2007年-2013年河南专升本高数真题及答案

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河南专升本高等数学试题(含答案)

高数试题练习一、函数、极限连续 1．函数)(x f y =的定义域是（）A ．变量x 的取值范围B ．使函数)(x f y =的表达式有意义的变量x 的取值范围C ．全体实数D ．以上三种情况都不是 2．以下说法不正确的是（）A ．两个奇函数之和为奇函数B ．两个奇函数之积为偶函数C ．奇函数与偶函数之积为偶函数D ．两个偶函数之和为偶函数 3．两函数相同则（）A ．两函数表达式相同B ．两函数定义域相同C ．两函数表达式相同且定义域相同D ．两函数值域相同 4．函数y =的定义域为（）A ．(2,4)B ．[2,4]C ．(2,4]D ．[2,4) 5．函数3()23sin f x x x =-的奇偶性为（）A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶D ．无法判断6．设,121)1(-+=-x xx f 则)(x f 等于( )A ．12-x xB ．x x 212--C ．121-+x xD ．xx212--7．分段函数是( )A ．几个函数B ．可导函数C ．连续函数D ．几个分析式和起来表示的一个函数 8．下列函数中为偶函数的是( ) A ．x e y -= B ．)ln(x y -= C ．x x y cos 3= D ．x y ln =9．以下各对函数是相同函数的有( ) A ．x x g x x f -==)()(与 B ．xx g x x f cos )(sin 1)(2=-=与C ．1)()(==x g x xx f 与 D ．⎩⎨⎧<->-=-=2222)(2)(x xx x x g x x f 与10．下列函数中为奇函数的是( )A ．)3cos(π+=x y B ．x x y sin = C ．2xx e e y --=D ．23x x y +=11．设函数)(x f y =的定义域是[0,1],则)1(+x f 的定义域是( )A ．]1,2[--B ．]0,1[- C ．[0,1] D ． [1,2]12．函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<+=<<-+=20200022)(2x x x x x x f 的定义域是( )A ．)2,2(-B ．]0,2(-C ．]2,2(-D ． (0,2]13．若=---+-=)1(,23321)(f xx x x x f 则( )A ．3-B ．3C ．1-D ．1 14．若)(x f 在),(+∞-∞内是偶函数,则)(x f -在),(+∞-∞内是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．0)(≡x f15．设)(x f 为定义在),(+∞-∞内的任意不恒等于零的函数,则)()()(x f x f x F -+=必是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．0)(≡x F16．设⎪⎩⎪⎨⎧<<≤<-≤<--=42,021,1211,1)(2x x x x x x f 则)2(πf 等于 ( ) A ．12-π B ．182-π C ． 0 D ．无意义17．函数x x y sin 2=的图形（）A ．关于ox 轴对称B ．关于oy 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线x y =对称18．下列函数中,图形关于y 轴对称的有( )A ．x x y cos = B ．13++=x x yC ．2xx e e y -+=D ．2xx e e y --=19.函数)(x f 与其反函数)(1x f -的图形对称于直线( )A ．0=y B ．0=x C ．x y = D ．x y -= 20. 曲线)1,0(log ≠>==a a x y a y a x 与在同一直角坐标系中,它们的图形( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线x y =轴对称D ．关于原点对称21．对于极限)(limx f x →，下列说法正确的是（） A ．若极限)(lim 0x f x →存在，则此极限是唯一的 B ．若极限)(lim 0x f x →存在，则此极限并不唯一C ．极限)(limx f x →一定存在D ．以上三种情况都不正确 22．若极限A )(lim=→x f x 存在，下列说法正确的是（）A ．左极限)(lim 0x f x -→不存在 B ．右极限)(lim 0x f x +→不存在C ．左极限)(lim 0x f x -→和右极限)(lim 0x f x +→存在，但不相等D ．A )(lim )(lim )(lim 00===→→→-+x f x f x f x x x23．极限ln 1limx e x x e→--的值是( )A ．1B ．1eC ．0D ．e24．极限ln cot lim ln x xx→＋０的值是( )．A ． 0B ． 1C ．∞D ． 1-25．已知2sin lim20=+→xx bax x ，则（） A ．0,2==b aB ．1,1==b aC ．1,2==b aD ．0,2=-=b a26．设b a<<0，则数列极限l i m n n n n a b →+∞+是A ．aB ．bC ．1D ．b a + 27．极限xx 1321lim+→的结果是A ．0B ．21C ．51D ．不存在28．∞→x lim xx 21sin 为( )A ．2B ．21C ．1D ．无穷大量29． n m nxmxx ,(sin sin lim 0→为正整数）等于（）A ．nm B ．mn C ．n m nm --)1( D ．mn m n --)1( 30．已知1tan lim230=+→xx bax x ，则（） A ．0,2==b aB ．0,1==b aC ．0,6==b aD ．1,1==b a31．极限xx xx x cos cos lim+-∞→( )A ．等于1B ．等于0C ．为无穷大D ．不存在32．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-=<+=010001sin )(x e x x x x f x 则=→)(limx f x ( )A ．1B ．0C ．1-D ．不存在 33．下列计算结果正确的是( )A ．e x x x =+→10)41(lim B ．410)41(lim e xx x =+→ C ．410)41(lim --→=+e x x x D ．4110)41(lim e x x x =+→34．极限x x xtan 0)1(lim +→等于( ) A ． 1 B ．∞ C ．0 D ．21 35．极限⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x x x sin 11sinlim 0的结果是 A ．1- B ．1 C ．0 D ．不存在36．()01sinlim≠∞→k kxx x 为 ( )A ．kB ．k1C ．1D ．无穷大量37．极限xx sin lim 2π-→=( )A ．0B ．1C ．1-D ．2π-38．当∞→x时,函数x x)11(+的极限是( )A ．eB ．e -C ．1D ．1-39．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-=<+=01cos 001sin )(x x x x x x f ，则=→)(lim 0x f xA ．1B ．0C ．1-D ．不存在40．已知a xax x x 则,516lim21=-++→的值是( ) A ．7 B ．7- C ． 2 D ．341．设⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=020tan )(x x x xaxx f ,且)(limx f x →存在,则a 的值是( )A ．1B ．1-C ．2D ．2- 42．无穷小量就是（）A ．比任何数都小的数B ．零C ．以零为极限的函数D ．以上三种情况都不是 43．当0→x 时，)2sin(3x x +与x 比较是( )A ．高阶无穷小B ．等价无穷小C ．同阶无穷小，但不是等价无穷小D ．低阶无穷小 44．当0→x 时，与x 等价的无穷小是（） A ．xx sin B ．)1ln(x + C ．)11(2x x -++ D ．)1(2+x x45．当0→x 时，)3tan(3x x +与x 比较是（）A ．高阶无穷小B ．等价无穷小C ．同阶无穷小，但不是等价无穷小D ．低阶无穷小 46．设,1)(,)1(21)(x x g x xx f -=+-=则当1→x 时（）A ．)(x f 是比)(x g 高阶的无穷小B ．)(x f 是比)(x g 低阶的无穷小C ．)(x f 与)(x g 为同阶的无穷小 D ．)(x f 与)(x g 为等价无穷小 47．当+→0x 时, 11)(-+=a x x f 是比x 高阶的无穷小,则( )A ．1>aB ．0>aC ．a 为任一实常数D ．1≥a48．当0→x 时，x 2tan 与2x 比较是（）A ．高阶无穷小B ．等价无穷小C ．同阶无穷小，但不是等价无穷小D ．低阶无穷小 49．“当0x x→，A x f -)(为无穷小”是“A x f x x =→)(lim 0”的（）A ．必要条件，但非充分条件B ．充分条件，但非必要条件C ．充分且必要条件D ．既不是充分也不是必要条件 50．下列变量中是无穷小量的有( ) A ．)1ln(1lim0+→x x B ．)1)(2()1)(1(lim 1-+-+→x x x x xC ．x x x 1cos 1lim ∞→D ．x x x 1sin cos lim 0→ 51．设时则当0,232)(→-+=x x f x x ( )A ．)(x f 与x 是等价无穷小量B ．)(x f 与x 是同阶但非等价无穷小量C ．)(x f 是比x 较高阶的无穷小量 D ．)(x f 是比x 较低阶的无穷小量 52．当+→0x时,下列函数为无穷小的是( )A ．x x 1sinB ．x e 1C ．x lnD ．x xsin 153．当0→x 时,与2sin x 等价的无穷小量是 ( ) A ．)1ln(x + B ．x tan C ．()x cos 12- D ．1-x e54．函数,1sin )(xx x f y ==当∞→x 时)(x f ( )A ．有界变量B ．无界变量C ．无穷小量D ．无穷大量55．当0→x 时,下列变量是无穷小量的有( )A ．xx 3B ．xx cos C ．x ln D ．xe -56．当0→x 时,函数xxy sec 1sin +=是( )A ．不存在极限的B ．存在极限的C ．无穷小量D ．无意义的量 57．若0x x→时, )(x f 与)(x g 都趋于零,且为同阶无穷小,则( )A ．0)()(lim=→x g x f x x B ．∞=→)()(lim 0x g x f x xC ．)1,0()()(lim≠=→c c x g x f x x D ．)()(lim 0x g x f x x →不存在58．当0→x 时,将下列函数与x 进行比较,与x 是等价无穷小的为( )A ．x 3tan B ．112-+x C ．x x cot csc - D ．xx x 1sin2+ 59．函数)(x f 在点0x 有定义是)(x f 在点0x 连续的（）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．即非充分又非必要条件 60．若点0x 为函数的间断点，则下列说法不正确的是（）A ．若极限A )(lim 0=→x f x x 存在，但)(x f 在0x 处无定义，或者虽然)(x f 在0x 处有定义，但)(A 0x f ≠，则0x 称为)(x f 的可去间断点B ．若极限)(lim 0x f x x +→与极限)(lim 0x f x x -→都存在但不相等，则0x 称为)(x f 的跳跃间断点C ．跳跃间断点与可去间断点合称为第二类的间断点D ．跳跃间断点与可去间断点合称为第一类的间断点 61．下列函数中,在其定义域内连续的为( )A ．x x x f sin ln )(+= B ．⎩⎨⎧>≤=00sin )(x ex xx f xC ．⎪⎩⎪⎨⎧>-=<+=01011)(x x x x x x f D ．⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001)(x x xx f62．下列函数在其定义域内连续的有( ) A ．x x f 1)(=B ．⎩⎨⎧>≤=0cos 0sin )(x xx x x fC ．⎪⎩⎪⎨⎧>-=<+=01001)(x x x x x x f D ．⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001)(x x xx f63．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=-≠=021arctan )(x x x x f π 则)(x f 在点0=x 处( )A ．连续B ．左连续C ．右连续D ．既非左连续,也非右连续64．下列函数在0=x 处不连续的有( )A ．⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-00)(2x x e x f xB ．⎪⎩⎪⎨⎧=≠=010sin )(21x x xx x f C ．⎩⎨⎧≥<-=00)(2x xx xx f D ．⎩⎨⎧≤->+=00)1ln()(2x xx x x f65．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=12111)(2x x x x x f , 则在点)(1x f x 处函数=( ) A ．不连续 B ．连续但不可导 C ．可导,但导数不连续 D ．可导,且导数连续 66．设分段函数⎩⎨⎧<+≥+=011)(2x x x x x f ,则)(x f 在0=x 点( )A ．不连续B ．连续且可导C ．不可导D ．极限不存在 67．设函数)(x f y =,当自变量x 由0x 变到y x x ∆∆+相应函数的改变量时,0=( )A ．)(0x x f ∆+ B ．x x f ∆)('0 C ．)()(00x f x x f -∆+ D ．x x f ∆)(068．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<=012000)(x x x x e x f x ，则函数)(x f ( )A ．当0→x 时,极限不存在B ．当0→x 时,极限存在C ．在0=x 处连续D ．在0=x 处可导69．函数)1ln(1-=x y 的连续区间是( )A ．),2[]2,1[+∞⋃B ．),2()2,1(+∞⋃C ．),1(+∞D ．),1[+∞ 70．设nxnxx f x -=∞→13lim )(,则它的连续区间是( )A ．),(+∞-∞B ．处为正整数)(1n nx ≠C ．)0()0,(∞+⋃-∞D ．处及n x x 10≠≠71．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠-+=031011)(x x x x x f ，则函数在0=x 处( )A ．不连续B ．连续不可导C ．连续有一阶导数D ．连续有二阶导数72．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=00x x xx y ，则)(x f 在点0=x 处( )A ．连续B ．极限存在C ．左右极限存在但极限不存在D ．左右极限不存在73．设11cot)(2-+=x arc x x f ，则1=x 是)(x f 的（）A ．可去间断点B ．跳跃间断点C ．无穷间断点D ．振荡间断点74．函数2x y e x z y-+=的间断点是( )A ．)1,1(),1,1(),0,1(--B ．是曲线y e y -=上的任意点C ．)1,1(),1,1(),0,0(-D ．曲线2x y =上的任意点75．设2)1(42-+=x x y ,则曲线( ) A ．只有水平渐近线2-=y B ．只有垂直渐近线0=x C ．既有水平渐近线2-=y ,又有垂直渐近线0=x D ．无水平,垂直渐近线76．当0>x时, xx y 1sin=( ) A ．有且仅有水平渐近线 B ．有且仅有铅直渐近线C ．既有水平渐近线,也有铅直渐近线D ．既无水平渐近线,也无铅直渐近线二、一元函数微分学 77．设函数)(x f 在点0x 处可导，则下列选项中不正确的是（）A ．x yx f x ∆∆=→∆00lim)(' B ．xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )('0000C ．00)()(lim)('0x x x f x f x f x x --=→ D ．hx f h x f x f h )()21(lim)('0000--=→ 78．若e cos x y x =，则'(0)y =( )A ．0B ．1C ．1-D ．2 79．设x x g e x f x sin )(,)(==，则=)]('[x g f ( )A ．xe sin B ．xecos - C ．xecos D ．xesin -80．设函数)(x f 在点0x 处可导,且2)('0=x f ,则h x f h x f h )()21(lim 000--→等于( )A ．1-B ．2C ．1D ．21-81．设)(x f 在a x =处可导,则xx a f x a f x )()(lim 0--+→=( )A ．)('a fB ．)('2a fC ．0D ．)2('a f 82．设)(x f 在2=x 处可导，且2)2('=f ，则=--+→hh f h f h )2()2(lim（）A ．4B ．0C ．2D ．383．设函数)3)(2)(1()(---=x x x x x f ，则)0('f 等于（）A ．0B ．6-C ．1D ．3 84．设)(x f 在0=x 处可导，且1)0('=f ，则=--→hh f h f h )()(lim（）A ．1B ．0C ．2D ．385．设函数)(x f 在0x 处可导,则0lim→h hx f f )()h - x (00-( )A ．与0x ,h 都有关B ．仅与0x 有关，而与h 无关C ．仅与h 有关,而与0x 无关D ．与0x ,h 都无关 86．设)(x f 在1=x 处可导，且21)1()21(lim0=--→h f h f h ，则=)1('f （）A ．21B ． 21-C ． 41D ．41-87．设==-)0('')(2f e x f x 则( )A ．1-B ．1C ．2-D ．2 88．导数)'(log x a等于( )A ．a x ln 1B ．a x ln 1 C ．x x a log 1 D ．x 1 89．若),1()2(249102+-++=x x x x y 则)29(y =( )A ．30B ．29!C ．0D ．30×20×10 90．设',)(',)()(y x f e e f y x f x 则存在且==( )A ．)()()()('x f x x f x e e f e e f +B ．)(')(')(x f e e f x f x ⋅C ．)(')()(')()(x f e e f e e f x f x x f x x ⋅++D ．)()('x f x e e f91．设=---=)0('),100()2)(1()(f x x x x x f 则 ( )A ．100B ．100!C ．！100-D ．100- 92．若==',y x y x 则( )A ．1-⋅x x x B ．x xxln C ．不可导 D ．)ln 1(x x x +93．处的导数是在点22)(=-=x x x f ( )A ．1B ．0C ．1-D ．不存在 94．设==-',)2(y x y x 则( )A ．)1()2(x x x +--B ．2ln )2(x x -C ．)2ln 21()2(x x x+- D ．)2ln 1()2(x x x +--95．设函数)(x f 在区间],[b a 上连续,且,0)()(<b f a f 则 ( )A ．)(x f 在),(b a 内必有最大值或最小值B ．)(x f 在),(b a 内存在唯一的0)(,=ξξf 使C ．)(x f 在),(b a 内至少存在一个0)(,=ξξf 使D ．)(x f 在),(b a 内存在唯一的0)(',=ξξf 使96．设,)()(x g x f y =则=dx dy ( ) A ．])()(')()('[2x g x g x f x f y - B ．])(1)(1[2x g x f y - C ．)()('21x g x f y ⋅ D ．)()('2x g x f y ⋅97．若函数)(x f 在区间)b a,(内可导，则下列选项中不正确的是（）A ．若在)b a,(内0)('>x f ，则)(x f 在)b a,(内单调增加B ．若在)b a,(内0)('<x f ，则)(x f 在)b a,(内单调减少C ．若在)b a,(内0)('≥x f ，则)(x f 在)b a,(内单调增加D ．)(x f 在区间)b a,(内每一点处的导数都存在98．若)(y x f =在点0x 处导数存在，则函数曲线在点))(,(00x f x 处的切线的斜率为（）A ．)('0x f B ．)(0x f C ．0 D ．199．设函数)(yx f =为可导函数，其曲线的切线方程的斜率为1k ，法线方程的斜率为2k ，则1k 与2k 的关系为（） A ．211k k =B ．121-=⋅k k C ．121=⋅k k D ．021=⋅k k100．设0x 为函数)(x f 在区间()b a ,上的一个极小值点，则对于区间()b a ,上的任何点x ，下列说法正确的是（）A ．)()(0x f x f >B ．)()(0x f x f <C ．)()(0x f x f -> D ．)()(0x f x f -<101．设函数)(x f 在点0x 的一个邻域内可导且0)('0=x f （或)('0x f 不存在），下列说法不正确的是（）A ．若0x x <时, 0)('>x f ；而0x x >时, 0)('<x f ,那么函数)(x f 在0x 处取得极大值B ．若0x x <时, 0)('<x f ；而0x x >时, 0)('>x f ,那么函数)(x f 在0x 处取得极小值C ．若0x x<时, 0)('<x f ；而0x x >时, 0)('>x f ,那么函数)(x f 在0x 处取得极大值D ．如果当x 在0x 左右两侧邻近取值时, )('x f 不改变符号,那么函数)(x f 在0x 处没有极值102．0)('0=x f ,0)(''0≠x f ，若0)(''0>x f ，则函数)(x f 在0x 处取得（）A ．极大值B ．极小值C ．极值点D ．驻点 103．b x a <<时，恒有0)(>''x f ，则曲线)(x f y =在()b a ,内（）A ．单调增加B ．单调减少C ．上凹D ．下凹 104．数()e x f x x =-的单调区间是( ) ．A ．在),(+∞-∞上单增B ．在),(+∞-∞上单减C ．在(,0)-∞上单增，在(0,)+∞上单减D ．在(,0)-∞上单减，在(0,)+∞上单增 105．数43()2f x x x =-的极值为（）．A ．有极小值为(3)fB ．有极小值为(0)fC ．有极大值为(1)fD ．有极大值为(1)f -106．x e y =在点(0,1)处的切线方程为( )A ．x y +=1 B ．x y +-=1 C ．x y -=1 D ．x y --=1107．函数x x x x x f 处的切线与的图形在点)1,0(162131)(23+++=轴交点的坐标是( ) A ．)0,61(- B ．)0,1(- C ．)0,61( D ．)0,1(108．抛物线xy =在横坐标4=x的切线方程为 ( )A ．044=+-y xB ．044=++y xC ．0184=+-y xD ．0184=-+y x109．线)0,1()1(2在-=x y 点处的切线方程是( )A ．1+-=x y B ．1--=x y C ．1+=x y D ．1-=x y 110．曲线)(x f y =在点x 处的切线斜率为,21)('x x f -=且过点(1,1),则该曲线的方程是( ) A ．12++-=x x y B ．12-+-=x x y C ．12++=x x y D ．12-+=x x y111．线22)121(++=x e y x 上的横坐标的点0=x 处的切线与法线方程( )A ．063023=-+=+-y x y x 与B ．063023=--=++-y x y x 与C ．063023=++=--y x y x 与D ．063023=+-=++y x y x 与112．函数处在点则0)(,)(3==x x f x x f ( )A ．可微B ．不连续C ．有切线,但该切线的斜率为无穷D ．无切线113．以下结论正确的是( )A ．导数不存在的点一定不是极值点B ．驻点肯定是极值点C ．导数不存在的点处切线一定不存在D ．0)('0=x f 是可微函数)(x f 在0x 点处取得极值的必要条件114．若函数)(x f 在0=x 处的导数,0)0('=f 则0=x 称为)(x f 的( )A ．极大值点B ．极小值点C ．极值点D ．驻点 115．曲线)1ln()(2+=x x f 的拐点是( )A ．)