高等数学同济大学版课程讲解函数的极限

高等数学同济大学版课程讲解函数的极限

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课 时 授 课 计 划

课次序号：03

一、课 题：§函数的极限 二、课 型：新授课

三、目的要求：1.理解自变量各种变化趋势下函数极限的概念；

2.了解函数极限的性质．

四、教学重点：自变量各种变化趋势下函数极限的概念．

教学难点：函数极限的精确定义的理解与运用．

五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合．

六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编，

高等教育出版社；

2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社．

七、作业：习题1–31（2），2（3），3，6 八、授课记录： 九、

授课

效果分析：

第三节函数的极限

复习

1.数列极限的定义：lim 0,N,N n n n x a n x a εε→∞

=⇔∀>∃>-<当时，

； 2.收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性、收敛数列与其子列的关系．

在此基础上，今天我们学习应用上更为广泛的函数的极限．与数列极限不同的是，对

于函数极限来说，其自变量的变化趋势要复杂的多．

一、x →∞时函数的极限

对一般函数yf （x ）而言，自变量无限增大时，函数值无限地接近一个常数的情形与数列极限类似，所不同的是，自变量的变化可以是连续的．

定义1若∀ε＞0，∃X ＞0，当x ＞X 时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε）（即|f (x )A |<ε），则称x →∞时，f （x ）以A 为极限，记为lim x →+∞

f （x ）A ．

若∀ε＞0，∃X ＞0，当x ＜X 时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε）（即|f (x )A |<ε），则称

x →∞时，f （x ）以A 为极限，记为lim x →-∞

f （x ）A ．

例1证明lim

x 0．

证0

-∀ε＞00-＜ε＜ε，

即x ＞

2

1

ε．因此，∀ε＞0，可取X

2

1

ε，则当x ＞X 0-＜ε，故由定义1得 lim

x ．

例2证明lim 100x x →-∞

=．

证∀ε＞0，要使100x -10x

＜ε，只要x ＜l gε．因此可取X ｜l gε｜1，当x ＜X 时，即有｜

10x 0｜＜ε，故由定义1得lim x →+∞

10x 0．

定义2若∀ε＞0，∃X ＞0，当｜x ｜＞X 时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε）（即|f (x )A |<ε），则称x →∞时，f （x ）以A 为极限，记为lim x →∞

f （x ）A ．

为方便起见，有时也用下列记号来表示上述极限：

f （x ）→A （x →∞）；f （x ）→A （x →∞）；f （x ）→A （x →∞）． 注若lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x A f x A →∞

→+∞

→-∞

===或或，则称y A =为曲线()y f x =的水

平渐近线．

由定义1、定义2及绝对值性质可得下面的定理．

定理1lim x →∞

f （x ）A 的充要条件是lim x →+∞f （x ）lim x →-∞

f （x ）A ．

例3证明2

lim

1

x x x →∞--1．

证∀ε＞0，要使

211x x ---31x +＜ε，只需｜x 1｜＞3ε

，而｜x 1｜≥｜x ｜1，故只需｜x ｜1

＞

3ε，即｜x ｜＞13

ε

． 因此，∀ε＞0，可取X 1

3

ε

，则当｜x ｜＞X 时，有211x x --+＜ε，故由定义2得2

lim

1

x x x →∞-+1．

二、x →x 0时函数的极限

现在我们来研究x 无限接近x 0时，函数值f （x ）无限接近A 的情形，它与x →∞时函数的极限类似，只是x 的趋向不同，因此只需对x 无限接近x 0作出确切的描述即可．

以下我们总假定在点x 0的任何一个去心邻域内都存在f （x ）有定义的点．

定义3设有函数yf （x ），其定义域D f ⊆R ，若∀ε＞0，∃δ＞0，使得x ∈U （x 0，δ）（即0＜｜xx 0｜＜δ）时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε）（即｜f （x ）A ｜＜ε），则称A 为函数

yf （x ）当x →x 0时的极限，记为0

lim x x →f （x ）A ，或f （x ）→A （x →x 0）．

研究f （x ）当x →x 0的极限时，我们关心的是x 无限趋近x 0时f （x ）的变化趋势，而不关心f （x ）在xx 0处有无定义，大小如何，因此定义中使用去心邻域．

函数f (x )当x →x 0时的极限为A 的几何解释如下：任意给定一正数ε，作平行于x 轴的两条直线yA ε和yA ε，介于这两条直线之间是一横条区域．根据定义，对于给定的ε，存在着点x 0的一个δ邻域（x 0δ,x 0δ），当yf (x )的图形上点的横坐标x 在邻域（x 0δ,x 0δ）内，但x ≠x 0时，这些点的纵坐标f (x )满足不等式|f (x )A |<ε,或A ε

图1－34

例4证明211

lim 1

x x x →--2．

证函数f （x ）21

1

x x --在x 1处无定义．∀ε＞0，要找δ＞0，使0＜｜x 1｜＜δ时，

21

21

x x ---｜x 1｜＜ε成立．因此，∀ε＞0，据上可取δε，则当0＜｜x 1｜＜δ时，21

21

x x ---＜ε成立，由定义3得211lim

1x x x →--2． 例5证明0

lim x x →sin x sin x 0．

证由于｜sin x ｜≤｜x ｜，｜cos x ｜≤1，所以

｜sin x sin x 0｜200

cos

sin 22

x x x x +-≤｜xx 0｜． 因此，∀ε＞0，取δε，则当0＜｜xx 0｜＜δ时，｜sin x sin x 0｜＜ε成立，由定义3得

lim x x →sin x sin x 0．

有些实际问题只需要考虑x 从x 0的一侧趋向x 0时，函数f （x ）的变化趋势，因此引入下面的

函数左右极限的概念．

定义4设函数yf （x ），其定义域D f ⊆R ，若∀ε＞0，∃δ＞0，当x ∈0(,)U x δ-(或

x ∈0(,)U x δ+)时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε），则称A 为f （x ）当x →x 0时的左（右）极