2019年秋九年级数学上册 第3章 圆的基本性质 3.3 垂径定理 第2课时 垂径定理的逆定理导学课
浙教版数学九年级上册《3.3 垂径定理》教学设计2
浙教版数学九年级上册《3.3 垂径定理》教学设计2一. 教材分析《3.3 垂径定理》是浙教版数学九年级上册的一个重要内容。
本节课主要讲述了垂径定理及其应用。
垂径定理是指：圆中，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
这一定理是圆的基本性质之一，对于解决与圆有关的问题具有重要意义。
在本节课中，学生将通过探究垂径定理，培养观察、思考、归纳的能力，同时提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础知识，对圆的概念和性质有所了解。
但是，对于垂径定理的证明和应用，他们可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，逐步理解和掌握垂径定理。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握垂径定理，能够运用垂径定理解决简单的问题。
2.过程与方法：培养学生观察、思考、归纳的能力，提高解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：理解和掌握垂径定理。
2.难点：垂径定理的证明和应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置情境，引导学生观察、思考，发现垂径定理。
2.小组合作学习：让学生在小组内进行讨论、交流，共同解决问题。
3.实践操作法：让学生动手操作，加深对垂径定理的理解。
六. 教学准备1.教具：圆规、直尺、彩笔、多媒体设备等。
2.学具：每人一份圆、直线、折纸等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些与圆有关的生活实例，引导学生思考圆的性质，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师引导学生观察一些圆的图形，让学生发现其中的规律。
学生通过观察、思考，发现垂径定理。
3.操练（10分钟）教师给出一些与垂径定理有关的问题，让学生运用所学的垂径定理进行解答。
学生通过解决问题，巩固对垂径定理的理解。
4.巩固（10分钟）教师学生进行小组讨论，让学生通过合作交流，进一步理解和掌握垂径定理。
2019年浙教版数学九年级上册 第3章 圆的基本性质附答案
【章节训练】第3章圆的基本性质-1一、选择题（共25小题）1．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=70°，∠2=50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（）A．10°B．20°C．50°D．70°2．如图，香港特别行政区区徽中的紫荆花图案，该图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为（）A．45°B．60°C．72°D．108°3．如图所示圆规，点A是铁尖的端点，点B是铅笔芯尖的端点，已知点A与点B的距离是2cm，若铁尖的端点A固定，铅笔芯尖的端点B绕点A旋转一周，则作出的圆的直径是（）A．1cmB．2cmC．4cmD．πcm4．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD=120°，那么∠BCD是（）A．120°B．100°C．80°D．60°5．如图所示的图案绕旋转中心旋转一定角度后能够与自身重合，那么这个旋转角可能是（）A．60°B．72°C．90°D．120°6．如图，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数是（）A．70°B．35°C．45°D．60°7．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=84°，则∠E等于（）A．42°B．28°C．21°D．20°8．下列运动属于旋转的是（）A．滚动过程中的篮球的滚动B．钟表的钟摆的摆动C．气球升空的运动D．一个图形沿某直线对折的过程9．下列各图中，既可经过平移，又可经过旋转，由图形①得到图形②的是（）A．B．C．D．10．四边形ABCD内接于⊙O，则∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（）A．1：2：3：4B．1：3：2：4C．1：4：2：3D．1：2：4：311．如图，⊙O的半径为6，直径CD过弦EF的中点G，若∠EOD=60°，则弦CF 的长等于（）A．6B．6C．3D．912．如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C 旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+2b2，其中正确结论有（）A．0个B．1个C．2个D．3个13．如图，要使此图形旋转后与自身重合，至少应将它绕中心旋转的度数为（）A．30°B．60°C．120°D．180°14．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，垂足为M，则下列结论一定正确的是（）A．AC=CDB．OM=BMC．∠A=∠ACDD．∠A=∠BOD15．如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，﹣1），B（2，﹣2），C（4，﹣1），将△ABC绕着原点O旋转75°，得到△A1B1C1，则点B1的坐标为（）A．（，）或（﹣，﹣）B．（，）或（﹣，﹣）C．（﹣，﹣）或（，）D．（﹣，﹣）或（，）16．点A、C为半径是4的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆半径的中点上，则该菱形的边长为（）A．或2B．或2C．2或2D．2或217．如图，△ABC内接于⊙O，连结OA，OB，∠ABO=40°，则∠C的度数是（）A．100°B．80°C．50°D．40°18．已知⊙O的半径为5．若OP=6，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法判断19．如图，矩形ABCD的顶点A，B在圆上，BC，AD分别与该圆相交于点E，F，G是的三等分点（＞），BG交AF于点H，若的度数为30°，则∠GHF 等于（）A．40°B．45°C．55°D．80°20．已知等边△ABC，顶点B（0，0），C（2，0），规定把△ABC先沿x轴绕着点C顺时针旋转，使点A落在x轴上，称为一次变换，再沿x轴绕着点A顺时针旋转，使点B落在x轴上，称为二次变换，…经过连续2017次变换后，顶点A的坐标是（）A．（4033，）B．（4033，0）C．（4036，）D．（4036，0）21．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是（）A．4B．5C．6D．622．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，若点C的对应点C′落在AB边上，则旋转角为（）A．40°B．70°C．80°D．140°23．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸，（注：1尺=10寸）问这块圆柱形木材的直径是（）A．13寸B．6.5寸C．26寸D．20寸24．在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图所示，现又出现一小方格体正向下运动，为了使所有图案消失，你必须进行以下哪项操作，才能拼成一个完整图案，使其自动消失（）A．顺时针旋转90°，向右平移B．逆时针旋转90°，向右平移C．顺时针旋转90°，向下平移D．逆时针旋转90°，向下平移25．如图，在平面直角坐标系中，原点O是等边三角形ABC的中心，若点A的坐标为（0，3），将△ABC绕着点O逆时针旋转，每秒旋转60°，则第2018秒时，点A的坐标为（）A．（0，3）B．（，）C．（）D．（﹣3，3）二、填空题（共5小题）（除非特别说明，请填准确值）26．如图所示的图案，可以看成是由字母“Y”绕中心每次旋转度构成的．27．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，且AB＞OC，若OC和AB是方程x2﹣11x+24=0的两个根，则⊙O的半径OA=．28．如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm，下雨前水面宽为60cm，一场大雨过后，水面宽为80cm，则水位上升cm．29．线段AB=10cm，在以AB为直径的圆上，到点A的距离为5cm的点有个．30．如图，已知∠MON=30°，B为OM上一点，BA⊥ON于A，四边形ABCD为正方形，P为射线BM上一动点，连结CP，将CP绕点C顺时针方向旋转90°得CE，连结BE，若AB=，则BE的最小值为．三、解答题（共2小题）（选答题，不自动判卷）31．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD⊥AB于D，AD＜BD，若CD=2cm，AB=5cm，求AD、AC的长．32．在正方形ABCD中，M是BC边上一点，点P在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BP，DQ．（1）依题意补全图1；（2）①连接DP，若点P，Q，D恰好在同一条直线上，求证：DP2+DQ2=2AB2；②若点P，Q，C恰好在同一条直线上，则BP与AB的数量关系为：．【章节训练】第3章圆的基本性质-1参考答案与试题解析一、选择题（共25小题）1．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=70°，∠2=50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（）A．10°B．20°C．50°D．70°【分析】根据同位角相等两直线平行，求出旋转后∠2的同位角的度数，然后用∠1减去即可得到木条a旋转的度数．【解答】解：如图．∵∠AOC=∠2=50°时，OA∥b，∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是70°﹣50°=20°．