界面现象第2节：弯曲液面的附加压力及其后果
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界面现象
四 Freundlich等温吸附经验式（适用于中压范围）
吸附量Va与气相平衡压力p之间的关系为：
V a V kpn m
k和n是经验常数，k视为p为单位压力时的吸附量。
五 Langmuir单分子层吸附等温式
（1） Langmuir单分子层吸附理论的基本假设：
1 单分子层吸附； 2 固体表面均匀； 3 固体表面上被吸附分子之间无作用力； 4 吸附、脱附处于动态平衡。
在温度、压力和组成恒定的条件下，可逆扩张单位表 面积，体系Gibbs能的增加。
W
' r
dAs
dGT ,P dAs
G As
T ,P
单位 J.m-2
总结：（1）三者之间数值与量纲相同，物理意义不同 （2）表面张力的作用：尽量使液体表面缩小。 （3）方向：对平液面是沿着液面并与液面平行。 对于弯曲液面则与液面相切。
表面活性物质的应用
（1）润显作用---淋不湿的服装，矿物浮选 （2）去污作用 （3）增溶作用 （4）助磨作用 （5）乳化、起泡作用等
Γ∞
实验测出Γ∞ 值可计算被吸附表面 活性物质分子的截面积A。
ΓL A 1
浓度
式中L为Avogadro常数。
四 表面活性物质的分子结构及其溶液表面吸附层的定向排列
表面活性物质的分子中都同时会有极性基团（如：—COOH， CONH2，—OH等），以及憎水的非极性基团（如碳链或环）。
通常表示表面活性物质分子的模型为：
沾湿过程：
θ ＜1800 Ga γ ls γ l γ s γ l (cos θ 1 )
浸湿过程： θ ＜900
Gi γ ls γ s γ l cos θ
铺展过程：
θ =00或不存在 Gs γ ls γ l γ s γ l (cos θ 1 )
1.2 弯曲液体表面的现象解析
W p xydz
( xdy ydx) p xydz
⑨由图比较两个相似三角形得
Laplace方程
x dx x R1 dz R1
或 或
x dx dz R1 y dy dz R2
1 1 p R1 R2
y dy y R2 dz R2
Page 2
弯曲液体表面下的附加压力△P
通常看到大面积水面是平坦的,小面积液面 是弯曲的,如毛细管中的液面、沙土间毛细缝 液面、气泡水珠上的液面等都为曲面。液体 曲面下的压力与平面下的压力不同：液体表 面张力总是力图收缩液体体积,使液体表面积 减少。
Page 3
弯曲液体表面下的附加压力△P
气 P0 P0 –气相压力
毛细现象
毛细现象：
由于附加压力而引起毛细管内液面与管外液面有高度差的现象。
P0 r 毛细管上升: 毛细管壁能被液体很好润湿时,毛细管内液面就 呈凹面,附加压力△P < 0,凹液面内的压力P凹<P0 , 其压差为: △P= 2σ/r (r凹液的曲率半径为负值) . 若液面为球面,则r是毛细管的半径。所以,要保 持内、外液体在同一水平上,即a和a’两处的压力必 须相等,则毛细管内的液柱必然上升h的高度,使 P0 =Pi + △ρ ·gh ,即: △P= 2σ/r = △ρ ·gh (△ρ 是界面两边液相 和气相的密度差,g是重力加速度) 因此,毛细管上升的高度与附加压力成正比。
h •a Pi
•a
毛细管上升
Page
14
毛细管下降
P0 h
r
Pi
毛细管下降
毛细管下降： 当液体不能润湿毛细管壁时,毛细管 内液面就呈凸形半球面,因凸液面内的 压力比液面上方气相的压力大,所以管 内液柱反而要下降,下降的深度h也与附 加压力成正比。同样服从上式: △P= 2σ/r = △ρ ·gh, 移项得：2σ/△ρ·g = rh = A2 式中, A为毛细管常数。
弯曲液面的附加压力
2
R'
gh
1g
当 1 g
2
h
R '1g
1.曲率半径 R'与毛细管半径R的关系：
R´ R
cos
如果曲面为球面
R'=R, cos 1
2. ps 2R´ (l g)gh
2
R´
gh
ps
2cosgh
R
1.曲率半径 R'与毛细管半径R的关系：
RTln
pr p0
2M R'
p p0
2 M RTR '
Kelvin公式也可以表示为两种不同曲率半径的
液滴或蒸汽泡的蒸汽压之比
RTlnp2 p1
2MR12'
R11'
对凸面，R' 取正值，R' 越小，液滴的蒸汽压越高；
对凹面， R' 取负值， R' 越小，小蒸汽泡中的 蒸汽压越低。
z
使曲面扩大到A'B'C'D'(蓝色面)，
则x与y各增加dx和dy 。
Young-Laplace 公式
移动后曲面面积增量为： d A s (x d x )(y d y ) x y
D'
x dx C'
o'
x d y y d x(d y d x 0 )
增加这额外表面所需功为
A'
pg
2
r
ppg
pl
2
r
③肥皂泡
p p i p o ( p g ,i p l) ( p l p g ,o )
④毛细管连通的大小不等的
2 弯曲液面的附加压力
o
R1
C
ydz dy = ' A R2 若 R '1 = R '2 = R '
x'
B
z
' R2
2γ ps = ' R
这两个都称为 Young-Laplace 公式
注意： 注意： 1) r 的符号： 的符号： 凸液面， ＞ ， 固相)内部 凸液面，r＞0，ps＞0， r 指向液相 固相 内部 ， 指向液相(固相 凹液面， 凹液面，r ＜0，ps＜0， r 指向气相 ， ， 平液面， 平液面，r→∞,ps→0， ， 2）气泡的附加压强： ）气泡的附加压强： 气 肥皂泡两个l-g界面 界面， 肥皂泡两个 界面，r1≈r2 气 ps=ps,1+ ps,2= 4γ/r ps,1 r1 r2 p
3. 在凹面上 由于液面是凹面，沿AB 的周界上的表面张力不能抵 消，作用于边界的力有一指
向凹面中心的合力
所有的点产生的合力 为 ps ，称为附加压力 凹面上受的总压力为：
p总 = p0 − ps
弯曲液面下的附加压强
p0 p0 A B A A B p = p0 ps p = p0 + ps B A p = p0 - ps B p0 ps
