离散数学—无限集合(11.15版)复习课程

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离散数学各章要点11

主要内容集合S和运算构成半群的条件（封闭性、结合律）；集合S和运算构成独异点的条件（封闭性、结合律、单位元）.2.半群与独异点的两条幂运算规则：x n x m=x n+m , (x n)m= x nm3.半群S的非空子集A构成子半群的条件（A对于S中运算封闭）；独异点S的非空子集A构成子独异点的条件（A对于S中运算封闭, 单位元属于A）4.通过笛卡儿积构造直积5.同态映射的判别：υ(xy)=υ(x)υ(y) （对于独异点要加上υ(e)=e）6.集合G和二元运算构成群的条件（封闭性、结合律、单位元、每个元素有逆元）.7.特殊群的定义（有限与无限群、Abel群、平凡群）与群的阶.8.元素的幂与元素的阶9.群的性质：幂运算规则、消去律、群方程的唯一解、有关元素的阶的性质.10子群的定义11子群的三个判定定理及其应用12典型子群：由元素生成的子群<a>,群G的中心C, 若干个子群的交集13陪集的定义及实例.14陪集及其代表元素之间的关系.15陪集的四条性质.16有限群G的拉格朗日定理(|G|=|H|[G:H])及两个推论.17正规子群的定义及实例.18正规子群的两个判别定理以及相应的四种判别方法.19商群的定义及其实例.20群同态映射的定义与典型同态映射的实例.21特殊同态的分类（单同态、满同态、同构、自同态）.22同态核与同态像23同态映射的性质：同态映射保持元素及子群的对应性, 同态核的性质, 同态基本定理.24循环群的定义及分类（无限循环群与有限循环群）25无限循环群G=<a>只有两个生成元a和a-1；n阶循环群有υ(n)个生成元.26无限循环群G=<a>有无数个子群, 对于任何自然数m, <a m> 都是G的子群；n阶循环群恰有d个子群, 其中d是n的正因子个数.27n元置换的不同表法之间的转换, 置换乘法及求逆.28n元对称群及其子群--n元交错群学习要求1.判断给定集合和运算是否构成半群和独异点.2.了解半群及独异点中的幂运算规则.3.判断半群或独异点的子集是否构成子半群或子独异点.4.了解半群及独异点的直积概念.5.了解半群或独异点的同态映射的概念.6.能判断给定集合和运算是否构成群.7.了解有限群、无限群、平凡群、交换群、Abel群.8.会求有限群的阶、元素的幂、元素的阶.9.能求群方程的解.10能使用消去律及群的其他性质证明有关群的简单命题.11会证明群的子集是子群12了解几个典型子群的定义13在群G中会求已知子群H的右（或左）陪集.14了解陪集的性质, 特别是两个陪集相等的充要条件.15了解群G的陪集分解是怎样与G上的等价关系相对应的.16掌握拉格朗日定理及其推论的简单应用.17掌握正规子群的判别方法.18给定群G和它的正规子群H, 会求商群G/H.19给定群G1, G2和映射υ, 能够判别或证明υ是否为G1到G2的同态映射.20能够判别特殊同态的类型：满同态、单同态、同构.21掌握一些典型的群同态.22了解群同态映射的性质.23会应用群同态的性质证明群中的有关命题.24判断群G是否为循环群. 如果是, 是有限还是无限循环群.25求给定循环群的所有生成元.26求给定循环群的所有子群.27用三种方法表示n元置换：置换表示、轮换表示、对换表示.28会求n元置换的乘积和逆.29了解n元置换群的概念.典型习题1.判断下列集合和运算是否构成半群和独异点.2.设V1=<Z,+>, V2=<Z,·>,其中Z为整数集合, +和·分别代表普通加法和乘法. 判断下述集合S是否构成V1和V2的子半群和子独异点.3.下列集合S和运算是否构成代数系统？构成哪一类代数系统？4.设Z为整数集, x,y∈Z,x·y=x+y-2, 说明Z关于·运算是否构成群.5.设Z18为模18整数加群, 求所有元素的阶.6.设G为群, a∈G是有限阶元,对于任意x∈G, 证明|xax-1|=|a|.7.设G为群, x∈G有x2=e, 证明G是交换群.8.证明偶数阶群必含2阶元.9.设G为群, a是G中的2 阶元, 证明G中与a可交换的元素构成G的子群.10求下列子群的陪集.11设H1,H2分别是群G的r,s 阶子群, 若(r,s)=1, 证明H1∩H2={e}.12设i为虚数单位, 即i2=-1, 令,则G关于矩阵乘法构成群. 求G的所有子群并证明它们都是正规子群.13设<Z18,>为模18加群, 求商群Z18/<4>, <3>/<9>.14给定群G1和G2, 函数f, 判断f是否为G1到G2的同态？为什么？如果是, 判别它们是否为单同态、满同态、同构并求出同态的核kerf.15定义群G上的函数f,f(x)=x-1,x∈G,证明f为自同构当且仅当G为交换群.16设H是G的子群, N是G的正规子群, 如果|H|与[G:N]互素, 证明H是N的子群.17G为群, H和K是G的正规子群且H K, 证明G/K(G/H)/(K/H).18给定群G, 判断G是否为循环群.19求出循环群的所有生成元和子群.20证明循环群是交换群.21设σ,τ是7元置换, 求τσ, στσ,τ-1, 将στσ表成不交的轮换之积和对换之积.。