故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的判定，根据同位角相等两直线平行求出旋转后∠2的同位角的度数是解题的关键．2．如图，香港特别行政区区徽中的紫荆花图案，该图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为（）A．45°B．60°C．72°D．108°【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72°的整数倍，就可以与自身重合，故n的最小值为72．故选：C．【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．3．如图所示圆规，点A是铁尖的端点，点B是铅笔芯尖的端点，已知点A与点B的距离是2cm，若铁尖的端点A固定，铅笔芯尖的端点B绕点A旋转一周，则作出的圆的直径是（）A．1cm B．2cm C．4cm D．πcm【分析】根据圆的认识进行解答即可．【解答】解：∵AB=2cm，∴圆的直径是4cm，故选：C．【点评】此题考查圆的认识，关键是根据圆的概念进行解答．4．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD=120°，那么∠BCD是（）A．120°B．100°C．80°D．60°【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得∠A=60°，再根据圆内接四边形的性质可得∠BCD的度数．【解答】解∵在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD=120°，∴∠A=60°，∴∠C=180°﹣60°=120°，故选：A．【点评】此题主要考查了圆周角定理和圆内接四边形，关键是掌握圆内接四边形的对角互补．5．如图所示的图案绕旋转中心旋转一定角度后能够与自身重合，那么这个旋转角可能是（）A．60°B．72°C．90°D．120°【分析】把此图案绕看作正五边形，然后根据正五边形的性质求解．【解答】解：图形看作正五边形，而正五边的中心角为72°，所以此图案绕旋转中心旋转72°的整数倍时能够与自身重合．故选：B．【点评】本题考查了旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．6．如图，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数是（）A．70°B．35°C．45°D．60°【分析】欲求∠ADC，又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解．【解答】解：∵A、B、C、D是⊙O上的四点，OA⊥BC，∴弧AC=弧AB （垂径定理），∴∠ADC=∠AOB（等弧所对的圆周角是圆心角的一半）；又∠AOB=70°，∴∠ADC=35°．故选：B．【点评】本题考查垂径定理、圆周角定理．关键是将证明弧相等的问题转化为证明所对的圆心角相等．7．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=84°，则∠E等于（）A．42°B．28°C．21°D．20°【分析】利用OB=DE，OB=OD得到DO=DE，则∠E=∠DOE，根据三角形外角性质得∠1=∠DOE+∠E，所以∠1=2∠E，同理得到∠AOC=∠C+∠E=3∠E，然后利用∠E=∠AOC进行计算即可．【解答】解：连结OD，如图，∵OB=DE，OB=OD，∴DO=DE，∴∠E=∠DOE，∵∠1=∠DOE+∠E，∴∠1=2∠E，而OC=OD，∴∠C=∠1，∴∠C=2∠E，∴∠AOC=∠C+∠E=3∠E，∴∠E=∠AOC=×84°=28°．故选：B．【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质．8．下列运动属于旋转的是（）A．滚动过程中的篮球的滚动B．钟表的钟摆的摆动C．气球升空的运动D．一个图形沿某直线对折的过程【分析】根据旋转变换的概念，对选项进行一一分析，排除错误答案．【解答】解：A、滚动过程中的篮球属于滚动，不是绕着某一个固定的点转动，不属旋转；B、钟表的钟摆的摆动，符合旋转变换的定义，属于旋转；C、气球升空的运动是平移，不属于旋转；D、一个图形沿某直线对折的过程是轴对称，不属于旋转．故选：B．【点评】本题考查旋转的概念．旋转变换：一个图形围绕一个定点旋转一定的角度，得到另一个图形，这种变换称为旋转变换．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．9．下列各图中，既可经过平移，又可经过旋转，由图形①得到图形②的是（）A． B． C． D．【分析】此题是一组复合图形，根据平移、旋转的性质解答．【解答】解：A、B、C中只能由旋转得到，不能由平移得到，只有D可经过平移，又可经过旋转得到．故选：D．【点评】本题考查平移、旋转的性质：①平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．②旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心．10．四边形ABCD内接于⊙O，则∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（）A．1：2：3：4 B．1：3：2：4 C．1：4：2：3 D．1：2：4：3【分析】利用圆内接四边形的对角互补判断即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠C=180°=∠B+∠D，故选：D．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，关键是根据内接四边形的对角互补的性质解答．11．如图，⊙O的半径为6，直径CD过弦EF的中点G，若∠EOD=60°，则弦CF 的长等于（）A．6 B．6 C．3 D．9【分析】连接DF，根据垂径定理得到=，得到∠DCF=∠EOD=30°，根据圆周角定理、余弦的定义计算即可．【解答】解：连接DF，∵直径CD过弦EF的中点G，∴=，∴∠DCF=∠EOD=30°，∵CD是⊙O的直径，∴∠CFD=90°，∴CF=CD•cos∠DCF=12×=6，故选：B．【点评】本题考查的是垂径定理的推论、解直角三角形，掌握平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．12．如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C 旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+2b2，其中正确结论有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】由四边形ABCD与四边形CEFG都为正方形，得到四条边相等，四个角为直角，利用SAS得到三角形BCE与三角形DCG全等，利用全等三角形对应边相等即可得到BE=DG，利用全等三角形对应角相等得到∠1=∠2，利用等角的余角相等及直角的定义得到∠BOD为直角，利用勾股定理求出所求式子的值即可．【解答】解：如图，设BE，DG交于O．∵四边形ABCD和CEFG都为正方形，∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCE+∠DCE=∠ECG+∠DCE=90°+∠DCE，即∠BCE=∠DCG．在△BCE和△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴BE=DG，∴∠1=∠2，∵∠1+∠4=∠3+∠1=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠BOG=90°，∴BE⊥DG；故①②正确；连接BD，EG，如图所示，∴DO2+BO2=BD2=BC2+CD2=2a2，EO2+OG2=EG2=CG2+CE2=2b2，则DE2+BG2=DO2+BO2+EO2+OG2=2a2+2b2，故③正确．故选：D．【点评】此题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握性质与定理是解本题的关键．13．如图，要使此图形旋转后与自身重合，至少应将它绕中心旋转的度数为（）A．30°B．60°C．120° D．180°【分析】根据旋转对称图形的旋转角的概念作答．【解答】解：正六边形被平分成六部分，因而每部分被分成的圆心角是60°，因而旋转60度的整数倍，就可以与自身重合．则α最小值为60度．故选：B．【点评】本题考查旋转对称图形的旋转角的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．14．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，垂足为M，则下列结论一定正确的是（）A．AC=CD B．OM=BM C．∠A=∠ACD D．∠A=∠BOD【分析】根据垂径定理判断即可．【解答】解：连接DA，∵直径AB⊥弦CD，垂足为M，∴CM=MD，∠CAB=∠DAB，∵2∠DAB=∠BOD，∴∠CAD=∠BOD，故选：D．【点评】本题考查的是垂径定理和圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．15．如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，﹣1），B（2，﹣2），C（4，﹣1），将△ABC绕着原点O旋转75°，得到△A1B1C1，则点B1的坐标为（）A．（，）或（﹣，﹣）B．（，）或（﹣，﹣）C．（﹣，﹣）或（，） D．（﹣，﹣）或（，）【分析】根据题意只研究点B的旋转即可，OB与x轴夹角为45°，分别按顺时针和逆时针旋转75°后，与y轴负向、x轴正向分别夹角为30°，由此计算坐标即可．【解答】解：由点B坐标为（2，﹣2）则OB=，且OB与x轴、y轴夹角为45°当点B绕原点逆时针转动75°时，OB1与x轴正向夹角为30°则B1到x轴、y轴距离分别为，，则点B1坐标为（，）；同理，当点B绕原点顺时针转动75°时，OB1与y轴负半轴夹角为30°，则B1到x轴、y轴距离分别为，，则点B1坐标为（﹣，﹣）；故选：C．【点评】本题为坐标旋转变换问题，考查了图形旋转的性质、特殊角锐角三角函数值，解答时注意分类讨论和确定象限符号．16．点A、C为半径是4的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆半径的中点上，则该菱形的边长为（）A．或2B．或2C．2或2D．