p0
ps = p0 − p0 = 0
弯曲表面上的附加压力
2. 在凸面上 由于液面是弯曲的，则 沿AB的周界上的表面张力不 是水平的，作用于边界的力
f
A
p0
B
f
ps
将有一指向液体内部的合力
所有的点产生的合力 为 ps ，称为附加压力 凸面上受的总压力为：
p0 + ps
p总 = p0 + ps
弯曲表面上的附加压力
物理化学-界面化学2
13
(3) 过冷液体
C
P
O`
O
A`
A
tf′ tf
t
这种按照相平衡条件，应当凝固而未凝固的液体， 称为过冷液体。
14
(4) 过饱和溶液
溶液浓度已超过饱和 液体，但仍未析出晶体的 溶液称为过饱和溶液。
原因：小晶体为凸面, pr＞p ， 表明分子从固相中逸出的倾向大 ， 这造成它的浓度大，即溶解度大， 由此产生过饱和现象。
第二节 弯曲液面的附加力及其后果
• 一、弯曲液面的附加压力方程 • 1、附加压力
PgγBiblioteka γPl• △P = P内- P外
△P
•
= Pl- Pg
• 对于液珠（凸液面 ）
第二节 弯曲液面的附加 压力及其后果
• 对于液体中气泡（凹液面）
• △P = P内- P外= Pg- Pl。
弯曲液面附加压力Δp 与液面曲率半径之间关系的推导：
由于小颗粒物质的表面特殊性，造成新相难以生成， 从而形成四种不稳定状态（亚稳态）：
——过饱和蒸气，过热液体，过冷液体，过饱和溶液
15
第二节 弯曲液面的附加压力及其后果
• （4）过饱和溶液：
• 例1：25℃时，101.325KPa下将直径为 1um的毛细管插入水中，问需要多大压力 才能防止水面上升？（已知25℃时水的 表面张力为71.97×10－3N·m-1）
第二节 弯曲液面的附加压力及其后果
二、 微小液滴的饱和蒸汽压－开尔文（kelven）公式
足够长的时间
原因：
p 小水滴
p 大水滴
饱和蒸气压p*反比于液滴的曲率半径
10
饱和蒸气压与液滴曲率半径关系的推导：
dn的微量液体转移到小液滴表面 小液滴面积A：4r2 4(r+dr)2
(3) 过冷液体
C
P
O`
O
A`
A
tf′ tf
t
这种按照相平衡条件，应当凝固而未凝固的液体， 称为过冷液体。
14
(4) 过饱和溶液
溶液浓度已超过饱和 液体，但仍未析出晶体的 溶液称为过饱和溶液。
原因：小晶体为凸面, pr＞p ， 表明分子从固相中逸出的倾向大 ， 这造成它的浓度大，即溶解度大， 由此产生过饱和现象。
第二节 弯曲液面的附加力及其后果
• 一、弯曲液面的附加压力方程 • 1、附加压力
PgγBiblioteka γPl• △P = P内- P外
△P
•
= Pl- Pg
• 对于液珠（凸液面 ）
第二节 弯曲液面的附加 压力及其后果
• 对于液体中气泡（凹液面）
• △P = P内- P外= Pg- Pl。
弯曲液面附加压力Δp 与液面曲率半径之间关系的推导：
由于小颗粒物质的表面特殊性，造成新相难以生成， 从而形成四种不稳定状态（亚稳态）：
——过饱和蒸气，过热液体，过冷液体，过饱和溶液
15
第二节 弯曲液面的附加压力及其后果
• （4）过饱和溶液：
• 例1：25℃时，101.325KPa下将直径为 1um的毛细管插入水中，问需要多大压力 才能防止水面上升？（已知25℃时水的 表面张力为71.97×10－3N·m-1）
第二节 弯曲液面的附加压力及其后果
二、 微小液滴的饱和蒸汽压－开尔文（kelven）公式
足够长的时间
原因：
p 小水滴
p 大水滴
饱和蒸气压p*反比于液滴的曲率半径
10
饱和蒸气压与液滴曲率半径关系的推导：
dn的微量液体转移到小液滴表面 小液滴面积A：4r2 4(r+dr)2
西安交通大学医用物理学第六章第二节 弯曲液面的附加压强
肺泡内表面有活性物质调节肺泡α，维持大小肺泡的压强平 衡。
Jiaotong University
REN Ren
3／26／2015
§1 液体表面的张力
•液面张力：液面各个部分之间存在与液面相切使液面 收缩的力，叫表面张力。
•表面张力系数：表面张力的大小与分界面长度比值。
•F= L。
•液体的表面能：液体表面所有势能的总和。 F=2 L ,
A= F X =2 L X = S
液滴
Pa = 2α/R 气泡
Pa = －2α/R
液膜
Pa = 4α/R 说明球形膜内压强大于膜外4α/R
圆柱形液面
其中一个R = ∞ ∴ Pa = α/R
附加压强应用 大小泡相互连通后，大泡变大，小泡变小
人的呼吸过程在肺泡中进行, 肺中有许许多多大小不等的 肺泡相互连通，但不会出现上述情况,为什么?
•外力做功全部转化为液体的表面能的增量。 E = S
§2 弯曲液面的附加压强
液面是平面时表面张力在液面内，各方向的合力为0
液面是弯曲面时表面张力的方向沿弯曲液面的切线方向, 表
面张力的合力不为0，结果使液面内外产生压强差，称此为
附加压强Pa，方向总是指向曲率中心。
液面是平面 液面是凸面PA ＞PB
R2
dy dx
y x
dW = dE
Pa
( dx
x
dy ) y
/
dR
∵ 曲面 S 很小 △abc1 ∽△a´b´c1
有 (x+dx)/ x = (R1+dR)/R1 dx / x = dR/R1
同理，由 △bcc2 ∽△b´c´c2 得 dy / y = dR/R2
Pa
Jiaotong University
REN Ren
3／26／2015
§1 液体表面的张力
•液面张力：液面各个部分之间存在与液面相切使液面 收缩的力，叫表面张力。
•表面张力系数：表面张力的大小与分界面长度比值。
•F= L。
•液体的表面能：液体表面所有势能的总和。 F=2 L ,
A= F X =2 L X = S
液滴
Pa = 2α/R 气泡
Pa = －2α/R
液膜
Pa = 4α/R 说明球形膜内压强大于膜外4α/R
圆柱形液面
其中一个R = ∞ ∴ Pa = α/R
附加压强应用 大小泡相互连通后，大泡变大，小泡变小
人的呼吸过程在肺泡中进行, 肺中有许许多多大小不等的 肺泡相互连通，但不会出现上述情况,为什么?