离散数学—无限集合

• 德国数学家乔治·康托发现了无穷大的这种等级，他把这种新型的奇异等级称为阿列夫零、阿列夫1、阿列夫2等等。关于阿列夫数有很多深刻的神秘性，解决它们是现代数学中最激动人心的挑战之一。
第五章无限集合
5.1.2 可数集合
度量集合大小的数叫基数或势。为确定有限集的大小, 我们把称作N的初始段的集合{0,1,…,n-1}作为“标准集合”, 用双射函数做工具, 对它们进行比较。当且仅当从{0,1,2,…,n-1}到集合 A存在一双射函数时, 称集合A具有基数n, 记为|A|=n, 记为|A|=n,这就是日常生活中的数数的概念。现在我们将这种想法加以推广。通过选取一些新的“标准集合”, 建立无限集合的基数的概念。
第五章无限集合
无限集合如何计数？
偶数的个数比自然数的个数少。（）（五年级）
➢ 20世纪著名数学家希尔伯特(D.Hilbert)
——没有任何问题可以像无穷那样深深地触动人的情感, 很少有别的观念能像无穷那样激励理智、产生富有成果的思想,然而也没有任何其他的概念能像无穷那样需要加以阐明。
➢ 康托被誉为对20世纪数学发展的影响最深的学者之一，他的研究就是从查点集合中元素数目开始的，而其独创性在于对无限集合（自然数集、整数集等）的研究。康托发现人们在计数时应用了一一对应的方法，并由此把“无穷的各种关系弄得完全明朗。”
第五章无限集合
定义5.1-3 如果存在一个从N到A的双射函数,那么集合A的
0 , 记为|A|=
。
显然, 存在从N到N的双射函数, 所以, |N|=
列夫零,
是希伯来文第一个字母。
, 读做阿
第五章无限集合例2
(a) | I |

离散数学复习要点

离散数学复习要点离散数学是数学的一个分支领域，主要研究离散的结构和离散情形下的数学对象及其相关性质。

它与连续数学不同，离散数学的对象是离散的，如集合、图、布尔代数等。

在计算机科学、信息科学、通信工程等领域中，离散数学的理论和方法被广泛应用。

以下是离散数学的一些重要的复习要点：1.集合论：集合是离散数学的基础，集合的基本运算如交、并、差等，以及集合的基本性质如并集和交集的结合律、分配律等，都是需要复习的内容。