2或2【分析】过B作直径，连接AC交AO于E，如图①，根据已知条件得到BD=OB=2，如图②，BD=6，求得OD、OE、DE的长，连接OD，根据勾股定理得到结论．【解答】解：过B作直径，连接AC交AO于E，∵点B为的中点，∴BD⊥AC，如图①，∵点D恰在该圆直径上，D为OB的中点，∴BD=×4=2，∴OD=OB﹣BD=2，∵四边形ABCD是菱形，∴DE=BD=1，∴OE=1+2=3，连接OC，∵CE===，在Rt△DEC中，由勾股定理得：DC===2；如图②，OD=2，BD=4+2=6，DE=BD=3，OE=3﹣2=1，由勾股定理得：CE===，DC===2，故选：C．【点评】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，勾股定理，菱形的性质，正确的作出图形是解题的关键．17．如图，△ABC内接于⊙O，连结OA，OB，∠ABO=40°，则∠C的度数是（）A．100°B．80°C．50°D．40°【分析】根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质求出∠AOB，根据圆周角定理解答．【解答】解：∵OA=OB，∠ABO=40°，∴∠AOB=100°，∴∠C=∠AOB=50°，故选：C．【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．18．已知⊙O的半径为5．若OP=6，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法判断【分析】点在圆上，则d=r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．【解答】解：∵OP=6＞5，∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外．故选：C．【点评】本题考查了点与圆的位置关系，掌握点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键．19．如图，矩形ABCD的顶点A，B在圆上，BC，AD分别与该圆相交于点E，F，G是的三等分点（＞），BG交AF于点H，若的度数为30°，则∠GHF 等于（）A．40°B．45°C．55°D．80°【分析】连接BF，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出∠AFB，根据三角形的外角的性质计算．【解答】解：连接BF，∵的度数为30°，∴的度数为150°，∠AFB=15°，∵G是的三等分点，∴的度数为50°，∴∠GBF=25°，∴∠GHF=∠GBF+∠AFB=40°，故选：A．【点评】本题考查的是矩形的性质、圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．20．已知等边△ABC，顶点B（0，0），C（2，0），规定把△ABC先沿x轴绕着点C顺时针旋转，使点A落在x轴上，称为一次变换，再沿x轴绕着点A顺时针旋转，使点B落在x轴上，称为二次变换，…经过连续2017次变换后，顶点A的坐标是（）A．（4033，）B．（4033，0）C．（4036，）D．（4036，0）【分析】利用已知点坐标得出等边△ABC边长为2，根据三角函数可得等边△ABC 的高，顶点A的坐标分别为（4，0），（4，0），（7，），（10，0），（10，0），（13，），…，进而得出点的坐标变化规律，即可得出答案．【解答】解：顶点A的坐标分别为（4，0），（4，0），（7，），（10，0），（10，0），（13，），…，2017÷3=672…1，672×6+4=4036，故顶点A的坐标是（4036，0）．故选：D．【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化，正确得出点的坐标变化规律是解题关键．21．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是（）A．4 B．5 C．6 D．6【分析】根据垂径定理求出BC，根据勾股定理求出OC即可．【解答】解：∵OC⊥AB，OC过圆心O点，∴BC=AC=AB=×16=8，在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC===6，故选：D．【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用；由垂径定理求出BC是解决问题的关键．22．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，若点C的对应点C′落在AB边上，则旋转角为（）A．40°B．70°C．80°D．140°【分析】根据旋转角的定义，旋转角就是∠ABC，根据等腰三角形的旋转求出∠ABC即可．【解答】解：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠C=（180°﹣∠A）=×140°=70°，∵△A′BC′是由△ABC旋转得到，∴旋转角为∠ABC=70°．故选：B．【点评】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键的理解旋转角的定义，属于中考常考题型．23．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸，（注：1尺=10寸）问这块圆柱形木材的直径是（）A．13寸B．6.5寸C．26寸D．20寸【分析】设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r﹣1，OA=r，则有r2=52+（r﹣1）2，解方程即可；【解答】解：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r﹣1，OA=r，则有r2=52+（r﹣1）2，解得r=13，∴⊙O的直径为26寸，故选：C．【点评】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．24．在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图所示，现又出现一小方格体正向下运动，为了使所有图案消失，你必须进行以下哪项操作，才能拼成一个完整图案，使其自动消失（）A．顺时针旋转90°，向右平移B．逆时针旋转90°，向右平移C．顺时针旋转90°，向下平移D．逆时针旋转90°，向下平移【分析】在俄罗斯方块游戏中，要使其自动消失，要把三行排满，需要旋转和平移，通过观察即可得到．【解答】解：顺时针旋转90°，向右平移．故选A．【点评】此题将常见的游戏和旋转平移的知识相结合，有一定的趣味性，要根据平移和旋转的性质进行解答：（1）①经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；②平移变换不改变图形的形状、大小和方向（平移前后的两个图形是全等形）．（2）①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．25．如图，在平面直角坐标系中，原点O是等边三角形ABC的中心，若点A的坐标为（0，3），将△ABC绕着点O逆时针旋转，每秒旋转60°，则第2018秒时，点A的坐标为（）A．（0，3） B．（，）C．（）D．（﹣3，3）【分析】△ABC绕点O倪时针旋转一周需6秒，而2018=6×336+2，所以第2018秒时，点A旋转到点A′，∠AOA′=120°，OA=OA′=3，作A′H⊥x轴于H，然后通过解直角三角形求出A′H和OH即可得到A′点的坐标．【解答】解：∵360°÷60°=6，2018=6×336+2，∴第2018秒时，点A旋转到点B，如图，∠AOA′=120°，OA=OA′=3，作A′H⊥x轴于H，∵∠A′OH=30°，∴A′H=OA′=，OH=A′H=，∴A′（﹣，﹣）．故选：B．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．二、填空题（共5小题）（除非特别说明，请填准确值）26．如图所示的图案，可以看成是由字母“Y”绕中心每次旋转36度构成的．【分析】如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．利用基本图形和旋转次数，即可得到旋转的角度．【解答】解：根据图形可得：这是一个由字母“Y”绕着中心连续旋转9次，每次旋转36度角形成的图案．故答案为：36．【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．27．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，且AB＞OC，若OC和AB是方程x2﹣11x+24=0的两个根，则⊙O的半径OA=5．【分析】解一元二次方程求出AB、OC，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理计算即可．【解答】解：x2﹣11x+24=0（x﹣3）（x﹣8）=0x﹣3=0，x﹣8=0，x1=3，x2=8，∵AB＞OC，∴AB=8，OC=3，∵OC⊥AB，∴AC=AB=4，由勾股定理得，OA==5，故答案为：5．【点评】本题考查的是垂径定理、一元二次方程的解法，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．28．如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm，下雨前水面宽为60cm，一场大雨过后，水面宽为80cm，则水位上升10或70cm．【分析】分两种情形分别求解即可解决问题；【解答】解：作半径OD⊥AB于C，连接OB由垂径定理得：BC=AB=30cm，在Rt△OBC中，OC==40cm，当水位上升到圆心以下时水面宽80cm时，则OC′==30cm，水面上升的高度为：40﹣30=10cm；当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：40+30=70cm，综上可得，水面上升的高度为10cm或70cm．故答案为10或70．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂径定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．29．线段AB=10cm，在以AB为直径的圆上，到点A的距离为5cm的点有2个．【分析】以A为圆心，5cm长为半径作圆，与以AB为直径的圆交于2点，依此即可求解．