离散数学—无限集合(11.15版)复习课程

x
f
Hale Waihona Puke Baidu
(x)
2
x1 2
当x是偶数时 当x是奇数时
第五章 无 限 集 合
定义5.1-4 如果存在从N的初始段到集合A的双射函数, 则称
集合A是可数的或可列的;如果 | A | , 则称集合A是可数无限
的; 如果集合A不是可数的, 则称集合A是不可数的或不可数无限 的。
一个集合A, 如果它的元素可列成表, 我们说这个集合是可枚 举的。这个表可以是有限的也可以是无限的, A的元素也可以在 表中重复出现, 即不要求表中的所有项都是有别的。 如果一张表 列出集合A, 那么表的每一项是A的一个元素, 而A的每一元素是表 的一项。
了， 非常对不起！”。正好这时候，聪明的旅馆老板的女儿来了，
她 看见客人和她爸爸都很着急，就说：“这好办，请每位顾客都
搬 一下，从这间房搬到下一间”。于是1号房间的客人搬到2号房 间，2号房间的客人搬到3号房间……依此类推。最后1号房间空 出来，请这位迟到的客人住下了。这是怎么回事呢？ 第二天又来了五对夫妇旅游度假。无穷饭店能不能接待他们？ 可以，老板聪明了，只不过把每个客人都一一移到高5号的房间 中去，空出的1到5号房就给这5对夫妇。 第三天，无穷旅馆又来了一个庞大的代表团要求住旅馆，他们 声称有可数无穷多位代表一定要住，这回不仅把老板难住了，
第五章 无 限 集 合
定义5.1-5 设A是一集合, A的枚举是从N的初始段到A的一个 满射函数f。如果f也是单射的(所以是双射的), 那么f是一个无重复 枚举; 如果f不是单射的, 那么f是重复枚举。
枚举函数f通常是用给出序列〈f(0),f(1),f(2),…〉含蓄地指定。
第五章 无 限 集 合 例3 (1) 如果A={x,y}, 那么〈x,y,x〉和〈y,x〉都是A的有限枚举, 第一个是重复枚举, 第二个是无重复枚举。 (2) 设A是非负的3的整倍数集合, 那么 〈0,3,6,…〉和〈3,0,9,6,15,12,…〉都是A的无重复枚举, 后者的 枚举函数是
第五章 无 限 集 合
运用了一一对应的方法： 第一天让住第n间房的人搬到第n+1间房： 2 3 4 5 6……n…… 3 4 5 6 7……n+1…… 这样就空出了第1间房；第二天让住第n间房的人搬到第n+6间 房，这样就空出了5间房；第三天呢？她说：“您让1号房间客 人搬到2号，2号房间客人搬到4号……，k号房间客人搬到2k 号，这样，1号，3号，5号，……房间就都空出来了，代表团 的代表都能住下了。”
第五章 无 限 集 合
离散数学—无限集合(11.15版)
第五章 无 限 集 合
定理5.1-1 自然数集合N是无限的。
证 为了证明N不是有限的, 我们必须证明没有n∈N使从 {0,1,2,…,n-1} 到N的双射函数存在。设n是N的任意元素, f是任 意从{0,1,…,n-1}到N的函数, 令k=1+max｛f(0),f(1),…,f(n-1)｝那 么k∈N, 但对每一x∈{0,1,2,…,n-1}, f(x)≠k。 这说明, f不是一个 满射函数, 所以f不是一个双射函数。 因为n和f都是任意选取的, 我们得出N是无限的。 证毕。
f (n) 3(n1),如果 n是偶.数 3(n1),如果 n是奇.数
第五章 无 限 集 合 定理5.1-3 一个集合A是可数的当且仅当存在A的枚举。 定理5.1-4 可数个可数集合的并是可数的。
第五章 无 限 集 合
5.1.2 可数集合 把Z中的元素按如下顺序排列 0，-1，1，-2，2，-3，3，-4，4，…… 让上面的每个元素与它的序号对应就建立了一个从Z到N的一一 映射。 是否说明Z与N的元素个数相同？
第五章 无 限 集 合
某一个市镇只有一家旅馆，这个旅馆与通常旅馆没有不同，只 是房间数不是有限而是无穷多间，房间号码为1，2，3，，…… 我们不妨管它叫无穷旅馆。 有一天开大会，所有房间都住满了。后来来了一位客人，坚持 要住房间。旅馆老板于是引用“旅馆公理”说：“满了就是满
如我们所知，任何一个有限集都不能与它的一个真子集建立 一一对应的关系。对于无穷集这—点就不成立了。看上去这 样就违反了整体大于局部这一古老法则。确实，一个无穷集 可以定义为能够与它的一个真子集一一对应的集。
第五章 无 限 集 合
• 关于无穷大还有很多悖论。计数用的数是无穷 大等级中最低一级的无穷数。在整个宇宙中的 点数是第二级无穷大数，第三级无穷大数比这 要多得多！
• 德国数学家乔治·康托发现了无穷大的这种等级， 他把这种新型的奇异等级称为阿列夫零、阿列 夫1、阿列夫2等等。关于阿列夫数有很多深刻 的神秘性，解决它们是现代数学中最激动人心 的挑战之一。
第五章 无 限 集 合
5.1.2 可数集合
度量集合大小的数叫基数或势。为确定有限集的大小, 我们 把称作N的初始段的集合{0,1,…,n-1}作为“标准集合”, 用双射 函数做工具, 对它们进行比较。当且仅当从{0,1,2,…,n-1}到集合 A存在一双射函数时, 称集合A具有基数n, 记为|A|=n, 记为|A|=n,这 就是日常生活中的数数的概念。 现在我们将这种想法加以推广。 通过选取一些新的“标准集合”, 建立无限集合的基数的概念。
第五章 无 限 集 合 定理5.1-2 有限集合的每一子集是有限的。 推论5.1-2 设S是T的子集, 如果S是无限集, 那么T是无限集。
第五章 无 限 集 合
5.1.2 可数集合 度量集合大小的数叫基数或势。为确定有限集的大小, 我们 把称作N的初始段的集合{0,1,…,n-1}作为“标准集合”, 用双射 函数做工具, 对它们进行比较。当且仅当从{0,1,2,…,n-1}到集合 A存在一双射函数时, 称集合A具有基数n, 记为|A|=n, 记为|A|=n,这 就是日常生活中的数数的概念。
第五章 无 限 集 合
定义5.1-3 如果存在一个从N到A的双射函数,那么集合A的
0 , 记为|A|=
。
显然, 存在从N到N的双射函数, 所以, |N|=
列夫零,
。
, 读做阿
第五章 无 限 集 合 例2
(a)| I |
函数f: N→I+, f(x)=x+1是一双射函数。
(b)| I |
函数f: N→I , 是一双射函数。