此外，还需要了解集合的基数和幂集等概念。

2.命题逻辑：命题是一个可以判断真假的陈述句，命题逻辑是研究命题及其逻辑关系的数学体系。

需要复习的内容包括命题的逻辑运算，如非、与、或、异或等，以及逻辑等价、逻辑推理等。

3.谓词逻辑：谓词逻辑是对自然语言中的谓词进行形式化表示和推理的系统。

复习重点包括一阶谓词逻辑的基本概念，如谓词、量词、域、项等，以及谓词的合取、析取、全称量词和存在量词等逻辑联结词的语义。

4.图论：图论是研究图及其性质的数学分支。

需要复习的内容包括图的基本概念，如顶点、边、路径、圈等，以及图的表示方法、图的遍历算法、连通图、树等。

5. 网络流模型：网络流模型是研究流动网络的数学方法，主要包括最大流、最小割等问题。

需要复习的内容包括网络的基本概念，如容量、割、流等，以及Ford-Fulkerson算法等解决网络流问题的方法。

6.布尔代数：布尔代数是一种关于逻辑运算的代数系统，常用于电路设计和逻辑推理。

需要复习的内容包括布尔代数的基本运算，如与、或、非等，以及布尔函数的最小项与最大项表示、卡诺图等。

7.组合数学：组合数学是研究离散中的计数问题的数学分支。

需要复习的内容包括排列、组合、多元排列组合等的计数方法，如乘法原理、加法原理、排列组合的顺序问题等。

8.代数系统：代数系统是研究代数结构及其性质的数学分支，包括群、环、域等。

需要复习的内容包括群的基本概念和性质，如封闭性、结合律、单位元、逆元等。

(优选)离散数学无限集合

情况2 假设A不是有限的而f是A的枚举。枚举f必须以N的全集
作为它的前域。如果f是双射函数, 那么根据可数无限集合的定义, A
|
A
|S
\
S 0
而A是可数的。
如果f不是双射函数。利用下述办
法, 根据枚举f构造一个从N到A的双射函数g, 以证明A是可数的。
(1) 置g(0)=f(0), i=1,j=1。
枚举函数f通常是用给出序列〈f(0),f(1),f(2),…〉含蓄地指定。
例3 (a) 如果A= , 仅有一个A的枚举, 它是空函数。
(b) 如果A={x,y}, 那么〈x,y,x〉和〈y,x〉都是A的有限枚举, 第一个是重复枚举, 第二个是无重复枚举。
(c) 设A是非负的3的整倍数集合, 那么
〈0,3,6,…〉和〈3,0,9,6,15,12,…〉都是A的无重复枚举, 后者的枚举函数是
a0,a1,a2,…,an-1
现在我们要造出一个双射函数g, 使某一N的初始段和S的元素对应。构造方法如下:
(1) 置i=0, j=0。
(2) 先检查ai是否在S中, 如果在S中, 转第3步。否则转第4步。 (3) 使g(j)=ai, 把j的值加1, 把i的值加1, 加1后如果i＜n转第(2) 步, 否则结束。
(4) 把i的值加1, 加1后如果i＜n转第(2)步, 否则结束。
容易看出这样构造的函数g是从初始段{0,1,2,…,j-1}到S的双射函数。按定义5.1-2, S是有限集。
推论5.1-2 设S是T的子集, 如果S是无限集, 那么T是无限集。本推论是上一定理的逆反。
例1 设A表示永不停机的ALGOL程序集合, 我们通过构造永不停机的程序集合A的一个子集A′, 证明A是无限集合。

离散数学第五章无限集合

那么Fk包括所有这样的函数, 其象是包含在B的枚举的前k个元素
组成的集合中; |Fk|=kn。因为A是有限的, 对每一函数f:A→B存在某
m∈N, 如果取k＞m, 那么f∈Fk; 所以
。但每一集合Fk
是有限的因而BA是可数的。证毕。
5.1.3 基数c
不是所有无限集都是可数无限的, 下一定理说明需要新的无限集基数。
。
(b) 设Σ={a,b}, S是Σ上以a带头的有限串集合, 考虑S的基数。因为
f: Σ*→S, f(x)=ax
是一个双射函数。所以, |S|=|Σ*|=
。
第一个定理叫做三歧性定律。
定理5.2-2(Zermelo) 成立:
A和B是集合,那么下述情况恰有一个
N所
属等价类的名称。
(ii) 要证明一个集合S有基数α, 只需选基数为α的任意集合S′, 证明从S到S′或从S′到S存在一双射函数。选取集合S′的原则是使证明尽可能容易。
例1 (a) 设E是正偶数集合, 考虑E的基数。因为
f: I+→E, f(x)=2x
是从I+到E的双射函数, 所以, |E|=|I+|=
(b) ｜(0,1)｜=｜［0,1］｜。这两个集合的不同仅在于区间的两端点; 为了构造从［0,1］到(0,1)的一个双射函数, 我们必须在(0,1)中找出0和1的象而保持映射是满射的。定义集合A是
, 定义映射f如下:
图 5.1-4
(c) ｜R｜=c。我们定义一个从(0,1)到R的双射函数如下:
是Ai的枚举; 如果Ai是有限的我们用无限重复枚举。如果Ai= ,
我们置第i行等于第i-1行。这样, 数组包含所有A的元素而无其它
元素。A元素的一个枚举由图5.1-3中的有向路径指定。从定理

离散数期末复习

1
推理证明过程如下：
2
(∀x)(N(x) I(x)) P规则
3
(∃x)(N(x)
I(x)) T规则和
4
N(a)
I(a)
ES
1
规则和2
5
N(a)
T规则和3
6
I(a)
T规则和3
7
(∀x)(N(x) (Q(x)∇E(x)))
P规则
8
N(a) (Q(a)∇E(a)) US规则和６
• 8 Q(a)∇E(a)
空关系vs空集上的关系
空集上的关系：自反的，反自反的，对称的，反对称的，可传递的。在空集上可定义任意元关系。
性质：若A非空，空关系是反自反的，对称的，反对称的，可传递的；若A是空集，该空关系是自反的，反自反的，对称的，反对称的，可传递的
空关系：对于任何集合A, 称空集为A上的空关系.
1. 3-1设A={1,2,3},R是ρ(A)上的二元关系，且R={<a,b>|a,b∈ρ(A),a∩b≠Φ},则R 不满足下列哪些性质？为什麽？
2. 自反性 2)反自反性 3)对称性 3. 反对称性 5)传递性 4. 解：1)因为Φ∈ρ(A)，但Φ∩Φ＝Φ 5. 所以<Φ,Φ>∉R，即Ｒ不满足自反性。 6. 因为{1}∈ρ(A)但{1}∩{1}={1}≠Φ 7. 即<{1},{1}>∈R，因此Ｒ不是反自反的． 8. 对任意x,y∈ρ(A),若x∩y≠Φ,即 9. <x,y>∈R,则y∩x≠Φ即<y,x>∈R即R满足对称性。
1. s(R)=R∪R~ 2. t(R)= ∪i=1nRi 3. 关系的性质： 4. R是自反的＝(∀x)(x∈X <x,x>∈R) 5. R是反自反的＝(∀x)(x∈X<x,x>∉R) 6. R是不自反的 7. (∃x)(∃y)(x,y∈X<x,x>∈R<y,y>∉R) 8. R是对称的＝(∀x)(∀y)(x,y∈X <x,y>∈R <y,x>∈R) 9. R是反对称的=(∀x)(∀y)(x,y∈X<x,y>∈R <y,x>∈Rx=y)

