奇偶性的典型例题
函数的奇偶性经典例题
精品资料 欢迎下载2．4 函数的奇偶性【知识网络】1．奇函数、偶函数的定义及其判断方法； 2．奇函数、偶函数的图象．3．应用奇函数、偶函数解决问题． 【典型例题】例 1．（ 1）下面四个结论中，正确命题的个数是（ A ）①偶函数的图象一定与 y 轴相交；②函数 f ( x) 为奇函数的充要条件是 f (0) 0 ；③偶函数的图象关于 y 轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f （ x ）=0（ x ∈ R ）．A ． 1B ． 2C ． 3D ．4提示：①不对，如函数 f ( x)1y轴没有交点；②不对，因为奇函 x 2 是偶函数，但其图象与f （ x ）数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为 =0〔 x ∈（－ a ， a ）〕，答案为 A ．（ 2 ）已知函数 f ( x) ax 2 bx 3a b 是偶函数，且其定义域为［a 1, 2a ］，则（）A1 b ＝ 0B ． ab 0C b ＝ 0D ． a 3b ＝ 03提示：由 f (x) ax 2bx 3ab 为偶函数，得 b ＝ 0．又定义域为［ a1, 2a ］，∴ ( a 1) 2a 0 ，∴ a1 ．故答案为 A ．3x 2（ 3）已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时， f ( x)2 x ，则 f ( x) ）在 R 上的表达式是（）A ． y x( x2) B ． y x(| x | 2)C ．y| x |( x 2)D ．y提示：由 x 0 时， f ( x) x 22x ， f ( x) 是定义在 R 上的奇函数得： 当 x ＜ 0 时， x 0 ， f ( x) f ( x) ( x 2 2x) x( x 2) x( x 2) ( x 0) x(| x | 2) ，答案为 D ． ∴ f ( x) x 2) ( x，即 f ( x) x( 0) （ 4）已知 f ( x) x 5 ax 3bx 8 ，且 f ( 2) 10 ，那么 f （2）等于 26 提示： f ( x)8x5ax3bx 为奇函数，f (2) 8 18 ，∴ f (2) 818（ 5）已知 f ( x) 是偶函数，g (x) 是奇函数，若1f (x) g( x)，则x1x(| x | 2)，∴ f (2) 26．f ( x) 的解析式为提 示 ： 由 f ( x) 是 偶 函 数 ， g (x) 是奇函数，可得1 ， 联 立f ( x)g (x)x1f ( x) g( x)111111x 1 ，得： f ( x) 2 ( x1x 1 )x21， ∴ f (x)1x2例 2．判断下列函数的奇偶性：（ 1 ） f ( x) (x 1) 1x； (2) f ( x) 1 x2x 2 1 ；1 x2x 2x ( x 0)（ 3 ） f (x)lg(1 x ) ；（ 4） f ( x)x 2 x．| x 2 2 | 2( x 0)解：（ 1）由1 x1,1)，关于原点不对称，∴f (x) 为非奇非偶函数．10 ，得定义域为 [x(2)1x20x2 1 x 1 ，∴ f ( x)0 ∴ f ( x) 既是奇函数又是偶函数．x210（3）由1x20得定义域为 (1,0)(0,1) ，∴f ( x)lg(1x)2lg(1x)2| x22|2 0( x22) 2x2，∵ f (x)lg[1(x) 2 ]lg(1x2 )f (x)∴ f ( x) 为偶函数(x) 2x2（ 4）当x0 时，x0 ，则 f ( x)( x)2x(x2x) f (x) ，当 x0 时， x0 ，则 f (x) ( x) 2x( x2x) f (x) ，综上所述，对任意的x(,) ，都有 f (x) f ( x)，∴ f ( x) 为奇函数．例 3．若奇函数 f ( x) 是定义在（1，1）上的增函数，试解关于 a 的不等式：f ( a 2) f ( a 24) 0．解：由已知得 f ( a 2) f ( a24)因 f(x) 是奇函数，故 f (a24) f (4a2 ) ，于是 f (a2) f (4 a2 ) ．又 f ( x) 是定义在（1， 1）上的增函数，从而a24 a 23a21 a211a33a21a2415a或3a5 3即不等式的解集是(3,2) ．例 4．已知定义在 R 上的函数 f ( x)对任意实数x、y，恒有 f ( x) f ( y) f ( x y) ，且当 x 0时， f ( x)0 ，又 f (1)2．3（1）求证： f ( x)为奇函数；（ 2）求证：f(x ) 在R上是减函数；（3）求 f ( x) 在[3，6]上的最大值与最小值．（1）证明：令x y0 ，可得 f (0) f (0) f (0 0) f (0)，从而， f(0) = 0 ．令y x，可得 f ( x) f (x) f ( x x) f (0)0 ，即 f ( x) f (x)，故 f ( x ) 为奇函数．（2）证明：设x1 , x2∈R，且 x1x2，则 x1x20 ，于是 f ( x1 x2 )0 ．从而f ( x1 ) f ( x2 ) f [( x1x2 ) x2 ] f ( x2 ) f ( x1x2 ) f (x2 ) f ( x2 ) f ( x1x2 ) 0所以， f ( x) 为减函数．（3）解：由（2）知，所求函数的最大值为 f ( 3) ，最小值为 f (6) ．f (3) f (3)[ f (2) f (1)][2 f (1) f (1)] 3 f (1)2f (6) f (6)[ f (3) f (3)]4于是， f ( x)在 [-3，6]上的最大值为2，最小值为-4．【课内练习】1．下列命题中，真命题是（ C ）A ．函数 y1是奇函数，且在定义域内为减函数xB ．函数 y x 3 ( x 1)0 是奇函数，且在定义域内为增函数C ．函数 y x 2 是偶函数，且在（3， 0）上为减函数D ．函数 yax 2 c(ac 0) 是偶函数，且在（0， 2）上为增函数提示： A 中， y 1B 中，函数的定义域不关于原点对称； D 中，在定义域内不具有单调性；x当 a 0 时， y ax 2 c(ac0) 在（ 0， 2）上为减函数，答案为 C ．2． 若(x) ， g (x) 都是奇函数， f ( x)a ( x) bg ( x)2 在（ 0，＋∞）上有最大值5 ，则 f (x) 在（－∞， 0）上有（ ）A ．最小值－ 5B ．最大值－ 5C ．最小值－ 1D ．最大值－ 3提示：( x) 、 g( x) 为奇函数，∴ f ( x)2 a (x)bg( x) 为奇函数．又 f (x) 有最大值 5，∴－ 2 在（ 0，＋∞）上有最大值3．∴ f (x) － 2 在 (, 0) 上有最小值－ 3，∴ f ( x) 在 ( , 0) 上有最小值－ 1．答案为 C ．3．定义在 R 上的奇函数 f ( x) 在（ 0， +∞）上是增函数，又 f ( 3) 0 ，则不等式 xf ( x)的解集为（ A ）A ．（－ 3， 0）∪（ 0， 3）B ．（－∞，－ 3）∪（ 3， +∞）C ．（－ 3， 0）∪（ 3， +∞）D ．（－∞，－ 3）∪（ 0， 3） 提示：由奇偶性和单调性的关系结合图象来解．答案为 A ．4. 已知函数 y f ( x) 是偶函数， yf ( x2) 在［ 0，2］上是单调减函数，则（ A ）A . f (0) f ( 1) f (2)B . f ( 1) f (0)f (2) C.f ( 1) f (2) f (0)D.f (2) f ( 1)f (0)提示：由 f （ x － 2）在［ 0， 2］上单调递减，∴ f ( x) 在［－ 2， 0］上单调递减 .∵ y f ( x) 是偶函数，∴f ( x) 在［ 0， 2］上单调递增 . 又 f ( 1) f (1) ，故应选 A .5．已知 f ( x) 奇函数，当 x ∈（ 0，1）时， f ( x) lg 1 ，那么当 x ∈（－ 1，0）时， f ( x)的表达式是 lg(1 x) ．1 x提示：当 x（－ 1，0）时， x ∈（ 0， 1），∴ f ( x)f ( x)lg 1lg(1 x) ．x2 ax是奇函数，则a 20071 6．已知 f ( x)log 3 ＋ 2007a = 2008．a x提示：f (0) log 32a0 ，2a1 ，解得： a 1 ，经检验适合， a 20072007a 2008 ．aa7．