【解答】解：如图所示：到点A的距离为5cm的点有2个．故答案为：2．【点评】此题考查了圆的认识，关键是熟悉圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合的知识点．30．如图，已知∠MON=30°，B为OM上一点，BA⊥ON于A，四边形ABCD为正方形，P为射线BM上一动点，连结CP，将CP绕点C顺时针方向旋转90°得CE，连结BE，若AB=，则BE的最小值为．【分析】方法1：先将BC绕着点C顺时针旋转90°得FC，作直线FE交OM于H，则∠BCF=90°，BC=FC，根据旋转的性质，即可得到△BCP≌△FCE（SAS），进而得出∠BHF=90°，据此可得点E在直线FH上，即点E的轨迹为直线FH，再根据当点E与点H重合时，BE=BH最短，求得BH的值即可得到BE的最小值．方法2：连接PD，依据SAS构造全等三角形，即△BCE≌△DCP，将BE的长转化为PD的长，再依据垂线段最短得到当DP最短时，BE亦最短，根据∠O=30°，OD=3+，即可求得DP的长的最小值．【解答】解法1：如图所示，将BC绕着点C顺时针旋转90°得FC，作直线FE交OM于H，则∠BCF=90°，BC=FC，∵将CP绕点C按顺时针方向旋转90°得CE，∴∠PCE=90°，PC=EC，∴∠BCP=∠FCE，在△BCP和△FCE中，，∴△BCP≌△FCE（SAS），∴∠CBP=∠CFE，又∵∠BCF=90°，∴∠BHF=90°，∴点E在直线FH上，即点E的轨迹为射线，∵BH⊥EF，∴当点E与点H重合时，BE=BH最短，∵当CP⊥OM时，Rt△BCP中，∠CBP=30°，∴CP=BC=，BP=CP=，又∵∠PCE=∠CPH=∠PHE=90°，CP=CE，∴正方形CPHE中，PH=CP=，∴BH=BP+PH=，即BE的最小值为，故答案为：．解法2：如图，连接PD，由题意可得，PC=EC，∠PCE=90°=∠DCB，BC=DC，∴∠DCP=∠BCE，在△DCP和△BCE中，，∴△DCP≌△BCE（SAS），∴PD=BE，当DP⊥OM时，DP最短，此时BE最短，∵∠AOB=30°，AB==AD，∴OD=OA+AD=3+，∴当DP⊥OM时，DP=OD=，∴BE的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及垂线段最短的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等以及垂线段最短进行解答．三、解答题（共2小题）（选答题，不自动判卷）31．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD⊥AB于D，AD＜BD，若CD=2cm，AB=5cm，求AD、AC的长．【分析】由直径AB=5cm，可得半径OC=OA=AB=cm，分别利用勾股定理计算AD、AC的长．【解答】解：连接OC，∵AB=5cm，∴OC=OA=AB=cm，Rt△CDO中，由勾股定理得：DO==cm，∴AD=﹣=1cm，由勾股定理得：AC==，则AD的长为1cm，AC的长为cm．【点评】本题考查了同圆的半径相等、勾股定理，在圆中常利用勾股定理计算边的长，本题熟练掌握勾股定理是关键．32．在正方形ABCD中，M是BC边上一点，点P在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BP，DQ．（1）依题意补全图1；（2）①连接DP，若点P，Q，D恰好在同一条直线上，求证：DP2+DQ2=2AB2；②若点P，Q，C恰好在同一条直线上，则BP与AB的数量关系为：BP=AB．【分析】（1）根据要求画出图形即可；（2）①连接BD，如图2，只要证明△ADQ≌△ABP，∠DPB=90°即可解决问题；②结论：BP=AB，如图3中，连接AC，延长CD到N，使得DN=CD，连接AN，QN．由△ADQ≌△ABP，△ANQ≌△ACP，推出DQ=PB，∠AQN=∠APC=45°，由∠AQP=45°，推出∠NQC=90°，由CD=DN，可得DQ=CD=DN=AB；【解答】（1）解：补全图形如图1：（2）①证明：连接BD，如图2，∵线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，∴AQ=AP，∠QAP=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAB=90°，∴∠1=∠2．∴△ADQ≌△ABP，∴DQ=BP，∠Q=∠3，∵在Rt△QAP中，∠Q+∠QPA=90°，∴∠BPD=∠3+∠QPA=90°，∵在Rt△BPD中，DP2+BP2=BD2，又∵DQ=BP，BD2=2AB2，∴DP2+DQ2=2AB2．②解：结论：BP=AB．理由：如图3中，连接AC，延长CD到N，使得DN=CD，连接AN，QN．∵△ADQ≌△ABP，△ANQ≌△ACP，∴DQ=PB，∠AQN=∠APC=45°，∵∠AQP=45°，∴∠NQC=90°，∵CD=DN，\∴DQ=CD=DN=AB，∴PB=AB．【点评】本题考查正方形的性质，旋转变换、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．。
3.3 垂径定理
结论改为：②垂直于弦，④平分弦所对的劣弧，⑤平分弦 所对的优弧. 这个命题正确吗？
垂径定理的推论
① 直径过圆心 ③ 平分弦 （不是直径）
C
② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
O E A
D
已知：CD是直径，AB是弦（不是直径），
B C求D证平：分CADB⊥AB，AD⌒＝BD⌒，AC⌒＝BC⌒
② 垂直于弦 ③ 平分弦
C
① 直径过圆心 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
O E A
D
已知：AB是弦，CD平分AB，CD ⊥AB， 求证：CD是直径，A⌒D＝B⌒D，A⌒C＝B⌒C
B
（3）弦的垂直平分线 经过圆心，并且平分 弦所对的两条弧．
② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧．
① 直径过圆心 ④ 平分弦所对优弧
C
③ 平分弦 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
O E A
D
已知：CD是直径，AB是弦，并且A⌒C＝B⌒C 求证：CD平分AB，CD ⊥AB，A⌒D＝B⌒D
B
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平 分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
（4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的 直径过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．
③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧
3.3垂径定理2
直径平分弦所对的弧
直径平分弦
辨一辨
（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦 所对的弧. （2）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对 的两条弧. （3）平分弦的直线，必定过圆心。
（4）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心.
例1、1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是 圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.2 m,拱高(弧的中点 到弦的距离,也叫弓形高)为7.23m,求桥拱的半径(精确到0.01m).
第二课时
请用文字叙述垂径定理：
垂直弦的直径，平分这条弦，并且平分弦所对的弧
几何语言
直径垂直弦 如直图径∵C平CD分D⊥是弦A直B,径, 直径平分弦所对的弧
条件
∴AM=BM,
⌒A结C论=⌒BC,
⌒AD
⌒
=BD.
C
A
BM└●O逆命题？D直径垂直弦
直径平分弦 （不是直径！） 直径平分弦所对的弧
直径垂直弦
浙教版-9年级-上册-数学-第3章《圆的基本性质》分节知识点
浙教版-9年级-上册-数学-第3章《圆的基本性质》分节知识点一、圆的有关概念及圆的确定要点一、圆的定义1、圆的描述概念（1）如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：（1）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；（2）圆是一条封闭曲线.2、圆的集合概念（1）圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.（2）平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.（3）圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.要点诠释：（1）定点为圆心，定长为半径；（2）圆指的是圆周，而不是圆面；（3）强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.要点二、点与圆的位置关系（1）点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.（2）若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：点P在圆内d＜r；点P在圆上d=r；点P在圆外d＞r.“”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.要点诠释：（1）点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上；要点三、与圆有关的概念1、弦：（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.（2）直径：经过圆心的弦叫做直径.（3）弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：（1）直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.