•外力做功全部转化为液体的表面能的增量。 E = S
§2 弯曲液面的附加压强
液面是平面时表面张力在液面内，各方向的合力为0
液面是弯曲面时表面张力的方向沿弯曲液面的切线方向, 表
面张力的合力不为0，结果使液面内外产生压强差，称此为
附加压强Pa，方向总是指向曲率中心。
液面是平面 液面是凸面PA ＞PB
R2
dy dx
y x
dW = dE
Pa
( dx
x
dy ) y
/
dR
∵ 曲面 S 很小 △abc1 ∽△a´b´c1
有 (x+dx)/ x = (R1+dR)/R1 dx / x = dR/R1
同理，由 △bcc2 ∽△b´c´c2 得 dy / y = dR/R2
Pa
二、弯曲液面下的附加压强 气体栓塞
二、弯曲液面下的附加压强气体栓塞PPPS∆fd 二、弯曲液面下的附加压强 气体栓塞自然界中的静止的液面，有平面、凹面和凸面。
有许多情况下液面是弯曲的，如前面说的水滴、肥皂泡，还有固体与液体的接触面等，弯曲液面内外存在一压强差，称为附加压强。
1、附加压强（1）定义：弯曲液面内外存在一压强差, 用Ps 表示（2）附加压强的产生——分别从平面、凸面和凹面三个方面来说明附加压强的产生。
1）平液面 在液体表面上取一小面积△S ,由于液面水平，表面张力沿水平方向， △S 平衡时，其边界表面张力相互抵消,不产生垂直与液面的压力，△S 上下压强相等：P=P 0, P s=02)液面弯曲①凸液面时，如图仍在液体表面上取一小面积△S ,△S 周界上表面张力沿切线方向，合力指向液面内，△S 好象紧压在液体上，使液体受一附加压强Ps ，由力平衡条件，液面下液体的压强：P=P0+Ps,如果我们规定附加压强与外部压强相同为正，相反为负。
则此时，Ps 为正②凹液面时，如图△S 周界上表面张力的合力指向外部，△S 如好象被拉出，液面内部压强小于外部压强，液面下压强：P=P0-Ps ，Ps 为负总之：附加压强的产生原因是由于表面张力存在。
附加压强使弯曲液面内外压强不等，与液面曲率中心同侧的压强恒大于另一侧，附加压强方向恒指向曲率中心 (3)附加压强的计算如图，取球形液面的一部分，曲率半径为R ，面积为dS ，其周界是半径为r 的圆周。
在周界上取一线元dl ，作用在dl 上的表面张力d f =αdl .(1)由图可见，将df 分解为半径r 垂直和平行的两个分力由圆对称性，在圆周界上的其他线元上，作用着同样大小的表面张力，这些力的水平分力相互抵消，垂直分力方向相同，合力为：2r02f df sin dl sin 2rr 2r sin ,f R Rπ⊥⊥⊥=⎰=⎰αϕ=αϕ⋅ππϕ==α由图可见则. (2)由式(2)可求得液面下液体所受的附加压强Rr R r r f p sαπαππ22222===⊥(3-5)可见，球形液面下液体的附加压强与液体的表面张力系数α成正比，与液面的曲率半径P 成反比。
物理化学 弯曲液面附加压力
1 1 •一般式： p ( ' ' ) R1 R2
•特殊式（对球面）：
2 p r
总结
1
附加压力与曲面半径成 反比，与液面张力成正 比
2
定义的Δp为凹面一侧的 压力减去图面一侧的压 力，故曲率半径r总是 正值，Δp亦总为正值。
№
毛细现象
液面被压入管内，直至上升的液 柱所产生的静压力gh 与附加压力p 在量值上相等，方可达到力的平衡， 即：
弯曲液面附加压力
小组成员：xxxxx
№
1、弯曲液面的附加压力
•一般情况下液体表面是水平的，而液滴、水中的
气泡表面则是弯曲的。
•液面可以是凸的，也可以是凹的。
弯曲表面上的附加压力
1.在平面上
p0
f
A B
对一小面积AB，沿AB的
四周每点的两边都存在表面 张力，大小相等，方向相反， 所以没有附加压力 设向下的大气压力为po， 向上的反作用力也为po ，附 加压力ps等于零。
2 p gh R
R cos ' R
由左图的几何关系可知：
由此可知： 2 cos h R g
自由液滴或气泡通常为何都呈球形 ？
1、假若液滴具有不规则的形状，则在表面上的不
同部位曲面弯曲方向及其曲率不同，所具的附加压力
的方向和大小也不同，这种不平衡的力，必将迫使液
滴呈现球形。 2、相同体积的物质，球形的表面积最小，则表 面总的Gibbs自由能最低，所以变成球状就最稳定。
1
2
凸面上受的总液体与平面不同，它受到一种
附加的压力，附加压力的方向都指 向曲面的圆心(曲率半径的方向)。
大于平面上的压力
3
物理化学第10章界面现象
§10.1 界面张力 §10.2 弯曲液面的附加压力及其后果 §10.3 固体表面 §10.4 液 - 固界面 §10.5 溶液表面
第一页，编辑于星期五：点 十一分。
界面现象是自然界普遍存在的现象。胶体指的是 具有很大比表面的分散体系。对胶体和界面现象 的研究是物理化学基本原理的拓展和应用。从历 史角度看，界面化学是胶体化学的一个最重要的 分支，两者间关系密切。而随着科学的发展，现 今界面化学已独立成一门科学，有关“界面现象” 或“胶体与界面现象”的专著在国内外已有多种 版本。本课程主要介绍与界面现象有关的物理化学
界面现象有着广泛的应用。主要有：
1、吸附 如用活性炭脱除有机物；用硅胶或活性氧化铝 脱除水蒸汽；用分子筛分离氮气和氧气；泡沫浮选等。
2、催化作用 在多相催化中使用固体催化剂以加速反 应。如石油工业的催化裂化和催化加氢、胶束催化 等。
3、表面膜 如微电子集成电路块中有重要应用的LB
膜；在生物学和医学研究中有重要意义的BL膜和人 工膜；能延缓湖泊水库水分蒸发的天然糖蛋白膜等。 4、新相生成 晶核生成或晶体生长是典型的新相生成， 过冷、过热、过饱和等亚稳现象产生的主要原因也 是由于新相生成。
2l
另一方面，当用外力F，使金属丝向下移动 dx ，皂膜面积增大 dA，则表面张力作可逆表面功.
第十九页，编辑于星期五：点 十一分。
首 页 刚看的页 上一页 下一页
结束
肥皂膜
l
无摩擦、可自由活动
dx
F
δ' Wr' Fdx 2γ l dx γ dAs
γ δWr' dAs
10.1.3
γ可理解为：使液体增加单位表面时环境所需作的可逆功，称 比表面功。 单位：J ·m-2。
第一页，编辑于星期五：点 十一分。
界面现象是自然界普遍存在的现象。胶体指的是 具有很大比表面的分散体系。对胶体和界面现象 的研究是物理化学基本原理的拓展和应用。从历 史角度看，界面化学是胶体化学的一个最重要的 分支，两者间关系密切。而随着科学的发展，现 今界面化学已独立成一门科学，有关“界面现象” 或“胶体与界面现象”的专著在国内外已有多种 版本。本课程主要介绍与界面现象有关的物理化学
界面现象有着广泛的应用。主要有：
1、吸附 如用活性炭脱除有机物；用硅胶或活性氧化铝 脱除水蒸汽；用分子筛分离氮气和氧气；泡沫浮选等。
2、催化作用 在多相催化中使用固体催化剂以加速反 应。如石油工业的催化裂化和催化加氢、胶束催化 等。
3、表面膜 如微电子集成电路块中有重要应用的LB
膜；在生物学和医学研究中有重要意义的BL膜和人 工膜；能延缓湖泊水库水分蒸发的天然糖蛋白膜等。 4、新相生成 晶核生成或晶体生长是典型的新相生成， 过冷、过热、过饱和等亚稳现象产生的主要原因也 是由于新相生成。
2l
另一方面，当用外力F，使金属丝向下移动 dx ，皂膜面积增大 dA，则表面张力作可逆表面功.