若 f ( x) 是偶函数，当 x ∈［ 0，+∞) 时， f ( x) x 1，则 f (x 1) 0的解集是 { x | 0 x 2}提示：偶函数的图象关于 y 轴对称，先作出 f ( x) 的图象，由图可知 f ( x) 0的解集为 { x | 1 x 1} ，∴ f ( x 1) 0 的解集为 { x | 0 x 2} .8．试判断下列函数的奇偶性：（1） f ( x) | x2| | x 2| ； （ 2） f ( x)1 x2 ； （ 3） f ( x)| x |( x 1)0 ． x 33x解：（ 1）函数的定义域为 R ， f ( x) | x2|| x 2| | x2|| x 2|f (x) ，故 f (x) 为偶函数．1 x2 0x1且 x 0 ，定义域为 [ 1, 0)(0, 1] ，关于原点对称，（2）由3| 得： 1| x3 01 x2 1 x2x) 1 x 2f ( x)3x，f (f ( x) ，故 f ( x) 为奇函数．x 3x（ 3）函数的定义域为 (- ∞， 0)∪ (0，1)∪ (1，+∞ )，它不关于原点对称，故函数既非奇函数，又非偶函数．9．已知函数 f (x) 对一切 x, y R ，都有 f ( x y)f (x)f ( y) ，若 f ( 3)a ，用 a表示 f (12) ．解：显然 f (x) 的定义域是 R ，它关于原点对称．在f ( x y)f (x) f ( y) 中，令 y x ，得 f (0)f ( x) f ( x) ，令 xy0 ，得 f (0)f (0)f (0) ，∴ f (0) 0 ，∴ f ( x) f ( x) 0 ，即 f ( x) f ( x) ， ∴ f (x) 是奇函数．∵ f ( 3) a ， ∴ f (12) 2 f (6)4 f (3) 4 f ( 3)4a ．10．已知函数 f ( x)ax 21b, c Z ) 是奇函数，又， f (1)2 ， f (2)3 ，求 a 、 b 、 cbx ( a, 的值 .c解：由 f ( x) f ( x) 得 bxc (bx c) ∴c=0. 又 f (1)2 ，得 a 12b ，而 f (2) 3 ，得4a1 3 ，解得 1 a2 .a 1又 a Z ，∴ a 0 或 a 1.若 a 0 ，则 b= 1 Z ，应舍去；若 a 1 ，则 b=1 ∈Z.2∴ a 1, b 1, c 0 .。
函数的奇偶性的典型例题
函数的奇偶性的典型例题函数的奇偶性的判断判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，判断步骤如下：①、定义域是否关于原点对称；②、数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立；例1：判断下列各函数是否具有奇偶性⑴、x x x f 2)(3+= ⑵、2432)(x x x f += ⑶、1)(23--=x x x x f ⑷、2)(x x f = []2,1-∈x / ⑸、x x x f -+-=22)( ⑹、2211)(x x x f -+-=解：⑴为奇函数 ⑵为偶函数 ⑶为非奇非偶函数⑷为非奇非偶函数 ⑸为非奇非偶函数 ⑹既是奇函数也是偶函数注：教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。
例2：判断函数⎩⎨⎧<≥-=)0()0()(22x x x x x f 的奇偶性。
.)(),()()()()()(,0,0)()()(,0,0)(0)0(:22222为奇函数故总有有时即当有时即当解x f x f x f x f x x x f x x x f x x x f x x x f f =-∴-=--=-=->-<-=-=--=-<->-==第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。
四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。
~命题 1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。
此命题正确。
如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇非偶函数，这一点可以由奇偶性定义直接得出。
命题2 两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。
数学运算必会考点：奇偶性
数学运算必会考点：奇偶性今天我们来讲一下行测数学运算必会考点奇偶性，奇偶性说起来其实很简单，但是大家在具体运用的时候可能并不理想，如果能把握好奇偶性，有些题目就可以达到秒杀的效果。
一、奇偶性基础知识奇数±奇数=偶数；奇数±偶数=奇数；偶数±偶数=偶数；奇数×奇数=奇数；奇数×偶数=偶数；偶数×偶数=偶数。
以上是奇偶数加减法运算和乘法运算的基本性质，相信很多同学也知道这些性质，那么接下来我们看一下怎么样应用奇偶性起到秒杀的效果。
【例1】一个班级有50位同学，其中男生人数的1/5比女生人数的1/4多1人，请问男生人数比女生人数多几人？A10 B9 C7 D5分析：此题比较简单，列个方程组：男+女=50；男/5-女/4=1；解出来男=30，女=20，即可知道答案A。
但是这个过程其实已经有点复杂了，实际上我们通过：男+女=50，这说明总人数是偶数，而男和女也必然是整数，再进一步分析，因为和是偶数，那么男和女的人数要么同为奇数，要么同为偶数，因此男和女的人数差也必然是偶数，这样我们就可以在几秒内确定答案A，而不需要列方程解方程这个办法。
二、奇偶性理论进阶通过以上一个简单的例题，我们发现其实如果用好奇偶性，确实能起到秒杀的效果，那么接下来就有一个问题了，如果应用奇偶性我们需要把握哪些知识点？怎么能在第一时间想到应用奇偶性？下面我们来研究这么两个问题。
（一）奇偶性必会推论1.两个整数和的奇偶性与差的奇偶性一致。
2.乘方不改变奇偶性。
3.一个整数乘以奇数不改变原来的奇偶性。
以上三条推论，是我们必须要掌握的结论。
证明很简单，在这里就不详细分析啦。
（二）奇偶性必备思维求和找差，求差找和。
三、奇偶性实战训练【例1】红凤凰，粉凤凰，粉红凤凰，花凤凰，四种凤凰共100只。
红凤凰比粉凤凰多10只，粉凤凰比粉红凤凰多10只，粉红凤凰是花凤凰的2倍，红凤凰是粉红凤凰的2倍，红凤凰与粉凤凰的和比粉红凤凰与花凤凰的和多（）只。
奇偶性问题
奇偶性问题能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的叫做奇数。
奇数平常也叫做单数，偶数也叫做双数。
0也是偶数。
所以。
一个整数不是奇数，就是偶数。
奇数和偶数的运算有如下一些性质：1．偶数±偶数=偶数；奇数±奇数=偶数；偶数±奇数=奇数。
2．奇数×奇数=奇数；奇数×偶数=偶数；偶数×偶数=偶数。
3．如果一个偶数能被奇数整除，那么，商必是偶数。
偶数除以，如果能整除，商可能是奇数，也可能是偶数。
奇数不能被偶数整除。
4．偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1。
例题与方法例1．65个连续自然数相加，和是奇数还是偶数？例2．有一列数：1，3，4，7，11，18，29，…这列数排列的规律是，从第三个数开始，每个数都是前两个数的和。
问：在前50个数中（包括第50个数），有多少个奇数？例3．41名同学参加智力竞赛，竞赛共20道题。
评分方法是：基础分15分，答对一题5分，不答加1分，答错一题倒扣1分。
请说明：所有参赛同学得分的总和一定是奇数。
例4．有一类小于200的自然数，每一个数的各位数之和都奇数，并且每个数都是两个两位数的乘积（如：144=12×12）。
把这一类自然数从大到小排列，第三个数是多少？例5．音乐教室里有7排椅子，每排7把，每把椅子上坐着一个学生，老师每月都要将座位调换一次，张明同学向老师提建议，每个同学都必须与他相邻（前、后、左、右）的某一个同学交换座位。
老师告诉他，这样交换座位不可能做到。
你知道为什么吗？例6．线段AB的两个端点，一个标以红色，一个标经蓝色。
在此线段任意插入93个分点，每个分点随意涂上红色或蓝色，这样，分得94条不重叠的小线段。
如果把两端涂色不同的线段叫做标准线段，问：标准线段的条数是奇数还是偶数？为什么？练习与思考1．两个相邻的奇数的和乘以它们的差得184，这两个奇数各是多少？2．今有12张卡片，每张上面都写着一个一位数。
函数的奇偶性与周期性典型例题
函数的奇偶性和周期性
例1、 已知为定义在上的奇函数，当时，，求的
表达式.