1ln ,1(与)1ln ,1(-B ．)2ln ,1(与)2ln ,1(-C ．)1,2(ln 与)1,2(ln -D ．)2ln ,1(-与)2ln ,1(-- 116．线弧向上凹与向下凹的分界点是曲线的( )A ．驻点B ．极值点C ．切线不存在的点D ．拐点 117．数)(x f y =在区间[a,b]上连续,则该函数在区间[a,b]上( )A ．一定有最大值无最小值B ．一定有最小值无最大值C ．没有最大值也无最小值D ．既有最大值也有最小值 118．下列结论正确的有( )A ．0x 是)(x f 的驻点,则一定是)(x f 的极值点B ．0x 是)(x f 的极值点,则一定是)(x f 的驻点C ．)(x f 在0x 处可导,则一定在0x 处连续D ．)(x f 在0x 处连续,则一定在0x 处可导119．由方程y x e xy+=确定的隐函数)(x y y ==dxdy( ) A ．)1()1(x y y x -- B ．)1()1(y x x y -- C ．)1()1(-+y x x y D ．)1()1(-+x y y x120．=+=x y y xe y ',1则( )A ．yy xe e -1 B ．1-yy xe e C ．yyxe e -+11 D ．y e x )1(+121．设x x g e x f x sin )(,)(==，则=)]('[x g f （）A ．xe sin B ．xecos - C ．xecos D ．xesin -122．设x x g e x f x cos )(,)(-==，则=)]('[x g fA ．xe sin B ．xecos - C ．xecos D ．xesin -123．设)(),(x t t f y φ==都可微，则=dyA ．dt t f )(' B ．)('x φdx C ．)('t f )('x φdt D ．)('t f dx124．设,2sin xey =则=dy （）A ．x d e x 2sinB ．x d e x 2sin sin 2C ．xxd e x sin 2sin 2sin D ．x d e x sin 2sin125．若函数)(x f y =有dy x x x x f 处的微分该函数在时则当00,0,21)('=→∆=是( ) A ．与x ∆等价的无穷小量 B ．与x ∆同阶的无穷小量 C ．比x ∆低阶的无穷小量 D ．比x ∆高阶的无穷小量126．给微分式21xxdx -,下面凑微分正确的是( )A ．221)1(xx d ---B ．221)1(xx d -- C ．2212)1(xx d ---D ．2212)1(xx d --127．下面等式正确的有( ) A ．)(sin sin x x x xe d e dx e e= B ．)(1x d dx x=-C ．)(222x d e dx xe x x -=-- D ．)(cos sin cos cos x d e xdx e x x =128．设)(sin x f y =,则=dy ( )A ．dx x f )(sin ' B ．x x f cos )(sin ' C ．xdx x f cos )(sin ' D ．xdx x f cos )(sin '-129．设,2sin x e y =则=dyA ．xd e x 2sin B ．x d ex2sinsin 2C ．x xd e xsin 2sin 2sinD ．x d e x sin 2sin三、一元函数积分学130．可导函数)(F x 为连续函数)(x f 的原函数，则( )A ．0)('=x f B ．)()(F'x f x = C ．0)(F'=x D ．0)(=x f131．若函数)(F x 和函数)(x Φ都是函数)(x f 在区间I 上的原函数，则有( )A ．I x x x ∈∀=Φ),(F )('B ．I x x x ∈∀Φ=),()(FC ．I x x x ∈∀Φ=),()(F' D ．I x C x x ∈∀=Φ-,)()(F132．有理函数不定积分2d 1x x x⎰+等于（）．A ．2ln 12x x x C ++++B ．2ln 12x x x C --++ C ．2ln 12x x x C -+++ D ．2ln 122x xx C -+++ 133．不定积分x 等于（）．A ．2arcsin x C +B ．2arccos xC + C ．2arctan x C +D ．2cot arc x C +134．不定积分2e e (1)d xxx x-⎰-等于（）．A ．1exC x -++ B ．1e x C x -+ C ．1e x C x ++ D ．1e xC x--+135．函数x e x f 2)(=的原函数是( )A ．4212+x eB ．x e 22C ．3312+x eD ．x e 231 136．⎰xdx 2sin 等于( )A ．c x +2sin 21 B ．c x +2sin C ．c x +-2cos2 D ．c x +2cos 21137．若⎰⎰-=xdx x x dx x xf sin sin )(,则)(x f 等于（）A ．x sinB ．x x sin C ．x cos D ．xxcos 138．设x e -是)(x f 的一个原函数，则⎰=dx x xf )('（）A ．c x e x+--)1( B ．c x e x ++--)1( C ．c x e x +--)1( D ． c x e x ++-)1(139．设,)(x e x f -= 则⎰=dx xx f )(ln ' ( ) A ．c x +-1 B ．c x+1C ．c x +-lnD ．c x +ln140．设)(x f 是可导函数，则()')(⎰dx x f 为（）A ．)(x f B ．c x f +)( C ．)('x f D ．c x f +)('141．以下各题计算结果正确的是( )A ．⎰=+x x dxarctan 12B ．c xdx x +=⎰21 C ．⎰+-=c x xdx cos sin D ．⎰+=c x xdx 2sec tan142．在积分曲线族⎰dx x x中,过点(0,1)的积分曲线方程为( )A ．12+x B ．1)(525+x C ．x 2 D ．1)(255+x143．⎰dx x 31=( )A ．c x +--43 B ．c x+-221 C ． c x +-221 D ． c x +-221 144．设)(x f 有原函数x x ln ,则⎰dx x xf )(=( )A ．c x x++)ln 4121(2B ．c x x ++)ln 2141(2C ．c x x +-)ln 2141(2D ．c x x +-)ln 4121(2 145．⎰=xdx x cos sin ( )A ．c x +-2cos 41 B ．c x +2cos 41 C ．c x +-2sin 21 D ．c x +2cos 21146．积分=+⎰dx x ]'11[2( ) A ．211x + B ．c x++211 C ．x tan arg D ．c x +arctan 147．下列等式计算正确的是( )A ．⎰+-=c x xdx cos sinB ．c x dx x +=---⎰43)4( C ．c x dx x +=⎰32 D ．c dx x x +=⎰22 148．极限⎰⎰→xxx xdxtdt000sin lim的值为（）A ．1-B ．0C ．2D ．1149．极限⎰⎰→x xx dx x tdt 0202sin lim的值为（）A ．1-B ．0C ．2D ．1150．极限4030sin limx dt t xx ⎰→=( )A ．41 B ．31 C ．21D ．1 151．=⎰+2ln 01x t dt e dxd（）A ．)1(2+xe B ．ex C ．ex 2 D ．12+xe152．若⎰=xtdt dx d x f 0sin )(，则（）A ．x x f sin )(=B ．x x f cos 1)(+-=C ．c x x f +=sin )( D ．x x f sin 1)(-=153．函数()⎰+-=xdt t t tx 0213φ在区间]10[，上的最小值为（）A ．21 B ．31C ．41D ．0 154．若()⎰+==xtxc dt t e x f e x x g 02122213)(,)(，且23)(')('lim=+∞→x g x f x 则必有（）A ．0=cB ．1=cC ．1-=cD ．2=c 155．⎰=+xdt t dx d14)1(( )A ．21x + B ．41x + C ．2121x x+ D ．x x+121 156．=⎰]sin [02dt t dx d x( ) A ．2cos x B ．2cos 2x x C ．2sin x D ．2cos t157．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠=⎰00sin )(20x ax x tdt x f x在0=x 点处连续,则a 等于（）A ．2B ．21C ．1D ．2- 158．设)(x f 在区间],[b a 连续, ),()()(b x a dt t f x F xa≤≤=⎰则)(x F 是)(x f 的( )A ．不定积分B ．一个原函数C ．全体原函数D ．在],[b a 上的定积分159．设则为连续函数其中,)(,)()(2x f dt t f ax x x F xa ⎰-=)(lim x F a x →=( ) A ．2a B ．)(2a f a C ． 0 D ．不存在160．函数x2sin 1的原函数是( )A ．c x +tanB ．c x +cotC ．c x +-cotD ． xsin 1-161．函数)(x f 在[a,b]上连续, ⎰=xadt t f x )()(ϕ,则( )A ．)(x ϕ是)(x f 在[a,b]上的一个原函数B ．)(x f 是)(x ϕ的一个原函数C ．)(x ϕ是)(x f 在[a,b]上唯一的原函数 D ． )(x f 是)(x ϕ在[a,b]上唯一的原函数162．广义积分=⎰+∞-0dx e x ( )A ．0B ．2C ．1D ．发散 163．=+⎰dx x π2cos 1( )A ．0B ． 2C ．22D ．2164．设)(x f 为偶函数且连续,又有等于则)(,)()(0x F dt t f x F x -=⎰( )A ．)(x FB ．)(x F -C ． 0D ． 2)(x F165．下列广义积分收敛的是（）A ．⎰+∞1xdx B ．⎰+∞1xxdx C ．dx x ⎰+∞1D ．⎰+∞132xdx166．下列广义积分收敛的是（）A ．⎰+∞13x dx B ．⎰+∞1cos xdx C ．dx x ⎰+∞1ln D ．⎰+∞1dx e x167．⎰+∞->apxp dx e )0(等于( ) A ．pae- B ．pae a-1 C ．pa e p -1 D ．)1(1pa e p --168．=⎰∞+ex x dx2)(ln ( )A ．1B ．e1C ．eD ．∞+(发散) 169．积分dx e kx-+∞⎰收敛的条件为（）A ．0>kB ．0<kC ．0≥kD ．0≤k170．下列无穷限积分中,积分收敛的有( ) A ．⎰∞-0dx e x B ．⎰+∞1xdxC ．⎰∞--0dx e xD ．⎰∞-0cos xdx171．广义积分⎰∞+edx xxln 为( ) A ．1 B ．发散 C ．21D ．2 172．下列广义积分为收敛的是( ) A ．⎰+∞edx x xln B ．⎰+∞e xx dx lnC ．⎰∞+edx x x 2)(ln 1D ．⎰+∞edx x x 21)(ln 1173．下列积分中不是广义积分的是( ) A ．⎰+∞+0)1ln(dx x B ．⎰-42211dx x C ．⎰11-21dx x D ．⎰+03-11dx x174．函数()f x 在闭区间[a,b]上连续是定积分⎰badx x f )(在区间[a,b]上可积的（）． A ．必要条件 B ．充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又飞必要条件 175．定积分121sin 1xdx x -+⎰等于（）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．1- 176．定积分⎰-122d ||x x x 等于（）． A ．0 B ． 1 C ．174 D ．174- 177．定积分x x x d e )15(405⎰+等于（）． A ．0 B ．5e C ．5-e D ．52e178．设)(x f 连续函数，则=⎰22)(dx x xf （）A ．⎰40)(21dx x f B ．⎰2)(21dx x f C ．⎰40)(2dx x f D ．⎰4)(dx x f179．积分⎰--=-11sin 2xdx x e e xx （）A ．0B ．1C ．2D ．3 180．设)(x f 是以T 为周期的连续函数,则定积分⎰+=Tl ldx x f I )(的值( )A ．与l 有关B ．与T 有关C ．与l ,T 均有关D ．与l ,T 均无关 181．设)(x f 连续函数，则=⎰2)(dx xx f （） A ．⎰+210)(21dx x f B ．⎰+210)(2dx x f C ．⎰2)(dx x f D ．⎰2)(2dx x f182．设)(x f 为连续函数,则⎰1)2('dx x f 等于（）A ．)0()2(f f - B ．[])0()1(21f f - C ．[])0()2(21f f - D ．)0()1(f f - 183．C 数)(x f 在区间[a,b]上连续,且没有零点,则定积分⎰b adx x f )(的值必定( )A ．大于零B ．大于等于零C ．小于零D ．不等于零 184．下列定积分中,积分结果正确的有( ) A ．c x f dx x f ba+=⎰)()(' B ．)()()('a f b f dx x f ba+=⎰C ．)]2()2([21)2('a f b f dx x f ba-=⎰D ．)2()2()2('a f b f dx x f b a -=⎰185．以下定积分结果正确的是( ) A ．2111=⎰-dx x B ．21112=⎰-dx x C ．211=⎰-dx D ．211=⎰-xdx 186．⎰=adx x 0)'(arccos ( )A ．211x-- B ．c x+--211 C ．c a +-2arccos πD ．0arccos arccos -a187．下列等式成立的有( ) A ．0sin 11=⎰-xdx x B ．011=⎰-dx e xC ．a b xdx abtan tan ]'tan [-=⎰D ．xdx xdx d xsin sin 0=⎰188．比较两个定积分的大小( ) A ．⎰⎰<213212dx x dx x B ．⎰⎰≤213212dx x dx xC ．⎰⎰>213212dx x dx x D ．⎰⎰≥213212dx x dx x189．定积分⎰-+22221sin dx x xx 等于( ) A ．1 B ．-1 C ．2 D ．0 190．⎰=11-x dx ( )A ．2B ．2-C ．1D ．1- 191．下列定积分中,其值为零的是( ) A ．⎰22-sin xdx x B ．⎰2cos xdx xC ．⎰+22-)(dx x e x D ．⎰+22-)sin (dx x x192．积分⎰-=21dx x ( )A ．0B ．21 C ．23 D ．25 193．下列积分中,值最大的是( ) A ．⎰12dx x B ．⎰13dx x C ．⎰14dx x D ．⎰15dx x194．曲线x y -=42与y 轴所围部分的面积为（）A ．[]⎰--2224dy y B ．[]⎰-224dy y C ．⎰-44dx x D ．⎰--444dx x195．曲线x e y =与该曲线过原点的切线及y 轴所围形的为面积（）A ．()⎰-exxdx xe e1 B ．()⎰-1ln ln dy y y yC ．()⎰-1dx ex exD ．()⎰-edy y y y 1ln ln196．曲线2x y x y ==与所围成平面图形的面积( )A ．31B ．31- C ．1 D ．-1四、常微分方程 197．函数y c x =-（其中c 为任意常数）是微分方程1x y y '+-=的（）． A ．通解 B ．特解 C ．是解，但不是通解，也不是特解 D ．不是解 198．函数23x y e =是微分方程40y y ''-=的（）．A ．通解B ．特解C ．是解，但不是通解，也不是特解D ．不是解 199．2()sin y y x y x '''++=是（）．A ．四阶非线性微分方程B ．二阶非线性微分方程C ．二阶线性微分方程D ．四阶线性微分方程 200．下列函数中是方程0y y '''+=的通解的是（）． A ．12sin cos y C x C x =+ B ．x y Ce -=C ．y C =D ．12x y C e C -=+专升本高等数学综合练习题参考答案1．B 2．C 3．C4．B 在偶次根式中，被开方式必须大于等于零，所以有40x -≥且20x -≥，解得24x ≤≤，即定义域为[2,4]．5．A 由奇偶性定义，因为33()2()3sin()23sin ()f x x x x x f x -=---=-+=-，所以3()23sin f x x x =-是奇函数．6．解：令t x-=1，则t t t t t f 21212211)(--=---+=，所以xxx f 212)(--= ，故选D7．解：选D 8．解：选D 9．解：选B 10．解：选C 11．解：110≤+≤x ，所以01≤≤-x ，故选B 12．解：选C 13．解：选B 14．解：选B 15．解：选B 16．解：)(x f 的定义域为)4,1[-，选D17．解：根据奇函数的定义知选C 18．解：选C 19. 解：选C 20．解：因为函数)1,0(log ≠>==a a x y a y a x 与互为反函数，故它们的图形关于直线x y =轴对称，选C 21．A 22．D23．解：这是00型未定式ln 1l 1limlim x e x e x x e x e →→-==-,故选B ． 24．解：这是∞∞型未定式22csc ln cot sin cot lim lim lim lim 11ln sin cos sin cos x x x x xx x x x x x x x x xx→→→→-==-⋅=-=-＋＋＋＋００００故选D ．25．解：因为2sin lim20=+→x x b ax x 所以0)(lim 2=+→b ax x ，得0=b ，2sin lim 20=→x x ax x 所以2=a ，故选A 26．解：b b b b b a b b n n n n n n n nn ==+≤+≤=2选B27．解：选D28．解：因为∞→x lim2121lim 21sin==∞→x x x x x ,故选B29．解：nmnx mx nx mx x x ==→→00lim sin sin lim 故选A30．解：因为1tan lim230=+→x x b ax x 所以0)(lim 2=+→b ax x ，得0=b ，1tan lim 230=→x x ax x ,所以1=a ，故选B 31．解：1cos 1cos 1lim cos cos lim=+-=+-∞→∞→xxx x x x x x x x ，选A32．解：因为01lim )(lim 0=-=++→→）（xx x e x f ，11sin lim )(lim 00=+=--→→）（x x f x x 所以)(limx f x →不存在，故选D33．解：41414010])41(lim [)41(lim e xx x x x x =+=+→→,选D34．解：极限0sin lim cotx lnx - lim )1(lim 200tan 0===+++→→→xxx x x x x ，选C 35．解：110sin 11sinlim 0-=-=⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x x x ，选A 36．解：kkx x kx x x x 11lim 1sinlim ==∞→∞→选B 37．解：1sin lim 2=-→x x π，选B 38．解：选A 39．解：选D40．解：06lim21=++→ax x x ,7-=a ,选B41．解：2),2(lim tan lim 00=+=-+→→a x xaxx x ，选C 42．解：根据无穷小量的定义知：以零为极限的函数是无穷小量，故选C43．解：因为22lim )2sin(lim2020=+=+→→xx x x x x x x ，故选C 44．解：因为11ln(lim0=+→xx x ），故选B45．解：因为33lim )3tan(lim2020=+=+→→xx x x x x x x ，故选C 46．解：因为21)1(21lim1)1(21lim11=++=-+-→→x x xx xx x ，故选C47．解：因为021lim 11lim 00==-+++→→xxx x ax ax ，所以1>a ，故选A48．解：因为02tan lim 20=→x xx ，故选D49．解：由书中定理知选C 50．解：因为01cos 1lim=∞→xx x ，故选C51．解：因为6ln 13ln 32ln 2lim 232lim00=+=-+→→x x x x x x x ，选B 52．解：选A 53．解：1sin )cos 1(2lim20=-→xx x ，选C54．解：因为1)(lim =+∞→x f x ，选A55．解：选A 56．解：0sec 1sin lim0=+→xxx ，选C57．解：选C58．解：,11sinlim20=+→xx x x x 选D59．解：根据连续的定义知选B 60．C 61．解：选A 62．解：选A 63．解：)0(2)(lim 0f x f x ≠=+→π, )0(2)(lim 0f x f x =-=-→π,选B64．解：选A65．解：因为21)1)(1(lim 11lim 21=-+-=--++→→x x x x x x x ，21)1)(1(lim 11lim 21-=-+--=----→→x x x x x x x ，选A66．解：因为)0(1)(lim 0f x f x ==+→，又)0(1)(lim 0f x f x ==-→，所以)(x f 在0=x 点连续，但111lim )0()(lim )0('00=-+=-=--→→-xx x f x f f x x ，011lim )0()(lim )0('200=-+=-=++→→+xx x f x f f x x 所以)(x f 在0=x 点不可导，选C67．解：选C68．解：因为)0(1)(lim 0f x f x ≠=+→，又)0(1)(lim 0f x f x ≠=-→，所以)(x f 在0=x 点不连续，从而在0=x 处不可导，但当0→x 时,极限存在，选B69．解：选B 70．解：313lim)(-=-=∞→nxnxx f x ，选A71．解：)0(2111limf x x x ≠=-+→，选A72．解：选C 73．解：因为0)11cot(lim )(lim211=-+=++→→x arc x x f x x ， π=-+=--→→)11cot(lim )(lim 211x arc x x f x x 故选B74．解：选D 75．解：因为2lim ,lim-=∞=∞→→y y x x ，曲线既有水平渐近线2-=y ,又有垂直渐近线0=x ，选C76．解：因为11sinlim =+∞→xx x ，所以有水平渐近线1=y ，但无铅直渐近线，选A 77．D 78．C 解：e cos e sin x x y x x '=-，(0)101y '=-=．选C ．79．C 解：x x g cos )('=，所以x e x g f cos )]('[=，故选C ．80．解：=--→h x f h x f h )()21(lim 000 1)('21)21(21)()21(lim0000-=-=----→x f h x f h x f h ，选C 81．解：)('2])()()()([lim )()(lim 00a f xa f x a f x a f x a f x x a f x a f x x =---+-+=--+→→，选B82．解：因为=--+→h h f h f h )2()2(lim 0 +-+→h f h f h )2()2([lim 0 ])2()2(hf h f ---=)2('2f ，故选A83．解：)0('f 6)3)(2)(1(lim )0()(lim 00-=---=-=→→x x x x x x f x f x x ，故选B84．解：因为=--→h h f h f h )()(lim 0 +-→h f h f h )0()([lim 0 ])0()(hf h f ---=)0('2f ，故选C85．解：因为0lim→h )(')()h - x (000x f hx f f -=-,故选B86．解：因为=--→h f h f h )1()21(lim 021)1('222)1()21(lim 0=-=----→f h f h f h ）（，故选D87．解：222242)('',2)('xx x e x e x f xe x f ---+-=-=，2)0(''-=f 选C88．解：选B 89．解：01282829.....a x a x a x y ++++=，所以!29)29(=y ，选B90．解：)(')()('')()(x f e e f e e f y x f x x f x x ⋅+=+，选C91．解：!100)100()2)(1(lim )0()(lim)0('00=---=-=→→xx x x x x f x f f x x ，选B 92．解：)'('ln x x e y =)ln 1(x x x +=，选D。

