequency) s j
定义式
正变换
F (s) f (t )estdt 0
(Laplace transformation)
例1 L[ A] A S
例2 L[ A(1 et )] A(1 1 )
s s
例3 L[sint] L[ 1 (ejt ejt )] 2j
1[ 1 1 ]
2j S j S j
S2
2
二、原函数的微分(differentiation)
设：L[ f (t)] F(s)
L[df (t)] sF (s) f (0 ) dt
收敛轴 收敛区
0 0
收敛坐标
电工中常见信号为指数阶函数，即
f (t) MeCt
t [0, )
M是 正 实 数 ，C为 有 限 实 数
0
f (t )et dt
0
Me( C )tdt
选 C M
C
例f (t ) e5t， 选 5( 0 5)， 则e5tet为 衰 减函 数 ，
就可以对f (t )进行拉氏变换。
象函数F(s) 用大写字母表示 ，如 I(s)，U(s)
二、拉氏变换存在条件
当 0 时
lim f (t )et 0
t
则f (t )et在
的
0
全
部
范
围
内
收
敛
，
即 0
f (t )et
dt 存在 ，
f (t)可 进 行 拉 氏 变 换 。
j
不同的 f (t)，0的值不同，称 0为复平面s内的收敛横坐标。
0+ 拉氏变换和0拉氏变换的区别
F (s) f (t )estdt 0
0 f (t )estdt f (t )estdt
0
0
当f(t)含有冲激函数项时，此项 0
为了把0- 0+时冲激函数的作用考虑到变换中，以下拉氏变 换定义式中积分下限从 0- 开始 注意 原函数f(t ) 用小写字母表示，如 i(t )， u(t )
设：L[ f (t)] F(s)
L[ t f ( )d ] 1 F(s)
0
s
例
t
L[t] L[ ( )d ] 0
L[ (t)]
s
1 s2
四、时域平移(time shift)
设：L[ f (t)] F(s)
L[ f (t t0 ) (t t0 )] est0 F(s)
f(t-t0) (t-t0) 平移 f(t) (t) 不是平移 f(t) (t-t0)
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常用函数的拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的基本性质 复频域中的电路定律 运算阻抗和运算导纳 拉普拉斯变换法分析电路的动态响应 网络函数
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13.1 拉普拉斯变换
一、拉氏变换(Laplace transformation)的定义 时域(time domain)
原函数(original function)
1 1 esT
F1 ( s )
证：f (t) f1(t) (t) f1(t T ) (t T ) f1(t 2T ) (t 2T )
L[ejt ] 1
s j
1
e( sa )t
1
sa
0 sa
3. f (t) (t)
L[ (t)] (t)estdt 0
0
(t)dt 0
=1
4. f (t ) t n
L[t n]
t nestdt
0
0
t n dest s
t n est e st dt n n t n1estdt
s
0
s 0
s 0
lim tn
t est 0
L[t n ] n L[t n1] s
当n＝1
1 L[t] s2
当n＝2
依次类推，得
L[t n ]
n! sn1
L[t 2 ]
2 s3
求图示两个函数的拉氏变换式
f1(t)
f2(t)
1 e-t
1 e-t
t
t
0
0
解 由于定义的拉氏变换积分下限是0－，两个函数的拉氏变换
f(t-t0) (t-t0)
f(t) (t)
f(t) (t-t0)
0 t0
t 0
t
t
0 t0
例1 求图示函数的拉氏变换式
f(t) 1
f (t) (t) (t T)
F (s) 1 1 esT
0
Tt
ss
例2 求图示函数的拉氏变换式
f(t) T
f (t) t[ (t) (t T )]
0
反变换
f (t) 1
j
F
( s )e st ds
2j j
(inverse Laplace transformation)
记号
L[f(t)]表示取拉氏变换
L-1 [F(s)]表示取拉氏反变换
拉氏变换对 (Laplace pairs)
一 一对应
积分下限从0+ 开始，称为0+ 拉氏变换 。
积分下限从0 开始，称为0 拉氏变换 。
T
f (t) t (t) (t T ) (t T ) T (t T )
ຫໍສະໝຸດ BaiduF(s)
1 s2
1 s2
e sT
T s
e sT
例3 周期函数(periodic function))的拉氏变换
f(t)
1 ...
设f1(t)为第一个周期的函数
L[ f1(t)] F1(s)
0 T/2 T
t
则：L[ f (t)]
由于单边拉氏变换的收敛问题较为简单，在下面的讨论 中一般不再写出其收敛范围。
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13.2 常用函数的拉普拉斯变换
1. f (t) (t)
L[ (t)]
(t)estdt 0
0
estdt
0
1 est s
0
1 s
2. f (t ) eat (t )
L[eat ] eatestdt 0
式相同
F(s) 1
s
当取上式的反变换时，只能表示出 t 0 区间的函数式
L1[ 1 ] e- t
s
t0
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13.3 拉普拉斯变换的基本性质
一、线性(linearity)性质
若L[ f1(t)] F1(s) ,L[ f2(t)] F2(s)
则L[a f1(t) b f2(t)] aF1(s) bF2(s)
L[dn f (t )] snF (s) n1 snk1 f (k) (0 )
dt n
k0
例1
L[cos t] L[ 1 d (sin t)] dt
1
[s
s2
2
sint
0
]
s2
s
2
例2
L[ (t)] L[ d (t)]
dt
s
1 s
(t
)
0
1
三、原函数的积分(integration)
f(t) t [0,)
复频域 (complex frequency domain) 象函数(transform function) F(s) 复频 率 (complex frequency) s j
定义式
正变换
F (s) f (t )estdt 0
(Laplace transformation)
例1 L[ A] A S
例2 L[ A(1 et )] A(1 1 )
s s
例3 L[sint] L[ 1 (ejt ejt )] 2j
1[ 1 1 ]
2j S j S j
S2
2
二、原函数的微分(differentiation)
设：L[ f (t)] F(s)
L[df (t)] sF (s) f (0 ) dt
收敛轴 收敛区
0 0
收敛坐标
电工中常见信号为指数阶函数，即
f (t) MeCt
t [0, )
M是 正 实 数 ，C为 有 限 实 数
0
f (t )et dt
0
Me( C )tdt
选 C M
C
例f (t ) e5t， 选 5( 0 5)， 则e5tet为 衰 减函 数 ，
就可以对f (t )进行拉氏变换。
象函数F(s) 用大写字母表示 ，如 I(s)，U(s)
二、拉氏变换存在条件
当 0 时
lim f (t )et 0
t
则f (t )et在
的
0
全
部
范
围
内
收
敛
，
即 0
f (t )et
dt 存在 ，
f (t)可 进 行 拉 氏 变 换 。
j
不同的 f (t)，0的值不同，称 0为复平面s内的收敛横坐标。
0+ 拉氏变换和0拉氏变换的区别
F (s) f (t )estdt 0
0 f (t )estdt f (t )estdt
0
0
当f(t)含有冲激函数项时，此项 0
为了把0- 0+时冲激函数的作用考虑到变换中，以下拉氏变 换定义式中积分下限从 0- 开始 注意 原函数f(t ) 用小写字母表示，如 i(t )， u(t )
设：L[ f (t)] F(s)
L[ t f ( )d ] 1 F(s)
0
s
例
t
L[t] L[ ( )d ] 0
L[ (t)]
s
1 s2
四、时域平移(time shift)
设：L[ f (t)] F(s)
L[ f (t t0 ) (t t0 )] est0 F(s)
f(t-t0) (t-t0) 平移 f(t) (t) 不是平移 f(t) (t-t0)