勾股定理应用之立体图形中的最短距离 (2)

A’ r
O
B
4
侧面展开图
A
在Rt△AA’B中，利用勾股定理可得，
AB2 AA2 A' B2
其中AA’是圆柱体的高,A’B是底面圆周长的一半(πr)
怎样计算AB？
B
A’ r
O
4
B
A'
侧面展开图 A
A
A
检测题三、如图所示，一圆柱高8cm， 底面半径2cm，一只蚂蚁从点A沿表 面爬到点B处吃食，要爬行的最短路
检测题二、如图是一个棱长为4cm的 正方体盒子，一只蚂蚁在D1C1的中点 M处，它到BB1的中点N的最短路线是
（）
2 10
M
立体图形中 的最短路径
正方体 长方体
立体图形最短路径 之中考
长方体问题
中考题研究
由若干个边长为1的小正方体摆放成的长方
体，问在A处的蚂蚁要吃到B处的食物，最短
要爬行多长？若食物在C处呢？
则所走的最短线段
是
=
第二种情况：把我们看到的左面与上 面组成一个长方形，
；
则这个长方形的长和宽分别是7和6，
所以走的最短线段是 =
第三种情况：把我们所看到的前面和 右面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是10和3，
所以走的最短线段是 =
三种情况比较而言，第二种情况最短 答案：
检测三、如图，长方体的 长为15 cm，宽为 10 cm， 高为20 cm，点B离点C 5 cm,一 只蚂蚁如果要 沿着 长方体的表面从点 A爬到 点B，需要爬行的最短距 离是多少？
唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏 饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题．
如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马 后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？
这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物 理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一 个百思不得其解的问题．
用两点之间线段最 D 短求解
A
B
已知底面周长和高，求
绕3圈的长度
立体图形中 的最短路径
正方体 长方体 圆锥 圆柱
作业1:请你提出一个运 用‘’曲化平”方法来解决 的问题，并加以研究
找方法、巧归纳
分别画出立体图形和对应的平面展开图 制作实体模型 归纳出所在直角三角形的两直角边的一般性
A
5B
C
20
15
10
E
5B C
20
15
A 10 F
E C5 B
20
A 10
5ຫໍສະໝຸດ Baidu
B C
20
15 A 20
B
5 E 10 C
A 10 F
立体图形最短路径 之二
长方体问题
反思回顾，总结提高
提的到路示大a长径2：小+怎（比方？b样较+体c）2才、表即能面比b在2较+上（a最ba两、+短cb点）c2、、的较之ac时c的短2间+长大（间两的小a段+内。段b最）独2，取短一找和边，最
将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会， 应该怎样走才能使路程最短？
从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．
营地
勾股定理 的应用之
立体图形中的最短距离
四平二十中学
肖冰
立体图形中 的最短路径
正方体 长方体 圆柱 圆锥
一、正方体中的最短路径
例1、如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出
发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（ ）.
（A）3
（B） √5
（C）2 （D）1
B C
A
C
2
B
1
A
分析： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的， 故需把正方体展开成平面图形（如图）.
检测题一：如图，一只蚂蚁沿边长为 a的正方体表面从顶点A爬到顶点B， 则它走过的路程最短为（ ）
答案： 5a
规律，并记录在平面图或模型上
小 结： 把几何体适当展开成平面图
形，再利用“两点之间线段最短” 的性质来找到最短距离，最后结 合勾股定理算出此距离。
多观察，多思考；多归纳，多总结
不下定决心培 养思维习惯的人， 便失去了生活中最 大的乐趣
——爱迪生
归纳提升：
设长方体的长、宽、高分别为a、 b、c，且a＞b＞c，则长方体表面上AB 两点的最短路线为 (b c)2 a2
立体图形最短路径 之二
长方体问题
B C●●C ●
●B
要注意变式，
灵活运用哦
AA●●
A●
AB 52 (4 2)2 61
AC 32 (4 1)2 34
程（π取3）是（ ）
10
立体图形最短路径 之四
圆柱问题
B●
●B
化曲为●B 平
A●
●
A
●
A ●B
●B A●
A● ●B
A●
立体图形中 的最短路径
正方体 长方体 圆柱 圆锥
立体图形最短路径 之四
圆锥问题
B
A
(B)
A
A
B
A
B
立体图形最
短路径之圆三锥问题
立体图形最 短路径之四
圆柱问题
已求知A到底D面的半最径短和路方母径法线方点长，击法总 P 化曲结为平，利
立体图形中 的最短路径
正方体 长方体 圆柱
例1 如图 在一个底面周长为
20cm,高AA′为4cm的圆柱石凳 上，若小明在吃东西时留下了一
A′
B
点食物在B处，恰好一只在A处
的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它
想从A 处爬向B处，你们想一想，
蚂蚁怎么走最近？
A
A’
d
B
A’
B
A
A
蚂蚁A→B的路线
O
B
B
A
A
怎样计算AB？
C
●
B
●
A●
二、长方体中的最值问题
例2. 如图是一块长，宽，高分别是6cm，
4cm和3cm的长方体木块一只蚂蚁要从长方体 木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长 方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要
爬行的最短路径的长是（ ）
第一种情况：把我们所看到的前面和 上面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是9和4，