2007年河南省专升本(高等数学)真题试卷(题后含答案及解析)

2007年河南省专升本（高等数学）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 判断题 4. 解答题 5. 综合题 6. 证明题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．集合{3，4，5}的子集个数为( )A．5B．6C．7D．8正确答案：D解析：集合{3，4，5)的子集有：空集φ、{3｝、{4｝、{5｝、{3，4｝、{3，5｝、{4，5｝、{3，4，5｝，共8个．2．函数f(x)=aresin(x-1)+的定义域是( )A．[0，1]B．[0，2]C．[0，3]D．[1，3]正确答案：B解析：解不等式组，得0≤x≤2，B为正确选项．3．当x→0时，与x不等价的无穷小量是( )A．2xB．sinxC．ex-1D．ln(1+x)正确答案：A解析：因=2≠1，所以A为正确选项．4．x=0是函数f(x)=arctan的( )A．连续点B．可去间断点C．跳跃问断点D．第二类间断点正确答案：C解析：，左右极限均存在但不相等，故选C.5．f(x)在x=1处可导，且f’(1)=1，则= ( ) A．-1B．-2C．-3D．-4正确答案：C解析：6．f(x)在区间(a，b)内有f’(x)>0，f’(x)<0，则f(x)在区间(a，b)内( )A．单调减少且凹B．单调增加且凸C．单调减少且凸D．单调增加且凹正确答案：B解析：在区间(a,b)内有f’(x)>0表示单调增加f’’(x)<0表示f(x)为凸的．7．曲线y=1+x3的拐点是( )A．(0，1)B．(1，0)C．(0，0)D．(1，1)正确答案：A解析：y=1+x3，则y’’=3x2，从而y’’=6x，当x>0时，y’’＞0；当x的水平渐近线是( )A．B．C．D．正确答案：C解析：因，所以水平渐近线为y=9．= ( )A．0B．C．1D．2正确答案：B解析：10．f(x)是g(x)的原函数，则下列正确的是( )A．∫f(x)dx=g(x)+CB．∫g(x)dx=f(x)+CC．∫g’(x)dx=f(x)+CD．∫f’(x)dx=g(x)+C正确答案：B解析：由原函数的性质知B为正确选项．11．∫cos(1-3x)dx= ( )A．sin(1-3x)+CB．sin(1-3x)+CC．-sin(1-3x)+CD．3sin(1-3x)+C正确答案：A解析：∫coss(1-3x)dx=cos(1-3x)d(1-3x)=∫cosdt=sint+C=sin(1-3x)+C12．设y=(t-1)(t-3)dt，则y’(0)= ( )A．-3B．-1C．1D．3正确答案：D解析：y=(t-1)(t-3)dt，则y’=(x-1)(x-3)，所以y’(0)=(-1)×(-3)=3．13．下列广义积分收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：C解析：因广义积分(a>0)当k>1时收敛，当k≤1时发散，故选C.14．计算不定积分，下列结果错误的是( )A．tanx-cotx+CB．tanx-+CC．cotx-tanx+CD．-cot2x+C正确答案：C解析：对各选项直接求导，可发现c选项的导数为-csc2x-sec2x=，根据原函数的概念知C为正确选项．15．函数y=x2在区间[1，3]上的平均值为( )A．B．C．8D．4正确答案：B解析：根据函数y=f(x)在区问[a，b]上的平均值为的定义，知函数y=x2在区间[1，3]上的平均值为16．过Oz轴，且经过点(3，-2，4)的平面方程为( )A．3x+2y=0B．2y+z=0C．2x+3y=0D．2x+z=0正确答案：C解析：平面的一般式方程为Ax+By+Cz+D=0，当平面过Oz轴时，则系数C=D=0，故该平面方程可设为Ax+By=0，又因该平面过点(3，-2，4)，代入平面方程可得A=，再代入方程即得平面方程为2x+3y=0．17．双曲线绕z轴旋转所得的曲面方程为( )A．B．C．D．正确答案：A解析：根据曲线，绕z轴旋转所得曲面方程为f(，x)=0，可得双曲线绕z轴旋转所得的曲面方程为18．= ( )A．B．C．0D．极限不存在正确答案：B解析：19．若z=xy，则( )A．B．1C．eD．0正确答案：C解析：因为f(e，y)=ey，则20．由方程z2y-xz3=1所确定的隐函数为z=f(x，y)，则=( )A．B．C．D．正确答案：A解析：令F(x，y，z)=z2y-xz2-1，得21．设L为抛物线y=x2上从点(0，0)到(1，1)的一段弧，则∫L2xydx+x2dy= ( )A．-1B．0C．1D．2正确答案：C解析：P(x，y)=2xy，Q(x，y)=x2，，则表明曲线积分与路径无关，取从A(0，0)到B(1，1)的直线段y=x(0≤x≤1)，则∫L2xydx+X2dy=x2dx=1．22．下列正项级数收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：C解析：对于选项A，可判定其通项与同阶无穷小，具有相同的敛散性，而是发散的，故发散；对于选项B和C，需要利用积分收敛法才可进行判断，可判断C为正确选项；对于选项D，因为也具有相同的敛散性，而为发散的，故选项D的级数也为发散的．23．幂级数(x+1)n的收敛区间为( )A．(-1，1)B．(-3，3)C．(-2，4)D．(-4，2)正确答案：D解析：令t=x+1，则级数可化为，由等比级数的敛散性可得级数的收敛区间为-1＜＜1，即-3(x+1)n的收敛区间为-3，得到f’’(x0)=＞0，故由极值存在的第二充分条件知A正确．填空题26．设f(x)=2x+5，则f[f(x)-1]=_______正确答案：4x+13解析：由f(x)=2x+5，知f(x)-1=2x+4，则f’[f(x)-1]=f(t)=2t+5=2[f(x)-1]+5=2[2x+4]+5=4x+13．27．=________正确答案：0解析：构造级数=0＜1，由比值收敛法知该级数收敛，再由收敛级数的必要条件知=028．函数f(x)=在x=0处连续，则a=________正确答案：6解析：由连续函数的充分必要条件知limf(x)=，要使f(x)在x=0处连续，则f(0+)=f(0-)=f(0)，从而可得=3，即a=6．29．曲线y=x2-2在点M处的切线平行于直线y=5x-1，则点M的坐标为________正确答案：(2，4)解析：直线y=5x-1的斜率为k=5，曲线y=x2+x-2在点M处的切线斜率为y’=2x+1，要使过点M的切线平行于直线y=5x-1，必有2x+1=5，得x=2，将x=2代入曲线方程y=x2+x-2，得y=4，则点M的坐标为(2，4)．30．已知f(x)=e2x-1，则f(2007)(0)=_______正确答案：解析：因为对于f(x)=e2x-1，有f(n)(x)=2ne2x-1，则f(2007)(0)=31．曲线=_________正确答案：1解析：因32．若函数f(x)=ax2+bx在x=1处取得极值2，则a=______，b=________正确答案：-2 4解析：f(x)=ax2+bx，则f’(x)=2ax+b，因为函数在x=1处取得极值2，且该函数在x=1处可导，所以必有f’(1)=2a+b=0，且f(1)=a+b=2，由2a+b=0，a+b=2，得a=-2，b=4．33．=_______正确答案：ln｜f(x)｜+C解析：=ln｜t｜+C=ln｜f(x)｜+C34．=________正确答案：解析：根据定积分的几何意义，知表示圆心在坐标原点，半径为1的圆落在第一象限内的面积，故有35．平面x+2y-5z+7=0与平面4x+3y+mz+13=0垂直，则m=________正确答案：2解析：两平面的法向量分别为={1，2，-5}，={4，3，m}，因为两平面垂直，故=0，即1×4+2×3+(-5)×m=0，解得m=2．36．向量3i+4j-k的模等于_______正确答案：解析：向量3i+4j-k的模等于37．函数f(x+y，xy)=x2+y2，则f(x，y)=_______正确答案：x2-2y解析：函数f(x+y，xy)=x2+y2=(x+y)2-2xy，令u=x+y，v=xy，f(u，v)=u2-2v，则f(x，y)=x2-2y．38．二重积分f(x，y)dx，交换积分次序后为_______正确答案：解析：二重积分的积分区域为D=｛(x,y)｜0≤y≤，y≤x ≤｝，该区域又可表示为D={(x，y)｜0≤x≤，0≤y≤x｝∪{(x，y)｜≤x≤1，0≤y≤，所以交换积分次序后得39．若级数收敛，则级数的和为_______正确答案：解析：级数的前n项和为Sn=因为级数收敛，故有=0，从而=0，故S=40．微分方程y’’-2y’+y=0的通解为______正确答案：y=(C1+C2x)ex解析：微分方程y’’-2y’+y=0对应的特征方程为r2-2r+1=0，得特征根为r1=r2=1，所以原方程的通解为y=(C1+C2x)ex判断题41．若数列{xn}单调，则数列{xn}收敛．( )A．正确B．错误正确答案：B解析：收敛数列未必单调，单调数列也未必收敛；如自然数列{n}，单调增加但不收敛．42．若f(x)在区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)≠f(b)，则一定不存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=0．( )A．正确B．错误正确答案：B解析：反例如f(x)=x2在区间[-1，2]内连续，在(-1，2)内可导，且f(-1)≠f(2)，但显然在(-1，2)内存在ξ=0∈(-1，2)，使得f’(0)=0．43．( )A．正确B．错误正确答案：B解析：当x→∞时，显然(1+cosx)与(1-cosx)并不存在，故不符合洛必达法则的使用条件．44．( )A．正确B．错误正确答案：A解析：令f(x)=，则f’(x)=＞0，x∈(0，ln2)，所以当x∈(0，ln2)时，f(x)单调递增，从而有f(0)≤f(x)≤f(ln2)，即0≤，所以由定积分的性质可得45．f(x，y)在点P(x，y)处可微是f(x，y)在点P(x，y)处连续的充分条件．( )A．正确B．错误正确答案：A解析：f(x，y)在点p(x，y)处可微可得f(x，y)在点p(x，y)处连续，反之不成立．解答题解答时应写出推理、演算步骤。

2013河南专升本高数真题（清晰版）及答案

2013年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试高等数学试卷一. 单项选择题（每题2分，共计60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内.不选、错选或多选者，该题不得分.1. 函数()f x =的定义域为（） A. [0,2] B. (1,)+∞ C. (1,2] D. [1,2]2.设1()1f x x=-，那么 {[()]}f f f x （） A.1x B.11x - C. 211x - D.x 3. 函数)y x =-∞<<+∞是 ( ) A.偶函数 B. 奇函数 C.非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数4.设sin 2()x f x x=，则x=0是f(x)的（） A.连续点 B.可去间断点 C.跳跃间断点 D.无穷间断点5. 当0→x （）A ．xB ．2xC ．2x D. 22x6.已知(0),(0)f a g b ''==，且(0)(0)f g =，则0()()limx f x g x x →--= （） A ．a-b B ．2a+b C ．a+b D ．b-a7.曲线cos (0,0)sin x a t a b y b t =⎧>>⎨=⎩,则4t π=对应点处的法线斜率（） A. b a B. a b C. b a - D. a b- 8.设函数()()f x g x '=，则2(sin )df x = （）A. 2()sin g x xdxB. ()sin 2g x xdxC. (sin 2)g x dxD. 2(sin )sin 2g x xdx9.设函数()f x 具有任意阶导数，且2()[()]f x f x '=，则()()n f x = （）A. 1![()]n n f x +B. 1[()]n n f x +C. 1(1)[()]n n f x ++D. 1(1)![()]n n f x ++10.由方程x y xy e +=确定的隐函数()x y 的导数dy dx = （） A. (1)(1)x y y x -- B. (1)(1)y x x y -- C. (1)(1)y x x y +- D. (1)(1)x y y x +- 11.若()0(0)f x x a ''><<，且(0)0f =，则下面成立的是（）A. ()0f x '>B. ()f x '在[0,]a 上单调增加C. ()0f x >D. ()f x 在[0,]a 上单调增加12.点(0,1)是曲线32y x bx c =++的拐点是（）A. 0,1b c ==B. 1,0b c =-=C. 1,1b c ==D. 1,1b c =-= 13. 曲线2216x y x x +=+--的垂直渐近线共有（）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条14.函数()x x f x e e -=-的一个原函数是（）A. ()x x F x e e -=-B. ()x x F x e e -=+C. ()x x F x e e -=-D. ()x x F x e e -=--15. 若()f x '连续，则下列等式正确的是 ( )A .()()df x f x =⎰ B. ()()d f x dx f x =⎰C. ()()f x dx f x '=⎰D. 22()()d f x dx f x dx =⎰16. 2sin x xdx ππ-=⎰ ( )A .π B.π- C.1 D.017. 设221()x xf t dt xe ++=⎰ ，则()f x '= （）A. x xeB. (1)x x e -C. (2)x x e +D. 2x xe +18.下列广义积分收敛的是（）A.1dxx +∞⎰ B. 1+∞⎰ C. 21dx x +∞⎰ D. 31ln xdxx +∞⎰19.微分方程22()()0y y y y '''++=的阶数是（）A.1B.2C.3D.420. 微分方程220dy xy dx -=满足条件(1)1y =-的特解是（） A. 21y x = B. 21y x=- C. 2y x = D. 2y x =- 21. 下列各组角中，可以作为向量的方向角的是 ( ) A ,,443πππ B ,,643πππ C ,,334πππ D ,,432πππ 22.直线124:231x y z L -+-==-与平面:2340x y z π-+-=的位置关系为( ) A. L 在π上 B. L 在π垂直相交C. L 在π平行D. L 在π相交，但不垂直23.下列方程在空间直角坐标系中所表示的图形为柱面的是（） A. 22273x z y += B. 22144x y z -=- C. 22214169x y z =-- D. 2220x y x +-= 24.00x y →→=（） A ．0 B ．1 C ．14-D ．不存在 25.设22(,23)z f x y x y =-+，则z y∂=∂ （） A. 1223yf f ''+ B. 1223yf f ''-+ C. 1222xf f ''+ D. 1222xf f ''-26.设2220020(,)(,)x I dx f x y dy f x y dy =+⎰⎰⎰，则交换积分次序后，I 可以化为 A.20(,)dy f x y dx ⎰ B.2202(,)x dy f x y dx ⎰⎰C. 02(,)x f x y dx ⎰⎰D.202(,)dy f x y dx ⎰⎰27.积分12201dx x ydy =⎰⎰ ( ) A.2 B.13 C. 12 D.0 28.设L 是抛物线2x y =上从(0,0)O 到(1,1)A 的一段弧，则曲线积分22L xydx x dy +=⎰A.0B.2C.4D.129. 幂级数1(1)n n n x∞=+∑的收敛区间为（）A . (0,1) B. (,)-∞+∞ C. (1,1)- D. (1,0)-30．下列级数收敛的是（） A. 11(1)1nn n ∞=-+∑ B. 11ln(1)n n ∞=+∑ C. 11sin n n∞=∑ D. 1!nn n n ∞=∑二、填空题（每题2分，共30分）31．函数()f x 在点0x 有定义是极限0lim ()x x f x →存在____________条件. 32. 已知23lim(1)pxx e x -→∞-=，则p= .33.函数,0()cos 2,0ax e a x f x a x x x ⎧-≤=⎨+>⎩是连续函数 ,则a =_____.34.设函数421()f x x =，则()f x '= . 35. 2cos 2sin xdx x x +=+⎰_____.36. 向量{1,0,1}a =与向量{1,1,0}b =-的夹角是 .37. 微分方程0y y x '+-=的通解是__________.38.设方程220x y z x y z ++-=所确定的隐函数为(,)z zx y =，则01x y zx ==∂=∂ .39.曲面22z x y =+在点（1，2，5）处的切平面方程是 .40.将1()f x x =展开成（x-4）的幂级数是 .三、计算题（每小题5分，共50分）41．011lim[]ln(1)x x x →-+.42. 已知函数()x x y =由方程arctan yx =所确定，求dydx .43.求不定积分⎰.44. 设21,0(),0x x x f x e x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩求31(2)f x dx -⎰. 45.求微分方程23x y y y e '''+-=的通解.46．设2sin 2xy u x y e =++，求全微分du .47．一平面过点(1,0,-1)且平行于向量a={2,1,-1}和b={1,-1,2},求此平面的方程.48．计算x y D edxdy ⎰⎰，其中D 是由y=1,y=x,y=2,x=0所围成的闭区域.49．计算积分2222(210)(215)L x xy y dx x xy y dy +-++--+⎰，其中L 为曲线y=cosx 上从点(,0)2A π到点(,0)2B π-的一段弧.50．求幂级数0(1)2(1)nn n x n ∞=-+∑的收敛域.四、应用题（每题6分，共计12分）51.某房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为2000元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加100元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费200元的维修费，试问租金定为多少可获得最大收入？最大收入是多少？52.曲线2(0)y x x =≥，直线x+y=2以及y 轴围成一平面图形D ，试求平面图形D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积.五、证明题（8分）53. 设f(x)在区间[0,1]上连续，且f(x)<1,证明：方程02()1xx f t dt -=⎰在区间(0,1)内有且仅有一个实根.附答案。

河南专升本高数真题及答案

12012年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学一、选择题（每小题2分，共60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．1．函数1arctany x=的定义域是 A ．[)4, -+∞B ．()4, -+∞C ．[)()4, 00, -+∞D ．()()4, 00, -+∞解：40400x x x x +≥⎧⇒≥-≠⎨≠⎩且.选C.2．下列函数中为偶函数的是A ．23log (1)y x x =+-B ．sin y x x =C ．)y x =D ．e xy =解：A 、D 为非奇非偶函数，B 为偶函数，C 为奇函数。

选B. 3．当0x →时，下列无穷小量中与ln(12)x +等价的是A ．xB ．12x C ．2x D ．2x解：0x →时，ln(12)~2x x +.选D.4．设函数21()sin f x x=，则0x =是()f x 的 A ．连续点 B ．可去间断点 C ．跳跃间断点D ．第二类间断点2解：0x =处没有定义，显然是间断点；又0x →时21sinx的极限不存在，故是第二类间断点。

选D.5．函数y =0x =处A ．极限不存在B ．间断C ．连续但不可导D ．连续且可导解：函数的定义域为(),-∞+∞，0lim lim (0)0x x f +-→→===，显然是连续的；又00(0)lim lim (0)x x f f +++-→→''===+∞=，因此在该点处不可导。

选C. 6．设函数()()f x x x ϕ=，其中)(x ϕ在0x =处连续且(0)0ϕ≠，则(0)f ' A ．不存在 B ．等于(0)ϕ' C ．存在且等于0D ．存在且等于(0)ϕ解：易知(0)=0f ，且00()0(0)lim lim ()(0)x x x x f x xϕϕϕ+++→→-'===， 00()0(0)lim lim ()(0)(0)x x x x f x f xϕϕϕ-+-+→→--''==-=-≠.故(0)f '不存在。

2013年河南转生本高数真题(清晰)及答案

2013年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试高等数学试卷一. 单项选择题（每题2分，共计60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内.不选、错选或多选者，该题不得分.1. 函数()f x =的定义域为（） A. [0,2] B. (1,)+∞ C. (1,2] D. [1,2]2.设1()1f x x=-，那么 {[()]}f f f x （） A.1x B.11x - C. 211x- D.x 3. 函数)y x =-∞<<+∞是 ( ) A.偶函数 B. 奇函数 C.非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数4.设sin 2()x f x x=，则x=0是f(x)的（） A.连续点 B.可去间断点 C.跳跃间断点 D.无穷间断点5. 当0→x 等价的是的（）A ．xB ．2xC ．2x D. 22x6.已知(0),(0)f a g b ''==，且(0)(0)f g =，则0()()limx f x g x x→--= （） A ．a-b B ．2a+b C ．a+b D ．b-a 7.曲线cos (0,0)sin x a t a b y b t =⎧>>⎨=⎩,则4t π=对应点处的法线斜率（） A. b a B. a b C. b a - D. a b- 8.设函数()()f x g x '=，则2(sin )df x = （）A. 2()sin g x xdxB. ()sin 2g x xdxC. (sin 2)g x dxD. 2(sin )sin 2g x xdx9.设函数()f x 具有任意阶导数，且2()[()]f x f x '=，则()()n f x = （）A. 1![()]n n f x +B. 1[()]n n f x +C. 1(1)[()]n n f x ++D. 1(1)![()]n n f x ++10.由方程x y xy e +=确定的隐函数()x y 的导数dy dx= （） A. (1)(1)x y y x -- B. (1)(1)y x x y -- C. (1)(1)y x x y +- D. (1)(1)x y y x +- 11.若()0(0)f x x a ''><<，且(0)0f =，则下面成立的是（）A. ()0f x '>B. ()f x '在[0,]a 上单调增加C. ()0f x >D. ()f x 在[0,]a 上单调增加12.点(0,1)是曲线32y x bx c =++的拐点是（）A. 0,1b c ==B. 1,0b c =-=C. 1,1b c ==D. 1,1b c =-= 13. 曲线2216x y x x +=+--的垂直渐近线共有（）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条14.函数()x x f x e e -=-的一个原函数是（）A. ()x x F x e e -=-B. ()x x F x e e -=+C. ()x x F x e e -=-D. ()x x F x e e -=--15. 若()f x '连续，则下列等式正确的是 ( )A .()()df x f x =⎰ B. ()()d f x dx f x =⎰C. ()()f x dx f x '=⎰D. 22()()d f x dx f x dx =⎰16. 2sin x xdx ππ-=⎰ ( )A .π B.π- C.1 D.017. 设221()x xf t dt xe ++=⎰ ，则()f x '= （）A. x xeB. (1)x x e -C. (2)x x e +D. 2x xe +18.下列广义积分收敛的是（）A.1dxx +∞⎰ B. 1+∞⎰ C. 21dx x +∞⎰ D. 31ln xdxx +∞⎰19.微分方程22()()0y y y y '''++=的阶数是（）A.1B.2C.3D.420. 微分方程220dy xy dx -=满足条件(1)1y =-的特解是（） A. 21y x = B. 21y x=- C. 2y x = D. 2y x =- 21. 下列各组角中，可以作为向量的方向角的是 ( ) A,,443πππ B ,,643πππ C ,,334πππ D ,,432πππ 22.直线124:231x y z L -+-==-与平面:2340x y z π-+-=的位置关系为( ) A. L 在π上 B. L 在π垂直相交C. L 在π平行D. L 在π相交，但不垂直23.下列方程在空间直角坐标系中所表示的图形为柱面的是（） A. 22273x z y += B. 22144x y z -=- C. 22214169x y z =-- D. 2220x y x +-= 24.00x y →→=（） A ．0 B ．1 C ．14-D ．不存在 25.设22(,23)z f x y x y =-+，则z y∂=∂ （） A. 1223yf f ''+ B. 1223yf f ''-+ C. 1222xf f ''+ D. 1222xf f ''-26.设2220020(,)(,)x I dx f x y dy f x y dy =+⎰⎰⎰，则交换积分次序后，I 可以化为 A.20(,)dy f x y dx ⎰ B.2202(,)x dy f x y dx ⎰⎰C. 202(,)x f x y dx ⎰⎰ D.202(,)dy f x y dx ⎰⎰27.积分12201dx x ydy =⎰⎰ ( ) A.2 B.13 C. 12 D.0 28.设L 是抛物线2x y =上从(0,0)O 到(1,1)A 的一段弧，则曲线积分22L xydx x dy +=⎰A.0B.2C.4D.129. 幂级数1(1)n n n x∞=+∑的收敛区间为（）A . (0,1) B. (,)-∞+∞ C. (1,1)- D. (1,0)-30．下列级数收敛的是（） A. 11(1)1nn n ∞=-+∑ B. 11ln(1)n n ∞=+∑ C. 11sin n n ∞=∑ D. 1!n n n n ∞=∑二、填空题（每题2分，共30分）31．函数()f x 在点0x 有定义是极限0lim ()x x f x →存在____________条件. 32. 已知23lim(1)px x e x -→∞-=，则p= .33.函数,0()cos 2,0ax e a x f x a x x x ⎧-≤=⎨+>⎩是连续函数 ,则a =_____.34.设函数421()f x x=，则()f x '= . 35. 2cos 2sin x dx x x +=+⎰_____. 36. 向量{1,0,1}a =与向量{1,1,0}b =-的夹角是 .37. 微分方程0y y x '+-=的通解是__________.38.设方程220x y z x y z ++-=所确定的隐函数为(,)z z x y =，则01x y zx ==∂=∂ .39.曲面22z x y =+在点（1，2，5）处的切平面方程是 .40.将1()f x x=展开成（x-4）的幂级数是 . 三、计算题（每小题5分，共50分）41．011lim[]ln(1)x x x →-+. 42. 已知函数()x x y =由方程arctan ln y x =所确定，求dy dx . 43.求不定积分⎰.44. 设21,0(),0x x x f x e x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩求31(2)f x dx -⎰. 45.求微分方程23x y y y e '''+-=的通解.46．设2sin 2xy u x y e =++，求全微分du .47．一平面过点(1,0,-1)且平行于向量a={2,1,-1}和b={1,-1,2},求此平面的方程.48．计算x y D edxdy ⎰⎰，其中D 是由y=1,y=x,y=2,x=0所围成的闭区域.49．计算积分2222(210)(215)L x xy y dx x xy y dy +-++--+⎰，其中L 为曲线y=cosx 上从点(,0)2A π到点(,0)2B π-的一段弧.50．求幂级数0(1)2(1)nn n x n ∞=-+∑的收敛域.四、应用题（每题6分，共计12分）51.某房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为2000元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加100元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费200元的维修费，试问租金定为多少可获得最大收入？最大收入是多少？52.曲线2(0)y x x =≥，直线x+y=2以及y 轴围成一平面图形D ，试求平面图形D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积.五、证明题（8分）53. 设f(x)在区间[0,1]上连续，且f(x)<1,证明：方程02()1x x f t dt -=⎰在区间(0,1)内有且仅有一个实根.附答案。

河南省专升本高等数学真题(带答案详解)

2009年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学注意事项：答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、考生号涂写在答题卡上。

