三角形内的最值问题

三角形内的最值问题

我们知道，求一条直线上的点，要求该点到直线外两点的距离和

最小，若两点在直线的异侧，则所求点就是两点连线与已知直线的交点；若两点在直线的同侧，则作其中一点关于已知直线的对称点，对称点与另外一点的连线与已知直线的交点。（右图）那么求一平面上的点，要求该点到平面上三点的距离和最小，这个点又怎么求呢？

在平面几何中，有一个以费尔马为名的“费尔马点”。即：在

△ABC所在平面上找一点，它到三个顶点的距离之和相等。（如图4）

以AB、BC、CA为边向形外作正三角形BCD、ACE、ABK，作此三个三角形的外接圆。设⊙ABK、⊙ACE除A外的交点为F，由A、K、B、F四点共圆知∠AFB＝120°。同理∠AFC＝120°于是∠BFC=120°。故⊙BCD边过点F，即⊙ABK，⊙BCD，⊙CAE共点F。

由∠AFB=120°，∠BFD=60°，知A、F、D在一条直线上。

在FD上取点G，使FG=FB，则△FBG为正三角形。由BG＝BF，BD＝BC，∠DBG＝∠CBF＝60°-∠GBC，故△DBG≌△CBF。于是GD＝FC，即AD=FA+FB+FC。

对于平面上任一点P，以BP为一边作等边△PBH（如图4），连HD，同样可证△BHD≌△BPC。于是AP+PH+HD=PA+PB+PC。但PA+PH+HD≥AD=FA+ FB+FC。这就是说，点F为所求点。这点称为△ABC的费尔马点。

以上情况只考虑△ABC的三个内角都小于120°的情况，当△ABC有某一内角≥120°，例如∠A≥120°，则点A即为所求点。

在三角形中，还有很多最值问题。下面介绍在三角形三边取三点连接成的三角形中，周长最小的三角形的求法。

在△ABC中，AD、BE、CF分别为三边上的高，△

DEF称为△ABC的垂足三角形，可以证明△ABC的垂心H是△DEF的内心。（图2）

证明过程如下：

因为∠AHE=∠BHD

AC垂直于BE

AD垂直于BC

所以∠CAD=∠EBC

所以sin∠CAD=sin∠EBC

所以CE/BC=CD/AC

在△CDE与△CAB中

∠ECD=∠BCA

所以△CDE与△CAB相似

所以∠CDE=∠CAB

同理可得∠BDF=∠CAB

所以∠CDE=∠BDF

所以∠ADF=∠ADE

同理可得∠BEF=∠BED；∠CFD=∠CFE

所以△ABC的垂心H是△DEF的内心。图3

如图3作D关于AB的对称点D1，可知∠DEB=∠D1EB＝∠AEF，于是，D1、F、E在一直线上。同样可知，D关于AC的对称点D2也在直线EF上，即D1、F、E、D2四点在一条直线上。

现在，我们来看由法格拉洛提出的一个问题：在△ABC的每条边上各取一点D、E、F，△DEF称为△ABC的内接三角形。试在锐角三角形ABC的所有内接三角形中，求周长最短的三角形。

解：设D是BC上固定点，求此时的周长最短的内接三角形。（图3）

作D关于AB、AC的对称点D1、D2，连D1D2交AB、AC于E、F，则△DEF为所求。实际上，对于△ABC的任一内接△DE′F′，有

DE′+E′F′+ D F′=D1E′+E′F′+ D2F′

≥D1D2=D1E+EF+ D2F

=DE＋EF＋FD。

就是△DEF的周长≤△DE’F’的周长。

因此，我们只要对于每一个BC上的点D，都找出相应于该点的周长最短的内接三角形DEF，在这些三角形中找出周长最短的一个就行。

由于AD1=AD，AD2=AD，故△AD1D2是等腰三角形。又由于∠1=∠2，∠3=∠4，故△AD1D2的顶角∠D1AD2=2∠BAC为定值，因此，只有当其腰AD1最短时，D1D2最短。此时必有AD最短。从而当AD 为△ABC的高时，内接三角形DEF的周长最短。

当AD为△ABC的高时，由前面三角形垂足三角形性质，可证△ABC的内接三角形中，以其垂足三角形DEF的周长最短。