第十九页，编辑于星期五：点 十一分。
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结束
肥皂膜
l
无摩擦、可自由活动
dx
F
δ' Wr' Fdx 2γ l dx γ dAs
γ δWr' dAs
10.1.3
γ可理解为：使液体增加单位表面时环境所需作的可逆功，称 比表面功。 单位：J ·m-2。
物理化学界面表面9-2
则增加的面积：
A xdy ydx
外界做的功为
Wf γA γ( xdy ydx)
O
曲面移动相应体积之改变：
V x y dz
扩大表面积需克服弯曲表面的附加压力△P做功
Wf pV p ( x y dz )
∴ p( x y dz ) γ( xdy ydx)
2γ p ' R
方向如图示
T , γ , p
∴ 液体向右移动
3.毛细现象
毛细管在水中
毛细管在汞中
毛细现象产生的原因： 由于弯曲液面下的附加压力 分析：
pS p0
pS = pgh
pS
液体在毛细管中上升或下降的高度
h=？
以水为例
p0
R`
r
2γ p ' gh R
r R ' cos
原因：小液滴的饱和蒸气压大于平液面的饱和蒸气压
一定温度下对平液面饱和而对小液滴不饱和，只 有在更低温度下，蒸气压力达到对小液滴饱和时才凝 结出新相——小液滴。
人工降雨：当云层中的水蒸气达到饱和或过 饱和状态时，用飞机喷撒微小的AgI颗粒，此时 AgI成为水的凝结中心，使水蒸气迅速冷凝成水滴。
方向指向曲率中心。
凹液面
弯曲液面凹面一侧的压力定为p内；弯 曲液面凸面一侧的压力定为p外 2. △P 的计算——Young-Laplace 方程
D' D A' A
x+d x y+dy B' B R 1' O' R 2' C' C
dz x
曲面ABCD面积：A 1
xy
y
曲面A`B`C`D`面积：
A xdy ydx
外界做的功为
Wf γA γ( xdy ydx)
O
曲面移动相应体积之改变：
V x y dz
扩大表面积需克服弯曲表面的附加压力△P做功
Wf pV p ( x y dz )
∴ p( x y dz ) γ( xdy ydx)
2γ p ' R
方向如图示
T , γ , p
∴ 液体向右移动
3.毛细现象
毛细管在水中
毛细管在汞中
毛细现象产生的原因： 由于弯曲液面下的附加压力 分析：
pS p0
pS = pgh
pS
液体在毛细管中上升或下降的高度
h=？
以水为例
p0
R`
r
2γ p ' gh R
r R ' cos
原因：小液滴的饱和蒸气压大于平液面的饱和蒸气压
一定温度下对平液面饱和而对小液滴不饱和，只 有在更低温度下，蒸气压力达到对小液滴饱和时才凝 结出新相——小液滴。
人工降雨：当云层中的水蒸气达到饱和或过 饱和状态时，用飞机喷撒微小的AgI颗粒，此时 AgI成为水的凝结中心，使水蒸气迅速冷凝成水滴。
方向指向曲率中心。
凹液面
弯曲液面凹面一侧的压力定为p内；弯 曲液面凸面一侧的压力定为p外 2. △P 的计算——Young-Laplace 方程
D' D A' A
x+d x y+dy B' B R 1' O' R 2' C' C
dz x
曲面ABCD面积：A 1
xy
y
曲面A`B`C`D`面积：
界面现象--第2节：弯曲液面的附加压力及其后果
人工增雨作业的原理是什么？如果是晴天，进行人工降雨作 业，能达到目的吗？
在寒冬季节，晚上温度很低的时候，干净的玻璃上结窗花少， 而脏的玻璃上结窗花就多。为什么？
20
2gcos gh r
grh
grh grh cos 1 g 2 cos 2
790kg.m 3 9.8 0.235 103 2.56 102 r 2 2 23.3 10 3 N .m 1 23.3mN .m 1
9
毛细现象－毛细管下降现象
在过冷液体中投入小 晶体作为新相的种子, 能 使液体迅速凝固.
气相区
Tf Tf
• 过冷液体的产生
T
18
亚稳状态及新相的生成
(4) 过饱和溶液: 在一定温度下, 浓度超过饱和浓度, 而仍 未析出晶体的溶液. 原因是微小晶粒具有高表面吉布斯函数 (高的饱和蒸气压)而不能在正常饱和浓度下析出. 与微小液滴一样, 微小晶体 p 的饱和蒸气压大于普通晶体. 蒸 气压与溶解度有密切的关系, 微 小晶粒具有比普通晶体更大的溶解 度. 晶体的颗粒愈小, 溶解度愈大. 可知, 当溶液浓度达到普通晶 体的饱和浓度时, 相对于微小晶粒 还未饱和, 微小晶粒就不能从中析 出.
纯液体的饱和蒸气压与温度和液体压力有关. 微小液滴 的蒸气压因附加压力的作用而比普通体积时高. 已从相平衡条件推出纯液体蒸气压受外压影响的关系式: p2 ( g ) Vm ( l ){ p2 ( l ) p1 ( l )} ln ( Vm M/) p1 ( g ) RT
用 p 和 pr 分别表示平面液 体和微小液滴的蒸气压, 结合拉 普拉斯方程, 得：
雨伞能够防雨的原因？ 答：（1）憎水涂层； （2）雨水在雨伞织物的缝隙中形成凹液 面的水膜，有一个向上的表面张力，可以 抵挡雨水透过雨伞的织物。 溶液在滴定管中形成凹液面。 请同学们讨论，生活里还有那些毛细管 上升现象？
10-2弯曲液面讲解
2)过冷液体
3. 亚稳状态和新相的生成
1). 微小液滴的化学势
r p
2). 微小液滴的饱和蒸气压—开尔文公式 3). 亚稳定状态和新相的生成 过饱和蒸气 过饱和溶液 4). 微小颗粒的化学势高、化学性质活泼
pr 2 M ln p RT r 过热液体 过冷液体
BC P
r
ln (pr / p) > 0,
对凹液面，凹面液体, 液滴的转入导致曲率半径减小,dr<0 p 2 M ln (p / pr) > 0, pr < p ln pr RT r p (凸面) > p (平面) > p (凹面) 且曲率半径越小, 偏离程度越大.