本试卷的试卷答案在答题卡上，答试卷上无效。

一、选择题（每小题2分，共计60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，有铅笔把答题卡上对应的题目的标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.1.下列函数相等的是（）A.2x y x=，y x = B. y =y x =C.x y =，2y =D. y x =，y =【答案】D.解：注意函数的定义范围、解读式，应选D.2.下列函数中为奇函数的是（）A.e e ()2x xf x -+= B. ()tan f x x x =C. ()ln(f x x =D. ()1x f x x=- 【答案】C.解:()ln(f x x -=-，()()ln(ln(ln10f x f x x x +-=-+==()()f x f x -=-，选C.3．极限11lim1x x x →--的值是( ) A.1B.1- C.0 D.不存在【答案】D. 解：11lim 11x x x +→-=-，11lim 11x x x -→-=--，应选D.4.当0x →时，下列无穷小量中与x 等价是（）A.22x x - C. ln(1)x + D.2sin x【答案】C.解:由等价无穷小量公式，应选C.5.设e 1()x f x x-=，则0=x 是()f x 的（）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.无穷间断点【答案】B.解:00e 1lim ()lim1x x x f x x→→-==⇒0=x 是)(x f 的可去间断点,应选B. 6. 已知函数()f x 可导，且0(1)(1)lim12x f f x x→--=-，则(1)f '= （）A. 2B. -1C.1D.-2 【答案】D. 解：0(1)(1)1lim(1)1(1)222x f f x f f x →--''==-⇒=-，应选D.7.设()f x 具有四阶导数且()f x ''=(4)()f x = （）AB C ．1 D ．3214x --【答案】D. 解：1(3)21()2fx x -=，(4)()f x =3214x --，应选D.8.曲线sin 2cos y t x t=⎧⎨=⎩在π4t =对应点处的法线方程（）A.2x =B.1y =C.1y x =+D.1y x =- 【答案】A.解：0d 2cos 20d sin 2y t k x x x t =⇒=⇒==切，应选A. 9.已知d e ()e d x xf x x -⎡⎤=⎣⎦，且(0)0f =，则()f x =（） A ．2e e x x + B. 2e e x x - C. 2e e x x -+ D. 2e e x x -- 【答案】B.解:由d e ()e d x x f x x -⎡⎤=⎣⎦得 2d e ()d(e )e ()e ()e e x x x x x x f x f x C f x C --⎡⎤=⇒=+⇒=+⎣⎦，把(0)0f =代入得1C =-,所以2()e e x x f x =-,应选B. 10.函数在某点处连续是其在该点处可导的（）A. 必要条件B. 充分条件C. 充分必要条件D. 无关条件【答案】A.解:根据可导与连续的关系知，应选A.11.曲线42246y x x x =-+的凸区间为（） A.(2,2)- B.(,0)-∞ C.(0,)+∞ D. (,)-∞+∞ 【答案】A.解:34486y x x '=-+，212480(2,2)y x x ''=-<⇒∈-，应选A.12.设e xy x=（）A.仅有水平渐近线B.既有水平又有垂直渐近线C.仅有垂直渐近线D.既无水平又无垂直渐近线【答案】B.解:e lim0x x x →-∞=，0e lim xx x→=∞，应选B. 13.下列说法正确的是（）A. 函数的极值点一定是函数的驻点B. 函数的驻点一定是函数的极值点C. 二阶导数非零的驻点一定是极值点D. 以上说法都不对【答案】D.解:根据极值点与驻点的关系和第二充分条件，应选D.14. 设函数()f x 在[,]a b 连续，且不是常数函数,若()()f a f b =，则在(,)a b 内（）A. 必有最大值或最小值B.既有最大值又有最小值C.既有极大值又有极小值D.至少存在一点ξ，使()0f ξ'= 【答案】A.解:根据连续函数在闭区间上的性质及()()f a f b =的条件,在对应的开区间内至少有一个最值,应选A.15.若()f x 的一个原函数为ln x ，则()f x '=（）A. 1xB.21x- C.ln x D.ln x x【答案】B.解:()1()ln f x x x '==⇒21()f x x'=-,应选B.16.若2()f x dx x C =+⎰，则2(1)xf x dx -=⎰（） A. 222(1)x C --+ B. 222(1)x C -+C. 221(1)2x C --+D. 221(1)2x C -+【答案】C. 解:2221(1)(1)(1)2xf x dx f x d x -=---⎰⎰=221(1)2x C --+,应选C. 17.下列不等式不成立的是（）A. 22211ln (ln )xdx x dx >⎰⎰ B. 220sin xdx xdx ππ<⎰⎰C. 220ln(1)x dx xdx +<⎰⎰ D.22(1)x e dx x dx <+⎰⎰【答案】D.解:根据定积分的保序性定理，应有22(1)x e dx x dx ≥+⎰⎰，应选D.18.1ln eex dx ⎰= （）A.111ln ln e exdx xdx +⎰⎰ B.111ln ln eexdx xdx -⎰⎰C. 111ln ln e exdx xdx -+⎰⎰ D.111ln ln eexdx xdx --⎰⎰【答案】C.解:因1ln ,1|ln |ln ,1x x x ex x e⎧-≤≤⎪=⎨⎪≤≤⎩,考察积分的可加性有 1111ln ln ln eeeexdx xdx xdx =-+⎰⎰⎰，应选C.19．下列广义积分收敛的是（）A.ln ex dx x +∞⎰B.1ln e dx x x +∞⎰ C.21(ln )e dx x x +∞⎰D.e +∞⎰ 【答案】C.解:由广义积分性质和结论可知:21(ln )edx x x +∞⎰是2p =的积分,收敛的,应选C. 20.方程220x y z +-=在空间直角坐标系中表示的曲面是（） A.球面 B.圆锥面C. 旋转抛物面D.圆柱面【答案】C.解:根据方程的特点是抛物面,又因两个平方项的系数相等,从而方程220x y z +-=在空间直角坐标系中表示的曲面是旋转抛物面,应选C.21. 设{}1,1,2a =-，{}2,0,1b =，则a 与b 的夹角为（） A ．0 B ．6π C ．4π D ．2π 【答案】D.解:0(,)2a b a b a b π=⇒⊥⇒=,应选D.22.直线34273x y z++==--与平面4223x y z --=的位置关系是 ( ) A.平行但直线不在平面内 B.直线在平面内 C. 垂直 D.相交但不垂直【答案】A.解:因{}2,7,3s =--,{}4,2,20n s n s n =--⇒⋅=⇒⊥⇒直线在平面内或平行但直线不在平面内.又直线上点(3,4,0)--不在平面内.故直线与平面的位置关系是平行但直线不在平面内,应选A.23.设(,)f x y 在点(,)a b 处有偏导数，则0(,)(,)limh f a h b f a h b h→+--=（ )A.0B.2(,)x f a b 'C.(,)x f a b 'D.(,)y f a b ' 【答案】B. 解:原式00(,)(,)(,)(,)limlimh h f a h b f a b f a h b f a b h h→→+---=- 00(,)(,)(,)(,)limlim 2(,)x h h f a h b f a b f a h b f a b f a b h h→-→+---'=+=- 应选B. 24．函数x yz x y+=-的全微dz =（） A ．22()()xdx ydy x y -- B ．22()()ydy xdx x y -- C ．22()()ydx xdy x y --D ．22()()xdy ydx x y --【答案】D 解：22()()()()2()()()x y x y d x y x y d x y xdy ydx z dz x y x y x y +-+-+--=⇒==---，应选D25．0(,)ady f x y dx ⎰化为极坐标形式为（）A ．20(cos ,sin )ad f r r rdr πθθθ⎰⎰B ．2cos 0(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰C ．sin 20(cos ,sin )a d f r r rdr πθθθθ⎰⎰D ．20(cos ,sin )ad f r r rdrπθθθ⎰⎰【答案】D.解:积分区域{(,)|0,0(,)|0,02x y y a x r r a πθθ⎧⎫≤≤≤≤=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭有(,)ady f x y dx ⎰2(cos ,sin )ad f r r rdr πθθθ=⎰⎰,应选D.26.设L 是以A(-1,0),B(-3,2),C(3,0)为顶点的三角形区域的边界，方向为ABCA,则(3)(2)Lx y dx x y dy -+-=⎰A.-8B.0 C 8 D.20 【答案】A.解:由格林公式知,(3)(2)228LDx y dx x y dy d S σ∆-+-=-=-=-⎰⎰⎰，应选A.27.下列微分方程中，可分离变量的是（） A ．tan dy y ydx x x=+ B ．22()20x y dx xydy +-= C ．220x y x dx e dy y ++=D ． 2x dyy e dx+= 【答案】C.解:根据可分离变量微分的特点,220x y x dx e dy y++=可化为 22y x ye dy xe dx -=-知,应选C.28.若级数1n n u ∞=∑收敛，则下列级数收敛的是（）A ．110nn u ∞=∑ B ．1(10)n n u ∞=+∑C ．110n n u ∞=∑D ． 1(10)n n u ∞=-∑【答案】A.解:由级数收敛的性质知,110nn u ∞=∑收敛,其他三个一定发散,应选A. 29.函数()ln(1)f x x =-的幂级数展开为（）A ．23,1123x x x x +++-<≤ B ．23,1123x x x x -+--<≤C ．23,1123x x x x -----≤< D ． 23,1123x x x x -+-+-≤<【答案】C.解:根据23ln(1),1123x x x x x +=-+--<≤可知,23ln(1),1123x x x x x -=-----≤<,应选C.30.级数1(1)n n n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（）A ．条件收敛B ．绝对收敛C ．发散D ．无法确定【答案】B.解:令1x t -=,级数1(1)nn n a x ∞=-∑化为1n n n a t ∞=∑,问题转化为:2t =-处收敛,确定1t =处是否收敛.由阿贝尔定理知是绝对收敛的,故应选B.二、填空题（每小题2分，共30分）31.已知()1xf x x=-，则[()]______f f x =. 解：()1[()](1,)1()122f x x f f x x x f x x ==≠≠--.32.当0x →时，()f x 与1cos x -等价，则0()lim_______sin x f x x x→=. 解：2211cos ()1cos 2220sin 00()1cos 12lim lim lim sin 2x x f x x x x x x x x f x x x x x x --→→→-==============. 33.若2lim 8xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则_______a =. 解：因2223()221lim 12lim lim 1lim 1x xa axa x a x x a x x a a x a a x a e x x e x a e a a x x ⋅→∞-→∞→∞⋅--→∞⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+⎛⎫⎝⎭⎝⎭==== ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫- ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭，所以有 38a e =ln 2a ⇒=.34.设函数sin ,0(),0xx f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在(,)-∞+∞内处处连续，则_______a =.解：函数在(,)-∞+∞内处处连续，当然在0x =处一定连续，又因为0sin lim ()lim1;(0)x x x f x f a x→→===，所以0lim ()(0)1x f x f a →=⇒=.35.曲线31xy x=+在（2，2）点处的切线方程为___________. 解：因2231340(1)3x y k y x y x =''=⇒==⇒-+=+. 36.函数2()2f x x x =--在区间[0，2]上使用拉格朗日中值定理结论中____ξ=. 解：(2)(0)()2121120f f f x x ξξ-'=-⇒-=⇒=-.37.函数()f x x =的单调减少区间是 _________.解：1()100,4f x x ⎛⎫'=<⇒∈ ⎪⎝⎭,应填10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭或10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦或10,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭或10,4⎛⎤⎥⎝⎦. 38.已知(0)2,(2)3,(2)4,f f f '===则20()______xf x dx ''=⎰.解：222200()()()()2(2)(2)(0)7xf x dx xdf x xf x f x dx f f f ''''''==-=-+=⎰⎰⎰.39.设向量b 与}{1,2,3a =-共线，且56a b ⋅=,则b =_________. 解：因向量b 与a 共线,b 可设为{},2,3k k k -，5649564a b k k k k ⋅=⇒++=⇒=,所以{}4,8,12b =-.40.设22x y z e +=，则22zx∂=∂_______.解：22222222222(12)x y x y x y z z z exe x e x x+++∂∂=⇒=⇒=+∂∂. 41．函数22(,)22f x y x xy y =+-的驻点为________.解：40(,)(0,0)40fx y x x y f x y y∂⎧=+=⎪∂⎪⇒=⎨∂⎪=-=∂⎪⎩.42．区域D 为229x y +≤，则2______Dx yd σ=⎰⎰.解：利用对称性知其值为0或232420cos sin 0Dx yd d r dr πσθθθ==⎰⎰⎰⎰.43.交换积分次序后,1(,)_____________xdx f x y dy =⎰.解：积分区域{{}2(,)|01,(,)|01,D x y x x y x y y y x y =≤≤≤≤=≤≤≤≤,则有21100(,)(,)yxydx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰.44.14x y xe -=-是23x y y y e -'''--=的特解，则该方程的通解为_________.解：230y y y '''--=的通解为312x x y C e C e -=+，根据方程解的结构,原方程的通解为31214x x x y C e C e xe --=+-.45.已知级数1n n u ∞=∑的部分和3n S n =，则当2n ≥时，_______n u =.解：当2n ≥时,3321(1)331n n n u S S n n n n -=-=--=-+.三、计算题（每小题5分，共40分）46．求011lim 1x x x e →⎛⎫- ⎪-⎝⎭.解：20001111lim lim lim 1(1)x x x x x x x e x e x x e x e x →→→----⎛⎫-== ⎪--⎝⎭0011lim lim 222x x x e x x x →→-===. 47.设()y y x =是由方程ln sin 2xy e y x x +=确定的隐函数，求dxdy . 解：方程两边对x 求导得()ln 2cos 2xy ye xy y x x x''++= 即()ln 2cos 2xy e x y xy y y x x x x ''+++=2(ln )2cos 2xy xy x e x x y x x e xy y'+=--所以dydx=22cos 2ln xy xy x x e xy y y x e x x --'=+.48.已知2()x xf x dx e C -=+⎰，求1()dx f x ⎰. 解：方程2()x xf x dx e C -=+⎰两边对x 求导得2()2xxf x e-=-，即22()xe f x x--=，所以211()2x xe f x =-. 故22111()24x x dx xe dx xde f x =-=-⎰⎰⎰ 222211114448x x x x xe e dx xe e C =-+=-++⎰.49.求定积分44|(1)|x x dx --⎰.解：4014441|(1)||(1)||(1)||(1)|x x dx x x dx x x dx x x dx ---=-+-+-⎰⎰⎰⎰01441(1)(1)(1)x x dx x x dx x x dx -=-+-+-⎰⎰⎰14322332401322332x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 641164118843323332=++-+--+=. 50.已知22x xy y z e +-= 求全微分dz .解：因222222()(2)x xy y x xy y x ze x xy y e x y x+-+-∂'=+-=+∂, 222222()(2)x xy y x xy y y ze x xy y e x y y+-+-∂'=+-=-∂, 且它们在定义域都连续，从而函数22xxy y z e +-=可微，并有z zdz dx dy x y∂∂=+∂∂22[(2)(2)]x xy y e x y dx x y dy +-=++-. 51.求(2)Dx y d σ+⎰⎰，其中区域D 由直线,2,2y x y x y ===围成.yx =解：积分区域D 如图所示：把D 看作Y 型区域，且有(,)|02,2y D x y y x y ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭故有202(2)(2)yy Dx y d dy x y dx σ+=+⎰⎰⎰⎰2222025()4yy x xy dy y dy =+=⎰⎰230510123y ==. 52.求微分方程22x y xy xe -'-=的通解. 解：这是一阶线性非齐次微分方程，它对应的齐次微分方程20y xy '-=的通解为2x y Ce =，设原方程的解为2()x y C x e =代入方程得22()x x C x e xe -'=, 即有22()x C x xe -'=，所以222222211()(2)44x x x C x xe dx e d x e C ---==--=-+⎰⎰, 故原方程的通解为2214x x y e Ce -=-+.53.求幂级数212nnn n x ∞=∑的收敛区间（考虑区间端点）. 解：这是规范缺项的幂级数，考察正项级数212nnn n x ∞=∑，因221112lim lim 22n n n n n nu n x l x u n ++→∞→∞+==⨯=,当212x l =<，即||x <212n n n nx ∞=∑是绝对收敛的；当212x l =>，即||x >212n n n nx ∞=∑是发散的；当212x l ==，即x =212nn n n x ∞=∑化为1n n ∞=∑，显然是发散的。

河南省专升本考试高等数学真题2013年

河南省专升本考试高等数学真题2013年(总分：150.00，做题时间：90分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.______（分数：2.00）A.[0，2]B.(1，+∞)C.(1，2] √D.[1，2]解析：[解析] 1＜x≤2，故函数的定义域为(1，2] 2.设，那么f{f[f(x)]}=______A．B．C．D．x（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：[解析] D.3.______（分数：2.00）A.偶函数B.奇函数√C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数解析：[解析] 令，则即y=f(x)为奇函数.4.x=0是f(x)的______（分数：2.00）A.连续点B.可去间断点√C.跳跃间断点D.无穷间断点解析：[解析] x=0是f(x)的可去间断点.5.当x→0______（分数：2.00）A..x √B.2xC..x2D.2x2解析：[解析] 由选项可设与等价的无穷小量为ax b，则则a=1，b=1，故选A.6.已知f"(0)=a，g"(0)=b，且f(0)=b，且f(0)=g(0)，则（分数：2.00）A.a-bB.2a+bC.a+b √D.b-a解析：[解析 C.7.曲线(a＞0，b＞0)，则对应点处的法线斜率为______ A．B．C．D．（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[解析] ，故对应点处的法线斜率为 B.8.设f"(x)=g(x)，则df(sin 2 x)=______（分数：2.00）A.2g(x)sinxdxB.g(x)sin2xdxC.g(sin2x)dxD.g(sin2x)sin2xdx √解析：[解析] df(sin 2 x)=[f(sin 2 x)]"dx=f"(sin 2x)·2sinxcosxdx，因为f"(x)=g(x)，故df(sin 2 x)=g(sin 2 x)sin2xdx，故选D.9.设函数f(x)具有任意阶导数，且f"(x)=[f(x)] 2，则f (n) (x)=______（分数：2.00）A.n![f(x)]n+1 √B.n[f(x)]n+1C.(n+1)[f(x)]n+1D.(n+1)![f(x)]n+1解析：[解析] 因为f"(x)=[f(x)] 2，所以f"(x)=2f(x)f"(x)=2[f(x)]3，f""(x)=2×3[f(x)]2·f"(x)=2×3[f(x)]4，f(4)=2×3×4[f(x)]3·f"(x)=4![f(x)]5，…f(n)(x)=n![f(x)]n+1，故选A.10.由方程xy=x x+y确定的隐函数x(y)的导数______A．B．C．D．（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[解析] 方程两边对y求导，其中x看作y的函数，x"y+x=e x+y·(x"+1)，所以 A.11.若f"(x)＞0(0＜x＜a)，且f(0)=0，则下面成立的是______（分数：2.00）A.f"(x)＞0B.f"(x)在[0，a]上单调增加√C.f(x)＞0D.f(x)在[0，a]上单调增加解析：[解析] f"(x)＞0只能说明f"(x)是[0，a]上的增函数，而A、C、D中结论无法得到.12.点(0，1)是曲线y=x 3 +bx 2 +c的拐点，则______（分数：2.00）A.b=0，c=1 √B.b=-1，c=0C.b=1，c=1D.b=-1，c=1解析：[解析] y"=3x 2 +2bx，y"=6x+2b，当x=0时，y"=2b=0，则b=0，又曲线过点(0，1)，即c=1，本题选A．13.______（分数：2.00）A.1条√B.2条C.3条D.4条解析：[解析] ，显然x=-2x=3为曲线的垂直渐近线，本题选A．14.函数f(x)=e x -e -x的一个原函数是______（分数：2.00）A.F(x)=ex-e-xB.F(x)=ex+e-x √C.F(x)=e-x-exD.F(x)=-ex-e-x解析：[解析] ∫f(x)dx=∫(e x -e -x)dx=∫e x dx+∫e -x d(-x)=e x +e -x +C，结合选项可知B正确．15.若f"(x)连续，则下列等式正确的是______（分数：2.00）A.∫df(x)B.d∫f(x)dx=f(x)C.∫f"(x)=f(x)D.d∫f(x2)dx=f(x2)dx√解析：[解析] ∫df(x)=f(x)+C，A错，d∫(x)dx=f(x)dx，B错，∫f"(x)dx=f(x)+C，C错，D正确．（分数：2.00）A..πB.-πC.1D.0 √解析：[解析] 由于y=x 2 sinx为[-π，π]上的奇函数，故17.f"(x)=______（分数：2.00）A.xex √B.(x-1)exC.(x+2)exD.xex+2解析：[解析] 方程两边对x求导，得f(2+x)=e 2+x+xe 2+x，所以f(x)=e x+(x-2)e x，f"(x)=e x+e x+(x-2)e x =xe x．18.下列广义积分收敛的是______A．B．C．D．（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 发散，发散，收敛，C．19.微分方程(y")2+(y")2y+y=0的阶数是______（分数：2.00）A.1B.2 √C.3D.4解析：[解析] 微分方程的阶数为方程中最高阶导数的阶数，故选B．20.微分方程dy-2xy 2 dx=0满足条件y(1)=-1的特解是______A．B．C．y=x 2D．y=-x 2（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 对微分方程分离变量，得，两边积分，得，代入y(1)=-1，得C=0，故方程的．21.下列各组角中，可以作为向量的方向角的是______A．B．C．D．（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 向量的方向角须满足cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1，由此可知只有C满足．22.π：2x-3y+z-4=0的位置关系是______（分数：2.00）A.L在π上B.L与π垂直相交√C.L与π平行D.L与π相交，但不垂直解析：[解析] 由于直线的方向向量与平面的法向量平行，故L与π垂直相交．23.下列方程在空间直角坐标系中所表示的图形为柱面的是______A．B．C．D．x 2 +y 2 -2x=0（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：[解析] D中，曲面在xOy平面上的投影为圆，故D为柱面，其他均不是．24. ______A．0B．1C．D．不存在（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析25.设z=f(x 2 -y 2，2x+3y)，则______A．B．C．D．（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[解析B．26.设，则交换积分次序后，I可以化为______ A．B．C．D．（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[解析] 画出积分区域如图，交换积分次序，得27.积分______A．2B．C．D．0（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析28.设L是抛物线x=y 2上从O(0，0)到A(1，1)的一段弧，则曲线积分∫ L 2xydx+x 2 dy=______（分数：2.00）A.0B.2C.4D.1 √解析：[解析29.______（分数：2.00）A.(0，1)B.(-∞，+∞)C.(-1，1) √D.(-1，0)解析：[解析，故收敛半径R=1，收敛区间为(-1，1).30.下列级数收敛的是______A．B．C．D．（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[解析] A为交错级数，且，单调递减，故收敛，，而发散，故B、C均发散，D，故发散．二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.函数f(x)在点x 0有定义是极限 1条件.（分数：2.00）解析：既不充分也不必要 [解析] f(x)在x 0有定义表明f(x)定义域中包含x 0，存在等价于者没有什么本质联系．32.已知p= 1.（分数：2.00）解析：[解析] ，故33.函数a= 1.（分数：2.00）解析：[解析] ，由f(x)的连续性，知1-a=a34.设函数f"(x)= 1.（分数：2.00）解析：[解析35.不定积分（分数：2.00）解析：ln|2x+sinx|+C[解析36.向量a={1，0，1)与向量b={-1，1，0)的夹角是 1.（分数：2.00）解析：[解析37.微分方程y"+y-x=0的通解是 1.（分数：2.00）解析：y=x+Ce -x -1 [解析] 由一阶线性微分方程的通解公式得微分方程的通解为y=e -∫dx(∫xe ∫dx +C)=e -x(∫xe x dx+C)=e -x (xe x -e x +C)=x+Ce -x -1．38.设方程x+2y+x-2xyz=0所确定的隐函数为z=z(x，y)，则（分数：2.00）解析：-5[解析] 方程两边对x求偏导，得，39.曲面x=x 2 +y 2在点(1，2，5)处的切平面方程是 1.（分数：2.00）解析：2x+4y-z=5 [解析] 令F(x，y，z)=x 2 +y 2 -z，F x =2x，F y =2y，F z =-1，故点(1，2，5)处的切平面法向量为{F x | x=1，F y | y=2，F z |z=5}={2，4，-1}，所以切平面方程为2(x-1)+4(y-2)-(z-5)=0，即2x+4y-z=5．40.将(x-4)的幂级数是 1.（分数：2.00）解析：[解析] ，因为，所以三、计算题(总题数：10，分数：50.00)（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()42.已知函数x=x(y)由方程所确定，求（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：方程两边对y求导，得即，即．43.求不定积分（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：令，则x=t 2，dt=2tdt，将代入得．44.设求（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()45.求微分方程2y"+y"-y=3e x的通解.（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：对应齐次方程的特征方程为2λ2 +λ-1=0，特征根为λ1 =-1，，所以原方程对应齐次方程的通解为，C 1，C 2为任意常数，又1不是对应齐次方程的特征根，设y*=Ae x为方程特解，代入方程得2Ae x +Ae x -Ae x =3e x，即，故原方程的通解为，其中C 1，C 2为任意常数．46.设u=x 2 +sin2y+e xy，求全微分du.（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：．所以=(2x+ye xy )dx+(2cos2y+xe xy )dy.47.一平面过点(1，0，-1)且平行于向量a={2，1，-1}和b={1，-1，2)，求此平面的方程.（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：设c={m，n，p)为所求平面的一个法向量，则，即c={1，-5，-3)，所以所求平面的方程为(x-1)-5y-3(z+1)=0，即x-5y-3z=4．48.计算D是由y=1，y=x，y=2，x=0所围成的闭区域.（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：积分区域如图所示，49.计算积分∫ L (x 2 +2xy-y 2 +10)dx+(x 2 -2xy-y 2 +15)dy，其中L为曲线y=cosx上从点到点的一段弧.（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：由于，所以所求积分与路径无关，所以可以沿直线y=0积分，50.求幂级数.（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：因为，所以幂级数的收敛半径为2，令|x-1|＜2，得收敛区间为(-1,3)，当x=-1时，原级数为收敛，当x=3时，原级数为发散，故原幂级数的收敛域为[-1，3).四、应用题(总题数：2，分数：12.00)51.某房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为2000元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加100元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费200元的维修费，试问租金定为多少可获得最大收入?最大收入是多少?（分数：6.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：设租金定为x元时对应的收入为y元，则，即，令，得唯一驻点x=3600，结合实际际问题，知当租金定为3600元时，可获得最大收入，最大收入为115600元．52.曲线y=x 3(x≥0)，直线x+y=2以及y轴围成一平面图形D，试求平面图形D绕y轴旋转一周所得旋转体的体积.（分数：6.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：平面图形如图阴影部分所示，所求体积五、证明题(总题数：1，分数：8.00)53.设f(x)在区间[0，1]上连续，且f(x)＜1，证明：方程(0，1)内有且仅有一个实根. （分数：8.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：[证明] 令，则F(x)为[0，1]上连续函数，且F(0)=-1＜0，，由于f(t)＜1，则，故F(1)＞0，由零点存在定理，F(x)在(0，1)内有实根，又F"(x)=2-f(x)＞1＞0，F(x)在(0，1)上单调增加，因此方程在(0，1)内有且仅有一个实根．。