思路点拨：().00上，这是解题的关键的解析式转化到时将<>x x f x 解：∵
为奇函数，且在处有定义0=x ∴ 当 时， ∵
为奇函数 ∴
∴ ∴()()()()⎪⎩
⎪⎨⎧<--=>-=000022x x x x x x x x f
解题回顾：若一个函数具有奇偶性，则不论这个函数是奇函数还是偶函数，它的定义域一定关于原点对称。
如果一个函数定义域不关于原点对称，那么它就失去了奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数又不是偶函数。
变式：已知为定义在上的偶函数，当0≤x 时，，求的
表达式.
例2、 已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对一切x R ∈，总有
()()x f x f =+4，若()263=f ，求()()75f f 与的大小关系 思路点拨：解此题的关键由()()x f x f =+4知函数的周期是4. 解：对一切x R ∈，总有f （x+4）=f （x ），故函数)(x f 是周期为4的函数，因此，,2)1(=-f 又函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以，.2)7(,2)5(,2)1(=-=∴-=f f f )7()5(f f <∴。
变式1、已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对一切x R ∈，总有()()x f x f -=+2，若()263=f ，则()()75f f 与的大小关系是
变式2、已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对一切x R ∈，总有()()
x f x f 12=+，若()263=f ，求()()75f f 与的大小关系。
函数的奇偶性的典型例题
第一种方法判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查是否与、 相等，判断步骤如下：①、定义域是否关于原点对称；②、数量关系哪个成立；例1：判断下列各函数是否具有奇偶性⑴、 ⑵、⑶、 ⑷、⑸、 ⑹、解：⑴为奇函数 ⑵为偶函数 ⑶为非奇非偶函数⑷为非奇非偶函数 ⑸为非奇非偶函数 ⑹既是奇函数也是偶函数注：教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。
例2：判断函数的奇偶性。
第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。
四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。
命题 1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。
此命题正确。
如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇非偶函数，这一点可以由奇偶性定义直接得出。
命题2 两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。
此命题错误。
一方面，如果这两个函数的定义域的交集是空集，那么它们的和或差没有定义；另一方面，两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数，如f(x)=x(x∈〔-1,1〕),g(x)=x(x∈〔-2,2〕)，可以看出函数f(x)与g(x)都是定义域上的函数，它们的差只在区间〔-1，1〕上有定义且f(x)-g(x)=0，而在此区间上函数f(x)-g(x)既是奇函数又是偶函数。
)(x f )(x f -)(x f )()(x f x f ±=-x x x f 2)(3+=2432)(x x x f +=1)(23--=x x x x f 2)(x x f =[]2,1-∈x x x x f -+-=22)(2211)(x x x f -+-=⎩⎨⎧<≥-=)0()0()(22x x x x x f .)(),()()()()()(,0,0)()()(,0,0)(0)0(:22222为奇函数故总有有时即当有时即当解x f x f x f x f x x x f x x x f x x x f x x x f f =-∴-=--=-=->-<-=-=--=-<->-==命题3 f(x)是任意函数，那么|f(x)|与f(|x|)都是偶函数。
函数奇偶性的六类经典题型
奇偶性类型一：判断奇偶性[例1] 判断下列函数奇偶性（1）（且）（2）（3）（4）（5）解：（1）且∴奇函数（2），关于原点对称∴奇函数（3），关于原点对称∴既奇又偶（4）考虑特殊情况验证：；无意义；∴非奇非偶（5）且，关于原点对称∴为偶函数类型二：根据奇偶性求解析式1.函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝x＋1，则当x<0时，f(x)＝________.解析：∵f(x)为奇函数，x>0时，f(x)＝x＋1，∴当x<0时，－x>0，f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)， 即x <0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1.答案：－－x －1 2.求函数的解析式 （1）为R 上奇函数，时，，解：时，∴∴ （2）为R 上偶函数，时，解：时，∴类型三：根据奇偶性求参数1.若函数f(x)= xln （2a x +a=【解题指南】f(x)= xln （x+2a x +2ln()y x a x =+是奇函数，利用()()0f x f x -+=确定a 的值.【解析】由题知2ln()y x a x =+是奇函数，所以22ln()ln()x a x x a x ++-+=22ln()ln 0a x x a +-==，解得a =1. 答案：1.2.函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 3为奇函数，则a ＝______.解析：由题意知，g (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，∴a ＝－1. 答案：－13.已知f (x )＝3ax 2＋bx －5a ＋b 是偶函数，且其定义域为[6a －1，a ]，则a ＋b ＝( )A.17 B ．－1 C ．1D ．7解析：选A 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a －1＋a ＝0，所以a ＝17.又f (x )为偶函数，所以3a (－x )2－bx －5a ＋b ＝3ax 2＋bx －5a ＋b ，解得b ＝0，所以a ＋b ＝17.4.若函数f(x)＝2x －|x ＋a|为偶函数，则实数a ＝______. （特殊值法） 解析：由题意知，函数f(x)＝2x －|x ＋a|为偶函数，则f(1)＝f(－1)， ∴1－|1＋a|＝1－|－1＋a|，∴a ＝0. 答案：05.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ， x ≤0，ax 2＋bx ， x >0为奇函数，则a ＋b ＝________.（待定系数法）解析：当x >0时，－x <0， 由题意得f (－x )＝－f (x )， 所以x 2－x ＝－ax 2－bx ， 从而a ＝－1，b ＝1，a ＋b ＝0. 答案：06.（1），为何值时，为奇函数； （2）为何值时，为偶函数。
函数的单调性和奇偶性经典例题
经典例题透析类型一、函数的单调性的证明1．证明函数上的单调性.证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)，令△x=x2-x1>0则∵x1>0，x2>0，∴∴上式<0，∴△y=f(x2)-f(x1)<0∴上递减.总结升华：[1]证明函数单调性要求使用定义；[2]如何比较两个量的大小？(作差)[3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形)举一反三：【变式1】用定义证明函数上是减函数.思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径.证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x1<x2，则∵0<x1<x2≤1 ∴x1-x2<0，0<x1x2<1 ∵0<x1x2<1故，即f(x1)-f(x2)>0∴x1<x2时有f(x1)>f(x2) 上是减函数.总结升华：可以用同样的方法证明此函数在上是增函数；在今后的学习中经常会碰到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象.类型二、求函数的单调区间2. 判断下列函数的单调区间；(1)y=x2-3|x|+2；(2)解：(1)由图象对称性，画出草图∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增.(2)∴图象为∴f(x)在上递增.举一反三：【变式1】求下列函数的单调区间：(1)y=|x+1|；(2)(3).解：(1)画出函数图象，∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)；(2)定义域为，其中u=2x-1为增函数，在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数；(3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞).总结升华：[1]数形结合利用图象判断函数单调区间；[2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关.