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(3)至于p为0即“我期终考了年级不是前 10”时,无论q为1或为0，即无论"我老妈奖励1000元"或不奖励，都不能说老妈的话是假的，故善意的认为pq为1均为1
1.1 命题及联结词
定义1.5双条件:当p与q值相同时,pq为1,不同为0。称p当且仅当q
“普通老师赚了100万当且仅当他中了100万的彩票”，普通老师赚了100万普通老师买彩票中了100万大奖
故pq为0
1.1 命题及联结词
定义1.4条件式当p是1 ,q是0时,pq为0,即 10为0,其他情况为1。 p称为前件,q称为后件
(1)当p为1即“我期终考了年级前10”
q为0即“我老妈没有奖励1000元” 这时老妈的话为假，即pq为0 (2)当p为1即“我期终考了年级前10” q为1即“我老妈奖励1000元” 这时妈妈的话就对了，即pq为1
由于所有内容(整数，实数，字符，汉字，图片，声音，视频，网页，……)进入电脑后，全是01组成的字符串，从而都可以用布尔运算即逻辑运算实现，命题逻辑成为计算机的基础。
命题逻辑将数学由连续变到离散，由高数进入离散。
Google采用逻辑运算进行搜索：数字之美吴军杨圣洪 000100010001110000 两者对应位置与运算。离散数学 100100000000100001
陈述句(6)的正确性，到2018年12月时能确定的，若届时建成了则它是对的、为真命题，否为假命题。
1.1 命题及联结词
对错确定的陈述语句称为命题。如：
(7) x与y之和为100，其中x为整数，y为整数 (8)1加1等于10 (7)的对错不确定。当x为50、y为50时是对的，当x为 51、y为52时是错的。 (8)的对错是不确定的，为二进制时正确，当为八进制、十进制时是错的，因此这两个陈述句不是命题。 (9)青枫峡的红叶真美呀！ (10)动作快点！ (11)你是杨老师吗？这三个语句不是陈述语句，因此不是命题。

《离散数学》总复习上课讲义

不是闭式的公式在某些解释下也可能是命题. 公式类型. 换名规则与代替规则
第3章集合的基本概念和运算
3.1 集合的基本概念 3.2 集合的基本运算（重点） 3.3 集合中元素的计数（容斥原理是重点）
3.1 集合的基本概念
元素x与集合A的关系：属于xA，不属于xA 集合A与集合B的关系：习题3.2, 3.8, 3.12, 3.16
构造性二难
(AB)(AB)(AA) B 构造性二难(特殊形式)
(AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
习题1.18, 1.21, 1.17(2)。六1
注意事项1：命题
只有能确定真假(但不能可真可假)的陈述句才是命题. 不管是正确的观点, 还是错误的观点, 都是命题. 猜想和预言是命题, 如哥德巴赫猜想.
pq为假当且仅当 p 为真 q 为假，即当p为假时，pq为真(不管q为真, 还是为假); 当q为真时，pq为真(不管p为真, 还是为假). 习题1.5(6)(7)
了解概念、掌握方法
真值表、命题公式类型所有等值的含n个命题变项的公式对应同一
个n元真值函数F:{0,1}n{0,1}；哑元最小联结词组对偶式与对偶原理简单析取式、简单合取式析取范式与合取范式附加前提证明法、反证法
x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B x(BA(x))BxA(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
注意事项1：前束范式（重点）
设A为一个一阶逻辑公式, 若A具有如下形式 Q(11xi1Qk2)x为2…或Qkx，kBB, 则为称不A含为量前词束的范公式式, 其. 中Qi
重要的推理定律第一组命题逻辑推理定律代换实例第二组由基本等值式生成（置换规则）第三组 xA(x)xB(x)x(A(x)B(x))