13年专升本高数真题答案

共 7 页，第 1 页2013年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学答案及解析一、选择题（每小题2分，共60分）1．答案：C【解析】：易知，需满足，即，故应选C.⎩⎨⎧>-≤≤-0111x x 21≤<x 2．答案：D【解析】：因为，则，，故应选D.1()1f x x =-()[]x x x x f f 11111-=--={}[()]f f f x =()[]x xx x f f =--=1113．答案：B【解析】：因为为奇函数，则也为奇函数，应选B.()x x -+21ln )y x =-∞<<+∞4．答案：B 【解析】：因为，故是的可去间断点，应选B.22lim 2sin lim 00==→→xxx x x x 0x =()f x 5．答案：A【解析】：当时，，则与是等价无穷小0x →()1112lim 11lim00=-++=--+→→x x x xxx x x x x x --+11x 量，应选A.6．答案：C【解析】：因，应选C.0()()lim x f x g x x →--=()()()()()()()()b a x x g g x f x f x x g g f x f x x x +=--+-=--+-→→→0lim 0lim 00lim 0007．答案：B【解析】：因为曲线，则，故对应点处的法线cos (0,0)sin x a t a b y b t=⎧>>⎨=⎩t a b t a t b dt dx dt dy dx dy cot sin cos //-=-==4π=t 斜率为，应选B.ba8．答案：D【解析】：因为，则，应选D.()()f x g x '=2d (sin )f x =()()xdx x g xdx x x f 2sin sin cos sin 2sin 22='9．答案：A【解析】：设函数具有任意阶导数，且，则；()f x 2()[()]f x f x '=()()()()[]322x f x f x f x f ='=''；()()[]()()[]42!332x f x f x f x f ='⨯='''()()()[]()()[]534!4432x f x f x f x f ='⨯⨯=()()n f x =1![()]n n f x +10．答案：A【解析】：方程两边对求导，其中看作的函数，，所以x yxy e+=y x y ()1+'⋅=+'+x ex y x yx ，应选A.()()11--=--=--=='++x y y x y xy xy x y e e x dy dx x y x y x 11．答案：B【解析】：因为，则在上单调增加，应选B.()0(0)f x x a ''><<()f x '[0,]a 12．答案：A【解析】：点是曲线的拐点，则，故，应选A.(0,1)32y x bx c =++()()00,10=''=y y 0,1b c ==13.答案：A【解析】：因为，则2216x y x x +=+--()()3221-+++=x x x ；；()()543221lim 621lim 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛--++-→-→x x x x x x x x ()()∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛--++→→3221lim 621lim 323x x x x x x x x 故是曲线的垂直渐近线，应选A.3=x 14.答案：B【解析】：因为，则，故应选B.()xxf x e e -=-()()C e e dx e ex F x x x x++=-=--⎰15.答案：D【解析】：根据不定积分的相关性质，易知，正确，应选D.22d ()d ()d f x x f x x =⎰16．答案：D【解析】：因为为奇函数，故，应选D.x x sin 20sin 2=⎰-dx x x ππ17．答案：A 【解析】：方程两边对求导，得，则，故221()d x x f t t xe ++=⎰x ()x x xe e x f +++=+222()()x x e x e x f 2-+=，应选A.()f x '=x xe 18．答案：C【解析】：由P 无穷广义积分的结论可知，应选C.19．答案：B【解析】：微分方程的阶数是指微分方程中最高导数的阶数，应选B.20．答案：B【解析】：对方程分离变量，得，两边积分，得,代入，2d 2d 0y xy x -=xdx y dy 22=C x y+=-21(1)1y =-，故方程的特解是，应选B.0=C 21y x -=21．答案：C【解析】：向量的方向角需满足，应选C.1cos cos cos 222=++γβα22．答案：B【解析】：直线的方向向量与平面法向量平行，故与垂直相交，应选B.L π23．答案：D【解析】：缺少变量的二次曲面方程为柱面，应选D.共 7 页，第 3 页24．答案：C 【解析】：，应选C.0x y →→=()()41421lim 42lim 0000-=++-=++-→→→→xy xy xy xy y x y x 25．答案：B【解析】：因为，则22(,23)z fx y x y =-+zy∂=∂1223yf f ''-+26．答案：A 【解析】：因为为X 型积分，则交换积分次序后，Y 型积分的2 22 00 2d (, )d (, )d x I x f x y y x f x y y =+⎰⎰⎰积分区域为：，故可以化为，应选A.(){}282,20,y x y y y x -≤≤≤≤I 2d (, )d y f x y x ⎰⎰27.答案：C 【解析】：积分，应选C. 122 01d d x x y y =⎰⎰21213121210321102=⋅=⋅⎰⎰x x ydy dx x 28. 答案：D【解析】：参数方程，则，应L ()10,2≤≤⎩⎨⎧==y yy y x 22d d Lxy x x y +=⎰[]1522105141042===+⋅⋅⎰⎰y dy y dy y ydy y y 选D.29.答案：C 【解析】：因为，则收敛半径，收敛区间为，应选C.121lim lim 1=++=∞→+∞→n n u u n n n n 1=R (1,1)-30．答案：A【解析】：A 为交错级数，且单调递减，，故收敛；B 、C 中，11+n 011lim=+∞→n n 111sinlim ,1111ln lim ==⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→nn n n n n 且发散，故B 、C 均发散；D 中，故D 发散；应选A.∑∞=11n n∞=∞→!lim n n nn 二、填空题（每小题2分，共20分）31．答案：既不充分也不必要【解析】：函数在点有定义与极限存在没有关系，故为既不充分也不必要()f x 0x 0lim ()x x f x →条件.32．答案：32【解析】：因为，故.2331lim --∞→==⎪⎭⎫⎝⎛-e e x p pxx p =3233．答案：21【解析】：因为函数为连续函数，则，得，故.()()a x x a a a e x axx =+-=-+-→→2cos lim ,1lim 0a a =-121=a 34．答案：32x -【解析】：因为，则，故．421f x x ⎛⎫=⎪⎝⎭()21x x f =()32x x f -='35．答案：C x x ++sin 2ln 【解析】：2cos d 2sin x x x x +=+⎰()Cx x x x x x d ++=++⎰sin 2ln sin 2sin 236．答案：π32【解析】：，则．21221,cos -=⋅-=⋅⋅>=<→→→→→→ba ba b a 32,π>=<→→b a 37．答案：1-+=-xCex y 【解析】：由一阶线性微分方程的通解公式得，.()1-+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=---⎰⎰xxxdx dx Cex C dx xe e C dx xe e y 38．答案：-5【解析】：令，则，将代入方程，则，()xyz z y x y x F 22,-++=xy F yz F z x 21,21-='-='1,0==y x 2-=z 故.52121101010-=---=''-=∂∂======y x y x z x y x xyyz F F xz39．答案：542=-+z y x 【解析】：令，故点处的切平面法向量，故切()1,2,2,,,22-='='='-+=z y x F y F x F z y x z y x F ()5,2,1{}1,4,2-平面方程为，即.()()()052412=---+-z y x 542=-+z y x 40．答案：()()nn n n x 44101-⋅-∑∞=+【解析】：.()()()()∑∑∞=+∞=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+⋅=-+==010441441414411414411n nn n nn n x x x x x x f 三、计算题（每小题5分，共50分）41．．011lim ln(1)x x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦共 7 页，第 5 页【解析】：原式=.()()()()21211lim 2111lim 1ln lim 1ln 1ln lim 200200-=+-=-+=-+=+-+→→→→x x x x x x x x x x x x x x42．已知函数由方程所确定，求.()x x y =arctanyx=d d x y 【解析】：方程两边同时对求导，可知，，即y 2222222222111yx y x x yx x x y x xy ++'⋅+='-⋅+，故.2222y x y x x y x x y x ++'=+'-d d xy yx yx y x x y x x +-=+'-='=2243.求不定积分．x ⎰【解析】：.Cx x x x C t t t t dt tt t t dtt t t t tdt dx x tx tdt dx ++-=++-⋅=+-+-⋅=+-⋅==⎰⎰⎰⎰==arctan arctan arctan arctan 111arctan 1arctan arctan arctan 22222222244．设，求.21,0(),0x x x f x e x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩31(2)d f x x -⎰【解析】：.()()()e e t t dt e dt t dt tf dx x f ttt x +=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++==----=-⎰⎰⎰⎰313121013100121131245．求微分方程的通解．23xy y y e '''+-=【解析】：原方程对应的齐次方程为，则特征方程为，特征根为，02=-'+''y y y 0122=-+r r 21,121=-=r r 故原方程对应的齐次方程的通解为.又知不是特征根，则原方程的()为任意常数2121211,,C C e C eC y x x+=-1=λ特解可设为，代入原方程可得，即,故原方程的通解为xAe y =*xxxxe Ae Ae Ae 32=-+23=A .x x xe eC e C y 232121++=-46．设，求全微分．2+sin2+xyu x y e =d u 【解析】：方法一：由题意可知，所以,2cos 2,2xy xy xe y yu ye x x u +=∂∂+=∂∂.()()dy xe y dx ye x dy yudx x u du xy xy +++=∂∂+∂∂=2cos 22方法二：对等式两边同时求微分，可知.()()()()dyxe y dx ye x ydx xdy e ydy xdx xy d e ydy xdx de y d dx du xy xy xy xy xy +++=+⋅++=++=++=2cos 222cos 222cos 222sin 247．一平面过点且平行于向量和，求此平面方程.(1,0,1)-{2,1,1}a =-{1,1,2}b =- 【解析】：由题意可知，所求平面平行于向量和，则所求平面的法向量，即{2,1,1}a =-{1,1,2}b =- →→→⨯=b a n ，又知平面过点，由平面的点法式方程可知，平面方{}3,5,135211112--=--=--=⨯=→→→→→→→→→k j i kj ib a n (1,0,1)-程为，即.()()01351=+---z y x 435=--z y x 48．计算，其中是由所围成的闭区域.d d xyDex y ⎰⎰D 1,,2,0y y x y x ====【解析】：由题意可知，如图所示，该区域为Y 型区域，则.d d x yDe x y ⎰⎰()()()1232112122121021-=-=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰⎰⎰⎰e y e dy e y dy ye dx e dy y y x yyx 49．计算积分，其中为曲线上从点到点2222(210)d (215)d Lx xy y x x xy y y +-++--+⎰L cos y x =π,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭一段弧.π,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】：由题意可知，，则()()152,,102,2222+--=+-+=y xy x y x Q y xy x y x P ，即，说明该曲线积分与积分路径无关，选取直线路径y x x Q y x y P 22,22-=∂∂-=∂∂xQy P ∂∂=∂∂，故⎪⎭⎫ ⎝⎛-→=22:,0ππx y .2222(210)d (215)d Lxxy y x x xy y y +-++--+⎰()ππππππ1012103103222232--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎰--x x dx x 50．求幂级数的收敛域．0(1)2(1)nn n x n ∞=-+∑【解析】：该幂级数的为非标准不缺项的类型，令，则原幂级数可变形为，因为t x =-1()∑∞=+012n n nn t ，则幂级数的收敛半径为，故幂级数的收敛区间()()2221121lim lim11=++=+∞←+∞←n n u u n n n n nn ()∑∞=+012n nn n t 2=R ()∑∞=+012n n n n t 为；()2,2-当时，级数收敛；当时，级数收敛发散；2-=t ()()∑∞=+-011n n n 2=t ()∑∞=+011n n共 7 页，第 7 页则幂级数的收敛域为，故原幂级数的收敛域为.()∑∞=+012n n n n t [)2,2-0(1)2(1)nn n x n ∞=-+∑[)3,1-四、应用题（每小题6分，共12分）51．某房地产公司有50套公寓要出租,当月租金定为2000元时,公寓会全部租出去,当月租金每增加100元时,就会多一套公寓租不出去,而租出去的公寓每月需花费200元的维修费，试问租金定为多少可获得最大收入?最大收入是多少?【解析】：设租金定位元时，收入为，则，即x ()x S ()()200100200050-⎪⎭⎫⎝⎛--=x x x S ，令，得唯一的驻点，又知()()2000,14000721002≥-+-=x x x x S ()07250=+-='x x S 3600=x ，则为的极小值点，结合实际情况，也就是对应的最大值，所以当租金定位3600()0501<-=''x S 3600=x ()x S 元时，有最大收入，最大收入为115600元.52．曲线，直线以及轴围成一平面图形,试求平面图形绕轴旋转一周所得旋转体3(0)y x x =≥2x y +=y D D y 的体积.【解析】：由题意可知，如图所示，该区域为X 型区域，则体积=.()()ππππ151453222221053214213=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=--⎰⎰x x x dx x x x dx x x x 五、证明题（8分）53．设在区间上连续，且，证明：方程在区间（0,1）内有且仅有一个实根.()f x [0,1]()1f x <02()d 1xx f t t -=⎰【证明】：存在性：令，因为在区间上连续，则在区间上()()[]1,0,120∈--=⎰x dt t f x x F x()f x [0,1]()x F [0,1]也连续，而且，由零点定理可知，在区间（0,1）内至少存在一点()()()()()1,011,1010<>-=-=⎰x f dt t f F F ξ，使得；()0=ξF 唯一性：因为，则在区间（0,1）内单调递增，故方程在()()()()1,02<>-='x f x f x F ()x F 02()d 1xx f t t -=⎰区间（0,1）内至多有一实根；综上所述，方程在区间（0,1）内有且仅有一个实根.2()d 1xx f t t -=⎰。

2007河南专升本高数试卷

2007年河南省专升本高数一. 单项选择题（每题2分，共计50分）1.集合}5,4,3{的所有子集共有 A. 5 B. 6 C. 7 D. 82.函数x x x f -+-=3)1arcsin()(的定义域为 A. ]3,0[ B. ]2,0[ C. ]3,2[ D. ]3,1[3. 当0→x时，与x 不等价的无穷小量是A.x 2B.x sinC.1-x eD.)1ln(x +4.当0=x是函数xx f 1arctan)(= 的 A.连续点 B. 可去间断点 C.跳跃间断点 D. 第二类间断点 5. 设)(x f 在1=x 处可导，且1)1(='f ，则hh f h f h )1()21(lim+--→的值为A.-1B. -2C. -3D.-4 6.若函数)(x f 在区间),(b a 内有0)(,0)(<''>'x f x f ，则在区间),(b a 内，)(x f 图形A ．单调递减且为凸的B ．单调递增且为凸的C ．单调递减且为凹的D ．单调递增且为凹的 7.曲线31x y +=的拐点是 A. )1,0( B. )0,1( C. )0,0( D. )1,1(8.曲线2232)(x x x f -=的水平渐近线是 A.32=y B 32-=y C. 31=y D. 31-=y 9. =⎰→42tan limx tdt x xA. 0B. 21C.2D. 110.若函数)(x f 是)(x g 的原函数，则下列等式正确的是A.⎰+=C x g dx x f )()( B.⎰+=C x f dx x g )()( C.⎰+='C x f dx x g )()( D.⎰+='C x g dx x f )()(11.⎰=-dx x )31cos(A.C x +--)31sin(31 B. C x +-)31sin(31C. C x +--)31sin(D. C x +-)31sin(3 12. 设⎰--=x dt t t y 0)3)(1(，则=')0(y A.-3 B.-1 C.1 D.313. 下列广义积分收敛的是 A.⎰+∞1xdx B.⎰+∞1xdxC.⎰+∞1xx dx D.⎰1xx dx14. 对不定积分⎰dx x x 22cos sin 1，下列计算结果错误是A.C x x +-cot tanB. C xx +-tan 1tan C.C x x +-tan cot D.C x +-2cot 15. 函数2x y =在区间]3,1[的平均值为 A.326 B.313C. 8D. 4 16. 过Oz 轴及点)4,2,3(-的平面方程为 A. 023=+yx B. 02=+z y C. 032=+y x D. 02=+z x17. 双曲线⎪⎩⎪⎨⎧==-014322y z x 绕z 轴旋转所成的曲面方程为 A.143222=-+z y x B.143222=+-z y x C.143)(22=-+z y x D.14)(322=+-z y x 18.=+-→→xy xy y x 93limA.61 B. 61-C.0D. 极限不存在 19.若y x z=，则=∂∂)1,(e yz A.e1B. 1C. eD. 0 20. 方程 132=-xz y z所确定的隐函数为),(y x f z =，则=∂∂xzA.xzy z 322- B.yxz z 232- C.xzy z 32- D.yxz z 23-21. 设C 为抛物线2x y =上从)0,0(到)1,1( 的一段弧，则⎰=+Cdy x xydx 22A.-1B.0C.1D.2 22.下列正项级数收敛的是A. ∑∞=+2131n n B. ∑∞=2ln 1n n n C. ∑∞=22)(ln 1n n n D.∑∞=21n nnn23.幂级数∑∞=++01)1(31n nn x 的收敛区间为A.)1,1(-B.)3,3(-C. )4,2(-D.)2,4(-24. 微分x e y y y x cos 23-=+'+''特解形式应设为=*y （）A. x Ce xcos B. )sin cos (21x C x C e x +-C. )sin cos (21x C x C xex+- D. )sin cos (212x C x C e x x +-25.设函数)(x f y =是微分方程x e y y 2='+''的解，且0)(0='x f ，则)(x f 在0x 处（）A.取极小值B. 取极大值C.不取极值D. 取最大值二、填空题（每题2分，共30分） 26.设52)(+=x x f ，则=-]1)([x f f _________.27.=∞→!2lim n nn ____________. 28.若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=02203)(4x ax x e x f x ，，在0=x 处连续，则=a ____________. 29.已知曲线22-+=x x y 上点M处的切线平行于直线15-=x y ，则点M的坐标为 ________30.设12)(-=x e x f ，则 =)0()2007(f _________31.设⎩⎨⎧+-=+=12132t t y t x ，则==1t dx dy__________32. 若函数bx ax x f +=2)(在1=x 处取得极值2，则=a ______，=b _____33.='⎰dx x f x f )()( _________ 34．⎰=-121dx x _________ 35.向量k j i a-+=43的模=||a ________36. 已知平面1π：0752=+-+z y x 与平面2π：01334=+++mz y x 垂直，则=m ______37.设22),(y x xy y x f +=+，则=),(y x f ________38.已知=I⎰⎰-21220),(y ydx y x f dy ，交换积分次序后，则=I _______39.若级数∑∞=11n nu 收敛，则级数∑∞=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1111n n nu u 的和为 _______ 40.微分方程02=+'-''y y y 的通解为________三、判断题（每小题2分，共10分）你认为正确的在题后括号内划“√”，反之划“×”.41.若数列{}n x 单调，则{}n x 必收敛.42.若函数)(x f 在区间[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f ≠，则一定不存在),(b a ∈ξ，使0)(=ξ'f .43.1sin sin lim cos 1cos 1lim sin sin lim-=-=+-======+-∞→∞→∞→xxx x x x x x x x x 由洛比达法则 44.2ln 23102ln 02≤-≤⎰-dx e x .45.函数),(y x f 在点),(y x P 处可微是),(y x f 在),(y x P 处连续的充分条件.( )四、计算题（每小题5分，共40分） 46．求xx x sin 0lim +→.47.求函数3211xxx y +-⋅=的导数dxdy .48.求不定积分⎰++dx x ex)]1ln([2.49.计算定积分dx x ⎰π+02cos 22 .50.设)3,sin (2y x y e f z x =，且),(v u f 为可微函数，求dz .51．计算⎰⎰Ddxdy x 2，其中D 为圆环区域：4122≤+≤y x . 52．将242x x -展开为x 的幂级数，并写出收敛区间.53．求微分方程0)2(22=--+dx x xy y dy x 的通解五、应用题（每题7分，共计14分）54. 某工厂欲建造一个无盖的长方题污水处理池，设计该池容积为V 立方米，底面造价每平方米a 元，侧面造价每平方米b 元,问长、宽、高各为多少米时，才能使污水处理池的造价最低？xy图07-155. 设平面图形D 由曲线x e y =,直线e y =及y 轴所围成.求：（1）平面图形D 的面积; (2) 平面图形D 绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积.六、证明题（6分 56.若)(x f '在],[b a 上连续，则存在两个常数m 与M ，对于满足b x x a≤<≤21的任意两点21,x x ，证明恒有)()()()(121212x x M x f x f x x m -≤-≤-答案一. 单项选择题（每题2分，共计50分） 1.子集个数D n⇒==8223。