[3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化→复合函数为增函数；内外层函数反向变化→复合函数为减函数.类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小.解：又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则.4. 求下列函数值域：(1)；1)x∈[5，10]；2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；(2)y=x2-2x+3；1)x∈[-1，1]；2)x∈[-2，2].思路点拨：(1)可应用函数的单调性；(2)数形结合.解：(1)2个单位，再上移2个单位得到，如图1)f(x)在[5，10]上单增，；2)；(2)画出草图1)y∈[f(1)，f(-1)]即[2，6]；2).举一反三：【变式1】已知函数.(1)判断函数f(x)的单调区间；(2)当x∈[1，3]时，求函数f(x)的值域.思路点拨：这个函数直接观察恐怕不容易看出它的单调区间，但对解析式稍作处理，即可得到我们相对熟悉的形式.，第二问即是利用单调性求函数值域.解：(1)上单调递增，在上单调递增；(2)故函数f(x)在[1，3]上单调递增∴x=1时f(x)有最小值，f(1)=-2 x=3时f(x)有最大值∴x∈[1，3]时f(x)的值域为.5. 已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上是增函数，求：(1)实数a的取值范围；(2)f(2)的取值范围.解：(1)∵对称轴是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知只需；(2)∵f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又∵a≤2，∴-2a≥-4∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7 .举一反三：【变式1】（2011 北京理13）已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________.解：单调递减且值域(0,1]，单调递增且值域为，由图象知，若有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1）.类型四、判断函数的奇偶性6. 判断下列函数的奇偶性：(1)(2)(3)f(x)=x2-4|x|+3 (4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)(6(7)思路点拨：根据函数的奇偶性的定义进行判断.解：(1)∵f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；(2)∵x-1≥0，∴f(x)定义域不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数；(3)对任意x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数；(4)∵x∈R，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(5)，∴f(x)为奇函数；(6)∵x∈R，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(7)，∴f(x)为奇函数.举一反三：【变式1】判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)f(x)=|x+1|-|x-1|；(3)f(x)=x2+x+1；(4).思路点拨：利用函数奇偶性的定义进行判断.解：(1)；(2)f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x) ∴f(x)为奇函数；(3)f(-x)=(-x)2+(-x)+1=x2-x+1∴f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x) ∴f(x)为非奇非偶函数；(4)任取x>0则-x<0，∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)任取x<0，则-x>0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)x=0时，f(0)=-f(0) ∴x∈R时，f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数.举一反三：【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x)G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x)∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.类型五、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)7．已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).解：法一：∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10∴8a-2b=-50 ∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数∴g(-2)=-g(2) ∴f(-2)+8=-f(2)-8∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.举一反三：【变式1】（2011 湖南文12）已知为奇函数，，则为：解：，又为奇函数，所以．8. f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=x2-x，求当x≥0时，f(x)的解析式，并画出函数图象.解：∵奇函数图象关于原点对称，∴x>0时，-y=(-x)2-(-x)即y=-x2-x又f(0)=0，，如图9．设定义在[-3，3]上的偶函数f(x)在[0，3]上是单调递增，当f(a-1)<f(a)时，求a的取值范围.解：∵f(a-1)<f(a) ∴f(|a-1|)<f(|a|)而|a-1|，|a|∈[0，3].类型六、综合问题10．定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，给出下列不等式，其中成立的是_________.①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b)；②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b)；③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a)；④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a).答案：①③.11. 求下列函数的值域：(1)(2)(3)思路点拨：(1)中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；(2)由单调性求值域，此题也可换元解决；(3)单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时t 的范围.解：(1)；(2)经观察知，，；(3)令.12. 已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1.(1)若函数f(x)在区间[0，2]上是单调的，求实数a的取值范围；(2)当x∈[-1，1]时，求函数f(x)的最小值g(a)，并画出最小值函数y=g(a)的图象.解：(1)∵f(x)=(x-a)2-1 ∴a≤0或a≥2(2)1°当a<-1时，如图1，g(a)=f(-1)=a2+2a2°当-1≤a≤1时，如图2，g(a)=f(a)=-13°当a>1时，如图3，g(a)=f(1)=a2-2a，如图13. 已知函数f(x)在定义域(0，+∞)上为增函数，f(2)=1，且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x-2)≤3.解：令x=2，y=2，∴f(2×2)=f(2)+f(2)=2 ∴f(4)=2再令x=4，y=2，∴f(4×2)=f(4)+f(2)=2+1=3 ∴f(8)=3∴f(x)+f(x-2)≤3可转化为：f[x(x-2)]≤f(8).14. 判断函数上的单调性，并证明.证明：任取0<x1<x2，∵0<x1<x2，∴x1-x2<0，x1·x2>0(1)当时0<x1·x2<1，∴x1·x2-1<0∴f(x1)-f(x2)>0即f(x1)>f(x2)上是减函数.(2)当x1，x2∈(1，+∞)时，上是增函数.难点：x1·x2-1的符号的确定，如何分段.15. 设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1，x∈R，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值. 解：当a=0时，f(x)=x2+|x|+1，此时函数为偶函数；当a≠0时，f(x)=x2+|x-a|+1，为非奇非偶函数.(1)当x≥a时，[1]且[2]上单调递增，上的最小值为f(a)=a2+1.(2)当x<a时，[1]上单调递减，上的最小值为f(a)=a2+1[2]上的最小值为综上：.。
函数奇偶性经典例题