（2）为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.2、弧（1）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.（2）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；（3）优弧：大于半圆的弧叫做优弧；（4）劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：（1）半圆是弧，而弧不一定是半圆；（2）无特殊说明时，弧指的是劣弧.3、等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：（1）等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；（2）圆中两平行弦所夹的弧相等.4、同心圆与等圆（1）圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.（2）圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.要点诠释：同圆或等圆的半径相等.5、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.要点诠释：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立.要点四、确定圆的条件（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；(3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.（4）经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.二、图形的旋转要点一、旋转的概念（1）一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个固定的定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.如下图，点O为旋转中心，∠AOA′（或∠BOB′或∠COC′）是旋转角.要点诠释：（1）旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.（2）如上图，如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么这两个点叫做这个图形旋转的对应点.点B与点B′，点C与点C′均是对应点，线段AB与A′B′、线段AC与A′C′、线段BC与B′C′均是对应线段.要点二、旋转的性质一般地，图形的旋转有下面的性质：（1）图形经过旋转所得的图形和原图形全等；（2）对应点到旋转中心的距离相等；（3）任意一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.要点三、旋转的作图（1）在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点诠释：作图的步骤：（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心；（2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；（3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；（4）连接所得到的各对应点.三、垂径定理知识点一、垂径定理1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.如图，几何语言为：CD 是直径要点诠释：2、推论（1）定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.（2）定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.要点诠释：（1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.（2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：（1）在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）四、圆心角要点一、圆心角与弧的定义1、圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB 就是一个圆心角.要点诠释：（1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；（2）圆心角∠AOB 所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB.2、1°的弧的定义：1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图，要点诠释：（1）圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=.CD ⊥ABAE=BE（2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）.要点二、圆心角定理及推论1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．要点诠释：（1）圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.（3）注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.2、圆心角定理的推论：（1）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等.要点诠释：（1）在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.五、圆周角要点一、圆周角1、圆周角定义：（1）像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2、圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．要点诠释：（1）圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.（2）圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）3、圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．4、圆周角定理的推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等.六、圆内接四边形要点一、圆内接四边形（1）如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.要点二、圆内接四边形性质定理（1）圆内接四边形的对角互补.（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.要点诠释：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．七、正多边形和圆知识点一、正多边形的概念（1）各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：（1）各边相等；（2）各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).知识点二、正多边形的重要元素1、正多边形的外接圆和圆的内接正多边形（1）正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．2、正多边形的有关概念（1）一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．（2）正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．（3）正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．（4）正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3、正多边形的有关计算（1）正ｎ边形每一个内角的度数是；（2）正ｎ边形每个中心角的度数是；（3）正ｎ边形每个外角的度数是.要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.知识点三、正多边形的性质（1）正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.（2）正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.（3）正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.（4）边数相同的正多边形相似。
201X年秋九年级数学上册 第三章 圆的基本性质 3.3 垂径定理课件2(新版)浙教版
第4 页
（第9题图） （第10题图）
精选ppt
（第10题答图） 4
B
更上一层楼
B
7
（第11题图） （第12题图）
(1)请分别作出图(1)中两个三角形的最小覆盖圆(要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)．
(2)若在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，则△ABC的最小覆盖圆的半径是_2__._5_____；若在△ABC中， AB＝AC，BC＝6，∠BAC＝120°，则△ABC的最小覆盖圆的半径是_3_____．
精选ppt
（第13题图）
（第14题答图） （第14题图） 5
C
开拓新思路
15．如图所示，在半径为3的⊙O中，B是劣弧AC的中点，连结AB并延长到点D，使BD＝AB，连结AC，BC， CD.如果AB＝2，则CD＝____．
16．我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB的最小覆盖圆就是 以线段AB为直径的圆．
解：如图，连结 OC 交 AB 于点 E，过点 O 作 OF⊥CD 于点 F.