离散数学第三章集合的基本概念和运算知识点总结

离散数学第三章集合的基本概念和运算知识点总结集合论部分第三章、集合的基本概念和运算3.1 集合的基本概念集合的定义与表⽰集合与元素集合没有精确的数学定义理解：⼀些离散个体组成的全体组成集合的个体称为它的元素或成员集合的表⽰列元素法A={ a, b, c, d }谓词表⽰法B={ x | P(x) }B 由使得P(x) 为真的x构成常⽤数集N, Z, Q, R, C 分别表⽰⾃然数、整数、有理数、实数和复数集合，注意0 是⾃然数.元素与集合的关系：⾪属关系属于∈，不属于?实例A={ x | x∈R∧x2-1=0 }, A={-1,1}1∈A, 2?A注意：对于任何集合A 和元素x (可以是集合)，x∈A和x?A 两者成⽴其⼀，且仅成⽴其⼀.集合之间的关系包含（⼦集）A?B??x (x∈A→x∈B)不包含A?B??x (x∈A∧x?B)相等A = B?A?B∧B?A不相等A≠B真包含A?B?A?B∧A≠B不真包含A?B思考：≠和?的定义注意∈和?是不同层次的问题空集?不含任何元素的集合实例{x | x2+1=0∧x∈R} 就是空集定理空集是任何集合的⼦集Ax (x∈?→x∈A) ?T推论空集是惟⼀的.证假设存在?1和?2，则?1??2 且?1??2，因此?1=?2全集E 相对性在给定问题中，全集包含任何集合，即?A (A?E )幂集定义P(A) = { x | x?A }实例P(?) = {?}，P({?}) = {?,{?}}P({1,{2,3}})={?,{1},{{2,3}},{1,{2,3}}}计数如果|A| = n，则|P(A)| = 2n3.2 集合的基本运算集合基本运算的定义??-~⊕并A?B = { x | x∈A∨x∈B }交A?B = { x | x∈A∧x∈B }相对补A-B = { x | x∈A∧x?B }对称差A⊕B = (A-B)?(B-A)= (A?B)-(A?B)绝对补~A = E-A⽂⽒图（John Venn）关于运算的说明运算顺序：~和幂集优先，其他由括号确定并和交运算可以推⼴到有穷个集合上，即A1?A2?…A n= {x | x∈A1∨x∈A2∨…∨x∈A n}A1?A2?…A n= {x | x∈A1∧x∈A2∧…∧x∈A n}某些重要结果A-B?AA?B ?A-B=?（后⾯证明）A?B=??A-B=A命题演算法证X?Y：任取x ，x∈X?… ?x∈Y 例3 证明A?B?P(A)?P(B)任取xx∈P(A) ?x?A?x?B ? x∈P(B)任取xx∈A ? {x}?A ? {x}∈P(A) ? {x}∈P(B){x}B x∈B包含传递法证X?Y：找到集合T 满⾜X?T 且T?Y，从⽽有X?Y例4 A-B ? A?B证A-B ? AA ? A?B所以A-B ? A?B利⽤包含的等价条件证X?Y：例5 A?C∧B?C ?A?B?C证A?C?A?C=CB?C?B?C=C(A?B)?C=A?(B?C)=A?C=C(A?B)?C=C ?A?B?C命题得证反证法证X?Y：欲证X?Y, 假设命题不成⽴，必存在x 使得x∈X 且x?Y. 然后推出⽭盾.例6 证明A?C ∧ B?C ? A?B?C证假设A?B ? C 不成⽴，则?x (x∈A?B∧x?C)因此x∈A 或x∈B，且x?C若x∈A, 则与A?C ⽭盾；若x∈B, 则与B?C ⽭盾.利⽤已知包含式并交运算：由已知包含式通过运算产⽣新的包含式X?Y ?X?Z?Y?Z, X?Z?Y?Z 例7 证明A?C?B?C ∧ A-C?B-C ? A?B证A?C?B?C，A-C ? B-C上式两边求并，得(A?C)?(A-C) ? (B?C)?(B-C)(AC)(A~C) (BC)(B~C)A(C~C) B(C~C)AE BEA B命题演算法证明X=Y：任取x ，x∈X ?… ?x∈Yx∈Y ?… ?x∈X或者x∈X ?… ? x∈Y例8 证明A?(A?B)=A （吸收律）证任取x,x∈A?(A?B) ? x∈A∨ x∈A?Bx∈A ∨ (x∈A ∧ x∈B) ? x∈A等式替换证明X=Y：不断进⾏代⼊化简，最终得到两边相等例9 证明A?(A?B)=A （吸收律）证(假设交换律、分配律、同⼀律、零律成⽴)A?(A?B)=(A?E)?(A?B) 同⼀律=A?(E?B) 分配律=A?(B?E) 交换律=A?E 零律=A 同⼀律反证法证明X=Y：假设X=Y 不成⽴，则存在x 使得x∈X且x?Y，或者存在x 使得x∈Y且x?X，然后推出⽭盾.例10 证明以下等价条件A?B ? A?B=B ? A?B=A ? A-B=?(1) (2) (3) (4)证明顺序：(1) ?(2), (2) ?(3), (3) ?(4), (4) ?(1)(1) ?(2)显然B?A?B，下⾯证明A?B?B.任取x，x∈A?B ? x∈A∨x∈B ? x∈B∨x∈B ? x∈B因此有A?B?B. 综合上述（2）得证.(2) ?(3)A=A?(A?B) ? A=A?B（将A?B⽤B代⼊)(3) ?(4)假设A-B≠?, 即?x∈A-B，那么x∈A且x?B. ⽽x?B ? x?A?B.从⽽与A?B=A⽭盾.(4) ?(1)假设A?B不成⽴，那么x (x∈A ∧ x?B) ? x∈A-B ? A-B≠?与条件（4）⽭盾.集合运算法证明X=Y：由已知等式通过运算产⽣新的等式X=Y ? X?Z=Y?Z, X?Z=Y?Z，X-Z=Y-Z 例11 证明A?C=B?C ∧ A?C=B?C ? A=B证由A?C=B?C 和A?C=B?C 得到(A?C)-(A?C)=(B?C)-(B?C)从⽽有A⊕C=B⊕C因此A⊕C=B⊕C ? (A⊕C)⊕C =(B⊕C)⊕CA⊕(C⊕C) =B⊕(C⊕C) ?A⊕?=B⊕?? A=B3.3 集合中元素的计数集合的基数与有穷集合集合A 的基数：集合A中的元素数，记作card A有穷集A：card A=|A|=n，n为⾃然数.有穷集的实例：A={ a,b,c}, card A=|A|=3；B={ x | x2+1=0, x∈R}, card B=|B|=0⽆穷集的实例：N, Z, Q, R, C 等包含排斥原理：定理设S 为有穷集，P1, P2, …, P m是m 种性质，A i 是S中具有性质P i的元素构成的⼦集，i=1, 2,…, m.则S中不具有性质P1, P2, …, P m 的元素数为证明要点：任何元素x，如果不具有任何性质，则对等式右边计数贡献为１，否则为０证设x不具有性质P1, P2, … , P m ,x?A i, i= 1, 2, … , mx?A i?A j, 1≤i < j ≤m…x?A1?A2?…?A m,x 对右边计数贡献为1 - 0 + 0 -0 + … + (-1)m· 0 = 1例1 求1到1000之间（包含1和1000在内）既不能被5 和6 整除，也不能被8 整除的数有多少个？解：S ={ x | x∈Z, 1≤x ≤1000 },如下定义S的3 个⼦集A, B, C：A={ x | x∈S, 5 | x }，B={ x | x∈S, 6 | x }，C={ x | x∈S, 8 | x }对上述⼦集计数：|S|=1000,|A|= ?1000/5? =200, |B|=?1000/6?=133，|C|= ?1000/8? =125,|A?B|= ?1000/30? =33, |B?C| = ?1000/40? =25,|B?C|= ?1000/24? =41,|A?B?C| = ?1000/120? =8,代⼊公式N = 1000-(200+133+125)+(33+25+41)-8=600例224名科技⼈员，每⼈⾄少会1门外语.英语：13；⽇语：5；德语：10；法语：9英⽇：2; 英德：4；英法：4；法德：4 会⽇语的不会法语、德语求：只会1 种语⾔⼈数，会3 种语⾔⼈数x+2(4-x)+y1+2=13x+2(4-x)+y2=10x+2(4-x)+y3=9x+3(4-x)+y1+y2+y3=19x=1, y1=4, y2=3, y3=2。