3. 亚稳状态和新相的生成 p 2 / r1 gh
F = 2 r1 γ cos p = F/ (r12) = 2 r12γ /r(r12) = 2γ/r 水平液面: r = , p=0. 空气中的气泡： p = 4γ /r.
γ
= 2 r12 γ /r
cos r1 r
γ
•圆球形液滴的附加压力
A r1 O 1 r O B
§10-2 弯曲液面的附加压力和毛细现象
毛细现象 将毛细管插入液体后 液面将沿毛细管上升（润湿，水，凹）或下降 （不润湿，汞，凸）的现象
产生的原因是毛细管内的弯曲液面上存在附加压力 p . 以凹液面为例, 液面上升至平衡时, 有
r1 θ r θ
p 2 / r1 gh
液面曲率半径 r1 与毛细管半径 r 及接触角 间的关系为：
2 2 72.0 103 N m 1 5 p 144 10 Pa 142atm 8 r 10 m
3. 亚稳状态和新相的生成
1). 微小液滴的化学势
r p
2). 微小液滴的饱和蒸气压—开尔文公式 3). 亚稳定状态和新相的生成 过饱和蒸气 过饱和溶液 4). 微小颗粒的化学势高、化学性质活泼
pr 2 M ln p RT r 过热液体 过冷液体
BC P
r
ln (pr / p) > 0,
对凹液面，凹面液体, 液滴的转入导致曲率半径减小,dr<0 p 2 M ln (p / pr) > 0, pr < p ln pr RT r p (凸面) > p (平面) > p (凹面) 且曲率半径越小, 偏离程度越大.
3. 亚稳状态和新相的生成 p 2 / r1 gh
F = 2 r1 γ cos p = F/ (r12) = 2 r12γ /r(r12) = 2γ/r 水平液面: r = , p=0. 空气中的气泡： p = 4γ /r.
γ
= 2 r12 γ /r
cos r1 r
γ
•圆球形液滴的附加压力
A r1 O 1 r O B
§10-2 弯曲液面的附加压力和毛细现象
毛细现象 将毛细管插入液体后 液面将沿毛细管上升（润湿，水，凹）或下降 （不润湿，汞，凸）的现象
产生的原因是毛细管内的弯曲液面上存在附加压力 p . 以凹液面为例, 液面上升至平衡时, 有
r1 θ r θ
p 2 / r1 gh
液面曲率半径 r1 与毛细管半径 r 及接触角 间的关系为：
2 2 72.0 103 N m 1 5 p 144 10 Pa 142atm 8 r 10 m
§22弯曲液面附加压力
所受表面张力也有拉平液面的趋势，其
方向不与液面平行,作用在dS周线上的
B
表面张力的合力不为0，产生附加压强PS 向上。
PB
=
Po
−
Ps
pB (c)
因为受力平衡，所以液面两侧的压强也平衡， 即：
PB + PS = P0
第二章 液体的表面现象
§2-2 弯曲液面的附加压力
二、拉普拉斯公式
p0
利用拉普拉斯公式可以定量
第二章 液体的表面现象 2、液面是凸形(2)
§2-2 弯曲液面的附加压力
p0
f
A ps f '
B pB
(c)
因液面受力平衡，所以，液面两侧的压强也 平衡，即：
Po + PS = PB
第二章 液体的表面现象
§2-2 弯曲液面的附加压力
3、液面是凹形
p0
（如水中气泡、细玻璃管中的水面等） f
A ps f '
§2-2 弯曲液面的附加压力
Po = PB = PA
f A p0 f ' B pB
第二章 液体的表面现象
§2-2 弯曲液面的附加压力
2、液面是凸形(1)
f A p0 f '
B pB
ps
（如液滴表面、细玻璃管中的水银面）所受表面
张力有拉平液面的趋势，其方向不与液面平行， 作用在 dS周线上的表面张力的合力不为0，产生 附加压强PS方向向下。
算出附加压强p0 的大小。
设想液面下有一气泡，气泡靠
近液面，不考虑静压（即水
压），气泡外压强等于大气压强
P0。设想气泡在外力作用下膨
胀：
p1
p1 R p1
天津大学物理化学教研室《物理化学》(第6版)笔记和课后习题详解(界面现象)【圣才出品】
第10章界面现象10.1 复习笔记一、界面张力物质的分散度：为物质的表面积A s与其质量m之比，用a s表示，单位为m2·kg－1。
a s＝A S/m1．液体的表面张力、表面功及表面吉布斯函数液体表面层的分子处于力学场不对称的环境中，内部分子对表面层的吸引力与外界物质对表面层的吸引力大小不等，从而形成表面张力。
（1）表面张力可以看做是引起液体表面收缩的单位长度上的力，单位为N·m－1。
表面张力的方向和液面相切，并和两部分的分界线垂直。
（2）表面功为恒温恒压下使系统增加单位表面积所需的可逆功，单位为J·m－2。
可表示为γ＝δW r′/dA s（3）表面吉布斯函数等于恒温恒压下系统增加单位面积时所增加的吉布斯函数，单位为J·m－2。
可表示为γ＝（∂G/∂A s）T，p注意：①表面张力、表面功、表面吉布斯函数均用γ表示；②三者为不同的物理量，但三者的量值和量纲等同。
三者的单位皆可化为N·m－1。
界面张力：与液体表面类似，其他界面，如固体表面等，由于界面层的分子同样受力不对称，同样存在着界面张力。
2．吉布斯函数判据dG s＝γdA s＋A s dγ在恒温恒压下条件下，系统可以通过减少界面面积或降低界面张力两种方式来降低界面吉布斯函数，这是一个自发过程。
3．界面张力的影响因素（1）物质的本性：不同液体表面张力之间的差异主要是由于液体分子之间的作用力不同而引起的。
固体物质一般要比液体物质具有更高的表面张力。
（2）温度：界面张力一般随着温度的升高而减小。
当温度趋于临界温度时，饱和液体与饱和蒸气的性质趋于一致，相界面趋于消失，此时表面张力趋于0。
（3）压力：增加气相的压力一般使表面张力下降。
（4）分散度对界面张力的影响：要到物质分散到曲率半径接近分子大小的尺寸时才会明显。
二、弯曲液面的附加压力及其后果1．弯曲液面的附加压力-拉普拉斯方程Δp＝（2γ）/r式中，Δp为弯曲液面内外的压力差；γ为液体表面张力；r为弯曲液面的曲率半径。
10-2弯曲液面讲解
• 1987.3.15 哈尔滨亚麻厂发生尘爆
炸毁三个车间 1300m2,伤亡三百余人
ln pr 2 M p RT r
ln pr 1 • 2 • M p RT r
r 1mm 103 m p 144Pa r 10nm 108 m p 144105 Pa
pr 1.000 p pr 1.111 p
pr 3168Pa pr 3519Pa