函数的奇偶性一、典型例题例1 判断下列函数的奇偶性（1）1()(1)1x f x x x +=-- （2）2lg(1)()|2|2x f x x -=--（3）22(0)()(0)x x x f x x xx ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩ （4）22()11f x x x =--（5）()11f x x x =-+- （6）2211()11x x f x x x ++-=+++例2 已知()f x 是R 上的奇函数，且当(0,)x ∈+∞时，3()(1)f x x x =+，则()f x 的解析式为________________.例 3 ①已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有)()1()1(x f x x xf +=+，则)25(f 的值是________________.②已知()f x 是奇函数,满足()()2f x f x += ,当[]0,1x ∈时,()21xf x =- ,则=)2(f _____,21log 24f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是_________ .例 4 ()f x 和()g x 的定义域都是非零实数，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且21()()1f xg x x x +=-+，求()()f x g x 的取值范围。
二、课后练习1、判断下列函数的奇偶性（1）x xy a a -=+ （2）x xy a a-=-（3）x x x xa a y a a ---=+ （4）11x x a y a -=+（5）1log 1a x y x-=+ （6）2log (1)a y x x =+-（7）若0,1,()a a F x >≠是一个奇函数，讨论11()()12xG x F x a ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭的奇偶性。
2、设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22xf x x b =++ (b 为常数)，则(1)f -=（ ）(A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3 3、已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+， （1）求证：()f x 是奇函数； （2）若(3)f a -=，用a 表示(12)f4、已知3()sin 4f x a x b x =++（,a b 为实数）且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f =____5、函数1(1)1y x x =≠±-可以表示成一个偶函数()f x 与一个奇函数()g x 的和，则()f x =____6、已知)(x f y =是偶函数,当0>x 时,2)1()(-=x x f ;若当⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈21,2x 时,m x f n ≤≤)(恒成立,则n m -的最小值为( ) A.1 B. 21 C. 31 D. 43。
函数的奇偶性(含习题练习)
2 2 函数的奇偶性1.函数奇偶性的定义及图象特点判断f (-x) 与 f (x)的关系时，也可以使用如下结论：如果 f (-x) -f (x)= 0 或f (-x)= 1( f (x) ≠ 0) f (x) ，则函数 f (x)为偶函数；如果 f (-x) +f (x)= 0 或f (-x)=-1( f (x) ≠ 0) ，则函数f (x)为奇函数．f (x)注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，-x也在定义域内（即定义域关于原点对称）．定义:设y =f (x) ，x ∈A，如果对于任意x ∈A，都有f (-x) =f (x) ，则称y =f (x) 为偶函数。
如果对于任意x ∈A，都有f (-x) =-f (x) ，则称y =f (x) 为奇函数。
证明：任意一个定义域关于原点对称的函数均可以写为一个奇函数和偶函数之和且唯一。
若函数 f (x) 的定义域关于原点对称，则 f (x) 可以表示为f(x)=1⎡⎣f(x)+f(-x)⎤⎦+1⎡⎣f(x)-f(-x)⎤⎦，该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和。
2.性质：① y =f (x) 是偶函数⇔y =f (x) 的图象关于y 轴对称;y=f(x)是奇函数⇔y =f (x) 的图象关于原点对称。
②若奇函数定义域中有 0，则必有f (0) = 0．即0 ∈f (x) 的定义域时，f (0) = 0是f (x) 为奇函数的必要非充分条件．对于偶函数而言有：f (-x) =f (x) =f (| x |) 。
既奇又偶函数有无穷多个（f (x) = 0 ，定义域是关于原点对称的任意一个数集）。
③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[两函数的定义域D1，D2，D1∩D2要关于原点对称]④奇函数的导函数为偶函数，偶函数的导函数为奇函数。
《函数的单调性和奇偶性》经典例题
类型二、求函数的单调区间2. 判断下列函数的单调区间；(1)y=x2-3|x|+2；(2)解：(1)由图象对称性，画出草图∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增.(2)∴图象为∴f(x)在上递增.举一反三：【变式1】求下列函数的单调区间：(1)y=|x+1|；(2)(3).解：(1)画出函数图象，∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)；(2)定义域为，其中u=2x-1为增函数，在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数；(3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞). 类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小.解：又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则.4. 求下列函数值域：(1)；1)x∈[5，10]；2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；(2)y=x2-2x+3；1)x∈[-1，1]；2)x∈[-2，2].1)f(x)在[5，10]上单增，；2)；(2)画出草图1)y∈[f(1)，f(-1)]即[2，6]；2).举一反三：【变式1】已知函数.(1)判断函数f(x)的单调区间；(2)当x∈[1，3]时，求函数f(x)的值域.解：(1)上单调递增，在上单调递增；(2)故函数f(x)在[1，3]上单调递增∴x=1时f(x)有最小值，f(1)=-2 x=3时f(x)有最大值∴x∈[1，3]时f(x)的值域为.5. 已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上是增函数，求：(1)实数a的取值范围；(2)f(2)的取值范围.解：(1)∵对称轴是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知只需；(2)∵f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又∵a≤2，∴-2a≥-4∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7 .举一反三：【变式1】（2011 北京理13）已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________.解：单调递减且值域(0,1]，单调递增且值域为，由图象知，若有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1）.类型四、判断函数的奇偶性6. 判断下列函数的奇偶性：(1)(2)(3)f(x)=x2-4|x|+3(4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)(6(7)解：(1)∵f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；(2)∵x-1≥0，∴f(x)定义域不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数；(3)对任意x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数；(4)∵x∈R，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(5)，∴f(x)为奇函数；(6)∵x∈R，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(7)，∴f(x)为奇函数.举一反三：【变式1】判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)f(x)=|x+1|-|x-1|；(3)f(x)=x2+x+1；(4).思路点拨：利用函数奇偶性的定义进行判断.