离散数学知识点整理

离散数学知识点整理离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、数理逻辑等领域都有着广泛的应用。

下面就来对离散数学的一些重要知识点进行整理。

一、集合论集合是离散数学中最基本的概念之一。

集合是由一些确定的、彼此不同的对象所组成的整体。

集合的表示方法有列举法和描述法。

列举法就是将集合中的元素一一列举出来，用花括号括起来。

描述法是通过描述元素所具有的性质来确定集合。

集合之间的关系包括子集、真子集、相等。

如果集合 A 的所有元素都属于集合 B，那么 A 是 B 的子集；如果 A 是 B 的子集且 A 不等于 B，那么 A 是 B 的真子集；如果集合 A 和集合 B 的元素完全相同，那么 A 和 B 相等。

集合的运算有并集、交集、差集和补集。

并集是将两个集合中的所有元素合并在一起组成的新集合；交集是两个集合中共同的元素组成的新集合；差集是从一个集合中去掉另一个集合中的元素所得到的新集合；补集是在给定的全集 U 中，去掉集合 A 中的元素所得到的新集合。

二、关系关系是集合论中的一个重要概念，它描述了两个集合元素之间的某种联系。

关系可以用关系矩阵和关系图来表示。

关系矩阵是一个二维矩阵，用于表示两个有限集合之间的关系；关系图则是用顶点和边来表示关系。

关系的性质包括自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性。

自反性是指集合中的每个元素都与自身有关系；反自反性则是集合中的每个元素都与自身没有关系；对称性是如果 a 与 b 有关系，那么 b 与 a 也有关系；反对称性是如果 a 与 b 有关系且 b 与 a 有关系，那么 a 等于 b；传递性是如果 a 与 b 有关系，b 与 c 有关系，那么 a 与 c 有关系。