对凸液面(如小液滴), 凸面液体曲率半径增大，dr>0
r p
2). 微小液滴的饱和蒸气压—开尔文公式 3). 亚稳定状态和新相的生成 过饱和蒸气
过饱和溶液
ln pr 2 M p RT r
过热液体 过冷液体
4). 微小颗粒的化学势高、化学性质活泼
BC P
r p
rGm P B C 0
rGm P Br C 0
Br B
• 水磨米粉较细
(1) 过饱和蒸气 (2) 过热液体 (3) 过冷液体 (4) 过饱和溶液
压力超过常规饱和蒸气压的蒸气 温度高于沸点的液体 温度在凝固点以下的液体 浓度超过饱和浓度的溶液
3. 亚稳定状态
3. 亚稳定状态和新相的生成 (1) 过饱和蒸气 压力超过常规饱和蒸气压的蒸气
人工降雨 干冰
过饱和蒸气的压力尚未达到该液体微小液滴的饱和蒸气压
➢ 与表面张力成正比 ➢ 与曲率半径成反比
γ
γ
p
p
pl
pg
2
r
p
γ
γ
拉普拉斯方程
§10-2 弯曲液面
§10-2 弯曲液面的附加压力和毛细现象
弯曲液面的附加压力
1. 拉普拉斯方程 证明： F = 2rγ
2
p pl pg r γ
炸毁三个车间 1300m2,伤亡三百余人
ln pr 2 M p RT r
ln pr 1 • 2 • M p RT r
r 1mm 103 m p 144Pa r 10nm 108 m p 144105 Pa
pr 1.000 p pr 1.111 p
pr 3168Pa pr 3519Pa
对凸液面(如小液滴), 凸面液体曲率半径增大，dr>0
r p
2). 微小液滴的饱和蒸气压—开尔文公式 3). 亚稳定状态和新相的生成 过饱和蒸气
过饱和溶液
ln pr 2 M p RT r
过热液体 过冷液体
4). 微小颗粒的化学势高、化学性质活泼
BC P
r p
rGm P B C 0
rGm P Br C 0
Br B
• 水磨米粉较细
(1) 过饱和蒸气 (2) 过热液体 (3) 过冷液体 (4) 过饱和溶液
压力超过常规饱和蒸气压的蒸气 温度高于沸点的液体 温度在凝固点以下的液体 浓度超过饱和浓度的溶液
3. 亚稳定状态
3. 亚稳定状态和新相的生成 (1) 过饱和蒸气 压力超过常规饱和蒸气压的蒸气
人工降雨 干冰
过饱和蒸气的压力尚未达到该液体微小液滴的饱和蒸气压
➢ 与表面张力成正比 ➢ 与曲率半径成反比
γ
γ
p
p
pl
pg
2
r
p
γ
γ
拉普拉斯方程
§10-2 弯曲液面
§10-2 弯曲液面的附加压力和毛细现象
弯曲液面的附加压力
1. 拉普拉斯方程 证明： F = 2rγ
2
p pl pg r γ
弯曲液面附加压力PPT课件
公式意义
该公式定量描述了弯曲液面附加压力 与液体表面张力和液面曲率半径之间 的关系，为研究和计算弯曲液面附加 压力提供了重要依据。
04
弯曲液面现象分析
毛细现象
毛细现象定义
毛细现象是指液体在细管状物体 内侧，由于内聚力与附着力的差 异，克服地心引力而上升或下降
的现象。
毛细管中液面形状
在毛细管中，液面会呈现凹形或凸 形，具体形状取决于液体的性质以 及毛细管的材质和直径。
课件内容概述
弯曲液面的基本概念和性质 附加压力的产生机理和影响因素 附加压力的计算方法和实例分析 弯曲液面附加压力在工程中的应用探讨
02
弯曲液面基本概念
弯曲液面定义
弯曲液面
指液体与固体接触时，在液体表 面形成的曲面。
附加压力
由于液面弯曲而产生的与平面液 面不同的压力。
弯曲液面形成原因
表面张力
• 加强多学科交叉融合研究：弯曲液面附加压力研究涉及物理学、化学、工程学 等多个学科领域。未来可以加强多学科之间的交叉融合研究，从不同角度深入 探讨弯曲液面附加压力的相关问题，推动该领域研究的深入发展。
谢谢不浸润现象在日常生活和工业生产中也有广泛应用 ，如防水涂层、油水分离、洗涤去污等。
肥皂泡与表面张力
肥皂泡的形成
肥皂泡是由肥皂水形成的薄膜所 包围的空气球。当肥皂水涂抹在 吹泡器上时，由于表面张力的作 用，肥皂水会自动收缩成球形。
表面张力的作用
表面张力是液体表面分子之间的 相互吸引力，它使得液体表面具 有收缩趋势。在肥皂泡中，表面 张力使得肥皂水薄膜保持球形并
附加压力的产生机理
详细阐述了附加压力的产生原 因，包括表面张力的作用、液 面弯曲导致的压力差等。
附加压力的计算方法
该公式定量描述了弯曲液面附加压力 与液体表面张力和液面曲率半径之间 的关系，为研究和计算弯曲液面附加 压力提供了重要依据。
04
弯曲液面现象分析
毛细现象
毛细现象定义
毛细现象是指液体在细管状物体 内侧，由于内聚力与附着力的差 异，克服地心引力而上升或下降
的现象。
毛细管中液面形状
在毛细管中，液面会呈现凹形或凸 形，具体形状取决于液体的性质以 及毛细管的材质和直径。
课件内容概述
弯曲液面的基本概念和性质 附加压力的产生机理和影响因素 附加压力的计算方法和实例分析 弯曲液面附加压力在工程中的应用探讨
02
弯曲液面基本概念
弯曲液面定义
弯曲液面
指液体与固体接触时，在液体表 面形成的曲面。
附加压力
由于液面弯曲而产生的与平面液 面不同的压力。
弯曲液面形成原因
表面张力
• 加强多学科交叉融合研究：弯曲液面附加压力研究涉及物理学、化学、工程学 等多个学科领域。未来可以加强多学科之间的交叉融合研究，从不同角度深入 探讨弯曲液面附加压力的相关问题，推动该领域研究的深入发展。
谢谢不浸润现象在日常生活和工业生产中也有广泛应用 ，如防水涂层、油水分离、洗涤去污等。
肥皂泡与表面张力
肥皂泡的形成
肥皂泡是由肥皂水形成的薄膜所 包围的空气球。当肥皂水涂抹在 吹泡器上时，由于表面张力的作 用，肥皂水会自动收缩成球形。
表面张力的作用
表面张力是液体表面分子之间的 相互吸引力，它使得液体表面具 有收缩趋势。在肥皂泡中，表面 张力使得肥皂水薄膜保持球形并
附加压力的产生机理
详细阐述了附加压力的产生原 因，包括表面张力的作用、液 面弯曲导致的压力差等。
附加压力的计算方法
第二节 弯曲液面附加压强
2附加压强的计算周界线长rl?2?合力rlf?2????附加压强rrrrfsfps?2??2??22????二球形液膜的内外压强差crr1sccbppp??saabppp??sascacsaasccpppppppp??????c点凹面a点凸面bar212rpsc??22rpsa??因为rrr??21所以rrrppac?4?2?221????