解：(1)；(2)f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x) ∴f(x)为奇函数；(3)f(-x)=(-x)2+(-x)+1=x2-x+1∴f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x) ∴f(x)为非奇非偶函数；(4)任取x>0则-x<0，∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)任取x<0，则-x>0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)x=0时，f(0)=-f(0) ∴x∈R时，f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数.类型五、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)7．已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).解：法一：∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10∴8a-2b=-50 ∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数∴g(-2)=-g(2) ∴f(-2)+8=-f(2)-8∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.举一反三：【变式1】（2011 湖南文12）已知为奇函数，，则为：解：，又为奇函数，所以．8. f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=x2-x，求当x≥0时，f(x)的解析式，并画出函数图象.解：∵奇函数图象关于原点对称，∴x>0时，-y=(-x)2-(-x)即y=-x2-x又f(0)=0，，如图9．设定义在[-3，3]上的偶函数f(x)在[0，3]上是单调递增，当f(a-1)<f(a)时，求a的取值范围.解：∵f(a-1)<f(a) ∴f(|a-1|)<f(|a|)而|a-1|，|a|∈[0，3].类型六、综合问题10．定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，给出下列不等式，其中成立的是_________.①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b)；②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b)；③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a)；④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a).答案：①③.11. 求下列函数的值域：(1)(2)(3)思路点拨：(1)中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；(2)由单调性求值域，此题也可换元解决；(3)单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时t 的范围.解：(1)；(2)经观察知，，；(3)令.12. 已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1.(1)若函数f(x)在区间[0，2]上是单调的，求实数a的取值范围；(2)当x∈[-1，1]时，求函数f(x)的最小值g(a)，并画出最小值函数y=g(a)的图象.解：(1)∵f(x)=(x-a)2-1 ∴a≤0或a≥2(2)1°当a<-1时，如图1，g(a)=f(-1)=a2+2a2°当-1≤a≤1时，如图2，g(a)=f(a)=-13°当a>1时，如图3，g(a)=f(1)=a2-2a，如图13. 已知函数f(x)在定义域(0，+∞)上为增函数，f(2)=1，且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x-2)≤3.解：令x=2，y=2，∴f(2×2)=f(2)+f(2)=2 ∴f(4)=2再令x=4，y=2，∴f(4×2)=f(4)+f(2)=2+1=3 ∴f(8)=3∴f(x)+f(x-2)≤3可转化为：f[x(x-2)]≤f(8).14. 判断函数上的单调性，并证明.证明：任取0<x1<x2，∵0<x1<x2，∴x1-x2<0，x1·x2>0(1)当时0<x1·x2<1，∴x1·x2-1<0∴f(x1)-f(x2)>0即f(x1)>f(x2)上是减函数.(2)当x1，x2∈(1，+∞)时，上是增函数.15. 设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1，x∈R，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值. 解：当a=0时，f(x)=x2+|x|+1，此时函数为偶函数；当a≠0时，f(x)=x2+|x-a|+1，为非奇非偶函数.(1)当x≥a时，[1]且[2]上单调递增，上的最小值为f(a)=a2+1.(2)当x<a时，[1]上单调递减，上的最小值为f(a)=a2+1[2]上的最小值为综上：.。
函数奇偶性例题
函数奇偶性题型一：奇偶性判断（两大步骤） 1.一般函数： 例1：（1）2()[1,2]f x xx =∈- （2）32()1x x f x x -=-（3）4()f x x = （4）5()f x x = （5）1()f x x x =+（6）21()f x x =（7）()2211x x x f -+-=2，含参数函数例1：f(x)=R a a x a x ∈--+,例2.设a 为实数，函数2()||1f x x x a =+-+，x R ∈．()1讨论()f x 的奇偶性； ()2求 ()f x 的最小值．例3.（07上海，本题满分14分）已知函数2()af x x x=+(0x ≠，常数)a R ∈. ()1讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由()2若()f x 在[)2,x ∈+∞上是增函数，求a 的取值范围.3.分段函数例1：⎪⎩⎪⎨⎧--∈-+∈--=]1,6(,4)5()6,1[,4)5()(22x x x x x f 例2：⎪⎩⎪⎨⎧<---=>+-=0,320,00,32)(22x x x x x x x x f4.抽象函数例1：f(a)+f(b)=f(a+b)已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，()1求证：()f x 为奇函数；()2若(3)f a -=，用a 表示(12)f例2：f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b)设函数f （x ）定义在R 上，f （0）≠0，且对于任意a ，b ∈R ，都有f （a+b ）+f （a-b ）=2f （a ）f （b ）．（1）求证：f （x ）为偶函数；（2）若存在正数m 使f （m ）=0，求证：f （x ）为周期函数． 5,指数函数例：f(x)=xx 214+6,对数函数 例：f(x)=xxa-+11log 题型二：利用奇偶性求值问题1.8)(35-++=bx ax x x f ，f(2)=10,求f(2)的值2.xx e aa e x f +=)(（a>0）是定义在R 上的偶函数 （1）.求a 的值（2）.求证f(x)在（0，+∞）是增函数 3.f(x)=）0(212≠--x a x是奇函数，求实数a 的值 4.设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则=)5(f （ ）A ．0B ．1C ．25 D ．55.已知函数()f x 是奇函数，且(3)(3),(1)5f x f x f +=-=，则f(7)= 题型三：利用奇偶性求解析式问题例1：已知f(x)是R 上的奇函数,且当X>0时，f(x)=13++x x ,求f(x)的解析式（注意：易丢掉x=0）例2：已知)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，且在公共定义域{}1,|±≠∈x R x x上有11)()(-=+x x g x f ，求)(x f 的解析式.题型四：奇偶性单调性结合例1：f(x)是定义在（-1，1）的奇函数，若0)1()1(2>-+-t f t f ，求t例2：定义在[]1.1-上的偶函数f(x)，当x ≥0时，f(x)为增函数，若)2()1(m f m f <+成立，求m 的取值范围。
8函数的奇偶性
函数的奇偶性【知识要点】1.函数奇偶性的判断方法若()()f x f x -=-,则函数()f x 为奇函数,判断或证明奇偶函数的方法：若()()f x f x -=,则函数()f x 为偶函数,注意:函数为奇偶函数的前提是定义域在数轴上关于原点对称 2.奇函数的图象关于原点对称, 在原点的两侧具有相同的单调性 偶函数的图象关于y 轴对称, 在原点的两侧具有相异的单调性【典型例题】例1.判断奇偶性(1)()|2|2f x x x =+-- （2）xx x x f -+-=11)1()(（3）()f x = （4）⎪⎩⎪⎨⎧+-+=xx xx x f 22)( )0()0(><x x例2．奇偶性的应用（1）已知函数53()3f x ax bx cx =+++,若(5)8f =,则(5)f -=_______________（2）已知)(x f y =是定义在R 上的奇函数，当x x x f x 2)(,02-=≥时，则)(x f 的表达式为（3）(2007海南、宁夏理)设函数(1)()()x x a f x x++=为奇函数，则a = ．（4）(2008上海文)若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数a b ∈R ，）是偶函数，且它的值域为(]4-∞，，则该函数的解析式()f x =（5）若)(x f 是偶函数，在[0，+∞)上1)(-=x x f ，则0)1(<-x f 的解集是（ ） A.（-1，0） B.(,0)(1,2)-∞ C.（0，2） D.（1，2）（6）奇函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，(2)0f =，则不等式(1)(1)0x f x -+>的解集为（ ）A.(2,1)(1,2)--⋃B.(3,1)(2,)-⋃+∞C.(3,1)--D.(2,0)(2,)-⋃+∞（7）（辽宁卷理12）设()f x 是连续的偶函数，且当x >0时()f x 是单调函数，则满足3()4x f x f x +⎛⎫= ⎪+⎝⎭的所有x 之和为（ ）A.3-B.3C.8-D.8例3．奇函数)(x f 是定义在（-1，1）上的减函数，且0)1()1(2<-+-a f a f ，求实数a 的取值范围例4.)(x f 是R 上的偶函数，在)0,(-∞上是增函数， )123()12(22+-<++a a f a a f 求实数a 的取值范围。