等价关系是一种具有自反性、对称性和传递性的关系，它可以将集合划分为等价类。

偏序关系是一种具有自反性、反对称性和传递性的关系，它可以引出偏序集的概念。

三、函数函数是一种特殊的关系，它对于定义域中的每个元素，在值域中都有唯一的元素与之对应。

《离散数学讲义》课件

离散概率分布的定义
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的数据分析方法，用于推断总体特征和比较不同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研究，最初是为了解决当时的一些实际问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、图、树、逻辑等）的数学分支，它不涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。

离散数学第四章有限集与无限集

可列集。
第四章有限集与无限集
④ 定理：两个可列集的并集是可列集。
证明：设 S1={a0, a1, a2, a3, a4, …}, S2={b0, b1, b2,
b3, b4, …}均为可列集。不仿设S1与S2不相交。
S1∪S2的元素可以排成无穷序列，即a0, b0, a1, b1, a2, b2, a3, b3, a4, …，所以 S1∪S2={a0, b0, a1, b1, a2, b2, a3, b3, a4, …}是可列集。
第四章有限集与无限集
第四章有限集与无限集
4.1 有限集与无限集基本概念
1、定义1：若集合A与集合= { 1, 2, 3, …, n }存在
一一对应函数，则称集合A为有限集，并称其
基数为n；否则称集合A为无限集。
2、定义2：存在一一对应函数 f：AA，使得 f (A) A，则称集合A为无限集；否则称集合A 为有限集。
(3) 若从A到B存在单射，但不存在满射，则称集合A
的基数小于B的基数，记为 |A| < |B|
3、定理：设A和B是集合，若|A| ≤ |B|，|B|≤|A|，
则 |A| = |B|。
第四章有限集与无限集
4.3 无限集的性质
一、等势
1、定义：集合A与B的元素间如果存在一一对应
的关系，则称集合A与B等势，记为 A B。
妨在 S 中加入有限个元素b0, b1, b2, b3, …, bm, 且它们均与S的元素不相同，得到新的集合B,它的元素也可排成无穷序列： b0, b1, b2, b3, …, bm, a0, a1, a2, a3, a4, …
所以 B={b0, b1, b2, b3, …, bm, a0, a1,可列集。

离散数学-有限集与无限集(课件)

课件结构
首先介绍离散数学的基本概念和研究对象，然后详细阐述有限集与无限集的定义、性质及其在数学和计算机科学中的应用，最后通过实例和练习题帮助学生巩固所学知识。
有限集定义
有限集是指包含有限个元素的集合。
对于任意自然数n，如果一个集合的元素个数不超过n，则该集合为有限集。
有限集性质
02
01
差集
补集
有限集A与有限集B的差集A-B 仍然是有限集，其元素个数等于集合A的元素个数减去集合A 与集合B的交集元素个数。
在全集U中，有限集A的补集 U-A仍然是有限集，其元素个数等于全集U的元素个数减去集合A的元素个数。
02
无限集
无限集定义
无限集是一个元素数量无法穷尽的集合。
对于任意正整数n，无限集总能找到至少n个不同的元素。
THANK YOU
感谢聆听
可数集与不可数集
详细阐述了可数集与不可数集的概念、性质及证明方法。
离散数学在其他学科中的应用
简要概述了离散数学在计算机科学、数学分析、物理学等学科中的应用。
对未来研究的展望
• 深入研究无限集的性质：尽管我们已经对无限集有了一定的了解，但仍有许多未解决的问题和需要进一步探讨的性质。
• 拓展可数集与不可数集的研究领域：目前可数集与不可数集的研究主要集中在一些特定领域，未来可以尝试将这些理论应用到更广泛的领域中。
示例
若A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A-B={1}。
04
有限集与无限集的应用
在数学领域的应用
集合论基础
有限集和无限集是集合论的基本概念，对于研究集合的性质、关系、运算等具有重要意义。
数论研究
在数论中，有限集和无限集的概念对于研究整数的性质、分布、素数等问题具有重要作用。

