奇偶性的典型例题

函数的奇偶性

一、关于函数的奇偶性的定义

定义说明：对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ：

⑴)()(x f x f =- ⇔)(x f 是偶函数；

⑵)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；

函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。

二、函数的奇偶性的几个性质

①、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；

②、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；

③、可逆性： )()(x f x f =- ⇔)(x f 是偶函数；

)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；

④、等价性：)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f

)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f

⑤、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；

⑥、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、

非奇非偶函数。

三、函数的奇偶性的判断

判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：

第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，判断步骤如下：

①、定义域是否关于原点对称；

②、数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立；

例1：判断下列各函数是否具有奇偶性

⑴、x x x f 2)(3+= ⑵、2

432)(x x x f += ⑶、1

)(2

3--=x x x x f ⑷、2)(x x f = []2,1-∈x

⑸、x x x f -+-=22)( ⑹、2211)(x x x f -+-=

解：⑴为奇函数 ⑵为偶函数 ⑶为非奇非偶函数

⑷为非奇非偶函数 ⑸为非奇非偶函数 ⑹既是奇函数也是偶函数

注：教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。

例2：判断函数⎩⎨⎧<≥-=)0()0()(22x x x

x x f 的奇偶性。 .)(),()()

()()()(,0,0)

()()(,0,0)

(0)0(:22222为奇函数故总有有时即当有时即当解x f x f x f x f x x x f x x x f x x x f x x x f f =-∴-=--=-=->-<-=-=--=-<->-==

第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。

四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。

命题 1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分

条件。

此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇非偶函数，这一点可以由奇偶性定义直接得出。

命题2 两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。 此命题错误。一方面，如果这两个函数的定义域的交集是空集，那么它们的和或差没有定义；另一方面，两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数，如f(x)=x(x ∈〔-1,1〕),g(x)=x(x ∈〔-2,2〕)，可以看出函数f(x)与g(x)都是定义域上的函数，它们的差只在区间〔-1，1〕上有定义且f(x)-g(x)=0，而在此区间上函数f(x)-g(x)既是奇函数又是偶函数。

命题3 f(x)是任意函数，那么|f(x)|与f(|x|)都是偶函数。

此命题错误。一方面，对于函数|f(x)|=⎩

⎨⎧<-≥),0)((),(0)((),(x f x f x f x f 不能保证f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)；另一方面，对于一个任意函数f(x)而言，不能保证它的定义域关于原点对称。如果所给函数的定义域关于原点对称，那么函数f(|x|)是偶函数。

命题4 如果函数f(x)满足：|f(x)|=|f(-x)|，那么函数f(x)是奇函数或偶

函数。

此命题错误。如函数f(x)=⎩

⎨⎧∈+=∈=),12(,),2(,2N n n x x N n n x x 从图像上看，f(x)的图像既不关于原点对称，也不关于y 轴对称，故此函数非奇非偶。

命题5 函数f(x)+f(-x)是偶函数，函数f(x)-f(-x)是奇函数。

此命题正确。由函数奇偶性易证。

命题6 已知函数f(x)是奇函数，且f(0)有定义，则f(0)=0。

此命题正确。由奇函数的定义易证。

命题7 已知f(x)是奇函数或偶函数，方程f(x)=0有实根，那么方程f(x)=0的所有实根之和为零；若f(x)是定义在实数集上的奇函数，则方程f(x)=0有奇数个实根。

此命题正确。方程f(x)=0的实数根即为函数f(x)与x 轴的交点的横坐标，由奇偶性的定义可知：若f(x 0)=0，则f(-x 0)=0。对于定义在实数集上的奇函数来说，必有f(0)=0。故原命题成立。

五、关于函数按奇偶性的分类

全体实函数可按奇偶性分为四类：①奇偶数、②偶函数、③既是奇函数也是偶函数、④非奇非偶函数。

六、关于奇偶函数的图像特征

例1：已知偶函数)(x f y =在y 轴右则时的图像如图（一）试画出函数y 轴右则的图像。

七、关于函数奇偶性的简单应用

1、利用奇偶性求函数值

例1：已知8)(3

5-++=bx ax x x f 且10)2(=-f ，那么=)2(f

2、利用奇偶性比较大小

例2：已知偶函数)(x f 在()0,∞-上为减函数，比较)5(-f ，)1(f ，)3(f 的大小。 图（二）

图（一）