函数的奇偶性典型例题及练习
2.4 函数的奇偶性典型例题及练习●知识梳理1.奇函数：对于函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有f （－x ）=－f （x ）〔或f （x ）+ f （－x ）=0〕，则称f （x ）为奇函数.2.偶函数：对于函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有f （－x ）=f （x ）〔或f （x ）－f （－x ）=0〕，则称f （x ）为偶函数.3.奇、偶函数的性质 （1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）.（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称.（3）若奇函数的定义域包含数0，则f （0）=0. （4）奇函数的反函数也为奇函数.（5）定义在（－∞，+∞）上的任意函数f （x ）都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.●点击双基1.下面四个结论中，正确命题的个数是①偶函数的图象一定与y 轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图象关于y 轴对称 ④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f （x ）=0（x ∈R ）A.1B.2C.3D.42.已知函数f （x ）=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）=ax 3＋bx 2＋cx 是A.奇函数B.偶函数C.既奇且偶函数D.非奇非偶函数3.若偶函数f （x ）在区间［－1，0］上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是A.f （cos α）＞f （cos β）B.f （sin α）＞f （cos β）C.f （sin α）＞f （sin β）D.f （cos α）＞f （sin β）4.已知f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则a ＝______，b ＝_____5.给定函数:①y =x1（x ≠0）；②y =x 2+1；③y =2x ；④y =log 2x ；⑤y =log 2（x +12+x ）.在这五个函数中，奇函数是_________，偶函数是_________，非奇非偶函数是__________.●典例剖析【例1】 已知函数y =f （x ）是偶函数，y =f （x －2）在［0，2］上是单调减函数，则A.f （0）＜f （－1）＜f （2）B.f （－1）＜f （0）＜f （2）C.f （－1）＜f （2）＜f （0）D.f （2）＜f （－1）＜f （0）【例2】 判断下列函数的奇偶性：（1）f （x ）=|x +1|－|x －1|； （2）f （x ）=（x －1）·xx-+11； （3）f （x ）=2|2|12-+-x x ；（4）f （x ）=⎩⎨⎧>+<-).0()1(),0()1(x x x x x x【例3】 （2005年北京东城区模拟题）函数f （x ）的定义域为D ={x |x ≠0}，且满足对于任意x 1、x 2∈D ，有f （x 1·x 2）=f （x 1）+f （x 2）.（1）求f （1）的值；（2）判断f （x ）的奇偶性并证明；（3）如果f （4）=1，f （3x +1）+f （2x －6）≤3，且f （x ）在（0，+∞）上是增函数，求x 的取值范围.深化拓展已知f （x ）、g （x ）都是奇函数，f （x ）＞0的解集是（a 2，b ），g （x ）＞0的解集是（22a ，2b ），2b ＞a 2，那么f （x ）·g （x ）＞0的解集是A.（22a ，2b） B.（－b ，－a 2）C.（a 2，2b ）∪（－2b，－a 2）D.（22a ，b ）∪（－b 2，－a 2）【例4】已知函数f （x ）=x +xp+m （p ≠0）是奇函数. （1）求m 的值. （2）（理）当x ∈［1，2］时，求f （x ）的最大值和最小值.（文）若p ＞1，当x ∈［1，2］时，求f （x ）的最大值和最小值. 深化拓展f （x ）=x +xp的单调性也可根据导函数的符号来判断，本题如何用导数来解？●闯关训练 夯实基础1.定义在区间（－∞，+∞）上的奇函数f （x ）为增函数，偶函数g （x ）在区间［0，+∞）上的图象与f （x ）的图象重合，设a ＜b ＜0，给出下列不等式，其中成立的是①f （b ）－f （－a ）＞g （a ）－g （－b ） ②f （b ）－f （－a ）＜g （a ）－g （－b ） ③f （a ）－f （－b ）＞g （b ）－g （－a ）④f （a ）－f （－b ）＜g （b ）－g （－a ） A.①④ B.②③ C.①③ D.②④2.（2003年北京海淀区二模题）函数f （x ）是定义域为R 的偶函数，又是以2为周期的周期函数.若f （x ）在［－1，0］上是减函数，那么f （x ）在［2，3］上是A.增函数 B .减函数C.先增后减的函数D.先减后增的函数3.已知f （x ）是奇函数，当x ∈（0，1）时，f （x ）=lgx+11，那么当x ∈（－1，0）时，f （x ）的表达式是_____.4.（2003年北京）函数f （x ）=lg （1+x 2），g （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-<+.12,1||0,12x x x x x h （x ）=tan2x 中，_________是偶函数. 5.若f （x ）=1222+-+⋅xx a a 为奇函数，求实数a 的值. 6.（理）定义在［－2，2］上的偶函数g （x ），当x ≥0时，g （x ）单调递减，若g （1－m ）＜g （m ），求m 的取值范围.（文）定义在R 上的奇函数f （x ）在（0，+∞）上是增函数，又f （－3）=0，则不等式xf （x ）＜0的解集为A.（－3，0）∪（0，3）B.（－∞，－3）∪（3，+∞）C.（－3，0）∪（3，+∞）D.（－∞，－3）∪（0，3）培养能力7.已知f （x ）＝x （121-x ＋21）.（1）判断f （x ）的奇偶性； （2）证明f （x ）＞0. 探究创新8.设f （x ）=log 21（11--x ax）为奇函数，a 为常数， （1）求a 的值；（2）证明f （x ）在（1，+∞）内单调递增；（3）若对于［3，4］上的每一个x 的值，不等式f （x ）＞（21）x+m 恒成立，求实数m 的取值范围. ●思悟小结1.函数的奇偶性是函数的整体性质，即自变量x 在整个定义域内任意取值.2.有时可直接根据图象的对称性来判断函数的奇偶性.拓展题例【例1】 已知函数f （x ）=cbx ax ++12（a 、b 、c ∈Z ）是奇函数，又f （1）=2，f （2）＜3，求a 、b 、c 的值.【例2】 已知函数y =f （x ）的定义域为R ，对任意x 、y ∈R 均有f （x +y ）=f （x ）+f （y ），且对任意x ＞0，都有f （x ）＜0，f （3）=－3.（1）试证明：函数y =f （x ）是R 上的单调减函数； （2）试证明：函数y =f （x ）是奇函数； （3）试求函数y =f （x ）在［m ，n ］（m 、n ∈Z ，且mn ＜0）上的值域.。
小学数学《奇偶性问题(一)》练习题
奇偶性问题（一）奇偶性问题，是指与自然数的奇、偶性有关的一类问题，解决这类问题，是根据其特征，运用奇偶性质综合地进行分析，使问题得以解决。
【知识要点】性质1：偶数±偶数=偶数奇数±奇数=偶数性质2：偶数±奇数=奇数性质3：偶数个奇数相加得偶数。
性质4：奇数个奇数相加得奇数。
性质5：偶数×奇数=偶数奇数×奇数=奇数【例题选讲】例1．7名同学聚会，试问：有没有可能每一名同学都和3名同学并且只和3名同学握手？例2．P为质数，P3+5仍为质数，问P5+5是否是质数？例3．把1至25这25个自然数分别Array填入右面的方格里，要使每横行、竖列的5个数之和都是偶数，这可能吗？请说明理由。
例4．在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成其他两数之和。
这样继续操作下去，最后得到44，66，109。
问：原来写的三个整数能否为1，3，5？例5．现有1995张卡片，每张卡片分别写上一个自然数：1，2，3， (1995)请你将这1995张卡分装到甲、乙两个盒子里（张数可以不等）。
甲盒中所有卡片上的数之和称为甲数；乙盒中所有卡片上的数之和称为乙数。
现要使甲、乙两数之差是一个奇数。
问：能否办得到？请说明理由。
【课内练习】1．在8个房间中，有7个房间开着灯，1个房间关着灯。
如果每次同时拨动4个房间的开关。
能不能把全部房间的灯关上？为什么？2．有11张卡片，分别写有1—11这11个自然数。
现在要将这11张卡片分为两堆，使得一堆所有卡片上的数字之和是奇数，另一堆所有卡片上的数字之和是偶数。