离散数学复习资料

离散数学复习资料离散数学复习资料离散数学是计算机科学和数学领域的重要基础课程，它涉及到离散结构和离散对象的研究，如集合论、图论、逻辑、代数和组合数学等。

在计算机科学领域，离散数学为算法设计、数据结构和计算机网络等问题提供了理论基础。

本文将为大家提供一些离散数学复习资料，帮助大家更好地掌握这门课程。

一、集合论集合论是离散数学的基础，它研究的是集合及其元素之间的关系。

在集合论中，我们需要了解集合的定义、运算、关系和函数等基本概念。

此外，还需要熟悉集合的证明方法，如直接证明、间接证明、归谬证明等。

在复习集合论时，可以通过做一些练习题来加深理解，同时也可以查阅一些相关的教材和参考资料。

二、图论图论是离散数学中的一个重要分支，它研究的是图及其性质和应用。

图由节点和边组成，节点表示对象，边表示对象之间的关系。

在图论中，我们需要了解图的基本概念，如有向图和无向图、路径和回路、连通性和强连通性等。

此外，还需要掌握一些图的算法，如最短路径算法、最小生成树算法和网络流算法等。

复习图论时，可以通过绘制图和解决一些图的实际问题来加深理解。

三、逻辑逻辑是离散数学中的另一个重要分支，它研究的是推理和证明的规则。

在逻辑中，我们需要了解命题逻辑和谓词逻辑的基本概念，如命题、命题变量、逻辑连接词、真值表和推理规则等。

此外，还需要熟悉一些逻辑证明的方法，如直接证明、间接证明和数学归纳法等。

复习逻辑时，可以通过做一些逻辑推理题和证明题来提高逻辑思维能力。

四、代数代数是离散数学中的一个重要分支，它研究的是代数结构和运算。

在代数中，我们需要了解集合的代数结构，如半群、幺半群、群、环和域等。

此外，还需要掌握一些代数运算，如集合的并、交和补运算，以及代数方程的求解方法。

复习代数时，可以通过做一些代数运算题和代数方程的求解题来加深理解。

五、组合数学组合数学是离散数学中的一个重要分支，它研究的是离散对象的组合和排列问题。

在组合数学中，我们需要了解组合和排列的基本概念，如组合数、排列数、二项式系数和多项式系数等。

离散数学第4章有限集和无限集

A C
B
软件学院
有限集
例：120个学生中有100个学生至少要学法、德、英三种语言中的一种，假定有65人学法语，45人学德语， 42人学英语，20个人学法语和德语，25人学法语和英语，15人学德语和英语，请问同时学三种语言的有多少人？解：令A、B、C表示学法语学、德语和英语的人数 100＝65＋45＋42－20－25－15＋|A∩B∩C| 所以 |A∩B∩C|＝8。
性质：可列集的无限子集仍为一可列集。
可列集是无限集中的最小集合。
软件学院
无限集的性质例如：整数集I是可列集。 N={0,1, 2, 3, 4, 5, 6……}
I={0,1,-1, 2,-2, 3,-3……}
有理数集Q为可列集。一切有理数都可写为m/n的形式，对于分数可以按照分子和分母的顺序排列。实数集R是不可列集。
软件学院
第四章有限集与无限集有限集S的元素的个数称为S的基数，可记为|S|。自然数集N是无限集。实数集R是无限集。基数是与集合的元素数量有关的概念。在有限集中，基数即是元素的个数，而在无限集中，集合基数就变得复杂了。理论上讲，无限集中元素数量为无限，但这太笼统了，因为个数中其浓度与密度是不同的。如：实数与自然数同为无限个元素，但是实数无限浓度高于自然数的无限浓度。
软件学院
无限集的性质因为自然数集N不可能与某个自然数n等势。所以N的基数不能是有限数，就用一个‚无限大‛的数 0表示（Aleph零）。可列集是与自然数集中元素可以建立一一对应的集合，即可列集与自然数集等势，势也为Aleph零。所以我们可以用‘等势’来表示集合间的大小比较。由于可列集是‘最小’的无限集，故已经没有比可列集更小的无限集了。因此，其他无限集的势比 Aleph零要大，如实数集比可列集要大，它的基数是Aleph。

有限集、无限集概念

讲义一、教材与考点分析：本节课学习的内容是了解有限集、无限集概念掌握表示集合方法．了解空集的概念及其特殊性。

这是步入高中的第一个知识点，理解集合是理解函数的基础，所以要学好本节课内容，为以后学习新的内容奠定基础。

二、学生情况分析：目前对高中数学很多知识点把握的不够扎实，有些知识点已经暂时的忘记，现在需要通过复习，来巩固以前没有抓牢的知识，并做些相关练习。

三、教学目标：本节课的目标是理解有关集合的概念，表示方法，培养学生逻辑思维能力。

四、教学内容：重点：集合的表示方法，空集。

难点：正确表示一些简单集合。

考点1：集合的含义（1）把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。

简称为集例:（2）集合的元素必须是确定的，集合的元素是互不相同的例:判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由1.大于3小于11的偶数；2.我国的小河流。

考点2：与集合有关的符号集合是一个很大的概念，在高中数学里我们主要研究数集（集合的元素是数字的集合）。

一般用大写的字母表示集合，如A数学中常用集合表示法：非负整数集（或自然数集），记作N正整数集，记作*N或N+整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R我们一般用小写字母表示集合的元素，如a集合与元素的关系：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A，如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A例：我们用A表示“1~20以内的所有素数”组成的集合，则有3∈A,4∉A 考点3：集合的表示自然语言表示法，列举法，描述法是表示集合的一般方法。

列举法:把集合元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法例：{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}例：由方程x2－1＝0的所有解组成的集合可以表示为｛－1，1｝请用列举法表示下列集合： (1)小于5的正奇数(2)能被3整除且大于4小于15的自然数 (3)方程 x 2－9＝0的解的集合 (4)｛15以内的质数｝ (5)｛x ｜x-36∈Z ，x ∈Z ｝描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。