∵C 是A︵B的中点，∴OC⊥AB，
1
即∠CEB＝90°，∵OF⊥CD，∴CF＝2CD＝2 3 m. ∵⊙O 的直径为 8 m，∴OC＝4 m，∴OF＝ OC2－CF2＝2
m＝12OC.
∴∠C＝30°，∴∠APC＝90°－∠C＝60°.
8．【2017·西宁中考】如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，
AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为__________．
201X年秋九年级数学上册 第三章 圆的基本性质 3.3 垂径定理(第1课时)b课件(新版)浙教版
已知CD是直径，CD⊥AB， ⌒ ⌒ 求证：CD平分AB，CD平分AB和ADB
如图∵ CD是直径， CD⊥AB， ∴AM ＝ BM，
C
A M└
B
●O
⌒⌒
⌒⌒
AC ＝BC
AD＝BD.
D
分一条弧成相等的两条弧的点,叫做这条弧的中点.
垂径定理是圆中一个重要的结论，三种形式要相互转化，形 成整体，才能运用自如.
教学目 标
例1、已知A⌒B如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点.
分析:要平分A⌒B,只要画垂直于弦
AB的直径.而这条直径应在弦AB的
垂直平分线上.
A
E
B
作法:
1. 连结AB;
⌒ 2. 作AB的垂直平分线CD,交AB与点E;
⌒ ∴点E就是所求AB的中点.
教学目 标
练一练：
如图，过⊙O内一点P画弦AB，使P是AB的中点.
通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。
教学目 标
合作学习
在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD, 然 后沿着直径所在的直线把纸折叠,你发现了什么?
C OD
圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。
注意： （1）圆的对称轴是直线，不能说每一条直径都是圆的对称轴. （2）圆的对称轴有无数条.
3.3.1垂径定理
同学们都学过赵州桥，因它位于现在的历史文化名城河北省 赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的 巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被誉为“华北四宝之 一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我 国古代劳动人民的创造智慧。
赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图），它的跨度（弧所对的弦长） 为37.4米，拱高（弧的中点到弦AB的距离，也叫弓高）为7.2 米。请问：桥拱的半径（即弧AB所在圆的半径）是多少？
3.3 垂径定理(选学)(课件)九年级数学上册(浙教版)
的半径为_________.
解：设弧CED所在圆的半径为r，
∵M是CD的中点，EM⊥CD，
1
∴EM过圆心O，CM= CD=2，
2
如图，连接OC，
∵EM=6，∴OM=6-r，
10
2
2
2
2
2
2
在Rt△OCM中，OC =CM +OM ，即r =2 +(6-r) ，解得：r= ．
3
当堂检测
5.如图所示，⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦， AM=BM，
由题意可知：OD=3，
∵OD⊥AB，
∴BD= AB= (AC+BC)=4（垂径定理），
∴CD=BD-BC=2，
在Rt△OCD中，OC2=CD2+OD2=22+32=13，
∴OC= .
D
当堂检测
3、如图，AB是⨀O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=6，AB=10，
则AE的长为（ A ）
C
推导格式：
∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件)
⌒ ⌒
⌒ =BC,
⌒ AD
∴ AP=BP, AC
=BD.(结论)
O
·
A
P
D
B
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,
形成整体,才能运用自如.
讲授新课
思考：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
是
不是，因为
没有垂直
典例精析
例1、如图，⨀O的直径AB垂直弦CD于点P，且P为半径OB的中点，若CD=6
，则⨀O的半径长为_________.
九年级数学上册 第3章 圆的基本性质 3.3 垂径定理课件(新版)浙教版
（2）
（3）
（5） （1）（3） （3）（4） （4）
（1） （5）
（2） （3） （4）
（2） （3）
（1） （2） （3） （5） （5）
（1） （4）
（2） （5）
（4）
每条推论如何用语言表示？
B
（1） （4） （5） （1） （2） （3）
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条 弧
AB是⊙O的一条弦，直径CD交AB于M，AM=BM
连接OA，OB，则OA=OB.
在△OAM和△OBM中， ∵OA=OB，OM=OM，AM=BM
∴△OAM≌△OBM.
C
∴∠AMO= ∠ BMO.
M└
●O
D
B ∴CD⊥AB ∵⊙O关于直径CD对称，
∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，
⌒⌒
⌒⌒
AC和BC重合，
(2) E
A O
D
或者油的最大深度ED=OD + OE=450(mm).
练习
如图， △ABC的三个顶点在⊙O上，OE⊥AB于E
，OF ⊥AC于F.
求证：EF∥BC，EF=
1 2 BC
A
E
F
O
∵OE⊥AB ∴E为AB的中点
B
C
∵OF ⊥AC ∴ F为AC的中点
∴EF为三角形ABC的中位线
再来！你行吗？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的 对称轴
（2） 线段： AE=BE
弧：Ａ⌒Ｃ＝Ｂ⌒Ｃ ，Ａ⌒Ｄ＝Ｂ⌒Ｄ
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，
A
3.3 垂径定理第2课时 垂径定理(2) 浙教版数学九年级上册课件
A M
③测量∠MED的度数.
O
C
∠MED=90°，即MN⊥CD. 如果弦CD是直径呢？
EN D
当弦CD是直径时，平分弦的直径不一定垂直于这条弦. M
M1
C
M2 D
O
N2
N1 N
垂径定理的推论1： 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
C
·O
AE
B
D
试
一 你能对垂径定理的推论1进行证明吗？
r
·
探究学习
C
垂径定理：
AP
B
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分
·O
弦所对的弧.
D
反过来，平分弦的直径一定垂直于这条弦吗？平分弧的直 径一定垂直于弧所对的弦吗？
探 请在白纸上画一个以点O为圆心， OA为半(不是直径).
①找到弦CD的中点E； ②过点E作⊙O的直径MN；
2
A CB
O 1.5
2
课堂小结 垂径定理的两个推论： 推论1： 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的弧. 推论2： 平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.
C
·O
AE
B
D
感谢观看！
·O
AE
B
D
试
一 你能对垂径定理的推论2进行证明吗？
试
D
·O
A
PB
C 所以点A与点B重合，即A，B关于直线CD对称，所以CD垂
直平分弦AB，这就证明了推论2.