河南专升本高数真题及答案

12012年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试1．函数的定义域是1arctan y x=+A ．B ．[)4, -+∞()4, -+∞C ．D ．[)()4, 00, -+∞ ()()4, 00, -+∞ 2．下列函数中为偶函数的是A ．B ．23log (1)y x x =+-sin y x x=C ．D．)y x =+exy =3．当时，下列无穷小量中与等价的是0x →ln(12)x +A ．B ．C ．D ．x12x 2x2x4．设函数，则是的21()sinf x x=0x =()f x A ．连续点B ．可去间断点C ．跳跃间断点D ．第二类间断点5．函数在点处y =0x =A ．极限不存在B ．间断C ．连续但不可导D ．连续且可导6．设函数，其中在处连续且，则()()f x x x ϕ=)(x ϕ0x =(0)0ϕ≠(0)f 'A ．不存在B ．等于(0)ϕ'C ．存在且等于0D ．存在且等于(0)ϕ7．若函数可导，，则()y f u =e xu =d y =A ．B ．(e )d xf x'(e )d(e )x x f 'C ．D ．()e d xf x x'[(e )]dexxf '8．曲线有水平渐近线的充分条件是1()y f x =A ．B ．lim ()0x f x →∞=lim ()x f x →∞=∞C ．D ．0lim ()0x f x →=0lim ()x f x →=∞9．设函数，则x x y sin 21-=d d x y =2A ．B ．y cos 211-x cos 211-C ．D ．ycos 22-xcos 22-10．曲线在点处的切线斜率是1, 0()1sin , 0x x f x x x +≥⎧=⎨+<⎩(0, 1)A ．B ．C ．D ．012311．方程（其中为任意实数）在区间内实根最多有033=++c x x c (0, 1)A ．个B ．个C ．个D ．个432112．若连续，则下列等式正确的是()f x 'A ．B ．()d ()f x x f x '⎡⎤=⎣⎦⎰()d ()f x x f x '=⎰C ．D ．d ()()f x f x =⎰d ()d ()f x x f x ⎡⎤=⎣⎦⎰13．如果的一个原函数为，则()f x arcsin x x -()d f x x =⎰A ．B ．2111C x +++1C C ．D ．arcsin x x C-+1C+14．设，且，则()1f x '=(0)1f =()d f x x =⎰A ．B ．x C+212x x C ++C ．D ．2x x C++212x C +15．20122 sin d (cos )d d x t t x-=⎰A ．B ．2cos x-2cos(sin )cos x xC ．D ．2cos x x2cos(sin )x 16．21302e d x x x -=⎰A ．B ．C ．D ．1112e--1e 1--17．下列广义积分收敛的是A ．B ．101ln d xxx ⎰0x⎰C ．D ．11ln d x x x+∞⎰53e d x x+∞--⎰318．微分方程是22d d 1d d y yyx x+=A ．二阶非线性微分方程B ．二阶线性微分方程C ．一阶非线性微分方程D ．一阶线性微分方程19．微分方程的通解为d sin cos d y x x x y=A ．B ．22cos y x C=+22sin y x C=+C ．D ．2sin y x C=+2cos y x C=+20．在空间直角坐标系中，若向量与轴和轴正向的夹角分别为和，则aOx Oz 45︒60︒向量与轴正向的夹角为aOy A ．B ．C ．D ．或30︒60︒45︒60︒120︒21．直线与平面的位置关系是12123x y z -+==-20x y +=A ．直线在平面内B ．平行C ．垂直D ．相交但不垂直22．下列方程在空间直角坐标系中表示的图形为旋转曲面的是A ．B ．22132x z +=22yx z -=23．(,)(1,limx y →=A ．B ．C ．D ．01213224．函数在点处可微是在该点处两个偏导数和存在(, )z f x y =00(, )x y (, )f x y z x ∂∂zy∂∂的A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件25．已知，则sin()z x y xy =++2zx y∂=∂∂A ．B ．sin()xy sin()(1)xy xy +C ．D ．cos()sin()xy xy xy -cos()xy xy -26．幂级数的和函数为2(1)!n nnn x n ∞=-∑()S x A ．B ．C ．D ．e x-2e x-2e x-22e x-27．下列级数发散的是4A ．B ．2134(1)(1)(2)nn n n n ∞=--++∑11(1)1nn n ∞=-+∑C ．D ．111(1)3n nn ∞-=-∑3121(21)n n ∞=+∑28．若级数在点处条件收敛，则在，(2)nnn a x ∞=-∑0x =1x =-，，，中使该级数收敛的点有2x =3x =4x =5x =A ．个B ．个C ．个D ．个012329．若是曲线上从点到的一条连续曲线段，则曲线积分L 3y x =(1, 1)(1, 1)--的值为(e 2)d (e 3)d y y Ly x x x y y +-++-⎰A ．B ．1e e 4-+-1e e 4----C ．D ．1e e 4---+030．设，则交换积分次序后，可化为2122 0 01 0d (, )d d (, )d x xI x f x y y x f x y y -=+⎰⎰⎰⎰I A ．B．1 2 0d (, )d yy f x y x-⎰2 2 2 0 d (, )d x x y f x y x -⎰⎰C ．D ．12 0 0d (, )d y f x y x⎰⎰2 12 0 d (, )d xx y f x y x-⎰⎰二、填空题（每小题2分，共20分）31．已知，则．2(1)f x x x -=-f =.32．设函数，则．2()lim 1tt x f x t →+∞⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0)x ≠(ln 2)f =33．如果函数在点处可导且为的极小值，则．f x ()a ()f a f x ()()f a '=34．曲线的拐点是．e xy x -=35．不定积分．21d (1)x x x=-⎰36．微分方程满足的特解为．2d 2e d x yxy x-+=(0)0y =37．向量在上的投影为．{1, 1, 2}a =-{0, 3, 4}b = 38．设方程所确定的隐函数为，则．0xy xz yz ++=(, )z z x y =01x y z x==∂=∂39．设积分区域为：，D 224x y y +≤则．d d Dx y =⎰⎰540．若（），则正项级数的敛散性为．lim n n nu k →∞=0k >∑∞=1n nu三、计算题（每小题5分，共50分）41．求极限．3tan sin lime 1x x x x→--42．已知参数方程（为参数），求．(1sin ) (1cos )x a t ya t =-⎧⎨=-⎩t 22d d yx 43．求不定积分．x ⎰44．求．2200lime d 1e xt xx xt →-⎰45．求微分方程的通解．22d d 2430d d y yy x x++=46．求函数的极值．32(, )61210z x y y x x y =-+-+47．求过点且与直线平行的直线方程．(2, 3, 1)A --235:21x y z l x z +-=⎧⎨+=⎩48．求函数arc tanxz y=+49．计算，其中为圆环：．d D x y ⎰⎰D 2222π4πx y ≤+≤50．求幂级数的收敛域．∑∞=+-01)2(n nn x 四、应用题（每小题6分，共12分）51．求函数在时的最大值，并从数列，1()xf x x=0x >1，）．<52．过点作曲线的切线，该切线与此曲线及轴围成一平面图形(3, 0)M ln(3)y x =-x ．试求平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积．D D x 五、证明题（8分）53．证明不等式：，其中为正整数．ln m n m m nm n n--<<n m <。

河南专升本高等数学试题（含答案）

高数试题练习一、函数、极限连续1．函数)(x f y 的定义域是（）A ．变量x 的取值范围B ．使函数)(x f y 的表达式有意义的变量x 的取值范围C ．全体实数D ．以上三种情况都不是2．以下说法不正确的是（）A ．两个奇函数之和为奇函数B ．两个奇函数之积为偶函数C ．奇函数与偶函数之积为偶函数D ．两个偶函数之和为偶函数3．两函数相同则（）A ．两函数表达式相同B ．两函数定义域相同C ．两函数表达式相同且定义域相同D ．两函数值域相同4．函数42y x x 的定义域为（）A ．(2,4)B ．[2,4]C ．(2,4]D ．[2,4)5．函数3()23sin f x x x 的奇偶性为（）A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶D ．无法判断6．设,121)1(x xx f 则)(x f 等于( )A ．12x xB ．xx212C ．121x xD ．xx2127．分段函数是()A ．几个函数B ．可导函数C ．连续函数D ．几个分析式和起来表示的一个函数8．下列函数中为偶函数的是()A ．xey B ．)ln(x yC ．xx y cos 3D ．xy ln 9．以下各对函数是相同函数的有()A ．xx g x x f )()(与B ．x x g x x f cos )(sin 1)(2与C ．1)()(x g x x x f 与D ．2222)(2)(xxx xx g xx f 与10．下列函数中为奇函数的是()A ．)3cos(x y B ．xx y sin C ．2xxe eyD ．23xxy 11．设函数)(x f y的定义域是[0,1],则)1(x f 的定义域是( )A ．]1,2[B ．]0,1[ C ．[0,1]D ．[1,2]12．函数20200022)(2xxx x xx f 的定义域是( )A ．)2,2(B ．]0,2(C ．]2,2(D ．(0,2]13．若)1(,23321)(f xxx xx f 则( )A ．3B ．3C ．1D ．114．若)(x f 在),(内是偶函数,则)(x f 在),(内是()A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．0)(x f 15．设)(x f 为定义在),(内的任意不恒等于零的函数,则)()()(x f x f x F 必是()A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．)(x F 16．设42,021,1211,1)(2xx x x x x f 则)2(f 等于( )A ．12B ．182C ．D ．无意义17．函数x x ysin 2的图形（）A ．关于ox 轴对称B ．关于oy 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线x y 对称18．下列函数中,图形关于y 轴对称的有()A ．xx ycos B ．13xx y C ．2xxe eyD ．2xxe ey19.函数)(x f 与其反函数)(1x f的图形对称于直线( )A ．y B ．x C ．xy D ．xy 20. 曲线)1,0(log aax y a y a x与在同一直角坐标系中,它们的图形()A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线x y 轴对称D ．关于原点对称21．对于极限)(lim 0x f x ，下列说法正确的是（）A ．若极限)(lim 0x f x存在，则此极限是唯一的B ．若极限)(lim 0x f x 存在，则此极限并不唯一C ．极限)(lim 0x f x 一定存在D ．以上三种情况都不正确22．若极限A )(lim 0x f x存在，下列说法正确的是（）A ．左极限)(lim 0x f x不存在B ．右极限)(lim 0x f x不存在C ．左极限)(lim 0x f x和右极限)(lim 0x f x存在，但不相等D ．A)(lim )(lim )(lim 0x f x f x f x xx23．极限ln 1limxex xe的值是()A ．1B ．1eC ．0D ．e24．极限ln cot lim ln x x x＋０的值是()．A ．0B ． 1C ．D ．125．已知2sin lim2xx bax x，则（）A ．,2ba B ．1,1ba C ．1,2b a D ．,2b a 26．设b a，则数列极限limn nnnab是A ．aB ．bC ．1D ．ba 27．极限x x1321lim的结果是A ．0B ．21C ．51D ．不存在28．xlim xx 21sin为()A ．2B ．21C ．1 D ．无穷大量29．nm nxmxx ,(sin sin lim 0为正整数）等于（）A ．n mB ．m n C ．nm nm )1(D ．mn mn )1(30．已知1tan lim23xx bax x，则（）A ．0,2b a B ．,1b aC ．,6b a D ．1,1b a 31．极限xxx x xcos cos lim()A ．等于 1B ．等于0C ．为无穷大D ．不存在32．设函数10001sin )(xexx x x f x则)(lim 0x f x( )A ．1B ．0C ．1D ．不存在33．下列计算结果正确的是()A ．ex xx1)41(lim B ．41)41(lim ex xxC ．41)41(lim ex xxD ．4110)41(lim e x x x34．极限xx xtan 0)1(lim 等于()A ． 1B ．C ．0D ．2135．极限xxxx xsin 11sinlim 0的结果是A ．1B ．1C ．0D ．不存在36．1sinlim k kxx x为()A ．kB ．k1C ．1 D ．无穷大量37．极限xxsin lim 2=()A ．0B ．1C ．1D ．238．当x 时,函数xx)11(的极限是( )A ．eB ．eC ．1D ．139．设函数1cos 0001sin )(xx x x x x f ，则)(lim 0x f xA ．1B ．0C ．1D ．不存在40．已知a xax xx 则,516lim 21的值是()A ．7B ．7C ． 2D ．341．设20tan )(xxx xaxx f ,且)(lim 0x f x 存在,则a 的值是( )A ．1B ．1C ．2D ．242．无穷小量就是（）A ．比任何数都小的数B ．零C ．以零为极限的函数D ．以上三种情况都不是43．当0x 时，)2sin(3x x与x 比较是()A ．高阶无穷小B ．等价无穷小C ．同阶无穷小，但不是等价无穷小D ．低阶无穷小44．当0x时，与x 等价的无穷小是（）A ．xxsin B ．)1ln(x C ．)11(2x x D ．)1(2x x45．当0x 时，)3tan(3x x 与x 比较是（）A ．高阶无穷小B ．等价无穷小C ．同阶无穷小，但不是等价无穷小D ．低阶无穷小46．设,1)(,)1(21)(x x g x x x f 则当1x 时（）A ．)(x f 是比)(x g 高阶的无穷小B ．)(x f 是比)(x g 低阶的无穷小C ．)(x f 与)(x g 为同阶的无穷小D ．)(x f 与)(x g 为等价无穷小47．当x时,11)(ax x f 是比x 高阶的无穷小,则( )A ．1aB ．aC ．a 为任一实常数D ．1a 48．当0x时，x 2tan 与2x比较是（）A ．高阶无穷小B ．等价无穷小C ．同阶无穷小，但不是等价无穷小D ．低阶无穷小49．“当0x x，A x f )(为无穷小”是“A x f x x)(lim”的（）A ．必要条件，但非充分条件B ．充分条件，但非必要条件C ．充分且必要条件D ．既不是充分也不是必要条件50．下列变量中是无穷小量的有()A ．)1ln(1limx xB ．)1)(2()1)(1(lim1x xx x xC ．x x x1cos 1limD ．xx x1sincos lim51．设时则当0,232)(x x f xx()A ．)(x f 与x 是等价无穷小量B ．)(x f 与x 是同阶但非等价无穷小量C ．)(x f 是比x 较高阶的无穷小量D ．)(x f 是比x 较低阶的无穷小量52．当0x时,下列函数为无穷小的是( )A ．xx 1sinB ．xe1C ．xln D ．xxsin 153．当0x时,与2sin x等价的无穷小量是( )A ．)1ln(x B ．xtan C ．xcos 12D ．1xe54．函数,1sin)(xx x f y当x时)(x f ( )A ．有界变量B ．无界变量C ．无穷小量D ．无穷大量55．当0x时,下列变量是无穷小量的有( )A ．xx3B ．xx cos C ．x ln D ．xe56．当0x 时,函数xx ysec 1sin 是( )A ．不存在极限的B ．存在极限的C ．无穷小量D ．无意义的量57．若0x x 时, )(x f 与)(x g 都趋于零,且为同阶无穷小,则()A ．)()(limx g x f x xB ．)()(limx g x f x xC ．)1,0()()(limc c x g x f x xD ．)()(limx g x f x x不存在58．当0x时,将下列函数与x 进行比较,与x 是等价无穷小的为( ) A ．x 3tan B ．112xC ．xx cot csc D ．xx x 1sin259．函数)(x f 在点0x 有定义是)(x f 在点0x 连续的（）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．即非充分又非必要条件60．若点0x 为函数的间断点，则下列说法不正确的是（）A ．若极限A )(lim 0x f xx 存在，但)(x f 在0x 处无定义，或者虽然)(x f 在0x 处有定义，但)(A0x f ，则0x 称为)(x f 的可去间断点B ．若极限)(lim 0x f x x与极限)(lim 0x f x x都存在但不相等，则0x 称为)(x f 的跳跃间断点C ．跳跃间断点与可去间断点合称为第二类的间断点D ．跳跃间断点与可去间断点合称为第一类的间断点61．下列函数中,在其定义域内连续的为()A ．xx x f sin ln )(B ．00sin )(x ex x x f xC ．10101)(xx x x x x f D ．01)(xx x x f 62．下列函数在其定义域内连续的有()A ．x x f 1)(B ．0cos 0sin )(x x x x x f C ．10001)(xx x x xx f D ．01)(xx x x f 63．设函数21ar c t an)(xx x x f 则)(x f 在点0x 处()A ．连续B ．左连续C ．右连续D ．既非左连续,也非右连续64．下列函数在0x处不连续的有( )A ．0)(2xx e x f x B ．1sin )(21xx x x x f C ．0)(2x xx x x f D ．0)1ln()(2xxx x x f 65．设函数12111)(2xx x xx f , 则在点)(1x f x 处函数()A ．不连续B ．连续但不可导C ．可导,但导数不连续D ．可导,且导数连续66．设分段函数101)(2xx x xx f ,则)(x f 在0x 点()A ．不连续B ．连续且可导C ．不可导D ．极限不存在67．设函数)(x f y,当自变量x 由0x 变到y x x 相应函数的改变量时,0=()A ．)(0x x f B ．xx f )('0C ．)()(00x f x x f D ．xx f )(068．已知函数12000)(xxxx ex f x，则函数)(x f ( )A ．当0x 时,极限不存在B ．当0x 时,极限存在C ．在0x处连续D ．在0x 处可导69．函数)1ln(1x y的连续区间是( )A ．),2[]2,1[B ．),2()2,1(C ．),1(D ．),1[70．设nxnx x f x13lim)(,则它的连续区间是()A ．),(B ．处为正整数)(1n nx C ．)()0,(D ．处及n xx1071．设函数31011)(xx xx x f ，则函数在0x 处()A ．不连续B ．连续不可导C ．连续有一阶导数D ．连续有二阶导数72．设函数0xx x xy，则)(x f 在点0x 处()A ．连续B ．极限存在C ．左右极限存在但极限不存在D ．左右极限不存在73．设11cot)(2x arc xx f ，则1x 是)(x f 的（）A ．可去间断点B ．跳跃间断点C ．无穷间断点D ．振荡间断点74．函数2xy e x zy的间断点是( )A ．)1,1(),1,1(),0,1(B ．是曲线yey 上的任意点C ．)1,1(),1,1(),0,0(D ．曲线2xy上的任意点75．设2)1(42xx y,则曲线( )A ．只有水平渐近线2y B ．只有垂直渐近线x C ．既有水平渐近线2y ,又有垂直渐近线0x D ．无水平,垂直渐近线76．当0x 时, xx y1sin()A ．有且仅有水平渐近线B ．有且仅有铅直渐近线C ．既有水平渐近线,也有铅直渐近线D ．既无水平渐近线,也无铅直渐近线二、一元函数微分学77．设函数)(x f 在点0x 处可导，则下列选项中不正确的是（）A ．xy x f x 00lim )('B ．xx f x x f x f x)()(lim)('000C ．00)()(lim)('0x xx f x f x f x xD ．hx f h x f x f h )()21(lim )('00078．若e cos xy x ，则'(0)y ( )A ．0B ．1C ．1D ．279．设x x g e x f xsin )(,)(，则)]('[x g f ()A ．xesin B ．xecos C ．xecos D ．xesin 80．设函数)(x f 在点0x 处可导,且2)('0x f ,则hx f h x f h)()21(lim00等于()A ．1B ．2C ．1D ．2181．设)(x f 在a x处可导,则xx af x a f x)()(lim=()A ．)('a f B ．)('2a f C ．0D ．)2('a f 82．设)(x f 在2x 处可导，且2)2('f ，则hh f h f h)2()2(lim（）A ．4B ．0C ．2D ．383．设函数)3)(2)(1()(xx x x x f ，则)0('f 等于（）A ．0B ．6C ．1D ．384．设)(x f 在0x 处可导，且1)0('f ，则hh f h f h )()(lim 0（）A ．1B ．0C ．2D ．385．设函数)(x f 在0x 处可导,则0limhhx f f )()h - x (00( )A ．与0x ,h 都有关B ．仅与0x 有关，而与h 无关C ．仅与h 有关,而与0x 无关D ．与0x ,h 都无关86．设)(x f 在1x处可导，且21)1()21(lim 0h f h f h ，则)1('f （）A ．21B ．21C ．41D ．4187．设)0('')(2f ex f x则( ) A ．1B ．1C ．2D ．288．导数)'(log x a 等于( )A ．a x ln 1B ．a x ln 1C ．xxa log 1D ．x189．若),1()2(249102x xx xy则)29(y=()A ．30B ．29!C ．0D ．30×20×1090．设',)(',)()(y x f ee f y x f x 则存在且=( )A ．)()()()('x f xx f xee f e e f B ．)(')(')(x f ee f x f xC ．)(')()(')()(x f ee f ee f x f x x f x xD ．)()('x f xee f 91．设)0('),100()2)(1()(f x xx x x f 则()A ．100B ．100!C ．！100D ．10092．若',y x yx则( )A ．1x xx B ．xx xln C ．不可导D ．)ln 1(x x x93．处的导数是在点22)(xx x f ( ) A ．1 B ．0C ．1D ．不存在94．设',)2(y x yx则()A ．)1()2(x x x B ．2ln )2(xx C ．)2ln 21()2(x x xD ．)2ln 1()2(x x x95．设函数)(x f 在区间],[b a 上连续,且,0)()(b f a f 则( )A ．)(x f 在),(b a 内必有最大值或最小值B ．)(x f 在),(b a 内存在唯一的0)(,f 使C ．)(x f 在),(b a 内至少存在一个0)(,f 使D ．)(x f 在),(b a 内存在唯一的)(',f 使96．设,)()(x g x f y则dx dy ( )A ．])()(')()('[2x g x g x f x f y B ．])(1)(1[2x g x f yC ．)()('21x g x f yD ．)()('2x g x f y 97．若函数)(x f 在区间)b a,(内可导，则下列选项中不正确的是（）A ．若在)b a,(内0)('x f ，则)(x f 在)b a,(内单调增加B ．若在)b a,(内0)('x f ，则)(x f 在)b a,(内单调减少C ．若在)b a,(内0)('x f ，则)(x f 在)b a,(内单调增加D ．)(x f 在区间)b a,(内每一点处的导数都存在98．若)(yx f 在点0x 处导数存在，则函数曲线在点))(,(00x f x 处的切线的斜率为（）A ．)('0x f B ．)(0x f C ．0 D ．199．设函数)(y x f 为可导函数，其曲线的切线方程的斜率为1k ，法线方程的斜率为2k ，则1k 与2k 的关系为（）A ．211k k B ．121k k C ．121k k D ．21k k 100．设0x 为函数)(x f 在区间b a,上的一个极小值点，则对于区间ba,上的任何点x ，下列说法正确的是（）A ．)()(0x f x fB ．)()(0x f x f C ．)()(0x f x f D ．)()(0x f x f 101．设函数)(x f 在点0x 的一个邻域内可导且0)('0x f （或)('0x f 不存在），下列说法不正确的是（）A ．若0x x 时, 0)('x f ；而0x x 时, 0)('x f ,那么函数)(x f 在0x 处取得极大值B ．若0x x 时, 0)('x f ；而0x x 时, 0)('x f ,那么函数)(x f 在0x 处取得极小值C ．若0x x时, 0)('x f ；而0x x时, 0)('x f ,那么函数)(x f 在0x 处取得极大值D ．如果当x 在0x 左右两侧邻近取值时,)('x f 不改变符号,那么函数)(x f 在0x 处没有极值102．0)('0x f ,0)(''0x f ，若0)(''0x f ，则函数)(x f 在0x 处取得（）A ．极大值B ．极小值C ．极值点D ．驻点103．b x a时，恒有0)(x f ，则曲线)(x f y在ba,内（）A ．单调增加B ．单调减少C ．上凹D ．下凹104．数()exf x x 的单调区间是() ．A ．在),(上单增B ．在),(上单减C ．在(,0)上单增，在(0,)上单减D ．在(,0)上单减，在(0,)上单增105．数43()2f x xx的极值为（）．A ．有极小值为(3)f B ．有极小值为(0)f C ．有极大值为(1)f D ．有极大值为(1)f 106．xey 在点(0,1)处的切线方程为()A ．x y1B ．xy 1C ．xy 1D ．xy 1107．函数x xxxx f 处的切线与的图形在点)1,0(162131)(23轴交点的坐标是()A ．)0,61(B ．)0,1(C ．)0,61(D ．)0,1(108．抛物线x y 在横坐标4x 的切线方程为()A ．44yx B ．44yxC ．184y x D ．184y x 109．线)0,1()1(2在x y 点处的切线方程是()A ．1x yB ．1x y C ．1x y D ．1x y 110．曲线)(x f y在点x 处的切线斜率为,21)('x x f 且过点(1,1),则该曲线的方程是( )A ．12x xy B ．12x x y C ．12x xy D ．12xxy111．线22)121(x ey x上的横坐标的点0x处的切线与法线方程()A ．063023y x y x 与B ．63023y x y x 与C ．063023yxy x与D ．063023yxy x与112．函数处在点则0)(,)(3xx f x x f ( )A ．可微B ．不连续C ．有切线,但该切线的斜率为无穷D ．无切线113．以下结论正确的是( )A ．导数不存在的点一定不是极值点B ．驻点肯定是极值点C ．导数不存在的点处切线一定不存在D ．0)('0x f 是可微函数)(x f 在0x 点处取得极值的必要条件114．若函数)(x f 在0x 处的导数,0)0('f 则0x称为)(x f 的()A ．极大值点B ．极小值点C ．极值点D ．驻点115．曲线)1ln()(2xx f 的拐点是()A ．)1ln ,1(与)1ln ,1(B ．)2ln,1(与)2ln ,1(C ．)1,2(ln 与)1,2(ln D ．)2ln ,1(与)2ln ,1(116．线弧向上凹与向下凹的分界点是曲线的()A ．驻点B ．极值点C ．切线不存在的点D ．拐点117．数)(x f y 在区间[a,b]上连续,则该函数在区间[a,b]上()A ．一定有最大值无最小值B ．一定有最小值无最大值C ．没有最大值也无最小值D ．既有最大值也有最小值118．下列结论正确的有()A ．0x 是)(x f 的驻点,则一定是)(x f 的极值点B ．0x 是)(x f 的极值点,则一定是)(x f 的驻点C ．)(x f 在0x 处可导,则一定在0x 处连续D ．)(x f 在0x 处连续,则一定在0x 处可导119．由方程yx exy确定的隐函数)(x y y dxdy ( )A ．)1()1(x y y x B ．)1()1(y x x y C ．)1()1(y x x y D ．)1()1(x y y x 120．xyy xe y',1则()A ．yyxee 1B ．1yyxee C ．yy xee 11D ．yex)1(121．设x x g e x f xsin )(,)(，则)]('[x g f （）A ．xesin B ．xecos C ．xecos D ．xesin 122．设x x g e x f xcos )(,)(，则)]('[x g f A ．xesin B ．xecos C ．xecos D ．xesin 123．设)(),(x t t f y 都可微，则dyA ．dtt f )('B ．)('x dxC ．)('t f )('x dtD ．)('t f dx124．设,2sin xey则dy（）A ．xd e x2sin B ．xd ex2sinsin 2C ．xxd exsin 2sin 2sin D ．xd exsin 2sin 125．若函数)(x f y 有dy x xxx f 处的微分该函数在时则当00,0,21)('是()A ．与x 等价的无穷小量B ．与x 同阶的无穷小量C ．比x 低阶的无穷小量D ．比x 高阶的无穷小量126．给微分式21xxdx ,下面凑微分正确的是( )A ．221)1(xx d B ．221)1(xx d C ．2212)1(xx d D ．2212)1(xx d 127．下面等式正确的有( )A ．)(sin sin xxxx e d e dxe e B ．)(1x d dx xC ．)(222x d e dx xex x D ．)(cos sin cos cos x d exdx exx128．设)(sin x f y,则dy()A ．dx x f )(sin 'B ．xx f cos )(sin 'C ．xdxx f cos )(sin 'D ．xdxx f cos )(sin '129．设,2sin xey则dyA ．xd e x2sinB ．x d ex2sinsin2C ．xxd exsin 2sin 2sin D ．xd exsin 2sin 三、一元函数积分学130．可导函数)(F x 为连续函数)(x f 的原函数，则( )A ．)('x f B ．)()(F'x f x C ．)(F'x D ．)(x f 131．若函数)(F x 和函数)(x 都是函数)(x f 在区间I 上的原函数，则有()A ．I x x x ),(F )('B ．I x x x ),()(F C ．Ix x x ),()(F'D ．IxC x x ,)()(F 132．有理函数不定积分2d 1x x x等于（）．A ．2ln 12xx x CB ．2ln 12xx x CC ．2ln 12xx x CD ．2ln 122xx x C133．不定积分22d 1x x等于（）．A ．2arcsin x CB ．2arccosx C C ．2arctan x CD ．2cot arc x C134．不定积分2e e (1)d x xx x等于（）．A ．1e xC xB ．1e xC x C ．1exC xD ．1exCx135．函数xe xf 2)(的原函数是( )A ．4212xeB ．xe22C ．3312xeD ．xe231136．xdx 2sin 等于()A ．cx2sin 21B ．cx 2sin C ．cx2cos 2D ．cx 2cos 21137．若xdx x x dx x xf sin sin )(,则)(x f 等于（）A ．xsin B ．xx sin C ．xcos D ．xx cos 138．设xe是)(x f 的一个原函数，则dxx xf )('（）A ．cx e x)1(B ．cx e x)1(C ．cx e x)1(D ．cx e x)1(139．设,)(xe xf 则dxx x f )(ln '()A ．cx1B ．cx1C ．cx ln D ．cx ln 140．设)(x f 是可导函数，则')(dxx f 为（）A ．)(x f B ．cx f )(C ．)('x f D ．cx f )('141．以下各题计算结果正确的是( )A ．xxdx arctan 12B ．cxdxx 21C ．cx xdx cos sin D ．cx xdx 2sec tan142．在积分曲线族dx x x 中,过点(0,1)的积分曲线方程为( )A ．12x B ．1)(525x C ．x2D ．1)(255x 143．dx x31=()A ．cx 43B ．cx221C ．cx221D ．cx221144．设)(x f 有原函数x xln ,则dx x xf )(=()A ．cx x )ln 4121(2B ．cx x )ln 2141(2C ．cx x )ln 2141(2D ．cx x )ln 4121(2145．xdxxcos sin ()A ．c x 2cos 41B ．cx 2cos 41C ．cx2sin 21D ．cx2cos 21146．积分dxx]'11[2()A ．211xB ．cx211C ．xtan arg D ．cx arctan 147．下列等式计算正确的是()A ．cx xdx cos sin B ．cx dx x 43)4(C ．cxdxx 32D ．cdxxx22148．极限xx xxdxtdt00sin lim的值为（）A ．1B ．0C ．2D ．1149．极限xxxdxx tdt202sin lim的值为（）A ．1B ．0C ．2D ．1150．极限403sin limxdtt xx=( )A ．41B ．31C ．21D ．1151．2ln 01x t dte dxd （）A ．)1(2xe B ．exC ．ex2D ．12xe152．若xtdt dx dx f 0sin )(，则（）A ．x x f sin )(B ．x x f cos 1)(C ．cx x f sin )(D ．xx f sin 1)(153．函数xdt t t tx213在区间]10[，上的最小值为（）A ．21B ．31C ．41D ．0154．若xtxc dt te xf e x xg 02122213)(,)(，且23)(')('lim x g x f x则必有（）A ．0cB ．1cC ．1cD ．2c155．x dt t dxd 14)1(()A ．21xB ．41xC ．2121xxD ．xx121156．]sin [2dt t dxd x ( )A ．2cos xB ．2cos 2xx C ．2sin xD ．2cost157．设函数0sin )(2xa x x tdtx f x在0x 点处连续,则a 等于（）A ．2B ．21C ．1D ．2158．设)(x f 在区间],[b a 连续, ),()()(b xadt t f x F x a则)(x F 是)(x f 的( )A ．不定积分B ．一个原函数C ．全体原函数D ．在],[b a 上的定积分159．设则为连续函数其中,)(,)()(2x f dt t f axx x F xa)(lim x F ax=()A ．2a B ．)(2a f a C ．0 D ．不存在160．函数x2sin 1的原函数是()A ．cx tan B ．cxcot C ．cxcot D ．xsin 1161．函数)(x f 在[a,b]上连续, x adt t f x )()(,则()A ．)(x 是)(x f 在[a,b]上的一个原函数B ．)(x f 是)(x 的一个原函数C ．)(x 是)(x f 在[a,b]上唯一的原函数D ．)(x f 是)(x 在[a,b]上唯一的原函数162．广义积分dxe x( ) A ．0 B ．2C ．1D ．发散163．dxx 02cos 1( )A ．0B ．2C ．22D ．2164．设)(x f 为偶函数且连续,又有等于则)(,)()(0x F dt t f x F x( )A ．)(x F B ．)(x F C ．0D ．2)(x F 165．下列广义积分收敛的是（）A ．1xdx B ．1xx dx C ．dxx 1D ．132xdx166．下列广义积分收敛的是（）A ．13xdx B ．1cosxdxC ．dxx 1ln D ．1dxe x167．apxp dx e)0(等于()A ．paeB ．paea1C ．paep1D ．)1(1paep168．ex x dx2)(ln ( )A ．1B ．e1C ．eD ．(发散)169．积分dx e kx收敛的条件为（）A ．kB ．0k C ．0k D ．k 170．下列无穷限积分中,积分收敛的有()A ．dxe xB ．1x dxC ．dxe xD ．cos xdx171．广义积分edx xxln 为()A ．1B ．发散C ．21D ．2172．下列广义积分为收敛的是( )A ．edxxxln B ．exx dxlnC ．edxx x 2)(ln 1D ．edxx x 21)(ln 1173．下列积分中不是广义积分的是()A ．0)1ln(dxx B ．42211dxx C ．11-21dxxD ．3-11dxx174．函数()f x 在闭区间[a,b]上连续是定积分badx x f )(在区间[a,b]上可积的（）．A ．必要条件B ．充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又飞必要条件175．定积分121sin 1x dx x等于（）．A ．0B ．1C ．2D ．1176．定积分122d ||xx x 等于（）．A ．0B ． 1C ．174D ．174177．定积分x x xd e )15(45等于（）．A ．0B ．5eC ．5-eD ．52e178．设)(x f 连续函数，则22)(dxx xf （）A ．4)(21dx x f B ．20)(21dxx f C ．40)(2dxx f D ．4)(dxx f 179．积分11sin 2xdxx e exx（）A ．0B ．1C ．2D ．3180．设)(x f 是以T 为周期的连续函数,则定积分Tl ldx x f I)(的值()A ．与l有关B ．与T 有关C ．与l ,T 均有关D ．与l ,T 均无关181．设)(x f 连续函数，则2)(dxxx f （）A ．21)(21dxx f B ．210)(2dxx f C ．20)(dxx f D ．2)(2dxx f 182．设)(x f 为连续函数,则1)2('dx x f 等于（）A ．)0()2(f f B ．)0()1(21f f C ．)0()2(21f f D ．)0()1(f f 183．C 数)(x f 在区间[a,b]上连续,且没有零点,则定积分b adx x f )(的值必定()A ．大于零B ．大于等于零C ．小于零D ．不等于零184．下列定积分中,积分结果正确的有()A ．cx f dx x f ba )()('B ．)()()('a f b f dxx f baC ．)]2()2([21)2('a f b f dxx f baD ．)2()2()2('a f b f dx x f ba185．以下定积分结果正确的是()A ．2111dx xB ．21112dx xC ．211dx D ．211xdx 186．adxx 0)'(arccos ()A ．211xB ．cx211C ．ca2arccos D ．arccos arccosa 187．下列等式成立的有( )A ．0sin 11xdx x B ．11dxe xC ．abxdx abtan tan ]'tan [D ．xdxxdxdxsin sin 0188．比较两个定积分的大小()A ．213212dx x dx x B ．213212dx x dx x C ．213212dxx dxx D ．213212dxx dxx 189．定积分22221sin dx xx x 等于()A ．1B ．-1C ．2D ．0190．11-x dx( )A ．2B ．2C ．1D ．1191．下列定积分中,其值为零的是()A ．22-sin xdx x B ．20cos xdx x C ．22-)(dx x e xD ．22-)sin (dxx x192．积分21dxx ()A ．0B ．21C ．23D ．25193．下列积分中,值最大的是()A ．12dx x B ．13dxx C ．14dxx D ．15dxx 194．曲线x y42与y 轴所围部分的面积为（）A ．2224dyy B ．224dyy C ．44dxx D ．444dxx 195．曲线xey 与该曲线过原点的切线及y 轴所围形的为面积（）A ．e xxdxxe e1B ．10ln ln dyy y y C ．1dxex exD ．edyy y y 1ln ln 196．曲线2xyx y 与所围成平面图形的面积( )A ．31B ．31C ．1 D ．-1四、常微分方程197．函数y c x （其中c 为任意常数）是微分方程1x y y 的（）．A ．通解B ．特解C ．是解，但不是通解，也不是特解D ．不是解198．函数23xy e是微分方程40y y 的（）．A ．通解B ．特解C ．是解，但不是通解，也不是特解D ．不是解199．2()sin y y x y x 是（）．A ．四阶非线性微分方程B ．二阶非线性微分方程C ．二阶线性微分方程D ．四阶线性微分方程200．下列函数中是方程0y y 的通解的是（）．A ．12sin cos y C x C xB ．xy Ce C ．yCD ．12xyC eC 专升本高等数学综合练习题参考答案1．B2．C3．C4．B 在偶次根式中，被开方式必须大于等于零，所以有40x 且20x ，解得24x ，即定义域为[2,4]．5．A 由奇偶性定义，因为33()2()3sin()23sin ()f x x x xx f x ，所以3()23sin f x xx 是奇函数．6．解：令t x 1，则tt tt t f 21212211)(，所以xx x f 212)(，故选 D 7．解：选D8．解：选D 9．解：选B 10．解：选C11．解：110x ，所以01x ，故选 B 12．解：选C13．解：选 B14．解：选 B15．解：选 B16．解：)(x f 的定义域为)4,1[，选D17．解：根据奇函数的定义知选 C18．解：选 C19. 解：选 C20．解：因为函数)1,0(log a ax ya ya x与互为反函数，故它们的图形关于直线x y 轴对称，选 C 21．A 22．D23．解：这是00型未定式ln 1l 1limlimx exex x exe,故选B ．24．解：这是型未定式。