第二节 弯曲液面的附加压强
一、弯曲液面的附加压强
1、附加压强 表面张力产生的压强称为附加压强。
水平面凹液面凸液面来自P0FF
P P=P0
液面为水平面时，液体内部压强等于外部压强。
P0
F FS PS FS
F
P
P=P0+PS
液面为凸面时，液体内部压强大于外部压强。
P0
PS
FS
F
FS
F
P
P=P0-PS 液面为凹面时，液体内部压强小于外部压强。
2、附加压强的计算
周界线长
L 2R
PS
合力
F L 2R
附加压强
F F 2R 2 2 2 S R R R
二、球形液膜的内外压强差
C点凹面 A点凸面
PB PC PSC
PB PA PSA
PC PSC PA PSA PC PA PSC PSA
C R1 B R2 A
PSC
2 R1
PSA
2 R2
因为
R1 R2 R
2 2 4 R 1 R2 R
所以 PC P A
第二节 弯曲液面的附加压强
一、弯曲液面的附加压强
1、附加压强 表面张力产生的压强称为附加压强。
水平面凹液面凸液面来自P0FF
P P=P0
液面为水平面时，液体内部压强等于外部压强。
P0
F FS PS FS
F
P
P=P0+PS
液面为凸面时，液体内部压强大于外部压强。
P0
PS
FS
F
FS
F
P
P=P0-PS 液面为凹面时，液体内部压强小于外部压强。
2、附加压强的计算
周界线长
L 2R
PS
合力
F L 2R
附加压强
F F 2R 2 2 2 S R R R
二、球形液膜的内外压强差
C点凹面 A点凸面
PB PC PSC
PB PA PSA
PC PSC PA PSA PC PA PSC PSA
C R1 B R2 A
PSC
2 R1
PSA
2 R2
因为
R1 R2 R
2 2 4 R 1 R2 R
所以 PC P A
3.2 界面弯曲解读
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2019/2/22
毛细现象(Capillarity)
H2O
凹形液面
Hg
凸形液面
（1）为什麽会形成凹形或凸形液面？ （2）为什麽液面会上升或下降？
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2019/2/22
毛细管上升和下降现象
当把毛细管插入水中时，管中的水柱 表面全呈凹形表面，水面上升到一定 高度，这是由于在凹液面下液体所受 到的压力小于平面上液体所受的压力 ，因此管外液体被压入管内，直到在 平面处液柱的静压力（ρgh）与凹面 的附加压力（2σ/r）相等后才达平 衡。
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剖 面 图
附加压力示意图
返回
2019/2/22
弯曲表面下的附加压力
（2）在凸面上：
P凹= Po+ Ps
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2019/2/22
弯曲表面下的附加压力
（3）在凹面上： 研究以AB为弦长的一个球 形凹面上的环作为边界。由于环 上每点两边的表面张力都与凹形 的液面相切，大小相等，但不在 同一平面上，所以会产生一个向 上的合力。
上一内容
下一内容
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2019/2/22
Young-Laplace 一般式的推导
则此时，液珠的面积增大了dA，液珠体积增大 值为dV。此时为了克服表面张力，环境所消耗 的体积功应为PsdV。
当体系达到平衡时，此功的数值和表面能σdA相 等，即PsdV=σdA
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2019/2/22
弯曲表面（凹面和凸面）
P凹= Po+ Ps
P凸= Po- Ps
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2019/2/22
毛细现象(Capillarity)
H2O
凹形液面
Hg
凸形液面
（1）为什麽会形成凹形或凸形液面？ （2）为什麽液面会上升或下降？
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2019/2/22
毛细管上升和下降现象
当把毛细管插入水中时，管中的水柱 表面全呈凹形表面，水面上升到一定 高度，这是由于在凹液面下液体所受 到的压力小于平面上液体所受的压力 ，因此管外液体被压入管内，直到在 平面处液柱的静压力（ρgh）与凹面 的附加压力（2σ/r）相等后才达平 衡。
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剖 面 图
附加压力示意图
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2019/2/22
弯曲表面下的附加压力
（2）在凸面上：
P凹= Po+ Ps
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2019/2/22
弯曲表面下的附加压力
（3）在凹面上： 研究以AB为弦长的一个球 形凹面上的环作为边界。由于环 上每点两边的表面张力都与凹形 的液面相切，大小相等，但不在 同一平面上，所以会产生一个向 上的合力。
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2019/2/22
Young-Laplace 一般式的推导
则此时，液珠的面积增大了dA，液珠体积增大 值为dV。此时为了克服表面张力，环境所消耗 的体积功应为PsdV。
当体系达到平衡时，此功的数值和表面能σdA相 等，即PsdV=σdA
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2019/2/22
弯曲表面（凹面和凸面）
P凹= Po+ Ps
P凸= Po- Ps
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ch10.3弯曲液面的附加压力
当A瓶中往下放水时，小气泡 即从毛细管下端一个一个鼓出 ；在一个气泡的形成过程中， 压差计有一个最大压差Δpm； 当气泡鼓出，压差计的读数变 为零。
仪器常数
测最大高度差Δpm
由γ=KΔpm 液体的表面张力γ
为什么液体的表面张力与压差 计上最大压差有上述关系？
P外 P系
我们分析在一个气泡形成过程中，系统 的压力变化情况。
液柱静压力与附加压力数值上相等为止，达到力的平衡即
Δp=ρgh
上升高度
将很细的玻璃管插入水银中，
P
液体不润湿管壁，θ>90° 使液
面呈凸状，附加压力指向液体
内部，使凸面下液体所承受的
压力大于管外水平液面下液体
受的压力，这时管内液面下降
，直至下降的液柱的静压力与
附加压力相等为止
Δp=ρgh
下降深度
为什么会产生毛细现象？
为什么会产生毛细现象？ 液体对固体的润湿性能+弯曲液面具有附加压力两种作 用共同导致的现象。
P △P
毛细管现象
为什么会产生 毛细现象？
将很细的玻璃管插入水中，液体润湿管壁，θ<90º使液面呈凹
状，由于附加压力指向大气，使凹面下液体所承受的压力小于管
外水平液面下液体受的压力，这时液体被压入管内，直至上升的
r0
m
0
2
pm
对于一定的仪器来说，r°/2为一常数，称为仪器常数， ∴ γ =kΔpm
仪器常数k可由已知表面张力的标准液体测得，比如纯水。
使用已知表面张力的液体测仪器常数k 测得待测液体的Δpm
测得液体表面张力γ
⑷ 由液膜形成的气泡（肥皂泡）
附加压力
p 2 2
r
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的情况相反，液体压力 p 大于外压力，易于拉开。
7
毛细现象
弯曲液面的附加压力 可引起毛细现象.