思 比较垂径定理、推论1、推论2的条件和结论，你 考 发现了什么？ 垂径定理及其推论可以看成由五个事项构成：
①两条弦互相垂直；
②一条弦经过圆心；
③一条弦(不是直径)被平分； ④平分弦所对的一条弧；
浙教版数学九年级上册《3.3垂径定理》说课稿2
浙教版数学九年级上册《3.3 垂径定理》说课稿2一. 教材分析《垂径定理》是浙教版数学九年级上册第三章第三节的内容。
这一节主要介绍了圆中的一个重要定理——垂径定理。
垂径定理是指：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
这个定理在解决与圆相关的问题时非常有用，是圆的基本性质之一。
在教材中，垂径定理是通过探究活动来引导学生发现的。
首先，学生通过观察和动手操作，发现垂直于弦的直径能够平分弦。
然后，学生通过推理和证明，得出垂径定理的一般性结论。
这样的设计既有利于学生直观地理解垂径定理，又能培养学生的观察能力、动手能力和推理能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了初中数学的大部分内容，对数学的基本概念、基本性质和基本定理有一定的了解。
他们在学习垂径定理之前，已经学习了圆的基本概念、圆的性质和圆的运算。
这些知识为基础，学生应该能够顺利地学习垂径定理。
然而，九年级的学生在学习过程中可能会遇到一些问题。
首先，垂径定理的概念比较抽象，学生可能难以理解和接受。
其次，证明过程需要一定的逻辑推理能力，学生可能在这方面遇到困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，帮助学生理解和掌握垂径定理。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解垂径定理的内容，并能够运用垂径定理解决与圆相关的问题。
2.过程与方法目标：学生通过观察、动手操作、推理和证明等过程，培养观察能力、动手能力和推理能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂活动，克服学习中的困难，增强对数学学科的兴趣和自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解并掌握垂径定理的内容。
2.教学难点：学生能够运用垂径定理解决与圆相关的问题，并能够进行推理和证明。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用以下方法和手段：1.探究法：引导学生通过观察、动手操作、推理和证明等方法，自主发现和理解垂径定理。
2.讲解法：在学生自主探究的基础上，进行讲解和解释，帮助学生理解和掌握垂径定理。
浙教版九年级上册数学第3章 圆的基本性质 垂径定理的逆定理
又∵AD＝AD，∴△ABD≌△ACD， ∴BD＝DC，∴AD垂直平分BC. ∴OD＝6cm， ∴AD＝OA－OD＝14－6＝8(cm)．
在Rt△OBD中，BD2＝OB2－OD2＝142－62＝160.
在 Rt△ABD 中， AB＝ AD2＋BD2＝ 82＋160＝4 14(cm)． 综上可知，AB 的长为 4 35 cm 或 4 14 cm.
【答案】15°或75°
易错总结：在求两条弦的夹角时，容易忽略圆的轴对称性 而造成漏解．一般地，分类标准为圆心O在角的外部和圆 心O在角的内部．例如，本题分为圆心O在∠CAB的内部 和圆心O在∠CAB的外部两种情况．
︵ 12．如图，AB，AC是⊙O的两条弦，M，N分别为AB，
A︵C的中点，MN分别交AB，AC于点E，F.判断△AEF
6．如图，△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，∠AOB＝60°， AB＝AC＝2，则弦 BC 的长为( C ) A. 3 B．3 C．2 3 D．4
︵ 7．一种花边是由如图所示的弓形组成的，AB所在圆的半
径为5，弦AB＝8，则弓形的高CD为( ) B
A．1B．2 C．3D．4
8．如图，一条公路弯道处是一段圆弧 AB，点 O 是这段弧所
ZJ版九年级上
第3章圆的基本性质
3．3 垂径定理 第2课时 垂径定理的逆定理
提示：点击 进入习题
1D
2A
3D
4C
5A
答案显示
6C 7B
8C
提示：点击 进入习题
9 25
答案显示
13 见习题
10 8
14 见习题
11 15°或75° 15 见习题 12 见习题
1．如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，AB与CD相交于点
浙教版初中九年级上册数学精品教学课件 第3章 圆的基本性质 3.3 垂径定理
（米）.在中，（米），（米）.筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2米.
知识点2 垂径定理的逆定理 重点
内容
数学语言
图示
定理1
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
定理2
平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.
敲黑板在一个圆中，一条直线只要满足下列五个条件中的任意两个，那么可以推出其他三个：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.简记为“知二推三”.
教材深挖（教材第78页作业题第6题结论）
文字语言
图示
数学语言
两条互相平行的弦所夹的弧相等.
，.
典例2如图，是的弦，是的中点，连结并延长交于点.若，，则的半径为__.
通常连半径构造直角三角形
[解析]如图，连结.
在中，，由勾股定理，得.,,，解得.
,AB=2,OC与AB垂直.
中考常考考点
难度
常考题型
内容
数学语言
图示
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
2.
也可以是半径，甚至可以是过圆心的直线或线段，常见情况如图：
3.相关概念
（1）弧的中点：分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.如表中图，是的中点，是的中点.
（2）弦心距：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.如表中图，的长是弦的弦心距.
第3章 圆的基本性质
3.3 垂径定理
学习目标
1.探索并掌握垂径定理及其逆定理.
2.会运用垂径定理及其逆定理进行简单的计算和证明.
3.会利用垂径定理及其逆定理解决实际问题.
知识点1 垂径定理 重点
九年级数学上册 第三章 圆的基本性质 3.3 垂径定理(第2课时)b课件 (新版)浙教版
在Rt△MOE中，ME＝16，OE＝34－x，由勾股定理得OM2 ＝ME2＋OE2， 即342＝162＋(34－x)2＝162＋342－68x＋x2， 即x2－68x＋256＝0， 解得x1＝4，x2＝64(不合题意，舍去)， ∴DE＝4.∵4＞3.5，∴不需要采取紧急措施．
。
巩教固学提目升
标
6、已知⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝24 cm，CD
＝10 cm，求AB，CD之间的距离
解：当AB，CD如图(1)所示时，过点O作OE⊥CD于点E，交AB 于点F，连结OA，OC. 因为AB∥CD，OE⊥CD，所以OF⊥AB.
巩教固学提目升
标
当AB，CD如图(2)所示时，过点O作OE⊥CD于点E，交AB 于点F，连结OA，OC， 可得OE＝12，OF＝5， 故EF＝OE＋OF＝12＋5＝17， 所以AB，CD之间的距离为17 cm或7 cm.
逆命题2：平分弧的直径垂直于弧所对的弦。
新教课学讲目 解
标
已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，AP=BP. ⌒⌒
求证：CD⊥AB，AC=BC
证明：连结OA，OB，则AO=BO
∴△AOB是等腰三角形 ∵AP=BP ∴CD⊥AB
⌒⌒ ∴AC=BC (垂直于弦的直径平分弦所对的弧)
新教课学讲目 解
∴CD⊥AB
新教课学讲目 解
标
归纳 ：
定理2
平分弧的直径垂直于弧所对的弦 。
新教课学讲目 解
标
如图, 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说.