2012年河南省专升本高等数学试卷及答案解析

河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试高等数学试卷一. 单项选择题（每题2分，共计60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内.不选、错选或多选者，该题不得分.1. 函数2)1ln()(++-=x x x f 的定义域为（）。

A. ]1,2[--B. ]1,2[-C. )1,2[-D. )1,2(-解答：C x x x ⇒<≤-⇒⎩⎨⎧≥+>-120201.2. =⎪⎭⎫ ⎝⎛π--π→3sin cos 21lim3x xx （）。

A.1B. 0C.2 D.3解答：033sin cos 21lim===⎪⎭⎫ ⎝⎛π--π→x x x D x xx ⇒=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛π-π→312323cos sin 2lim 3.3. 点0=x 是函数131311+-=x xy 的（）A.连续点B. 跳跃间断点C.可去间断点D. 第二类间断点解: ,1111313lim 110-=-=+--→xxx B x xx x xx ⇒===+-++→→13ln 33ln 3lim 1313lim 11000110.4.下列极限存在的为（）。

A.xx e +∞→lim B. x x x 2sin lim 0→ C.xx 1cos lim 0+→ D.32lim 2-++∞→x x x解:显然只有22sin lim0=→xxx ,其他三个都不存在,应选B.5. 当0→x 时，)1ln(2x +是比x cos 1-的（）。

A ．低阶无穷小B ．高阶无穷小C ．等阶无穷小 D.同阶但不等价无穷小解: 22~)1ln(x x +,D x x x ⇒=-2~2sin 2cos 122. 6.设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤--<+++=0,arctan 01,11,11sin )1(1)(x x x x x x x f ，则)(x f （）。