能否做到？3．任意交换某个三位数的数字顺序得到一个新的三位数，原三位数与新三位数之和能否等于999？4．两个四位数相加，第一个四位数的每个数码都小于5，第二个四位数仅仅是第一个四位数的四个数码调换了位置。
两数的和可能是7356吗？为什么？5．有12张卡片，其中有三张上面写着1，三张写着3，三张写着5，三张写着7。
奇偶性的练习题
奇偶性的练习题本篇文章将提供一些关于奇偶性的练习题，以帮助读者更好地理解和运用这一概念。
以下是几道例题：1. 证明1是奇数。
证明：根据奇数的定义，奇数是指不能被2整除的整数。
我们知道，1不能被2整除，因此1符合奇数的定义，可以被归类为奇数。
2. 证明任意一个奇数减去一个奇数得到的结果是偶数。
证明：假设a和b都是奇数，那么它们分别可以表示为2n+1和2m+1，其中n和m都是整数。
现在我们来计算a-b的结果：a -b = (2n + 1) - (2m + 1)= 2n + 1 - 2m - 1= 2(n - m)我们可以看到，a-b可以被2整除，并且没有余数，这意味着a-b是一个偶数。
3. 证明任意一个奇数与偶数的和是奇数。
证明：假设a是一个奇数，b是一个偶数，那么它们分别可以表示为2n+1和2m，其中n和m都是整数。
现在我们来计算a+b的结果：a +b = (2n + 1) + 2m= 2n + 2m + 1= 2(n + m) + 1我们可以看到，a+b可以被2整除后余1，这意味着a+b是一个奇数。
4. 证明任意一个偶数的平方是偶数。
证明：假设a是一个偶数，那么它可以表示为2n，其中n是一个整数。
现在我们来计算a的平方：a^2 = (2n)^2= 4n^2= 2(2n^2)我们可以看到，a的平方可以被2整除，并且没有余数，这意味着a 的平方是一个偶数。
通过以上的练习题，我们可以更深入地理解奇偶性的概念。
奇数和偶数在数学中有各自的定义，通过这些例题的推导和证明，我们可以看到奇偶数之间的关系，进一步加深我们对数学的理解和应用能力。
总结：本文提供了几道关于奇偶性的练习题，并通过证明和推导的方式展示了其原理和特性。
通过这些练习题的训练，读者可以更好地理解奇偶性的概念，并在实际应用中更加灵活地运用。
同时，这些练习题也帮助读者提升数学思维和逻辑推理能力，为进一步学习和研究数学打下坚实的基础。
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函数的奇偶性
一、关于函数的奇偶性的定义
定义说明：对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ：
⑴)()(x f x f =- ⇔)(x f 是偶函数；
⑵)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；
函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。
二、函数的奇偶性的几个性质
①、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；
②、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；
③、可逆性： )()(x f x f =- ⇔)(x f 是偶函数；
)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；
④、等价性：)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f
)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f
⑤、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；
⑥、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、
非奇非偶函数。
三、函数的奇偶性的判断
判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：
第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，判断步骤如下：
①、定义域是否关于原点对称；
②、数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立；
例1：判断下列各函数是否具有奇偶性
⑴、x x x f 2)(3+= ⑵、2
432)(x x x f += ⑶、1
)(2
3--=x x x x f ⑷、2)(x x f = []2,1-∈x
⑸、x x x f -+-=22)( ⑹、2211)(x x x f -+-=
解：⑴为奇函数 ⑵为偶函数 ⑶为非奇非偶函数
⑷为非奇非偶函数 ⑸为非奇非偶函数 ⑹既是奇函数也是偶函数
注：教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。
例2：判断函数⎩⎨⎧<≥-=)0()0()(22x x x
x x f 的奇偶性。
.)(),()()
()()()(,0,0)
()()(,0,0)
(0)0(:22222为奇函数故总有有时即当有时即当解x f x f x f x f x x x f x x x f x x x f x x x f f =-∴-=--=-=->-<-=-=--=-<->-==
第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。
四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。
命题 1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分
条件。
此命题正确。
如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇非偶函数，这一点可以由奇偶性定义直接得出。
命题2 两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。
此命题错误。
一方面，如果这两个函数的定义域的交集是空集，那么它们的和或差没有定义；另一方面，两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数，如f(x)=x(x ∈〔-1,1〕),g(x)=x(x ∈〔-2,2〕)，可以看出函数f(x)与g(x)都是定义域上的函数，它们的差只在区间〔-1，1〕上有定义且f(x)-g(x)=0，而在此区间上函数f(x)-g(x)既是奇函数又是偶函数。
命题3 f(x)是任意函数，那么|f(x)|与f(|x|)都是偶函数。
此命题错误。
一方面，对于函数|f(x)|=⎩
⎨⎧<-≥),0)((),(0)((),(x f x f x f x f 不能保证f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)；另一方面，对于一个任意函数f(x)而言，不能保证它的定义域关于原点对称。
如果所给函数的定义域关于原点对称，那么函数f(|x|)是偶函数。
命题4 如果函数f(x)满足：|f(x)|=|f(-x)|，那么函数f(x)是奇函数或偶
函数。
此命题错误。
如函数f(x)=⎩
⎨⎧∈+=∈=),12(,),2(,2N n n x x N n n x x 从图像上看，f(x)的图像既不关于原点对称，也不关于y 轴对称，故此函数非奇非偶。
命题5 函数f(x)+f(-x)是偶函数，函数f(x)-f(-x)是奇函数。
此命题正确。
由函数奇偶性易证。
命题6 已知函数f(x)是奇函数，且f(0)有定义，则f(0)=0。
此命题正确。
由奇函数的定义易证。
命题7 已知f(x)是奇函数或偶函数，方程f(x)=0有实根，那么方程f(x)=0的所有实根之和为零；若f(x)是定义在实数集上的奇函数，则方程f(x)=0有奇数个实根。
此命题正确。
方程f(x)=0的实数根即为函数f(x)与x 轴的交点的横坐标，由奇偶性的定义可知：若f(x 0)=0，则f(-x 0)=0。
对于定义在实数集上的奇函数来说，必有f(0)=0。
故原命题成立。
五、关于函数按奇偶性的分类
全体实函数可按奇偶性分为四类：①奇偶数、②偶函数、③既是奇函数也是偶函数、④非奇非偶函数。
六、关于奇偶函数的图像特征
例1：已知偶函数)(x f y =在y 轴右则时的图像如图（一）试画出函数y 轴右则的图像。
七、关于函数奇偶性的简单应用
1、利用奇偶性求函数值
例1：已知8)(3
5-++=bx ax x x f 且10)2(=-f ，那么=)2(f
2、利用奇偶性比较大小
例2：已知偶函数)(x f 在()0,∞-上为减函数，比较)5(-f ，)1(f ，)3(f 的大小。
图（二）
图（一）
3.利用奇偶性求解析式
例3：已知)(x f 为偶函数时当时当01,1)(,10<≤--=≤≤x x x f x ，求)(x f 的解析式？
4、利用奇偶性讨论函数的单调性
例4：若3)3()2()(2+-+-=x k x k x f 是偶函数，讨论函数)(x f 的单调区间？
5、利用奇偶性判断函数的奇偶性
例5：已知函数)0()(23≠++=a cx bx ax x f 是偶函数，判断cx bx ax x g ++=23)(的奇偶
性。
6、利用奇偶性求参数的值
例6：定义在R 上的偶函数)(x f 在)0,(-∞是单调递减，若)123()12(22+-<++a a f a a f ，则a 的取值范围是如何？
7、利用图像解题
例7（2004.上海理）设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x ∈[0,5]
时, f(x)的图象如右图,则不等式()0<x f 的解
是 .
8.利用定义解题
例8.已知函数1().21x f x a =-
+，若()f x 为奇函数，则a =________。