如果在下列五个条件中: ① CD是直径, ② CD⊥AB,
③ AM=BM,
⌒⌒ ④AC=BC,
2019年秋九年级数学上册 第3章 圆的基本性质 3.3 垂径定理 第1课时 垂径定理导学课件(新版
3.3 垂径定理
知识点二 垂径定理
垂直于弦的直径_平__分_这__条_弦___，并且平分_弦__所_对__的_弧__． 圆心到圆的一条弦的距离叫做__弦_心__距___．
4
3.3 垂径定理
2．如图 3－3－1，CD 是⊙O 的直径，弦 AB⊥CD 于点 E，连结 BC，BD，则下列结论中不一定正确的是( D )
17Байду номын сангаас
3.3 垂径定理
∴两弦之间的距离为 1 cm. 以上解法正确吗？若不正确，请改正．
图 3－3－8
18
3.3 垂径定理
【答案】不正确．还有一种情况，即 EF＝OE＋OF＝7 cm.如图所示．故两弦之间的距 离为 1 cm 或 7 cm.
19
图 3－3－6
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3.3 垂径定理
解：如图，过点 O 作 OD⊥AB 于点 D，DO 的延长线交⊙O 于点 C，连结 OB. 由垂径定理得 CD 垂直平分 AB. CD＝h＝8 mm，OD＝CD－CO＝3 mm. 在 Rt△ODB 中，BD＝ OB2－OD2＝ 52－32＝4(mm)， ∴AB＝2BD＝8 mm. 答：此小孔的直径 d 为 8 mm.
解：连结OA.由垂径定理，得AM＝BM. ∵CD＝15 cm，∴OC＝7.5 cm. 又∵OM∶OC＝3∶5， ∴OM＝4.5 cm. 在Rt△AOM中，由勾股定理，得AM＝＝6(cm)，即AB＝12 cm.
8
3.3 垂径定理
【归纳总结】垂径定理的基本模型 如图 3－3－4，在⊙O 中，OC⊥AB⇒r2＝a22＋h2.
A．AE＝BE B.A︵D＝B︵D C.A︵C＝B︵C D．OE＝DE
图3－3－1
5
3.3 垂径定理
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3．3 垂径定理
反思
在定理“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对 的弧”中，为什么强调弦不是直径？
【答案】因为如果不强调弦不是直径，那么会出现两条相互平分的直径不垂直， 并且也不能平分弦所对的弧的情况．如图，弦 AB 被 CD 平分，但 AB 与 CD 不 垂直，且A︵C≠B︵C.
∴CE＝ OC2－OE2＝4，
∴CD＝2CE＝8(cm)．
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图3－3－10
5
3．3 垂径定理
筑方法
类型一 运用垂径定理的逆定理解决圆中的边角问题
例1 [教材补充例题] 如图3－3－11，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC， 垂足为H，D是的中点，连结AD，OA. 求证：AD平分∠HAO.
图3－3－11
第3章 圆的基本性质
3．3 垂径定理
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1
第3章 圆的基本性质
第2课时 垂径定理的逆定理
学知识 筑方法
勤反思
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2
3．3 垂径定理
学知识
知识点一 垂径定理的逆定理1
平分弦(__不_是__直_径__)的直径_垂__直__于_弦__，并且平分__弦__所_对__的_弧___．
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3．3 垂径定理
1.如图3－3－9，⊙O的直径CD过弦AB的中点E，且CE＝2， DE＝8,AB的长为( B ) A．9 B．8 C．6 D．4
平分弧的直径__垂__直__平_分__弧_所__对__的_弦___．
2．如图3－3－10，AB是⊙O的直径，B是的中点，AB＝10 cm，
OE＝3 cm，则CD的长为_____8___cm.
【解析】 连结 OC，
∵AB 是⊙O 的直径，B 是C︵D的中点，
∴直径 AB⊥弦 CD，∴CE＝DE.
在 Rt△OEC 中，OE＝3，OC＝5，
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3．3 垂径定理
【归纳总结】垂径定理及其逆定理的相互关系 直径垂 直于弦
直径平分弦 （非直径）
直径平分弦 所对的弧
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3．3 垂径定理
勤反思
小结
圆的轴圆对称性 垂径定理的逆定理
定理1
定理2
平分弦（不是直径）的直径 ___垂_直__于_弦___，并且__平_分____弦 所对的弧
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平分弧的直径_垂__直_平__分_ 弧所对的弦
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3．3 垂径定理
解：(1)如图，设点 O 为圆心，连结 OA，OC，OC 交 AB 于点 D. 由题意，得 AB＝16 m，CD＝4 m，A︵C＝B︵C， 所以 OC⊥AB， 所以 AD＝12AB＝12×16＝8(m)． 设⊙O 的半径为 x m，则在 Rt△AOD 中， OA2＝AD2＋OD2，即 x2＝82＋(x－4)2， 解得 x＝10. 所以该桥拱的半径为 10 m.
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3．3 垂径定理
类型二 综合运用垂径定理及其逆定理解决问题
例2 [教材例3拓展] 有一座桥，桥拱是圆弧形(水面以上部分)，测
量时只测到桥下水面宽AB为16 m(如图3－3－12)，桥拱最高
处点C离水面4 m.
(1)求该桥拱的半径；
(2)若大雨过后，桥下水面宽度为12 m， 则水面涨高了多少？
图3－3－12
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3．3 垂径定理
证明：连结OD，交BC于点E. ∵D是的中点，∴OD⊥BC. 又∵AH⊥BC，∴OD∥AH， ∴∠ODA＝∠DAH. ∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD， ∴∠OAD＝∠DAH， ∴AD平分∠HAO.
【归纳总结】借助垂径定理的逆定理添加辅助线的思路
(1)连结圆心与弦的中点；(2)连结圆心与弧的中点．
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3．3 垂径定理
(2)设水面上涨到 EF 位置(如图)． 此时 EF＝12 m，EF∥AB，有 OC⊥EF(设垂足为 M)， 所以 EM＝12EF＝12×12＝6(m)． 连结 OE，则有 OE＝10 m， 所以 OM＝ OE2－EM2＝ 102－62＝8(m)． 又因为 OD＝OC－CD＝10－4＝6(m)， 所以 OM－OD＝8－6＝2(m)， 即大雨过后，水面涨高了∴CD＝10， ∴OB＝OC＝5，OE＝5－2＝3. ∵直径 CD 过弦 AB 的中点 E， ∴CD⊥AB，∴AE＝BE. 在 Rt△OBE 中，∵OE＝3，OB＝5， ∴BE＝ OB2－OE2＝4， ∴AB＝2BE＝8.
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图3－3－9
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3．3 垂径定理
知识点二 垂径定理的逆定理2