2013年河南专升本高数真题+答案解析

河南省2013年普通高等学校选拔优秀本科毕业生本科阶段学习考试高等数学一、单项选择题(每小题2分，共60分)1．函数y 的定义域是（）A ．[]0,2B ．(1,)+∞C ．(1,2]D ．[]1,2【答案】C【解析】为使函数有意义，须有11110x x -≤-≤⎧⎨->⎩，即12x <≤，故函数的定义域为(1,2]，应选C ．2．设1()1f x x=-，那么[]{}()f f f x =（）A ．1xB ．11x - C ．211x- D ．x【答案】D 【解析】由1()1f x x =-得[]11()111x f f x x x-==---，[]{}1()11f f f x x x x ==-+，故选D ．3．函数()y x =-∞<<+∞是（）A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数【答案】B【解析】()()f x f x -====-，即()y f x =为奇函数，故选B ．4．设sin 2()xf x x=，则0x =是()f x 的（）A ．连续点B ．可去间断点C ．跳跃间断点D ．无穷间断点【答案】B【解析】00sin 2lim ()lim2x x xf x x→→==，故0x =是()f x 的可去间断点，选B ．5．当0x →）A ．xB ．2xC ．2xD ．22x【答案】A【解析】b ax ，则0lim 1b x x x x ax→→→===，则1a =，1b =，故选A ．6．已知(0)f a '=，(0)g b '=，且(0)(0)f g =，则0()()limx f x g x x→--=（）A ．a b -B ．2a b +C ．a b +D ．b a -【答案】C 【解析】00()()()(0)()(0)limlim (0)(0)00x x f x g x f x f g x g f g a b x x x →→-----⎡⎤''=+=+=+⎢⎥---⎣⎦，故选C ．7．曲线cos (0,0)sin x a t a b y b t=⎧>>⎨=⎩，则4t π=对应点处的法线斜率为（） A ．baB ．a b C ．b a -D ．a b-【答案】B【解析】cos cot sin dy dy b t b dt t dx dx a t a dt===--，故4t π=对应点处的法线斜率为a b，应选B ．8．设()()f x g x '=，则2(sin )df x =（） A ．2()sin g x xdx B ．()sin 2g x xdxC ．(sin 2)g x dxD ．2(sin )sin 2g x xdx【答案】D【解析】222(sin )(sin )(sin )2sin cos df x f x dx f x x xdx ''⎡⎤==⋅⎣⎦，又()()f x g x '=，故2(sin )df x = 2(sin )sin 2g x xdx ，应选D ．9．设函数()f x 具有任意阶导数，且[]2()()f x f x '=，则()()n f x =（）A ．[]1!()n n f x +B ．[]1()n n f x +C ．[]1(1)()n n f x ++D ．[]1(1)!()n n f x ++【答案】A【解析】[]2()()f x f x '=，[]3()2()()2()f x f x f x f x '''==， [][]24()23()()23()f x f x f x f x ''''=⋅=⋅，()()n f x =[]1!()n n f x +，故选A ．10．由方程x y xy e +=确定的隐函数()x y 的导数dxdy=（）A ．(1)(1)x y y x --B ．(1)(1)y x x y --C ．(1)(1)y x x y +-D ．(1)(1)x y y x +-【答案】A【解析】方程两边对y 求导，其中x 看作y 的函数，(1)x y x y x e x +''+=+，所以dx x dy'== (1)(1)x y x y e x x y y e y x ++--=--，故选A ．11．若()0(0)f x x a ''><<，且(0)0f =，则下面成立的是（） A ．()0f x '> B ．()f x '在[]0,a 上单调增加C ．()0f x >D ．()f x 在[]0,a 上单调增加【答案】B【解析】()0f x ''>只能说明()f x '是[]0,a 上的增函数，而A 、C 、D 中的结论无法得到．12．点(0,1)是曲线32y x bx c =++的拐点，则（） A ．0b =，1c = B ．1b =-，0c =C ．1b =，1c =D ．1b =-，1c =【答案】A【解析】232y x bx '=+，62y x b ''=+，当0x =时，20y b ''==，则0b =，又曲线过点(0,1)，即1c =，故选A ．13．曲线2216x y x x +=+--的垂直渐近线共有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】A 【解析】222116(2)(3)x x y x x x x ++=+=+--+-，显然2x =-为可去间断点，3lim x y →=∞，故3x =为曲线的垂直渐近线，故应选A ．14．函数()x x f x e e -=-的一个原函数是（） A ．()x x F x e e -=- B ．()x x F x e e -=+C ．()x x F x e e -=-D ．()x x F x e e -=--【答案】B【解析】()()x x x x f x dx e e dx e e C --=-=++⎰⎰，结合选项可知B 正确．15．若()f x '连续，则下列等式正确的是（） A ．()()df x f x =⎰ B ．()()d f x dx f x =⎰C ．()()f x dx f x '=⎰D ．22()()d f x dx f x dx =⎰【答案】D【解析】()()df x f x C =+⎰，A 错；()()d f x dx f x dx =⎰，B 错；()()f x dx f x C '=+⎰，C 错；22()()d f x dx f x dx =⎰，D 正确．16．2sin x xdx ππ-=⎰ （）A ．πB ．π-C ．1D ．0【答案】D【解析】2sin y x x =为[],ππ-上的奇函数，故2sin 0x xdx ππ-=⎰，应选D ．17．设221()x x f t dt xe ++=⎰，则()f x '=（）A ．x xeB ．(1)x x e -C ．(2)x x e +D ．2x xe +【答案】A【解析】方程两边对x 求导，得22(2)x x f x e xe +++=+，所以()(2)x x f x e x e =+-，()f x '=x xe ，故选A ．18．下列广义积分收敛的是（）A ．1dxx+∞⎰B ．1+∞⎰C ．21dx x+∞⎰D ．31ln xdxx+∞⎰【答案】C【解析】11ln dxx x+∞+∞==+∞⎰，发散；1+∞==+∞⎰，发散；12111dx x x+∞+∞=-=⎰，收敛；334111ln 1ln ln ln 4xdx xd x x x +∞+∞+∞===+∞⎰⎰，发散，故选C ．19．微分方程22()()0y y y y '''++=的阶数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】微分方程的阶数为方程中最高阶导数的阶数，故选B ．20．微分方程220dy xy dx -=满足条件(1)1y =-的特解是（）A ．21y x =B ．21y x =-C ．2y x =D ．2y x =-【答案】B【解析】对微分方程分类变量，得22dy xdx y =，两边积分，得21x C y-=+，代入(1)1y =-，得0C =，故方程的特解为21y x =-，应选B ．21．下列各组角中，可以作为向量的方向角的是（）A ．,,443πππB ．,,643πππC ．,,334πππD ．,,432πππ【答案】C【解析】向量的方向角须满足222cos cos cos 1αβγ++=，计算可知只有C 满足．22．直线124:231x y z L -+-==-与平面:2340x y z π-+-=的位置关系是（） A ．L 在π上 B ．L 与π垂直相交C ．L 与π平行D ．L 与π相交，但不垂直【答案】B【解析】由于直线的方向向量与平面的法向量平行，故L 与π垂直相交，应选B ．23．下列方程在空间直角坐标系中所表示的图形为柱面的是（） A ．22273x z y +=B ．22144x y z -=-C ．22214169x y z =--D ．2220x y x +-=【答案】D【解析】D 中，曲面在xOy 平面上的投影为圆，故D 为柱面，其他均不是，应选D ． 24．00x y →→=（）A ．0B ．1C ．14-D ．不存在【答案】C【解析】0014x x x y y y →→→→→→==-=-．25．设22(,23)z f x y x y =-+，则zy∂=∂（）A ．1223yf f ''+B ．1223yf f ''-+C ．1222xf f ''+D ．1222xf f ''-【答案】B 【解析】1212(2)323zf y f yf f y∂''''=⋅-+⋅=-+∂，故选B ．26．设222002(,)(,)x I dx f x y dy f x y dy =+⎰⎰⎰，则交换积分次序后，I 可以化为（） A．2(,)dy f x y dx ⎰B．222(,)x dy f x y dx ⎰⎰C．22(,)x f x y dx ⎰⎰D．202(,)dy f x y dx ⎰⎰【答案】A【解析】画出积分区域如图，交换积分次序得I=2(,)dy f x y dx ⎰，故选A ．27．积分1221dx x ydy =⎰⎰（）A ．2B ．13C ．12D ．0【答案】C【解析】121223110311222dx x ydy x dx x ===⎰⎰⎰．28．设是抛物线2x y =上从(0,0)O 到(1,1)A 的一段弧，则曲线积分22Lxydx x dy +=⎰（）A ．0B ．2C ．4D ．1【答案】D【解析】112244512(22)551Lxydx x dy y y y y dy y dy y +=⋅⋅+===⎰⎰⎰．29．幂级数1(1)n n n x ∞=+∑的收敛区间为（）A ．(0,1)B ．(,)-∞+∞C ．(1,1)-D ．(1,0)-【答案】C 【解析】12lim lim 11n n n na n a n ρ+→∞→∞+===+，故收敛半径1R =，收敛区间为(1,1)-．30．下列级数收敛的是（）A ．11(1)1nn n ∞=-+∑B ．11ln 1n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑C ．11sin n n ∞=∑D ．1!nn n n ∞=∑【答案】A【解析】A 为交错级数，且1lim 01n n →∞=+，11n +单调递减，故收敛；1ln 1lim 11n n n→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，1sinlim 11n n n→∞=，而11n n ∞=∑发散，故B 、C 均发散；11(1)!1lim lim lim (1)!n n n n n n n na n n n e a n n n ρ++→∞→∞→∞++⎛⎫==⋅== ⎪+⎝⎭， 1ρ>，发散，故选A ．二、填空题(每小题2分，共20分)31．函数()f x 在点0x 有定义是极限0lim ()x x f x →存在的________条件．【答案】既不充分也不必要【解析】()f x 在点0x 有定义表明()f x 定义域中包含0x ，0lim ()x x f x →存在等价于lim ()lim ()x x x x f x f x -+→→=，二者没有什么本质的联系．32．已知23lim 1pxx e x -→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则p =________．【答案】23【解析】(3)33233lim 1lim 1xpxp p x x e e x x -⋅---→∞→∞⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故23p =．33．函数,0()cos 2,0ax e a x f x a x x x ⎧-≤=⎨+>⎩是连续函数，则a =________．【答案】12【解析】0lim ()lim()1ax x x f x e a a --→→=-=-，00lim ()lim(cos2)x x f x a x x a ++→→=+=，由()f x 的连续性，知1a a -=，即12a =．34．设函数421f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()f x '=________．【答案】32x -【解析】421f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21()f x x =，32()f x x '=-．35．不定积分2cos 2sin xdx x x+=+⎰________．【答案】ln 2sin x x C ++ 【解析】2cos 1(2sin )ln 2sin 2sin 2sin x dx d x x x x C x x x x+=+=++++⎰⎰．36．向量{}1,0,1=a 与向量{}1,1,0=-b 的夹角是________．【答案】23π【解析】1cos ,2⋅==-a b a b a b ，故2,3π=a b ．37．微分方程0y y x '+-=的通解是________．【答案】1x y x Ce -=+-【解析】由一阶线性微分方程的通解公式得微分方程的通解为()()1dx dxx xxx x x y e xe dx C exe dx C exe e C x Ce ----⎛⎫⎰⎰=+=+=-+=+- ⎪⎝⎭⎰⎰，其中C 为任意常数．38．设方程220x y z xyz ++-=所确定的隐函数为(,)z z x y =，则01x y zx==∂=∂________．【答案】5-【解析】方程两边对x 求偏导，得120z z y z x x x ∂∂⎛⎫+-+= ⎪∂∂⎝⎭，012x y z ===-，代入得015x y zx==∂=-∂．39．曲面22z x y =+在点(1,2,5)处的切平面方程是________．【答案】245x y z +-=【解析】令22(,,)F x y z x y z =+-，2x F x =，2y F y =，1z F =-，故点(1,2,5)处的切平面法向量为(2,4,1)-，所以切平面的方程为2(1)4(2)(5)0x y z -+---=，即245x y z +-=．40．将1()f x x =展开成(4)x -的幂级数是________．【答案】10(1)(4)4nn n n x ∞+=--∑，(0,8)x ∈【解析】01(1)1n n n x x ∞==-+∑，100111114(1)()(1)(4)444444414nn n n n n n x f x x x x x ∞∞+==--⎛⎫===⋅=-=- ⎪-+-⎝⎭+∑∑，(0,8)x ∈．三、计算题(每小题5分，共50分) 41．011lim ln(1)x x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦．【答案】12-【解析】2000001111ln(1)ln(1)111lim lim lim lim lim ln(1)ln(1)22(1)2x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→-⎡⎤+-+--+-=====-⎢⎥+++⎣⎦．42．已知函数()x x y =由方程arctan yx=dx dy ．【答案】x y x y-+ 【解析】方程arctan yx =y 求导，得22211x yx y x x''-⋅=+()x y x y x '-=+，即dx x yx dy x y -'==+．43．求不定积分⎰．【答案】x C 【解析】t ，则2x t =，2dx tdt =，2222221arctan arctan arctan 111t tdt t t dt t t dt t t ⎛⎫==-=-- ⎪++⎝⎭⎰⎰⎰⎰2arctan arctan t t t t C x C =-++=．44．设21,0(),0x x x f x e x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，求31(2)f x dx -⎰．【答案】13e +【解析】3311221111(2)(2)(2)()(1)t x t f x dx f x d x f t dt t dt e dt =----=--−−−→=++⎰⎰⎰⎰⎰30111133tt t e e -⎛⎫=++=+⎪⎝⎭．45．求微分方程23x y y y e '''+-=的通解．【答案】121232x xx y C e C ee -=++，其中12,C C 为任意常数【解析】对应齐次方程的特征方程为2210r r +-=，特征根为11r =-，212r =，所以原方程对应齐次方程的通解为1212x xy C e C e -=+，12,C C 为任意常数，设*x y Ae =为方程的特解，代入方程解得32A =，故原方程的通解为121232x xx y C e C ee -=++，其中12,C C 为任意常数．46．设2sin 2xy u x y e =++，求全微分du ．【答案】(2)(2cos2)xy xy x ye dx y xe dy +++ 【解析】2xy ux ye x∂=+∂，2cos2xy u y xe y ∂=+∂，故 (2)(2cos2)xy xy u udu dx dy x ye dx y xe dy x y∂∂=+=+++∂∂．47．一平面过点(1,0,1)-且平行于向量{}2,1,1=-a 和{}1,1,2=-b ，求此平面的方程．【答案】534x y z --=【解析】所求平面的一个法向量为21153(1,5,3)112=-=--=---i j kn i j k ，又平面过点(1,0,1)-，所以所求平面的方程为(1)53(1)0x y z ---+=，即534x y z --=．48．计算x yDe dxdy ⎰⎰，其中D 是由1y =，y x =，2y =，0x =所围成的闭区域．【答案】3(1)2e - 【解析】积分区域{}(,)12,0D x y y x y =≤≤≤≤，故222211113(1)(1)(1)22x x yyyDe e dxdy dy e dx y e dy e y -==-=-⋅=⎰⎰⎰⎰⎰．49．计算积分2222(210)(215)Lx xy y dx x xy y dy +-++--+⎰，其中L 为曲线cos y x =上从点,02A π⎛⎫ ⎪⎝⎭到点,02B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的一段弧．【答案】31012ππ--【解析】22(,)210P x y x xy y =+-+，22(,)215Q x y x xy y =--+，22P Qx y y x∂∂=-=∂∂，所以所求积分与路径无关，可以沿直线0y =积分，故32222222(210)(215)(10)1012Lxxy y dx x xy y dy x dx ππππ-+-++--+=+=--⎰⎰．50．求幂级数0(1)2(1)nn n x n ∞=-+∑的收敛域．【答案】[1,3)-【解析】112(1)1limlim 2(2)2n n n n n na n a n ++→∞→∞+==+，所以幂级数的收敛半径为2，从而12x -<，即收敛区间为(1,3)-，当1x =-时，原级数为0(1)1n n n ∞=-+∑，收敛；当3x =时，原级数为011n n ∞=+∑，故原幂级数的收敛域为[1,3)-．四、应用题(每小题6分，共12分)51．某房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为2000元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加100元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费200元的维修费，试问租金定为多少可获得最大收入？最大收入为多少？【答案】当租金定为3600元时，可获得最大收入，最大收入为115600元．【解析】设租金定为x 元时对应的收入为y 元，则200050(200)100x y x -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，即27214000100x y x =-+-，2000x ≥，令72050x y '=-+=，得唯一驻点3600x =，且1050y ''=-<，结合实际问题，知当租金定为3600元时，可获得最大收入，最大收入为115600元．52．曲线3(0)y x x =≥，直线2x y +=以及y 轴围成一平面图形D ，试求平面图形D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积．【答案】1415π 【解析】平面图形如图阴影部分所示，所求的体积 512221323101314(2)(2)5315x V dy y dy y y πππππ=⋅+-=+-=⎰⎰．五、证明题(8分)53．设()f x 在区间[]0,1上连续，且()1f x <，证明：方程02()1xx f t dt -=⎰在区间(0,1)内有且仅有一个实根．【解析】令0()2()1xF x x f t dt =--⎰，则()F x 为[]0,1上连续函数，且(0)10F =-<，10(1)1()F f t dt =-⎰，又()1f x <，则1()1f t dt <⎰，从而(1)0F >，由零点定理知，()F x 在(0,1)内至少有一个零点，又()2()0F x f x '=->，()F x 在(0,1)上单调增加，故方程02()1xx f t dt -=⎰在区间(0,1)内有且仅有一个实根．。

2013河南专升本真题

2013年专升本高等数学试题选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学试卷一、单项选择题（每小题20分，共60分。

在每小题的的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选出其他答案标号.） 1.函数()11arcsin --=x x y 的定义域是（）2.[]2,0.A ()+∞,1.B (]2,1.C []2,1.D =⎰⎰y d x x dx 21201 （）2.设xx f -=11)(，那么= （） x A 1. 11.-x B 211.xC - xD . 3.函数()()+∞<<∞--+=x xx y 21ln 1是（）.A 偶函数 .B 奇函数 .C 非奇非偶函数 .D 既奇又偶函数4.设xxx f 2sin )(=，则0=x 是)(x f 的（）.A 连续点 .B 可去间断点 .C 跳跃间断点 .D 无穷间断点5.当0→x 时，下列无穷小量中与x x --+11等价的是（）.A x .B x 2 .C 2x .D 22x6.已知a f =')0(，b g =')0(，且)0()0(g f =，则=--→xx g x f x )()(lim0 （）.A b a - .B b a +2 .C b a + .D a b -7.曲线⎩⎨⎧>>==)0,0(sin cos b a t b y t a x ，则4π=t 对应点处的法线斜率为（）a b A . b a B . a b C -. baD -. 8.设)()(x g x f ='，则=)(sin 2x df （）xdx x g A sin )(2.xdx x g B 2sin )(.dx x g C )2(sin .x d xx g D 2s i n )(s i n .2 9.设函数)(x f 具有任意阶倒数，且[]2)()(x f x f ='，则 =)()(x fn （）[]1)(!.+n x f n A []1)(.+n x f n B []1)()1.(++n x f n C D.()1][+n x f n10.由方程xy=e y x +确定的隐函数x 的导数dydx= ()A.()()x y y x --11 B.()()y x x y --11 C.()()11-+y x x y D ()()11-+x y y x 11.若()x f ''<0()a x <<0，且()00=f ，则下面成立的是 ()A ()0>'x f B.()x f '在[]a ,0上单调增加 C.()0>x f D.()x f 在[]a ,0上单调增加 12.点()1,0是曲线c bx x y ++=23的拐点，则 ()A.1,0==c bB.0,1=-=c bC.1,1==c bD.1,1=-=c b 13.曲线6212--++=x x x y 的垂直渐近线共有() A.1条 B.2条 C.3条 D.4条14.函数()x x e e x f --=的一个原函数是 ()A.()x x e e X F --= B ()x x e e x F -+= C.()x x e e x F ---= D.()x x e e x F ---= 15.若()x f '连续，则下列等式正确的是 ()A.()()⎰=x f x df B.()()x f dx x f d=⎰ C.()()x f dx x f ='⎰ D.()()dx x f dx x f d 22=⎰16. ⎰=-x d x x s i n 2ππ()A.πB.π-C.1D.0 17.设()⎰+=+xxe dt t f x 212，则()='x f ()A.x xeB.()xe x 1- C.()x e X 2+ D.2+x xe18.下列广义积分收敛的是()A.x dx⎰∞+1 B.x dx ⎰∞+1 C.21x dx⎰∞+ D.xxdx 3ln 1⎰∞+ 19.微积分方程()()022=+''+'y y y y 的阶数是 ()A1 B.2 C3 D.420.微分方程022=-dx xy dy 满足条件()11-=y 的特解是 ()A.21x y =B.21xy -= C.2x y = D.2x y -= 21.下列各组角中，可以作为向量的方向角的是 ()22.直线143221:-=-+=-z y x L 与平面0432:=-+-z y x π的位置关系是() A L 在π上 B.L 与π垂直相交C.L 与π平行D.L 与π相交，但不垂直23.下列方程在空间直角坐标系中所表示的图形柱面的是()A 22237y z x =+B 44122y x z -=-C .91614222z y x --= D 0222=-+x y x24.=+-→→xy xy y x 42lim()A.0B.1 C 41-D.不存在 25.设(),32,22y x y x f z +-=则=∂∂yz()A 2132f f y '+'B 2132f f y '+'-C 2122f f x '+'D 2122f f x '-'26.设()()⎰⎰⎰⎰-+=dy y x f x dx y x f x dx I ,08222,020222，则交换次序后，I 可以化为()A.()⎰⎰-dx y x f yydy ,28022B.()⎰⎰-dx y x f x y dy ,280222B. C.()⎰⎰-dx y x f xx dy ,2802222 D ()⎰⎰dx y x f dy ,22202 27.积分⎰⎰=ydy x dx 21201()A.2B.31 C.21D.028.设L 是抛物线2y x =上从()0,0O 到()1,1A 的一段弧，则曲线积分()⎰=+dy x xydx L22A.0B.2C.4D.129.幂级数()nn x n 11+∑∞=的收敛区间为()A.()1,0B.()+∞∞-,C.()1,1-D.()0,1-30.下列级数收敛的是()A.()1111+-∑∞=n nn B.⎪⎭⎫⎝⎛+∑∞=n n 11ln 1 C.n n 1sin 1∞=∑ D.n!n n n ∞=∑1二·填空题（每小题2分，共20分）31.函数()x f 在点0x 有定义是极限()x f ox x →lim 存在的条件.32.已知231lim -∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛-e x pxx 则=p .33.函数()⎩⎨⎧>+≤-=0,2cos 0,x x x a x a e x f ax 是连续函数，则a= .34.设函数421x x f =⎪⎭⎫⎝⎛，则()='x f . 35.不定积分⎰=++dx x x xsin 2cos 2 .36.向量}{1,0,1=a 与向量}{0,1,1-=b 的夹角是 . 37.微分方程0=-+'x y y 的通解是 .38.设方程022=-++xyz z y x 所确定的隐函数为(),,y x z z =则===∂∂1y x xz .39.曲线22y x z +=在点()5,2,1出的切平面方程是 .40.将()xx f 1=展成()4-x 的幂级数是 . 三．计算题（每小题5分，共50分） 41.()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-→x x x 1ln 11lim 042.已知函数()y x x =由方程22ln arctany x x y +=所确定，求.dy dx43.求不定积分⎰dx x arctan44.设()⎩⎨⎧>≤+=,0,0,12x e x x x f x 求全微分du45求微分方程x e y y y 32=-'+''的通解. 46.设,2sin 2xy e y x u ++=求全微分.du47.一平面过点()1,0,1-且平行于向量{}1,1,2-=a 和{},2,1,1-=b 求此平面的方程.48.计算⎰⎰Dyxdxdy e,其中D 是由0,2,,1====x y x y y 所谓成的闭区域.49.计算积分()()⎰+--++-+,1521022222dy y xy x dx y xy xL 其中L 为曲线x y cos =上从点A ⎪⎭⎫⎝⎛0,2π到点⎪⎭⎫⎝⎛-0,2πB 的一段弧. 50.求幂级数()()1210+-∑∞=n x n nn 的收敛域. 四、应用题（每小题6分，共12分）51.某方地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为2000元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加100元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费200元的维修费，试问租金定为多少可获得最大收入？最大收入是多少？52.曲线(),03≥=x x y 直线2=+y x 以及y 轴围成一平面图形,D 试求平面图形D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积. 五、证明题（8分）53.设()x f 在区间[]1,0上连续，且(),1<x f 证明：方程()⎰=-102dt t f xx 在区间()1,0内有且仅有一个实根.。

2007-2013年河南专升本高数真题答案

8.曲线 f (x) = x2 − 2 的水平渐近线是 3x 2
（
）
A. y = 2 3
B. y = − 2 3
C. y = 1 3
D. y = − 1 3
解：
lim
x→±∞
x2 − 2 3x 2
=
1 3
⇒
y
=
1 3
⇒
C
。
∫x2 tan tdt
9. lim 0
=
x →0
x4
（
）
A. 0
B. 1
C.2
D. ∫ f ′(x)dx = g(x) + C
解：根据不定积分与原函数的关系知， ∫ g(x)dx = f (x) + C 。应选 B。
11. ∫ cos(1 − 3x)dx =
（
）
A. − 1 sin(1 − 3x) + C 3
C. − sin(1 − 3x) + C
B. 1 sin(1 − 3x) + C 3
D. ∑∞ 1 n=2 nn n
解：对级数 ∑∞ 1 、 ∑∞ 1 需要利用积分判别法，超出大纲范围。级数 n=2 n ln n n=2 n(ln n) 2
∑ ∑ ∑ ∞
n=2
1 n(ln n) p
有结论：当
p
> 1时收敛，当
p
∞
≤ 1时发散。级数
1
∞
、
n=2 3n + 1 n=2
1 nn n
与级
数 ∑∞ 1 利用比较判别法的极限形式来确定---发散的，应选 C。 n=2 n
24. 微分 y′′ + 3y′ + 2 y = e−x cos x 特解形式应设为 y∗ =

2012年河南省“专升本”高等数学试卷及答案

x
解： lim
x2 2 1 1 y C 。 x 3 x 2 3 3
( D. ln(1 x)
)
9. lim
x 0

x2
0
tan tdt x4

B.
（
）
解：根据常用等价关系知，只有 2 x 与 x 比较不是等价的。应选 A。 4.当 x 0 是函数 f ( x) arctan A.连续点解： lim arctan
x 0
A. 0 （）解： lim
x 0
1 的 x
C.跳跃间断点
1 2
C.2
D. 1
Байду номын сангаас

x2
0
tan xdx x4
B. 可去间断点
D. 第二类间断点
lim
2 x tan x 2 1 B 。 x 0 2 4x 3
（）
1 1 ； lim arctan C 。 x 0 x 2 x 2
29.已知曲线 y x x 2 上点 M 处的切线平行于直线 y 5 x 1 ，则点 M 的坐标为 ________ 解： y 2 x 1 5 x 2 y 4 M (2,4) 。 30.设 f ( x) e 解： f
( n) 2 x 1 n

1

1
dx x
x 2 ( y z) 2 1 3 4
解：把
C.

1
D.

1
dx x x
18. lim
x2 z2 x2 y2 z2 1 中 x 2 换成 x 2 y 2 得 1 ，应选 A。 3 4 3 4

[专升本(地方)考试密押题库与答案解析]河南省专升本考试高等数学真题2007年

取ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ为积分变量，且x∈[0，1]，
(1)平面图形D的面积为
(2)平面图形D绕y轴旋转一周所生成旋转体的体积为
六、证明题
(6分)
问题:1. 若f'(x)在[a，b]上连续，则存在两个常数m，M，对于满足a≤x1＜x2≤b的任意两，点x1，x2，证明恒有
m(x2-x1)≤f(x2)-f(x1)≤M(x2-x1)．
A.2x
B.sinx
C.ex-1
D.ln(1+x)
答案:A[解析] 根据常用的等价关系知：x→0时，x～sinx，x～ex-1，x～ln(x+1)，故2x与x在x→0时不等价．
问题:4. x=0是函数的______
A.连续点
B.可去间断点
C.跳跃间断点
D.第二类间断点
答案:C[解析] 首先，因x=0时，函数无定义，所以x=0为f(x)的一个间断点，不是连续点．
由题可知造价一定在内部存在最小值，故就是使造价最小的取值，此时高为
所以，排污无盖的长方体的长、宽、高分别为时，工程造价最低．
问题:2. 设平面图形D由曲线y=ex，直线y=e及y轴所围成的，求：
(1)平面图形D的面积；
(2)平面图形D绕Y轴旋转一周所成的旋转体的体积．
答案:[解析] 平面图形D如图所示：
答案:6[解析]
问题:4. 已知曲线y=x2+x-2上点M处的切线平行于直线y=5x-1，则点M的坐标为______.
答案:(2，4)[解析]
问题:5. 设f(x)=e2x-1，则f(2007)(0)=______．
答案:22007e-1[解析]
问题:6.
答案:1[解析]
问题:7. 若函数f(x)=ax2+bx在x=1处取得极值2，则a=______，b=______．

2007年-2013年河南专升本高数真题及答案

河南专升本高等数学试题(含答案)

2007年河南省专升本(高等数学)真题试卷(题后含答案及解析)

2013河南专升本高数真题（清晰版）及答案

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河南省专升本高等数学真题(带答案详解)

河南省专升本考试高等数学真题2013年

13年专升本高数真题答案

2007河南 专升本 高数 试卷

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