将毛细管插入液体后, 若液体能润湿毛细管壁, 两者的接 触角q < 90, 形成凹液面, 导致管内液面上升; 反之液面下降.
以图示凹液面为例, 液面上升至平衡时, 有
p 2g / r1 gh
式中液面曲率半径 r1 与毛细管半径 r 及接
④ Δp永远指向球心。
44
拉普拉斯方程的简单应用
例1：100℃时水的表面张力为58.85 mN.m-1，假设在100℃的 空气中有一个半径为0.1μm的小肥皂泡，则它承受的附加压 力是（2.354 ）MPa。假如100℃水中有一个半径为0.1μm的 小气泡，则它则它承受的附加压力是（1.127 ）MPa。
解：本题中，本题中有一个隐含条件，就是“很好的润湿玻 璃”。这意味着液体和玻璃之间的接触角是0，即：cosθ=1 。
2gcos gh
r
g grh grh cos 1
2cos 2
grh 790kg.m 3 9.8 0.235103 2.563 N .m1 23.3mN.m1
2
弯曲液面附加压力Δp 与液面曲率半径之间关系的推导：
A
O1 r1 B
g
r
g
O
• 附加压力与曲率 半径的关系
水平分力相互平衡， 垂直分力指向液体内部，
其单位周长的垂直分力为gcos
球缺底面圆周长为2r1 ，得垂直分力在圆周上的合力为： F= 2r1 g cos
因cos = r1/ r ，球缺底面面积为 r12，
10.2 弯曲液面的附加压力及其后果
1. 弯曲液面的附加压力——拉普拉斯Laplace方程
pg pl
一般情况下，液体表面是水平的，水 平液面下液体所受压力即为外界压力。
pg
p pg
g
g
g
g
p pl
pl
弯曲液面的附加压力
1
10.2 弯曲液面的附加压力及其后果
pg
g
g
p pl
弯曲液面的附加压力
气相压力pg ；液相压力pl , 圆周外
解： p1
4g
R
4 58.85103 0.1 106
2.354MPa
2g 2 58.85103
p2 R 0.1 106 1.127MPa
例2 如图在毛细管中装入润湿性液体, 当在毛细管左端加热时, 则 管内液体将 ____B_.
A. 向左移动 C. 不发生移动
B. 向右移动 D. 来回移动
触角 间的关系为：
r1
r
cos r / r1
h
h 2g cos rg
g : 液体表面张力; : 液体密度;
g : 重力加速度.
• 毛细管上升 8
毛细现象－毛细管上升现象
例：用毛细管上升法测定某液体的表面张力，此液体的密度为 0.790 g.cm-3，在半径为0.235 mm的玻璃毛细管中上升的高度 为2.56×10-2m，设此液体能够很好的润湿玻璃，则此液体的表 面张力γ为多少？
故弯曲液面对于单位水平面上的附加压力 p
2r1g r1
/
r
r12
3
整理后得：
p 2g
r
——Laplace方程
讨论：① 该形式的Laplace公式只适用于球形液面。 ②曲面内(凹)的压力大于曲面外(凸)的压力， Δp＞0。 ③ r 越小，Δp越大；r越大，Δp越小。
平液面：r →∞，Δp→0，（并不是 g = 0）
p 2g T , g
加热
r
5
拉普拉斯方程的简单应用
例3：一根玻璃毛细管两端各有一个半 径不同的气泡，如图所示。若拔掉销钉， 会出现什么现象：（ ）B A 小气泡变大，大气泡变小 B 小气泡变小，大气泡变大 C 不变 D 不能判断
例4：上题中，左边小气泡内的附加压力变化为（ B ） A 先减小后增大 B 先增大后减小 C 减小到一极值后就不再变化 D 增大到一极值后就不再变化
液体对球缺表面张力 g 作用在圆
周线上，垂直于圆周线，而且与
液滴表面相切。圆周线上表面张
力合力对凸液面下液体造成额外
压力。将凹液面一侧压力以p内表 示，凸液面一侧压力用p外表示， 附加压力：Δp = p内－p外
球形液滴(凸液面)，附加压力为： p p内 p外 pl pg 液体中的气泡(凹液面)，附加压力: p p内 p外 pg pl 这样定义的p总是一个正值，方向指向凹面曲率半径中心。
2gcos gh
r
2gcos
2 483103 (1)
h
rg
5 104
13.55 103
m 9.81
0.0145m
管内汞面会降低 0.0145 m.
汞玻璃管中下降
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生活里的毛细管上升现象
➢干燥的毛巾一小边浸入水中，过一会儿大片毛巾都会变湿； ➢ 农村种田时，在作物生长过程中常常要锄地。原因是土壤 中地水分常常顺着毛细管（土壤的小裂缝）上升到地表，造 成水分流失过快。锄地能破坏这一过程。
的蒸气压因附加压力的作用而比普通体积时高.
已从相平衡条件推出纯液体蒸气压受外压影响的关系式:
ln p2 ( g ) Vm ( l ){ p2 ( l ) p1( l )}
➢雨伞能够防雨的原因？ 答：（1）憎水涂层； （2）雨水在雨伞织物的缝隙中形成凹液 面的水膜，有一个向上的表面张力，可以 抵挡雨水透过雨伞的织物。 ➢ 溶液在滴定管中形成凹液面。 ➢ 请同学们讨论，生活里还有那些毛细管 上升现象？
ΔP
雨伞表面水滴的 附加压力图
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微小液滴的饱和蒸气压—开尔文公式
纯液体的饱和蒸气压与温度和液体压力有关. 微小液滴
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毛细现象－毛细管下降现象
例 20℃时, 汞的表面张力为 483×10-3 N·m-1, 密度为 13.55×10 3 kg·m-3. 把内直径为 10-3 m的玻璃管垂直插入汞 中, 管内汞液面会降低多少? 已知汞与玻璃的接触角为 180, 重力加速度 g = 9.81 m ·s－2.
解：本题中，汞不润湿玻璃，接触角大于90 ， 所以汞会在玻璃管里面下降。如图所示。
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拉普拉斯方程的简单应用
思考题：已知水在两块玻璃间形成凹液面，而在两块石蜡 板间形成凸液面。试解释：为什么两块玻璃间放一点水后 很难拉开，而两块石蜡板间放一点水后很容易拉开。
答：水在两玻璃和两石蜡板间的状态如下图。对玻璃板，
附加压力Δp指向液体外部，说明液体压力P小于外压力，
且两板越靠近，此压力差越大，使两板难以拉开。石蜡板